website:

Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 29 Μαρτίου 2017 1 Συναρτήσεις μεταφοράς σε συστήματα με γρανάζια Τα γρανάζια παρέχουν μηχανικό πλεονέκτημα στα περιστρεφόμενα συστήματα. Δίνουν την δυνατότητα ελέγχου της ταχύτητας σε σχέση με την ροπή. Για παράδειγμα σε ένα ποδήλατο με ταχύτητες χρησιμοποιούμε την ταχύτητα που θέλει περισσότερη ροπή και δίνει λιγότερη ταχύτητα για να ανεβούμε μια ανηφορά ενώ στον ίδιο δρόμο χρησιμοποιούμε την ταχύτητα που μας επιτρέπει να έχουμε μεγαλύτερη ταχύτητα και να χρειάζεται λιγότερη ροπή για την κίνησή μας. Στο σχήμα 1 βλέπουμε την γραμμική αλληλεπίδραση μεταξύ δύο γραναζιών. Από το γρανάζι 1 με ακτίνα r 1 και N 1 δόντια που κινείται με γωνία θ 1 κάτω από την επίδραση της ροπής T 1 παίρνουμε την κίνηση στο γρανάζι 2 με ακτίνα r 2 και N 2 δόντια που κινείται με γωνία θ 2. της ροπής T 1 Η απόσταση που διανύει κάθε γρανάζι είναι ίδια και για τα δύο γρανάζια email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1

Σχήμα 1: Σύστημα γραναζιών οπότε έχουμε: r 1 θ 1 = r 2 θ 2, θ 2 = r 1 = N 1 (1) θ 1 r 2 N 2 Αντίστοιχα η σχέση που συνδέει τις ροπές των δύο γραναζιών είναι: T 1 θ 1 = T 2 θ 2, T 2 = θ 1 = N 2 (2) T 1 θ 2 N 1 Οι εμπεδήσεις των στροφικών συστημάτων με γρανάζια είναι ίδιες με τα απλά στροφικά συστήματα πολλαπλασιασμένα με το τετράγωνο του λόγου των δοντιών στον άξονα προορισμού ως προς τον άξονα της πηγής, ( N destination N source ) 2. Στην περίπτωση όπου έχουμε παραπάνω από δύο γρανάζια (σχήμα 2) μπορούμε να βρούμε τη σχέση αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις σε κάθε βήμα. Για παράδειγμα αν έχουμε τρία συνδεδεμένα γρανάζια θα ισχύει θ 3 = N 3 N 4 θ 2 = N 1N 3 N 2 N 4 θ 1 Παράδειγμα 1: Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς θ 2(s) T (s) σχήματος 3. για το σύστημα του Το σύστημα των δύο σωμάτων είναι συνδεδεμένο μέσω των γραναζίων οπότε έχουμε έναν βαθμό ελευθερίας και χρειαζόμαστε μία μόνο εξίσωση κίνησης. 2

Σχήμα 2: Σύστημα με τρία γρανάζια. Σχήμα 3: Παράδειγμα 1 Η συνισταμένη ροπή μάζας του συστήματος δίνεται από τη σχέση: J e = J 1 ( N 2 N 1 ) 2 + J 2. (3) Η συντελεστής απόσβεσης του συστήματος δίνεται από τη σχέση: D e = D 1 ( N 2 N 1 ) 2 + D 2. (4) Από τα παραπάνω έχουμε ότι η εξίσωση κίνησης δίνεται από τη σχέση: (J e s 2 + D e s + K 2 )θ 2 = T 1 (s) N 2 N 1 Από όπου έχουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι: θ 2 T 1 (s) = N 2 N 1 (J e s 2 + D e s + K 2 ) 3

2 Συναρτήσεις μεταφοράς ηλεκτρομηχανικών συστημάτων Τα ηλεκτρομηχανικά συστήματα είναι συστήματα στα οποία έχουμε ζεύξη ηλεκτρικών και μηχανικών συστημάτων και στα οποία μπορούμε να έχουμε μετατροπή της ενέργειας από μηχανική σε ηλεκτρική ή και αντίστροφα. Βασική συνιστώσα ενός συστήματος ηλεκτρομηχανικής μετατροπής ενέργειας αποτελεί η στρεφόμενη ηλεκτρική μηχανή η οποία έχει τη δυνατότητα να λειτουργεί είτε ως γεννήτρια οπότε το μηχανικό σύστημα να παρέχει μηχανική ενέργεια στο ηλεκτρικό σύστημα είτε ως κινητήρας όπου η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε μηχανική. Στο μάθημα μας θα ασχοληθούμε με τη μοντελοποίηση μηχανών συνεχούς ρεύματος. Οι μηχανές συνεχούς ρεύματος χρησιμοποιούνται ευρέως σε διάφορες ε- φαρμογές συστημάτων αυτόματου ελέγχου λόγω της ευκολίας στον ελέγχο της λειτουργίας τους. Θα μελετήσουμε μία μηχανή σταθερού ρεύματος όπως αυτήν του σχήματος 4 που αποτελείται από ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο. Το ρεύμα του τυμπάνου i α (t) περνά κάθετα από το μαγνητικό πεδίο και ασκεί μία δύναμη F = Bli α (t), όπου B η ένταση του μαγνητικού πεδίου και l το μήκος του αγωγού, και ροπή που περιστρέφει το περιστρεφόμενο τμήμα της μηχανής. Σχήμα 4: Μηχανή σταθερού ρεύματος. Ταυτόχρονα η κίνηση του περιστρεφόμενου τμήματος δημιουργεί μία επα- 4

γόμενη ηλεκτρεγερτική δύναμη v b (t) που ισούται με dθ m (t) v b (t) = K b, (5) dt όπου K b είναι η σταθερά της επαγόμενης ηλεκτρεγερτικής δύναμης. Από τον νόμο του Kirchhoff για το κύκλωμα του τυμπάνου έχουμε: R a I a (s) + L a si a (s) + V b (s) = E a (s). (6) Ομως η ροπή δύναμης της μηχανής είναι ανάλογη της έντασης του κυκλώματος οπότε T m (s) = I a (s), (7) όπου είναι η σταθερά της ροπής της μηχανής και εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της μηχανής και του μαγνητικού πεδίου Αντικαθιστώντας την τιμή της έντασης από την εξίσωση (7) και την τιμή της ηλεκτρεγερτικής δύναμης από την εξίσωση (5) βρίσκουμε: (R a + L a s)t m (s) + K b sθ m (s) = E a (s). (8) Αν θεωρήσουμε J m τη ροπή μάζας της μηχανής (περιλαμβάνει την ροπή του τυμπάνου και την ροπή φορτίου που αντανακλάται στο τύμπανο) και D m την συνολική απόσβεση της μηχανής (περιλαμβάνει την απόσβεση του τυμπάνου και την απόσβεση του φορτίου που αντανακλάται στο τύμπανο) τότε έχουμε ότι η ροπή δύναμης της μηχανής δίνεται από τη σχέση: T m (s) = (J m s 2 + D m s)θ m (s) (9) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (9) στην (8) έχουμε (R a + L a s)(j m s 2 + D m s)θ m (s) + K b sθ m (s) = E a (s). (10) Ομως συνήθως στις ηλεκτρομηχανές σταθερής τάσης η τιμή της αντίστασης R a είναι αρκετά μεγαλύτερη από την τιμή της επαγωγής L a οπότε μπορούμε να 5

αγνοήσουμε τον όρο της επαγωγής και η εξίσωση (9) γίνεται: [ R a (J m s + D m ) + K b ]sθ m (s) = E a (s), (11) και τελικά η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από την σχέση: θ m (s) E a (s) = Kt R aj m s[s + 1 J m (D m + KtK b R a )]. (12) Θα προχωρήσουμε τώρα στον προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος. Για τις μηχανικές παραμέτρους J m, D m : Στο σχήμα 5 έχουμε έναν κινητήρα με ροπή μάζας J α, και συντελεστή απόσβεσης D α που οδηγεί ένα φορτίο με ροπή μάζας J L, και συντελεστή απόσβεσης D L. Σχήμα 5: Μηχανή σταθερού ρεύματος που οδηγεί ένα περιστροφικό μηχανικό φορτίο. σχέση: Ετσι, η συνισταμένη ροπή της μάζας του συστήματος J m δίνεται από τη ενώ ο συντελεστής απόσβεσης D m από τη σχέση: J m = J a + J L ( N 1 N 2 ) 2, (13) D m = D a + D L ( N 1 N 2 ) 2. (14) Τις τιμές των ηλεκτρικών παραμέτρών τις βρίσκουμε με τη βοήθεια του δυναμόμετρου. Από την εξίσωση του δεύτερου νόμου του Kirchhoff (6) αντικαθιστώντας 6

τις τιμές των τάσεων και των εντάσεων, θεωρόντας ότι έχουμε μηδενική επαγωγή και παιρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε: R α T m (t) + K b ω m (t) = e a (t). (15) Εφαρμόζοντας σταθερή τάση e a ο κινητήρας θα περιστραφεί με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω m και σταθερή ροπή T m. Άρα η εξίσωση (15) γίνεται από όπου βρίσκουμε την τιμή της ροπής: R α T m + K b ω m = e a, (16) T m = K b ω m + e a. (17) R α R α Η παραπάνω εξίσωση παριστάνεται με ευθείες στο διάγραμμα ροπής - ταχύτητας (σχήμα 6). Η μέγιστη ροπή (stall torque) βρίσκεται από την παραπάνω σχέση όταν η γωνιακή μας ταχύτητα είναι ίση με μηδέν και δίνεται από τη σχέση: T stall = R α e a. (18) Η μέγιστη τιμή της γωνιακής ταχύτητας ονομάζεται γωνιακή ταχύτητα χωρίς φορτίο και βρίσκεται από την παραπάνω σχέση όταν η ροπή είναι ίση με μηδέν, δηλαδή: ω no load = e a K b. (19) Άρα οι τιμές των ηλεκτρικών παραμέτρων βρίσκονται πειραματικά από το διάγραμμα ροπής - ταχύτητας και με τη βοήθεια των σχέσεων: R α = T stall e a, K b = ω no load e a. (20) 7

Σχήμα 6: Διάγραμμα ροπής - ταχύτητας. του παρακάτω συ- Παράδειγμα: Υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς θ L(s) E a(s) στήματος. Σχήμα 7: Ηλεκτρομηχανικός κινητήρας Υπολογίζουμε τις μηχανικές παραμέτρους του συστήματος: J m = J a + J L ( N 1 N 2 ) 2 = 5 + 700( 1 10 )2 = 12. D m = D a + D L ( N 1 N 2 ) 2 = 2 + 800( 1 10 )2 = 10. 8

Σχήμα 8: Διάγραμμα ροπής - ταχύτητας. Από το διάγραμμα ροπής ταχύτητας υπολογίζουμε τις ηλεκτρικές παραμέτρους του συστήματος: T stall = 500, ω no load = 50, e a = 100, = T stall = 500 R α e a 100 = 5, K b = ω no load e a = 50 100 = 0.5. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση μεταφοράς (12) έχουμε: θ m (s) E a (s) = 5 s[s + 1 (10 + 5 0.5)] = 0.0417 s(s + 1.667). (21) 12 9

3 Ασκήσεις για το σύστημα του σχή- Άσκηση 1: Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς θ 2(s) T (s) ματος 9. Σχήμα 9: Άσκηση 1 Άσκηση 2: Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς θ 2(s) T (s) σχήματος 10. για το σύστημα του Σχήμα 10: Άσκηση 2 Άσκηση 3: Να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς θ L(s) E a(s) για το σύστημα του σχήματος 11 αν η σχέση ροπής ταχύτητας είναι T m = 8ω m + 200 όταν η τάση εισόδου είναι e a = 100 volts. Άσκηση 4: Να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς θ L(s) E a(s) σχήματος 12. για το σύστημα του 10

Σχήμα 11: Άσκηση 3 Σχήμα 12: Άσκηση 4 11