κ ατιε ιναισυµµετρικ οαν δρ ωντα π ανωτουµεκ αποιοτρ οπο αυτ οπαραµ ενει οπω ηταναρχικ α Hermann Weyl αρµον ιη αφαν η φανερ η κρε ιττων Ηρ ακλειτο

Κεφ αλαιο5 Συµµετρ ιε -Θε ωρηµατη Noether κ ατιε ιναισυµµετρικ οαν δρ ωντα π ανωτουµεκ αποιοτρ οπο αυτ οπαραµ ενει οπω ηταναρχικ α Hermann Weyl αρµον ιη αφαν η φανερ η κρε ιττων Ηρ ακλειτο 5.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει Ενααπ οταβασικ απλεονεκτ ηµατατη λαγκρανζιαν η θε ωρηση ε ι- Kυκλικ ε µετα λητ ε ναι οτιαποκαλ υπτειµε αµεσοτρ οποποσ οτητε πουδιατηρο υνταικατ α τηνκ ινησηεν ο φυσικο υσυστ ηµατο.χαρακτηριστικ οπαρ αδειγµααποτελε ιηπερ ιπτωσηµ ια γενικευµ ενη συντεταγµ ενη, εστωτη q k,ηοπο ια δενεµφαν ιζεταιστηλαγκρανζιαν η.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηεπειδ η L q k = 0 απ οτι εξισ ωσει Euler-Lagrangeπροκ υπτει οτι ( ) d L = 0, dt q k καιηγενικευµ ενηορµ η p k = L q k, ησυζυγ η τη συντεταγµ ενη q k,διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση.οισυντεταγµ ενε πουδενεµφαν ιζονταιστηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηονοµ αζονταικυκλικ ε.μεβ ασητηνπαραπ ανωαν αλυσησυµπερα ινουµε οτιηγενικευµ ενηορµ ηπουε ιναισυζυγ η µια κυκλικ η µετα λητ η ε ιναιδιατηρο υµενηποσ οτητα. Ω παρ αδειγµα,α θεωρ ησουµε ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταισε εναεπ ιπεδουπ οτηνεπ ιδρασηεν ο κεντρικο υπεδ ιουπουπεριγρ αφεταιαπ οτο δυναµικ ο V (r), οπου rηαπ οστασητουσωµατιδ ιουαπ οτοκ εντροτων 115

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Λαγκρανζιαν η ανεξ αρτητητη θ σωµατιδ ιου κινο υµενουσε επ ιπεδο συντεταγµ ενων.ηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουσωµατιδ ιουσεπολικ ε συντεταγµ ενε (r, θ)ε ιναι L = m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 ) V (r). (5.1) Ε ιναιεµφαν ε οτιηπαραπ ανωλαγκρανζιαν ησυν αρτησηδεν εχεικαµ ια εξ αρτησηαπ οτηγων ια θκαισυνεπ ω ησυζυγ η ω προ τηγων ια θορµ η p θ = mr 2 θ, διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση.ηδιατηρο υµενηαυτ ηορµ ηδενε ιναι αλλη απ οτηστροφορµ ητουσωµατιδ ιουω προ τοκ εντροτη δ υναµη εκπεφρασµ ενησεπολικ ε συντεταγµ ενε.ηστροφορµ η,απ ο,τιγνωρ ιζουµε, διατηρε ιταισεκεντρικ απεδ ια. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση5.1. Εξετ αστεανδιατηρε ιταιηστροφορµ ηω προ κ αποιο αλλοσηµε ιο αναφορ α. Ασκηση5.2. Επαναλ α ετετηνπαραπ ανωαν αλυσηγιατηνκ ινησηεν ο σωµατιδ ιουσετρει διαστ ασει.γρ αψτετηλαγκρανζιαν ησεσφαιρικοπολικ ε συντεταγµ ενε. Ποιαε ιναιτ ωραηδιατηρο υµενηποσ οτητα; Εισαγωγ ηστην εννοια Ηδιαπ ιστωση οτισεκ αθεκυκλικ ηµετα λητ ηαντιστοιχε ικαιµ ιαδιατουµετασχηµατισµο υ τηρο υµενηορµ ηµπορε ιναδιατυπωθε ικαιµεκ αποιον αλλοτρ οποπου θααποδειχθε ιιδια ιτεραχρ ησιµο, οτανπροσπαθ ησουµεναγενικε υσουµε τηναναζ ητησηδιατηρο υµενωνποσοτ ητων.τογεγον ο οτιηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιου (5.1)δενεξαρτ αταιαπ οτηγων ια θσηµα ινει οτι,αν µετασχηµατ ισουµετι γων ιε απ ο θσε Θ(ǫ) = θ + ǫ, οπου ǫε ιναιµ ιασυνεχ η παρ αµετρο,αφ ηνοντα οµω τι αποστ ασει ιδιε, r R = r,η Λαγκρανζιαν ηπαραµ ενειαναλλο ιωτη,ανεξαρτ ητω τη τιµ η τη παρα- µ ετρου ǫ.οµετασχηµατισµ ο αυτ ο τωνσυντεταγµ ενωνε ιναιστηνουσ ια στροφ ητουσωµατιδ ιουκατ αγων ια ǫ. Αυτ οσηµα ινει οτιηλαγκρανζιαν η,υπολογισµ ενηστι ν εε συντεταγµ ενε L ǫ = L(R, Ṙ, Θ, Θ) = L(r, ṙ, θ + ǫ, θ), ε ιναι ισηµετηναρχικ ηλαγκρανζιαν η (L ǫ = L = L ǫ=0 ). Με αλλαλ ογιαηλαγκρανζιαν ησωµατιδ ιουσεκεντρικ οπεδ ιοε ιναιαναλλο ιωτησε στροφ ε,δηλαδ ηηλαγκρανζιαν ηε ιναισυµµετρικ η (βλ.τονορισµ οτου Weylστηναρχ ητουκεφαλα ιου)ω προ τοσυνεχ ηµετασχηµατισµ οτων στροφ ων.επειδ ηηπαρ αµετρο ǫε ιναισυνεχ η, εχουµετηδυνατ οτητανα παραγωγ ισουµετηλαγκρανζιαν ηω προ ǫκαιναεκφρ ασουµετησυµ- µετρ ιατη Λαγκρανζιαν η ισοδ υναµαω ακολο υθω : L ǫ ǫ = 0. (5.2) ǫ=0 Οµηδενισµ ο τη παραγ ωγουστο ǫ = 0,ανκαιστοσυγκεκριµ ενοπαρ αδειγµαφα ινεταιναµην εχεικαν εναιδια ιτερον οηµα (ηπαρ αγωγο ε ιναι

5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 117 ιδιαανεξαρτ ητω τη τιµ η του ǫ),ε ιναι, οπω θαδο υµεαργ οτερα,ηµοναδικ ηαναγκα ιασυνθ ηκηπουεξασφαλ ιζειτην υπαρξηδιατηρο υµενων ποσοτ ητων.στοσυγκεκριµ ενοπαρ αδειγµα,αυτ ηησυνθ ηκηεξασφαλ ιζεταιαπ οτογεγον ο οτι L θ = 0, µιασχ εσηπουµετησειρ ατη συνεπ αγεται, οπω ε ιδαµε,τηδιατ ηρηση τη στροφορµ η p θ. Συµπερα ινουµε,λοιπ ον, οτιηδιατ ηρησητη στροφορµ η πηγ αζειαπ οτηναναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η σεστροφ ε. Α εξετ ασουµεστησυν εχεια αλλο εναπαρ αδειγµα ωστεναµπορ εσου- µεναγενικε υσουµεταπροηγο υµενασυµπερ ασµατ αµα. Εστωδ υοσω- µατ ιδια,ταοπο ιακινο υνταισεµ ιαευθε ιακαιαλληλεπιδρο υνµεκ αποιο δυναµικ ονευτ ωνειουτ υπου.ανονοµ ασουµετι θ εσει τωνσωµατιδ ιων Παρ αδειγµα οπουη x 1 και x 2 αντ ιστοιχα,ηλαγκρανζιαν ητο υτουτουσυστ ηµατο θαε ιναι χωρικ ηµετ αθεση αποτελε ισυµµετρ ια L = 1 2 (m 1ẋ 2 1 + m 2ẋ 2 2 ) V ( x 1 x 2 ). (5.3) Υπ αρχει, αραγε,συνεχ η µετασχηµατισµ ο τωνσυντεταγµ ενων,οοπο ιο αφ ηνειαναλλο ιωτητηλαγκρανζιαν η;πρ αγµατιυπ αρχει πρ οκειταιγια τοµετασχηµατισµ ο x 1 X 1 (ǫ) x 1 + ǫ, x 2 X 2 (ǫ) x 2 + ǫ, οοπο ιο αφ ηνειαναλλο ιωτητηλαγκρανζιαν η,δι οτιαφεν ο ηκινητικ η εν εργειαδενµετα αλλεται (Ẋi(ǫ) = ẋ i,µε i = 1, 2)καιαφετ ερουηδυνα- µικ ηεν εργειαδεναλλ αζει,αφο υηαπ οστασηµεταξ υτωνσωµατιδ ιωνδεν επηρε αζεταιαπ οαυτ οτοµετασχηµατισµ ο. Οπω καιστοπροηγο υµενο παρ αδειγµα,επειδ η ισχ υειεπ ιση οτι αφο υε ιναι L ǫ ǫ = ǫ=0 L ǫ ǫ = 0, ǫ=0 L + L = 0, (5.4) x 1 x 2 [ Lǫ X 1 (ǫ) + L ǫ X 1 (ǫ) ǫ X 2 (ǫ) = L x 1 + L x 2. ] X 2 (ǫ) ǫ ǫ=0 Ετσι,οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeπροστιθ εµενε δ ινουν ( d L + L ) = 0. (5.5) dt ẋ 1 ẋ 2 Τογεγον ο,λοιπ ον, οτιηλαγκρανζιαν ηε ιναιαναλλο ιωτησεµεταθ εσει (αυτ οακρι ω πραγµατοποιε ιοµετασχηµατισµ ο πουχρησιµοποι ησαµε) οδ ηγησεσεδιατ ηρησητη ποσ οτητα L ẋ 1 + L ẋ 2 = m 1 ẋ 1 + m 2 ẋ 2,

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER ΗNoetherδιατυπ ωνει καιαποδεικν υειτο οµ ωνυµοθε ωρηµα Συνεχε ι καιδιακριτ ε συµµετρ ιε δηλαδ ητη ολικ η ορµ η τουσυστ ηµατο τωνσωµατιδ ιων.απ οτηνευτ ωνειαµηχανικ ηγνωρ ιζουµε οτιηδιατ ηρησητη ολικ η ορµ η ε ιναιαποτ ελεσµατουτρ ιτουν οµουτουνε υτωνα,τονοπο ιοστηνουσ ια εχουµελ α- ειυπ οψηστηνκατασκευ ητουδυναµικο υαλληλεπ ιδραση,θεωρ ωντα οτιτο Vε ιναισυν αρτησητου x 1 x 2 και οχιµιααυθα ιρετησυν αρτησητων x 1, x 2. Στοπαραπ ανωπαρ αδειγµαδε ιξαµε οτιηδιατ ηρησητη ολικ η ορµ η ε ιναιισοδυν αµω συν επειατη αναλλοι οτητα τουδυναµικο υσε χωρικ ε µεταθ εσει.κατ αρχ α δενθαµπορο υσαµενααποφανθο υµεαν ο ενα απ οτου δ υον οµου οτρ ιτο ν οµο τουνε υτωνα ηηαναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η εν ο αποµονωµ ενουσυστ ηµατο σεχωρικ ε µεταθ εσει τουσυστ ηµατο συντεταγµ ενων ε ιναιπιοθεµελι ωδη απ οτον αλλο. Εφ οσον, οµω,ηδιατ ηρησητη ολικ η ορµ η πουσυνεπ αγεταιη αναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η υπ οκ αποιοσυνεχ ηµετασχηµατισµ ο τωνσυντεταγµ ενωνε ιναιευρ υτερη εφαρµογ η,µπορο υµεναυποστηρ ιξουµε οτιηαναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η σεκ αποιου µετασχηµατισµο υ,ω ανταν ακλασητωναντ ιστοιχωνσυµµετρι ωντουσ υµπαντο,κατ εχειπιοθεµελι ωδηθ εσηστηφυσικ ηαπ οτηδιατ ηρησητη ορµ η η αλλων γνωστ ωνποσοτ ητωνµεµονωµ ενα. Ηπαρατ ηρησηαυτ η, οτιδηλαδ ηοιδιατηρο υµενε ποσ οτητε προκ υπτουναπ οτηναναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η σεκ αποιου συνεχε ι µετασχηµατισµο υ, εχειτηνισχ υθεωρ ηµατο,τουεπονοµαζ οµενουθεωρ ηµατο τη Noether (1918). HEmmyNoether [1882-1935],µιαεξα ιρετη µαθηµατικ ο καιθεωρητικ ο φυσικ ο, ητανηπρ ωτηπουδι ε λεψεκαι απ εδειξετησχ εσηµεταξ υσυµµετρι ωνκαιδιατηρο υµενωνποσοτ ητων, θ εµαπουαν επτυξεκατ ατηνυφηγεσ ιατη στοπανεπιστ ηµιοτουgɻottingenστηγερµαν ια.ε ιναιασυν ηθιστο ενατ οσοσπουδα ιοθε ωρηµαναφ ερειτο ονοµαµια γυνα ικα. Αντ ιθετααπ ο ο,τισυµ α ινειστησηµεριν η εποχ η,λ ιγε ητανεκε ινητηνεποχ ηοιγυνα ικε πουσπο υδαζανκαιακ οµη λιγ οτερε εκε ινε πουσυν εχιζαντι σπουδ ε µετ ατοπτυχ ιοτου.ηκοινων ιατωναρχ ωντου20ουαι ωνααντιµετ ωπιζεµεπροκατ αληψητι λιγοστ ε γυνα ικε πουπρ ο αλλαναξι ωσει γιατηνκατ αληψηυψηλ ωνακαδη- µα κ ωνθ εσεων. Στηνπερ ιπτωση,µ αλιστα,τη Noetherηπροκατ αληψη αυτ ηεκδηλ ωθηκεµετην αρνησητωνπρυτανικ ωναρχ ωντουπανεπιστη- µ ιουτουgɻottingenνακ ανουνδεκτ ητηνυφηγεσ ιατη, οτανπρωτοκατατ εθηκετο 1915.Οτ ιτλο τουυφηγετ ητελικ ατη απονεµ ηθηκετ εσσερα χρ ονιααργ οτερα,το 1919, 1 κατ οπινπι εσεωντουκαθηγητ ητη Noether, David Hilbert[1862-1943]. ΟτανηΛαγκρανζιαν ηπαραµ ενειαναλλο ιωτησεκ αποιοσυνεχ ηµετασχηµατισµ ο,οµετασχηµατισµ ο αυτ ο λ εγεται(συνεχ η )συµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η,µετην ιδιαλογικ ηπουοορθ ο κ υλινδρο λ εµε οτιπαρουσι αζεικυλινδρικ ησυµµετρ ια,αφο υδενυφ ισταταικαµ ιααλλαγ η οταν στραφε ιγ υρωαπ οτον αξον ατου.σταπαραδε ιγµαταπου ηδηεξετ ασαµε διαφα ινεταιηαν αγκηθε ωρηση µετασχηµατισµ ωνπουεξαρτ ωνταισυνεχ ω καιµεδιαφορ ισιµοτρ οποαπ οκ αποιαπαρ αµετρο ǫ.οιδιατηρο υµε- 1 Γιαπερισσ οτερε λεπτοµ ερειε σχετικ αµετηζω ητη Noetherµπορε ιτεναδια ασετε το αρθρο TheLifeandTimesofEmmyNoether τη N.Byers (βλ.τηνιστοσελ ιδα http : //xxx.lanl.gov/p S_cache/hep th/pdf/9411/9411110.pdf)

5.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 119 νε ποσ οτητε προ εκυψαναπ οτηδιαφ ορισητη Λαγκρανζιαν η ω προ αυτ ηνακρι ω τηνπαρ αµετρο.αυτ οδενθα ητανεφικτ οανησυµµετρ ια ητανδιακριτ η.ω παρ αδειγµαδιακριτ η συµµετρ ια µπορο υµεναθεωρ ησουµετονκατοπτρισµ οτωνσυντεταγµ ενων x i X i x i στοπρ ο ληµατωνδ υοαλληλεπιδρ ωντωνσωµατιδ ιων. Aυτ ο οµετασχη- µατισµ ο πουδενεξαρτ αταιαπ οκ αποιασυνεχ ηπαρ αµετροαποτελε ιδιακριτ ησυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η,ηοπο ιαστηνκλασικ ηµηχανικ η, αντ ιθετααπ ο,τισυµ α ινειστηνκ αντικ ηµηχανικ η,δενπαρ αγεικαµ ια διατηρο υµενηποσ οτητα.μια αλληδιακριτ ησυµµετρ ιαγιατο ιδιοπρ ο- ληµαµεσωµατ ιδια ιδια µ αζα ε ιναιηεναλλαγ ητωνσωµατιδ ιων x 1 x 2, x 2 x 1. Ωστ οσοκαιαυτ ηησυµµετρ ιαδενοδηγε ιστηδιατ ηρησηκ αποια ποσ οτητα στηνκλασικ ηµηχανικ η. Απ οτηνπαραπ ανωαν αλυσηφα ινεται οτιγιατηνκατασκευ ητη δια- Απειροστο ικαι τηρο υµενη ποσ οτητα αρκε ιναγνωρ ιζουµεµ ονοτηναπειροστ η,σεπρ ωτηδηλαδ ητ αξη,εξ αρτησητουµετασχηµατισµο υαπ οτηνπαρ αµετρο ǫ.η απειροστ ηαυτ ηµορφ ητουµετασχηµατισµο υ, οπω θαδο υµε,αρκε ιγια ναπροσδιορ ισουµεπλ ηρω τοµετασχηµατισµ ο,αφο υµπορο υµεβ ηµαβ ηµαναοικοδοµ ησουµετοµετασχηµατισµ ογιακ αθεπεπερασµ ενητιµ η του ǫ. πεπερασµ ενοι µετασχηµατισµο ι 5.2 Τοθε ωρηµατη Noether Σετο υτοτοεδ αφιοθαδιατυπ ωσουµετοθε ωρηµατη Noetherσεδ υο φ ασει,γιαναγ ινειπιοκατανοητ ο,καιθατοαποδε ιξουµε. Στησυν εχειαθατοεφαρµ οσουµεσε ενασ υστηµααλληλεπιδρ ωντωνσωµατιδ ιων µεστ οχοναεξετ ασουµεαπ οποιε συµµετρ ιε πηγ αζουν ολε οιγνωστ ε διατηρο υµενε ποσ οτητε (ορµ η,στροφορµ η,εν εργεια)καθ ω επ ιση και κ αποιε αλλε ποσ οτητε πουσυνδ εονταιµετου γαλιλαι κο υ µετασχη- µατισµο υ. Προτο υδιατυπ ωσουµετοθε ωρηµατη Noether,θαπαρουσι ασουµετη Η εννοιατουσυνεχο υ γενικ οτερηµορφ ηεν ο συνεχο υ µετασχηµατισµο υσυντεταγµ ενων. Εστω εναφυσικ οσ υστηµαπουπεριγρ αφεταιαπ οτι Nγενικευµ ενε συντεταγµ ενε q 1, q 2,...,q N. Α θεωρ ησουµεεπ ιση Nν εε συναρτ ησει Q 1, Q 2,..., Q N τωναρχικ ωνσυντεταγµ ενων q i καθ ω καιµια ν εα συνεχο υ µετα λητ η ǫ,τ ετοιε ωστε Q a (q 1, q 2,...,q N, ǫ) = q a, οταν ǫ = 0. (5.6) Οισυναρτ ησει αυτ ε θαπα ιξουντορ ολοτωνν εωνσυντεταγµ ενων. Η παρ αµετρο ǫε ιναιαυτ ηπουµεσυνεχ ητρ οποαλλ αζειτι συντεταγµ ενε απ ο qσε Q,εν ω, οταν ǫ = 0,οισυντεταγµ ενε qκαι Qσυµπ ιπτουν µετασχηµατισµο υτων συντεταγµ ενων

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER µ ιαπρο µ ια (βλ.σχ ηµα 5.1). Ενα τ ετοιο µετασχηµατισµ ο ονοµ αζεταισυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η,ανηλαγκρανζιαν ηστι ν εε συντεταγµ ενε δεναλλ αζειαριθµητικ ασεπρ ωτητ αξηω προ τηνπαρ αµετρο ǫ,δηλαδ η ( L Q(q, ǫ), ) dq(q, ǫ), t = L(q, q, t) + O(ǫ 2 ), dt οπουµετι q η Qυπονοο υµετη N- αδατωναντ ιστοιχωνσυντεταγµ ενων. Hσυναρτησιακ ηµορφ ητη Λαγκρανζιαν η µπορε ινααλλ αξει, οταναυτ η γραφε ιω συν αρτησητων Qαντ ιτων q,αλλ αηαριθµητικ ητη τιµ ηθαε ιναι ιδια, οταναναφ ερεταιστην ιδιαθ εσηκαιταχ υτητατουσυστ ηµατο σε µιαορισµ ενηχρονικ ηστιγµ η,ε ιτεαυτ ε εκφρ αζονταιµ εσωτων q, q,ε ιτε µ εσωτων Q, Q. Επειδ ηηπαρ αµετρο ǫε ιναισυνεχ η,α θεωρ ησουµετηνοικογ ενεια τωναπειροστ ωνµετασχηµατισµ ων Q i (q, ǫ = 0) = Q i (q, 0) + ǫ Q i ǫ q i + ǫk i (q), ǫ=0 οιοπο ιοιπροσεγγ ιζουντογενικ οµετασχηµατισµ ο Q i (q, ǫ)γιαµικρ α ǫ.οι Σχ ηµα5.1:σεαυτ οτοσχ ηµααπεικον ιζονταιοισυντεταγµ ενε τουφυσικο υσυστ ηµατο γιαδι αφορε τιµ ε του ǫ. Οσοµεγαλ ωνειητιµ ητη παραµ ετρου ǫτ οσοδιαφοροποιο υνταιοικαινο υργιε Qσυντεταγµ ενε απ οτι αρχικ ε qσυντεταγµ ενε.για ǫ = 0(κατ ωτεροπλ εγµα)οι qκαι Qσυντεταγµ ενε συµπ ιπτουν,εν ωγια ǫ 0ε ιναιδιαφορετικ ε. ηλαδ η,τοκ αθεσηµε ιοτουχ ωρου (επ ανωστοκατ ωτεροπλ εγµα)µπορε ινακαθοριστε ιε ιτεµ εσωτων q i,ε ιτεµ εσωτων Q i,οιοπο ιε οµω εχουνδιαφορετικ ε τιµ ε οτανη παρ αµετρο ǫε ιναιµηµηδενικ η. Ετσι,ηκ αθε Q i συντεταγµ ενηκ αποιουσηµε ιουτου χ ωρουµπορε ιναεκφραστε ιω συν αρτησητων q j καιτη παραµ ετρου ǫ. απειροστο ιµετασχηµατισµο ιεπαναλαµ αν οµενοιµπορο υνναοικοδοµ ησουντονπεπερασµ ενοµετασχηµατισµ ο. Yπ οαυτ ητην εννοια,οµετασχηµατισµ ο προσδιορ ιζεταιπλ ηρω απ οτι συναρτ ησει K i (q)µε i = 1, 2,..., N,οιοπο ιε λ εγονταικαιγενν ητορε τουµετασχηµατισµο υ.σε επ οµενοκεφ αλαιο, οπουθααναλ υσουµεδιεξοδικ ατηδρ ασητουµετασχηµατισµο υτωνστροφ ων,θα εχουµετηνευκαιρ ιαναπαρουσι ασουµε

5.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 121 τοντρ οποµετονοπο ιοοιγενν ητορε µια απειροστ η στροφ η παρ αγουν µιαπεπερασµ ενηστροφ η. Ε ιµαστετ ωραπιασεθ εσηναδιατυπ ωσουµετοθε ωρηµατη Noether σεµιαπρ ωτηµορφ η. Τοθε ωρηµατη Noether:Ε ανηλαγκρανζιαν ηεν ο συστ ηµατο ιατ υπωσηκαι ε ιναισυµµετρικ ησεκ αποιου συνεχε ι απειροστο υ µετασχη- απ οδειξητου µατισµο υ K i,τ οτεηποσ οτητα θεωρ ηµατο τη Noether(περιορισµ ενη K µορφ η) i p i διατηρε ιται, οπου p i ε ιναιηγενικευµ ενηορµ η( L/ q i ),συζυγ η τη q i. Απ οδειξη:ανγρ αψουµετηλαγκρανζιαν ηστι ν εε συντεταγµ ενε και αναπτ υξουµεω προ τηναπειροστ ηπαρ αµετρο ǫ,επειδ η Q = q + ǫ K εχουµε L(Q, Q, t) = L(q + ǫk, q + ǫ K, t) ( L = L(q, q, t) + ǫ K i + L ) K i + O(ǫ 2 ), (5.7) q i q i υπονο ωντα τηναθροιστικ ησ υµ ασηγιαεπαναλαµ αν οµενου δε ικτε. Αφο υηλαγκρανζιαν ηε ιναισυµµετρικ ηω προ του µετασχηµατισµο υ αυτο υ,ηπρ ωτη τ αξη ω προ ǫποσ οτηταστοαν απτυγµα (5.7)πρ επει ναε ιναιταυτοτικ αµηδ εν.εποµ ενω,ηαναλλοι οτητατη Λαγκρανζιαν η συνεπ αγεται L K i + L K i = 0. (5.8) q i q i Επειδ η, οµω,ηq i (t)ε ιναιφυσικ ητροχι ατουσυστ ηµατο καιικανοποιε ι τι εξισ ωσει Euler-Lagrange,θαισχ υειακ οµη οτι ( ) d L = L, dt q i q i Συνεπ ω,ησυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η οδηγε ιστηδιατ ηρηση,κατ ατη φυσικ ηκ ινησητουσυστ ηµατο,τη ποσ οτητα L q i K i, (5.9) καιω εκτο υτουη(5.8)µπορε ιναγραφε ι,µεχρ ησητη αθροιστικ η σ υµ- αση,ω εξ η : L K i + L K i = d ( ) L K i + L d q i q i dt q i q i dt K i = d ( ) L K i = 0. dt q i δηλαδ ηστηδιατ ηρησητη συνισταµ ενη τωνγενικευµ ενωνορµ ωνστηδιε υθυνσητουεκ αστοτεγενν ητορατη συµµετρ ια.

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 5.3 ιατ ηρησηορµ η καιστροφορµ η Υπ οτοπρ ισµατουθεωρ ηµατο τη Noetherα επανεξετ ασουµετοπαρ αδειγµαπουσυναντ ησαµεστοεισαγωγικ οεδ αφιοτουπαρ οντο κεφαλα ιουσεγενικ οτερη,τ ωρα,µορφ η. Εστω Nσωµατ ιδιαπουαλληλεπιδρο υνµενευτ ωνειε δυν αµει,δηλαδ ησυντηρητικ ε δυν αµει πουικανοποιο υντοντρ ιτον οµοτουνε υτωνα.ηλαγκρανζιαν ηαυτο υτουσυστ ηµατο ε ιναι L = 1 2 m i x i 2 j=i+1 V ( x i x j ). (5.10) Απλ ε µεταθ εσει τωνχωρικ ων συντεταγµ ενων X i = x i + ǫ r, (5.11) Τοδιπλ ο αθροισµαδικαιολογε ιταιαπ οτογεγον ο οτιπρ επειναληφθο υν οιδυναµικ ε εν εργειε αλληλεπ ιδραση γιακ αθεζε υγο σωµατιδ ιων.το j > iστηδε υτερη αθροισηεξασφαλ ιζει οτικ αθεζε υγο σωµατιδ ιωνλαµ- ανεταιµ ονοµ ιαφορ α.ε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσεικανε ι, οτι,ανεκτελ εσειτονακ ολουθοµετασχηµατισµ οσυντεταγµ ενων δηλαδ ηανµετατοπ ισει ολατασωµατ ιδιαστηδιε υθυνσητου r,ηλαγκρανζιαν ηδενθαµετα ληθε ι.παρατηρο υµε οτισεαυτ οντοµετασχηµατισµ ο οιταχ υτητε παραµ ενουναµετ α λητε,αφο υτο rε ιναι ενασταθερ οδι ανυσµα αµετ α λητε επ ιση παραµ ενουνκαιοισχετικ ε αποστ ασει µεταξ υ τωνσωµατιδ ιων.ποιαδιατηρο υµενηποσ οτητακρ υ εταιπ ισωαπ οαυτ ην τησυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η ;Ογενν ητορα τουµετασχηµατισµο υε ιναιο K i = X i ǫ = r. ǫ=0 Αφο υτοσυνολικ οπλ ηθο τωνσυντεταγµ ενωντουσυστ ηµατο ε ιναι 3N τρει γιακ αθεσωµατ ιδιο,υπ αρχουν 3Nγενν ητορε,του οπο ιου για ευκολ ια εχουµεοµαδοποι ησεισε Nτρι αδε γρ αφοντ α του ω διαν υσµατα. Τ ωρα,ε ιναιε υκολοναδιακρ ινουµετηδιατηρο υµενηποσ οτητα. Πρ οκειταιγιατην r L x i = r m i xi = r P ολ. (5.12) Ηδιατ ηρησητη ορµ η ω συν επειατη οµογ ενεια τουχ ωρου Ηπαρ αγωγο ω προ τοδι ανυσµα x i πουεµφαν ιζεταιστι παραπ ανω σχ εσει µπορε ιναθεωρηθε ιω ενα συµ ολικ ο τρ οπο γραφ η εν ο διαν υσµατο,οισυνιστ ωσε τουοπο ιουε ιναιοιπαρ αγωγοιω προ τηνκ αθε συνιστ ωσατου x i.μεαυτ οντοσυµ ολισµ οτο αθροισµα ολωντωνγινο- µ ενωντωνγεννητ ορωνµετι αντ ιστοιχε ορµ ε εχειαντικατασταθε ιµε εναεσωτερικ ογιν οµενο. Αφο υτοδι ανυσµαπουορ ιζειτηχωρικ ηµετ αθεση rε ιναιαυθα ιρετο, ησυνολικ ηορµ η, P ολ,τουσυστ ηµατο τωνσωµατιδ ιωνδιατηρε ιταισταθερ ησεκ αθεκατε υθυνση.ηδιατ ηρησητη ορµ η ε ιναιαποτ ελεσµατου

5.3. ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 123 Σχ ηµα 5.2:Τοδι ανυσµα xστρ εφεταιαπειροστ ακατ αγων ια ǫγ υρωαπ οτον αξονα ˆn. οτιοιχωρικ ε µεταθ εσει αποτελο υνσυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η,γεγον ο τοοπο ιοµετησειρ ατουοφε ιλεταιστηνοµογ ενειατουχ ωρου,στο οτιδηλαδ η ολατασηµε ιατουχ ωρουε ιναιισοδ υναµα.εποµ ενω,ανµεταφ ερουµε ενασ υστηµασωµατιδ ιωναπ οµιαπεριοχ ητουχ ωρουσε αλλη, τοσ υστηµαθασυµπεριφερθε ικαιθαεξελιχθε ιµετον ιδιοακρι ω τρ οπο. Σ υµφωναµετι σ υγχρονε αντιλ ηψει περ ιδιαστελλ οµενουσ υµπαντο ο χ ωρο,ανκαιε ιναικαµπ υλο,ε ιναικαιπ αλιοµογεν η 2ηκατανοµ ητων σµην ωντωνγαλαξι ωνε ιναισεπολ υµεγ αλοβαθµ οοµοι οµορφηκαι ετσι σε οποιαθ εσητουσ υµπαντο καιανµεταφερθο υµεθαπαρατηρο υµετην ιδιακατανοµ η υλη γ υρωµα.αξ ιζειναεπισηµ ανουµε οτιτο υτοαποτελε ι ενααπ οταθεµελι ωδηερωτ ηµατατη σ υγχρονη αστροφυσικ η :γιατ ιτο Σ υµπανεµφαν ιζειτ ετοιαοµοιοµορφ ια;π ω κατ αφερεναεξαλε ιψεισχεδ ονολοκληρωτικ ακ αθεανοµοιοµορφ ιαπουπιθαν ω υπ ηρχεσταπρ ωιµα στ αδιατη διαστολ η του; Σεαυτ οτοσηµε ιοτη µελ ετη µα αρχ ιζουµεναυποψιαζ οµαστετην υπαρξηκ αποια αλλη δυνατ η συµµετρ ια τη Λαγκρανζιαν η (5.10)του συστ ηµατο των Nσωµατιδ ιων.ανστρ εψουµετοσ υστηµασυντεταγµ ε- Ηδιατ ηρησητη νων,θααλλ αξειηθ εσητωνσυντεταγµ ενωντωνσωµατιδ ιων,αλλ αοιαποστ ασει µεταξ υαυτ ων,ω µ ηκηδιανυσµ ατων,θαπαραµε ινουνσταθερ ε, εν ωοιταχ υτητε τωνσωµατιδ ιων,ω µ ηκηδιανυσµ ατων,θαδιατηρ ησουν τοµ ετροτου.οιστροφ ε,λοιπ ον,αποτελο υνσυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η.α κατασκευ ασουµετογενν ητορατωνστροφ ων,γιαναδο υµεσετι διατηρο υµενε ποσ οτητε θαοδηγηθο υµε. 3 Σεεπ οµενοκεφ αλαιο, οπου θααναλ υσουµεδιεξοδικ ατοθ εµατωνστροφ ων,θαδε ιξουµε οτιοισυντεταγµ ενε στηνπερ ιπτωσητωναπειροστ ωνστροφ ωνµεγ εθου φ = ǫ γ υρωαπ οτον αξονα ˆnµετασχηµατ ιζονταιω ακολο υθω : X = x + ǫˆn x. (5.13) 2 Οµογεν η ε ιναικαιηεπιφ ανειαµ ια σφα ιρα,τασηµε ιατη οπο ια δενδιακρ ινονται το ενααπ οτο αλλο,παρ ολοπουησφα ιραε ιναικαµπ υλο χ ωρο. 3 Κατ αντιστοιχ ιαµετοπρ ωτοπαρ αδειγµαπουχρησιµοποι ησαµεστοπαρ ονκεφ αλαιοπιθαν ω να εχετε ηδηµαντ εψει οτιαυτ οπουπρ οκειταιναδιατηρηθε ιε ιναιηστροφορµ ηκατ αµ ηκο του αξονατη στροφ η. στροφορµ η ω συν επειατη ισοτροπ ια του χ ωρου Απειροστ ε στροφ ε

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Θααρκεστο υµεεδ ωναδικαιολογ ησουµεαπλ ω τηνπερ ιεργηαυτ ηµορφ η τουµετασχηµατισµο υ (βλ.σχ ηµα 5.2).Τοαπειροστ οδι ανυσµαπουπροστ ιθεταιστηναρχικ ηθ εσηε ιναικ αθετοκαιστηναρχικ ηθ εσηκαιστοδι ανυσµα ˆn,εποµ ενω επιτυγχ ανει ο,τικαιµ ιαστροφ ητου xγ υρωαπ οτο ˆn. Τοµ ετροτη µετατ οπιση του xε ιναι ǫ x sin( x, ˆn),ακρι ω οσηκαιηµετακ ινησηπουθατουεπ εφερεµιαπολ υµικρ ηστροφ ηµεγ εθου ǫ.σηµει ωνουµε οτιοιστροφ ε πουεκτελ εστηκαν ηταναπειροστ ε οιπεπερασµ ενουµεγ εθου στροφ ε εχουνκ απω διαφορετικ ηµορφ η(βλ.κεφ αλαιο6). Ογενν ητορα,λοιπ ον,τωναπειροστ ωνστροφ ωνε ιναιo K = ˆn x, (5.14) καιηαντ ιστοιχηδιατηρο υµενηποσ οτηταε ιναιη (ˆn x i ) L x = (ˆn x i ) p i i οπου L ολ = = ˆn ( x i p i ) = ˆn L ολ, (5.15) ( x i p i ), ΑΣΚΗΣΕΙΣ ησυνολικ ηστροφορµ ητωνσωµατιδ ιων.εποµ ενω,ησυνιστ ωσατη συνολικ η στροφορµ η τωνσωµατιδ ιωνστηνκατε υθυνσητου αξονατη στροφ η διατηρε ιται.αφο υτοδι ανυσµαπουορ ιζειτηστροφ η ˆnε ιναιαυθα ιρετο,ησυνολικ ηστροφορµ ητουσυστ ηµατο τωνσωµατιδ ιωνδιατηρε ιταισταθερ ησεκ αθεκατε υθυνση. Ησυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η στι στροφ ε ε ιναικαιπ αλισυν επεια τη ισοτροπ ια τουσ υµπαντο,δηλαδ ητη ιδι οτητα σ υµφωναµετηνοπο ιαηεξ ελιξηεν ο αποµονωµ ενουσυστ ηµατο δενεξαρτ αταιαπ οτοπ ω ε ιναιστραµµ ενοτοσ υστηµαµ εσαστοσ υµπαν.αυτ οαποτελε ι αλληµια υπ οθεσηγιατι βασικ ε ιδι οτητε τουχ ωρου,ηοπο ιαε ιναισ υµφωνηµε ταπαρατηρησιακ αδεδοµ ενα,αφο υσεοποιαδ ηποτεκατε υθυνσηκαιαν στρ εψουµετοβλ εµµαµα στοσ υµπανπουµα περι αλλει,θαπαρατηρ ησουµετην ιδιακατανοµ ηγαλαξι ωνχωρ ι ναυπ αρχεικ αποιαπροεξ αρχουσαδιε υθυνση. Ασκηση5.3.Εξετ αστεποιε συνιστ ωσε τη στροφορµ η καιτη ορµ η διατηρο υνταιγια ενασωµατ ιδιο,τοοπο ιοκινε ιταιµ εσαστοβαρυτικ οπεδ ιοπουδηµιουργε ιµια οµογεν η κατανοµ ηµ αζα σχ ηµατο (α) απειρουκυλ ινδρου,(β) απειρουκ ωνου,(γ) απειρουεπιπ εδου,(δ) απειρη ευθε ια,(ε)ηµιευθε ια,(στ)ορθο υπρ ισµατο,(ζ)ηµι απειρου επιπ εδου, (η)τ ορου, (θ)σφα ιρα,(ι) απειρη κυλινδρικ η ελικα. [Σηµε ιωση: ενε ιναι αν αγκηναγνωρ ιζετεακρι ω τοβαρυτικ οπεδ ιοπαρ αµ ονοτι συµµετρ ιε του.](l.landau)

5.4. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 125 5.4 Γενικ οθε ωρηµατη Noether Εχουµεαναφερθε ι εω τ ωρασεµετασχηµατισµο υ πουµετα αλλουν µεσυνεχ ητρ οποτι συντεταγµ ενε καθορισµο υτη θ εση τουσυστ ηµατο.σεαυτο υ του µετασχηµατισµο υ οχρ ονο δεν επαιζεκ αποιονενεργητικ ορ ολο,αφο υοµετασχηµατισµ ο δενεξαρτι οταναπ οτοχρ ονο,ο υτε καιοχρ ονο υφ ιστατοκ αποιοµετασχηµατισµ ο. Στοπαρ ονεδ αφιοθα επεκτε ινουµετην εννοιατη συµµετρ ια στου γενικ οτερου χωροχρονικο υ µετασχηµατισµο υ πουαφ ηνουναναλλο ιωτητην ιδιατηδρ αση. 4 Α θεωρ ησουµε,λοιπ ον,µιαοικογ ενειααπειροστ ωνµετασχηµατισµ ων τη µορφ η Q i = q i + ǫk i (q 1, q 2,...,q N, t), T = t + ǫτ(q 1, q 2,...,q N, t), (5.16) οιοπο ιοιαφ ηνουντηδρ ασητουσυστ ηµατο πουπεριγρ αφεταιαπ οτι Nγενικευµ ενε συντεταγµ ενε q a αναλλο ιωτη.σεαυτ οτοσηµε ιοθαπρ επειναγ ινειµιαδιευκρ ινισητουτιεννοο υµεµετον οροαναλλοι οτητατη δρ αση.γνωρ ιζουµε οτιηδρ ασηε ιναιτοχρονικ οολοκλ ηρωµατη Λαγκρανζιαν η.τιθασυµ ε ι, οµω,αναλλ αξουµετηνπαρ αµετροτουχρ ονου;ποια οριαολοκλ ηρωση θαχρησιµοποι ησουµετ οτεγιαναυπολογ ισουµετηδρ ασηστι ν εε χωροχρονικ ε συντεταγµ ενε ;Αντιλαµ αν οµαστε οτι,αφο υηδρ ασηυπολογ ιζεταιω τοολοκλ ηρωµατη Λαγκρανζιαν η µεταξ υδ υοδεδοµ ενωνχωροχρονικ ωνσηµε ιων,δεν εχεισηµασ ιατι χωροχρονικ ε συντεταγµ ενε θαχρησιµοποι ησουµεγιαναπεριγρ αψουµε τασηµε ιααυτ α.θαθεωρο υµε,λοιπ ον, οτιοµετασχηµατισµ ο (5.16)αποτελε ισυµµετρ ιατη δρ αση, οταν Γενικο ιχωροχρονικο ι µετασχηµατισµο ι Συµµετρ ιατη δρ αση S(Q, T) = S(q, t) + O(ǫ 2 ), ηισοδυν αµω οταν T2 ( L Q, dq ) dt, T dt = T 1 t2 t 1 L(q, q, t) dt + O(ǫ 2 ). (5.17) Στηνπαραπ ανω εκφραση T 1, T 2 ε ιναιοιν εε χρονικ ε στιγµ ε πουαντιστοιχο υνστι συντεταγµ ενε καιστι χρονικ ε στιγµ ε τουαρχικο υκαιτελικο υχωροχρονικο υσηµε ιουµεταξ υτωνοπο ιωνυπολογ ιζεταιηδρ αση. Ετσι T 1 = T(q(t 1 ), t 1 ) και T 2 = T(q(t 2 ), t 2 ). Ω απλ οπαρ αδειγµαχωροχρονικ η συµµετρ ια τη δρ αση α θεωρ ησουµε εναελε υθεροσωµατ ιδιοστοχ ωρο,τοοπο ιο, οπω γνωρ ιζουµε, δι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η L = m 2 x 2. 4 Θα ηταν ισω ορθ οτεροναµιλ αµεγιασυµµετρ ιατη δρ αση και οχιγιασυµµετρ ια τη Λαγκρανζιαν η, οπω κ αναµεστοπροηγο υµενοεδ αφιο. εδοµ ενου οτιοχρ ονο δενυφ ισταταικαν εναµετασχηµατισµ ο,ανηλαγκρανζιαν ηε ιναιαναλλο ιωτησεκ αποιο µετασχηµατισµ ο,θαε ιναιαναλλο ιωτηκαιηδρ αση.

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Ηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηνοµαλ ηκαιευθ υγραµµηφυσικ ηκ ινησητου σωµατιδ ιουαπ οτο x 1 τηχρονικ ηστιγµ η t 1 στο x 2 τηχρονικ ηστιγµ η t 2, ε ιναι S = m x 2 x 1 2. 2 t 2 t 1 Παρατηρο υµε οτιηδρ ασηε ιναιαναλλο ιωτηστοναµιγ ω χρονικ οµετασχηµατισµ ο t t + ǫκαισυνεπ ω ηχρονικ ηµετ αθεσηαποτελε ισυµµετρ ιατη δρ αση τουελε υθερουσωµατιδ ιου.επ ιση απ οτην εκφρασητη δρ αση φα ινεται οτικαιοιχωρικ ε µεταθ εσει x x + ǫ a, οπου aε ιναι ενασταθερ οδι ανυσµα,ε ιναικαιαυτ ε συµµµετρ ιε τη δρ αση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση5.4. ε ιξτε οτιηχρονικ ηµετ αθεση T = t + ǫ, Q = qµετασχηµατ ιζει τι τροχι ε ετσι ωστεναικανοποιε ιταιησχ εση Q(T) = q(t ǫ).σχεδι αστεµιατροχι α πρινκαιµετ ατοµετασχηµατισµ ο. ε ιξτεακ οµη οτιγια ολε τι χρονοανεξ αρτητε Λαγκρανζιαν ε L(q, q)ηχρονικ ηµετ αθεσηικανοποιε ιτησχ εση (5.17)καιεποµ ενω ε ιναι συµµετρ ιατη δρ αση. Ηπαρ αγωγο dq/dt,πουεµφαν ιζεταιστην (5.17)ω µ ιααπ οτι µετα λητ ε τη ν εα Λαγκρανζιαν η,ε ιναι t 1 dq dt = Q T q + ǫ K = 1 + ǫ τ = q + ǫ( K τ q) + O(ǫ 2 ), οπουητελε ιαστι παραπ ανωποσ οτητε,γιαπαρ αδειγµαστην Q,συµ ολ ιζειολικ ηπαραγ ωγισηω προ t.στου µετασχηµατισµο υ (5.16)ηǫε ιναιµιααπειροστ ηποσ οτητακαιω εκτο υτουηαναλλοι οτητατη δρ αση (5.17)σηµα ινει οτισεπρ ωτητ αξηω προ ǫηαριστερ η εκφρασηγιατη δρ ασηδενδιαφ ερειαπ οτηδεξι α.αν,τ ωρα,αναπτ υξουµετηναριστερ η εκφρασηγιατηδρ ασηω προ ǫ,φροντ ιζοντα νααλλ αξουµεκαιπ αλιτη µετα λητ ηολοκλ ηρωση απ ο Tσε t, ωστενααποφ υγουµετηνεξ αρτηση τωνορ ιωναπ οτο ǫ,θα εχουµε ( ) t2 S(Q, T) = dt dt t 1 dt L q + ǫ K q + ǫk,, t + ǫτ T t2 [ = dt (1 + ǫ τ) L(q, q, t) + L ǫk i + L ǫ( q i q K i q i τ) + L ] i t ǫτ + O(ǫ 2 ) = S(q, t) + ǫ t2 t 1 dt [ L τ + L K i + L ( q i q K i q i τ) + L ] i t τ + O(ǫ 2 ). (5.18) Τοολοκλ ηρωµατ αξη ǫπουεµφαν ιζεταιστηντελευτα ια εκφρασητη σχ εση (5.18)θ ελουµεναε ιναιµηδενικ ο ωστεηδρ ασηναε ιναισυµµετρικ η

5.4. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 127 Σχ ηµα 5.3:Στο ιδιοδι αγραµµαπαριστ ανονταιοιισο-qκαιοιισο-tγραµµ ε (συνεχε ι γραµµ ε )καθ ω καιοιισο-qκαιοιισο-tγραµµ ε (διακεκοµµ ενε γραµµ ε ).Ηφυσικ η διαδροµ ητουσυστ ηµατο (παχι ακαµπ υλη)ε ιναιπροφαν ω ιδια,ε ιτεχρησιµοποι ησει κανε ι τι παλι ε ε ιτετι καινο υργιε χωροχρονικ ε συντεταγµ ενε γιανατηνπεριγρ αψει.απλ ω στονυπολογισµ οτη δρ αση τα οριαολοκλ ηρωση θααλλ αξουναπ ο t 1, t 2 σε T 1, T 2 καιηλαγκρανζιαν ηθαπρ επειναυπολογ ιζεταισεδιαφορετικ ε συντεταγµ ενε (Q, T)αντ ιτων (q, t)καισεδιαφορετικ ε ταχ υτητε dq/dtαντ ιτων dq/dt, οπω φα ινεταιστηµεγεθυσµ ενηλεπτοµ ερειατουσχ ηµατο. στοµετασχηµατισµ οπουθεωρ ησαµε.στηριζ οµενοιστι εξισ ωσει Euler- Lagrangeπουισχ υουνγιατηφυσικ ηδιαδροµ ητουσυστ ηµατο,δενε ιναι δ υσκολονααποδε ιξουµε οτιηολοκληρωτ εαποσ οτηταστησχ εση (5.18) πουπροσδιορ ιζειτηδιαφορ ατ αξη ǫτωνδρ ασεωνε ιναιµιατ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγο L τ + L K i + L ( q i q K i q i τ) + L i t τ = [ ( d L K i + L L ) ] q i τ. (5.19) dt q i q i Ασκηση5.5.Επι ε αι ωστετηνισ οτητα(5.19). [Υπ οδειξη:χρησιµοποι ηστετι εξι- ΑΣΚΗΣΕΙΣ σ ωσει Euler-Lagrange οπουχρει αζεται.] Οµηδενισµ ο τουολοκληρ ωµατο τη τ ελεια χρονικ η παραγ ωγου (5.19)συνεπ αγεται οτιηποσ οτητα ( L K i + L L ) q i τ, (5.20) q i q i λαµ ανειτην ιδιατιµ ηστηναρχικ ηκαιτηντελικ ηχρονικ ηστιγµ η t 1 και t 2 αντ ιστοιχα.επειδ η οµω οιχρονικ ε στιγµ ε t 1 και t 2 ε ιναιαυθα ιρετε,

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Ηδιατ ηρησητη εν εργεια ω συν επειατη οµογ ενεια τουχρ ονου συµπερα ινουµε οτιηποσ οτητα(5.20)διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση.ηδιατηρο υµενηποσ οτητα (5.20)µπορε ιπιοκοµψ α,αλλ ακαιπιοφυσικ α,να γραφε ιω K i p i Eτ, (5.21) οπου p i ε ιναιοιγενικευµ ενε ορµ ε και Eηγενικευµ ενηεν εργεια(τοολοκλ ηρωµατουjacobi)τουσυστ ηµατο.σεπερ ιπτωσησυµµετρ ια πουαφορ αµ ονοσεµετασχηµατισµο υ τωνχωρικ ωνσυντεταγµ ενων ( οταν τ = 0) λαµ ανουµετηδιατ ηρησητη ποσ οτητα K i p i πουε ιδαµεσεπροηγο υ- µενοεδ αφιο,εν ωσεσυµµετρ ιαπουαφορ ασεµετασχηµατισµ οµ ονοτου χρ ονου ( οταν K i = 0)προκ υπτειηδιατ ηρησητη εν εργεια. Σεαυτ οτοσηµε ιοε ιµαστεσεθ εσηνααπαντ ησουµεαµ εσω στοερ ωτηµαποιαδιατηρο υµενηποσ οτητασυνεπ αγεταιηµηεκπεφρασµ ενηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονοµια Λαγκρανζιαν η.ανθεωρ ησουµετοµετασχηµατισµ ο Q i = q i, T = t + ǫ, (5.22) δηλαδ η K i = 0, τ = 1,πουπροκαλε ιµετ αθεσηστοχρ ονοδ ιχω καµ ια µετα ολ ητωνσυντεταγµ ενων,παρατηρο υµε οτιηαντ ιστοιχηδιατηρο υ- µενηποσ οτηταε ιναιη E L q i q i L. (5.23) Με αλλαλ ογια,συστ ηµαταπουε ιναισυµµετρικ ασεµεταθ εσει στοχρ ονο διατηρο υντηνεν εργει ατου.γιατηνακρ ι εια,ηποσ οτητα(5.23)συµπ ιπτειµετηνεν εργειατουσυστ ηµατο,κινητικ η +δυναµικ η,εφ οσονηκινητικ ηεν εργειαπεριγρ αφεταιαπ οτηνκλασικ ηδιγραµµικ ηµορφ η 1 2 A ij(q) q i q j καιηδυναµικ ηεν εργειαε ιναισυν αρτησηµ ονοτωνθ εσεων. Αυτ η,λοιπ ον,ε ιναικαιηβαθ υτερηαιτ ιαστηνοπο ιαοφε ιλεταιηδιατ ηρησητη εν εργεια : ηοµογ ενειατουχρ ονου,τογεγον ο δηλαδ η οτι καµ ιαχρονικ ηστιγµ ηδενξεχωρ ιζειαπ οτι αλλε καιω εκτο υτουηµετ αθεσηεν ο συστ ηµατο στοχρ ονοαφ ηνειαναλλο ιωτητηλαγκρανζιαν η τουσυστ ηµατο.επειδ ηµ αλιστασεθεµελι ωδε επ ιπεδοαυτ οισχ υειγια ολε τι Λαγκρανζιαν ε τωνφυσικ ωνσυστηµ ατων,ηδιατ ηρησητη εν εργεια εχειτ οσοευρε ιαεφαρµογ η. Ισω,ανδενυπ ηρχεαυτ ηησυµµετρ ια τωνφυσικ ωνσυστηµ ατωνσεµεταθ εσει στοχρ ονοκαιοιφυσικο ιν οµοι αλλαζανµετηνπ αροδοτουχρ ονου,ηφυσικ ηναµηνε ιχετοχαρακτ ηρα επιστ ηµη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση5.6. ε ιξτε οτιγιαλαγκρανζιαν ε τη µορφ η L = 1 2 A ij(q) q i q j V (q 1, q 2,...,q N ) ηποσ οτητατη εκφραση (5.23)δενε ιναιτ ιποτε αλλοπαρ αηεν εργειατουσυστ ηµατο.

5.5. ΓΑΛΙΛΑΙɻΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 129 5.5 Ηδιατηρο υµενηποσ οτηταπουπαρ αγεται απ οτησυµµετρ ιαστου γαλιλαι κο υ µετασχηµατισµο υ Εκτ ο απ οτι προαναφερθε ισε οφθαλµοφανε ι συµµετρ ιε τουσ υ- µπαντο (οµογ ενειακαιισοτροπ ιαχ ωρου,οµογ ενειαχρ ονου)υπ αρχει, οπω εχουµεαναφ ερειστοκεφ αλαιο 3,καιµ ιασυµµετρ ιαπουδενε ιναι γεωµετρικ η,αλλ α εχει αµεσοφυσικ οπεριεχ οµενο:τογεγον ο οτι,αναλλ αξουµεαδρανειακ οσ υστηµααναφορ α καιπεριγρ αψουµετηνκ ινηση τουσυστ ηµατο στον εοσ υστηµα,οιεξισ ωσει κ ινηση δεναλλ αζουν.ο µετασχηµατισµ ο πουαντιστοιχε ιστηγαλιλαι κ ησχετικ οτητα 5 ε ιναι X i (t) = x i (t) + ǫ vt, (5.24) οπουεπιλ εξαµεναγρ αψουµετησχετικ ηταχ υτητατωνδ υοενλ ογωαδρανειακ ωνσυστηµ ατωνω ǫ v, ωστεναµπορο υµενατηµετα αλλουµεµε Οµετασχηµατισµ ο του συνεχ ητρ οποµ εσωτη παραµ ετρου ǫ.α ελ εγξουµεστησυν εχειαανο Γαλιλα ιου µετασχηµατισµ ο αυτ ο αποτελε ισυµµετρ ιατη δρ αση εν ο αποµονωµ ενουµηχανικο υσυστ ηµατο αλληλεπιδρ ωντωνσωµατιδ ιων.προφαν ω οι αποστ ασει µεταξ υτωνσωµατιδ ιωνδενθαµετα ληθο υν,ανµετα ο υµε σεκ αποιο αλλοσ υστηµααναφορ α καισυνεπ ω δενθαµετα ληθε ιο υτε ηδυναµικ ηεν εργειααλληλεπ ιδραση µεταξ υδ υοοποιωνδ ηποτεσωµατιδ ιων.ηκινητικ ηεν εργεια, οµω,τωνσωµατιδ ιωνθαµετα ληθε ι,αφο υ x i x i + ǫ v. Εποµ ενω,ηκινητικ ηεν εργεια ολουτουσυστ ηµατο θααλλ αξεισε 1 2 m i x 2 i 1 2 m i x 2 i + ǫ v m i xi + O(ǫ 2 ). (5.25) Τοντελευτα ιο οροδενχρει αζεταινατονγρ αψουµεαναλυτικ α,αφο υε ιναι τ αξη O(ǫ 2 )καιεποµ ενω µα ε ιναιαδι αφορο γιααπειροστο υ µετασχη- µατισµο υ. Ταυτ οχρονα,οδε υτερο ορο (τ αξη O(ǫ))στοαν απτυγµα τη κινητικ η εν εργεια ε ιναιτ ελειαχρονικ ηπαρ αγωγο τη ποσ οτητα ǫ v m i x i, µεαποτ ελεσµαηαλλαγ ητη δρ αση πουθαπροκ υψειαπ οτηναλλαγ η τουσυστ ηµατο αναφορ α ναε ιναιµιασταθερ απουεξαρτ αταιαπ οτο αρχικ οκαιτοτελικ οσηµε ιοτη θεωρο υµενη διαδροµ η, 5 Εδ ωο ορο σχετικ οτηταχρησιµοποιε ιται οπω καιστηθεωρ ιατη σχετικ οτητα του Α νστ αινκαιδενσηµα ινει οτι ταπ ανταε ιναισχετικ α, οπω εσφαλµ εναπαρερµηνε υεταιηθεωρ ιατη σχετικ οτητα,αλλ α οτιπαρατηρητ ε πουκινο υνταιο ενα σεσχ εση µετον αλλοπαρατηρο υνακρι ω την ιδιαδυναµικ ηεξ ελιξητωνφυσικ ωνσυστηµ ατων. Ηθεωρ ιατη σχετικ οτητα απλ ω επ εκτεινεαυτ ητηναρχ ηαπ οταµηχανικ ασε ολατα φυσικ ασυστ ηµατα,συµπεριλαµ ανοµ ενωνκαιτωνοπτικ ωνφαινοµ ενων. Ηγαλιλαι κ ηµετα ολ η τη δρ αση

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER S S + ǫ v m i [ x i (t 2 ) x i (t 1 )]. (5.26) Ην εαποσ οτηταπουπροστ ιθεταιστηδρ αση, οντα σταθερ η,δεναλλοι ωνειτι εξισ ωσει κ ινηση,αφο υη ιδιαδιαδροµ ητουσυστ ηµατο στοχ ωρο καθιστ ακαιτην εαανα αθµονοµηµ ενηδρ ασηστ ασιµη.οµετασχηµατισµ ο,λοιπ ον,πουεφαρµ οσαµεµπορε ιναθεωρηθε ιµιαπιοεκτεταµ ενη συµµετρ ιατη δρ αση οµετασχηµατισµ ο δενµετα αλλεισεπρ ωτητ αξη τηδρ ασηπ ερανµια σταθερ α.ποιαε ιναι, οµω,ηαντ ιστοιχηδιατηρο υ- µενηποσ οτηταπουπηγ αζειαπ οαυτ ηντησυµµετρ ια;μπορο υµεναχρησιµοποι ησουµεαπευθε ια την εκφραση(5.19)γιατηδιατηρο υµενηποσ οτηταπουκατασκευ ασαµεστηνπερ ιπτωσητουγενικο υθεωρ ηµατο τη Noether;Ηαπ αντησηστοτελευτα ιοερ ωτηµαε ιναιαρνητικ η,αφο υογαλιλαι κ ο µετασχηµατισµ ο δεναφ ηνειεντελ ω ανεπηρ εαστητηδρ αση.αν συνδυ ασουµετησυγκεκριµ ενηαλλαγ ητη δρ αση µεεκε ινηπουπροκ υπτειαπ ο εναγενικ οµετασχηµατισµ οσεπρ ωτητ αξηω προ ǫ(βλ.σχ ε-ση (5.18)),λαµ ανουµε d dt [ v ] m i x i = d dt [ K i L ( x + L L ) ] i x x i τ i. (5.27) Ογαλιλαι κ ο µετασχηµατισµ ο περιγρ αφεταιαπ οτου γενν ητορε K i = vtκαι τ = 0. Ετσι,ηδιατηρο υµενηποσ οτηταε ιναιη v m i x i v m i xi t = v (MX KM tp ) KM. (5.28) Τιδιατηρε ιταιω αποτ ελεσµατη γαλιλαι κ η συµµετρ ια ; Σεαυτ ητην εκφραση εχουµεαντικαταστ ησειτααθρο ισµαταµετι αντ ι- στοιχε εκφρ ασει γιατηθ εσηκαιτηνορµ ητουκ εντρουµ αζα τουσυστ η- µατο. Ανεπιπλ εονλ α ουµευπ οψη οτιησχετικ ηταχ υτητα vπουθεωρ ησαµεµεταξ υτωνσυστηµ ατωναναφορ α ε ιναιαυθα ιρετη,συµπερα ινουµεπω ηδιατηρο υµενηποσ οτηταπουαναλογε ιστου γαλιλαι κο υ µετασχηµατισµο υ ε ιναιτοδι ανυσµα M X KM t P KM, (5.29) ησταθερ οτητατουοπο ιουεκφρ αζειτηνοµαλ ηκ ινησητουκ εντρουµ αζα µεταχ υτητα P KM /M.Ηδιατηρο υµενηαυτ ηποσ οτηταδενφα ινεται ναεµπερι εχεικαµ ιαεπιπλ εονπληροφορ ιαεκτ ο απ οαυτ ηπουπηγ αζει απ οτηδιατ ηρησητη ορµ η τουσυστ ηµατο.ολ ογο ε ιναι οτιοχρ ονο στηνευτ ωνειαµηχανικ ηε ιναιαπ ολυτο καιεποµ ενω ογαλιλαι κ ο µετασχηµατισµ ο ε ιναιισοδ υναµο µετηχωρικ ηµετ αθεση. Ετσι,οιδ υοµετασχηµατισµο ιοδηγο υνσεισοδ υναµε διατηρο υµενε ποσ οτητε.παρ α τα υτα,ην εαποσ οτητα (5.29) εχειπολ υπιοσαφ ε καιξεχωριστ οφυσικ ο ν οηµαστησχετικ οτητα, οπουπαρουσι αζεταιω συνιστ ωσατη γενικευ- µ ενη στροφορµ η στοχωρ οχρονο(βλ.κεφ αλαιο 6).

5.6. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ 131 Ασκηση5.7. Π οσε συνολικ αδιατηρο υµενε ποσ οτητε εχουµεγια ενασ υστηµα ΑΣΚΗΣΕΙΣ αλληλεπιδρ ωντωνσωµατιδ ιων;ποιοιε ιναιοιγενν ητορε τωναντ ιστοιχωνµετασχηµατισµ ων;ελ εγξτεαν ολοιοιγενν ητορε,πουαποτελο υνταιαπ οχωρικ οκαιαπ οχρονικ ο µ ερο,αντιµετατ ιθενταιµεταξ υτου,δηλαδ ηανησειρ αµετηνοπο ιαενεργο υναυτο ιοι γενν ητορε εχεισηµασ ια.γρ αψτετοµετασχηµατισµ οπουµα µεταφ ερειαπ ο ενααδρανειακ οσ υστηµα Σ 1 µεκαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε σε ενα αλλο Σ 2,τοοπο ιο(α)κινε ιται µεταχ υτητα vσεσχ εσηµετοπρ ωτοκατ αµ ηκο του αξονα z 1,(β)ταρολ ογιατου Σ 2 δεν ε ιναισυγχρονισµ εναµετου Σ 1 αλλ α π ανεπ ισω σεσχ εσηµεταρολ ογιατου Σ 1 κατ α σταθερ ο τ, (γ)οιαρχ ε τωναξ ονωντου δενσυν επιπταν, οταντορολ οιτουπρ ωτου εδειχνε t 1 = 0,αλλ α ητανµετατοπισµ ενε κατ α x,και (δ)οιαντ ιστοιχοι αξον ε του δενε ιναιπαρ αλληλοιαφο υοι αξονε τουδε υτερουε ιναιστραµµ ενοικατ α 90 γ υρωαπ ο τον αξονα z 1 σεσχ εσηµετου αξονε τουπρ ωτου.προσ εξτεπ ω θαγρ αψετετηστροφ η τουµετασχηµατισµο υ,αφο υαυτ ηδενε ιναιαπειροστ ηαλλ απεπερασµ ενη. 5.6 Γενικ ασχ ολια Εχοντα αναλ υσειτου γαλιλαι κο υ µετασχηµατισµο υ ε ιµαστεπια Ποιαδιατηρο υµενη σεθ εσηναδιατυπ ωσουµετογενικ οθε ωρηµατη Noetherπουσυνδ εεισυµ- ποσ οτητασυνεπ αγεται µετρ ιε καιδιατηρο υµενε ποσ οτητε, οταναναφερ οµαστεσεδιακριτ α ηγενικ οτερησυµµετρ ια µηχανικ ασυστ ηµατα,δηλαδ ησεσυστ ηµαταπουαποτελο υνταιαπ οπεπερασµ ενοπλ ηθο σωµατιδ ιων. τη δρ αση ; Ε αν ενα απειροστ ο συνεχ η µετασχηµατισµ ο τωνχωροχρονικ ωνσυντεταγµ ενωνεν ο συστ ηµατο µεγενν ητορε K i (i = 1, 2,..., N)τωνγενικευµ ενωνσυντεταγµ ενωνκαι ττουχρ ονουαλλ αζειτηδρ ασητουσυστ ηµατο τοπολ υκατ ατοολοκλ ηρωµαµ ια τ ελεια χρονικ η παραγ ωγου dg(q, t)/dt,τ οτε υπ αρχειµιαποσ οτηταηοπο ιαδιατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση τουσυστ ηµατο.αυτ ηε ιναιη K i L q i + ( L L q i q i ) τ G. (5.30) Ηκαινο υργιααυτ ηποσ οτητα Gπουαφαιρε ιταιαπ οτηδιατηρο υµενη ποσ οτηταπουκατασκευ ασαµεπαραπ ανω (βλ.σχ εση(5.19))ε ιναιαπλ ω συν επειατουγεγον οτο οτιοιδ υοδρ ασει,προκαιµετ ατοµετασχηµατισµ ο,δενσυµπ ιπτουν, οπω στη (5.17),αλλ αδιαφ ερουνκατ ατοολοκλ ηρωµατη τ ελεια χρονικ η παραγ ωγου dg/dt. Ετσι,ηµετα ολ ητη δρ αση,αντ ιναισο υταιµετηµετα ολ ητη ποσ οτητα εντ ο τωντετρ αγωνωναγκυλ ωντη σχ εση (5.19),ισο υταιµετηµετα ολ ητη G. Εξισ ωνοντα αυτ ε τι δ υοχρονικ ε παραγ ωγου,συµπερα ινουµε οτιηδιαφορ ατωνδ υοποσοτ ητωνε ιναιµιασταθερ α. Τοθε ωρηµατη Noether, οπω διατυπ ωθηκεαπ οτην ιδια,αναφ ερεταισεπεδ ιακαι οχισεδιακριτ ασυστ ηµατα αυτ ο εξ αλλουε ιναικαιο

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Θε ωρηµατη Noether καιπεδ ια Noetherκαιγενικ η σχετικ οτητα λ ογο πουσυναντ αµετοθε ωρηµατη Noetherκυρ ιω σεβι λ ιαθεωρι ων πεδ ιου.οµαδοθεωρητικ ωνσυµµετρι ωντη δρ αση πεδ ιωνµεαντ ιστοιχε διατηρο υµενε ποσ οτητε, οπω γιαπαρ αδειγµαησυµµετρ ιαβαθµ ιδα U(1)τουηλεκτροµαγνητικο υπεδ ιου,ηοπο ιασχετ ιζεταιµετηδιατ ηρηση τουφορτ ιου.ηεπ εκτασητη εφαρµογ η τουθεωρ ηµατο τη Noetherσε διακριτ ασυστ ηµαταε ιναι αµεσηκαιοδηγε ιµεσχετικ ααπλ οτρ οποστη σ υνδεσητωνγνωστ ωναπ οτηµηχανικ ηδιατηρο υµενωνποσοτ ητωνµετι συµµετρ ιε τουσ υµπαντο,προσδ ιδοντα στι πρ ωτε βαθ υτερον οηµα. Αξ ιζεινααναφερθε ι οτιηnoether,δουλε υοντα π ανωστοοµ ωνυµο θε ωρηµα, εδωσεαπαντ ησει σεδ υσκολανοητικ απρο λ ηµαταπουεµφαν ιστηκανταπρ ωταχρ ονιαµετ ατο 1915, οτανοhilbertκαιοα νστ αιν, σχεδ ονταυτ οχρονα,αλλ αανεξ αρτηταο ενα απ οτον αλλο,διατ υπωσαν τηγενικ ηθεωρ ιατη σχετικ οτητα.παρ αδειγµαεν ο τ ετοιουπρο λ ηµατο ητανηφαιν οµενηµηδιατ ηρησητοπικ ατη εν εργεια καιτη ορµ η. ΗNoether οχιµ ονο εδειξεπ ω θαπρ επεινααναδιατυπωθο υνοιαντ ιστοιχοιν οµοιδιατ ηρηση στησχετικ οτητα,αλλ ακαικατασκε υασε αλλο ενα διαφωτιστικ ο,αν αλογοµετησχετικ οτητα,παρ αδειγµα οπουηνευτ ωνεια µορφ ητωνν οµωνδιατ ηρηση δεν ισχυε.

5.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 133 5.7 Προ λ ηµατα 1.Γρ αψτετηλαγκρανζιαν ηπουδι επειτηφυσικ ηκ ινησησωµατιδ ιου στοοµογεν ε καικατακ ορυφοπεδ ιοβαρ υτητα.υπολογ ιστετησυν αρτησητη δρ αση πουαντιστοιχε ιστηφυσικ ηκ ινησησυναρτ ησει τη αρχικ η θ εση z 1 καιτουχρ ονου t 1 καιτη τελικ η θ εση z 2 και τουχρ ονου t 2.Απ οτην εκφρασηαυτ ηπροσδιορ ιστετι συµµετρ ιε τη δρ αση καιτι αντιστοιχο υσε διατηρο υµενε ποσ οτητε στηπερ ιπτωσηαυτ ηκαθ ω καιστηνειδικ ηπερ ιπτωσηπουδενυπ αρχει πεδ ιοβαρ υτητα (g = 0). 2.Θεωρ ηστετηλαγκρανζιαν ηελε υθερουσωµατιδ ιουστοιδι οµορφο Σ υµπανπουσυναντ ησαµεστοπρ ο ληµα 3τουΚεφαλα ιου 3,στο οπο ιοηισοτροπ ιαπεριορ ιζεταισεδιευθ υνσει µ ονογ υρωαπ οτον αξονα z. Σκεφτε ιτεποιοιµετασχηµατισµο ισυντεταγµ ενωναποτελο υνσυµµετρ ιε τη Λαγκρανζιαν η καιστησυν εχειαβρε ιτετι αντ ιστοιχε διατηρο υµενε ποσ οτητε. 3.Κατασκευ αστετι ισοδρασικ ε καµπ υλε (καµπ υλε σταθερ η δρ αση )σε εναδι αγραµµα x tγια εναελε υθεροσωµατ ιδιοπουκινε ιταισεµ ιαδι αστασηκαιτηχρονικ ηστιγµ η t = 0βρ ισκεταιστηθ εση x = 0.Σεαυτ οτοδι αγραµµα εχειν οηµαναυπολογ ισεικανε ι τη δρ ασηµ ονογιατι φυσικ ε διαδροµ ε πουµπορε ιναακολουθ ησει τοσωµατ ιδιο.μπορε ιτενατοδικαιολογ ησετεαυτ ο;αν,τ ωρα,θεωρ ησουµε εναναπειροστ οµετασχηµατισµ οτη θ εση καιτουχρ ονου ( x x = x 1 + ǫ ), t t = t(1 + ǫ), 2 παρατηρο υµε οτιηδρ ασηδενµετα αλλεταισεπρ ωτητ αξηω προ ǫ.αποδε ιξτε οτιαυτ οσυµ α ινει,υπολογ ιζοντα απευθε ια τηµετα- ολ ητη δρ αση ελε υθερουσωµατιδ ιουσεπρ ωτητ αξηω προ ǫ. Υπ οτηνπρο π οθεση οτιοµετασχηµατισµ ο αυτ ο αφ ηνειαναλλο ιωτητηδρ ασηυπολογ ιστετηναντ ιστοιχηδιατηρο υµενηποσ οτητα. Τιφυσικ ον οηµα εχειαυτ ηηδιατηρο υµενηποσ οτητα; 4.Θεωρ ηστεµ ιαλαγκρανζιαν ητη µορφ η L = a(ẋ/x) 2. Ε ιναιε υκολοναπαρατηρ ησεικανε ι οτιηλαγκρανζιαν ηαυτ ηε ιναισυµµετρικ ησεµετασχηµατισµο υ τη µορφ η x x = x(1+ǫ).υπολογ ιστετηναντ ιστοιχηδιατηρο υµενηποσ οτητακαιστησυν εχειαβρε ιτε µ εσωαυτ η τηνεξ ισωσηκ ινηση. οκιµ αστεναβρε ιτετηνεξ ισωση κ ινηση απ οτηνεξ ισωσηeuler-lagrange.ποιο ε ιναιοευκολ οτερο τρ οπο ; 5. υοσωµατ ιδιαε ιναιυποχρεωµ ενανακινο υνταιστηνεπιφ ανεια µια σφα ιρα µεακτ ινα1.ταδ υοσωµατ ιδιαε ιναισυνδεδεµ εναµεταξ υτου µεελατ ηριοσταθερ α k,τοοπο ιοκε ιταιεπ ιτη σφα ιρα και εχειµηδενικ οφυσικ οµ ηκο.γρ αψτετηλαγκρανζιαν ητου συστ ηµατο σεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε καιδε ιξτε οτιε ιναισυµµετρικ ησεµετασχηµατισµο υ τωναζιµουθιακ ωνγωνι ων φ i φ i =

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER φ i + ǫ, οπου i = 1, 2οδε ικτη τουεκ αστοτεσωµατιδ ιου.ποιαε ιναιηαντ ιστοιχηδιατηρο υµενηποσ οτητα;ποιαε ιναιηφυσικ ητη σηµασ ια; 6.Ηεξ ισωσηκ ινηση τουισ οτροπουαρµονικο υταλαντωτ ηµεαπ οσ εση m x + 2γ x + k x = 0ε ιναιαναλλο ιωτηστι στροφ ε. ιατηρε ιταιηστροφορµ η L = x p;γρ αψτετηνεξ ισωσηεξ ελιξη τη στροφορµ η καιλ υστετην. Αποδε ιξτε οτιµιαλαγκρανζιαν ηπου παρ αγειτηδυναµικ ητουσυστ ηµατο ε ιναιη L = e 2γt/m1 2 (m x 2 k x 2 ). ΗΛαγκρανζιαν ηαυτ η, οπω φα ινεται,ε ιναισυµµετρικ ησεστροφ ε. Μ ηπω διατηρε ιται,λοιπ ον,ηστροφορµ η;εφαρµ οζοντα το θε ωρηµατη Noetherπροσδιορ ιστετηδιατηρο υµενηποσ οτηταπου αντιστοιχε ισεαυτ ητησυµµετρ ια. 7. υοσωµατ ιδιααλληλεπιδρο υνµενευτ ωνειοδυναµικ οκαιβρ ισκονταιυπ οτηνεπ ιδρασηεξωτερικο υδυναµικο υτη µορφ η V (ρ, z αθ), οπου (ρ, θ, z)κυλινδρικ ε συντεταγµ ενε.γρ αψτετηλαγκρανζιαν ηκαιπροσδιορ ιστετι διατηρο υµενε ποσ οτητε. 8.ΟFeynmanστοπερ ιφηµοβι λ ιοτου "LecturesonPhysics"περιγρ αφειτοεξ η παρ αδοξο: ενα δ ισκο µπορε ιναπεριστρ εφεταιελε υθεραγ υρωαπ οτονκατακ ορυφο αξον ατου.στηνπεριφ ερειατου δ ισκουκαισεσταθερ ηαπ οστασηηµιααπ οτην αλληε ιναιτοποθετηµ ενε µιασειρ ααπ ο οµοιε θετικ αφορτισµ ενε σφα ιρε. Στο κ εντροτουδ ισκουε ιναιστερεωµ ενο εναπην ιοαπ ουπεραγ ωγιµο υλικ ο,τοοπο ιοδιαρρ εεταιαπ ορε υµα.αυξ ανοντα τηθερµοκρα- σ ιατουπερι αλλοντο,τουπεραγ ωγιµοπην ιοαποκτ ααντ ιστασηο- π οτεσ υντοµατορε υµακαταργε ιται.τοπρ ωηνσταθερ οµαγνητικ ο πεδ ιοαλλ αζεικαιηαλλαγ ηαυτ ησυνεπ αγεταιτηνεµφ ανισηηλεκτρικο υπεδ ιουπουασκ ωντα ροπ ηστι φορτισµ ενε σφα ιρε θ ετει τοδ ισκοσεπεριστροφ η. Απ οτην αλληπλευρ αηστροφορµ ητου δ ισκουδενπρ επειναµετα αλλεταιαπ οτηστιγµ ηπουδενυπ αρχει εξωτερικ οπεδ ιοδυν αµεων. Θααρχ ισει,λοιπ ον,ναπεριστρ εφεται οδ ισκο η οχι;αντιµετωπ ιστετοπρ ο ληµαω εξ η : (α)θεωρ ηστε τοδ ισκοκαιτοπην ιοα αρ ηκαιυποθ εστε οτιολ οκληρηηµ αζατου συστ ηµατο βρ ισκεταιστι φορτισµ ενε σφα ιρε,οιοπο ιε ε ιναιτοποθετηµ ενε στηνπεριφ ερειατουδ ισκου.ηθε ωρησηαυτ ηαπλ ω

5.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 135 διαφοροποιε ιτηντιµ ητη ροπ η αδρ ανεια τουδ ισκουχωρ ι νααλλοι ωνειτηφυσικ ητουσυστ ηµατο. Γρ αψτεσεκυλινδρικ ε συντεταγµ ενε τηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο,λαµ ανοντα υπ οψη τηναξονικ ησυµµετρ ιατουκαιαγνο ωντα τοηλεκτρικ οπεδ ιοτων σφαιρ ων,τοοπο ιοεξ αλλουθαπαρ εµενεσταθερ οκατ ατηνπεριστροφ ητουδ ισκου,αναντικαθιστο υσαµετι σφα ιρε µε ενασυνεχ η φορτισµ ενοδακτ υλιο. (β)ηγων ιαπεριστροφ η ε ιναικυκλικ ηµετα λητ η. Ποιαποσ οτηταδιατηρε ιταιω συν επειααυτο υ; (γ) ιατηρε ιταιηκλασικ ηστροφορµ ητουδ ισκου;τιθασυµ ε ι, οταντο ανυσµατικ οδυναµικ οµαζ ιµετοµαγνητικ οπεδ ιοεξαφανιστο υν; 9.Τοαντ ιστροφοτουθεωρ ηµατο τη Noether. Μ εχριτ ωρα εχουµε θεωρ ησειµετασχηµατισµο υ τη µορφ η qi ǫ = q i + ǫk i (q, t).αυτο ι οιµετασχηµατισµο ιλ εγονταισηµειακο ι. Μπορο υµε οµω ναθεωρ ησουµεκαιγενικ οτερου µετασχηµατισµο υ τη µορφ η qi ǫ = q i + ǫk i (q, q, t),πουεξαρτ ωνταικαιαπ οτο q.καλε ιστενααποδε ιξετε οτικ αθεδιατηρο υµενηποσ οτηταπροκ υπτειαπ οµ ιασυµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η στου γενικ οτερου µετασχηµατισµο υ qi ǫ = q i + ǫk i (q, q, t). (α) ε ιξτε οτιοµετασχηµατισµ ο τη µετ αθεση τουχρ ονου qi(t) ǫ = q i (t + ǫ)ε ιναιστηνουσ ια ενα τ ετοιο γενικ ο µετασχηµατισµ ο,οοπο ιο στηνπερ ιπτωσητωνχρονοανεξ αρτητωνλαγκρανζιαν ωνοδηγε ιστηδιατ ηρησητη εν εργεια. (β)ηγενικ ηδιατ υπωσητουθεωρ ηµατο τη Noetherε ιναι οτι,ανυπ αρχειµ ιαǫ-οικογ ενειαµετασχηµατισµ ωνµετηνιδι οτητα L ǫ ǫ = dg ǫ=0 dt, γιακ αποια G(q, q, t),τ οτεηποσ οτητα F = G p i q ǫ i ǫ ǫ=0 διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση.αποδε ιξτετ ωρα οτι,ανηποσ οτητα F διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση,τ οτεηǫ-οικογ ενειαµετασχηµατισµ ων K i (q, q, t)πουπροκ υπτειαπ οτηλ υσητωνγραµµικ ωνεξισ ωσεων 2 L q i q j K i = F q j, παρ αγειµια(ηµι)συµµετρ ιατη Λαγκρανζιαν η. 10.Το ανυσµαrunge-lenz. Σωµατ ιδιοµ αζα mκινε ιταιστοκεντρικ ο δυναµικ ο V = k/ x.αποδε ιξτεκατευθε ιαναπ οτι εξισ ωσει κ ινηση οτιδιατηρε ιταιηστροφορµ ητουσωµατιδ ιου Lω προ το κ εντροτη δ υναµη καθ ω επ ιση καιτο ανυσµαrunge-lenz A = p L km x x.

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER Αποδε ιξτε οτιτοσωµατ ιδιοκινε ιταιεπ ισταθερο υεπιπ εδουκαι οτι το Aκε ιταιεπ ιαυτο υτουεπιπ εδου.υπολογ ιστετο x Aκαιδε ιξτε οτιτοσωµατ ιδιοδιαγρ αφειστοεπ ιπεδοαυτ οτηνκωνικ ητοµ η µεεκκεντρ οτητα x = L 2 mk(1 + e cosθ), e = A mk. Ποιαε ιναιηδιε υθυνσητου A;Ποιαε ιναιηφυσικ ησηµασ ιατου A; Χρησιµοποι ηστετοπροηγο υµενοπρ ο ληµαγιαναπροσδιορ ισετε τοµετασχηµατισµ ο-συµµετρ ιαπουπαρ αγειτηδιατ ηρησητουαν υσµατο Runge-Lenz. 11.Θεωρ ηστετοντρισδι αστατοισ οτροποαρµονικ οταλαντωτ ηµελαγκρανζιαν η L = m 2 x 2 k 2 x 2. Αποδε ιξτε οτιοιεξ η 6(γιατ ι6και οχι9;)ποσ οτητε διατηρο υνται: F ij = m 2 ẋiẋ j + k 2 x ix j. Προσδιορ ιστετου µετασχηµατισµο υ -συµµετρ ιε πουοδηγο υνστη διατ ηρησηαυτ ωντωνποσοτ ητων.