مجلة پژوهش فيزيك ايران جلد ۱۳ شمارة ۳ پاييز ۱۳۹۲ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018 چكيده بهينه سازي مدل BCS براي سيستمهاي كوچك و محاسبة خواص ترموديناميكي هستههاي بخش فيزيك دانشگاه شيراز شيراز پست الكترونيكي: argar@susc.ac.ir (دريافت مقاله: ۱۳۹۱/۸/۷ دريافت نسخة نهايي: ۱۳۹۲/۳/۱۲) ۹۶ ۹۷ در اين مقاله فرمولبندي بهينه مدل BCS با استفاده از تابع توزيع احتمال همدما اراي ه و تا ثير افت و خيزهاي ا ماري بر رفتار ترموديناميكي هستههاي بررسي شده است. در ابتدا مقدار ميانگين پارامتر گاف و سپس انرژي ا نتروپي و ظرفيت گرمايي محاسبه شدهاند. نتايج حاصله با نتايج مدل استاندارد BCS و نتايج روش تقريب مسير ايستايي باضافه تقريب فاز كاتورهاي (SPA+RPA) مقايسه شدهاند. نشان دادهايم كه رفتار ظرفيت گرمايي بر حسب دما حاصل از به كارگيري روش بهينه BCS در مقايسه با نتايج حاصل از ساير مدلها به ظرفيت گرمايي تجربي شبيه تر است. قلة مشاهده شده در اين كميت به عنوان گذار از فاز جفت شده به فاز معمولي تفسير ميشود. واژههاي كليدي: مدل BCS افت و خيزهاي ا ماري توزيع احتمال همدما ١. مقدمه اندكي پس از حل موفقيت ا ميز مسي لة ابررسانايي با روش BCS [۱] اين مدل جهت بررسي خواص ترموديناميكي هستهها به عنوان سيستمهاي فرميوني بس ذرهاي كه ذرات تشكيل دهنده ا نان داراي خاصيت زوجيت هستند به كار گرفته شد. يكي از اشكالات روش BCS ناوردا نبودن تعداد ذرات در اين روش است كه درمورد يك سيستم كوچك مانند هسته كه تعداد ذرات بسيار كمتر از حد ترموديناميكي است منجر به انحراف اساسي نتايج محاسبات از دادههاي تجربي ميشود. جهت اعمال قيد ثابت بودن تعداد ذرات در روش BCS تصحيحات گوناگوني از جمله افزودن جملة نافزونور به انرژي ا زاد روش ليپكين- نوگامي [۴-۲] يا به كارگيري روشهاي تصويرگر تعداد ذرات [۵] انجام شده است. در ديگر روشها با استفاده از مفهوم انتگرال مسير و تقريب مسير ايستايي (SPA) [۶] به محاسبة تابع پارش سيستم پرداخته ميشود.در اين روشها به واسطة استفاده نكردن از معادلة گاف كه در روش BCS به كار گرفته ميشود مقادير غير صفري براي پارامتر گاف در دماهاي بالا به دست ميا يد [۷] در صورتي كه با به كارگيري روش BCS از يك دما (دماي بحراني) به بعد پارامتر گاف صفر به دست ميا يد. تصحيح ديگري كه جهت بهبود بخشيدن نتايج به كارگيري روش BCS در سيستمهاي كوچك مانند هسته بايستي در نظر گرفت تا ثير افت وخيزهاي ا ماري بر شيوة محاسبة پارامتر گاف است. در فرمولبندي استاندارد BCS اين پارامتر با کمينه كردن انرژی ا زاد سيستم به دست ميا يد (معادلة گاف). در سيستم كوچكي مانند هسته افت و خيزهاي ا ماري باعث انحراف محتمل ترين مقدار اين پارامتر از مقدار ميانگين ا ن ميشود. استفاده از تابع توزيع احتمال همدما [۸-۹] روشي براي در
جلد ۱۳ شمارة ۳ ۲۶۸ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018 نظر گرفتن اثرات افت و خيزها در سيستمهاي كوچك است. در اين مقاله ابتدا با معرفي تابع توزيع احتمال همدما [۸-۹] به محاسبة مقدار ميانگين پارامتر گاف پرداخته و سپس با استفاده از اين پارامتر به بازنويسي روابط مربوط به تعداد ذرات انرژي ا نتروپي و ظرفيت گرمايي ميپردازيم. در نهايت به بررسي و مقايسة نتايج اين فرمولبندي با نتايج روش استاندارد BCS مدلهاي ديگر و نيز اطلاعات تجربي در مورد هستههاي خواهيم پرداخت. ٢. اراي ة مدل بهينة BCS اولين گام در شروع محاسبات در روش BCS نوشتن انرژي كل سيستم همراه با در نظر گرفتن قيد تعداد ذرات و سپس استفاده از تبديل بوگوليوبوف جهت قطري كرن تابع پتانسيل بزرگ سيستم ) Ω ( در پاية شبه ذرات است [۱۰]: ( E ) Ω= β ε λ + ln ( 1+ exp ( βe )) β = + E ε λ (۱) كه در ا ن ε انرژي تك ذرهاي انرژي شبه ذرات λ پتانسيل شيميايي پارامترگاف شدت پتانسيل جفت شدگي بين دو ذره و = 1 β كه T دماي T ترموديناميكي هسته است. در روش استاندارد BCS پارامتر گاف با بيشينه كردن ا نتروپي به عبارت ديگر تابع پتانسيل بزرگ سيستم ) Ω ) و در واقع با انتخاب محتملترين مقدار براي اين پارامتر به دست ميا يد [۱۰]: Ω = (۲) كه در نتيجه رابطة گاف حاصل ميشود [۱۰]: 0 1 tanh β E =. (۳) E 1 در سيستمهاي كوچك مانند هسته كه تعداد ذرات بسيار كمتر از حد ترموديناميكي است اين انتخاب داراي نقايصي خواهد بود چرا كه افت و خيزهاي ا ماري در دماهاي غير صفر باعث انحراف محتملترين مقدار اين پارامتر از مقدار ميانگين ا ن ميشوند. بنابراين جهت در نظر گرفتن اين افت و خيزها و استفاده از مقدار ميانگين اين پارامتر از تابع توزيع احتمال P ( β ) = استفاده ميكنيم [۹]: ( ) exp Ω β exp Ω β d P( β ) P( β ) همدما (۴) كه در ا ن تابع توزيع احتمال پارامتر گاف در نتيجه مقدار ميانگين پارامتر گاف در دماي برابر خواهد = ( ( β )) ( ( β )) exp Ω d exp Ω d 1 است. β بود با (۵) با بهرهگيري از اين رابطه به جاي رابطة گاف (۳) جهت تعيين مقدار روابط ترموديناميكي حاصل تفاوتهايي با روابط استاندارد BCS خواهند داشت. در هر دو رويكرد با توجه به روابط بنيادي زير Ω N = ( α = βλ) α Ω E = β S =Ω α N + β E (۶) (۷) (۸) تعداد ذرات N انرژي سيستم E و ا نتروپي S محاسبه ميگردند. با استفاده از رابطة (۱) و رابطة گاف (۳) در فرمولبندي استاندارد [۱۰] خواهيم داشت: ε N = 1 tanh β E E ε E = ε 1 tanh βe E S = ln 1 + exp( β E ) + β E. 1+ exp( β E ) (۹) (۱۰) (۱۱) در صورتي كه در فرمولبندي جديد با استفاده از رابطة (۵) به جاي رابطة گاف (۳) به روابط زير ميرسيم [۱۱] : ε N = 1 tanh β E E 1 tanh β E + β α E (۱۲)
بهينه سازي مدل BCS براي سيستمهاي كوچك و محاسبة خواص... ۲۶۹ جلد ۱۳ شمارة ۳ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018 1 sec h β E E β d + E E dβ 1 tanh β E d. 3 E dβ (۱۷) ۳. محاسبات عددي در اين مقاله پروتونها و نوترونهاي هسته به عنوان دو سيستم مستقل در نظر گرفته شدهاند. بدين ترتيب كميتهايي مانند ا نتروپي كل انرژي كل و ظرفيت گرمايي هر هسته برابر با S = Sp + Sn حاصل جمع سهم پروتونها و نوترونها ميباشند: E = Ep + En C = Cp + Cn. (۱۸) در محاسبات از انرژيهاي تك ذرهاي پتانسيل نوسانگر هماهنگ تعديل يافته استفاده شده است كه در ا ن پارامترهاي پتانسيل نيلسون به همراه تغيير شكل چهار قطبي به كار گرفته شدهاند [۱۲]. پارامتر تغيير شكل گاف در دماي صفر هستههاي و ) β ( و همچنين مقادير پارامتر 0 براي پروتونها و نوترونها در از مرجع [۷] اخذ شدهاند. با 0 استفاده از مقادير شدگي در دماي صفر شدت پتانسيل جفت براي نوترونها و پروتونها از رابطة (۳) تعيين شده كه حاصل اين محاسبه به قرار زير است: p = 00 / Mev; n = 017 / Mev p = 015 / Mev; n = 019 / Mev (۱۹) در هر مرحله از محاسبات انجام شده دو مورد رعايت شده است: مقادير پتانسيل جفت كنند در تمام دماها ثابت و مستقل از دما در نظر گرفته شدهاند [۷ و ۱۳]. جهت محاسبه توابع ترموديناميكي در هر روش (استفاده از محتملترين مقدار يا مقدار ميانگين پارامتر گاف) بايستي ثابت بودن تعداد ذرات (پروتونها و نوترونها) رابطة (۹) يا (۱۲) در هر دما برقرار باشد. بنابراين در هر دما با حل همزمان معادلههاي (۳) و (۹) محتملترين مقادير پارامتر گاف و پتانسيل شيميايي سازگار را.۱.۲ ε E = ε 1 tanh βe E 1 tanh (۱۳) β E + β β E β E S = ln[ 1+ exp( β E )] + 1+ exp( β E ) 1 tanh β E (۱۴) + ( + ) β λ. α β E رابطة (۱۳) در مرجع [۹] نيز محاسبه شده است. ميتوان مشاهده كرد كه روابط (۱۲-۱۴) در صورت برقرار بودن رابطة گاف (۳) به روابط (۹-۱۱) تبديل ميشوند. با توجه به استقلال تقريبي پتانسيل شيميايي نسبت به دما در هستهها ظرفيت گرمايي در فرمولبندي استاندارد استفاده از رابطة (۱۱) به شكل زير در ميا يد [۹]: ds 1 d C = T = sec h βe β E β (۱۵) dt 1 dt كه در ا ن 1 1 d β sec h βe =. dt sec h 1 ( βe ) tanh 1 (۱۶) βe β 3 E E اما با استفاده از مقدار ميانگين پارامتر گاف و با استفاده از رابطة (۱۴) عبارت زير حاصل ميشود [۱۱]: ds C = β d β 1 d = sec h 1 βe β E + β 3 dβ d d ββ λ + β λ + β λ α dβ α dβ α d d + β + β + β β dβ β dβ β 1 tanh β E 3 + β λ + E α β
جلد ۱۳ شمارة ۳ ۲۷۰ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018 شكل ١. تغييرات پارامتر گاف بر حسب دما براي نوترونها (ستون سمت چپ) و پروتونها (ستون سمت راست) در هستههاي خط پر محتملترين مقدار و خط چين مقدار ميانگين و خط مربع و خط مثلث از مرجع [۷] جهت مقايسه ا ورده شدهاند. به دست ا ورده و باجايگذاري اين مقادير در روابط (۱۰) (۱۱) و (۱۵) به ترتيب محتملترين مقدار انرژي برانگيختگي. و * ET = ET E( 0) ) ) ا نتروپي و ظرفيت گرمايي محاسبه ميگردند. جهت محاسبة مقدار ميانگين كميات ترموديناميكي ابتدا با حل همزمان معادلههاي (۵) و (۱۲) مقدار ميانگين پارامتر گاف و پتانسيل شيميايي سازگار به دست ا مده و سپس با جايگذاري در روابط (۱۳) (۱۴) و( ۱۷ ) به ترتيب مقادير ميانگين انرژي بر انگيختگي ا نتروپي و ظرفيت گرمايي به دست ميا يد. ۴. بحث در نتايج محتملترين مقدار و مقدار ميانگين پارامتر گاف پروتونها و نوترونها در هستههاي در شكل ۱ رسم شدهاند. همچنين نتايج مرجع [۷] (SPA+RPA) جهت مقايسه رسم شدهاند. ميتوان مشاهده كرد كه بر خلاف پيش بيني مدل استاندارد BCS از يك دماي خاص (دماي بحراني (T c به بعد پارامتر گاف صفر نشده و اثر جفت شدگي نوكلي ونها در دماهاي بالاتر هم وجود دارد چنانچه نتايج مرجع [۷] هم از نظر كيفي بيانگر اين مطلب است. با توجه به تعداد كم ذرات هسته به عنوان يك سيستم ا ماري تا ثير افت وخيزهاي ا ماري در اين سيستم مانع از بروز افت ناگهاني پارامتر گاف شده است. تفاوت در پارامتر گاف نوتروني در دماي صفر هستة ناشي از اثر زوجيت است. نسبت به هستة انرژي برانگيختگي كل در شكل ۲ و ا نتروپي كل در شكل ۳ براي هستههاي رسم شدهاند. در اين شكلها مشاهده ميشود كه نتايج حاصل از روش استاندارد BCS (محتملترين مقدار) در دماي بحراني كه پارامتر گاف صفر ميشود داراي تكينگي است در صورتي كه نتايج حاصل از روش بهينة BCS (مقدار ميانگين) رفتاري هموار دارند. بنابراين از شكل ۴ كه ظرفيت گرمايي بر حسب دما رسم شده است مشاهد ميشود كه رفتار اين كميت با به كارگيري مقدار ميانگين پارامتر گاف به رفتاري ا رام تبديل گرديده است. همچنين جهت مقايسة مقدار تجربي ظرفيت گرمايي و نتايج مرجع [۷] (SPA+RPA) نيز رسم شدهاند. همخواني كيفي بسيار بهتر نتايج حاصل از مقدار ميانگين پارامتر گاف با نتايج تجربي نسبت به نتايج نظري ديگر قابل مشاهده است. در محدودة دماهاي بالاتر از T 06 / MeV
بهينه سازي مدل BCS براي سيستمهاي كوچك و محاسبة خواص... ۲۷۱ جلد ۱۳ شمارة ۳ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018. شكل ۲. انرژي برانگيختگي بر حسب دما در هستههاي شكل ۳. ا نتروپي بر حسب دما در هستههاي. خطوط مانند شكل ۱ ميباشند. و و خطوط مانند شكل ۱ ميباشند. شكل ٤. ظرفيت گرمايي بر حسب دما در هستههاي و نتايج مرجع [٧] (SPA+RPA) نيز جهت مقايسه رسم شدهاند.
جلد ۱۳ شمارة ۳ ۲۷۲ Downloaded from ijpr.iut.ac.ir at 10:19 IRDT on Saturday July 14th 018 اين نتايج همخواني كمي بهتري با دادههاي تجربي نسبت به نتايج روش SPA+RPA دارند [۷]. همچنين قلهاي كه در نتايج نيمه تجربي ظرفيت گرمايي در هر دو هسته ديده ميشود در با دقت بسيار خوب و در هستة با دقت كمتر باز توليد شده اند. اين قلهها در نتايج حاصل از روش استاندارد BCS و نتايج مرجع [۷] (SPA+RPA) يا به اين شكل مشاهده نميشوند و يا انحراف بسيار بيشتري از نتايج تجربي دارند. تفاوتهاي نتايج حاصله در انرژي ا نتروپي و ظرفيت گرمايي هستة در مقايسه با هستة از جمله تفاوت دماي بحراني نوتروني و كمتر بودن ظرفيت گرمايي در مقايسه با ظرفيت گرمايي به دليل اثر زوجيت است. ۵. نتيجهگيري در اين پژوهش با استفاده از توزيع احتمال همدما به محاسبه مقدار ميانگين پارامتر گاف در روش BCS پرداخته و فرمولبندي اين روش را بر پايه اين انتخاب به عنوان جايگزين مقادير حاصل از معادلة گاف مقدار ميانگين پارامتر گاف اراي ه كردهايم. با استفاده از طيف انرژي مدل نيلسون به بررسي كميتهاي BCS با به كارگيري روش مراجع ترموديناميكي هستههاي استاندارد و روش بهينة BCS پرداختهايم. انرژي برانگيختگي ا نتروپي و ظرفيت گرمايي كل هستههاي مورد مطالعه محاسبه گرديدند. همخواني بهتر نتايج حاصل از روش بهينة BCS نسبت به نتايج حاصل از به كارگيري روش BCS استاندارد را نشان دادهايم. مقايسة نتايج حاصله از روش بهينة BCS با روشهاي نظري ديگر نيز نشان دهندة بهينه شدن روش BCS با استفاده از مقدار ميانگين پارامتر گاف است. همچنين ظهور يك قله در ظرفيت گرمايي به وضوح ديده ميشود كه تطابق نسبي با نتايج تجربي داشته و به عنوان علامت گذار از فاز جفت شده به فاز معمولي در هستهها شناخته شده است [۱۴ و ۱۵]. 9. L retto Phys. Lett. B 40 (1) 1. 10. L retto Nucl. Phys. A 185 (1) 145. 11. Z Kargar and V Dehghani J. Phys. 40 (013) 045108. 1. S Nilsson et al. Mat. Fys. Medd. K. Dan. Videns. Sels. 3 (11) 16. 13. K Kaneo and M Hasegawa Phys. Rev. C 7 (005) 04307. 14. R Rossignoli N Canosa and P Ring Rev. Lett. 80 (1998) 1853. 15. A Schiller A Bjerve M uttormsen M Hjorth- Jensen F Ingebretsen E Melby S Messelt J Restad S Siem and S W Ødegård Phys. Rev. C 63 (001) 01306. 1. J Bardeen L N Cooper and J R Schrieffer Phys. Rev. 108 (1957) 1175.. H J Lipin Ann. Phys. 9 (10) 7. 3. Y Nogami Phys. Rev. B 313 (14) 134. 4. H C Pradhan Y Nogami and J Law Nucl. Phys. A 01 (13) 357. 5. K Esashia H Naada and K Tanabe Phys. Rev. C 7 (005) 044303. 6. K Kaneo and A Shiller Phys. Rev. C 76 (007) 064306. 7. K Kaneo M Hasegawa U Agvaanluvsan E Algin R Chanova M uttormsen A C Larsen E Mitchell J Restad A Schiller S Siem and A Voinov Phys. Rev. C 74 (006) 0435. 8. L D Landau and E M Lifshitz Statistical Physics Addision and Wesley (16) 348.