Στα θέματα Φυσικής Πανελλαδικών εξετάσεων 206 προσανατολισμού (Νέο σύστημα) A. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση στην οποία το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο α) η περίοδος δεν διατηρείται για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b. β) όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα. γ) η κίνηση μένει περιοδική για οποιαδήποτε τιμή της σταθεράς απόσβεσης. δ) η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται μόνο από το σχήμα και τον όγκο του σώματος που ταλαντώνεται. A2. Όταν ένα κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης, αλλάζουν α) η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η συχνότητά του β) το μήκος κύματος και η συχνότητά του γ) το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσή δ) η συχνότητα και το πλάτος του κύματος. Αφού λοιπόν αλλάζει το μέσο διάδοσης, αλλάζει υποχρεωτικά η ταχύτητα διάδοσης, η συχνότητα του κύματος εξαρτάται από την πηγή οπότε διατηρείται σταθερή, οπότε με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξ ίωσης της κυματικής uδλf, παρατηρούμε ότι θα αλλάξει και το μήκος του κύματος.
A3. Το δοχείο του σχήματος είναι γεμάτο με υγρό και κλείνεται με έμβολο Ε στο οποίο ασκείται δύναμη F. Όλα τα μανόμετρα, 2, 3, 4 δείχνουν πάντα α) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο είναι εντός του πεδίου βαρύτητας. β) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. γ) διαφορετική πίεση, αν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. δ) την ίδια πίεση, ανεξάρτητα από το αν το δοχείο είναι εντός ή εκτός του πεδίου βαρύτητας. Σχόλιο: Το σχήμα (α) του σχολικού βιβλίου είναι λάθος, αφού το δοχείο είναι έκτος Πεδίου βαρύτητας πρέπει όλα τα μανόμετρα να δείχνουν την ίδια πίεση! Ίσως, πολλά παιδιά να μπερδεύτηκαν στο σημείο αυτό!! A4. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; 2
α) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αυξάνεται στο χρονικό διάστημα από t έως t2. β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t είναι μικρότερο από το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t4. γ) Τη χρονική στιγμή t3 η γωνιακή επιτάχυνση είναι θετική. δ) Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή t έχει αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση που έχει η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t4. Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος. Σ β) Σε κάθε στάσιμο κύμα μεταφέρεται ενέργεια από ένα σημείο του ελαστικού μέσου σε άλλο. Λ γ) Το φαινόμενο Doppler αξιοποιείται από τους γιατρούς για την παρακολούθηση της ροής του αίματος. Σ δ) Η εξίσωση της συνέχειας στα ρευστά είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης ενέργειας. Λ ε) Σκέδαση ονομάζεται κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μικρές δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Λ Β. Ένα τρένο κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου uηχ/, όπου uηχ είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα. Το τρένο κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από τη σειρήνα του τρένου ανακλάται στον κατακόρυφο βράχο. Ένας ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει δύο ήχους. Έναν ήχο 3
απευθείας από τη σειρήνα του τρένου, με συχνότητα f, και έναν ήχο από την ανάκλαση στον κατακόρυφο βράχο, με συχνότητα f2. Ο λόγος των δύο συχνοτήτων f/f2 είναι ίσος με: i. 9 ii. iii. 9 α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 2 Μονάδες 6 Σωστή η (iii) Υπολογίζουμε αρχικά τη συχνότητα f με την οποία γίνεται άμεσα αντιληπτός η ήχος από την ηχητική πηγή (τρένο) που απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα μέτρου us. f +u S + + f () Η συχνότητα του ήχου που φτάνει στο τούνελ, υπολογίζεται λαμβάνοντας το τούνελ ως ακίνητο παρατηρητή: f Τ u S 9 f T 9 (2) Ο ήχος ανακλάται στο τούνελ (δευτερογενής ηχητική πηγή) και με την ίδια συχνότητα φτάνει στον παρατηρητή με συχνότητα f2: f 2 f Τ f 2 f Τ (3) Από τις σχέσεις (2) και (3): f 2 9 (4) 4
Διαιρώντας τις σχέσεις () και (4) κατά μέλη καταλήγουμε ότι: f f 9 f 2 9 f f 2 S Β2. Σε χορδή που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x x, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που προέρχεται από τη συμβολή δύο απλών αρμονικών κυμάτων πλάτους Α, μήκους κύματος λ και περιόδου Τ. Το σημείο Ο, που βρίσκεται στη θέση xo0, είναι κοιλία και τη χρονική στιγμή t0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση της απομάκρυνσής του. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης ενός σημείου Μ της χορδής που βρίσκεται στη θέση ΧΜ9λ/8, είναι ίσο με: i. 2 2π A T ii. 2π A T α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. iii. 4π A T Μονάδες 2 Μονάδες 6 Σωστή η (i) Σύμφωνα με την εξίσωση του στάσιμου κύματος y 2Aσυν 2π x 2πt ηµ, το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου της χορδής υπολογίζεται από τη λ T σχέση: Α' 2A συν 2π x λ () Οπότε για το σημείο Μ με τετμημένη x M 9λ 8 (2) Από τις σχέσεις () και (2): Α Μ 2A συν 2π x Μ λ 2π 9λ 2A συν 8 λ 2A συν 9π 4 2A συν 2π + π 4 Α Μ 2A συν π 4 Α 2Α 2 Μ 2 Α Α 2 (3) Μ Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Μ είναι: u max,m ω A M 2π Τ Α 2 max,m 2πΑ 2 Τ 5
Β3. Στον οριζόντιο σωλήνα, του σχήματος 3, ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό έχει στρωτή ροή από το σημείο Α προς το σημείο Β. Η διατομή ΑΑ του σωλήνα στη θέση Α είναι διπλάσια από τη διατομή ΑΒ του σωλήνα στη θέση Β. Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο σημείο Α έχει τιμή ίση με Λ. Η διαφορά της πίεσης ανάμεσα στα σημεία Α και Β είναι ίση με: i. 3Λ 4 ii. 3Λ iii. 2Λ α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6 Σωστή η (ii) Η παροχή είναι σταθερή οπότε, με τη βοήθεια της Εξίσωσης της Συνέχειας, υπολογίζουμε τη σχέση ανάμεσα στις ταχύτητες ροής ua και ub: Π A A u A A B u B 2 Au A Au B B 2u A () Στη συνέχεια, η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο σημείο Α έχει τιμή ίση με Λ, δηλαδή: ΔK Δt Α 2 ρu A2 Λ (2) οπότε η αντίστοιχη η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο σημείο Β έχει τιμή ίση με: ΔK Δt Β 2 ρu 2 Β 2 ρ ( 2u Α ) 2 2 ρ4uα2 (3) Από τις (2) και (3) καταλήγουμε ότι: ΔK Δt Β 4Λ (4) 6
Με τη βοήθεια της εξίσωσης του Bernoulli, κατά μήκος της ρευματικής γραμμής που διέρχεται από τα σημεία Α και Β που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο (yy2), υπολογίζουμε τη διαφορά των στατικών πιέσεων pa και pb: p A + 2 ρu 2 p A B + 2 ρu 2 p Β A + Λ p B + 4Λ p A p B 3Λ Σώμα Σ μάζας m βρίσκεται στο σημείο Α! λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ( ΑΓ ). Η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια και ίση με R 5m. Το σώμα αφήνεται να ολισθήσει κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου. Φθάνοντας στο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου, το σώμα συνεχίζει την κίνησή του σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής μ0,5. Αφού διανύσει διάστημα S3,6m, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Δ με σώμα Σ2 μάζας m23m, το οποίο τη στιγμή της κρούσης κινείται αντίθετα ως προς το Σ, με ταχύτητα μέτρου u24m/s, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ στο σημείο Γ, όπου η ακτίνα ΟΓ είναι κατακόρυφη. Γ2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ και Σ2 αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 8 Γ3. Δίνεται η μάζα του σώματος Σ2, m23kg. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ2 κατά την κρούση (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της (μονάδες 2). Γ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ κατά την κρούση. Μονάδες 7 Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας gm/s 2. Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. 7
Γ. Στο σχήμα που ακολουθεί, το σώμα μάζας m αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από το σημείο Α, ενός λείου τεταρτοκυκλίου ΑΓ. Εφαρμόζοντας Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας υπολογίζουμε το μετρο της ταχύτητας u του σώματος τη στιγμή που διέρχεται από το σημείο Γ: E µηχ,α E µηχ,γ K A +U A K Γ + U Γ m gr 2 m u2 2gR m / s Γ2. Από το σημείο Γ μέχρι το σημείο το σημείο κρούσης Δ, το σώμα κινείται κατά μήκος του οριζόντιου επιπέδου που διαθέτει τριβή. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης είναι: ΣF y 0 N m g T µm g T µn Εφαρμόζουμε ο Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) από το σημείο Γ μέχρι το σημείο Δ, υπολογίζουμε το μέτρο της ταχύτητας u του σώματος, ελάχιστα πριν από την κρούση: K Δ K Γ W Τ 2 m u 2 2 m u2 µm g S u 2 2µgS 8m / s Επειδή η κρούση είναι μετωπική και ελαστική μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις της θεωρίας μας: u ' 2m u + m 2 2 ( m 2 )u m + m ' 2 3m ( 4 )+ ( m 3m )8 2 m + 3m 8
u ' 24m + 2m ( )8 4m ' 24m 6m 4m ' 40m 4m ' m / s αντίστοιχα u 2 ' 2m u + m ( m 2 )u 2 m + m 2 ' 2 m 8 + ( 3m m )( 4 ) 2 m + 3m u 2 ' 6m + 2m ( )( 4 ) 4m ' 6m 8m 4m ' 8m 4m 2 ' 2m / s Γ3. Υπολογίζουμε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος μάζας m2: Δ! p 2! p 2,µετα! p 2,πριν Δp 2 m 2 u 2 ' m 2 u 2 Δp 2 3 2 3( 4 ) Δp 2 8 kg m / s η φορά του διανύσματος της μεταβολής της ορμής είναι προς τα θετικά, δηλαδή προς την αρχική φορά κίνησης του σώματος μάζας m πριν από την κρούση. Η φορά του διανύσματος είναι πολύ εύκολο να βρεθεί χωρίς να κάνουμε κάποιο υπολογισμός αφού γνωρίζουμε ότι ισχύει:! F 2 Δ! p 2 Δt δηλαδή, θα είναι πάντα ομόρροπη με τη δύναμη που δέχτηκε λόγω κρούσης! Γ4. Η κινητική ενέργεια του σώματος μάζας m λίγο πριν από την κρούση είναι: K,πριν 2 m u 2 K,πριν 32 J K,µετα ΔΚ K,µετα K,πριν ΔΚ 8 J 2 m u ' 2 K,µετα 50 J ΔΚ 0% 8 900 0% % 56,25% K,πριν 32 6 Σώμα Σ, μάζας mkg, είναι δεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k0n/m. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο 9
στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ30 o. Το τμήμα ΒΓ του κεκλιμένου επιπέδου είναι λείο. Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ2kg και ακτίνας R0,m συνδέεται με το σώμα Σ με τη βοήθεια αβαρούς νήματος που δεν επιμηκύνεται. Ο άξονας του κυλίνδρου είναι οριζόντιος. Το νήμα και ο άξονας του ελατηρίου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος (μονάδες 3) και την επιμήκυνση του ελατηρίου (μονάδες 2). Τη χρονική στιγμή t0 κόβεται το νήμα. Το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Δ2. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς για το σώμα Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά την προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μονάδες 7 Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν θα έχει διαγράψει Ν2/π περιστροφές κατά την κίνηση του στο κεκλιμένο επίπεδο. Μονάδες 7 Δ4. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, κατά την κίνηση του στο κεκλιμένο επίπεδο, τη χρονική στιγμή t 3 s. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g m/s2. η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς τον άξονά του ΙCM MR 2 /2 ημ30 ο / 2. Μονάδες 6
Δ. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα και μελετάμε την ισορροπία τους: Για τον κύλινδρο ισχύει: ΣF x 0 T 2 +T S Mgηµϕ T 2 +T S () Στ 0 T 2 R T S R T 2 T S (2) Από () και (2): 2Τ 2 Τ 2 5Ν Κατά μήκος του νήματος η τάση είναι ίδια οπότε T T 2 T 5N Για το σώμα μάζας m ισχύει: ΣF x 0 F ελ T + w x kδl T + mgηµϕ 0 Δl 5 + 5 Δl 0,m Δ2. Τη χρονική στιγμή t0, κόβουμε το νήμα οπότε το σώμα μάζας m, δεν έχει ταχύτητα οπότε βρίσκεται στην ακραία θέση της ταλάντωσής του. μελετώντας και τη θέση ισορροπίας του, βρίσκουμε την επιμήκυνση Δl: ΣF x 0 F ελ ' w x kδl mgηµϕ 0 Δl 5 Δl 0,05m Οπότε, το πλάτος της ταλάντωσης Α είναι: Α Δl Δl Α 0,05m Υπολογίζουμε και την αρχική φάση φο της ταλάντωσης: x A,t0 x Aηµ(ωt +ϕ ο ) A Aηµϕ ο ηµϕ ο ηµϕ ο ηµ 3π 2 ϕ ο 2κπ + 3π 2 κ!,κ 0 ϕ ο 3π 2 Βρίσκουμε και την κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης: D k mω 2 ω k ω r / s m
Οπότε καταλήγουμε στη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του: x 0,05ηµ t + 3π 2 (S.I.) Η δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης περιγράφεται από την εξίσωση: ΣF Dx ΣF 0 0,05ηµ t + 3π 2 ΣF 5ηµ t + 3π 2 (S.I.) Δ3. Ο κύλινδρος εκτελεί συνθέτη κίνηση: ΣF x Ma cm Mgηµϕ Τ στ Ma cm Στ Ia γων Τ στ R 2 MR2 a γων Τ στ 2 Ma Mgηµϕ 3 cm 2 Ma a cm cm 3 m / s 2 και a cm Ra γων a γων 0 3 r / s 2 Τη στιγμή που έχει διαγράψει Ν2/π περιστροφές έχει γωνιακή μετατόπιση Δθ ίση με: Ν Δθ 2π 2 π Δθ Δθ 24r 2π Από το διπλανό διάγραμμα, το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν αντιστοιχεί στη γωνιακή μετατόπιση του κυλίνδρου από t0 μέχρι t. Δθ Εµβ ωt ωt 48 () 2 2
επίσης ισχύει a γων Δω Δt 0 3 ω t t 3ω 0 (2) Από () και (2):ω 3ω 0 48 ω 2 600 ω 40r / s Οπότε η στροφορμή του κυλίνδρου έχει μέτρο: L Iω 2 MR2 ω 2 2 0,0 40 L 0,4 kgm2 / s Δ4. Υπολογίζουμε το ρυθμό μεταβολής λόγω μεταφορικής και στροφικής κίνησης του κυλίνδρου: dk dt dk dt µετ + dk dt στρ ΣF u cm + Στ ω Μ a cm u cm + Ia γων ω dk dt Μ a cm u cm + 2 MR2 a γων ω Μ a cm u cm + 2 MRa γων Rω dk dt 3 2 Μ a cm u cm () Οπότε αρκεί να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή t3s το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου: u cm a cm t cm m / s (2) Από () και (2) καταλήγουμε: dk dt 0 J / s 3