ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ: ΕΜΒΑΘΥΝΟΝΤΑΣ ΣΤΗΝ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ: ΕΜΒΑΘΥΝΟΝΤΑΣ ΣΤΗΝ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΛΕΥΚΩΣΙΑ 2004 1

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΟΜΑ Α Υπεύθυνος Ερευνητικού Προγράµµατος: Γεώργιος Φιλίππου Καθηγητής ιδακτικής Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Ερευνητικοί Σύµβουλοι: Κωνσταντίνος Χρίστου Αναπληρωτής Καθηγητής ιδακτικής Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Λεωνίδας Κυριακίδης Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής Αξιολόγησης Πανεπιστήµιο Κύπρου έσποινα Πόταρη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια ιδακτικής Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΠΡΟΛΟΓΟΣ.. v ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΡΟΒΛΗ- ΜΑΤΩΝ... 2 1. Εισαγωγικά... 2 2. Το θεωρητικό υπόβαθρο της καινοτοµίας... 3 2.1. Αρχικοί προβληµατισµοί... 3 2.2. Η σηµασία της οικοδόµησης νοητικών σχηµάτων.... 4 2.3. Έµφαση στη δοµή των προβληµάτων. 5 2.4. Η σηµασία της αναλογικής σκέψης κατά την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων 7 2.5. Η σηµασία των αναπαραστάσεων στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων... 9 2.6. Η σηµασία της κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων... 11 3. Η συµβολή της Θεωρίας Σχήµατος στη βελτίωση των ικανοτήτων των µαθητών στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων..... 13 ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑ- ΣΚΕΥΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 15 1. Εισαγωγικά... 15 2. Κατηγοριοποίηση των προβληµάτων ανάλογα µε τη δοµή τους... 15 2.1. Προβλήµατα αλλαγής... 17 2.2. Προβλήµατα οµαδοποίησης... 19 2.3. Προβλήµατα αναλογίας... 21 2.4. Προβλήµατα σύγκρισης... 24 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (συνέχεια) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Σελίδα 3. Οι τέσσερις τύποι γνώσης στη θεωρία σχήµατος και στο µοντέλο που εισήχθηκε στο δηµοτικό σχολείο... 27 3.1. Γνώση αναγνώρισης... 28 3.2. Γνώση εµβάθυνσης... 31 3.3. Γνώση σχεδιασµού... 36 3.4. Γνώση εκτέλεσης... 42 4. Ερευνητικά αποτελέσµατα σε σχέση µε το βαθµό δυσκολίας έργων επίλυσης και κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων και οι προεκτάσεις τους για τη διδασκαλία. 45 ΙΙΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟ- ΒΛΗΜΑΤΩΝ... 48 1. Εισαγωγικά... 48 2. Αξιολόγηση του µοντέλου από τους εµπλεκόµενους φορείς... 48 3. Ιδέες για τη διδακτική αξιοποίηση του µοντέλου... 50 3.1. Ανακάλυψη των διαγραµµάτων που περιλαµβάνονται στο ΜΕΚΜΠ... 51 3.2. Αξιοποίηση των διαγραµµάτων για την επίλυση και κατασκευή προβληµάτων... 61 3.3. Η ευέλικτη χρήση του µοντέλου... 69 3.4. Οι γονείς και η διδασκαλία του ΜΕΚΜΠ 70 ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ... 71 ΕΠΙΛΟΓΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ... 72 4

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητέ εκπαιδευτικέ, Με τη νέα σειρά των βιβλίων των Μαθηµατικών εισήχθηκε στο δηµοτικό σχολείο ένα µοντέλο επίλυσης και κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων (ΜΕΚΜΠ) που στηρίζεται στη Θεωρία Σχήµατος. Στα πέντε πρώτα χρόνια της εφαρµογής της καινοτοµίας εκφράστηκαν διιστάµενες απόψεις σε σχέση µε την αποτελεσµατικότητά της. Το Πανεπιστήµιο Κύπρου, αναγνωρίζοντας ότι η εισαγωγή µιας καινοτοµίας δεν αποτελεί στατικό γεγονός, αλλά συνιστά µια δυναµική διαδικασία, ανέλαβε τη διεξαγωγή σχετικής έρευνας. Η έρευνα αποσκοπούσε να ιχνηλατήσει την πορεία εφαρµογής της καινοτοµίας, να επισηµάνει εµπόδια που προκύπτουν από την εφαρµογή της και να καθορίσει το βαθµό επίτευξης των στόχων της. ύο βασικές αρχές αποτέλεσαν τα σηµεία αναφοράς της έρευνας. Αφενός, έγινε αποδεκτό ότι η αξιολογική έρευνα οποιασδήποτε καινοτοµίας δεν έχει στόχο να αποδείξει κάτι, αλλά να συµβάλει στη βελτίωση της καινοτοµίας. Αφετέρου, υιοθετήθηκε η άποψη ότι η επιτυχία µιας καινοτοµίας έγκειται στην επικοινωνία, στην οικοδόµηση µιας αµφίδροµης διαδικασίας, όπου οι εµπλεκόµενοι πείθονται και πείθουν, µιλάνε και ακούν, µε αποτέλεσµα η εφαρµογή της καινοτοµίας να αποτελεί µια διαδικασία συνεχούς προσαρµογής και αναπροσαρµογής. Το παρόν εγχειρίδιο, αξιοποιώντας τα αποτελέσµατα της έρευνας καθώς και τη σύγχρονη σχετική βιβλιογραφία έχει διττό σκοπό. Πρώτο, αποσκοπεί να παρουσιάσει το βασικό θεωρητικό υπόβαθρο της καινοτοµίας. εύτερο καταγράφει ιδέες και δραστηριότητες που δυνατό να αξιοποιηθούν για την υπέρβαση συγκεκριµένων δυσκολιών που συναντά ο εκπαιδευτικός κατά την εισαγωγή και εφαρµογή της καινοτοµίας. Ωστόσο, δεν περιλαµβανόταν στους στόχους µας η προσφορά έτοιµων συνταγών και λύσεων για όλα τα προβλήµατα που συναντούν οι εκπαιδευτικοί κατά την εφαρµογή της καινοτοµίας. Ως εκ τούτου, από την ανάγνωση του παρόντος εγχειριδίου αναµένεται η ανάπτυξη µιας διαλογικής σχέσης µε το κείµενο και τις ιδέες που προτείνονται. Για την υλοποίηση της έρευνας και την έκδοση του παρόντος εγχειριδίου σηµαντική ήταν η συµβολή φορέων και ατόµων, στους οποίους εκφράζονται οι ευχαριστίες της ερευνητικής οµάδας. Ιδιαίτερες ευχαριστίες εκφράζονται στο Ίδρυµα Προώθησης Έρευνας (ΙΠΕ) που χρηµατοδότησε το ερευνητικό πρόγραµµα, στο Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισµού και στους λειτουργούς του που έθεσαν την έρευνα υπό την αιγίδα τους και συνέβαλαν τα µέγιστα στην υλοποίησή της. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλουµε, επίσης, στον Πρόεδρο της Ενδοτµηµατικής Επιτροπής των Μαθηµατικών Πέτρο Νικολάου για την πολύτιµη συµβολή του σε κάθε στάδιο διεξαγωγής της 5

έρευνας. Ευχαριστίες εκφράζονται, επίσης, στους συµβούλους των Μαθηµατικών και στα µέλη της Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραµµάτων για τις εισηγήσεις που έκαναν. Ωστόσο, ουσιαστικότερη θα πρέπει να θεωρείται η συµβολή που είχαν όλοι οι εκπαιδευτικοί που συµµετείχαν στην έρευνα, οι οποίοι πρόθυµα πρόσφεραν αρκετό από τον πολύτιµο διδακτικό ή προσωπικό τους χρόνο, ώστε να καταστεί δυνατή η συγκέντρωση των ερευνητικών δεδοµένων. Τους ευχαριστούµε θερµά. Τέλος, ιδιαίτερες ευχαριστίες εκφράζονται προς όλους τους µαθητές που συµµετείχαν στην έρευνα, χωρίς τη συµβολή των οποίων δεν θα ήταν δυνατή η συλλογή των ερευνητικών δεδοµένων. Εκ µέρους της ερευνητικής οµάδας, ο συγγραφέας 6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχος του παρόντος εγχειριδίου είναι να αποτελέσει σηµείο αναφοράς για τον εκπαιδευτικό που καλείται να αξιοποιήσει το µοντέλο επίλυσης και κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων που εισήχθηκε στα βιβλία των µαθηµατικών των τριών µεγαλύτερων τάξεων του δηµοτικού σχολείου. Ωστόσο, το εγχειρίδιο απευθύνεται και σε εκπαιδευτικούς που διδάσκουν µαθηµατικά στις τρεις µικρότερες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, αφού σε αυτό παρουσιάζονται δραστηριότητες για σταδιακή, διαισθητική, εισαγωγή του µοντέλου από την πρώτη τάξη του δηµοτικού σχολείου. Το εγχειρίδιο οργανώνεται σε τρία κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στη Θεωρία Σχήµατος που αποτέλεσε τη βάση του µοντέλου επίλυσης και κατασκευής προβληµάτων που εισήχθηκε στο δηµοτικό σχολείο. Με στόχο την άµεση εµπλοκή του αναγνώστη στα θέµατα που αφορούν στο θεωρητικό υπόβαθρο του µοντέλου, παρατίθενται στην αρχή κάθε υποενότητας του κεφαλαίου συγκεκριµένα ερωτήµατα. Ο αναγνώστης καλείται να προβληµατιστεί µε βάση τα ερωτήµατα αυτά και ακολούθως να εξετάσει τις απαντήσεις που απορρέουν από το θεωρητικό υπόβαθρο του µοντέλου. Στο τέλος του πρώτου κεφαλαίου παρουσιάζονται ερευνητικά αποτελέσµατα που αφορούν στη συµβολή παρεµβατικών προγραµµάτων που στηρίζονται στη Θεωρία Σχήµατος στη βελτίωση των ικανοτήτων των µαθητών στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι τέσσερις κατηγορίες προβληµάτων που περιλαµβάνονται στο µοντέλο. Παρατίθενται, επίσης, οι τέσσερις τύποι γνώσης που καλείται να αναπτύξει ο µαθητής ώστε να χειρίζεται αποτελεσµατικά το µοντέλο για να επιλύει και να κατασκευάζει προβλήµατα. Παρουσιάζονται, επιπρόσθετα, αποτελέσµατα σε σχέση µε το βαθµό δυσκολίας έργων επίλυσης και κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων, όπως προέκυψαν από την έρευνα που διεξήχθη στο Πανεπιστήµιο Κύπρου και συζητούνται οι προεκτάσεις τους για τη διδασκαλία. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις απόψεις εκπαιδευτικών και µαθητών για το µοντέλο και παρατίθενται ιδέες για καλύτερη αξιοποίησή του στη διδασκαλία. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1. Εισαγωγικά Η Επίλυση Μαθηµατικού Προβλήµατος (ΕΜΠ) αποτελούσε ανέκαθεν χαρακτηριστικό στοιχείο της µαθηµατικής εκπαίδευσης και τα προβλήµατα συνιστούσαν βασικό µέρος των σχολικών µαθηµατικών. Ωστόσο, το παιδαγωγικό ενδιαφέρον για την ΕΜΠ αναπτύχθηκε συστηµατικά κατά τα τελευταία πενήντα περίπου χρόνια, µετά από το πρωτοποριακό έργο του Polya (1957). Παρά τα σηµαντικά ερευνητικά αποτελέσµατα των τελευταίων δεκαετιών στον τοµέα της ΕΜΠ, τη δεκαετία του 1990 επισηµάνθηκε η ανάγκη να στραφεί το ερευνητικό ενδιαφέρον στο σχεδιασµό διδακτικών µεθόδων που αναπτύσσουν την ικανότητα των µαθητών στην ΕΜΠ. Στο πλαίσιο αυτό προτάθηκαν διάφορα µοντέλα ΕΜΠ, ένα από τα οποία αποτελεί και η Θεωρία Σχήµατος. Η Θεωρία Σχήµατος (ΘΣ) ( schema theory ), που προτάθηκε από τη Marshall (1995), εστιάζεται στα προβλήµατα ρουτίνας, τα οποία αποτελούν την πλειονότητα των µαθηµατικών προβληµάτων µε τα οποία έρχονται σε επαφή οι µαθητές κατά τη φοίτησή τους στο δηµοτικό σχολείο. Η ΘΣ µπορεί να εφαρµοστεί τόσο σε προβλήµατα µιας πράξης όσο και σε σύνθετα προβλήµατα δύο ή περισσότερων πράξεων, αποσκοπώντας να βοηθήσει τους µαθητές να οργανώσουν τη σκέψη τους κατά την επίλυση τέτοιων προβληµάτων. Στη ΘΣ γίνεται αναφορά σε συγκεκριµένους τύπους προβληµάτων και τύπους γνώσεων που καλούνται να οικοδοµήσουν οι µαθητές, ώστε να επιλύουν µε επιτυχία προβλήµατα µίας ή περισσότερων πράξεων. Μετά την έκδοση των νέων βιβλίων των µαθηµατικών, η ΘΣ ενσωµατώθηκε το 1998 στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο κυπριακό εκπαιδευτικό σύστηµα ως ένα Μοντέλο Επίλυσης και Κατασκευής Μαθηµατικών Προβληµάτων (ΜΕΚΜΠ). Το µοντέλο αυτό στηρίζεται στις ίδιες θεωρητικές παραδοχές και ερευνητικά αποτελέσµατα αναφορικά µε τη µάθηση και ειδικότερα τη µάθηση στα µαθηµατικά στα οποία στηρίζεται και η ΘΣ. Πιο κάτω παρατίθεται συνοπτικά το θεωρητικό υπόβαθρο της ΘΣ και κατ επέκταση του ΜΕΚΜΠ. 8

2. Το θεωρητικό υπόβαθρο της καινοτοµίας Ο εκπαιδευτικός που έρχεται πρώτη φορά σε επαφή µε το ΜΕΚΜΠ εύλογα διερωτάται ποια η χρησιµότητά του και τι ουσιαστικά προσφέρει στο µαθητή αλλά και στον ίδιο τον εκπαιδευτικό που καλείται να το αξιοποιήσει. Η ενότητα αυτή αποσκοπεί να δώσει απαντήσεις στα πιο πάνω ερωτήµατα. Ωστόσο, η άµεση παρουσίαση του θεωρητικού υπόβαθρου της καινοτοµίας κρίθηκε ότι ελάχιστα θα προσέφερε στον αναγνώστη. Αντίθετα, η άµεση εµπλοκή του αναγνώστη στα θέµατα που αφορούν στο θεωρητικό υπόβαθρο της καινοτοµίας δυνατό να τον βοηθήσει να εµβαθύνει στα θέµατα που σχετίζονται µε συγκεκριµένες πτυχές της καινοτοµίας. Ως εκ τούτου, στην παρούσα ενότητα παρατίθενται αρχικά κάποιοι προβληµατισµοί που θέτουν το πλαίσιο αλλά και τους γενικότερους άξονες στους οποίους στηρίχτηκε το ΜΕΚΜΠ. Επιπρόσθετα, στην αρχή κάθε υποενότητας παρουσιάζονται ερωτήµατα που στόχο έχουν να αναδείξουν τη σηµασία των επιµέρους πτυχών του θεωρητικού υπόβαθρου της καινοτοµίας. Ο αναγνώστης ενθαρρύνεται να προβληµατιστεί µε βάση τα ερωτήµατα που τίθενται στην αρχή κάθε υποενότητας και ακολούθως να εξετάσει τις απαντήσεις που απορρέουν άµεσα ή έµµεσα από τις συγκεκριµένες πτυχές του θεωρητικού υπόβαθρου της ΘΣ και του ΜΕΚΜΠ. Για περισσότερες πληροφορίες για το θεωρητικό υπόβαθρο της καινοτοµίας ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία που παρουσιάζεται στο τέλος του εγχειριδίου. 2.1. Αρχικοί προβληµατισµοί Η ΕΜΠ αποτελεί υπό έµφαση στόχο τόσο στο µάθηµα των Μαθηµατικών όσο και σε άλλα θέµατα του αναλυτικού προγράµµατος. Η σηµασία του στόχου αυτού ελάχιστα ή καθόλου αµφισβητείται από τους εκπαιδευτικούς. Αναγνωρίζεται ότι µέσω της επίλυσης προβληµάτων οι µαθητές αποκτούν νέους τρόπους σκέψης, θετικότερη στάση έναντι στην αντιµετώπιση προβληµατικών καταστάσεων και χρήσιµες δεξιότητες τόσο εντός όσο και εκτός του σχολείου. Παράλληλα, αναπτύσσεται η επιµονή και η περιέργειά τους (NCTM, 2000). Ωστόσο, οι εκπαιδευτικοί που καλούνται να µετουσιώσουν στην πράξη τους πιο πάνω στόχους έρχονται συχνά αντιµέτωποι µε τους ακόλουθους προβληµατισµούς: 9

Πώς µπορούµε να βοηθήσουµε τους µαθητές κατά την ΕΜΠ; Χρειάζεται να εστιαστεί η προσοχή των µαθητών σε κάποια στοιχεία του προβλήµατος; Ποια είναι αυτά; Είναι σωστό να βοηθούµε τους µαθητές να επικεντρώνονται σε λέξεις-κλειδιά του προβλήµατος; Κάποιοι ισχυρίζονται ότι η χρήση λέξεων-κλειδιών κατά τη λύση προβληµάτων οδηγεί σε λανθασµένες απαντήσεις και σε µπέρδεµα. Είναι ο ισχυρισµός αυτός σωστός; Πώς µπορούµε να καταλάβουµε σε ποιο στάδιο της επίλυσης των προβληµάτων αντιµετωπίζουν δυσκολίες οι µαθητές; Πότε ένα πρόβληµα αποτελεί άσκηση και πότε εµπερικλείει κάποια καινούρια στοιχεία ώστε να θεωρείται πραγµατικό πρόβληµα; Απάντηση στα ερωτήµατα αυτά αναµένεται να δώσει ο αναγνώστης ανατρέχοντας τόσο στις πτυχές που παρουσιάζονται στο κεφάλαιο αυτό όσο και µε βάση τα στοιχεία που παρατίθενται στο επόµενο κεφάλαιο. 2.2. Η σηµασία της οικοδόµησης νοητικών σχηµάτων Η καθηµερινή πρακτική δείχνει ότι οι µαθητές διαφοροποιούνται ως προς τις ικανότητες επίλυσης προβληµάτων που διαθέτουν: µια οµάδα µαθητών λύνει πολύ γρήγορα και επιτυχηµένα τα προβλήµατα που τους παρουσιάζονται, κάποιοι άλλοι µαθητές χρειάζονται περισσότερο χρόνο, ενώ υπάρχουν και µαθητές που δύσκολα φτάνουν στη λύση των προβληµάτων. Τίθεται, λοιπόν, εύλογα το ερώτηµα: Τι διαφοροποιεί τους καλούς λύτες προβληµάτων από τους µέτριους ή λιγότερο καλούς λύτες προβληµάτων; Αν και έχουν δοθεί διάφορες απαντήσεις στο ερώτηµα αυτό (Schoenfeld, 1992), µε την επικράτηση του οικοδοµισµού γίνεται αποδεκτό ότι καθοριστικό ρόλο στην ικανότητα επίλυσης προβληµάτων διαδραµατίζουν τα νοητικά σχήµατα που διαθέτουν οι λύτες. Συγκεκριµένα, υποστηρίζεται ότι οι καλοί λύτες προβληµάτων διαθέτουν νοητικά σχήµατα µε πιο πολλές πληροφορίες και περισσότερες συνδέσεις µεταξύ των πληροφοριών αυτών, 10

σε σύγκριση µε τα νοητικά σχήµατα των µέτριων ή λιγότερο καλών λυτών προβληµάτων (Chinnappan, 1998). Παρ όλη τη διαφοροποίηση που παρατηρήθηκε στη χρήση του όρου «σχήµα», γίνεται αποδεκτό ότι τα νοητικά σχήµατα περιλαµβάνουν συγκεκριµένη δοµή, είναι αποτελέσµατα της εµπειρίας, ενσωµατώνουν όλες τις σχετικές γνώσεις του ατόµου για κάποιο θέµα και αποτελούν τη βάση για κατανόηση νέων πληροφοριών, εννοιών και γεγονότων. Κατά συνέπεια τα νοητικά σχήµατα λειτουργούν ως µηχανισµοί πρόσληψης, διατήρησης, οργάνωσης αλληλένδετων πληροφοριών σε µια ενιαία δοµή και επαναφοράς γνώσεων (Nesher & Hershkovitz, 1994). Κατά την ΕΜΠ, οι µαθητές επεξεργάζονται τις πληροφορίες που περιλαµβάνονται στα προβλήµατα ενεργοποιώντας τα υπάρχοντα νοητικά τους σχήµατα. Από την άλλη, όταν καλούνται να λύσουν νέους τύπους προβληµάτων, αναδιοργανώνουν και επεκτείνουν τα υπάρχοντα νοητικά τους σχήµατα ή οικοδοµούν νέα. Τα νοητικά σχήµατα που οικοδοµούν οι µαθητές αποτελούν συνάρτηση των νοητικών τους ικανοτήτων, των εµπειριών τους και της διδασκαλίας. Συνεπώς, διδακτικές παρεµβάσεις που έχουν στόχο την ανάπτυξη της ικανότητας των µαθητών στην ΕΜΠ πρέπει να δίνουν στους µαθητές την ευκαιρία να έρθουν σε επαφή µε ποικιλία προβληµάτων, ώστε σταδιακά να οικοδοµήσουν µια πλούσια γκάµα τύπων προβληµάτων, η οποία να αποτελεί βάση για τη διερεύνηση και κατηγοριοποίηση νέων προβληµάτων (Chinappan, 1998). 1 η π τ υ χ ή Στο µοντέλο που εισήχθηκε στο δηµοτικό σχολείο αναγνωρίζεται η σηµασία της οικοδόµησης νοητικών σχηµάτων ως µέσο προαγωγής της ικανότητας των µαθητών στην ΕΜΠ. Ως εκ τούτου, το µοντέλο αποσκοπεί να υποβοηθήσει τους µαθητές να αναπτύξουν ένα µικρό αριθµό νοητικών σχηµάτων τα οποία να χειρίζονται ευέλικτα κατά την επίλυση απλών και σύνθετων προβληµάτων ρουτίνας. 2.3. Έµφαση στη δοµή των προβληµάτων Πέρα από τα προβλήµατα που περιλαµβάνονται στα σχολικά εγχειρίδια, οι εκπαιδευτικοί χρειάζεται σε αρκετές περιπτώσεις να υποβάλλουν και οι ίδιοι προβλήµατα. Καταβάλλουν δε προσπάθεια τα νέα προβλήµατα να διαφέρουν σε κάποιο βαθµό από αυτά που έχουν ήδη επιλύσει οι µαθητές, ώστε να µην προσφέρουν µόνο ευκαιρίες εξάσκησης αλλά και κάποια καινούρια σηµεία προβληµατισµού. Ποιες είναι όµως οι παράµετροι που διαφοροποιούν ένα πρόβληµα από κάποιο άλλο; Προσπαθήστε να απαντήσετε στο ακόλουθο ερώτηµα: 11

Πρόβληµα 1 ο : Σε ένα εργοστάσιο δουλεύουν 345 άντρες και 620 γυναίκες. Πόσοι είναι οι υπάλληλοι του εργοστασίου;» Πρόβληµα 2 ο : Ένα εργοστάσιο παράγει αναψυκτικά. Αν συσκευάζει τα αναψυκτικά σε κιβώτια των 6, πόσα κιβώτια θα χρειαστεί για 720 αναψυκτικά; Σε τι διαφέρουν και σε τι µοιάζουν τα δύο προβλήµατα; Οι οµοιότητες που δυνατό να εντοπίσει κάποιος αφορούν στην ιστορίαπλαίσιο των προβληµάτων: και στα δύο προβλήµατα γίνεται αναφορά σε κάποιο εργοστάσιο, έστω και αν το πρώτο επικεντρώνεται στα άτοµα που δουλεύουν εκεί και το δεύτερο στα προϊόντα που παράγονται στο εργοστάσιο. Όσον αφορά στις διαφορές κάποιος θα µπορούσε να επισηµάνει ότι στα δύο προβλήµατα χρησιµοποιούνται διαφορετικοί αριθµοί και ότι απαιτείται διαφορετική πράξη για την επίλυσή τους. Μήπως πέρα από τις επιφανειακές διαφορές των προβληµάτων που εντοπίστηκαν πιο πάνω υπάρχουν και κάποιες ουσιαστικότερες διαφορές µεταβλητές των προβληµάτων, οι οποίες επηρεάζουν την επιτυχία των µαθητών στην ΕΜΠ; Έρευνες έδειξαν ότι ένα σύνολο µεταβλητών όπως το περιεχόµενο, η µαθηµατική ιστορία του προβλήµατος, η σύνταξη και η γλωσσική διατύπωσή του, η σειρά παράθεσης των δεδοµένων στο πρόβληµα, ο αριθµός των πληροφοριών που χρειάζεται να επεξεργαστεί ο µαθητής, το είδος και ο αριθµός των πράξεων που απαιτούνται για την επίλυσή του και η δοµή του επηρεάζουν το βαθµό δυσκολίας του (Nesher & Hershkovitz, 1994). Από τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά βρέθηκε ότι καθοριστικό ρόλο στην επιτυχία ΕΜΠ διαδραµατίζει η δοµή του προβλήµατος, δηλαδή οι σχέσεις που συνδέουν τα στοιχεία του. Βρέθηκε, επίσης, ότι η ενασχόληση των µαθητών µε µια ποικιλία προβληµάτων ως προς τη δοµή τους ακόµα και από τις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, συµβάλλει στην ενίσχυση της ικανότητάς τους στην ΕΜΠ (Baroody & Standifer, 1993). Αντίθετα, διδασκαλίες που επικεντρώνονται σε µερικούς µόνο τύπους προβληµάτων έχουν ως αποτέλεσµα τη σύνδεση των αριθµητικών πράξεων µε προβλήµατα συγκεκριµένων τύπων. Επιπρόσθετα, διδασκαλίες που επικεντρώνονται στην αριθµητική πράξη που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήµατος κατευθύνουν την προσοχή των λυτών στα επιφανειακά χαρακτηριστικά των προβληµάτων, ενώ οι µαθητές που δεν κατανόησαν τα δοµικά 12

χαρακτηριστικά των προβληµάτων εστιάζονται σε λέξεις-κλειδιά ή επιλέγουν πράξεις για την επίλυση ενός προβλήµατος υιοθετώντας την πρακτική «της δοκιµής και του λάθους» και στηριζόµενοι στη «λογικότητα» των αποτελεσµάτων των διάφορων συνδυασµών πράξεων. Τέτοιες προσεγγίσεις οδηγούν συνήθως σε παρανοήσεις και λανθασµένες απαντήσεις, αφού είναι δυνατό οι λέξεις που περιλαµβάνονται σε ένα πρόβληµα να µην είναι συνεπείς µε την πράξη επίλυσης του προβλήµατος (όπως π.χ. στο πρόβληµα «Ο Γιάννης έχει 12 βόλους. Έχει 6 βόλους λιγότερους από τον Κώστα. Πόσους βόλους έχει ο Κώστας;»). 2 η π τ υ χ ή Η έµφαση στη δοµή των προβληµάτων αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό του ΜΕΚΜΠ. Για αυτό και στο µοντέλο καταβάλλεται προσπάθεια να εστιαστεί η προσοχή των µαθητών στα δοµικά και όχι στα επιφανειακά χαρακτηριστικά των προβληµάτων. Η επικέντρωση των µαθητών στους αριθµούς του προβλήµατος ή σε λέξεις-κλειδιά αντιστρατεύεται τους σκοπούς εισαγωγής του µοντέλου στο δηµοτικό σχολείο. 2.4. Η σηµασία της αναλογικής σκέψης κατά την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων Μια συνήθης τακτική των εκπαιδευτικών είναι να βοηθούν τους µαθητές να λύνουν κάποιο πρόβληµα στην τάξη και έπειτα να τους αναθέτουν να λύσουν κάποιο άλλο σχετικό πρόβληµα στο σπίτι. Η τακτική αυτή στηρίζεται στην υπόθεση ότι η επίλυση ενός προβλήµατος µπορεί να βοηθήσει στην επίλυση κάποιου άλλου σχετικού προβλήµατος. Πόσο εύκολη είναι, όµως, αυτή η µεταφορά γνώσης; Πιο κάτω παρουσιάζονται δύο προβλήµατα. Αφού τα λύσετε προσπαθήστε να απαντήσετε στις ερωτήσεις που ακολουθούν. Πρόβληµα 1 ο : Η κα Μαρία χρειάζεται να µετρήσει 7 κιλά αλεύρι. Έχει, όµως, σταθµά των 9, 5, και 3 κιλών. Πώς θα µετρήσει το αλεύρι; Πρόβληµα 2 ο : Ο κ. Γιάννης χρειάζεται 11 λίτρα µπογιά για να βάψει το φράκτη του σπιτιού του. Έχει µόνο δοχεία των 9, 8 και 3 λίτρων. Πώς µπορεί να πάρει την ποσότητα της µπογιάς που χρειάζεται; 13

Τι κοινό εντοπίσατε στα πιο πάνω προβλήµατα; Αξιοποιήσατε τη γνώση που αποκτήσατε από τη λύση του πρώτου προβλήµατος στην επίλυση του δεύτερου προβλήµατος; Πόσο εύκολα εντοπίσατε τις σχέσεις των δύο προβληµάτων; Ερωτήµατα όπως τα πιο πάνω υποβάλλουν ότι η µεταφορά γνώσης από ένα πρόβληµα σε ένα άλλο ανάλογο πρόβληµα δεν είναι εύκολη, ακόµα και για τους ενήλικες. Έρευνες έδειξαν, µάλιστα, ότι οι µαθητές συχνά αποτυγχάνουν να µεταφέρουν τις γνώσεις που αποκόµισαν από ένα πεδίο επίλυσης προβληµάτων σε κάποιο άλλο σχετικό πεδίο. Η αποτυχία αυτή οφείλεται αφενός στην αδυναµία τους να αναγνωρίσουν ότι τα προβλήµατα παρουσιάζουν ανάλογη δοµή και αφετέρου στη δυσκολία τους να εντοπίσουν και χαρτογραφήσουν τις σχέσεις που παρουσιάζουν τα δοµικά ανάλογα προβλήµατα. Ωστόσο, είναι προφανές ότι µια τέτοια ικανότητα επηρεάζει ουσιαστικά την ικανότητα των µαθητών στην ΕΜΠ. Μπορεί, όµως, η διδασκαλία να συµβάλει στην προαγωγή της αναλογικής σκέψης των µαθητών, δηλαδή στην ικανότητά τους να µεταφέρουν γνώσεις από µια κατάσταση σε µια άλλη ανάλογη κατάσταση; Προηγούµενες έρευνες (π.χ. English, 1999; Blanchette & Dunbar, 2000) έδειξαν ότι προσεκτικά σχεδιασµένα παρεµβατικά προγράµµατα µπορούν να συµβάλουν στην ανάπτυξη της ικανότητας των µαθητών στον εντοπισµό των αναλογικών σχέσεων µεταξύ των προβληµάτων και κατά συνέπεια, στην ενίσχυση της ικανότητας ΕΜΠ. Για να καταστεί αυτό δυνατό χρειάζεται αφενός να ενθαρρυνθούν οι µαθητές να εστιάζονται στα δοµικά στοιχεία των προβληµάτων και αφετέρου να παρουσιάζουν τα στοιχεία των προβληµάτων µε τρόπο που να αναδεικνύονται οι δοµικές τους οµοιότητες. 3 η π τ υ χ ή Το ΜΕΚΜΠ αποσκοπεί στην προαγωγή της αναλογικής σκέψης των µαθητών στην ΕΜΠ. Τούτο επιτυγχάνεται αφενός µε την κατηγοριοποίηση των προβληµάτων σε διακριτούς τύπους (ανάλογα µε τη δοµή τους) και αφετέρου µε τις ευκαιρίες που προσφέρει στους µαθητές για εντοπισµό και χαρτογράφηση των δοµικών χαρακτηριστικών των προβληµάτων. 14

2.5. Η σηµασία των αναπαραστάσεων στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων Η ΕΜΠ ορίζεται ως µια σειρά από νοητικές διεργασίες που κλείνουν το χάσµα ανάµεσα στην αρχική-δοθείσα και την επιδιωκόµενη-τελική κατάσταση (Mayer & Hegarty, 1996). Το ερώτηµα που προκύπτει από ένα τέτοιο ορισµό είναι πώς ο µαθητής καταφέρνει να γεφυρώσει αυτό το χάσµα; Συναφείς µε το ερώτηµα αυτό είναι και οι ακόλουθοι προβληµατισµοί: Πώς καταλήγουν οι µαθητές από τη λεκτική διατύπωση του προβλήµατος στην πράξη επίλυσής του; Ποια είναι τα ενδιάµεσα στάδια αυτής της διαδικασίας; Περνούν όλοι οι µαθητές από τα ίδια ενδιάµεσα στάδια; Είναι δυνατό ο ίδιος µαθητής να περνά από διαφορετικά στάδια κατά την επίλυση δύο διαφορετικών προβληµάτων; Αν και οι εσωτερικές διεργασίες που γίνονται στο µυαλό του µαθητή κατά την ΕΜΠ δεν είναι εύκολα προσβάσιµες, έρευνες έδειξαν ότι τα περισσότερα λάθη των µαθητών κατά την ΕΜΠ οφείλονται στις λανθασµένες αναπαραστάσεις που οικοδοµούν για τα προβλήµατα αυτά (Mayer & Hegarty, 1996). Φάνηκε, ωστόσο, ότι πέρα από τις εσωτερικέςνοητικές αναπαραστάσεις σηµαντική συµβολή στην επιτυχή επίλυση των προβληµάτων διαδραµατίζουν και οι εξωτερικές αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούν οι µαθητές κατά την επίλυση των προβληµάτων, αφού µέσω αυτών ο λύτης µπορεί να παρουσιάσει τα στοιχεία και τις σηµαντικές 15

σχέσεις που εµφανίζονται σε ένα πρόβληµα. Σύµφωνα µε τις βασικές παραδοχές της θεωρίας αναπαραστάσεων, οι εξωτερικές και εσωτερικές αναπαραστάσεις βρίσκονται σε συνεχή σχέση και αλληλεξάρτηση (Cifarelli, 1998). Ως εκ τούτου, η αξιοποίηση των κατάλληλων εξωτερικών αναπαραστάσεων (διαγράµµατα, πίνακες, γραφικές παραστάσεις κ.τ.λ.) κατά την ΕΜΠ δυνατό να οδηγήσει στην ανάπτυξη πλούσιων εσωτερικών αναπαραστάσεων -νοητικών σχηµάτων και συνδέσεων που χρησιµοποιούνται ως βάση σε περιπτώσεις ΕΜΠ ανάλογης δοµής (Diezmann & English, 2001). Επιπρόσθετα, οι εξωτερικές αναπαραστάσεις που παράγουν οι µαθητές κατά την ΕΜΠ παρέχουν στον εκπαιδευτικό ενδείξεις για τον τρόπο σκέψης των µαθητών, τον τρόπο που αντιλήφθηκαν το πρόβληµα και τις δυσκολίες που συναντούν κατά τη λύση του. Η δυνατότητα αυτή ενισχύεται όταν ο εκπαιδευτικός συζητήσει µε τους µαθητές τις αναπαραστάσεις που οικοδοµούν, το νόηµα που αποδίδουν σε αυτές καθώς και τις σχέσεις που εντοπίζουν µεταξύ του προβλήµατος και των επιµέρους στοιχείων των αναπαραστάσεων. Από το σύνολο των εξωτερικών αναπαραστάσεων, τα διαγράµµατα θεωρούνται ιδιαίτερα υποβοηθητικά για την ΕΜΠ (Polya, 1957). Βρέθηκε, µάλιστα, ότι οι εκπαιδευτικοί εισηγούνται τη στρατηγική «κάνε ένα διάγραµµα» πολύ συχνότερα από άλλες στρατηγικές όταν οι µαθητές αντιµετωπίζουν δυσκολίες στην ΕΜΠ (Hembree, 1992). Η συµβολή των διαγραµµάτων στην ΕΜΠ έγκειται στο γεγονός ότι µέσω αυτών παρουσιάζονται οι σηµαντικότερες πληροφορίες για την επίλυση ενός προβλήµατος και φαίνονται εναργέστερα τα δοµικά χαρακτηριστικά και οι σχέσεις µεταξύ των αριθµών του προβλήµατος. Παράλληλα, µε την αναπαράσταση ενός προβλήµατος µέσω ενός διαγράµµατος, ο λύτης προβαίνει σε αναδιοργάνωση των πληροφοριών του προβλήµατος µε τρόπο που να ελαχιστοποιείται το νοητικό φορτίο µε το οποίο επιβαρύνεται η εργαζόµενη µνήµη του κατά την ΕΜΠ. Ωστόσο, επισηµαίνεται ότι η χρήση των διαγραµµάτων καθίσταται υποβοηθητική για την ΕΜΠ µόνο όταν οι µαθητές κατανοήσουν τη σχέση µεταξύ του διαγράµµατος και των δοµικών χαρακτηριστικών του προβλήµατος. 4 η π τ υ χ ή Στο ΜΕΚΜΠ η γεφύρωση του χάσµατος «πρόβληµα-πράξη επίλυσής του» γίνεται µέσω τριών σταδίων: (α) µε την αναπαράσταση του προβλήµατος µέσω ενός διαγράµµατος, το οποίο παρουσιάζει τη δοµή του προβλήµατος,(β) µε τη συµπλήρωση του διαγράµµατος µε τρόπο που να αντικατοπτρίζονται οι σχέσεις των δοµικών χαρακτηριστικών του προβλήµατος και (γ) µε την αξιοποίηση του διαγράµµατος για την εξαγωγή της πράξης επίλυσης του προβλήµατος. Τα τρία επιµέρους στάδια δίνουν στον εκπαιδευτικό τη δυνατότητα να εντοπίσει σε ποιο/α σηµείο/α της πορείας ΕΜΠ αντιµετωπίζει δυσκολίες ο κάθε µαθητής. 16

Ωστόσο, οποιοδήποτε µοντέλο µπορεί να αποτελέσει τροχοπέδη στην πορεία ΕΜΠ αν δεν αξιοποιείται ευέλικτα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι µαθητές είναι δυνατό είτε να ακολουθούν εντελώς διαφορετική πορεία από αυτή που εισηγείται το µοντέλο είτε να προχωρούν µέσω της ίδιας πορείας, χωρίς όµως να ακολουθούν όλα τα ενδιάµεσα στάδια που εισηγείται το µοντέλο. Ως εκ τούτου, το µοντέλο θα πρέπει να παρουσιάζεται ως εργαλείο ΕΜΠ και να δίνεται περισσότερη έµφαση στον τρόπο που το χρησιµοποιούν οι µαθητές. 5 η π τ υ χ ή Για να λειτουργήσει αποτελεσµατικά το µοντέλο θα πρέπει να δίνεται έµφαση στη σύνδεση των δοµικών χαρακτηριστικών του προβλήµατος µε τα δοµικά χαρακτηριστικά του διαγράµµατος. Συνεπώς, χρειάζεται να εξετάζεται πώς οι µαθητές νοηµαδοτούν τα διαγράµµατα που περιλαµβάνονται στο µοντέλο και πώς τα αξιοποιούν κατά την ΕΜΠ. Με τον τρόπο αυτό ο εκπαιδευτικός αποκτά πρόσβαση στον τρόπο σκέψης των µαθητών κατά τα διάφορα στάδια επίλυσης ενός προβλήµατος. Περισσότερα στοιχεία καθώς και ιδέες για υλοποίηση της τελευταίας πτυχής παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 3. Στο κεφάλαιο αυτό παρατίθενται, παράλληλα, δραστηριότητες που αφορούν στην οικοδόµηση από τους ίδιους τους µαθητές των δικών τους εξωτερικών αναπαραστάσεων, καθώς γίνεται αποδεκτό ότι ένας από τους περιορισµούς του µοντέλου είναι η άµεση παρουσίαση επιβολή συγκεκριµένων διαγραµµάτων στους µαθητές. 2.6. Η σηµασία της κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων Η κατασκευή µαθηµατικών προβληµάτων (ΚΜΠ) από τους µαθητές αποτελεί µια από τις επιµέρους καινοτοµίες που περιλαµβάνονται στο ΜΕΚΜΠ, δεδοµένου ότι τέτοιες δραστηριότητες δεν εµφανίζονταν, τουλάχιστον σε συστηµατικό επίπεδο, στην προηγούµενη σειρά των βιβλίων των Μαθηµατικών. Ποιους στόχους δυνατό να εξυπηρετεί η εισαγωγή τέτοιων δραστηριοτήτων; Το ερώτηµα αυτό θα µπορούσε να εξειδικευτεί στα ακόλουθα ερωτήµατα: 17

Γιατί είναι σηµαντικό να κατασκευάσουν οι ίδιοι οι µαθητές προβλήµατα; Τι συγκεκριµένο προσφέρει στους µαθητές η κατασκευή µαθηµατικών προβληµάτων; Τι προσφέρουν στον ίδιο τον εκπαιδευτικό οι δραστηριότητες κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων; Η συµπερίληψη δραστηριοτήτων ΚΜΠ στο ΜΕΚΜΠ στηρίχτηκε σε µελέτες και έρευνες της τελευταίας κυρίως δεκαετίας που υποδεικνύουν το ρόλο δραστηριοτήτων υποβολής προβληµάτων στη βελτίωση της στάσης των µαθητών για τα Μαθηµατικά, αφού δίνουν στο µαθητή ενεργητικότερο ρόλο, καταρρίπτοντας το µύθο ότι «µόνο ο δάσκαλος µπορεί να υποβάλει προβλήµατα». Υποστηρίζεται, παράλληλα, ότι οι δραστηριότητες ΚΜΠ συµβάλλουν στην κατανόηση των διδαχθεισών εννοιών, προάγουν τη συνεργασία µεταξύ των µαθητών, παρέχουν ευκαιρίες για περισσότερη µαθηµατική επικοινωνία, οδηγούν σε πιο ευέλικτη σκέψη και συµβάλλουν στην ενδυνάµωση των µεταγνωστικών ικανοτήτων των µαθητών (Silver, 1994). Επισηµαίνεται, επίσης, ότι η ανάπτυξη της ικανότητας των µαθητών στην ΚΜΠ συνδέεται θετικά µε την ανάπτυξη της ικανότητάς ΕΜΠ. Τονίζεται, ωστόσο, ότι κάτι τέτοιο καθίσταται εφικτό όταν οι δραστηριότητες ΚΜΠ δίνουν την ευκαιρία στους µαθητές να επικεντρωθούν στα δοµικά χαρακτηριστικά των προβληµάτων. Από την άλλη, η ΚΜΠ αποτελεί για τους εκπαιδευτικούς ένα παράθυρο πρόσβασης στη σκέψη των µαθητών, αφού τα προβλήµατα που διατυπώνουν οι µαθητές παρέχουν ενδείξεις για το επίπεδο, τον τρόπο σκέψης, τις δυνατότητες και τις αδυναµίες των µαθητών τους. Ωστόσο, η ΚΜΠ θεωρείται δραστηριότητα µε αυξηµένο βαθµό δυσκολίας, αφού έρευνες έδειξαν ότι τόσο οι µαθητές όσο και οι ίδιοι οι εκπαιδευτικοί συναντούν δυσκολίες κατά την υποβολή προβληµάτων (Silver, Mamona- Downs, Leung & Kenney, 1996). 18

6 η π τ υ χ ή Οι δραστηριότητες κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων που περιλαµβάνονται στο ΜΕΚΜΠ είναι δυνατό να βελτιώσουν τη στάση των µαθητών για τα Μαθηµατικά και να ενισχύσουν τις ικανότητές τους στην ΕΜΠ. Για το σκοπό αυτό στις δραστηριότητες υποβολής προβληµάτων χρειάζεται να δίνεται έµφαση στα δοµικά χαρακτηριστικά των προβληµάτων. Οι δραστηριότητες αυτές παρέχουν, επίσης, στον εκπαιδευτικό πρόσβαση στον τρόπο σκέψης των µαθητών και στις δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι τελευταίοι κατά την επίλυση των προβληµάτων. 3. Η συµβολή της Θεωρίας Σχήµατος στη βελτίωση των ικανοτήτων των µαθητών στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων Η συµβολή της ΘΣ στην προαγωγή της επίδοσης των µαθητών στην ΕΜΠ φάνηκε και από µια σειρά παρεµβατικών προγραµµάτων που στηρίζονται στις βασικές αρχές της θεωρίας. Οι Willis and Fuson (1988), για παράδειγµα, εξέτασαν τη συµβολή ενός παρεµβατικού προγράµµατος στη βελτίωση της ικανότητας των µαθητών στην επίλυση προβληµάτων αθροιστικής δοµής. Στην έρευνά τους συµµετείχαν µαθητές δευτέρας τάξης δηµοτικού σχολείου οι οποίοι εξασκήθηκαν στην αναγνώριση της δοµής προβληµάτων µιας πράξης και στην αναπαράσταση των δεδοµένων τους µε τη βοήθεια διαγραµµάτων. Από την έρευνα προέκυψε ότι η επίδοση των µαθητών στην ΕΜΠ βελτιώθηκε σηµαντικά. Στην έρευνα των Philippou και Christou (1999) εξετάστηκε η συµβολή ενός µοντέλου ΕΜΠ στην προαγωγή αντίστοιχων ικανοτήτων των µαθητών. Συγκεκριµένα, µαθητές Ε τάξης του δηµοτικού σχολείου χωρίστηκαν σε δύο οµάδες, την πειραµατική οµάδα και την οµάδα ελέγχου. Η πειραµατική οµάδα συµµετείχε σε παρεµβατικό πρόγραµµα, κατά τη διάρκεια του οποίου οι µαθητές εξασκήθηκαν στην αναγνώριση της δοµής προβληµάτων µιας και δύο πράξεων, στην αναπαράστασή τους µέσω τεσσάρων διακριτών διαγραµµάτων, στο συνδυασµό διαγραµµάτων για την επίλυση σύνθετων προβληµάτων και στον εντοπισµό των κατάλληλων πράξεων για την επίλυση των προβληµάτων. Η οµάδα ελέγχου διδάχτηκε ΕΜΠ µέσω του «παραδοσιακού» τρόπου διδασκαλίας (ανάγνωση προβλήµατος και άµεση εύρεση εξίσωσης-πράξης επίλυσής του προβλήµατος). Από την έρευνα βρέθηκε ότι οι µαθητές της πειραµατικής οµάδας σηµείωσαν στατιστικά µεγαλύτερη βελτίωση στην ΕΜΠ από τους µαθητές της οµάδας ελέγχου. Η Jitendra και οι συνεργάτες της (2002) µέσα από µια σειρά ερευνών εξέτασαν τη συµβολή της ΘΣ στη βελτίωση της επίδοσης ΕΜΠ µαθητών µε χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά ή µε µαθησιακές δυσκολίες. Κοινό χαρακτηριστικό των πιο πάνω ερευνών ήταν το παρεµβατικό πρόγραµµα, το 19

οποίο αναπτυσσόταν σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση του προγράµµατος οι µαθητές έρχονταν σε επαφή µε µαθηµατικές ιστορίες και καλούνταν να αναγνωρίσουν τη δοµή τους και να τις αναπαραστήσουν µέσω διαγραµµάτων. Στη δεύτερη φάση οι µαθητές αναγνώριζαν τη δοµή µαθηµατικών προβληµάτων και τοποθετούσαν τα δεδοµένα και τα ζητούµενά τους στα κατάλληλα διαγράµµατα, καθένα από τα οποία αντιστοιχούσε σε συγκεκριµένη δοµή προβλήµατος. Από τις έρευνες αυτές βρέθηκε ότι η επίδοση των µαθητών στην ΕΜΠ βελτιώθηκε σηµαντικά. Επιπρόσθετα, φάνηκε ότι οι ικανότητες ΕΜΠ που απέκτησαν οι µαθητές κατά τη συµµετοχή τους στο παρεµβατικό πρόγραµµα διατηρούνταν µέχρι και τέσσερις εβδοµάδες µετά το πέρας του προγράµµατος, ενώ, παράλληλα, οι µαθητές µπόρεσαν να αξιοποιήσουν τις δεξιότητες που απέκτησαν για την επίλυση προβληµάτων δύο και τριών πράξεων. 7 η π τ υ χ ή Έρευνες έδειξαν ότι παρεµβατικά προγράµµατα που αξιοποίησαν τις βασικές θεωρητικές παραδοχές και δραστηριότητες της Θεωρίας Σχήµατος συνέβαλαν στην προαγωγή των ικανοτήτων των µαθητών στην ΕΜΠ. Φάνηκε, επίσης, ότι ακόµα και οι λιγότερο ικανοί µαθητές επωφελούνται από τα προγράµµατα αυτά. Όχι µόνο βελτιώνεται η επίδοσή τους στην επίλυση προβληµάτων µιας πράξης, αλλά, επιπρόσθετα, καθίστανται ικανοί να µεταφέρουν τις δεξιότητες που αποκτούν και κατά την επίλυση πιο σύνθετων προβληµάτων. Το ΜΕΚΜΠ µπορεί να ειδωθεί ως ένα τέτοιο παρεµβατικό πρόγραµµα. 20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙI ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1. Εισαγωγικά Η Θεωρία Σχήµατος και το µοντέλο που εισήχθηκε στα βιβλία του δηµοτικού σχολείου στηρίζονται σε δύο βασικές αρχές: την κατηγοριοποίηση των προβληµάτων σε διακριτούς τύπους ανάλογα µε τη δοµή τους και την προσπάθεια οικοδόµησης τεσσάρων τύπων γνώσης απαραίτητων για τη λύση των προβληµάτων. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αναλυτικότερα οι δύο αυτές βασικές αρχές. Παρατίθενται, επίσης, αποτελέσµατα από την έρευνα που διεξήχθη από το Πανεπιστήµιο Κύπρου, τα οποία αφορούν στην ιεράρχηση έργων επίλυσης και κατασκευής µαθηµατικών προβληµάτων ανάλογα µε το βαθµό δυσκολίας τους. Η ιεράρχηση αυτή µπορεί να αποτελέσει σηµείο αναφοράς για τον εκπαιδευτικό, ώστε να διαβαθµίζει τόσο τα προβλήµατα που παρουσιάζει στους µαθητές όσο και τις επιµέρους κατηγορίες ασκήσεων που αποσκοπούν να βοηθήσουν τους µαθητές να οικοδοµήσουν τους τύπους γνώσης που προϋποθέτει το µοντέλο. Παρατίθενται, επίσης, εισηγήσεις για την υπέρβαση των δυσκολιών που εντοπίστηκαν κατά τη διδασκαλία των επιµέρους τύπων προβληµάτων. Παρουσιάζεται, τέλος, µια συλλογή ασκήσεων-δραστηριοτήτων µε στόχο τη διασαφήνιση των τεσσάρων τύπων γνώσης που περιλαµβάνει το µοντέλο. 2. Κατηγοριοποίηση των προβληµάτων ανάλογα µε τη δοµή τους Η δοµή των απλών αριθµητικών προβληµάτων µελετήθηκε από τα τέλη της δεκαετίας του 1970. Συγκεκριµένα, τα προβλήµατα µιας πράξης διαχωρίστηκαν σε δύο µεγάλες κατηγορίες: τα προβλήµατα αθροιστικής δοµής (προβλήµατα που λύνονται µε πρόσθεση-αφαίρεση) και τα προβλήµατα πολλαπλασιαστικής δοµής (προβλήµατα που λύνονται µε πολλαπλασιασµό-διαίρεση). Τα προβλήµατα αθροιστικής δοµής επιµερίστηκαν σε τέσσερις κατηγορίες: αλλαγής, σύγκρισης, οµαδοποίησης και εξισορρόπησης (Fuson, 1992), ενώ τα προβλήµατα πολλαπλασιαστικής δοµής διαχωρίστηκαν σε προβλήµατα ίσων οµάδων, ίσων µέτρων, προβλήµατα ρυθµού, µετατροπής µέτρων, σύγκρισης, µέρους-όλου, ορθογώνιας διάταξης και καρτεσιανού γινοµένου (Greer, 1992). Αναγνωρίζοντας τη σηµασία της ευαισθητοποίησης των µαθητών στα δοµικά χαρακτηριστικά των προβληµάτων και στηριζόµενη στους τύπους 21

των προβληµάτων που επισηµάνθηκαν σε προηγούµενες έρευνες, η Marshall (1993, 1995) πρότεινε µια δική της κατηγοριοποίηση που περιλαµβάνει πέντε κατηγορίες προβληµάτων (αλλαγής, οµαδοποίησης, σύγκρισης, παράφρασης και αναλογίας). Σε αντίθεση µε τις κατηγοριοποιήσεις που προτάθηκαν σε προηγούµενες έρευνες (π.χ. Fuson, 1992; Greer, 1992), η Marshall ελαχιστοποίησε τον αριθµό των διαφορετικών τύπων-κατηγοριών προβληµάτων, υποστηρίζοντας ότι είναι καλύτερα οι µαθητές να διαθέτουν ένα µικρό σύνολο νοητικών σχηµάτων, το οποίο να αξιοποιούν ευέλικτα για να επιλύουν όλα τα προβλήµατα ρουτίνας. Αν και η κατηγοριοποίηση που προτείνει η Marshall περιλαµβάνει λιγότερους τύπους προβληµάτων από όσους αναφέρονται σε προηγούµενες κατηγοριοποιήσεις, καλύπτει, κατά ένα µεγάλο µέρος, όλους τους δυνατούς τύπους προβληµάτων. Συγκεκριµένα, οι τρεις κατηγορίες των προβληµάτων αθροιστικής δοµής που προτείνονται στη ΘΣ (αλλαγής, οµαδοποίησης, σύγκρισης) ταυτίζονται µε τις αντίστοιχες κατηγορίες προβληµάτων που προτάθηκαν από άλλους ερευνητές. Τα µόνα προβλήµατα αθροιστικής δοµής που δεν αναφέρονται ως ξεχωριστή κατηγορία στη ΘΣ είναι τα προβλήµατα εξισορρόπησης (π.χ. «Ο Γιάννης έχει 8 βόλους. Ο Κώστας έχει 12 βόλους. Πόσους βόλους χρειάζεται ακόµα ο Γιάννης, ώστε να έχει τον ίδιο αριθµό βόλων µε τον Κώστα;»). Ωστόσο, τα προβλήµατα αυτά προκύπτουν από το συνδυασµό των προβληµάτων αλλαγής και σύγκρισης. Η συγκριτική µελέτη των προβληµάτων πολλαπλασιαστικής δοµής που προτείνονται στη ΘΣ µε τις κατηγορίες που προτάθηκαν από άλλους ερευνητές φανερώνει ότι τα προβλήµατα παράφρασης ταυτίζονται µε τα προβλήµατα πολλαπλασιαστικής σύγκρισης. Από την άλλη, τα προβλήµατα αναλογίας µπορούν να καλύψουν όλες τις υπόλοιπες κατηγορίες προβληµάτων, εκτός από τα προβλήµατα ορθογώνιας διάταξης και καρτεσιανού γινοµένου. Αναλυτικότερα, τα προβλήµατα ίσων οµάδων, ίσων µέτρων, ρυθµού, µετατροπής µέτρων και µέρους-όλου χαρακτηρίζονται από ισοµορφισµό ως προς τα στοιχεία που περιλαµβάνουν. Σε αυτά τα προβλήµατα παρατηρείται µια άµεση αναλογική σχέση µεταξύ των ποσοτήτων τους, στοιχείο που αποτελεί και το διακριτικό χαρακτηριστικό των προβληµάτων αναλογίας που προτείνονται στη ΘΣ. Τρεις από τις κατηγορίες των προβληµάτων που περιλαµβάνονται στη ΘΣ εισήχθηκαν αυτούσιες στο ΜΕΚΜΠ (προβλήµατα αλλαγής, οµαδοποίησης και αναλογίας), ενώ οι άλλες δύο (σύγκριση, παράφραση) παρουσιάζονται οµαδοποιηµένες ως τέταρτη κατηγορία (προβλήµατα σύγκρισης). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι τέσσερις κατηγορίες προβληµάτων που περιλαµβάνονται στο ΜΕΚΜΠ και τα χαρακτηριστικά κάθε κατηγορίας. 22

2.1. Προβλήµατα αλλαγής Στα προβλήµατα αυτά παρατηρείται αλλαγή µιας µετρήσιµης ποσότητας. Συγκεκριµένα, στα προβλήµατα αλλαγής περιλαµβάνεται µια µόνο ποσότητα, η οποία έχει δύο διακριτές τιµές σε ισάριθµες χρονικές στιγµές. Ως εκ τούτου, τα προβλήµατα αλλαγής περιλαµβάνουν τρεις αριθµούς: τον αριθµό που εκφράζει την ποσότητα πριν την αλλαγή, τον αριθµό που εκφράζει τη µεταβολή της ποσότητας (αύξηση ή µείωση) και τον αριθµό που εκφράζει την τελική ποσότητα. Μπορούν να διακριθούν έξι διαφορετικοί τύποι τέτοιων προβληµάτων, οι οποίοι προκύπτουν από το καρτεσιανό γινόµενο {τύπος αλλαγής (αύξηση ή µείωση) Χ θέση της άγνωστης ποσότητας (αρχική, ενδιάµεση ή τελική τιµή)}, όπως φαίνεται στον Πίνακα 1. Για σκοπούς σύγκρισης το συγκείµενο-ιστορία των προβληµάτων διατηρήθηκε το ίδιο. Τα προβλήµατα 2, 3 και 6 θεωρούνται ασυνεπή, αφού η λεκτική διατύπωσή τους δεν συνάδει µε την πράξη επίλυσής τους (π.χ. στο πρόβληµα 3 αναφέρεται η λέξη «κέρδισε», αλλά το πρόβληµα λύνεται µε αφαίρεση). Αντίθετα, τα προβλήµατα 1, 4 και 5 είναι συνεπή, αφού η διατύπωσή τους βρίσκεται σε αντιστοιχία µε την πράξη επίλυσής τους. Κατηγορία Προβλήµατα αλλαγής (αύξησης) Προβλήµατα αλλαγής (µείωσης) ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ιαφορετικοί τύποι προβληµάτων αλλαγής Άγνωστη Παράδειγµα προβλήµατος ποσότητα Τελική τιµή (1) Ο Γιάννης είχε 6 βόλους. Έπαιξε ένα παιχνίδι και κέρδισε 9 βόλους. Πόσους βόλους έχει τώρα; Ποσότητα (2) Ο Γιάννης είχε 6 βόλους. Έπαιξε ένα µεταβολής παιχνίδι και κέρδισε ακόµα µερικούς βόλους. Τώρα έχει 15 βόλους. Πόσους βόλους κέρδισε στο παιχνίδι που έπαιξε; Αρχική τιµή (3) Ο Γιάννης είχε κάποιους βόλους. Έπαιξε ένα παιχνίδι και κέρδισε 6 βόλους. Τώρα έχει 15 βόλους. Πόσους βόλους είχε στην αρχή; Τελική τιµή (4) Ο Γιάννης είχε 15 βόλους. Έπαιξε ένα παιχνίδι και έχασε 9 βόλους. Πόσοι βόλοι Ποσότητα µεταβολής Αρχική τιµή του έµειναν; (5) Ο Γιάννης είχε 15 βόλους. Έπαιξε ένα παιχνίδι και έχασε µερικούς. Τώρα έχει 6 βόλους. Πόσους βόλους έχασε; (6) Ο Γιάννης είχε κάποιους βόλους. Έπαιξε ένα παιχνίδι και έχασε 9 βόλους. Τώρα έχει 6 βόλους. Πόσους βόλους είχε στην αρχή; 23

Από την έρευνα που διεξήχθη προέκυψε ότι τα προβλήµατα αλλαγής µε άγνωστη την τελική ποσότητα ήταν ευκολότερα από τα προβλήµατα αλλαγής µε άγνωστη την ποσότητα µεταβολής. υσκολότερα ήταν τα προβλήµατα αλλαγής µε άγνωστη την αρχική ποσότητα. Το µοτίβο αυτό παρατηρήθηκε συστηµατικά σε όλους τους τύπους γνώσης που παρουσιάζονται στην ενότητα 3 του παρόντος κεφαλαίου. Από την έρευνα προέκυψε, επίσης, ότι κάποιοι µαθητές αναγνωρίζουν ως προβλήµατα αλλαγής τα προβλήµατα που λύνονται µε αφαίρεση, ενώ ταυτίζουν τα προβλήµατα που λύνονται µε πρόσθεση µε τον επόµενο τύπο προβληµάτων (προβλήµατα οµαδοποίησης). Οι δραστηριότητες που προτείνονται στο επόµενο κεφάλαιο δυνατό να βοηθήσουν τους µαθητές να αποδεσµευτούν από την ταύτιση του διαγράµµατος αυτού µε τα «προβλήµατα αφαίρεσης». Για τη διδασκαλία των προβληµάτων αλλαγής προτείνεται το ακόλουθο διάγραµµα: Μεταβολή Αρχική τιµή Τελική τιµή Είναι σηµαντικό οι µαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι το διάγραµµα παρουσιάζει τη χρονική εξέλιξη που περιγράφεται στο πρόβληµα (η οποία αποδίδεται µε τη χρήση του τόξου) και ότι στα προβλήµατα αυτά υπάρχει µια µόνο ποσότητα, η οποία µεταβάλλεται µε την πάροδο του χρόνου. Για να προάγουν την κατανόηση της χρονικής διαδοχής των γεγονότων που περιγράφονται στα προβλήµατα αλλαγής, οι εκπαιδευτικοί µπορούν σε πρώτη φάση να ζητούν από τους µαθητές να τοποθετούν στο διάγραµµα τα γεγονότα µιας ιστορίας (όχι κατ ανάγκη µαθηµατικής) όπως αυτά εξελίσσονται χρονικά. Οι µαθητές µπορούν, επίσης, να χρησιµοποιούν τη φορά του τόξου για να εξάγουν την πράξη λύσης του προβλήµατος. Για παράδειγµα, σε ένα πρόβληµα αύξησης στο οποίο η αρχική τιµή είναι άγνωστη, η µεταβολή έχει τιµή Α και η τελική τιµή ισούται µε Β, η εξίσωση διαµορφώνεται ως ακολούθως: ν+α=β, η οποία καταλήγει στη λύση ν=α-β (ν= η άγνωστη ποσότητα). Η προσέγγιση αυτή βοηθά τους µαθητές να αντιληφθούν γιατί, ενώ στο πρόβληµα υπονοείται η πράξη της πρόσθεσης (είναι πρόβληµα αύξησης), τελικά γίνεται αφαίρεση. Επιπρόσθετα, µε την προσέγγιση αυτή οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δεν αντιµετωπίζονται ξεχωριστά, αλλά ως αντίθετες διαδικασίες. Συνοπτικά, τα κυριότερα χαρακτηριστικά των προβληµάτων αλλαγής και τα κυριότερα ευρήµατα της έρευνας που σχετίζονται µε τα προβλήµατα αυτά είναι: 24

Τα Προβλήµατα Αλλαγής Περιλαµβάνουν µια µόνο ποσότητα. Η ποσότητα αυτή διαφοροποιείται µε την πάροδο του χρόνου (χρονική εξέλιξη). Το τόξο στο διάγραµµα δείχνει τη µεταβολήχρονική εξέλιξη. Υπάρχουν έξι διαφορετικοί τύποι προβληµάτων, ανάλογα µε τη θέση εµφάνισης της άγνωστης ποσότητας και τη µορφή της αλλαγής (αύξηση-µείωση). Από την έρευνα βρέθηκε ότι τα προβλήµατα στα οποία η άγνωστη ποσότητα εµφανίζεται ως το τελικό ποσό είναι τα ευκολότερα, ενώ τα προβλήµατα στα οποία η άγνωστη ποσότητα κατέχει τη θέση της αρχικής ποσότητας είναι τα δυσκολότερα. 2.2. Προβλήµατα οµαδοποίησης Στα προβλήµατα οµαδοποίησης ένας αριθµός υποοµάδων (δύο ή περισσότερες) συνδυάζεται µε τρόπο που να δηµιουργείται µια µεγαλύτερη οµάδα. Τα προβλήµατα οµαδοποίησης περιλαµβάνουν τρεις τουλάχιστον ποσότητες: τις ποσότητες των δύο τουλάχιστον υποοµάδων και τη συνολική ποσότητα. Είναι προβλήµατα πρόσθεσης ή αφαίρεσης, ανάλογα µε τη θέση της άγνωστης ποσότητας. Αν ο άγνωστος του προβλήµατος είναι η συνολική ποσότητα, τότε το πρόβληµα λύνεται µε πρόσθεση. αν ο άγνωστος είναι το σύνολο των αντικειµένων µιας υποοµάδας λύνεται µε αφαίρεση. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να διακριθούν δύο δυνατοί τύποι προβληµάτων, ανάλογα µε τη θέση της άγνωστης ποσότητας, όπως φαίνεται στον Πίνακα 2. Τα προβλήµατα της κατηγορίας αυτής, αντίθετα µε τα προβλήµατα της αλλαγής, τα οποία αφορούν σε δυναµικές καταστάσεις όπου µια ποσότητα µεταβάλλεται µε την πάροδο κάποιου χρονικού διαστήµατος, περιγράφουν καταστάσεις όπου δύο ή περισσότερες ποσότητες που έχουν ένα τουλάχιστον κοινό χαρακτηριστικό συνενώνονται. ΠΙΝΑΚΑΣ 2 ιαφορετικοί τύποι προβληµάτων οµαδοποίησης Κατηγορία Άγνωστη Παράδειγµα προβλήµατος Προβλήµατα οµαδοποίησης ποσότητα Συνολική ποσότητα Ποσότητα υποοµάδας (1) Ο Γιάννης έχει 12 µπλε και 15 κίτρινους βόλους. Πόσους βόλους έχει ο Γιάννης; (2) Ο Γιάννης έχει 27 βόλους. Οι 12 είναι µπλε. Οι υπόλοιποι είναι κίτρινοι. Πόσους κίτρινους βόλους έχει ο Γιάννης; 25

Από την έρευνα βρέθηκε ότι τα προβλήµατα οµαδοποίησης στα οποία ζητούνταν η συνολική ποσότητα ήταν ευκολότερα από τα προβλήµατα οµαδοποίησης στα οποία ζητούνταν η µια από τις δύο µικρότερες οµάδες. Το µοτίβο αυτό παρατηρήθηκε συστηµατικά σε όλους τους τύπους γνώσης (βλ. ενότητα 3) Προέκυψε, επίσης, ότι οι δυσκολίες που παρουσίαζαν οι µαθητές στα προβλήµατα αυτά οφείλονταν αφενός στην αδυναµία τους να συνειδητοποιήσουν ευρύτερες κατηγορίες συνόλων και τις υποοµάδες τους (π.χ. ενήλικες= άντρες και γυναίκες) καθώς και στην ταύτιση των προβληµάτων αυτών µε τα προβλήµατα πρόσθεσης. Για τη διδασκαλία των προβληµάτων οµαδοποίησης προτείνεται το ακόλουθο διάγραµµα: Ποσότητα Α Ποσότητα B Συνολική ποσότητα Θα πρέπει να αναφερθεί ότι το πιο πάνω διάγραµµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την συνένωση τριών ή περισσότερων οµάδων. Για να κατανοήσουν οι µαθητές τη σύνδεση των προβληµάτων οµαδοποίησης µε τα δοµικά χαρακτηριστικά του διαγράµµατος θα πρέπει να αντιληφθούν ότι το διάγραµµα αποδίδει σχηµατικά των τρόπο συνένωσης συνόλων. Επιπρόσθετα, χρειάζεται να διασφαλιστεί ότι οι µαθητές αντιλαµβάνονται την ιεραρχία των εννοιών: τη δυνατότητα δύο ή περισσότερων εννοιών να οµαδοποιηθούν και να αποτελέσουν µια ευρύτερη έννοια και αντίστροφα τη δυνατότητα ανάλυσης µιας γενικότερης-ευρύτερης έννοιας στις επιµέρους. Συνοπτικά, τα κυριότερα χαρακτηριστικά των προβληµάτων οµαδοποίησης και τα σχετικά µε τα προβλήµατα αυτά ευρήµατα της έρευνας είναι: Τα Προβλήµατα Οµαδοποίησης Περιλαµβάνουν δύο ή περισσότερες οµοειδείς ποσότητες µε ένα τουλάχιστον κοινό χαρακτηριστικό που ενώνονται σε ένα ευρύτερο σύνολο. Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι προβληµάτων, ανάλογα µε τη θέση εµφάνισης της άγνωστης ποσότητας. Από την έρευνα βρέθηκε ότι τα προβλήµατα στα οποία ζητείται η συνολική ποσότητα είναι ευκολότερα από αυτά που ζητούν την εύρεση της µιας από τις µικρότερες οµάδες. Το διάγραµµα της οµαδοποίησης αποδίδει τον τρόπο συνένωσης των συνόλων για να αποτελέσουν ένα ευρύτερο σύνολο. 26

2.3. Προβλήµατα αναλογίας Στα προβλήµατα αναλογίας, περιγράφεται µια σχέση µεταξύ δύο ποσοτήτων (ποσότητες Α και Β), η οποία µπορεί να γενικευτεί και σε άλλες καταστάσεις (ποσότητες Γ και ). Η σχέση αυτή διατηρείται ανεξάρτητα από τη µεταβολή των ποσοτήτων του προβλήµατος. Κατά συνέπεια, όταν µεταβάλλεται η πρώτη ποσότητα, παρατηρείται αντίστοιχη αυξοµείωση στη δεύτερη ποσότητα. Τα απλά προβλήµατα αναλογίας είναι της µορφής «αν... τότε» και λύνονται είτε µε πολλαπλασιασµό είτε µε διαίρεση. Στην κατηγορία αυτή διακρίνονται κυρίως τέσσερις τύποι προβληµάτων, ανάλογα µε τη θέση της άγνωστης ποσότητας, όπως φαίνεται στον Πίνακα 3. Κατηγορία Προβλήµατα Αναλογίας ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ιαφορετικοί τύποι προβληµάτων αναλογίας Άγνωστη ποσότητα Παράδειγµα προβλήµατος* Ποσότητα Α (1) 12 βόλοι στοιχίζουν 60 σεντ. Ο Γιάννης κρατά µόνο 5 σεντ. Πόσους βόλους µπορεί να αγοράσει; Ποσότητα Β (2) Ο Γιάννης πλήρωσε 60 σεντ για 12 βόλους που αγόρασε. Πόσα στοίχιζε ο ένας; Ποσότητα Γ (3) Ένας βόλος στοιχίζει 5 σεντ. Ο Γιάννης κρατά 60 σεντ. Πόσους βόλους µπορεί να αγοράσει; Ποσότητα (4) Ένας βόλος στοιχίζει 5 σεντ. Ο Γιάννης αγόρασε 12 βόλους. Πόσα πλήρωσε; *Στα προβλήµατα αυτά δεν είναι απαραίτητο να περιλαµβάνεται η τιµή 1, όπως παρατηρείται στο πιο κάτω πρόβληµα:«αν ο Γιάννης πλήρωσε 60 σεντ για 12 βόλους που αγόρασε, πόσα στοιχίζουν τρεις βόλοι»; Από την έρευνα προέκυψε ότι τα προβλήµατα αναλογίας στα οποία ζητούνταν η ποσότητα ήταν ευκολότερα από τους υπόλοιπους τρεις τύπους προβληµάτων. Το µοτίβο αυτό παρατηρήθηκε συστηµατικά σε όλους τους τύπους γνώσης που παρουσιάζονται στη συνέχεια. Προέκυψε, επίσης, η ανάγκη κατά τη διδασκαλία των προβληµάτων αυτών να δίνεται έµφαση στη διατήρηση της αναλογικής σχέσης µεταξύ των ποσοτήτων παρά στον εντοπισµό λέξεων-κλειδιών (όπως π.χ. οι λέξεις «αν, τότε», «κάθε» κτλ). Η παρουσίαση προβληµάτων στα οποία δεν διατηρείται η αναλογική αυτή σχέση δυνατό να βοηθήσει τους µαθητές να συνειδητοποιήσουν πότε και γιατί µπορούν να κατηγοριοποιούν τα προβλήµατα αναλογίας ως τέτοια και πότε όχι. 27

Για τη διδασκαλία των προβληµάτων αναλογίας προτείνεται το ακόλουθο διάγραµµα: Ποσότητα Α Ποσότητα Β Ποσότητα Γ Ποσότητα Τόσο από τα σχόλια των εκπαιδευτικών που συµµετείχαν στην έρευνα όσο και από τις παρατηρήσεις µαθηµάτων στα οποία οι µαθητές καλούνταν να χρησιµοποιήσουν το συγκεκριµένο διάγραµµα προέκυψε η ανάγκη επισήµανσης του λόγου χρήσης δύο διαφορετικών σχηµάτων στο διάγραµµα της αναλογίας. Συγκεκριµένα, οι µαθητές χρειάζεται να καθοδηγηθούν να τοποθετούν τις όµοιες ποσότητες στα ίδια σχήµατα (π.χ. τους βόλους στα τετράγωνα και τα χρήµατα στις ελλείψεις ή αντίστροφα). Χρειάζεται, επίσης, να κατανοήσουν ότι η σχέση αφορά σε δύο ανόµοιες ποσότητες (χρήµατα και βόλους). Τέλος, οι µαθητές θα πρέπει να ενθαρρυνθούν να χρησιµοποιούν το µοντέλο ευέλικτα για την τοποθέτηση των δεδοµένων, παρά να δίνεται υπερβολική έµφαση στην τοποθέτηση των αριθµών σε συγκεκριµένες θέσεις. Για παράδειγµα, ο αριθµός 1 δεν τοποθετείται πάντα στο ορθογώνιο της πρώτης σειράς. Για την επίλυση του δεύτερου προβλήµατος του Πίνακα 3 είναι πιο λογικό ο αριθµός αυτός να εµφανίζεται στην κάτω σειρά. Θεωρείται, επίσης, σηµαντικό οι µαθητές να εισαχθούν σταδιακά και στην επίλυση πιο σύνθετων προβληµάτων, στα οποία είτε χρειάζεται να γίνει η αναγωγή στη µονάδα ως ενδιάµεσο βήµα είτε µπορούν να λυθούν εντοπίζοντας τη σχέση µεταξύ των αριθµών του προβλήµατος (π.χ. «Με 35 σεντ αγοράζω 7 βόλους. Πόσα λεφτά χρειάζοµαι για να αγοράσω 10 βόλους»;). υσκολίες εντοπίστηκαν, τέλος, και στην εξαγωγή της εξίσωσης-πράξης επίλυσης των προβληµάτων αναλογίας από ένα συµπληρωµένο διάγραµµα. Προτείνεται, ως εκ τούτου, αντί να δίνεται έµφαση στην αλγοριθµική «µέθοδο των τριών» να ενθαρρύνονται οι µαθητές να εντοπίζουν σχέσεις µεταξύ των αριθµών του προβλήµατος, στοιχείο που προλειαίνει το έδαφος για τη συστηµατική µελέτη των αναλογιών στη Στ τάξη. Για παράδειγµα, για την επίλυση του προβλήµατος 2 του Πίνακα 3, αφού συµπληρωθεί το διάγραµµα, οι µαθητές µπορούν να ενθαρρυνθούν να ανακαλύψουν σχέσεις µεταξύ των αριθµών ως ακολούθως: 12 βόλοι 60 σεντ 1 βόλος άγνωστος 28