ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3. Η/Μ και φωτονική περιγραφή του φωτός. Α) Η Η/Μ εικόνα γιά το φως. α) Ενέργεια του Η/Μ κύματος. β) Ορμή του Η/Μ κύματος

- 94 - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 Η/Μ και φωτονική περιγραφή του φωτός Α) Η Η/Μ εικόνα γιά το φως α) Ενέργεια του Η/Μ κύματος Είναι γνωστό από την Η/Μ θεωρία και την ίδια την πράξη, ότι ένα Η/Μ κύμα μεταφέρει ενέργεια. Έτσι όταν μια δέσμη φωτός έντασης I (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας) προσπίπτει πάνω σ ένα σώμα που απορροφά, τότε είναι γνωστό ότι θ αυξηθεί η εσωτερική του ενέργεια (π.χ. θα έχουμε αύ- ξηση της θερμοκρασίας του). Η ένταση του φωτός που μετρείται σε W/m, προκύπτει από τη μέση χρονική τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting S και είναι ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους E 0 της έντασης E του ηλεκτρικού πεδίου. Εάν π.χ. E= E cos ωt kz, B= B cos ωt kz ( ) ( ) 0 0 τότε: S= c ε E B= c ε E B ( ωt kz ) 0 0 0 0 cos και 1 1 I = S = S = dt = ε ce τ S τ 0 0 0 όπου S είναι το μέτρο του διανύσματος Poynting. Λεπτομερής περιγραφή της ανάδειξης της έννοιας της έντασης του φωτός δίνεται στο (Ε.Σ.Σ.Φ. κεφ-) με βάση την αρχή της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. β) Ορμή του Η/Μ κύματος Είναι γνωστό και πειραματικά αποδεδειγμένο ότι αν Η/Μ ακτινοβολία προσπέσει σ ένα σώμα θα του μεταδώσει ορμή. Δηλ. πάνω του ασκείται μια πίεση. Θα θεωρήσουμε αρχικά ότι το σώμα είναι μέτριας αγωγιμότητας ( ke 1, km 1) γεγονός που προκαλεί μια σχετική απορρόφηση της Η/Μ ακτινοβολίας (βλ. ΕΣΣΦ ΠΑΡ/ΜΑ 3 - Οπτικές ιδιότητες των αγωγών). Έστω τώρα ότι ένα επίπεδο μέτωπο κύματος πέφτει κάθετα σ αυτό. Κατά την πρόσκρουση (Σχ. 3.1α), το πεδίο E του κύματος αναγκάζει τους ηλεκτρικούς φορείς του υλικού να κινηθούν και δημιουρ-

- 95 - γεί ένα ρεύμα πυκνότητας j = σ E. Τότε το μαγνητικό πεδίο του κύματος επαγωγής B δρα πάνω στον καθένα τους με μια δύναμη F = q υ B (δύναμη Lorentz -βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 1) όπου q το φορτίο ενός εκάστου και υ η ταχύτητα της διατεταγμένης κίνησης των φορέων λόγω του πεδίου E. Αν τώρα θεωρήσουμε ένα στοιχειώδη όγκο dv (Σχ. 3.1α) του υλικού, τότε η συνολικά ασκούμενη δύναμη στον τελευταίο θα είναι: F= ndv F = ndvq υ B (3.1) όπου n ο αριθμός των φορέων ανά μονάδα όγκου. Η τελευταία σχέση μετασχηματίζεται ως εξής: ( ) F = ndvq υ B = nq υ BdV = j B dv (3.) όπου j = nq υ είναι η πυκνότητα του ρεύματος με διαστάσεις σκούμενη δύναμη στον αγωγό ανά μονάδα όγκου θα είναι: Α /m. Τελικά η α- ( k ) F j B j H (3.3) uv.. = = μ0 m 1 Η διεύθυνση της δύναμης αυτής όπως φαίνεται και από το (Σχ. 3.1α) είναι αυτή της πρόσπτωσης του κύματος. Αν τώρα υποθέσουμε ότι το μέτρο της επιφάνειας ds (του στοιχειώδους ό- γκου dv = dsdl ) είναι ίση με τη μονάδα και το πάχος του dl τότε η στοιχειώδης

- 96 - ορμή dp που θα μεταφέρεται κατά τα γνωστά ανά μονάδα χρόνου στο πλακίδιο αυτό θα είναι: F dp = Fdt = dvdt = Fuv, dsdldt = Fuv, dl = μ0jhdl (3.4) dv επειδή ds = 1, dt = 1και τα διανύσματα j και H είναι κάθετα μεταξύ τους. Γνωρίζουμε όμως (βλ. σημείωση παρακάτω) ότι η απορροφούμενη ενέργεια από το πλακίδιο στη μονάδα του χρόνου θα είναι: dw = jedl (3.5) Σημείωση Θεωρούμε ένα αγωγό (ΠΑΡ/ΜΑ 1 (Σχ. Α5.)) ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης I όπου μεταξύ των άκρων του υφίσταται διαφορά δυναμικού U. Τότε q= Itείναι το φορτίο το οποίο περνάει από μια διατομή του σε χρόνο t. Το παραγόμενο στον αγωγό έργο (που προέρχεται από την πηγή που συντηρεί την κίνηση των φορέων) θα είναι ίσο με W = Uq. Η τελευταία προκύπτει από το γεγονός ότι θεωρούμε το φορτίο q (συνολικά) να μετακινείται (σε χρόνο t ) από το ένα άκρο του αγωγού στο άλλο μεταξύ των οποίων επικρατεί διαφορά δυναμικού U. Ο συνδυασμός των προαναφερομένων σχέσεων και του νόμου το Ohm μας δίνει: W = Uq = UIt = RI t (3.6) Στην περίπτωση που δεν συντελούνται χημικές διεργασίες στον αγωγό και δεν ε- κτελείται έργο σε εξωτερικά σώματα τότε το W θα προκαλεί αύξηση στην εσωτερική ενέργεια του αγωγού δηλ. θα μετατρέπεται σε θερμότητα. Αν τώρα θελήσουμε να δούμε τι ακριβώς συμβαίνει σ ένα πολύ μικρό τμήμα του αγωγού όσον αφορά το παραγόμενο και ταυτόχρονα μετατρεπόμενο σε θερμότητα στοιχειώδες έργο dw ανά μονάδα όγκου και χρόνου θα έχουμε (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 1 Σχ. Α5.): ρdl = = ( ) = ρ (3.7) ds dw RI dt jds dt j dvdt όπου dv = dsdl. Επομένως το ποσό της θερμότητας που απορροφείται ανά μονάδα όγκου και ανά μονάδα χρόνου (unit thermal power of current) θα είναι: Q dw dvdt j u = = ρ (3.8)

- 97 - Άρα για την περίπτωση του πλακιδίου όγκου dv όπου dv = dsdl με ds = 1 η απορροφούμενη κατά την πρόσπτωση της Η/Μ ακτινοβολίας ενέργεια στη μονάδα του χρόνου ( Δ t = 1) θα είναι: dw QudV = ρj S l ρ j l = Δ Δ = Δ = = ρσ j EΔ l = jedl ( σχ.3.5) (3.9) Με τη βοήθεια τώρα των σχέσεων (3.4) και (3.5) μπορούμε να βρούμε τον λόγο dp dw (και κατά προέκταση του pw) της μεταδιδόμενης ορμής προς την ενέργεια από το Η/Μ κύμα στο πλακίδιο. Οπότε: dp = p = μ H 0 (3.10) dw W E και δεδομένου ότι EB= 1 c(βλ. ΠΑΡ/ΜΑ ) θα έχουμε: p H B 1 = μ0 = = (3.11) W E E c που σημαίνει ότι Η/Μ κύμα που μεταφέρει ενέργεια W θα έχει ορμή: 1 p = W (3.1) c Σημείωση Θα πρέπει ν αναφέρουμε εδώ ότι η ίδια ακριβώς σχέση μεταξύ ορμής και ενέργειας, ισχύει και για σωματίδια που έχουν μηδενική μάζα ηρεμίας όπως π.χ. είναι τα φωτόνια. Πράγματι με βάση την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η συνολική ενέργεια E ενός σωματιδίου που η ορμή του είναι p και η μάζα ηρεμίας του m δίνεται από τη σχέση: E = c p + m c (3.13) Εάν τώρα (π.χ. για το φωτόνιο) m = 0 τότε E = cp δηλ. 1 p = E (3.14) c

- 98 - Το γεγονός αυτό δεν αποτελεί κάτι το καινοφανές επειδή - όπως θα δούμε και στα αμέσως επόμενα - το επίπεδο Η/Μ κύμα ( η δέσμη φωτός) λόγω της μποζονικής φύσης των φωτονίων, μπορεί να παρασταθεί από ένα μεγάλο στατιστικό σύνολο φωτονίων της ίδιας κατάστασης. Από τη (σχ. 3.1) μπορούμε να έχουμε: p uv, 1 = u (3.15) c όπου p uv, το μέτρο της πυκνότητας της ορμής (δηλ. η μεταφερόμενη από το Η/Μ κύμα ορμή ανά μονάδα όγκου του υλικού) και u η πυκνότητα ενέργειας (δηλ. η μεταφερόμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου). Επειδή όμως S = uc όπου S το μέτρο του διανύσματος Poynting (βλ. Ε.Σ.Σ.Φ.. (σχ...)) τότε η (σχ. 3.15) γίνεται: p 1 1 1 = S ή p = S= E H (3.16) c c c uv, uv, S = Ε Β, = 1, Η = Β 1 c εο c εομο μο k m επειδή θεωρήσαμε ομογενές υλικό. Πολλαπλασιάζουμε τώρα τα δύο μέλη της (σχ. 3.15) επί Δl Δ t όπου Δ l το πάχος του πλακιδίου (Σχ. 3.1α) και Δ t η χρονική διάρκεια της δράσης του Η/Μ κύματος. Τότε το μέγεθος που προκύπτει θα είναι η μεταφερόμενη από το Η/Μ κύμα ορμή ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου με διαστάσεις δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας. Το μέγεθος αυτό εκφράζει την ασκούμενη πίεση της ακτινοβολίας (radiation pressure). Δηλ. p Δ uv, l 1 l 1 c t = = u Δ = u Δ = u (3.17) Δt c Δt c Δt Επειδή το μέγεθος αυτό σαν πεδιακό πάλλεται σε υψηλές συχνότητες (για την ορατή περιοχή ν 10 Hz ) μπορούμε να μετρήσουμε μόνο τη μέση χρονική του τιμή. 14 Δηλ. τελικά: = u (3.18) Από τη (σχ. 3.1) θα έχουμε:

- 99 - p uv, p W W WΔt 1 W Δt = = = = = V Vc cδlδs ΔlΔSΔt c ΔSΔt Δl I οπότε: puv, = (3.19) c W επειδή: Δ l = cδ t και I =. Δ S Δ t 1 Επίσης από τη (σχ. 3.15) puv, = u προκύπτει: c p Δ uv, l 1 l 1 l W 1 W = Δ u = Δ = Δt c Δt c Δt ΔV c ΔtΔS και επειδή: puv, Δl Δp Δl ΔpΔl Δp 1 F = = = = = Δt ΔV Δt ΔSΔlΔt Δt ΔS ΔS (δηλ. η πίεση της ακτινοβολίας (σχ. 3.17)) και W ( ΔtΔ S) = I (δηλ. η ένταση μιας δέσμης μονοχρωματικού φωτός επιπέδου μετώπου κύματος διατομής Δ S ), τελικά βρίσκουμε: I = (3.0) c Στο συμπέρασμα ότι η p uv, (πυκνότητα της μεταφερόμενης ορμής του Η/Μ πεδίου) καθορίζεται από τη σχέση dp = puv, dv με dv = Sdl = Scdt κατέληξε και ο Maxwell to 1873. Η ανάδειξη της έννοιας της πίεσης της ακτινοβολίας, μέσω μιας καθαρά θερμοδυναμικής θεώρησης προτάθηκε και από τον Bartoli το 1879. Πράγματι σύμφωνα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο κατά την έκφραση του Clausius, δεν υ- πάρχει διαδικασία της οποίας το μοναδικό αποτέλεσμα να είναι η μεταφορά θερμικής ενέργειας (θερμότητας) από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα. Ήταν αποδεδειγμένο όμως ότι κάθε σώμα το οποίο βρίσκεται σε μια θερμοκρασία ( o K) T εκπέμπει ενέργεια με τη μορφή Η/Μ ακτινοβολίας (βλ. ακτινοβολία μέλανος σώματος (Π.Α.Α.Φ..1.1)). Η ενέργεια αυτή θα μπορούσε να μεταφερθεί από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα χωρίς κατ αρχήν να παραβιάζεται ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος (αρχή της διατήρησης της ενέργειας σ ένα κλειστό σύστημα). Ο Bartoli πρότεινε ότι μπορούμε να διαθέσουμε ένα π.χ. κυλινδρικό δοχείο με αδιαβατικά τοιχώματα και με τις εσωτερικές του επιφάνειες κατοπτρικές. Μέσα σ αυτό βρίσκεται

- 300 - ένα σώμα θερμοκρασίας T 1 το οποίο ακτινοβολεί. Στο εσωτερικό του κυλίνδρου μπορεί να κινείται (μπρός-πίσω) ένα έμβολο, με τις ίδιες ιδιότητες όπως αυτές του κυλίνδρου. Τότε ένα ποσό της ακτινοβολούμενης (και εγκλωβισμένης στον κύλινδρο) ενέργειας, θα μπορούσε κατά κάποιο τρόπο ν αποσπαστεί με το τράβηγμα προς τα έξω του εμβόλου και συνακόλουθα ν αποδοθεί (μέσω αντίστροφης κινήσεις του εμβόλου) σ ένα σώμα θερμοκρασίας T (όπου T > T1). Μια τέτοια θερμική μηχανή βέβαια είναι πολύ δύσκολο να κατασκευαστεί στην πράξη, εντούτοις το εγχείρημα δεν είναι απαγορευτικό. Με βάσει αυτές τις προϋποθέσεις ο Bartoli συμπέρανε ότι προκειμένου μηχανή να μην παραβιάζει τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο κατά τον κύκλο λειτουργίας της, το εκτελούμενο έργο (για τη μεταφορά της ακτινοβολούμενης θερμικής ενέργειας) από το ψυχρό σώμα θερμοκρασίας T 1 στο θερμό θερμοκρασίας T ) θα προέρχεται από μια δύναμη. Η δύναμη αυτή θα μπορούσε ν αναδειχθεί μόνο μέσω της ύπαρξης μιας πίεσης που θ ασκούσε η εκπεμπόμενη από το σώμα Η/Μ ακτινοβολία. Ο Maxwell λοιπόν (μέσω Η/Μ υποθέσεων) καθώς και ο Bartoli (μέσω θερμοδυναμικών) κατέληξαν στο ίδιο συμπέρασμα: Ότι οι Η/Μ ακτινοβολίες (στις οποίες ανήκει και το φως) ασκούν πίεση (δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) στα σώματα στα οποία προσπίπτουν. Στη γενικότερη περίπτωση που τα σώματα ανακλούν το φως μερικώς η (σχ. 3.0) παίρνει τη μορφή: I = ( 1+R) (3.1) c (όπου R ο συντελεστής ανακλαστικότητας), σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της ορμής. Όταν λοιπόν η επιφάνια ανακλά ολικά το φως ( 1) αντιδιαστολή, όταν η επιφάνεια είναι πλήρως απορροφητική ( ( 0) R = τότε = I c. Σε R = τότε = I c. Υπολογισμοί που έγιναν με τη βοήθεια της (σχ. 3.1) έδειξαν ότι η πίεση που ασκεί το φως είναι πάρα πολύ μικρή σε μέγεθος. Π.χ. η πίεση του ηλιακού φωτός έντασης I = 0.1W cm πάνω σ ένα κάτοπτρο ( R = 1) είναι: 10 dyn cm. 4 Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος της δυσκολίας της πειραματικής της επιβεβαίωσης, δομένου ότι η δράση της συγκαλύπτεται από διάφορα συνοδευτικά φαινόμενα. Η πρώτη ακριβής πειραματική μέτρηση της πίεσης της ακτινοβολίας του φωτός έγινε από τον Ρώσο φυσικό P.N. Lebedev to 1898. Η πειραματική του διάταξη φαίνεται στο (Σχ. 3.1β(1)). Αποτελείται από μία λυχνία τόξου η οποία μέσω ενός συστήματος απεικόνισης (από φακούς και κάτοπτρα) έχει τη δυνατότητα να φωτίσει φύλλο από Λευκόχρυσο, μικρών διαστάσεων και μικρού πάχους, το οποίο Lebedev, P. N. (1901) Annalen der Physik, 6 433-458

- 301 - βρίσκεται στο εσωτερικό ενός θαλάμου. Στην πραγματικότητα υφίστανται δύο πανομοιότυπα φύλλα Λευκόχρυσου τοποθετημένα αντιδιαμετρικά και πιασμένα από ελαστικό λεπτό νήμα, το οποίο είναι αναρτημένο από την κορυφή του θαλάμου (Σχ. 3.1β()). Το όλο σύστημα επομένως έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί κατά μια (Σχ. 3.1β) γωνία, αν κατά κάποιο τρόπο αναπτυχθεί η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων που είναι κάθετες στις επιφάνειες των φύλλων. Το τελευταίο μπορεί να επιτευχθεί με τη μετακίνηση του γωνιακής μορφής κατόπτρου M (Σχ. 3.1β(1)) σε συμμετρική θέση ως προς το προσπίπτον σ αυτό παράλληλο μέτωπο κύματος. Τότε τα δύο φύλλα φωτίζονται ταυτόχρονα και προς αντίθετες κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα λόγω της ασκούμενης πίεσης της ακτινοβολίας ν αναπτυχθεί η προαναφερόμενη ροπή στρέ-

- 30 - ψης. Η μέτρηση της γωνίας στροφής του νήματος γίνεται με τη βοήθεια ενός πολύ μικρών διαστάσεων και βάρους κατόπτρου M προσκολλημένου στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής, με την πρόσπτωση σ αυτό δέσμης φωτός πολύ μικρής ισχύος. Η προσπίπτουσα στα δύο φύλλα ένταση φωτός (και κατά προέκταση το ε- κτελούμενο σ αυτά έργο), μετρήθηκε με ειδικό χρωματόμετρο (colorimetric measurements). Κατόπιν μέσω της γνωστής σχέσης: έργου ροπής γωνίας στροφής υπολογίστηκε η ροπή και κατά προέκταση η ασκούμενη δύναμη στο καθένα από τα φύλλα του Λευκόχρυσου. Επειδή τέλος το εμβαδόν τους S ήταν γνωστό, από τη σχέση = F S μπορούσε να υπολογιστεί η ασκούμενη πίεση της ακτινοβολίας. Ήδη υπολογίστηκε θεωρητικά από τη (σχ. 3.1) και βρέθηκε ότι οι ασκούμενες γενικά πιέσεις από ακτινοβολίες είναι πολύ μικρές. Το γεγονός αυτό έλαβε σοβαρά υπόψη του ο Lebedev και διευθέτησε δύο σοβαρούς παράγοντες οι οποίοι θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε αποτυχία το πείραμά του. Ήταν οι λεγόμενες α) Ραδιομετρικές δυνάμεις (radiometric forces) και β) Τα φαινόμενα μεταφοράς θερμότητας μέσω αγωγής. Για το λόγο αυτό: α) Τα φύλλα του Λευκόχρυσου επιλεχθήκαν να είναι πολύ λεπτά ( d 0.0mm). Πράγματι σε αντίθετη περίπτωση, η πρόσπτωση της ακτινοβολίας (λόγω του πεπερασμένου χρόνου μεταφοράς της θερμότητας) θα είχε σαν αποτέλεσμα ν αναπτυχθεί διαφορετική θερμοκρασία στις δύο πλευρές του κάθε φύλλου. Τότε τα μόρια του αέρα που βρίσκονται κοντά σ αυτές, θ ανακρούονταν με διαφορετικές ταχύτητες. Το γεγονός θα οδηγούσε κατά μέσο όρο σε μεταφορά στις δύο επιφάνειες του κάθε φύλλου σημαντικών διαφορετικών ορμών με συνέπεια την αλλοίωση των αναμενόμενων αποτελεσμάτων. Για το λόγο αυτό ο θάλαμος βρισκόταν υπό κενό. Επίσης λόγω της επιλογής μικρού πάχους φύλλων λευκόχρυσου, η μεταφορά της θερμότητας (με την πρόσπτωση σ αυτά της ακτινοβολίας) ήταν ακαριαία, με συνέπεια η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των δύο πλευρών να είναι σχεδόν μηδενική. β) Τα δύο φύλλα του Λευκόχρυσου ήταν πλήρως συμμετρικά και αντιδιαμετρικά τοποθετημένα στο σύστημα της ανάρτησης. Τότε η απώλεια θερμότητας του πρώτου λόγω αγωγής προς το δεύτερο, αντισταθμιζόταν από μια καθ όλα α- ντίθετη διαδικασία, με συνέπεια τον ακριβή έλεγχο της μεταφερόμενης ενέργειας από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Επίσης όλο το σύστημα βρισκόταν υπό ψύξη. Κάτω από αυτές τις συνθήκες αποδείχθηκε ότι: 1) Οι προσπίπτουσες δέσμες φωτός ασκούν πίεση στις επιφάνειες. ) Οι δυνάμεις που ασκούνται στις επιφάνειες, είναι ανάλογες της απορροφούμενης ενέργειας και δεν εξαρτώνται από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. 3) Οι υπολογισθείσες τιμές των πιέσεων των ακτινοβολιών μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος, σύμπιπταν με τις θεωρητικά υπολογιζόμενες από τους Maxwell και Bartoli. Σήμερα κατά τα γνωστά

- 303 - μπορούμε με τη βοήθεια των Laser να δημιουργήσουμε ισχυρές δέσμες φωτός, τέτοιες ώστε να ελέγξουμε (όπως απέδειξε ο Ashkin ) την κίνηση μικρών σωματιδίων. Η φωτονική προωθητική μηχανή Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να δούμε κάτω από ποιες συνθήκες θα μπορούσε να λειτουργήσει μια μηχανή, της οποίας η προώθηση θα γινόταν με μια εκπεμπόμενη από αυτήν δέσμη φωτός. Γνωρίζουμε από τον πρώτο νόμο του Newton ότι η αναπτυσσόμενη δύναμη σ ένα σύστημα είναι ίση με τη χρονικά μεταβαλλόμενη ορμή του: Δηλ. F = dp dt. Γνωρίζουμε όμως επίσης ότι η μεταφερόμενη ορμή p (και κατ ακολουθία η δρώσα σ αυτό δύναμη) σ ένα σύστημα από μια προσπίπτουσα σ αυτό δέσμη φωτός, σχετίζεται με την απορροφούμενη ενέργεια W μέσω της σχέσης W = pc (σχ. 3.1). Η ίδια δύναμη θ αναπτυσσόταν όταν το σώμα εξέπεμπε αυτήν την ενέργεια με τη μορφή ακτινοβολίας. Τότε: W dp dw 1 P p = = = c dt dt c c Οπότε F = Pc, όπου P = dw dt η ισχύς (δηλ. η καταναλισκόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) για την εκπομπή της ακτινοβολίας από το σύστημα (φωτονική προωθητική μηχανή). Από τη σχέση F = Pc μπορούμε να υπολογίσουμε ότι: Προκειμένου η αναπτυσσόμενη δύναμη να είναι F = 1Nt θα πρέπει η ισχύς της δέσμης του φωτός δηλ. η ενέργεια που καταναλώνει το σύστημα ανά μονάδα χρόνου για τη συνεχή εκπομπή της,να είναι P = 300MW. Γνωρίζουμε όμως από τη θεωρία της σχετικότητας ότι η ενέργεια W που διαθέτει μια μάζα ηρεμίας m δίνεται από τη σχέση: W = mc, όπου c η ταχύτητα του φωτός. Ας φανταστούμε τώρα μια ιδανική φωτονική προωθητική μηχανή, η οποία έχει τη δυνατότητα να μετατρέπει καθ ολοκληρία μια μάζα m των καυσίμων της σε φως. Τότε κατόπιν παραγώγισης της σχέσης W = mc θα έχουμε: dw dm = c P = ac dt dt Ashkin, A. (197) : The pressure of Laser light Scientific American, 6, 63-71

- 304 - όπου a = dm dt ο λόγος κατανάλωσης των καυσίμων της μηχανής, προς παραγωγή της δέσμης του φωτός. Γνωρίζουμε όμως από τα προηγούμενα ότι F = Pc οπότε: P ac F = = F = ac c c Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι η μηχανή μας καταναλώνει a = 1gr s καυσίμου μετατρέποντάς το σε φως, τότε η προωθητική δύναμη που μπορεί ν αναπτύξει θα είναι 10 με βάση την προηγούμενη σχέση: F = 3 10 dyne = 30tn. Μια τέτοια μηχανή είναι κατ αρχή εφικτό να κατασκευαστεί. γ) Στροφορμή του Η/Μ κύματος Είναι γνωστό και πειραματικά αποδεδειγμένο, ότι ένα Η/Μ κύμα εκτός της ενέργειας και της ορμής κατά την πρόσπτωσή του σ ένα σώμα, μεταφέρει και στροφορμή (angular momentum). Για να συμβεί όμως αυτό θα πρέπει η συνολική δράση των δυνάμεων του προσπίπτοντος πεδίου στα φορτία του σώματος (δηλ. η- λεκτρική και μαγνητική), να είναι τέτοια ώστε τα τελευταία να εκτελέσουν περιστροφική κίνηση στο εσωτερικό του υλικού. Μια τέτοια κίνηση δεν είναι δυνατόν να προκληθεί όταν το μέτωπο κύματος το οποίο στην προκειμένη περίπτωση πρέπει οπωσδήποτε να είναι επίπεδο είναι γραμμικά πολωμένο. Δηλ. το πεδίο E (και το συνοδεύον αυτό B ) να ταλαντεύονται κατά τη διάδοσή τους χωρικά και χρονικά σ ένα συγκεκριμένο επίπεδο, που είναι γνωστό σαν επίπεδο πόλωσης (βλ. 3.3). Το επίπεδο μέτωπο κύματος τελικά θα πρέπει να είναι κυκλικά πολωμένο (αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο) (βλ. 3.). Στο (Σχ. 3.) δίνεται μια εποπτική εικόνα της όλης διαδικασίας όπου ένα ε- πίπεδο αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο (Α.Κ.Π.) μέτωπο κύματος προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια ενός υλικού. Το k μας δίνει τη διεύθυνση διάδοσης και τα E και B είναι αντίστοιχα το ηλεκτρικό πεδίο και η μαγνητική επαγωγή. k, E και B συνδέονται μεταξύ τους με τη γνωστή σχέση καθετότητας. Οι παραμετρικές εξισώσεις για το (Α.Κ.Π.) φως ως προς E δίνονται από τη (σχ. 3..): E = Acos( ωt kz) x E = Acos( ωt kz π ) y (3.) Δηλ. βλέπουμε ότι το πλάτος A του E παραμένει σταθερό καθώς αυτό περιστρέφεται χρονικά αριστερόστροφα για παρατηρητή που βρίσκεται στη διεύθυνση διά-

- 305 - (Σχ. 3.) δοσης και βλέπει κατ ευθείαν την πηγή. Επίσης η συνιστώσα E y καθυστερεί κατά π σε σχέση με την E x. Τη στιγμή της άφιξης του Η/Μ κύματος με τα χαρακτηριστικά που περιγράψαμε προηγουμένως σ ένα φορτίο q, δρα το πεδίο E, και τείνει να το μετακινήσει προς μια διεύθυνση με ταχύτητα υ. Επειδή το q κινείται μ αυτήν την ταχύτητα και ταυτόχρονα βρίσκεται στο μαγνητικό πεδίο επαγωγής B, θ ασκηθεί πάνω του μια δύναμη Lorentz ίση με q υ B. Επειδή τα υ, E και B βρίσκονται στο επίπεδο x, y η διεύθυνση της μαγνητικής δύναμης θα βρίσκεται σ αυτήν της z (δηλ. τη διεύθυνση του k ). Άρα η μαγνητική δύναμη κάμπτει ελαφρά τη διεύθυνση κίνησης του φορτίου q. Κατά προσέγγιση όμως θα δεχτούμε ότι η τροχιά του q διαγράφεται στο επίπεδο x, y επειδή το μέτρο της B είναι πολύ μικρό ( B = Ec). Την επόμενη χρονική στιγμή (αυτής που περιγράψαμε προηγουμένως), η διεύθυνση του E αλλάζει και οι ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις συνεχίζουν να δρουν στο φορτίο κ.ο.κ. Σημείωση Γνωρίζουμε ότι κατά την πρόσπτωση του μετώπου κύματος στο φορτίο q, μεταφέρεται και ορμή, η οποία έχει σαν συνέπεια τη σχετικά μικρή μετατόπισή του κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Στα επόμενα το γεγονός αυτό δεν θα ληφθεί υπόψη μας.

- 306-14 Επειδή το E περιστρέφεται με συχνότητα ω ( ω πν), ν 10 = = Hz για την ορατή περιοχή του Η/Μ φάσματος, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και το φορτίο q θα τείνει να διαγράψει στο επίπεδο x, y μια κυκλική τροχιά με την ίδια συχνότητα. Μας ενδιαφέρει εδώ να υπολογίσουμε τη ροπή M που ασκείται στο φορτίο q (και κατά προέκταση τη στροφορμή L ) για μια μέση χρονική τιμή που είναι ίση με την περίοδο T του κύματος (δηλ. το χρόνο που χρειάζεται το E να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή). Στο (Σχ. 3.3α) βλέπουμε τη θέση του q και τα πεδία E και B που (Σχ. 3.3) δρουν επάνω του, σ ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του (Α.Κ.Π.) φωτός. Επίσης βλέπουμε την τροχιά που διαγράφει με κέντρο το O, ως προς το ο- ποίο θα υπολογίσουμε τη ροπή M της ασκούμενης δύναμης στο q. Αν r είναι το διάνυσμα θέσης από το O στο φορτίο q, τότε κατά τα γνωστά: rδθ lim Δr Δt = υ και υ = Δr Δt = = rω (3.3) Δt 0 Δt όπου Δ θ η στοιχειώδης γωνία με την οποία φαίνεται από το O η στοιχειώδης μετατόπιση Δr του φορτίου. Άρα το μέτρο της ταχύτητας υ θα είναι ίσο με ω r. Τελικά η ροπή M της ασκούμενης δύναμης στο φορτίο q ως προς το σημείο O που αποτελεί το κέντρο της περιστροφής του θα είναι: M = r F (3.4)

- 307 - όπου F= qe+ qυ B (3.5) οπότε: = q + q( ) M r E r υ Β (3.6) Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της (σχ. 3.6) επί ω και πάρουμε τη μέση χρονική τιμή για ένα κύκλο θα έχουμε: ( ) ω M = ωr qe+ + ωq r υ Β (3.7) Παρατηρούμε όμως από το (Σχ. 3.3α), ότι η διεύθυνση του διανύσματος r ( υ B ) είναι αυτή της υ. Και επειδή ο μέσος όρος για κάθε συνιστώσα της υ είναι μηδέν για ένα κύκλο, τότε βλέπουμε ότι το μαγνητικό πεδίο δεν συνεισφέρει στη ροπή για το q στο ίδιο χρονικό διάστημα. Επομένως: ω M = q ωr E (3.8) Είναι επίσης πολύ εύκολο με τη βοήθεια του (Σχ. 3.3α) ν αποδείξουμε ότι: ω r E= υ Ez (3.9) 0 όπου z 0 το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση του άξονα διάδοσης z. Άρα: ω M = qυ E z (3.30) 0 Από τη μηχανική όμως γνωρίζουμε ότι η ροπή της ασκούμενης δύναμης στο φορτίο q θα είναι ίση με τη χρονική μεταβολή της στροφορμής L δηλ. M = dl dt. Επίσης το απορροφούμενο από το Η/Μ πεδίο έργο προκειμένου να μετακινηθεί το φορτίο q μεταξύ δύο σημείων 1, (στο εσωτερικό του πεδίου) θα είναι: 1 W = F dl = q E dl dw = q E dl = qdl E 1 1 και η χρονική μεταβολή της απορροφούμενης ενέργειας : dw dl dw = q E = qυ E dt dt dt

- 308 - Επομένως από τη( σχ. 3.30) βρίσκουμε: d dt dw dt L o (3.31) = z ω Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι αν το φορτίο q απορροφά ενέργεια W κατά την πρόσπτωση ενός κυκλικά πολωμένου επιπέδου μετώπου κύματος σ ένα υλικό, τότε απορροφά και μια γωνιακή στροφορμή (δηλ. η τελευταία μεταφέρεται στο φορτίο) ίση με : W L= z 0 (3.3) ω Στην περίπτωση που η απορροφούμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου του υλικού (δηλ. η πυκνότητα ενέργειας) είναι η u τότε και η μεταφερόμενη στροφορμή ανά μονάδα όγκου δηλ. η L uv, θα είναι: u LuV, = z 0 (3.33) ω Τέλος το ψευδοδιάνυσμα της στροφορμής L θα είναι της ίδιας φοράς με το k αν έχουμε πρόσπτωση Α.Κ.Π. φωτός και αντίθετης φοράς αν το προσπίπτον φως είναι Δ.Κ.Π. Θα πρέπει να γνωρίζουμε (βλ. Άσκ. Παρ/γμα 3) ότι ένα γραμμικά πολωμένο φως πλάτους A είναι δυνατόν να προκύψει από την επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων φώτων πλάτους το καθένα A και αντίθετης στροφικότητας. Αν λοιπόν δύο τέτοια φώτα προσπέσουν σ ένα σώμα, η τελικά μεταφερόμενη στροφορμή θα είναι ίση με μηδέν. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο ένα επίπεδο γραμμικά πολωμένο μέτωπο κύματος δεν μπορεί να μεταφέρει στροφορμή. Μια άλλη παράμετρος που αφορά όμως την μεταφερόμενη σ ένα σώμα στροφορμή L ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας, μιας προσπίπτουσας δέσμης φωτός, είναι η Ω. Πράγματι από τη (σχ. 3.33) κατά μέτρο θα έχουμε: L uv, u L u L uδl = = = =Ω ω ΔΔ t SΔl Δtω ΔΔ t S Δtω ucδt uc uc uc Ω= = = = Δtω ω πν π / λ ( c )

- 309 - Ω= uλ π (3.34) Όπου λ το μ.κ. της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Σημείωση Η (σχ. 3.34) προκύπτει και μέσω καθαρά φωτονικών συλλογισμών. Πράγματι αν N = n Δ V ο αριθμός των n κινουμένων φωτονίων στον όγκο Δ V τότε θα έχουμε: n n n n N = = = = Nc (3.35) ΔV ΔSΔl ΔScΔt ΔSΔt Όπου Nc πλέον, ο αριθμός των κινουμένων (και προσπιπτόντων) φωτονίων ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου. Γνωρίζουμε όμως ότι η στροφορμή έ- καστου φωτονίου είναι κβαντισμένο μέγεθος και η τιμή της είναι = h π. Επομένως το μέγεθος θα είναι η μεταφερόμενη στροφορμή των n φωτονίων n ΔSΔt στην επιφάνεια Δ S ανά μονάδα χρόνου. Δηλ. η Ω. Άρα με τη βοήθεια της (σχ. 3.35) θα έχουμε: n L Nch Nc S t = t S =Ω= Δ Δ Δ Δ = π Ω= Nhc π (3.36) Γνωρίζουμε επίσης όμως ότι και η ενέργεια έκαστου φωτονίου είναι κβαντισμένο μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: E = hν. Άρα επειδή N είναι ο αριθμός των φωτονίων ανά μονάδα όγκου και E = hν η ενέργεια του καθενός θα έχουμε: u = Nhν (3.37) όπου κατά τα γνωστά η u μας δίνει την πυκνότητα ενέργειας. Τότε από τη (σχ. 3.36) βρίσκουμε: ( Nhν ) Nhc c uc Ω= = = και επειδή c = λν έχουμε τελικά: π πν πν Ω= uλ π (σχ. 3.34)

- 310 - Το μέτρο της μεταφερόμενης στροφορμής L μια δέσμης κυκλικά πολωμένου φωτός όταν η απορροφούμενη ενέργεια από το σώμα (στο οποίο προσπίπτει η ακτινοβολία) είναι W, δίνεται κατά τα γνωστά από τη (σχ. 3.3). Οπότε αν W = 1J είναι η ενέργεια ενός π.χ. παλμού φωτός με μ.κ. λ = 0.5μ m, τότε βρίσκουμε: 9 = ω = λ π =.5 10 erg.επίσης η (σχ. 3.31) έχει τη δυνατότητα να γρα- L W W c φεί με τη μορφή: M στο σώμα και P υποθέσουμε ότι = P ω. Όπου M = dl dt η ροπή των ασκούμενων δυνάμεων = dw dt η ισχύς της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Επομένως αν P = 100W και 0.5 m λ = μ τότε από τη σχέση M = P ω = Pλ πc 7 βρίσκουμε: M = 5 10 dyne cm. Το αριθμητικό αυτό παράδειγμα μας δείχνει ότι η μέτρηση της μεταφερόμενης σ ένα σώμα γωνιακής στροφορμής L θ αφορά ένα άκρως ευαίσθητο και περίπλοκο πείραμα. Ένα τέτοιο πείραμα εκτελέστηκε το 1936 από τον Beth. Το διάγραμμα της πειραματικής του διάταξης φαίνεται στο (Σχ. 3.4). (Σχ. 3.4) Από ένα πολύ λεπτό νήμα Χαλαζία που είναι ακλόνητο στη μια του άκρη (και του οποίου οι μηχανικές ιδιότητες είναι γνωστές), αναρτάται (από το κέντρο R. A. Beth: Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of light Physical Review 50 (115-15) 1936

- 311 - του) ένα πλακίδιο καθυστέρησης λ με δυνατότητα περιστροφής. Το νήμα που συγκρατεί το πλακίδιο λ, περνά ελεύθερα από το άνοιγμα που βρίσκεται στο κέντρο ενός ακλόνητου πλακιδίου λ 4 (δηλ. που δεν έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί) και που η πάνω του επιφάνεια είναι επαργυρωμένη (δηλ. κατοπτρική). Η κύρια διαδικασία του πειράματος, είναι να φωτίσουμε το πλακίδιο λ με φορά από κάτω προς τα πάνω με μια δέσμη κυκλικά πολωμένου φωτός η οποία μετά την ανάκλασή της από την πάνω επιφάνεια του πλακιδίου λ 4 θ ακολουθήσει την αντίστροφη πορεία, εξερχόμενη από πλακίδιο λ. Όπως προκύπτει - κάτω από αυτές τις συνθήκες - λόγω της μεταφερόμενης στροφορμής από το προσπίπτον και διερχόμενο (κατ αντίθετη φορά) φως,το πλακίδιο λ περιστρέφεται. Πιο συγκεκριμένα το λ φωτίζεται σ όλο του το εύρος από ένα παράλληλο μέτωπο κύματος αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένου φωτός και η φορά περιστροφής του φαίνεται στο (Σχ. 3.4). Κατά τα γνωστά η το φως κατά την έξοδό του από το λ μετατρέπεται σε δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο. Κατόπιν το φως αυτό προσπίπτει στο πλακίδιο λ 4 και διανύοντας το πάχος του δύο φορές (λόγω ανάκλασης στην πάνω του επιφάνεια) αλλάζει διεύθυνση. Tο φως κατά την έξοδό του από το λ 4 (μετά την ανάκλαση) είναι σαν διαδόθηκε μέσα από πλακίδιο λ. Το φως όμως που βγαίνει από την κάτω επιφάνεια του λ 4 είναι και πάλι δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο επειδή εκτός της πρόσθετης φάσης π που προσέλαβε λόγω της διέλευσής του από το υποθετικό λ, προσέλαβε και μια επιπλέον φάση περίπου ίση με π λόγω της ανάκλασής του πάνω στην κατοπτρική επιφάνεια του λ 4 (βλ. Ε.Σ.Σ.Φ. ΠΑΡ/ΜΑ 3 (σχ. 3.41)). Επομένως το φως που προσπίπτει (από τα πάνω προς τα κάτω) στην πάνω επιφάνεια του λ, ασκεί μια ροπή της ίδιας φοράς με αυτήν της προηγούμενης, ενισχύοντας την περιστροφή του λ προς την ίδια διεύθυνση. Κατά την πειραματική διαδικασία, το φως που τελικά πέφτει από κάτω στην πειραματική διάταξη, δεν είναι συνεχές αλλά διακοπτόμενο περιοδικά. Η περίοδός του ήταν τέτοια, ώστε συνέπιπτε με αυτήν της φυσικής περιόδου στρέψης του αναρτημένου πλακιδίου λ. Η προκύπτουσα ταλάντωση του συστήματος, μπορούσε να παρατηρηθεί με την βοήθεια μιας ασθενικής δέσμης φωτός η οποία προσέπιπτε σ ένα μικροσκοπικό κάτοπτρο, τοποθετημένο κάτω από πλακίδιο λ. Τα πειραματικά αποτελέσματα έδειξαν ότι πράγματι ισχύει η (σχ. 3.34). Δηλ. ότι μια δέσμη κυκλικά πολωμένου φωτός κατά την πρόσπτωσή της (και κατ ακολουθία απορρόφησή της) από ένα σώμα, μεταφέρει μια γωνιακή στροφορμή

- 31 - ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου ίση με Ω = uλ π. Και στο πείραμα αυτό (όπως και σ εκείνο του Lebedev που αφορούσε τη μέτρηση της μεταφερόμενης από το φως ορμής), προέκυψαν πλείστες όσες δυσκολίες. Πράγματι η 11 επιτυγχανόμενη ροπή στρέψης του συστήματος είναι της τάξης των 10 dyne cm. Οπότε αν π.χ. το προσπίπτον φως δεν διαπερνούσε το σύστημα συμμετρικά, τότε λόγω των αναπτυσσόμενων ραδιομετρικών δυνάμεων (βλ. πείραμα του Lebedev) (δηλ. είχαμε διαφορετική θέρμανση διαφορετικών τμημάτων των πλακιδίων) θ α- ναπτύσσονταν ισχυρές ροπές, οι οποίες σαν θόρυβος τελικά θα κάλυπτε το επιθυμητό μετρούμενο μέγεθος. Για την ίδια περίπτωση επίσης της ασύμμετρης πρόσπτωσης, θα είχαμε την ανάπτυξη διαφορετικών πιέσεων ακτινοβολίας και κατ ακολουθία και πάλι ανεπιθύμητων ροπών στρέψης. Η εξάλειψη τελικά τέτοιου είδους θορύβων, οδήγησε όπως προαναφέραμε τελικά στην επιβεβαίωση της (σχ. 3.34) με απόκλιση ± 10 %. Β) Η φωτονική εικόνα για το φως Στην κβαντομηχανική για το φως, υιοθετούμε σαν φορέα ενέργειας, ορμής και στροφορμής το σωματίδιο με μηδενική μάζα ηρεμίας που ονομάζεται φωτόνιο (photon). Ένας αριθμός παραμέτρων τέσσερεις τον αριθμό καθορίζουν αυτό που ονομάζουμε κατάσταση (state) του κάθε φωτονίου ξεχωριστά. Μια συνήθης τετράδα παραμέτρων είναι οι τρεις συνιστώσες kx, ky, k z(του κυματοδιανύσματος k ) που σχετίζονται με την ορμή p του φωτονίου και η παράμετρος σ που την ο- νομάζουμε στροφορμή του φωτονίου και μπορεί να πάρει μόνο δύο διακεκριμένες τιμές : +, όπου = h π όπου h η σταθερή του Planck. α) Ενέργεια του φωτονίου h = hν = πν = ω π και επειδή k = π λ και c= λν = kc με k = kx + k y + kz (3.38)

- 313 - όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Από τη (σχ. 3.38) βλέπουμε ότι η ενέργεια ενός φωτονίου, μπορεί να εκφραστεί με βάση τις παραμέτρους kx, ky, kzτης κατάστασής του. β) Ορμή του φωτονίου = cp όπου p το μέτρο της ορ- Έχει αποδειχθεί για τα φωτόνια ότι ισχύει: μής του. Επειδή: = ω ω = cp p = ω c = k Άρα: p= k (3.39) Από τη (σχ. 3.39) μπορούμε να δούμε ότι η διεύθυνση της ορμής του φωτονίου, καθορίζεται από τη διεύθυνση του κυματοδιανύσματος k και κατά προέκταση τις τρεις συνιστώσες του kx, ky, k z. γ) Στροφορμή του φωτονίου Προκειμένου να συνδέσουμε την παράμετρο σ της κατάστασης ενός φωτονίου με το φαινόμενο της πόλωσης του φωτός, δεχόμαστε (Σχ. 3.5) τα εξής: Για (Σχ. 3.5) φωτόνιο που η στροφορμή του είναι αριστερόστροφη καθώς αυτό κατευθύνεται προς τα εμάς (Σχ. 3.5α), η παράμετρος σ θα έχει τιμή +. Για φωτόνιο που η στροφορμή του είναι δεξιόστροφη (Σχ. 3.5β), η παράμετρος σ θα έχει τιμή. Μπορούμε να λέμε ότι πολλά φωτόνια βρίσκονται στην ίδια κατάσταση ό- ταν το καθένα από αυτά χαρακτηρίζεται από τις ίδιες τιμές των παραμέτρων

- 314 - ( kx, ky, kz, σ ). Η αλλαγή της τιμής μιας των τεσσάρων παραμέτρων, αντιστοιχεί σε αλλαγή της κατάστασης του φωτονίου. Είναι ευνόητο, ότι θα μπορούσαμε να κάνουμε καταρχήν τον παραλληλισμό μεταξύ ενός διαδιδόμενου επιπέδου μονοχρωματικού μετώπου κύματος μιας κατάστασης πόλωσης και ενός συνόλου φωτονίων τα οποία βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη κατάσταση. Πράγματι η διεύθυνση της ορμής των φωτονίων αντιστοιχεί στη διεύθυνση της κυματοκαθέτου k του κύματος και η στροφορμή τους στην κατάσταση πόλωσης του κύματος (στο καταρχήν τουλάχιστον δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο φως). Σύνολα φωτονίων που βρίσκονται σε διαφορετική κατάσταση, θ αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα μέτωπα κύματος. Από τις σχέσεις: = hν, = cp και c= λν βρίσκουμε ότι: p = h λ. Από αυτές οι : =hν και p = h λ μας αναδεικνύουν το δυϊσμό(duality) μεταξύ των σωματιδιακών και κυματικών ι- διοτήτων των φωτονίων. Πράγματι οι σχέσεις αυτές συνδέουν τα σωματιδιακά (,p) με τα κυματικά (, ) ν λ χαρακτηριστικά των φωτονίων. Φερμιόνια, Μποζόνια και κύματα φωτός Παρά τον μεγάλο αριθμό των διαφόρων μικροσωματιδίων που υπάρχουν στη φύση, αυτά κατατάσσονται από στατιστική άποψη σε δύο βασικές κατηγορίες: τα φερμιόνια (fermions) και τα μποζόνια (bosons). Γνωστοί αντιπρόσωποι των φερμιονίων είναι τα ηλεκτρόνια και των μποζονίων τα φωτόνια. Ο χαρακτήρας των ηλεκτρονίων θα λέγαμε ότι είναι βασικά ατομικιστικός. Δηλ. κάθε ηλεκτρόνιο στο άτομο βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατάσταση και κανένα άλλο δεν μπορεί να καταλάβει την ίδια (απαγορευτική αρχή του Pauli ). Άμεση συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι οι ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων στις διάφορες στιβάδες των ατόμων χαρακτηρίζονται για το καθένα από μια εντελώς συγκεκριμένη (κβαντική) κατάσταση. Το τελευταίο έχει σαν αποτέλεσμα να μην έχουν τη δυνατότητα της μαζικής κατάληψης μιας ορισμένης στάθμης. Εδώ ακριβώς οφείλεται η σταθερότητα και η διαφορότητα της ατομικής δομής στη φύση. Ο χαρακτήρας των φωτονίων είναι εντελώς διαφορετικός. Από ένα σύνολο φωτονίων, ο αριθμός που μπορεί να βρίσκεται στην ίδια κατάσταση είναι απεριόριστος. Όσο πιο μεγάλος είναι ο αριθμός από αυτά που καταλαμβάνουν μια συγκεκριμένη κατάσταση, τόσο μεγαλύτερη θα είναι και η πιθανότητα του να συναντήσουμε ένα φωτόνιο σ αυτήν την κατάσταση. Το γεγονός αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να συνθέσουμε την έννοια του μετώπου κύματος με τη βοήθεια των φωτονίων.

- 315 - Προηγουμένως είχαμε παραλληλίσει τη έννοια μιας φωτονικής κατάστασης ( kx, ky, kz, σ ) με αυτήν ενός επιπέδου μετώπου κύματος. Οι κυματικές όμως ιδιότητες ενός και μόνου φωτονίου δεν μπορούν να μας οδηγήσουν άμεσα στην ανάδειξη ενός αντιστοίχου μετώπου κύματος φωτός από κλασσική άποψη. Θα χρειαστεί ο- πωσδήποτε να δούμε ποια είναι η συμπεριφορά ενός μεγάλου πλήθους (στατιστικού συνόλου) φωτονίων ή ποια είναι η στατιστική που διέπει το συγκεκριμένο σύνολο των φωτονίων. Η στατιστική αυτή στην οποία ήδη αναφερθήκαμε, είναι του Bose και με βάση την οποία απεριόριστος αριθμός φωτονίων μπορεί να καταλάβει μια συγκεκριμένη κατάσταση. Αν λοιπόν με η ph χαρακτηρίσουμε τον αριθμό των φωτονίων που βρίσκονται όλα στην ίδια κατάσταση και ισχύει: η 1 (3.40) ph τότε οι σωματιδιακές ιδιότητες των φωτονίων μπορεί να παραμεριστούν και ν αναδειχθεί η έννοια του συνεχούς, δηλ. της δέσμης φωτός και κατά προέκταση του μετώπου κύματος της κλασσικής Η/Μ θεωρίας. Φωτονική περιγραφή των διαφόρων καταστάσεων πόλωσης του φωτός α) Κυκλικά πολωμένο φως Ένα στατιστικό σύνολο φωτονίων στην κατάσταση ( kx, ky, kz, σ ) με σ =+ και η ph 1, θα μπορούσε να ειπωθεί ότι αντιστοιχεί σ ένα επίπεδο αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο μέτωπο κύματος. Η πλέον ακριβής όμως περιγραφή ενός πολωμένου κύματος είναι αυτή που αναφέρεται στη διαδικασία μέτρησης του είδους της στροφορμής των φωτονίων. Έστω λοιπόν κατά κάποιο τρόπο, στη διεύθυνση που διαδίδεται το επίπεδο μέτωπο κύματος, έχουμε τη δυνατότητα να μετράμε το είδος της στροφορμής του κάθε φωτονίου που δέχεται ο ανιχνευτής μας. Έστω επίσης ότι μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό μετρήσεων η πιθανότητα P του να εντοπίσουμε φωτόνια με στροφορμή σ = + είναι ίση με τη μονάδα. ( P =Δ η η : δηλ. ο αριθμός των μετρήσεων Δ η (των εντοπισμένων φωτονίων με σ =+ ) προς το συνολικό αριθμό των μετρήσεων η ). Τότε μπορούμε να πούμε ότι αυτό το μέτωπο κύματος είναι αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο. Αν η πιθανότητα του να εντοπίσουμε φωτόνια με στροφορμή σ = είναι πάλι ίση με τη μονάδα τότε θα έχουμε δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο μέτωπο κύματος.

- 316 - β) Γραμμικά πολωμένο φως Με βάση την Η/Μ άποψη για το γραμμικά πολωμένο φως, το τελευταίο μπορεί να προκύψει από την σύμφωνη επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων επιπέδων μετώπων κύματος αντίθετης στροφικότητας και ίσων πλατών (βλ. Άσκ. παρ/γμα 3). Για τη φωτονική περιγραφή, αυτό θ αντιστοιχεί σ ένα μεγάλο στατιστικό πλήθος φωτονίων με ίδια kx, ky, k z αλλά που οι μετρήσεις της στροφορμής τους θα μας έδιναν πιθανότητα P = 1 γι αυτά με σ = + και P = 1 γι αυτά με σ =. γ) Ελλειπτικά πολωμένο φως Με βάση την Η/Μ άποψη για το ελλειπτικά πολωμένο φως, αυτό μπορεί να προκύψει από την σύμφωνη επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων επιπέδων μετώπων κύματος αντίθετης στροφικότητας και διαφορετικών όμως πλατών (βλ. Άσκ.). Για την αντίστοιχη φωτονική περιγραφή αυτό θ αντιστοιχεί σ ένα μεγάλο στατιστικό πλήθος φωτονίων με ίδια kx, ky, k z αλλά που οι μετρήσεις της στροφορμής τους θα μας έδιναν πιθανότητα P 1 γι αυτά με σ = + και P γι αυτά με σ =, όμως με P1 P και P1+ P = 1.