* خلاصه

دانشجوي- ششمين كنگره ملي مهندسي عمران 6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران بررسي و مقايسه همگرايي پايداري و دقت در روشهاي گام به گام انتگرالگيري مستقيم زماني 3 سبحان رستمي * علي معينالديني حامد صفاري كارشناسي ارشد سازه و عضو باشگاه پژوهشگران جوان دانشگاه آزاد اسلامي واحد كرمان دانشجوي- كارشناسي ارشد سازه دانشگاه آزاد اسلامي واحد كرمان - 3 دانشيار بخش عمران دانشكده فني و مهندسي دانشگاه شهيد باهنر كرمان * rostami_sobhan@yahoo.com خلاصه در اين مقاله روشهاي گام به گام انتگرالگيري مستقيم زماني مورد بررسي قرار گرفته و به لحاظ پايداري و دقت با هم مقايسه شدهاند. ماتريس عملگر تقريبسازي بر طبق الگوريتم هر يك از روشها ساخته شده و آناليز پايداري با يافتن شعاع طيفي هر يك از اين ماتريسها انجام و با يكديگر مقايسه شده است. بررسي دقت روشها در ابتدا با ارزيابي دو نوع خطاي مربوط به فروكاهش دامنه و افزايش دوره تناوب صورت گرفته و نتايج در قالب نمودارهايي اراي ه شده است. سپس به منظور دخيل كردن پارامترهايي از قبيل محتواي فركانسي بار اعمال شده به سازه و اندازه گام زماني مطالعات عددي انجام شده و نتايج در يك جدول اراي ه گرديده است. كلمات كليدي: تحليل ديناميكي انتگرالگيري مستقيم پايداري دقت همگرايي. مقدمه استفاده از روشهاي گام به گام عددي در آناليز ديناميكي به خصوص از نوع غير خطي آن بسيار مرسوم ميباشد. در اين ميان روشهاي انتگرالگيري مستقيم زماني از عموميت بسياري برخوردارند به طوري كه در آنها معادلات تعادل در زمانهاي گسسته حل ميگردد. در اين روشها از معادلات نموي حركت استفاده شده و با انتگرالگيري گام به گام پاسخ سازه محاسبه ميشود. واژة "مستقيم" به اين معني است كه پيش از انتگرالگيري عددي تبديل معادلات به فرم ديگري (مثلا آناليز در حوزه فركانس) انجام نميگيرد []. اينگونه روشها خود به دو نوع صريح و ضمني تقسيم بندي ميگردند كه هر كدام نيز ميتوانند در يك فرم تكگامي و يا چندگامي قرار گيرند. به عنوان يك ايده كلي در مساي ل انتشار موج استفاده از تكنيك انتگرالگيري صريح مناسب تر است. در حالي كه انتگرالگيري ضمني براي مساي ل اينرسي مو ثرتر ميباشد [3 ]. بعضا روشهايي نيز وجود دارد كه تركيبي از هر دو الگوريتم صريح و ضمني ميباشند. اين قبيل روشها گاها براي سيستم هاي چند درجه آزادي هنگامي كه مرتبه ماتريسها زياد باشد ميتواند بسيار پرهزينه باشند. بنابراين در تحليل هاي عملي شمار اندكي از روشهاي مو ثر جالب توجه ميباشند. بنابراين جهت انتخاب يك روش انتگرالگيري عددي كارا يك مقايسه كامل و جامع از اين روشها نياز است. در اين مقاله اكثر اين روشها از قبيل روشهاي تفاضلات مركزي هوبولت نيومارك ويلسون رانگ-كوتا و بسياري روشهاي ديگر با هم مقايسه شده اند. از آنجايي كه هزينة يك روش گام به گام عددي به طور مستقيم مربوط به تعداد گام هاي زماني است بنابراين گام زماني بايد به اندازه اي زياد باشد كه هزينه محاسباتي را كاهش دهد در حالي كه اين گام نيز بايد به قدر كافي كوچك باشد تا دقت مورد مطالبه را اقناع نمايد. انتخاب اندازه گام زماني t كه در محاسبة گام به گام پاسخ ديناميكي يك سيستم به كار ميرود به پايداري و يا دقت الگوريتم مربوطه محدود ميشود. اصليترين لازمه يك الگوريتم عددي اين است كه هنگامي كه مقدار گام زماني t به سمت صفر ميل ميكند ( t پاسخ محاسبه شده به مقدار دقيق آن همگرا ) شود [4]. تعيين مقدار گام زماني بهينه در هر روش متفاوت است و آناليز پايداري و دقت در انتخاب يك گام بهينه مناسب مفيد ميباشد. در اين مقاله ماتريس عملگر تقريبسازي بر طبق الگوريتم هر يك از روشها ساخته شده است و آناليز پايداري با يافتن شعاع طيفي هر يك از اين ماتريسها انجام و با يكديگر مقايسه شده است. سپس در ادامه بررسي دقت اين روشها نيز بر طبق شيوههاي استاندارد انجام شده است. ١

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران. بررسي پايداري به طور كلي روشهاي انتگرالگيري عددي داراي پايداري مشروط و يا نامشروط هستند. يك روش عددي پايداري نامشروط دارد اگر جواب براي t/ بزرگ باشد ) T دوره تناوب سازه است). روش هرگونه شرايط اوليه و به ازاي هر گام زماني t بدون كران رشد نكند به ويژه هنگامي كه T ( t critical باشد عددي به طور مشروط پايدار خواهد بود اگر شرط فوق تنها هنگامي صادق باشد كه گام زماني كوچكتر يا مساوي يك مقدار بحراني ) كه معمولا حد پايداري ناميده ميشود []. براي بررسي پايداري يك روش انتگرالگيري گام به گام نياز است كه عملگرهاي تقريبسازي و بار روش انتگرالگيري مورد نظر مشخص گردد. در روشهاي انتگرالگيري مستقيم فرض ميشود كه جواب مورد نياز براي زمانهاي گسسته مورد نياز است. در اينصورت براي روش انتگرالگيري مورد t ˆ ft t t X ˆ ˆ ˆ tt A Xt L ft t, tt, t, 3, t, t, را بدست آورده ايم و اينك جواب براي زمان نظر هدف ايجاد رابطه بازگشتي زير است: Xˆ t Xˆ tt () كه در آن و بردارهايي هستند كه كميتهاي جواب را ذخيره ميكنند (مثلا تغيير مكانها و سرعتها) و بردار بار در زمان است. ميتواند صفر t يا هر مقدار ديگري را داشته باشد كه براي هر روش انتگرالگيري متفاوت است. ماتريس A و بردار L به ترتيب عملگرهاي تقريبسازي و بار انتگرالگيري هستند. به ماتريس A ماتريس تشديد نيز گفته ميشود [5]. هر كميت در رابطه () بستگي به روش خاص انتگرالگيري مورد استفاده دارد. از اين رابطه براي مطالعة پايداري روشهاي انتگرالگيري استفاده ميشود. پايداري يك روش انتگرالگيري با ارزيابي رفتار جواب عددي براي شرايط اولية اختياري تعيين ميشود. بنابراين انتگرالگيري را هنگامي در نظر ميگيريم كه هيچگونه باري وجود ندارد به t t بدست خواهد عبارت ديگر f است. ماتريس عملگر تقريب سازي براي هر يك از روشها با حل معادله حركت سيستم يك درجه آزادي در لحظه زماني u u u f tt tt tt tt آمد. معادله مذكور به ف رم زير نوشته ميشود: ماتريس عملگر تقريب سازي براي تعدادي از اين روشها در زير آورده شده است. () روش هوبولت 5 4 6 3 xt t t t t 3 xt xt xt t ; x tt x tt t t 6 6 3 6 8 6 xtt x t x tt t xt ; t 6 x x tt t t t t t xtt xt xtt t xt ; t x tt x t t t 3, t 3 t t روش ويلسون-, t t t روش نيومارك t t t, Amplification matrix ٢

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران tt t t t روش هم مكاني t t xtt xt xt t t x t ; t t t x x t روش (هيلبر- هيوز- تيلور) t t xtt xt x tt t x t t ; x tt x t t t ( ) ( ), t t t آناليز پايداري را ميتوان با حل مسي له مقدار ويژه ماتريس عملگر تقريب سازي انجام داد. مقادير ويژه و بردارهاي ويژه را ميتوان از حل محاسبه نمود. در اين راه از تجزيه طيفي A نيز ميتوان استفاده كرد. A را ميتوان بر حسب مقادير و A I A نوشت. كه 3, A يا I بردارهاي ويژه به فرم ماتريس متشكل از بردار ويژههاي A و A است. حال براي داشتن يك حل پايدار ن رم عناصر نبايد بيشتر از واحد باشند. بنابراين يك ماتريس قطري از مقدار ويژههاي ( A) max(,, ). (3) (A ) شعاع طيفي ماتريس A است كه تابعي از گام زماني t ميباشد. از آنجايي كه شعاع طيفي تغييرات كمي نسبت به تغيير در مقدار نسبت ميرايي دارد در ماتريس عملگر تقريب سازي فرض ميشود [4]. روشهاي نامشروط پايدار داراي شعاع طيفياي همواره كمتر از يك ميباشند و بسياري از اين روشها مانند ويلسون- و نيومارك- داراي پارامتر متغيري هستند كه با در نظر گرفتن محدودة مشخصي براي اين پارامترها شعاع طيفي همواره كوچكتر از واحد ميشود و روش براي هر مقدار گام زماني در نظر گرفته شده پايداري خود را حفظ مينمايد. در شكل () شعاع طيفي بر حسب نسبت T / T براي نمونههايي از روشهاي انتگرالگيري مستقيم در مقياس لگاريتمي ترسيم شده است. همانطور كه از شكل نيز مشخص است روش صريح تفاضلات مركزي داراي حد پايداري / /3 است كه اين مقدار براي روش شتاب خطي /55 ميباشد. شكل - مقدار شعاع طيفي بر حسب تغييرات t / T Collocation method ٣

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران 3. بررسي دقت تصميم در مورد اينكه در يك تحليل عملي از كدام عملگر انتگرالگيري استفاده شود بستگي به هزينه حل دارد كه آن هزينه نيز به نوبة خود به وسيله تعداد پلههاي زماني مورد نياز در انتگرالگيري تعيين ميشود. اگر از الگوريتمي مانند روش تفاضلات مركزي كه به طور مشروط پايدار است استفاده شود در اين صورت اندازة پله زماني و بنابراين تعداد پله هاي زماني براي يك مدت زمان معلوم مورد نظر صرفا به وسيله پله زماني بحراني t critical تعيين ميشود و از اينرو ميدان گزينش محدود است اما با استفاده از عملگر به طور نامشروط پايدار پله زماني بايد به گونهاي انتخاب شود كه منجر به يك جواب موثر و نزديك به حل دقيق گردد. به طور كلي دقت يك الگوريتم عددي مربوط به نرخ همگرايي پاسخ محاسبه شده نسبت به پاسخ دقيق t هنگامي كه است []. شايعترين نوع انتخاب براي گام زماني t بكار رفته در محاسبه پاسخ مدل هاي يك درجه آزادي (SDOF) يا چند درجه آزادي (MDOF) تحت حركت زمين بر مبناي مطالعه روشهاي عددي براي محاسبه پاسخ سيستمهاي يك درجه آزادي ناميرا ست [6]. اطلاعات ناشي از مطالعه ارتعاش آزاد اغلب معطوف به مشخصات فركانس بار اعمال شده به سيستم نيز ميباشد. بنابراين جهت انجام يك بررسي جامع دقت روش عددي بايستي تحت بارگذاري آن هم با طيفي از فركانسهاي متفاوت مورد تحليل قرار گيرد. معيار گام زماني t اغلب به صورت كسري از پريود (ناميرا) سيستم يك درجه آزادي براي يك سطح مشخص از دقت بيان ميگردد. در واقع ميزان دقت روشهاي عددي متاثر از گام زماني t و فركانس بار اعمالي است. وجود خطا در حل معادله ديفرانسيل حركت در هر روش عددي ذاتي است. يك روش معمول براي تعيين مقدار بزرگي خطا در يك الگوريتم گام به گام عددي معمولا تفاوت بين پاسخ جابجايي محاسبه شده از حل دقيق با پاسخ جابجايي از حل عددي ارتعاش آزاد سيستم يك درجه آزادي x داراي يك پاسخ متناوب با دامنه ماكزيمم ثابت x و سرعت اوليه ناميرا ميباشد. يك سيستم ناميراي يك درجه آزادي تحت يك جابجايي اوليه xt () x max x (5) و دوره تناوب ثابت T / به جابجايي محاسبه شده در روش گام به گام عددي تسهيل ميكند. ميباشد. اين خواص تناوبي بودن پاسخ و داشتن يك دامنه ماكزيمم ثابت در تمامي سيكلها ارزيابي خطا را نسبت به طور كلي دو نوع خطا براي مسي له ارتعاش آزاد ناميرا شامل : الف كشيدگي دوره تناوب Elonation) (Period و ب زوال يا فروكاهش دامنه Decay) (Amplitude در نظر گرفته ميشود []. اين دو نوع خطا به طور شماتيك روي شكل () براي يك سيكل از جابجايي x نشان داده شده اند. اولين خطا مربوط به كشيدگي دوره تناوب (PE) است و مقدار آن اختلاف بين دوره تناوب محاسبه شده توسط روش عددي با دوره تناوب روش دقيق كه همواره ثابت است ميباشد. دومين خطاي ممكن مربوط به زوال يا همان فروكاهش دامنه (AD) است. از آنجايي كه سيستم يك درجه آزادي بدون ميرايي است لذا هرگونه ميرايي مجازي ايجاد شده كه سبب فروكاهش دامنه در پاسخ جابجايي محاسبه شده توسط يك روش گام به گام عددي شود به عنوان خطاي پاسخ اندازهگيري ميشود. اين سنجش خطا گاهي اوقات تحت عنوان ميرايي الگوريتمي نيز بيان ميگردد. زيرا كه پاسخ واقعي براي يك سيستم يك درجه آزادي ناميرا فاقد هرگونه فروكاهش دامنه در هر سيكل است. بنابراين ميتوان مقدار خطا را بر اساس ميرايي الگوريتمي نيز بيان كرد كه بنا بر معادلة نشان داده شده روي شكل () اين مقدار برابر AD / افزايش مقدار گام زماني t مقدار اين دو نوع خطا نيز بيشتر ميشود. بنابراين بررسي اين خطاها به صورت نسبتي از كسر است [6]. مسلما در روشهاي عددي با t / T انجام ميشود. شكل - كشيدگي دوره تناوب و فروكاهش دامنه (6) در اين راستا براي بررسي دقت روشهاي انتگرالگيري مستقيم روند با محاسبه پاسخ يك سيستم يك درجه آزادي ناميرا به صورت يك مسي له مقدار اوليه به ف رم ذيل انجام گرفته است. xt () xt () x ; x ; x ٤

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران جواب محاسبه شده از طريق روشهاي عددي با پاسخ دقيق يعني x cos( t) t / T برآورد شده است. نتيجه در شكل (3) جهت مقايسه نشان داده شده است. مقايسه شده و دو نوع خطاي مذكور بر اساس نسبتهاي مختلف.5. خطاي مربوط به فروكاهش دامنه خطاي مربوط به كشيدگي دوره تناوب.45 Houbolt Park.9.4 Collocation Method (β =/6, θ =.4).8 ميرايي الگوريتمي كشيدگي نسبي دوره تناوب PE/T=(T T)/T.35.3.5..5 Wilson (θ =.4) Zeinkiwiez Method α Method (α=.5) Newmark (γ=/, β=/4) (ξ).7.6.5.4.3. Central Diffrence..5 Rune Kutta Linear Acceleration. Newmark (γ=/, β=/4)...3.4...3.4 ΔT/T ΔT/T شكل 3- بررسي خطاي نوع الف كشيدگي دوره تناوب و ب فروكاهش دامنه به طورخلاصه اين نمودارها نشان دهنده خطاي مربوط به هر يك از روشهاي گام به گام انتگرالگيري به عنوان تابعي از نسبت t / T يعني گام زماني اتخاذ شده به پريود سيستم ميباشند. اين نمودارها براي روشهاي به طور مشروط پايدار (روششتاب خطي و روش تفاضلات مركزي) فقط تا مرز پايداري روش رسم شدهاند. زيرا كه براي يك مقدار كوچك بيش از حد بحراني ميزان خطا ناگهان به سمت بينهايت رشد ميكند. منحنيها نشان ميدهند كه در حالت كلي انتگرالگيري عددي با استفاده از هر يك از روش ها در هنگامي كه ميدهد. اما هنگامي كه يك نسبت معلوم t / T كوچكتر از / است نتايج دقيقي را بدست t / T بزرگتر است روش هاي مختلف انتگرالگيري مشخصات كاملا متفاوتي را از خود نشان ميدهند. به عنوان مثال براي t / T روش با /5- = فروكاهش دامنه و كشيدگي دوره تناوب كمتري نسبت به روش ويلسون- با /4= را نشان ميدهد و نيز روش شتاب ميانگين ثابت نيومارك ) /4 و ( / تنها كشيدگي دوره تناوب را از خود به نمايش ميگذارد و در آن فروكاهش دامنه مشاهده نميشود. در ادامه جهت بررسي تغييرات فركانس بار اعمالي در دقت روشهاي انتگرالگيري مستقيم يك سازه يك درجه آزادي با رفتار خطي و پريود ارتعاش T /5 ثانيه (فركانس f 4 HZ ( و نسبت ميرايي %5 را تحت سه حالت بارگذاري به صورت شتاب پايه با محتواي فركانسي متفاوت كه در شكل (4) مشخص شده اند مورد تحليل قرار دادهايم. هر سه تاريخچة زماني شتاب وارد شده به تكيهگاه شامل بيست سيكل از يك شتاب سينوسي با حداكثر دامنه ميباشد. با توجه به در نظر گرفتن پريودهاي /5 /5 و ثانيه براي شتاب پايه اعمال شده مدت زمان بارگذاري به ترتيب 5 و ثانيه ميباشد. گام زماني مورد استفاده در اين مطالعه عددي را دو حالت / و / ثانيه در نظر گرفته ايم تا تاثير ميزان گام زماني را نيز در خطاي ١ در روش نيومارك در حالتي كه و است روش معادل روش شتاب ثابت است. در حالت /4 و / روش نيومارك به روش شتاب ميانگين ثابت تبديل ميگردد كه قاعده ذوزنقه نيز ناميده مي شود و روشي نامشروط پايدار است. در حالت /6 و / روش نيومارك متناظر با روش شتاب خطي است كه خود معادل روش ويلسون- با است. ٥

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران ايجاد شده توسط اين روشها بيازماييم. گامهاي در نظر گرفته شده مطابق با استانداردهاي مورد استفاده در تحليلهاي ديناميكي تحت بارهاي لرزهاي (زلزله) است. مسي له مورد نظر به وسيله روشهاي انتگرال دوهامل شتاب خطي تفاضلات مركزي رانگ-كوتا ويلسون- ) و (.4 و روش نيومارك (/6 و ( / تحليل شده و با پاسخ دقيق آن مقايسه شده است. نتايج تحليل شامل تاريخچه زماني جابجايي سرعت و شتاب نسبي براي تمامي روشها است. با در نظر گرفتن دو گام زماني / و / ثانيه و سه نوع شتاب پايه در مجموع براي شش روش عددي مذكور و روش دقيق 44 تاريخچه زماني پاسخ (شامل جابجايي سرعت و شتاب) محاسبه گرديده و در تمامي آنها خطاي موجود بررسي شده است. شتاب تكيهگاه : xround () t Amax sin( t) T Amax پريود ارتعاش سازه : sec T.5 نسبت ميرايي : 5% X'' round ('s) - X'' round ('s) -.5 5 T.5 sec T.5 sec X'' round ('s) - 5 5 T sec شكل 4- سازه يك درجه آزادي ميرا تحت يك شتاب پايه با سه فركانس متفاوت. اين سازه از طريق شش الگوريتم عددي براي دو گام زماني / و / ثانيه تحليل و پاسخها با حل دقيق آن مقايسه شده است در اين مطالعه عددي تاثير پارامترهاي كليدي يعني گام زماني t و محتواي فركانسي حركت زمين به صورت كسري از هم درتعيين دقت روشهاي عددي مورد بررسي قرار گرفته است. در مجموع 6 تاريخچه زماني پاسخ حل عددي جهت مقايسه با 8 تاريخچه زماني حل دقيق آن مورد بررسي قرار گرفته و خطا در آنها محاسبه شده است. هدف اصلي مقايسه دقت روشهاي رانگ-كوتا و تفاضلات مركزي با روش دوهامل است كه در ادبيات تحليل ديناميكي از آن به عنوان يك روش دقيق ياد ميشود. به دليل اينكه نتايج اين بررسيها همگي بر اساس يك آناليز واداشته از يك سيستم يك درجه آزادي ميرا انجام گرفته اند تعاريفي كه در بحث قبل راجع به ميزان خطا (كشيدگي دوره تناوب و فروكاهش دامنه) براي ارتعاش آزاد سيستم ناميرا مطرح شد در اينجا مصداق ندارد. بنابراين يك تعريف ديگر براي تعيين ميزان خطاي عددي نياز است. مشخص است كه نتايج آناليز تاريخچه زماني از سيستم هاي سازهاي خطي تحت تحريك تكيهگاه معمولا به طيف وسيعي از پارامترهاي مو ثر در تحليل مربوط است. يك نوع تعريف براي ميزان خطا كه در اين آناليز از آن استفاده شده در شكل (5) بيان شده است. در اين تصوير اولين گراف نمونهاي از يك تاريخچه زماني جابجايي براي روش شتاب خطي در قياس با پاسخ دقيق آن است. پاسخ روش عددي در نقطه (= مدت زمان حركت زمين تقسيم بر گام زماني ( t اراي ه شده است. محاسبه خطا در نقاط اكسترمم (نقاط قله و دره ( انجام شده است. در اين نقاط ميزان خطا بر مبناي درصد به صورت يك كسر بيان ميگردد. صورت كسر اختلاف مقدار پاسخ روش عددي با جواب دقيق و مخرج آن مقدار پاسخ دقيق است. براي مثال در تصوير (5) مقدار خطا در اولين نقطة اكسترمم (قلهاي) كه در زمان /6 ثانيه رخ داده تقريبا %4 محاسبه شده است. مقدار خطا در اين نقطه به همراه 3 نقطة اكسترمم ديگر در دومين گراف موجود در شكل (5) نشان داده شده است. محور افقي گراف زمان و محور قاي م ميزان خطا را نشان ميدهد. Forced vibration Peak and valley points ٦

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران.3... -.466 Relative Displacement (cm). -. -. -.3 -.4 Time (sec) Exact Linear Acceleration -. -. -.3 -.4 -.5.5. -.3788 Time (sec) Error in Relative Displacement (percent) 5 5 Time (sec)...3.4.5.6.7.8.9.3788.466 E 3.97%.466 : E درصد خطا در نقطه اكسترمم (اولين نقطة قلهاي) T T و / شكل 5- خطاي روش شتاب خطي در محاسبه جابجايي نسبي براي سيستم مورد بحث (شكل 6) تحت شتاب پايه با /5 در مجموع يك سري ارزيابي خطا مشابه موردي كه در فوق توضيح داده شد (شكل 5) براي 5 تاريخچه زماني باقيمانده انجام شده است. اين ارزيابي خطا روي تمامي سه پاسخ شامل جابجايي سرعت و شتاب نسبي صورتگرفته و نتايج حاصل از 6 تحليل خطا در جدول () اراي ه شده است. ميزان خطا براي تمامي نقاط اكسترمم (درهاي و قلهاي) در طول زمان لرزه محاسبه شده و ميانگين آن به همراه مقدار خطا در نقطه حداكثر پاسخ در هر تحليل در اين جداول قرار داده شده است. شش الگوريتم نشان داده شده در جدول () شامل: انتگرال دوهامل نيومارك (با مقاديري از و كه بر روش شتاب خطي منطبق ميگردد) ويلسون- (با و ) /4 تفاضلات مركزي شتاب خطي و رانگ-كوتاي مرتبه چهار ميباشند. در جدول t و / () مقدار گام زماني / t ثانيه در آناليز عددي استفاده شده است. در اين جدول از پارامتر t / T به عنوان يك متغيير كه متاثر از دو فاكتور مهم (گام زماني و پريود بار اعمالي) در تعيين دقت پاسخ سازه ميباشد استفاده شده است. جدول - درصد خطا در جابجايي سرعت و شتاب نسبي براي سيستم يك درجه آزادي با پريود /5 و گام زماني / و / ثانيه خطا در پاسخ حداكثر خطا در پاسخ حداكثر T (sec).5.5. پارامتر Rel. D Rel. V Rel. A Rel. D Rel. V Rel. A Rel. D Rel. V Rel. A T T..8.4 DHM 53.5 (53.7) 58.6 (6) 9.7 (.7).9 (.9).9 (.9). (.98).3 (.3).3 (.3).58 (.75) NMK WIL ( ) Linear Acc. 54. (56.7) 59.7 (59.4) 9.8 (.3) 5.3 (6.4).7 (6.5) 4.6 (6.5).33 (.89). (4.8).78 (7.) (خطاي ميانگين ( WIL (.4) T T CDM RGK DHM 57 (75.3) 6.5 (6.6) 3.6 (4.7) 5.4 (.9) 4.3 (.) 7. (.9) 6.9 (6.3).3 (8.4) 4.6 (.) 3 (7.5) 58. (57.8) 5.5 (3.9) 6. (6.58).98 (6.5) 5.35 (6.4).65 (.).3 (4.88) 3.5 (7.8) 5 (56) 6 (7).3 (3.).6 (.3).7 (.9) 6.5 (8.).4 (.95). (.83).4 (4.35)..4. 3. (3.3) 3.48 (3.5).39 (3.3).53 (.53).5 (.53).54 (.56).3 (.3).4 (.3).4 (.) NMK WIL ( ) Linear Acc. 3.6 (3.4) 4. (3.9).45 (3.3).6 (.8).9 (.95).39 (.69). (.46).3 (.56).45 (.94) (خطاي ميانگين ( WIL (.4) CDM RGK 4.8 (.) 5.84 (5.6) 4.9 (4.46).45 (6.75).6 (7.) 3. (6.6).6 (.8). (6.3).4 (7.5) 6.96 (5.7).85 (3.).7 (.93). (.).35 (.7).78 (.5).35 (.55) (.57).5 (.8).5 (3.4) 3. (3.3).5 (3.). (3.) 3.4 (3.5).47 (.3).9 (.85).3 (.3).66 (.) توجه: = DHM روش انتگرال دوهامل Acc. = Linear روش شتاب خطي = CDM روش تفاضلات مركزي = RGK روش رانگ-كوتا = WIL روش ويلسون- = NMK روش نيومارك /) ( /6, ٧

6 و 7 ارديبهشت 39 دانشگاه سمنان سمنان ايران در حالت كلي نتايج حاصله نشان ميدهد كه دقت تمام روشهاي عددي در صورت ثابت بودن متغيرهاي ديگر بستگي به محتواي فركانسي حركت زمين دارد. به طوري كه بزرگي خطا براي هر سه پارامتر پاسخ (جابجايي سرعت وشتاب نسبي) با افزايش فركانس حركت زمين افزايش مييابد. بررسي خطا نشان ميدهد كه مقادير محاسبه شده براي شتاب سيستم نسبتا دقيقتر از مقادير محاسبه شده براي جابجايي و سرعت ميباشد. ضمنا گام زماني در نظر گرفته شده نيز تاثير بسزايي در ميزان دقت روش عددي دارد. كاهش گام زماني از مقدار / به / ثانيه به طور قابل ملاحظه اي دقت پاسخ هاي محاسبه شده را بهبود ميبخشد. البته خطا همچنان در پاسخ روشهاي گام به گام براي فركانسهاي بالاي حركت زمين f HZ) ( T /5 يا همچنان موجود است. دقت در نتايج محاسبه شده براي هر سه پارامتر پاسخ با كاهش محتواي فركانسي بار اعمال شده به سازه افزايش مييابد. نتايج نشان ميدهد كه روش تفاضلات مركزي از خطاي نسبي كمي در تحليل برخوردار است. 4. نتيجهگيري دارد. در اين مقاله اكثر روشهاي انتگرالگيري مستقيم زماني مرسوم در تحليلهاي ديناميكي با يكديگر مقايسه شده اند. با توجه به اينكه بحث پايداري و دقت دو فاكتور مهم در اينگونه روشها مي باشد تمركز اصلي اين مقاله روي بررسي و مقايسه اين روشها به لحاظ دقت و پايداري است. در روشهاي انتگرالگيري گام زماني t پارامتر مهمي در تعيين دقت پاسخ سيستم ميباشد به طوريكه با افزايش آن هر دو خطاي مربوط به كشيدگي دوره تناوب و فروكاهش دامنه افزايش مييابد. ضمنا براي يك مقدار ثابت از گام زماني t مقدار يك و يا هر دو خطاي موجود براي سيستم هاي با دوره تناوبهاي كوچك بيش از سيستمهاي با دوره تناوبهاي بزرگ ميباشد. ارزيابي اين دو نوع خطا نشان ميدهد كه درحالت كلي روشهاي صريح از دقت بالاتري نسبت به روشهاي ضمني برخوردارند. در اين ميان روشهاي شتاب خطي و تفاضلات مركزي از دقت خوبي برخوردارند. اما مهمترين نقيصه در اين روشها پايداري مشروط آنهاست كه اين موضوع استفاده از آنها را به مساي ل خاصي محدود ميكند. در ميان روشهاي انتگرالگيري ضمني روش هاي نيومارك و روش از دقت بالاتري نسبت به ساير برخوردارند. فركانس بار اعمال شده به سازه نيز فاكتوري ديگر در تعيين دقت روشهاي عددي است. دقت روشهاي عددي در صورت ثابت بودن متغيرهاي ديگر بستگي به محتواي فركانسي بار دارد. به طوري كه بزرگي خطا در پاسخ سازه با افزايش فركانس بار افزايش مييابد. بنابراين براي يك بارگذاري با محتواي فركانسي بالا يگ گام زماني كوچك نياز t critical است. علاوه بر ملاحظات دقت پايداري نيز بايد در انتخاب يك گام زماني مناسب مد نظر قرار گيرد. مقدار مجاز براي گام زماني t يا همان است كه براي روشهاي انتگرالگيري متفاوت است. روشهايي مانند روش هوبولت و رانگ كوتاي مرتبه چهار همواره پايدار اند. روشهايي نيز به مانند روش ويلسون- به ازاي.37 بدون شرط پايدار ميباشند در حالي كه روش شتاب خطي و روش تقاضلات مركزي پايداري مشروط دارند. در آخر ميتوان گفت كه انتخاب يك روش انتگرالگيري مناسب بستگي به مسي له مورد نظر و دقت مورد مطالبه براي پاسخ هاي محاسبه شده 5. مراجع. Bathe, K.J., (996), Finite Element Procedures, Prentice Hall Inc., Enlewood Cliffs, NJ.. Rio, G., Soive, A., Grolleau, V., (5), Comparative study of numerical explicit time interation alorithms, Advances in Enineerin Software, 36, pp. 5-65. 3. Dokainish, M.A., Subbaraj, K., (989), A survey of direct time interation methods in computational structural dynamics. II. Implicit methods, Computer & Structures, 3, No.6, pp. 387-4. 4. Huhes, T.J.R., (987), The Finite Element Method-Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Prentice Hall Inc., Enlewood Cliffs, NJ. 5. Jee, H.W., Lee, I.W., Park, S.K., (Auust -, 999), Analysis and comparison of step-by-step numerical interation method, Proceedin of the Twelfth KKNN Seminar and Workshop on Civil Enineerin, Taejon Korea. 6. Ebelin, R.M., Green, R.A., and French, S.E., (997), Accuracy of Response of Sinle-Deree-of- Freedom Systems to Ground Motion, U.S. Army Corps of Enineers, Technical Report ITL-97-7. ٨