11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ημ ) + σφ =, g( ) ημ ημ = και h( ) ημ( ) αποδειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και η h ούτε άρτια ούτε περιττή Να εξετασθεί αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση f με τύπο: i f ( ) = εφ + σφ συν συν ii f ( ) = + 1 ημ 1+ ημ ημ ημ iii f ( ) = + 1 συν 1+ συν Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες α) f ημ + συν + β) f = συν ( ) = 1 ( ) + συν + συν + συν γ) f ( ) = δ) ( ) + ημ = 1+ συν f 4 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές α) f ( ) ημ + β) f = ημ + εφ γ) f ημ5 + ημ δ) f = ημ εφ = ( ) ( ) = ( ) = Να 57
5 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές i f ( ) = ημ συν ii f( ) = συν + συν + iii f ( ) = ημ iv f( ) = ημ + ημ 4 4 Να δείξετε ότι η συνάρ 6 τηση: i f ( ) = ημ( συν) είναι άρτια ii g ( ) = συν ( ημ) είναι περιττή 7 Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f ( ) = ημ συν + 1 έχει περίοδο τον αρι θμό T = π β) Η συνάρτηση f ( ) = εφ + σφ έχει περίοδο τον αριθμό T = π γ) Η συνάρτηση f ( ) συν = έχει περίοδο τον αριθμό T = π 4 δ ) Η συνάρτηση f ( ) = 1 ημ έχει περίοδο τον αριθμό T = π ( ) g ( ) συν ημ 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f = ημ και = Να αποδειχθεί ότι είναι περιοδικές με περίοδο αντίστοιχα T = π (για την f) και T = π (για τη g) 9 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( ) είναι σταθερή 1 1 f = 1+ σφ 1 + εφ + με ημ συν κπ, κ Ζ Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσ ις είναι σταθερές 10 ε 4 4 i f = ημ + συν + ημ συν ii g ( ) εφ ( ) = + ( συν + 1) 1+ εφ 11 Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των σ υναρτήσεων: α) f ( ) 4ημ β) γ) f ημ δ) = f ( ) = συν ( ) = f ( ) = 5συν 1 Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων: α) f ( ) ημ β) γ) f ( ) 5ημ = f ( ) = συν = δ) f ( ) = συν 58
1 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων : i) f() = ημ, g() = 0,5ημ, h() = -ημ, 0 π ii) f() = συν, g() = 0,5συν, h() = -συν, 0 π 14 Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = ημ και στην συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g() = 1+ημ και h() = -1+ημ 15 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f( ) = ημ και g() = ημ, 0 π 16 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f( ) = συν και g() = συν, 0 π 17 Έστω η συνάρτηση f() = ημ Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου 18 Έστω η συνάρτηση f() = συν Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου 19 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i) f() = εφ ii) g() = 1+εφ iii) h() = -1+εφ 0 Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() = εφ Να βρείτε την περίοδο τιμή των συναρτήσεων 1, τη μέγιστη και την ελάχιστη i f( ) = συν ii f ( ) = ημ ( ) 5 Να σεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f() = εφ β) f() = εφ γ) f() = -1+εφ δ) f() = εφ 4 59
Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 1 f ( ) = ημ, g( ) = ημ και h ( ) = ημ (όλες με 0 4π ) 4 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f = συν g( ) = + συν και h( ) = συν ( ), 5 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = ημ g ( ) = συν + f και 4 6 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = εφ + g ( ) = σφ f και 4 7 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) h( ) = σφ ( ) 8 Δίνεται η συνάρτηση f = αημ, με α > 0 η οποία έχει μέγιστο το α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και την τιμή του α β) Να βρείτε την περίοδο της f g = f γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των f ( ) και ( ) ( ) δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 4 είναι αδύνατη = + σφ, g = + σφ και ( ) 9 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) M( π, ), να βρείτε: α) την περίοδο της f β) το μέγιστο και το ελάχιστο της f γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = ημ α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f β) Να βρείτε τα ακρότατα της f γ) Να βρείτε την περίοδο της f = ασυν διέρχεται από το σημείο C g( ) f ( ) δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f καθώς και της συνάρτησης f στο ίδιο σύστημα αξόνων 60 =,
1 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ημ( π ) + συν f α) Να αποδείξετε ότι f ( ) = ημ και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση C f της f δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f ( ) = 4 έχει λύση Δίνεται η συνάρτηση f ( ) συν ( π ) + συν ( π + ) α) Να αποδείξετε ότι f ( ) = συν = β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α, την περίοδο και τα ακρότατα της f γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση C f της f ( ) δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i g = f ii g ( ) = f ( ) + 1 ( ) ( ) iii g ( ) = f iv g ( ) = f + π Στο παρακάτω σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση μιας τριγωνομετρικής περιοδικής συνάρτησης f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f ( ) β) Στο ίδιο ή σε άλλο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i 1 g ( ) = f ( ) ii h ( ) = f 4 iii φ( ) = f + 4 iv ω ( ) = f ( ) π ( ) 61
4 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) β + ρ ημ ( α ) =, α) Να βρείτε τις τιμές των α, β και ρ β) Για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή; ) Να εξετάσετε αν η f, A, είναι περιοδική γ ( ) 5 Να βρείτε τις συναρτήσεις που έχουν γραφικές παραστάσεις τις γραμμές που φαίνονται στα σχή ματα α) 6
β) 6 Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών: 7 Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα 6
y y y 1 0 1 1 0 1 0 4 (α) (β) (γ) 8 Η παλίρ ροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με την συνάρτηση y π = ημ t, όπου y το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες 6 i) Να βρείτε την χαμηλότερη άμπωτη υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και την ii) Nα κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t 1 9 Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα 1m Όταν 1 το παιγνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του από το πάτωμα σε μέτρα είναι h = 1+ συνt, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα i) Να υπολογίσετε την διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο ύψος ii) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t π Αν 40 i ii π < < < π 1, να συγκριθούν οι αριθμοί: 1 συν και συν π σφ 1 και π σφ 64
41 Δ ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει η σχέση 4f ( ) f ( ) = ημ για κ άθε R Να αποδειχθεί ότι η f είναι περιττή 4 Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή όταν: i f ( ) = + εφ ii f ( ) = ημ + συν 5 iii f ( ) = συν ( ημ) iv f ( ) = ημ v f ( ) = ημ( εφ) vi f( ) = ημ + vii f( ) = α + β + ημ α+ β, όπου α, β 1 ημ, > π viii f ( ) = ημ ( ημ) i f( ) = π, π π 1 + ημ, < π 1 4 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ( ) ( ) ( π) συν( π ) 1+ συν π ημ π + = + ημ + α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f και να απλοποιήσετε τον τύπο της β ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = π είναι περίοδος της f π ημ ( ) 44 Δίνεται η συνάρτηση ( ) + + ημ π + 1 = + ημ( + π) + συν( π) f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f γ ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = π είναι περίοδος της f 45 Να αποδειχθεί ό τι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι περιοδικές: f = + i ( ) ii g( ) = + 65
46 Αν η συνάρτηση ( ) f = ασυν με α, β > 0 έχει μέγιστο το και περίοδο τον αριθμό β Τ = 6π, να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης β) τις τιμές f ( π) και f 47 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) M( π, ), να βρείτε: α) την περίοδο της f β) το μέγιστο και το ελάχιστο της f γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f 48 Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( λ +1) f = κ + + ημ και g( ) = ασυν διέρχεται από το σημείο ( ) κ = 6λ + 10 συν 4 Να βρείτε τις τιμές των κ και λ αν είναι γνωστό ότι έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g 49 Έστω η συνάρτηση f ( ) = γ + αημβ, α, β > 0 Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, η f έχει περίοδο Τ = και ελάχιστη τιμή το α να βρείτε τα α, β, γ 50 Να μελετηθεί η συνάρτηση f ( ) = 1 συν 51 Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 1 5 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f = ημ κα g = ημ α) ( ) ι ( ) β ) f ( ) = συν και f ( ) = συν 5 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f 1+ συν συν 0 π i ( ) = ( ) ii g( ) = 1+ ημ + ημ ( 0 π) f = + ημ ημ όπου 0 π 66
π 54 Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) κημ = αν είναι γνωστό 4 π ότι διέρχεται από το σημείο Α, 1 4 55 Να αποδεχθεί ότι είναι ημ 1 > ημ και εφ 1 < εφ όταν π < 4 1 < π < 56 Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα f 1 + f 1+ = f, για κάθε R Να αποδεί ξετε ότι: α) Η f ( ) είναι άρτια συνάρτηση β) f ( + ) = f () και f ( + 6) = f ( ), για κάθε R γ ) Ο αριθμός 6 είναι περίοδος της f f ( ) ( ) ( ) T = ( ) 57 Αν η συνάρτηση f : R R είναι άρτια και υπάρχει α > 0, ώστε η συνάρτηση g : R R με = f α να, να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο T = 4α g( ) ( ) είναι περιττή ( ) 58 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Αν υπάρχει να ισχύει f ( +Τ ) = f( ), να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική * Τ ώστε για κάθε 59 Αν ν, Α= ν + 1 ν ν ν + 1 και Β=, να αποδείξετε ότι: ν + ν 1 ν + ν + 1 i Ο αριθμός Α είναι μεγαλύτερος από το μέγιστο της συνάρτησης f ( ) = ημ ii Ο αριθμός Β είναι μικρότερος από το ελάχιστο της συνάρτησης g( ) = συν 60 Να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης f( ) = + 4 είναι ίσο με το μέγιστο π της συνάρτησης g ( ) = ημ και ότι οι C f και C g τέμνονται σε ένα σημείο με τετμημένη = 67
1 61 i) Να αποδείξετε ότι + για κάθε > 0 (πότε ισχύει το ίσον); 1 ii) Να αποδείξετε ότι το ελάχιστο της συνάρτησης f( ) = + είναι ίσο με το μέγιστο της συνάρτησης g ( ) = 1 + συν (4 π ) και ότι οι C f και C g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη 0 = 1 π 6 Αν 0 < θ <, να αποδειχθεί ότι ημθ < συνθ Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι 4 1+ 1 ημθ + συνθ =, να αποδειχθεί ότι ημθ = και συνθ = 68