ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΤΗ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΗΜΕΡ/ΝΙΑ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 ΚΑΘ/ΤΗΣ ΣΠΑΝΟΣ Σ. ΒΑΘΜΟΣ: /100, /20 (1) (α) Να αποδείξετε ότι: Δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. (Μονάδες 10) (β) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λανθασμένες (Λ). (i) Δύο ισοσκελή τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι ίσα. (ii) Ένα σκαληνό τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες του άνισες. (iii) Δύο ισόπλευρα τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι ίσα. (iv) Όλες οι γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι άνισες. (v) Αν σε δύο κύκλους οι χορδές ΑΒ και ΓΔ αυτών είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα τόξα και ΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 10) (γ) Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. (i) Τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ με β γ είναι πλευρές τριγώνου όταν : (Α) α β γ (Β) α β γ (Γ) α β γ (Δ) β γ α β γ (ii) Σε τρίγωνο Δ AΒΓ ή ΑΔ είναι η εσωτερική και η ΑΕ η εξωτερική διχοτόμος της. Το μέτρο της γωνίας Ε ΑΔ Ω είναι : (A) 60 (B) 30 (Γ) 120 (Δ) 90 (Ε) 45 (Μονάδες 5) [1]
(2) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία ε παράλληλη προς την ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. (3) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο, ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΡΑΜ και PMB είναι ίσα. β) οι γωνίες ˆ και ˆ είναι ίσες. (4) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90ο ) με ΒΔ διχοτόμο και ΑΚ ύψος, που τέμνονται στο Ε. Η κάθετη από το Ε στην ΑΒ τέμνει τις ΑΒ και ΒΓ στα Η και Ζ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ είναι ίσα. ii. Το τρίγωνο ΒΚΗ είναι ισοσκελές τρίγωνο. iii. Οι ΑΖ και ΒΔ είναι κάθετες. β) Αν επιπλέον το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές, να αποδείξετε ότι η ΓΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ. [2]
Απαντήσεις Θέμα 1 O (α) Είναι η απόδειξη του θεωρήματος ΙΙΙ της ενότητας 3.6 (β) (i) Λ (ii) Σ (iii) Σ (iv) Λ (v) Σ (γ) (i) Είναι το θεώρημα της ενότητας 3.12 (ii) Είναι από το θεώρημα ΙΙΙ της ενότητας 2.16 Θέμα 2 O α) Έχουμε = (1) ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες των παραλλήλων ε, ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ. Ακόμη = (2) ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες των παραλλήλων ε, ΒΓ που τέμνονται από την ΑΓ. Όμως = (3) διότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επομένως από τις (1), (2), (3) έχουμε = και συνεπώς το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ. Αυτά έχουν: ΑΕ = ΑΖ διότι από το ερώτημα (α) το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές ΑΔ = ΑΔ ως κοινή πλευρά = διότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως από το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. [3]
Θέμα 3 O α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ. Αυτά έχουν: ΡΜ = ΡΜ (κοινή πλευρά) ΡΑ = ΡΒ (ως εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού) = (η διάκεντρος ΟΡ διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων). Επομένως από το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ είναι ίσα, επομένως: = (1). β) Φέρνω τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ οι οποίες είναι κάθετες στα εφαπτόμενα τμήματα στα σημεία επαφής. Οπότε: = = 90 ο. Επομένως έχουμε: = + = + = Θέμα 4 O α) i) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα EHA και EKZ. Αυτά έχουν: = = 90 o = (ως κατακορυφήν) ΕΗ = ΕΚ (Ε σημείο της διχοτόμου, άρα ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ΒΑ, ΒΓ). Επομένως από κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα ΗΕΑ και ΕΚΖ είναι ίσα. [4]
ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα EHB και EKB. Αυτά έχουν: = = 90 o = BE = BE (κοινή πλευρά). Επομένως από κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα ΕΗΒ και ΕΚΒ είναι ίσα και άρα ΒΗ = ΒΚ. Συνεπώς το τρίγωνο ΒΚΗ είναι ισοσκελές. iii) Από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΗΚ έχουμε ΒΗ = ΒΚ (1). Από το i ερώτημα έχουμε ΗΑ = ΚΖ (2). Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε ΒΑ = ΒΖ, συνεπώς το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές με ΒΔ διχοτόμο, άρα και ύψος, δηλαδή ΒΔ ΑΖ. β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε τις διχοτόμους ΒΔ και ΑΚ (αφού ΑΒΓ ισοσκελές με ΑΚ ύψος) να τέμνονται στο Ε, άρα το Ε είναι έκκεντρο του τριγώνου, οπότε και ΓΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ. [5]