Για τη συνέχεια σήμερα...

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για τη συνέχεια σήμερα..."

Ειδοθεα Βασιλειάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΥΣ Διαλ.10 1 Για τη συνέχεια σήμερα... q Συζήτηση ξανά των νόμων διατήρησης q Χρησιμοποιώντας τον φορμαλισμό Lagrange q Γραμμική ορμή και στροφορμή q Σύνδεση μεταξύ συμμετρίας, αναλλοίωτο της Lagrangan, και διατήρηση της γενικευμένης ορμής

2 ΦΥΣ Διαλ.10 2 Νόμοι διατήρησης q Έχουμε δει διατήρηση γραμμικής ορμής, στροφορμής και ενέργειας στην Newtonan μηχανική Ø Πως δουλεύουν στην Lagrangan μηχανική Πρέπει να ναι οι ίδιες q Ωστόσο θα δούμε μερικές διαφορές και μερικές υποθέσεις Ø Προέρχονται από περιορισμούς και προσεγγίσεις που δεν λάβαμε υπ όψη

3 ΦΥΣ Διαλ.10 3 Διατήρηση της ορμής q Ας μελετήσουμε ένα απλό σύστημα: L T V L x m x p x ( ) 2 m x 2 + y 2 + z 2 ορμή V ( x, y,z,t) L V F x x x Δυναμικό δεν εξαρτάται από ταχύτητα Δύναμη Lagrange: d L x L 0 L const. p x const. x x Η ορμή p x διατηρείται αν το V δεν εξαρτάται από το x Πως το γενικεύουμε από δω και πέρα?

4 ΦΥΣ Διαλ.10 4 Γενικευμένη ορμή q Ορίζουμε σαν γενικευμένη ορμή τον όρο dp L q 0 p L q q Γνωστή ακόμα σαν κανονική ή συζυγής ορμή ü Είναι ίση με τις γνωστές ορμές για x-y-z συντεταγμένες q Η εξίσωση του Lagrange γίνεται: F p διατηρείται αν η L δεν εξαρτάται ακριβώς από το q Ø Τέτοια συντεταγμένη q ονομάζεται κυκλική ή αγνοήσιμη Γενικευμένη ορμή που σχετίζεται με μια κυκλική συντεταγμένη διατηρείται Η διατήρηση της γραμμικής ορμής είναι ιδιαίτερη περίπτωση

5 Γενικευμένη ορμή p L q ΦΥΣ Διαλ.10 5 q Η γενικευμένη ορμή μπορεί και να μην μοιάζει με την γραμμική ορμή Ø Οι μονάδες μπορεί να διαφέρουν, αν η q δεν είναι χωρική συντεταγμένη Ø p q πάντα έχει μονάδες της δράσης (έργο χρόνο) Ø Η εξίσωση μπορεί να διαφέρει αν το V εξαρτάται από την ταχύτητα Παράδειγμα: το ΕΜ πεδίο L 1 2 mv2 qφ + qa v p x mx + qa x Επιπλέον όρος εξαιτίας της εξάρτησης του δυναμικού από την ταχύτητα

6 ΦΥΣ Διαλ.10 6 Συμμετρία q Η γραμμική ορμή p (p x,p y,p z ) είναι συζυγής των (x,y,z) συντεταγμένων Ø Διατηρείται, αν η Lagrangan δεν εξαρτάται ακριβώς από την θέση Είναι ανεξάρτητη ως προς χωρικές μετατοπίσεις ( x, y,z) ( x + Δx, y + Δy,z + Δz) q Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται συμμετρικό ως προς χωρικές μετατοπίσεις Συμμετρία συστήματος Αναλλοίωτη Lagrangan Διατήρηση της συζυγούς ορμής Παράδειγμα: Διατήρηση της ορµής και στροφορμής

7 ΦΥΣ Διαλ.10 7 Γραμμική ορμή q Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα με πολλά σώματα r r (q 1,,q n,t) Ø Aς υποθέσουμε ότι η µεταβολή της q 1, dq 1, µεταφέρει όλο το σύστημα προς μια κατεύθυνση π.χ. x του CM ενός συστήµατος στο r (x,y,z ) Στην περίπτωση αυτή, η x δεν μπορεί να εμφανιστεί στην Τ γιατί οι ταχύτητες δεν επιρεάζονται από μετάθεση των αξόνων: T 0 p 1 q Θεωρούμε ότι V ανεξάρτητη των ταχυτήτων 1 Επομένως η E-L εξίσωση για q 1 είναι: Έχουμε δεί ότι: Q r q lm dq 0 F r q Από τον ορισμό της παραγώγου: r ( q + dq ) r ( q ) Επομένως: Q d T p 1 V Q 1 q 1 q 1 dq ˆn ˆn dq dq F r Q F ˆn q Q F ˆn r (q ) dq n r (q +dq )

8 ΦΥΣ Διαλ.10 8 Γραμμική ορμή q Θα πρέπει να δείξουμε ακόμα ότι d T q 1 p 1 T 1 2 m "r 2 p T "q p Αλλά έχουμε δεί ότι: p m "r r " "q r " r "q q m v ˆn p ˆn m v p Αλλά r m v q r q ˆn q Aν η q κυκλική τότε: V q 0 Q p 0 p const

9 ΦΥΣ Διαλ.10 9 Στροφορμή q Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα με πολλά σώματα r r (q 1,,q n,t) Ø Aς υποθέσουμε ότι η q 1 περιστρέφει όλο το σύστημα π.χ. φ στο r (x,y,z )(r cosφ,r snφ,z ) Ø Υποθέτουμε ακόμα ότι το V δεν εξαρτάται από το ϕ v Συζυγής ορμή είναι: πράξεις p ϕ L ϕ T ϕ n ρ ˆn L ˆn L dφ dr z θ r (φ+dφ) Άξονας περιστροφής Ολική στροφορμή r (φ)

10 Πράξεις... " r r ϕ " ϕ + T m 2 n k2 " r "r r r ϕ,q 2,...,q n,t ( ) r q k "q k + r t T "ϕ παράγωγος ως προς ϕ m "r "r "ϕ T ϕ m " r " r ΦΥΣ Διαλ r " "ϕ r ϕ ϕ Ø dr είναι κάθετο και στο n και στο r Ø To μέτρο του είναι: d r r snθdφ n ρ T ϕ m m r ϕ ˆn r " r ( ˆn r " ) ˆn ( r " r ) ˆn L z r (φ) θ dφ dr r (φ+dφ)

11 ΦΥΣ Διαλ Στροφορμή q Η στροφορμή διατηρείται αν το σύστημα είναι συμμετρικό σε περιστροφές. Ø Πως σχετίζεται αυτό με την ολική ροπή; Γενικευμένη Δύναμη Q ϕ L ϕ Αυτό πρέπει να είναι 0 αν φ κυκλική Η Τ δεν μπορεί να εξαρτάται από την φ L ϕ V ϕ Αλλά L ϕ 0 F r ϕ F (ˆn r ) ˆn ç Περιστροφή δεν αλλάζει το µέτρο της v 2 r F Ροπή Η συνολική ροπή είναι μηδέν κατά μήκους του άξονα συμμετρίας

12 ΦΥΣ Διαλ Νόμοι διατήρησης q Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: Ø Ένα σύστημα είναι συμμετρικό ως προς γενικευμένη συντεταγμένη Ø Η συντεταγμένη είναι κυκλική (δεν εμφανίζεται στην Lagrangan) Ø Η συζυγής γενικευμένη συντεταγμένη διατηρείται Ø Η αντίστοιχη γενικευμένη δύναμη είναι μηδέν Συμμετρία Συντεταγμένη Χωρικές μετατοπίσεις Απόσταση κατά μήκους ενός άξονα Περιστροφή Γωνία γύρω από ένα άξονα Ορμή Γραμμική Στροφορμή Δύναμη Δύναμη Ροπή

13 Διατήρηση της Ενέργειας q Θεωρούμε την παράγωγο της Lagrangan ως προς το χρόνο dl(q, q,t) dl(q, q,t) L dq q d + L q dq L q + d q L q + L t q Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Lagrange έχουμε ότι: dl(q, q,t) d L q q + L q d q d q + L t + L t ΦΥΣ Διαλ dl(q, q,t) d L q q + L t d q L L q + L t 0 Ορίζουμε αυτό σαν μια συνάρτηση της ενέργειας h(q, q,t) q H ποσότητα αυτή διατηρείται αν η Lagrangan δεν εξαρτάται ακριβώς εκφρασμένα από το χρόνο

14 ΦΥΣ Διαλ Συνάρτηση ενέργειας h(q, q,t) q L L q q Αντιπροσωπεύει αυτή η συνάρτηση ενέργειας την ολική ενέργεια? Ø Ας δούμε ένα παράδειγμα: Σωματίδιο κινείται κατά μήκος του x-άξονα: L mx2 2 V ( x) h mx2 L mx2 2 + V ( x) T + V Ø Ok δουλεύει για την περίπτωση αυτή αλλά πόσο γενικό είναι?

15 Συνάρτηση Ενέργειας T 1 2 m v όπου: M 0 T T 0 + T 1 + T 2 ( ) L 0 ( q,t) + L 1 ( q, q,t ) + L 2 ( q, q,t ) L q, q,t m r q ΦΥΣ Διαλ ης τάξης σε q 2 ης τάξης σε q L 0 0, q L 1 L 1, q L 2 Θεώρημα 2L 2 q q q Euler h(q, q,t) ( ) q h q, q,t "q + r t q L L q q Ας υποθέσουμε ότι η Lagrangan μπορεί να γραφεί ως: q Οι παράγωγοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 1 2 m r t M 2 2 T M 0 + M q m r t r M q k L L q L L 2 0,k,k 1 2 m M k q q k r r q q k αν f ομογενής, τάξης n ως προς x, τότε x f x nf

16 ΦΥΣ Διαλ Συνάρτηση Ενέργειας h( q, q,t ) L 2 L 0, L T V q Η συνάρτηση της ενέργειας ισούται με την ολική ενέργεια ΕΤ+V αν Τ L 2 και V -L 0 q Τ L 2 ικανοποιείται αν οι μετασχηματισμοί από το r στο q είναι ανεξάρτητοι του χρόνου. q V -L 0 ικανοποιείται αν το δυναμικό ανεξάρτητο της ταχύτητας Ø Όχι τριβές Ας δούμε ένα παράδειγμα:

17 ΦΥΣ Διαλ Κινητική Ενέργεια m T 2 r 2 ", r r " (q 1,q 2,...,q n ) d r r "q q m " m r 2 r r k m "q "q k "q "q k 2 2 q q k 2 q Χρησιμοποιώντας τον κανόνα,k Ανεξάρτητο χρόνου,k r r q q k Δευτέρου βαθμού ομογενείς Χωρίς q Τα παραπάνω δεν θα ίσχυαν αν d r r q "q r r (q 1,q 2,...,q n,t) + r t γιατί

18 ΦΥΣ Διαλ Διατήρηση της Ενέργειας q Η συνάρτηση της ενέργειας ισούται με την ολική ενέργεια αν Ø Οι δεσμοί είναι ανεξάρτητοι του χρόνου Ø Η κινητική ενέργεια T είναι δευτέρου βαθμού ομογενής συνάρτηση των ταχυτήτων. Ø Το δυναμικό V είναι ανεξάρτητο της ταχύτητας q Η συνάρτηση της ενέργειας διατηρείται αν Ø Η Lagrangan δεν εξαρτάται ακριβώς από το χρόνο q Τα παραπάνω είναι απλά εκφράσεις του θεωρήματος διατήρησης της ενέργειας σε ένα πιο γενικό πλαίσιο.

19 ΦΥΣ Διαλ Περίληψη q Βγάλαμε τις εξισώσεις Lagrange από την αρχή του Hamlton Ø Λογισμός μεταβολών q Συζητήσαμε νόμους διατήρησης Ø Γενικευμένη (συζυγής) ορμή Ø Συμμετρία του συστήματος v Αναλλοίωτο της Lagrangan v Διατήρηση της ορμής q Eξισώσεις κίνησης του Hamlton p L q

Σχετικά έγγραφα

Hamiltonian φορμαλισμός

Hamiltonian φορμαλισμός ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή