Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πίνακες και Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Σελίδα 2

Σκοποί ενότητας 4 2 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Συμβολισμός πινάκων και πράξεις με πίνακες 5 3 Τί σχέση έχει το Ax με τις στήλες του A ; 0 4 Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss 7 4 Αλγόριθμος Guss 7 42 Η διάσπαση A= LU 9 43 Κατασκευή του L 20 44 Επίλυση του Ax = b όταν γνωρίζω τη διάσπαση A= LU 2 45 Αν εμφανιστεί μηδενικό 22 5 Αντίστροφοι και Ανάστροφοι Πίνακες 23 5 Αντίστροφοι πίνακες 23 52 Μέθοδος υπολογισμού του αντιστρόφου (Αλγόριθμος Guss Jordn) 24 53 Ανάστροφοι πίνακες 26 Σελίδα 3

Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Γραμμικής Άλγεβρας που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή 2 Περιεχόμενα ενότητας Συμβολισμός πινάκων και πράξεις με πίνακες, Η σχέση του Ax με τις στήλες του A, Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss, Αλγόριθμος Guss, Η διάσπαση A= LU, Κατασκευή του L, Επίλυση του Ax = b όταν γνωρίζω τη διάσπαση A= LU, Αν εμφανιστεί μηδενικό, Αντίστροφοι και Ανάστροφοι Πίνακες, Αντίστροφοι πίνακες, Μέθοδος υπολογισμού του αντιστρόφου (Αλγόριθμος Guss Jordn), Ανάστροφοι πίνακες Σελίδα 4

3 Συμβολισμός πινάκων και πράξεις με πίνακες Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε «πολλούς αγνώστους», όπως για παράδειγμα το παρακάτω: 2x+ x2 + x3 = 5 4x 6x + 0x = 2 2 3 Συνήθως αναρωτιόμαστε ποια x x λύνουν ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις Αλλά με την x 3 = x2 επίλυση γραμμικών συστημάτων θα ασχοληθούμε στο επόμενο κεφάλαιο Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τα συστήματα ως κίνητρο για να εισάγουμε τους «πίνακες» Η γενική μορφή ενός συστήματος με m εξισώσεις και n αγνώστους είναι: () x + 2x2 + + nxn = b 2x 22x2 2nxn b + + + = 2 mx+ m2x2+ + mnxn = b n όπου τα ij (i ο δείκτης γραμμής και j ο δείκτης στήλης) είναι οι συντελεστές των Στο παράδειγμά μας: 2 3 2 x + x + x = 5 b 2 3 4 x+ 6 x2 + 0 x3 = 2 ( ) 2 23 2 22 Ψάχνω πιο σύντομη γραφή του συστήματος () : Αν συμβολίσω με x x x = xn 2 n και με «ανάστροφο») i-γραμμή των συντελεστών i (,,, ) 2 πχ = ( 2,,) και ( 4, 6,0) = b x j i την «οριζόντια» (εξ ου και το που διαβάζεται = με i i2 in i n Σελίδα 5

i Τότε η i-εξίσωση γράφεται, x = b i και το σύστημα γράφεται:, x = b 2, x = b 2 () : m, x = bm Θέλω ακόμα «πιο σύντομη» γραφή του συστήματος Θέλω να «πιάσω» όλους τους συντελεστές ij b b2 σε ένα «τετραγωνικό αντικείμενο» A και να γράφω το σύστημα ως A x= b με b = και bm A 2 n 2 22 2n = m m2 mn πχ A 2 = 4 6 0 Αντικείμενα σαν τον A τα ονομάζω «πίνακες» και τα ορίζω παρακάτω: Ορισμός (Πίνακας): Πίνακας m n είναι ένα σύνολο mn πραγματικών αριθμών ij, i =,, m, j =,, n διατεταγμένων σε m γραμμές και n στήλες (ορθογώνια διευθέτηση m n στοιχείων του συνόλου ( ή )) Ο m n πίνακας A 2 n 2 22 2n = m m2 mn γράφεται και ως = A ij i= j = Το σύνολο όλων των m n πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς το συμβολίζουμε με M m n ( ) Αν τα στοιχεία του πίνακα είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε το σύνολο των πινάκων το συμβολίζουμε με M ( ) m n Ορισμός: Ένας n πίνακας λέγεται πίνακας γραμμή ( ) α α πίνακας λέγεται πίνακας στήλη 2 M m α m α α α M 2 n n Ένας m Σελίδα 6

Ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν λέγεται μηδενική πίνακας και συμβολίζεται με 0 0 = m n 0 0 Ορισμός: Δύο πίνακες A= ij, B = β ij αντίστοιχα στοιχεία ίσα δηλαδή = b ij ij M, θα λέμε ότι είναι ίσοι (Α=Β), αν έχουν τα m n Πρόσθεση δύο m n πινάκων: Έστω A= ij και B= b ij δύο m n πίνακες Τότε ορίζω + b n + b n A+ B= ij b B = + ij m + bm mn + b mn (αθροίζω κατά συντεταγμένες) Πολλαπλασιασμός με λ R λ λ n Ορίζω τον πίνακα λ A = λm λ mn Σελίδα 7

Κανόνες πράξεων: Αν A, B, C m n πίνακες, και λµ, : A+ B= B+ A ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) m n O : A+ O= A m n A, A ( A): A+ ( A) = O λ ( µ A) = ( λ µ ) A ( λ + µ ) A= λ A+ µ A λ ( A+ B) = λ A+ λ B Σύμβαση: Τα διανύσματα του όχι ως γραμμές Αν θέλουμε να γράψουμε το ( ) x = x,, x n (διαβάζουμε x ανάστροφο) 0 0 O= n 0 0 m n τα γράφουμε ως πίνακες με μια στήλη, δηλαδή ως n πίνακες, x x = ως γραμμή το συμβολίζουμε με x n Θέλω η αριστερή πλευρά γραμμικού συστήματος να γράφεται ως A x Άρα πρέπει να ορίσω πολλαπλασιασμό πίνακα επί διάνυσμα, τέτοιο που το αποτέλεσμα να δίνει την αριστερή πλευρά του συστήματος x Ορισμός (Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα): Έστω γραμμή την i ( ) = Έστω, i in x R n x x = x n A= ένας m n πίνακας με i- ij Ορίζουμε A x m R ως: A x=, x x + 2x2 + + nxn 2, x 2x 22x2 m συnτετγmέnες + + = m, x mx+ m2x2+ m Σημείωση: Για να μπορώ να πολλαπλασιάσω A και x πρέπει: το πλήθος στηλών του A = το πλήθος συντεταγμένων του x Σελίδα 8

Σχήμα Μνημονικός κανόνας Σελίδα 9

3 Τί σχέση έχει το Ax με τις στήλες του A ; Αν ονομάσουμε i i 2i = mi m την i-στήλη του A τότε: x + x + x x 2 2 2 2 2 2x 22x2 2x 22x2 Ax + + x x2 m m2 m x+ m2x2+ m x m2x 2 = = + + = + + = x + x 2 2 Δηλαδή, Το Ax είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A με συντελεστές τις συντεταγμένες του x Κανόνες πράξεων: A ( x + y) = Ax + Ay A ( λx) = λ ( Ax) ( A + B) x = Ax + Bx ( λa) x = λ ( Ax) Παραδείγματα: Μοναδιαίος 0 0 0 x x 0 = x n x n 0 0 I n In x= x x Ο I n είναι ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας Διαγώνιος λ 0 0 λx 0 x λ2x2 0 = x n 0 0 λ n λnxn Σελίδα 0

Στοιχειώδης ( ) E λ x 0 0 x x i 0 xi λxj λ 0 = + x n xi+ 0 0 x n Ορισμός: Έστω ένας πίνακας A M Ο Α θα λέγεται: n Συμμετρικός αν ο πίνακας Α συμπίπτει με τον ανάστροφο του, δηλαδή b c Ο πίνακας A= b d e είναι συμμετρικός, πράγματι c e f 2 Αντισυμμετρικός (ή στρεβλά συμμετρικός) αν A = A 0 b 2 Ο A= 0 c είναι αντισυμμετρικός, πράγματι b c 0 3 Ορθογώνιος αν A A= A A = I n A = A b c A = b d e = A c e f 0 b A = 0 c = A b c 0 3 Ο 0 0 A = 0 0 0 0 Επίσης ορίζουμε πολλαπλασιασμό πινάκων μεταξύ τους Ορισμός (Πολλαπλασιασμός πίνακα με πίνακα): Έστω A m n πίνακας και B ένας n q πίνακας Ο πίνακας C γραμμής του A με j-στήλη του B i = AB θα είναι m q και ορίζεται ως C =, b (εσωτερικό γινόμενο i- Σημείωση: Για να πολλαπλασιάσω A με B πρέπει: Πλήθος στηλών A = πλήθος γραμμών B ij j Σελίδα

Σχήμα 2 Μνημονικός κανόνας Σχήμα 3 Παράδειγμα εφαρμογής του μνημονικού κανόνα Παρατήρηση: Η «j-στήλη του AB» ισούται με A «j-στήλη του B» Δηλαδή ( AB ) j = AB j Σελίδα 2

Σχήμα 4 Παρατήρηση ( AB ) j = AB j Σελίδα 3

Κανόνες πράξεων: Έστω A m n, B n q, C q s, ( AB ) C= A ( BC ) A ( B+ D) = AB + AD ( A+ E) B= AB + EB ( λ A)( µ B) = λ µ AB D n q, E m n Προσοχή: Γενικά ισχύει AB BA n n!!! Σχήμα 5 Παράδειγμα, AB BA Παραδείγματα: Μοναδιαίος 0 In = ( In A) j = In j = j 0 Διαγώνιος In A A = και ( AI n) j = Ae j = j AI n = A Από αριστερά: 2 2 22 λ 0 0 0 λ2 0 λ 0 n λ λ2 λ22 λ2 22 Το λ i συντελεστής της i-γραμμής Σελίδα 4

Σελίδα 5 Από δεξιά: 2 λ λ 2 2 22 2 2 2 2 22 λ λ λ λ Το i λ συντελεστής της i-στήλης Σχήμα 6 Στοιχειώδης ( ) E λ

Πίνακες μεταθέσεων Έστω P προκύπτει από μοναδιαίο πίνακα με εναλλαγή i- και j-γραμμής Τότε P A εναλλάσσει i- & j-γραμμή του A και A P εναλλάσσει i- & j-στήλη του A Παράδειγμα: I 0 0 = 0 0 Εναλλάσσοντας την η με τη 2η γραμμή προκύπτει ο 0 0 0 0 P = 0 0 0 0 Έστω 2 3 A = 4 5 6 Παρατηρούμε ότι: 7 8 9 0 0 2 3 4 5 6 P A= 0 0 4 5 6 2 3 = 0 0 7 8 9 7 8 9 ενώ 2 3 0 0 2 3 AP = 4 5 6 0 0 = 5 4 6 7 8 9 0 0 8 7 9 Σελίδα 6

4 Γραμμικά Συστήματα: Ο Αλγόριθμος Guss Έστω το ακόλουθο γραμμικό σύστημα: 2x + x + x = 5 2 3 4x 6x = 2 2 2x + 7x + 2x = 9 2 3 Στόχος: Να βρω τις λύσεις, δηλαδή τα x x = x2 x 3 που ικανοποιούν και τις τρεις εξισώσεις Η διαδικασία επίλυσης βασίζεται στην αρχή ότι οι λύσεις του συστήματος δεν αλλάζουν αν: Αλλάξω τη σειρά των εξισώσεων Πολλαπλασιάσω μία εξίσωση με λ x, = b λx, = λb Προσθέσω σε μία εξίσωση πολλαπλάσιο μίας άλλης εξίσωσης, x = b, x = b 2 2, x = b2 + λ, x = b+ λb2 Ο αλγόριθμος Guss προτείνει ένα συγκεκριμένο τρόπο να κάνω τέτοιες «γραμμοπράξεις» ώστε να καταλήξω σε λύση Κατ αρχάς το σύστημα γράφεται ως Ax 4 Αλγόριθμος Guss = b με Πρώτα παίρνουμε τον A και κολλάμε από δεξιά το b 2 A = 4 6 0 2 7 2 και 5 b = 2 9 [ A b] Στο παράδειγμά μας σχηματίζεται ο 2 5 4 6 0 2 2 7 2 9 Ακολούθως κάνουμε γραμμοπράξεις στον «διευρυμένο» A με την εξής σειρά: ο βήμα: Αν 0 το ονομάζουμε πρώτο οδηγό Προσθέτουμε κατάλληλα πολλαπλάσια της πρώτης γραμμής (την οποία κρατάμε αναλλοίωτη) στις επόμενες, έτσι ώστε να μηδενιστούν τα στοιχεία κάτω από τον πρώτο οδηγό Δηλαδή: στην i γραμμή προσθέτω της πρώτης γραμμής i Σελίδα 7

2 5 2 5 4 6 0 2 γ2 ' = γ2 2γ 0 8 2 2 2 7 2 9 γ3 ' = γ 0 8 3 4 3 + γ 2 ο βήμα: Αν το δεύτερο στοιχείο της διαγωνίου (που προέκυψε μετά το ο βήμα) ' 0 22 το ονομάζω δεύτερο οδηγό Κρατάω τις δύο πρώτες γραμμές και προσθέτω κατάλληλα πολλαπλάσια της δεύτερης γραμμής (της γραμμής του οδηγού!!) στις επόμενες ώστε να μηδενιστούν τα στοιχεία κάτω από το δεύτερο οδηγό 2 5 2 5 0 8 2 2 3'' 3' 2' 0 8 2 2 γ = γ + γ 0 8 3 4 0 0 2 Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται, (υπό την προϋπόθεση ότι τα διαγώνια στοιχεία που συναντώ είναι 0 ) μέχρι να φθάσω δεξιά σε άνω τριγωνικό πίνακα (τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο είναι 0 ) και πάνω στη διαγώνιο έχει τους οδηγούς Αυτόν τον ονομάζω U Στο παράδειγμά μας, όπου ο A είναι 3 3 άρκεσαν δύο βήματα Αν A n nχρειάζονται n βήματα του Αλγορίθμου Guss Παράλληλα το b έχει μετασχηματιστεί σε κάποιο c : [ A b] [ U c] Οι λύσεις του Ax = b είναι ακριβώς οι λύσεις του Ux = c Το πλεονέκτημα είναι τώρα ότι μετατρέποντας το σύστημα σε τριγωνικό, μπορούμε να το λύσουμε εύκολα με «ανάδρομη αντικατάσταση»: Ux = c : 2x + x + x = 5 2 3 8x 2x = 2 2 3 x 3 = 2 Αντικαθιστώντας την τελευταία στην προτελευταία παίρνουμε: 8x 4 = 2 x = 2 2 Αντικαθιστώντας στην πρώτη: 2x + + 2= 5 x = Συμπέρασμα: Αν για κάποιο n n πίνακα A κατά την εφαρμογή του Αλγορίθμου Guss δε συναντήσω μηδενικό και βρω, λοιπόν, ένα πλήρες σύστημα οδηγών (δηλαδή n οδηγούς 0 ), Σελίδα 8

τότε το σύστημα Ax = b θα έχει ακριβώς μία λύση για οποιοδήποτε b Ονομάζω αυτή την περίπτωση μη ιδιόμορφη 42 Η διάσπαση A= LU Στο ο βήμα του Guss μετατρέψαμε με γραμμοπράξεις τον A σε A ' Οι γραμμοπράξεις αυτές μπορούν να εκφραστούν με πολλαπλασιασμούς του A με στοιχειώδεις πίνακες από αριστερά: 0 0 0 0 A' = 0 0 2 0 A 0 0 0 ' ' γ γ γ γ γ γ 3' = 3+ 2' = 2 2 Στο 2 ο βήμα πήραμε από τον A ' τον U πάλι με γραμμοπράξεις: U 0 0 = 0 0 A' 0 ' γ γ γ 3'' = 3' + 2' Συνολικά λοιπόν παίρνουμε: U 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 2 0 A 0 0 0 0 ' 00 L' = 20 Στο γινόμενο L ' οι συντελεστές «χάνονται» γενικώς (Εδώ είναι σύμπτωση ότι κάποιοι διατηρήθηκαν) Για να αντιστρέψω ένα μετασχηματισμό i j j i πρόσημο του λ: + λ λ i i j + λ αρκεί να τον «ξανακάνω» με αντίθετο Αν ακυρώσω τον τελευταίο μετασχηματισμό που έκανα παίρνω: 0 0 0 0 0 0 0 0 U = 0 0 2 0 A 0 0 0 0 Αν ακυρώσω έναν έναν και τους υπόλοιπους: Σελίδα 9

0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 U 0 0 0 0 = A Οι στοιχειώδεις πίνακες εμφανίζονται με ανάποδη σειρά και περιέχουν τα αντίθετα των συντελεστών του αλγορίθμου Guss 0 0 Αν σχηματίσω τώρα το γινόμενο L = 2 0 θα δω ότι τα αντίθετα των συντελεστών διατηρούνται στον L και βρίσκονται στην ίδια θέση με το στοιχείο που «μηδένισαν» στον A (για να προκύψει ο U ) Αυτό δεν είναι σύμπτωση: αποδεικνύεται ότι ισχύει γενικά Επομένως: Αν για κάποιο n n πίνακα A κατά τον Αλγόριθμο Guss δε συναντήσω μηδενικά, αν έχω δηλαδή πλήρες σύστημα οδηγών, τότε θα υπάρχουν: Κάτω τριγωνικός πίνακας L n n με στη διαγώνιο και τα αντίθετα των συντελεστών κάτω από τη διαγώνιο Άνω τριγωνικός U n n με τους οδηγούς στη διαγώνιο, τέτοιοι ώστε A= LU 43 Κατασκευή του L Τον φτιάχνω παράλληλα με τον αλγόριθμο Guss θέτοντας το αντίθετο του συντελεστή που χρησιμοποιώ για να μηδενίσω ένα στοιχείο του A στην αντίστοιχη θέση του L Παράδειγμα: 2 0 2 4 2 0 2 4 4 2 2 0 0 2 2 8 από αυτόν τον μετασχηματισμό προκύπτει 4 4 2 0 0 4 2 8 6 4 2 2 0 4 4 0 0 0 0 2 0 0 L = 2 0 0 3 0 0 2 0 2 4 0 2 2 8 0 0 2 8 0 0 0 6 ενώ από αυτόν τον μετασχηματισμό προκύπτει 0 0 0 2 0 0 L = 2 2 0 3 2 0 Σελίδα 20

44 Επίλυση του Ax = b όταν γνωρίζω τη διάσπαση A= LU Αν αφού έχω κάνει τη διάσπαση A = LU μου δοθεί η δεξιά πλευρά b του συστήματος, δεν αξίζει να «ξανακάνω» αλγόριθμο Guss Λύνω το σύστημα Ax Ax = b LU x = b LUx = b A c Βρες c : Lc = b 2 Βρες x : Ux = c = b στα εξής δύο βήματα: Και τα δύο συστήματα είναι τριγωνικά και λύνονται εύκολα πχ Να λυθεί το Βρες c : Ax = 0 Lc = 0 c = 2c + c = 0 c 2 = 2 2 c c2 + c3 = 0 c 3 = 0 2 Βρες x : Ux = 2 0 x 3 = 0 8x2 2x3 = 2 x 2 = 4 3 2x+ x2 + x3 = x = 8 Σελίδα 2

45 Αν εμφανιστεί μηδενικό Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, η «θεραπεύσιμη» και η «μη θεραπεύσιμη» Θεραπεύσιμη πχ 2 2 5 0 0 3 0 2 4 4 6 8 0 2 4 0 0 3 Μπορώ με εναλλαγή γραμμών να φέρω στην θέση που μ ενδιαφέρει μη μηδενικό στοιχείο και να το κάνω οδηγό Αν μπορώ κατ αυτό τον τρόπο να έχω ένα πλήρες σύστημα οδηγών ( n οδηγούς 0 ) βρίσκομαι στην μη ιδιόμορφη περίπτωση υπάρχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε δεξιά πλευρά Σημείωση: Αν γνώριζα από πριν τις αναγκαίες εναλλαγές γραμμών θα μπορούσα να τις είχα κάνει εξ αρχής και να κάνω μετά τον αλγόριθμο Guss χωρίς να συναντήσω 0 Συνεπώς, υπάρχει πίνακας μεταθέσεων P τέτοιος που PA = LU Μη θεραπεύσιμη: Όταν όλη η στήλη δεξιά κάτω από τον προηγούμενο οδηγό είναι γεμάτη 0 Άρα δεν μπορώ με εναλλαγή γραμμών να φέρω μη μηδενικό στοιχείο στη θέση του οδηγού πχ 2 2 5 0 0 3 4 4 8 0 0 4 Τότε βρίσκομαι στην ιδιόμορφη περίπτωση όπου: Καμία αναδιάταξη γραμμών δεν παράγει πλήρες σύστημα οδηγών Στην ιδιόμορφη περίπτωση το αν θα υπάρχουν λύσεις και πόσες εξαρτάται από τη δεξιά πλευρά κάτι Αν η μετασχηματισμένη δεξιά πλευρά στο παραπάνω παράδειγμα ήταν 6 οι δύο τελευταίες 8 εξισώσεις θα ήταν συμβατές ( x 3 = 2 ) αλλά θα είχα άπειρες λύσεις γιατί το x 2 είναι ελεύθερο κάτι Αν η δεξιά πλευρά ήταν 6 7 καμία λύση οι δύο τελευταίες εξισώσεις θα ήταν μη συμβατές και δεν θα είχα Στην ιδιόμορφη περίπτωση έχω καμία ή άπειρες λύσεις Σελίδα 22

5 Αντίστροφοι και Ανάστροφοι Πίνακες 5 Αντίστροφοι πίνακες Έστω ο στοιχειώδης n n πίνακας Eij 0 0 0 0 ( λ) = λ 0 0 Γνωρίζουμε ότι E ( λ) x προσθέτει την λ-πλάσια της j-συντεταγμένης στην i-συντεταγμένη του x : x x i Eij ( λ) x= xi + λxj xi + x n ij Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με E ( λ) ακυρώνουμε ξανά τον μετασχηματισμό που διενήργησε η E ( λ ) και γυρνάμε στο αρχικό x Δηλαδή: ij ( ij λ ) E ( λ) E ( ) x = x ij Αυτή είναι και η ιδιότητα μέσω της οποίας θα ορίσουμε τον αντίστροφο, υπάρχει αντίστροφος αυτός θα έχει την ιδιότητα ότι: ij A, ενός πίνακα A Εάν A ( A x) = x n x και επομένως A A= I Σημείωση: Αντίστροφος δεν υπάρχει για κάθε πίνακα A : Έστω ένας πίνακας A ιδιόμορφος Τότε θα υπάρχει x 0 με Ax = 0 Εδώ όμως δεν υπάρχει πίνακας που πολλαπλασιάζει το Ax και ξαναγυρνάμε στο x διότι: B ( Ax) = B 0= 0 x Ορισμός (αντίστροφος πίνακας): Ένας n n πίνακας A λέγεται αντιστρέψιμος εάν υπάρχει πίνακας B τέτοιος που A B= I ( B δεξιός αντίστροφος) και B A= I ( B αριστερός αντίστροφος) Παράδειγμα: ( ) = E ( λ) = E ( λ) ij ij Σελίδα 23

λ 0 0 λ 0 0 0 λ2 0 0 λ2 0 = 0 0 λn 0 0 λn Σημείωση: Από τον ορισμό προκύπτει ότι ( A ) A = 2 Αν ο A έχει δεξιό αντίστροφο C και αριστερό B τότε πρέπει να ταυτίζονται και ο A είναι αντιστρέψιμος Διότι: B= BI = B ( AC ) = ( B A) C= I C= C Κανόνας: Αν A, B αντιστρέψιμοι (υποθέτω ότι υπάρχουν και ( AB) B A Απόδειξη: = ( B A )( AB) = I B ( A A) B= I B B= I I A, B ) τότε και AB αντιστρέψιμος Αν εργαστούμε αντιστοίχως αποδεικνύουμε ότι AB ( B A ) I = Γενικότερα: ( ABC) C B A = αν A, B, C αντιστρέψιμοι 52 Μέθοδος υπολογισμού του αντιστρόφου (Αλγόριθμος Guss Jordn) Έστω A έχει n οδηγούς Θα δείξουμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τον περίπτωση A σε αυτή την Ας συμβολίσουμε την i-στήλη του A με x i (άγνωστη) δηλαδή: ( ) A x x2 x = n, n xi (διάνυσμα, όχι αριθμός!) Ας συμβολίσουμε επιπλέον με ei 0 i = 0 Δηλαδή I ( e e e ) = 2 n Η εξίσωση που ορίζει τον Ax = e, i =,, n i Δηλαδή: i A είναι η A A = I ή ισοδύναμα: Σελίδα 24

Σχήμα 7 Ο πίνακας A και τα διανύσματα x i και e i Άρα έχω n γραμμικά συστήματα Από το πρώτο μπορώ να βρω το x, από το δεύτερο το x 2, κοκ Πώς; Αντί να κάνω Guss για κάθε σύστημα ξεχωριστά, κολλάω όλες τις δεξιές πλευρές δεξιά από τον A και κάνω Guss σε όλες μαζί: [ A e e e ] = [ A I] [ U L' ] 2 n πχ Βρες τον αντίστροφο του 2 4 6 0 2 7 2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 4 6 0 0 0 0 8 2 2 0 0 8 2 2 0 2 7 2 0 0 0 8 3 0 0 0 ' ' ' ' A I U L' Εδώ θα μπορούσα να πάρω τα συστήματα Ux καθένα από αυτά με ανάδρομη αντικατάσταση i = l ' (όπου l ' η i-στήλη του i i L ') και να λύσω το Ωστόσο, τώρα που έχω πολλές δεξιές πλευρές για τον ίδιο U συμφέρει να κάνω κάτι άλλο Να συνεχίσω τους μετασχηματισμούς γραμμών μέχρι αριστερά να εμφανιστεί ο ταυτοτικός (με ανάποδη απαλοιφή Guss όπως θα δούμε παρακάτω) [ U L' ] [ I K] Τότε τα συστήματα διαβάζονται I xi = ki και επομένως η i-στήλη του K είναι η i-στήλη του δηλαδή K = A Τελείωσα! A, Σελίδα 25

Βήμα ο : Προσθέτω πολλαπλάσια της τελευταίας γραμμής στις προηγούμενες έτσι ώστε να μηδενιστούν τα στοιχεία πάνω από τον τελευταίο οδηγό Βήμα 2 ο : Προσθέτω πολλαπλάσια της προτελευταίας γραμμής στις προηγούμενες έτσι ώστε να μηδενιστούν τα στοιχεία πάνω από τον προτελευταίο οδηγό Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να φθάσω αριστερά σε διαγώνιο πίνακα Τέλος: Διαιρώ κάθε γραμμή με στοιχείο της διαγωνίου του αριστερού πίνακα, οπότε αριστερά παίρνω τον ταυτοτικό 2 0 0 2 0 2 0 8 2 2 0 0 8 0 4 3 3 0 0 0 0 2 0 0 2 8 5 8 6 8 0 0 2 6 5 6 6 6 0 8 0 4 3 2 0 0 48 38 28 0 0 0 0 A Σημείωση: Δείξαμε ότι αν A μη ιδιόμορφος υπάρχει δεξιός αντίστροφος Όμως η κατασκευή εξασφαλίζει ότι θα υπάρχει και αριστερός και άρα ο A είναι αντιστρέψιμος και ο αυτός που φτιάξαμε A Μπορεί κανείς να δείξει και το ανάποδο Αν A αντιστρέψιμος μη ιδιόμορφος και άρα: Αντιστρέψιμοι πίνακες είναι ακριβώς οι μη ιδιόμορφοι 53 Ανάστροφοι πίνακες Αν A ένας m n πίνακας, τότε ως εναλλάξω γραμμές και στήλες A ορίζεται ο n m πίνακας που προκύπτει αν στον A Η πρώτη γραμμή του A γίνεται πρώτη στήλη του A κοκ Δηλαδή A = A ij ji πχ 2 0 2 4 A= A 0 0 0 3 = 4 3 Επίσης, ο A προκύπτει αν στον A καθρεφτίσω τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο (, 22, ) Σελίδα 26

Σχήμα 8 Κατασκευή ανάστροφου πίνακα ( Ισχύουν οι εξής κανόνες: ( A ) = A (προφανές) ( A+ B) = A + B (εύκολο) A ) με εναλλαγή γραμμών και στηλών ( AB ) = B A (θέλει λίγη δουλίτσα, αλλά μόνο ορισμοί) ( A ) = ( A ) Απόδειξη του τελευταίου: Έχουμε A A= I = A A, παίρνουμε ανάστροφα ( ) AB = B A: A ( A ) = I = ( A ) A ( ) ( ) A A = I = A A και από τον κανόνα Αυτός είναι ορισμός του αντιστρόφου του A, ένας πίνακας B με A B I B A = = Άρα ο ( A ) είναι ο B δηλαδή ο ( ) A Ορισμός: Ένας n n πίνακας A λέγεται συμμετρικός A την κύρια διαγώνιο στοιχεία ταυτίζονται = A, δηλαδή τα συμμετρικά ως προς Πρόταση: Αν A συμμετρικός και αντιστρέψιμος τότε A συμμετρικός Απόδειξη: Δείξτε ( A ) = A Αλλά έχουμε ( A ) = ( A ) και αφού A συμμετρικός (άρα A = A) το τελευταίο είναι ίσο με A Προσοχή: Αν A, B συμμετρικοί μπορεί ο AB να μην είναι συμμετρικός, καθώς ( AB ) = B A = BA και όχι AB πχ b b 0 συμμετρικός Συμμετρικός 0 b όχι συμμετρικός Σελίδα 27

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 00 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 205 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: 0 Αθήνα 205 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://opencoursesuebgr/modules/document/?course=loxr00 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 40 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [] http://cretivecommonsorg/licenses/by-nc-s/40/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα 29

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα 30