ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ( t ) Χρονική εξίσωση απομάκρυνσης a ( t ) με a Χρονική εξίσωση ταχύτητας a aa ( t ) με a a Χρονική εξίσωση επιτάχυνσης a Σχέση επιτάχυνσης και απομάκρυνσης (με απόδειξη) Σχέση ταχύτητας και απομάκρυνσης a a (με απόδειξη) Σχέση επιτάχυνσης και ταχύτητας F D Σχέση συνισταμένης δύναμης (δύναμη επαναφοράς) και απομάκρυνσης D Περίοδος απλής αρμονικής ταλάντωσης K Κινητική ενέργεια U D Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης α) K U E K a U a β) K U K U Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ q Q t Χρονική εξίσωση φορτίου του πυκνωτή i It με I Q Χρονική εξίσωση έντασης του ρεύματος q Q ( t ο ) και i I( t ο ) Χρονική εξίσωση φορτίου του πυκνωτή και έντασης του ρεύματος εάν την t = 0 ισχύει q Q i Li q Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του U E C πυκνωτή α) U E U B E U E U (a) B (a) Αρχή διατήρησης της ενέργειας β) U E, U B, U E, U B, T LC Περίοδος ταλάντωσης ιδανικού κυκλώματος LC Q q (με απόδειξη) Σχέση έντασης ρεύματος και φορτίου U B Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου

2 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (με δύναμη αντίστασης της μορφής F' b ) t o e Εκθετική μείωση του πλάτους o... N N!. Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση είναι σταθερός t E E o e Εκθετική μείωση της ενέργειας Αν t και ( ) t τότε για τη συνισταμένη ταλάντωση ισχύει ή ( t ) όπου και Αν t και t με τότε για τη συνισταμένη κίνηση ισχύει ή ( t) ( t) Αν τότε η συνισταμένη κίνηση f έχει συχνότητα f f και πλάτος που αυξομειώνεται με συχνότητα f f f (συχνότητα διακροτήματος) ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Σύνθεση δύο ταλαντώσεων που έχουν ίδια συχνότητα και εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Σύνθεση δύο ταλαντώσεων ίδιου πλάτους και μηδενικής αρχικής φάσης που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας

3 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ, f Ταχύτητα διάδοσης του κύματος t T t t y ( ), y ( ) Εξίσωση αρμονικού κύματος για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική ή την αρνητική κατεύθυνση του άξονα 'Ο Με το (-) όταν διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση και με το (+) όταν διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση. t t ( ), ( ) Με το (-) όταν διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση και με το (+) όταν διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση. Φάση αρμονικού κύματος ' y ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ t N με 0,,,... Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο τύπος: N με 0,,,... (N ) με 0,,,... Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο τύπος: (N ) με 0,,,... Πλάτος ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου μετά τη συμβολή στο σημείο αυτό δύο αρμονικών κυμάτων που παράγονται από δύο σύγχρονες πηγές Εξίσωση ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου μετά τη συμβολή στο σημείο αυτό των δύο αρμονικών κυμάτων Σημεία ενισχυτικής συμβολής Σημεία ακυρωτικής (ή αποσβεστικής) συμβολής

4 ' ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Πλάτος ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου στο οποίο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα t y Εξίσωση στάσιμου κύματος Θέσεις των σημείων του άξονα 'O N, όπου 0,,,... όπου παρατηρείται κοιλία N,όπου 0,,,... Θέσεις των σημείων του άξονα 'O 4 όπου παρατηρείται δεσμός ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ c, c f t T t E Ea T t B Ba T E Ea c c B B a Αν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε υλικό μέσο, τότε ισχύουν οι ίδιοι τύποι, αλλά η ταχύτητα διάδοσης ισούται με την ταχύτητα διάδοσης υ τον κύματος στο μέσο αυτό. Ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό Χρονικές εξισώσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, για πολύ μεγάλες αποστάσεις από την πηγή Σχέση των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου καθώς και σχέση των μέγιστων τιμών τους θ π = θ α c n, n n n ΑΝΑΚΛΑΣΗ - ΔΙΑΘΛΑΣΗ Σχέση της γωνίας πρόσπτωσης με τη γωνία ανάκλασης n o Δείκτης διάθλασης ενός οπτικού μέσου crit, με n < n n Νόμος του nell Κρίσιμη γωνία (Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία, τότε συμβαίνει ολική ανάκλαση)

5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ, t t, t, t t t d, a d, a, d s d, a a a c R, a c R, R Για τα σημεία της περιφέρειας :υ περ = υ c Για το ανώτατο σημείο Ζ του τροχού: υ Ζ = υ c Για το σημείο επαφής Ν του τροχού με το δάπεδο: υ Ν = 0 Εξισώσεις που ισχύουν στην ομαλή περιστροφική κίνηση Εξισώσεις που ισχύουν στην ομαλά μεταβαλλόμενη περιστροφική κίνηση (Στους δύο τελευταίους τύπους, το (+) αναφέρεται στην επιταχυνόμενη κίνηση και το (-) στην επιβραδυνόμενη.) Οι τύποι αυτοί αναφέρονται σε ένα σημείο του στερεού σώματος το οποίο απέχει απόσταση d από τον άξονα περιστροφής (όπου υ το μέτρο της γραμμικής του ταχύτητας, α ε το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης του, α κ το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσής του, s το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία θ και α το μέτρο της συνολικής επιτάχυνσης του υλικού σημείου). ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ Τύποι που ισχύουν σε κάθε περίπτωση κύλισης χωρίς ολίσθηση (όπου υ c το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας, α c το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας, το μήκος που διανύει το κέντρο μάζας για γωνία περιστροφής θ.

6 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ F d F 0 και 0 I r r I I c Md I... Μέτρο της ροπής δύναμης ως προς άξονα περιστροφής ή σημείο (όπου d είναι ο μοχλοβραχίονας της δύναμης,) Συνθήκη ισορροπίας ενός αρχικά ακίνητου στερεού σώματος Ορισμός της ροπής αδράνειας στερεού σώματος Ροή αδράνειας ως προς άξονα o οποίος είναι παράλληλος στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού σώματος (ως προς τον οποίο γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας Ι c του στερεού σώματος) και απέχει από αυτόν d. (Θεώρημα teiner) Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης L p r ή L r L L L I L dl... dl dl Αν 0 τότε L. Αν 0 τότε L. Για σύστημα που ανακατανέμει τη μάζα του (εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων) σε σχέση με τον άξονα περιστροφής του (π.χ. παγοδρόμος) ισχύει I I ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Μέτρο της στροφορμής υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνηση γύρω από σημείο Ο Μέτρο της στροφορμής ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του Στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης Η γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης για σύστημα σωμάτων Διατήρηση στροφορμής για ένα σώμα Διατήρηση στροφορμής για σύστημα σωμάτων

7 ΕΝΕΡΓΕΙΑ K I Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής K K K c dk W dk W dk P W P t ( ) ( ) dk dk F I F Κινητική ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί ταυτόχρονα και περιστροφική και μεταφορική κίνηση Έργο μιας δύναμης που προκαλεί σταθερή ροπή (Το + αν η δύναμη αυξάνει την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και το - αν τη μειώνει) Ισχύς μιας δύναμης F που προκαλεί ροπή Μέση ισχύς μιας δύναμης F σε χρονική διάρκεια t Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενεργείας στη στροφική κίνηση Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής ενός σώματος Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης ενός σώματος Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος που εκτελεί ταυτόχρονα και μεταφορική και περιστροφική κίνηση

8

9 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΚΡΟΥΣΕΙΣ - DOPPLER ΚΕΝΤΡΙΚΗ (ΜΕΤΩΠΙΚΗ) ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ' ' ' ' ' ' ' και ' 0 Σχέση που ικανοποιούν οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων δύο σωμάτων που συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την ελαστική μετωπική κρούση με ένα σώμα μάζας Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την ελαστική μετωπική κρούση με ένα σώμα μάζας Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την ελαστική μετωπική κρούση με ένα σώμα μάζας που αρχικά ήταν ακίνητο Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ενός αρχικά ακίνητου σώματος μάζας αμέσως μετά την ελαστική μετωπική κρούση με ένα σώμα μάζας που πριν την κρούση είχε ταχύτητα Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ενός σώματος μάζας ελάχιστα μετά την ελαστική κρούση του με ένα σώμα πολύ μεγαλύτερης μάζας, αρχικά ακίνητο. Η ταχύτητα ( ' ) του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση ισούται με μηδέν E p, p, Q E ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ E Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής όπως και σε κάθε άλλη κρούση. Η απώλεια ενέργειας εξαιτίας της ανελαστικής κρούσης (η οποία εμφανίζεται με μορφή θερμότητας Q ) ισούται με τη διαφορά της αρχικής και της τελικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων.

10 ( ) ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER : ταχύτητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής : μήκος κύματος των ηχητικών κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής f : συχνότητα των ηχητικών κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής = 340 /s : ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα Η πηγή εκπέμπει ηχητικά κύματα συχνότητας f μήκους κύματος και περιόδου Τ, f f, ( ) ( ) f f T f ( ) f f f Ακίνητος παρατηρητής και ακίνητη πηγή ή παρατηρητής και πηγή που κινούνται με την ίδια ταχύτητα. Παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα στην ίδια ευθεία με ακίνητη πηγή. Το () όταν ο παρατηρητής πλησιάζει. Το () όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται. Πηγή ηχητικών κυμάτων που κινείται με ταχύτητα στην ίδια ευθεία με ακίνητο παρατηρητή. Το () όταν η πηγή απομακρύνεται. Το () όταν η πηγή πλησιάζει. Πηγή και παρατηρητής κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητα και αντίστοιχα.