( )( ) ( )( ) ( )( )

Ανάλυση ρητού κλάσµατος σε άθροισµα απλών κλασµάτων ύο ή περισσότερα αλγεβρικά κλάσµατα προστίθενται µε τον ίδιο τρόπο όπως και τα αριθµητικά κλάσµατα Παράδειγµα ( ) + ( + ) + + + + + + + Τώρα θα µάθουµε πως µπορούµε να κάνουµε το αντίστροφο ηλαδή να γράψουµε ένα ρητό κλάσµα σαν άθροισµα απλών κλασµάτων Ένα κλάσµα λέγεται απλό όταν δεν µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα δύο ή περισσοτέρων άλλων κλασµάτων ύο πολυώνυµα P( ) και κοινούς παράγοντες Ισχύει ή επόµενη πρόταση Q λέγονται σχετικά πρώτα όταν δεν έχουν Πρόταση Αν P( ), Q( ) και R( ) είναι πολυώνυµα σχετικά πρώτα και ο βαθµός του P( ) είναι µικρότερος από τον βαθµό του γινοµένου Q( ) R( ), τότε υπάρχουν πολυώνυµα A( ) και B( ) τέτοια ώστε: P ( ) A + B µε βαθ Α( ) βαθ Q( ) Q( ) R( ) Q( ) R( ) < και βαθ B( ) < βαθ R( ) Παραδείγµατα Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: ( )( + ) + 7 A( ) B( ) Έχουµε : + ( )( + ) + µε βαθ Α ( ) < βαθ ( ) βαθ B( ) < βαθ( + ) Τα A( ) και οπότε: Τότε και + 7 B είναι σταθερά πολυώνυµα αφού έχουν βαθµό µικρότερο από ένα, + 7 A B + + +

+ 7 A B + + 7 A + + B ( )( + ) + + 7 ( A+ B) + ( A B) Εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοβάθµιων όρων παίρνουµε A+ B A+ B 8 A A A B 7 A B 7 A+ B B Άρα + 7 + + Παρατήρηση Οι σταθερές Α και Β στο προηγούµενο παράδειγµα είναι δυνατόν να υπολογιστούν και ως εξής: + 7 A B + + + Είναι + 7 A( + ) + B( ) ( ) Η ( ) είναι αληθής για κάθε R, οπότε για και για έχουµε: 8+ 7 A+ B A A και + 7 A B B B αντίστοιχα Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + Παραγοντοποιώντας τον παρανοµαστή του κλάσµατος έχουµε: + A B + A( ) + B( ) ( A+ B) ( A+ B) A+ B A B A A A+ B A+ B A+ B B Άρα οπότε + + Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: ( + )

+ A B+ Γ + + Έχουµε : ( + ) αφού τα πολυώνυµα στους αριθµητές έχουν βαθµό µικρότερο από τον βαθµό των παρανοµαστών Τότε + A B+ Γ + + Α ( + ) + ( B+ Γ)( ) + + + A+ B Β Γ + Α Γ Α+ Β Α Γ Α+ Β Α Γ Β Α Γ Β Β Γ Β Α Β Α Α Άρα ( )( + ) Γ + + + Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: ( )( ) + A P() +, όπου το πολυώνυµο P( ) έχει βαθµό Έχουµε : + ( )( ) ( ) µικρότερο του τρία δηλαδή το P( ) µπορεί να είναι τριώνυµο Μπορούµε να εκφράσουµε το P( ) σαν ένα τριώνυµο της µορφής ( ) + B Γ +, όπου Β, Γ, είναι σταθερές, οπότε: P() B( ) + Γ( ) + Β Γ + + ( ) ( ) ( ) ( ) Τότε + A Β Γ + + + A( ) Β( )( ) Γ( )( ) ( ) + + + + ( + ) + ( ) + A + + Β + + Γ + A+ B A+ B+ Γ + Α+ Β Γ+ Α+ Β Γ+ Α+ Β Α+ Β+ Γ Α+ Β Γ+ Α+ Β Γ+ ( Σ)

Λύνοντας το σύστηµα ( Σ ) βρίσκουµε: Α, Β, Γ και Άρα + + + ( )( ) ( ) ( ) Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + + + + ιαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή και από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης παίρνουµε: + + + + ( + ) + + + + Παραγοντοποιούµε τον παρανοµαστή του κλάσµατος και έχουµε: + + + + + Τότε + A B + + A( + ) + B( ) + + + ( Α+ Β) + ( Α Β) Α+ Β Α Α Α Β Α+ Β Β Άρα + + + ( ) + + + + + Γενική περιγραφή Για να αναλύσουµε ένα ρητό κλάσµα διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: P Q σε άθροισµα απλών κλασµάτων I Όταν ο βαθµός του πολυωνύµου P( ) είναι µικρότερος από τον βαθµό του Q( ) κάνουµε τα εξής: Μετατρέπουµε τον παρανοµαστή Q( ) σε γινόµενο πρωτοβαθµίων και δευτεροβαθµίων παραγόντων (µε αρνητική διακρίνουσα) P( ) Κατά την ανάλυση του κλάσµατος Q( ) Σε κάθε παράγοντα του πολυωνύµου άθροισµα κ κλασµάτων της µορφής: σε άθροισµα απλών κλασµάτων : Q της µορφής ( ρ) κ αντιστοιχεί ένα

Α Α Α + + + ρ ρ ρ κ κ Σε κάθε παράγοντα του πολυωνύµου Q( ) της µορφής ( + β+ γ) λ αντιστοιχεί ένα άθροισµα λ κλασµάτων της µορφής: Β+ Γ Β+ Γ Βλ+ Γλ + + + λ + β+ γ + β+ γ + β+ γ Είναι φανερό ότι αν το πολυώνυµο Q( ) έχει ν ρίζες, (διαφορετικές ανά δύο), τότε Q( ) ( )( ) ( ν) P( ) A A Aν + + + Q( ) Εξισώνουµε το κλάσµα P Q,, απλές οπότε ν µε το άθροισµα όλων των παραπάνω απλών κλασµάτων Απαλείφουµε τους παρανοµαστές στην εξίσωση που προκύπτει και διατάσσουµε τους όρους στα δύο µέλη κατά τις φθίνουσες δυνάµεις του Εξισώνουµε τους συντελεστές των οµοβάθµιων όρων στα δύο µέλη και βρίσκουµε τις σταθερές ν II Όταν ο βαθµός του πολυωνύµου P( ) είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του Q( ) κάνουµε τα εξής: ιαιρούµε το πολυώνυµο P( ) µε το Q( ) και από την ταυτότητα της P( ) R( ) ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε Π( ) +, όπου ο βαθµός του Q( ) Q( ) πολυωνύµου R( ) είναι µικρότερος από τον βαθµό του Q( ) Ακολουθούµε την διαδικασία που περιγράφεται στην περίπτωση (I) για το R( ) κλάσµα Q( ) Άλλα παραδείγµατα Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + 8 Κ + Έχουµε + +,

οπότε + 8 + 8 + + 8 A B Γ + + Από την ( ) έχουµε: + 8 A + B + Γ ( ) ή 8 A B A B Γ A + 8 A+ B A+ B+ Γ + A + ( + ) ( + + ) + A+ B Α Α A+ B+ Γ Β Β Α 8 8 + Γ Γ Τελικά + 8 + 7 Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + Κ + + + Έχουµε + + + + + + + + + + ( + )( + + ), οπότε + + + + + + + + + A Β+ Γ + + + + + + + Από την ( ) έχουµε + A + + + + B+ Γ ή ( ) + A+ Β + Α+ Β+ Γ + Α+ Γ Α+ Β Α+ Β Α Α+ Β+ Γ Β Β Α+ Γ Α+ Γ Γ Τελικά

+ + + + + + + + + 8 Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + Κ + Έχουµε ( )( ) ( )( )( ) + + + οπότε + + + + + + A B Γ+ Ε+ Ζ + + + ( )( + )( + ) + + ( + ) Από την ( ) έχουµε: ( Α+ Β Γ Ε) + ( Α Β Ζ), + + + + + + + + + + + Α Β Γ A Β A B E A B Z οπότε Α+ Β+ Γ Α Β+ Α+ Β+ Ε Α Β+ Ζ Α+ Β Γ Ε Α Β Ζ Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε Α, Β, Γ,, Ε και Ζ 8 8 Τελικά + + + 8 8 + + + + + + + ή ( )( ) + 8 8 + ( + ) ( + ) ( ) 9 Να αναλυθεί σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων το ρητό κλάσµα: + Κ + + ιαιρώντας τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή παίρνουµε

+ + + + + + Είναι + + + + + + + + ( )( ) ( ) ( ) οπότε + + +, + + + A B Γ+ + + + + Από την ( ) παίρνουµε ( ) A + + B + + Γ+ Ή ( A Γ) ( Α Β Γ) ( Α Γ ) ( Α Β ) + + + + Α+ Γ Α Β + Γ Α+ Γ Α Β Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε Α, Β, Γ και ηλαδή + + + + Τελικά + + + + + + + + Ασκήσεις Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: 9 + + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + 9

Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + 7+ + + + + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + ( + ) + + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: 7+ + + ( + )( ) 7 Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + + + ( + ) 8 Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + + + + 9 Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + 8 + + 9 + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + 8 + 8 + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + Να αναλυθούν σε αθροίσµατα απλών κλασµάτων τα ρητά κλάσµατα: + + + + + + + + +