3 8 بردارها خارجي ضرب مفروضاند. (,, ) 3 و (,, 3 ) بردار دو تعريف: و ميدهيم نمايش نماد با را آن كه است برداري در خارجي ضرب ( 3 3, 3 3, ) m n mq np p q از: است عبارت ماتريس دترمينان در اينكه به توجه با اما كرد: محاسبه نيز زير بهصورت را ( 3, 3, ) 3 3 خارجي ضرب ميتوان دترمينان عامت از هميشه نظر مورد محاسبهي در نيست الزم كه كنيد توجه هم زير شده ذكر ترتيب با را ماتريس دو است الزم تنها كنيم استفاده و درايه آن متناظر ستون كردن حذف با درايه هر محاسبهي در و بنويسيم كنيد. دقت زير مثال به دهيم. انجام را محاسبه درايهها ساير از گرفتن دترمينان آوريد. بهدست را بردار باشد (, 3, 3) و (,, 3) اگر ميدهيم: انجام گام چهار در را ضرب 3 اين یکمگام : دومگام : (,, 3) (, 3, 3) (,, ) (,, 3) (, 3, 3) ( 6,, ) ( )( 3) ( 3)( 3) S سومگام : چهارمگام : (,, 3) (, 3, 3) ( 6, + 9, ) [( )( 3) ( 3)( )] (,, 3) (, 3, 3) ( 6, 9, 7 ) ()( 3) ( )()
اهرادرب فصل 36 يك با تنها و ذهني بهصورت را مرحله چهار اين بايد شما كه كنيد توجه دهيد. انجام هم زير در و بردارهاي نوشتن بار بردار مؤلفههاي مجموع باشد (,, 3) و (,, ) 4 اگر است چهقدر كدام با V 4 )4 8 )3 ) 6 ) V بردار زاويهي باشد V 3 (,, ) و V (,, ) اگر 8( )آزاد است بزرگتر محور ها y ) ها x ) است. يكسان محور سه هر با 4( ها z 3( از استفاده با راحتي به ويژگيها اين بردارها: خارجي ضرب ويژگيهاي است. اثبات قابل خارجي ضرب تعريف و ندارد جابهجايي خاصيت و بردار دو خارجي ضرب ( ( ) o دلخواه بردار هر بهازاي ( r r( ) r r اگر )3 ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( ) + ( ) بردارها: جمع در خارجي ضرب پخشپذيري خاصيت 4( وجود جابهجايي خاصيت بردارها خارجي ضرب در چون كه كنيد توجه آنها( از فاكتورگيري البته )و بردارها جمع در خارجي ضرب پخش در ندارد كنيم. توجه آنها قرارگيري بهترتيب بايد وجود شركتپذيري خاصيت بيشتر( )و بردار سه خارجي ضرب در 5( ( ) ( ) كلي حالت در مثا ندارد. مثال در شده ذكر مرحلهي چهار ذهني محاسبهي با 3 (,, 4 ) (,, 3) (, +, 5 ) + + 5 8 موردنظر خارجي ضرب انجام با ابتدا يكم: گام 3 V (,, ) V (,, 3) V V ( 7, + 5, ) بيان داخلي ضرب بخش در هادي زواياي مورد در كه آنچه به توجه با حال دوم: گام نآ با متناظر زاويهي مؤلفههاست ساير از كوچكتر بردار اين سوم مؤلفهي چون شد زواياست. ديگر از بزرگتر ها z محور با بردار زاويهي يعني
37 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش بردار اندازهي باشد 3 اگر 3 3 است چهقدر V ( + ) + ( ) ( + ) ( ) )4 9 )3 6 ) 3 ) ضرب اندازهي باشند + (,, و( 4 + (,, 4 اگر( 4 9( )آزاد است كدام خارجي )4 3 )3 5 ) ) در شد بيان بردار دو خارجي ضرب تعريف بهعنوان آنچه كه كنيد توجه بايد آن هندسي تعبير به رسيدن براي اما است. ضرب اين جبري تعبير حقيقت بگيريم: درنظر را زير قضيهي دو صورت اين در باشند دلخواه بردار دو و اگر : قضيهي.( ) 0 و.( ) 0 نوشتن با و خارجي و داخلي ضربهاي تعريف به توجه با قضيه اين است. اثبات قابل بهراحتي بردارها مؤلفههاي بردارهايي ( ) آنها خارجي حاصلضرب و و اگر : قضيهي نتيجهي است. عمود بر هم و بر هم بردار آنگاه باشند غيرصفر و يعني آنها مجزاي محاسبهي و عبارت سه تفكيك با 3 3 o ( + ) + o ( ) ( + ) + + o ( ) و كه اين به توجه با اما + 3 V + + V 6 عبارتهايي بعد به اين از است بهتر محاسبه در سرعت خاطر به كه كنيد توجه نكنيم. بازنويسي هستند o كه را... و و همچون ( + ) ( + ) 4 + 3 ( + ) ( + ) الزماستمؤلفههايضربخارجي + (, 4, ) + (,, ) «Â] nii Joò» ( 0, + 3, 6) 3 4 4 محاسبهي براي نتيجه در كنيم: محاسبه را ( 0,, ) 5 حل همچون حذفي شيوهي با كه است اين مسئله اين حل ديگر راه كه كنيد توجه ضرب سپس و كرده محاسبه را و بردارهاي مجهول دو و معادله دو دستگاه يك آوريم. بهدست را آنها خارجي
اهرادرب فصل 38 ازاي به مفروضاند. (, 4, m) و (,, ) تصاوير با بردار 5 دو 5 88( )سراسري است صفر برابر ( + ).( ( بردار اندازهي m مقادير كدام و باشد عمود (,, ) m فقط ) m فقط ± ) m حقيقي عدد هر 4( m مقدار هيچ 3( 0 و (,, ) بردارهاي بر x (, y, z 6 اگر( 6 )87 )آزاد باشد ميتواند كدام x y z آنگاه باشد 8 )4 6 )3 ) 0 4 4 4 دو هر بر زير بردار كدام باشند (,, ) 3 و (,, ) است عمود 4 ) 0 7 اگر 7 و بردار (,, ))4 (,, ) )3 (,, )) (,, )) يك آنها داخلي ضرب و هستند بردار دو هر و كه كنيد توجه 4 5 5 صحيح» ( + ).( ( بردار»اندازهي بيان كه ميرسد نظر به نتيجه در است عدد پاسخ را مسئله و گرفته درنظر» ( + ).( (»مقدار را طراح منظور اما نيست. ميدهيم. ( + ).( ).( ) +.( ) 0 داخلي ضرب اين در 0 0 هر ازاي به نتيجه در و ندارد بردار مؤلفههاي به بستگي ضرب اين شدن صفر بنابراين است. برقرار m حقيقي عدد و بردار دو هر بر بردار كه دانستيم «قضيهي»نتيجهي به توجه با 4 6 6 نتيجه در است. همراستا با باشد عمود و بر بردار اگر بنابراين است. عمود (,, ) (, 0, ) (, + 3, ) v» v «محاسبهي با rv r v نتيجه در است با همراستا v چون r + 9+ 4 r ± 4 ± (, 3, ) x+ y+ z ± ( + 3+ ) 8 4 4 4 است عمود و غيرصفر بردارهاي بر غيرصفر بردار ميدانيم 7 7 نتيجه در بود. خواهد عمود دارند قرار آن در و كه صفحهاي بر بنابراين و خطي تركيبهاي جمله از صفحه آن در موجود بردارهاي همهي بر است. عمود نيز و مثل آن با همراستا برداري بهدنبال و كرده محاسبه را است كافي مسئله حل براي پس (, 0, ) (, 3, ) باشيم. گزينهها در ( 3, + 3, 6) است. نظر مورد گزينهي است كه گزينهي بنابراين 3 هب نيز آنها خارجي ضرب سپس و و محاسبهي با ميتوان كه كنيد توجه ميكند. طوالنيتر كمي را محاسبه اما رسيد پاسخ
39 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش است آنها بين زاويهي كه و غيرصفر بردار دو هر براي : قضيهي sin θ 5 6 آنها بين زاويهي و 4 و 3 بهترتيب و بردارهاي طول اگر S است چهقدر باشد ( 3)( 4)sin 5π 6 6»«قضيهي به توجه 3 با باشد 3 با برابر و بردار دو بين زاويهي و 4 8 اگر 3 8 است چهقدر V ( + ) ( ( بردار اندازهي 48 )4 36 )3 4 ) ) كدام و بردار دو بين زاويهي باشد 6 و 3 9 اگر 9 باشد ميتواند )4 )3 5 6 ) 3 ) 3 6 4 sin مينيمم و ماكزيمم به توجه با : مينيمم و ماكزيمم (θ 0 يا θ π) sin θ 0 θ π sinθ 0»مينيممماكزيمم«9 دارد. شريين ميوههاى و تلخ ريشههاى كار آملانىضرباملثل غيرصفر بردار دو و اگر خارجي: ضرب و داخلي ضرب مشترك روابط باشند بين زاويهي با زيرا + (. ) الف( sin θ + (.) (sin θ+ os θ) (.) os θ sin θ os θ. tn θ. زيرا tn θ ب(. V ( + ) ( ) + 3 3 8 8 V 3 3 sin π 3 ( 3 )( 4)( 3 ) 36 3 sinθ sin θ 6 θ π ( 3)( ) 4 يا 3 4 9 9
اهرادرب فصل 40 و 5 و 6 است درجه 90 از كمتر و بردار دو بين 0 زاويهي 0 )85 )سراسري است كدام.( ) حاصل. باشد ( + ) 8 64 )4 60 )3 56 ) 54 ) 4 و بوده 5 و 3 طولهاي به بردار دو و اگر است چهقدر )4 0 )3 8 ) 6 ) چهقدر و بردار دو بين زاويهي كتانژانت باشد. 3 اگر است )4 3 )3 3 ) 3 ) 3 و قضيههاي به توجه با بردار: دو خارجي ضرب هندسي تعبير» يعني و موازي غير و غيرصفر بردار دو خارجي ضرب كه دانستيم sin «آن طول و و بردار دو بر عمود آن راستاي كه است برداري قابل راست دست قانون از استفاده با نيز آن جهت كه ميشود ثابت اما است. دست انگشت چهار اگر كه ترتيب بدين است. تعيين بردار سمت به و كرده مشخص را بردار جهت راست نشان را بردار جهت شست انگشت بچرخد لحاظ از كه است دليل همين به»«(. )شكل ميدهد ميگيرند. قرار قرينه جهت دو در و هندسي شكل حوزهي در بايد سمت به از انگشتان چرخش جهت كه كنيد توجه گيرد. صورت» θ< 80 «زاويهي يكم: گام 3 0 0 ( + ) 8,.( + ) +. محاسبهي براي بردارها خارجي و داخلي ضرب بين رابطهي به توجه با حال دوم: گام + (.) داخلي ضرب 8 + (.) ( 5) ( 6) (. ) 900 34 576. ± 4 است. قبول قابل. 4 مقدار است حاده بردار دو بين زاويهي چون اما.( + ) +. 36 + 4 60 عبارت: نهايي محاسبهي سوم: گام 4 +. 6 يكم: گام 4 9+ 5. 6. 9 + (.) + 8 9 5 5 8 44 محاسبهي براي دوم: گام tn θ. ot θ. 3 3
4 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش f تعداد چه حاصل مقابل شكل به توجه 3 با 3 كه است برداري زير خارجي ضربهاي از است كاغذ صفحهي باالي به رو آن جهت 70 60 50 90 0 70 d» e f e d d e,,,,, «4 )4 3 )3 ) ) اين اينكه به توجه با درهم: k و j و i يكهي بردارهاي خارجي ضرب ضرب هندسي تعبير يا جبري تعبير از استفاده با عمودند برهم دوبهدو بردارها براي اما كرد. محاسبه را يكديگر در بردارها اين حاصلضرب ميتوان خارجي»«شكل همانند دايرهاي ميتوان محاسبه اين شدن ساده جهت در مثلا را k و j i بردارهاي و گرفت درنظر حاصلضرب ترتيب بدين گرفت. درنظر ساعت عقربههاي قراردادي جهت در مجاور بردار در بردار هر خارجي حركت قراردادي جهت خاف اگر بود. خواهد سوم بردار نتيجه در بود خواهد سوم بردار قرينهي موردنظر حاصلضرب كنيم i j k, j k i, k i j j i k, k j i, i k j است كدام ( i ( i j)) حاصل k باشند واحد بردارهاي k و j و i 4 اگر 4 k )4 j )3 i ) صفر ) 9( )سراسري بردار دو و اگر بردار: دو روي شده بنا متوازياالضاع مساحت هك متوازياالضاعي مساحت باشند بين زاويهي با همراستا غير و غيرصفر از: است عبارت ميشود بنا آنها روي S با برابر متوازياالضاع قاعدهي طول )اوال مثلث در ارتفاع محاسبهي براي ثانيا است. k sinθ h h sin θ»3«شكل در شده مشخص قائمالزاويهي S قاعده ارتفاع sin θ شكل h i j 3شكل h ( >θ 80 )يعني بردارها بين زاويههاي و راست دست قانون به توجه با 3 3 3 وd بردارهاي و صفحه باالي سمت به جهتي و e e d بردارهاي e 80 f و بردارهاي بين زاويهي چون ضمن در دارند. صفحه پايين سمت به جهتي f o است بيروني پرانتزهاي به پرانتز داخليترين از محاسبه با 4 4 i ( i j) j k عبارتحاصل j k i
اهرادرب فصل 4 و (,, ) بردار دو روي شده توليد متوازياالضالع 5 مساحت 5 است كدام (,, 0) 8 )4 )3 6 ) 3 ) توليد متوازياالضالع مساحت (,, ) 87( )سراسري است كدام 5 0 و (,, ) و 3 3 6 اگر 6 بردار دو روي شده 5 3)4 3 5)3 3 ) 3) l l A D C h B h 4شكل»4«( شكل با )مطابق AB ثابت \پارهخط و AB موازات به l و l خطوط اگر است. مفروض تمام بگيريم درنظر را )h( آن از يكسان فاصلهي به l و l خطوط و AB روي كه متوازياالضاعهايي آنها همهي در زيرا دارند يكساني مساحت ميشوند رسم متوازياالضاعمساحت قاعده ارتفاع S AB h A D M C B نقطهي و باشد AB موازي CD 7 اگر 7 ضرب بردار كند حركت D به C از M ميكند تغيير چهگونه AB AM خارجي 83( )آزاد نميكند. تغيير آن جهت ولي ميشود كم آن طول ( ميكند. تغيير آن جهت ولي است ثابت آن طول ( است. ثابت آن جهت و طول 3( ميكند. تغيير آن جهت و طول 4( (,, ) بردار دو خارجي ضرب محاسبهي با 5 5 (,, 0) ( 4,, 4) S 6 + 4+ 6 6 مثا بردار يك با متناظر ضلع بر وارد ارتفاع مسائل اينگونه در اگر كه كنيد توجه h بخواهند را بردار V ( + 3) ( + 5 ) يكم: گام 3 6 6 V + S V 5 (, 0, ) خارجي ضرب محاسبهي با دوم: گام (,, 3) (, 5, 4) S V 4+ 5+ 6 45 3 5 دانستيم تست اين از پيش هندسي يادآوري در آنچه به توجه با يكم: گام 3 7 7 يكساناند ميشوند ساخته DC امتداد و AB با كه متوازياالضاعهايي تمام مساحت... ادامه
43 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش توليد مثلث مساحت كه است واضح بردار: دو روي شده بنا مثلث مساحت 5شكل و B(, 0, ) و A(,, 3) مساحت نصف و بردار دو روي شده بنابراين است آن روي شده بنا متوازياالضاع مثلث«S«رأس سه با ABC مثلث 8 مساحت 8 )89 )سراسري است كدام C( 3,, ) 4 )4 54 )3 65 ) 35 ) درجه 30 زاويهي يكديگر با واحد 4 و 3 طولهاي به و بردار 9 دو 9 توليد 3 و بردار دو روي بر كه مثلثي مساحت ميسازند. 84( )سراسري است كدام شود 48 )4 4 )3 36 ) 4 ) بردار دو روي كه مثلثي مساحت باشد. 8 و 5 3 0 اگر 0 )86 )آزاد است چهقدر ميشود ساخته و 36 5 )4 5 )3 8 5 ) 4 5 ) D M C M S AB AM»ثابت«بنابراين h AB AM خارجي ضرب طول نتيجه در A B است. ثابت از راست دست چهارانگشت وقتي راست دست قانون از استفاده با طرفي از دوم: گام ضرب بردار جهت M قرارگيري مكانهاي تمام در ميچرخد AM سمت به AB ضربهاي اين جهت و طول بنابراين بود. خواهد كاغذ صفحهي باالي سمت به خارجي ماند. خواهد ثابت خارجي C خارجي ضرب و ساخته بردار دو نقطه سه اين با 8 8 AC و AB بردار دو تشكيل با مثا ميكنيم. محاسبه را آنها A B AB (,, ) AC ( 4, 4, ) AB AC ( 4, + 0, ) (, 5, 6) «W±X S» AB AC () 4+ 5 + 36 65 V ( ) ( 3+ ) 6 8 9 9 3 4 «W±X S» V 4 4 sin 30 4 رابطهي از استفاده با كه داريم به نياز مثلث مساحت محاسبهي براي 3 0 0... ادامه است: محاسبه قابل خارجي و داخلي ضرب بين
44 فصل اهرادرب دو بردار و به طولهاي 5 و 8 مفروضاند و مساحت توليد شده توسط اين دو بردار واحد مربع است. اگر زاويهي بين دو بردار كمتر از قائمه باشد اندازهي تفاضل دو بردار كدام است )سراسري 8( 7/5 )4 6/5 )3 6 ) 5 ) 0 از ديروز بياموز براى امروز زندگى كن به فردا اميد داشته باش.»اينشتني«است كه در ضرب مختلط سه بردار: ضربهايي بهصورت ( ). آنها مفاهيم ضرب داخلي و ضرب خارجي در يك عبارت برداري با هم بهكار ميروند. بديهي است كه حاصل چنين ضربي در واقع يك عدد حقيقي است خود برداري است كه در ضرب داخلي ميشود. اما محاسبهي اين زيرا ضربها غير از شيوهي معمول انجام يك ضرب خارجي و سپس يك ضرب داخلي با استفاده از دترمينان امكانپذير است و طبق تعريف 3.( ) 3 + 3 3 3 3 3 3.( ) ), m ( 3, 3, ) (,, 0 ) (, و 3 اگر 3 باشد m كدام است 4 )4 3 )3 ) ) + (.) + ( 8 ) ( 3) ( ) 5 36 34 900 34 576 5 5 5 S«مثلث«( )( 4 ) 5 5 حتما توجه كرديد كه در اين تست مشخص نكرده است كه آيا مساحت مثلث و يا متوازياالضاع توليد شده توسط اين دو بردار است. اما اگر ما آن را متوازياالضاع درنظر بگيريم به اعدادي غيرقابل ساده شدن ميرسيم كه در گزينهها نيست لذا حالت سادهتر يعني مثلث آن را بررسي ميكنيم. +. 5+ 64 گام يكم:. و رابطهي بين ضرب داخلي و ضرب خارجي داريم. 4 5 گام دوم: براي محاسبهي. نياز به S«مثلث«حال با توجه به مقدار معلوم مساحت مثلث 4 + (.) (. ) ( 5 8) 4 40 (.) ( 40 4)( 40+ 4) 6 64. ± ( 4 8) ± 3 چون زاويهي بين دو بردار و كمتر از قائمه است. 3 قابلقبول است. گام سوم: در محاسبهي نهايي 5 64 5 + 64 m 3 0 0 0 m + 3 3 3 3 3 3 3 3 9 4 ( 0) m( 0) + 3( 3+ 6) 3 8 m+ 7 3 m
45 بخش 3 اهرادرب يجراخ برض تبديل دوري در ضرب مختلط سه بردار: در صورتيكه حاصلضرب مختلط صفر نباشد بهدليل وجود ضرب خارجي در عبارت ضرب مختلط تغيير ترتيب قرارگيري بردارها )در قسمت ضرب خارجي( باعث قرينه شدن حاصل نهايي اين ضرب ميشود. اما به راحتي اثبات ميشود كه اين ضرب در ترتيبهاي مشخصي از بردارها ثابت»شكل 6«است. در اينجا نيز اگر يك دايره مانند شكل»6«در نظر گرفته و سه بردار و را بهترتيب قراردادي مثلا در جهت عقربههاي ساعت بنويسيم با حفظ.( ).( ).( ) ترتيب اين ضربها در اين حالت اصطاحا ميگوييم ضرب مختلط بردارها با ترتيب دوري تغيير نميكند. توجه كنيد كه در اينجا براساس اولين ضرب داده شده دايرهي خود را ميسازيم. مثا اگر اولين ضرب مختلط ). در نظر بگيريم دايرهي ما مطابق با شكل»7«را ( خواهد بود و ).( ).( ).( 3 اگر 3 و و سه بردار غيرصفر و غيرواقع در يك صفحه باشند مقدار كدام گزينه با سايرين متفاوت است )سراسري 84( ( ). )4.( ) )3.( ) ).( ) ) 4 اگر 4 و سه بردار غيرصفر باشند خالصه شدهي )) ( ).(( + ) ( كدام است )سراسري 90(»شكل 7«) )4 3.( صفر )3.( ) ).( ) ) 3 3 در اينجا شرط در يك صفحه نبودن سه بردار به اين دليل بيان شده است كه در صورت هم صفحه بودن ضرب مختلط صفر شده و تمام ترتيبهاي آن نيز صفر خواهد بود و لذا حاصل تمام گزينهها صفر ميشد )هم صفحه بودن و صفر شدن ضرب مختلط در ادامهي اين بخش بررسي ميشود(. اما در بررسي گزينهها 3 و @ 4 در اينجا بهدليل خاصيت جابهجايي در ضرب داخلي حاصل دو عبارت يكسان است. و @ با توجه بهترتيب بردارها در گزينهي»3«و با توجه.( ).( ).( به شكل مقابل ( بنابراين تنها حاصل گزينهي»«است كه با ديگران متفاوت است. 3 4 4 ابتدا در محاسبهي ضربهاي خارجي در داخل پرانتز دوم حال با ضرب داخلي در اين عبارت برداري ( + ) ( ) ( ).( ) 0 0 0 0.( ).( ).( ).( ) +.( ) +.( ) ادامه...
اهرادرب فصل 46 بردار سه ميشود: بنا بردار سه روي كه متوازيالسطوحي حجم h قرار صفحه يك در كه را و غيرصفر ميگيريم. درنظر ندارند حجم»8«شكل به توجه با بنا بردار سه اين روي كه متوازيالسطوحي ضرب قدرمطلق از است عبارت ميشود V.( ( يعني آنها مختلط متوازيالسطوح حجم قاعده مساحت ارتفاع ) است و توسط شده توليد متوازياالضالع مساحت قاعده مساحت اما S يعني: است»ارتفاع«8شكل بردار بر بردار تصوير طول نيز متوازيالسطوح ارتفاع طرفي از.( ) V.( ).( ) يعني است(. عمود و صفحهي بر )زيرا بنابراين است قدرمطلق داخل در مختلط ضرب اينجا در كه كنيد توجه ندارد. اهميتي ضرب اين در بردارها نوشتن ترتيب (,, ) و (, 0, ) (,, ) 3 بردار 5 سه 5 است چهقدر آنها روي بناشده متوازيالسطوح حجم مفروضاند. 6 ) 4 ) )4 8 )3 9شكل هرم حجم بردار: سه روي شده بنا هرم حجم و غيرصفر بردار سه روي شده بنا القاعدهي مثلث اب برابر خواندهايد( پايه هندسهي در آنچه )براساس است آن روي شده بنا متوازيالسطوح حجم 6 6 هرم«V«.( ) بنابراين گزينهها به نگاه و مختلط ضرب دوري بهترتيب توجه با جا اين در.( ) عبارتحاصل.( ) +.( ) 3.( ).( ) 0 ( ) 0 0 3 3 3 4 5 5 ( )( 6) ( 6) 3 ( ) 6+ 6 V.( )
47 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش C(, 6, ) B(,, ) A(,, 3) هرمي رأس چهار 6 مختصات 6 87( )آزاد است چهقدر هرم اين حجم است. )D,, (4 و 8 3 )4 6 3 )3 3 ) 4 3 ) اين هستند. مفروض و بردار سه بردار: سه بودن صفحه هم بررسي يعني باشد صفر آنها مختلط ضرب اگر تنها و اگر هستند صفحه هم بردار سه.( ) 0 همصفحهاند«و «در است صفر بردار سه مختلط ضرب وقتي كه است اين قضيه اين دليل در اين و بود خواهد صفر بردار سه آن روي شده بنا متوازيالسطوح حجم واقع صفحه يك در بردار سه يعني باشد صفر آن ارتفاع كه است امكانپذير صورتي باشند. واقع (,, ( بردار سه هر بر كه دارد وجود طول به بردار 7 چند 7 )88 )آزاد باشد عمود ( 0, 3, 5) و (,, ) بيشمار )4 )3 ) صفر ) كند. بيدار را خفته انرژى بايد شكست روالنرومن ميكنيم: محاسبه را آنها مختلط ضرب سپس و ساخته بردار سه نقاط اين با ابتدا 4 6 6 AB ( 0, 0, ), AC ( 0, 4, ), AD (, 0, ) 0 0 AB.( AC AD) 0 4 0 0 0 4 ( )( 8) 6 0 0 هرم«V«AB AC 6 AD.( ) 6 6 8 3 يعني پيكان نه است بردار از بحث اينجا در كه شوم يادآور است الزم اوال 7 7 بردار سه بر برداري صورتي در ثانيا است. مختصات مبدأ آنها همهي ابتداي خطي زيرا باشند. صفحه هم موردنظر بردار سه كه است عمود ديگر غيرهمراستاي در كه خطوطي تمام بر نتيجه در و دو آن صفحهي بر باشد عمود متقاطع خط دو بر كه بود. خواهد عمود دارند وجود صفحه آن ميكنيم. بررسي آنها مختلط ضرب با را بردار سه بودن صفحه هم ابتدا جا اين در.( ) 3 5 0 5 0 3 0 3 5 ( 0+ 6) ()( 5) ( )( 3) 8+ 5+ 3 0 نتيجه در و بردار سه اين صفحهي بر كه دارد وجود طول به قرينه بردار دو بنابراين عمودند. بردارها اين سهي هر بر اگر ضمن در بود. صفر تست اين پاسخ نبودند صفحه هم بردار سه اگر كه كنيد توجه بود. بيشمار پاسخ نميشد ذكر بردار طول
اهرادرب فصل 48 ميشود: اثبات خارجي ضرب از استفاده بار دو با برداري: مضاعف ضرب ( ) (. ) (. ) داخل در سوم و دوم بردارهاي درصورتيكه فرمول اين خاطرسپاري به براي كنيد: عمل بدينگونه مرحله دو در ميتوانيد ( ( )مثا ( باشند پرانتز برداري«:»عبارت ( ) بازنويسي چنين آنها بهترتيب توجه با را پرانتز داخل بردار دو اول مرحلهي ( ) ( ) كنيد: ار ديگر بردار دو داخلي حاصلضرب نقطهچين بهجاي دوم مرحلهي (.) (.) بنويسيد: ( ) (. ) (. ) ديگر مثالي عنوان به جابهجا با ابتدا بودند پرانتز داخل دوم و اول بردارهاي اگر كه كنيد توجه شده ذكر حالت به را آن شدن( قرينه البته )و سوم بردار با بردار دو اين كردن مثا دهيد. انجام را عمليات سپس و درآوريد ( ) ( ) [ (.) (. ) ] (.) (.) است كدام ( ) + ( ) + (. ) حاصل باشد 8 اگر 8 ( ))4 ( ))3 ( )) (,, 0) و ( 0,, ) (,, 3 ) است بردار كدام ( ) حاصل باشد. و ( )) بردار 9 سه 9. اگر 6 مفروضاند. ( 6, 7, )) ( 6, 5, )) ( 6, 7, ) )4 ( 6, 5, ) )3 نكتهي چند ادامه در بردارها: خارجي ضرب مورد در نكته چند ميكنيم. ذكر دارند وجود شما درسي كتاب تمرينهاي در كه را پراكنده IÄ ( ) باشد غيرصفر بردارهايي و اگر K بازنويسي سپس و مضاعف ضرب دوم عبارت در پرانتز كردن جابهجا با 3 8 8 داخلي ضرب قالب در آنها 0 ( ) ( ) + (.) (.) (.) [ (.) (. ) ]+ (. ) عبارتها كردن ساده با و است. نتيجه 0 در چون اما u ø µø عبارتحاصل (. ) (.) عبارتحاصل ( ) 6 ( ) (.) (. ) 9 9 ( 0 )(,, ) 6 (,, 0) ( 0,, ) ( 6, 6, 0 ) (-6, 5, )
49 بخش 3 اهرادرب يجراخ برض كه بديهي است اما در مورد دومي با قرار دادن بردارها در o ( ) o ( ) )وضعيت يك طرف تساوي 99 توجه كنيد كه تست 7 مفهومي عكس اين قضيه را مورد سؤال قرار داده ( ) بود يعني اگر باشد در تست 7 تمام نقاط روي DC روي خطي موازي AB واقع هستند در AB AM AB AM AB AM M و... روي DC M نتيجه به ازاي نقاط»ثابت«باشد كدام گزينهي زير در حالت باشد.. و o 30 اگر 30 كلي صحيح است )4 o )3 o ). 0 ) و d d d ( d) ( ) اگر K و d بردارهايي غيرصفر باشند بهطوريكه )با كم كردن طرفين تساوي برداري از هم و سپس مرتب كردن و فاكتورگيري مناسب d d ( ) ( ) d ( ) ( ) d o ( ) d ( ) o ( d) ( ) o ( d) ( ) 3 براي 3K سه بردار و + + o )يك بار دو طرف تساويo + + را در بردار و يك بار در برداري + + o ( + + ) o ديگر مثا ضرب خارجي ميكنيم. + o () I + + o ( + + ) o + o ( II) ( I, II) 30 30 I) IÄ II).. IÄ ( ) ( ) واضح است كه اشتراك I و II حالت است. در نتيجه با اين فرض گزينهها را بررسي ميكنيم: 3 و 4@ اينها حالتهاي خاصي از هستند كه در شرايط كلي الزاما صحيح نيستند. o,. و @ مشاهده ميشود كه در مورد ضرب داخلي حاصل در حالت كلي صفر نيست اما در مورد ضرب خارجي همواره چنين است.
اهرادرب فصل 50 0شكل دوم طرف تساوي در نيز اينجا در كه كنيد توجه ضرب اولين اگر مثا دارد. اهميت بردارها دوري ترتيب با بگيريم نظر در قضيه اين صورت برخلاف را عقربههاي حركت جهت در دايرهاي در بردار نوشتن )0 شكل )براساس ساعت + + وo اگر مفروضاند. و غيرصفر بردار 3 سه 3 نيست صحيح گزينه كدام باشد ( ) ) ( r ) r ) )4 )3 ( ) + ( ) + ( ) o همصفحهاند«و «و بردار سه 4 براي 4K ميكنيم: داخلي ضرب بردار مثا بردارها از يكي در را تساوي طرف )دو 0 0 0.( ) +.( ) +.( ). o.( ) 0 ( m,, ) همصفحهاند«و «0 طوريكه به + + o بدانيم 3 اگر 3 چيست m مقدار باشد (,, ) 4 8 و (,, 4) -3 )4 3 )3 - ) ) گزينهها بررسي با 4 3 3 IÄ زيرا است درست گزينه اين @ ( ) است. بردار از حقيقي مضربي موردنظر حالت دو هر در كه + + o + ( + ) زيرا است درست نيز گزينه اين @ زيرا است درست نيز گزينه اين @ 3 I) + + o o o II) صفر نيز و مثل ديگر خارجي ضربهاي تمام است o وقتي اما نخواهد مطرح بردارها خارجي ضرب در دوري ترتيب ديگر اينها در يعني بود. خواهد است. مثا نتيجه در و بود الزاما نميتوان از كه است واضح نكتهي به توجه با زيرا نيست صحيح @ 4 نميكند. كمكي موضوع اين اثبات در نيز + + طرفيo از و است كه گرفت نتيجه و هستند همصفحه و بردارهاي 4 نكتهي به توجه با 3 3 3 m 0 4.( ) 0 4 m ( ) 4 0 + 0 0 8 4 8 4 8 m( 6 8) + ()( 8 6) 0 m 3
5 برض يجراخ اهرادرب 3 بخش ( ) ( ) ( ) و بردار سه 5 براي 5K + + o آنها كردن ساده سپس و مضاعف ضرب مفهوم از استفاده )با (.) (. ) + (. ) (.) + (.) (.) o شود. رعايت و بردارهاي دوري ترتيب بايد نيز اينجا در كه كنيد توجه است كدام ( ) + ( عبارت( 33 حاصل 33 ( ))4 ( ))3 ( )) ( )) بگيريم: نظر در را s و r q p دلخواه بردار چهار 6 اگر 6K ( p s, q s, r s) همصفحهاند«و «محاسبه را ). ( مختلط حاصلضرب است كافي قضيه اين اثبات در شد. خواهد صفر با برابر كه كنيم و p q+ q r+ r p رابطهيo غيرصفر بردارهاي از مجموعهاي 34 در 34 زير گزينهي كدام است. برقرار r s و q s p رابطههايs نيست صحيح s. s. s. ) s s s).( ) 0)4 p.( q r) 0)3 5 نكتهي به توجه با 33 33 ( ) + ( ) + ( ) o ( ) + ( ) ( ) ضرب منفي يك در را بردار كل بايد عبارت در و بردار دو كردن جابهجا با اما برداريعبارت ( ) نتيجه در كرد. حيحص 4گزينهي 6 نكتهي به توجه با و 3گزينهي 4 نكتهي به توجه با 34 34 اوليه بردارهاي از يك هر بر خارجي ضرب راستاي كه اين به توجه با ضمن در است. نداريم. گزينهي صحت براي دليلي اما است صحيح گزينهي است عمود