ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Γ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
. ΜΑΡΓΑΡΗΣ
Μηχανικές Ταλαντώσεις -3- Κ Ε Φ Α Λ Α ΙΟ 1 Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ ΘΕΩΡΙΑ Γ.Α.Τ. 1.1. Περιστρεφόµενα διανύσµατα και κύκλος αναφοράς. Έστω ένα διάνυσµα ΟΑ το οποίο αρχίζει να περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από το άκρο του Ο ξεκινώντας από την οριζόντια θέση (ταύτιση µε τον άξονα Οx). Μετά από χρόνο t
Μηχανικές Ταλαντώσεις -4- το διάνυσµα έχει περιστραφεί κατά γωνία θ=ωt και βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αν πάρουµε την προβολή του διανύσµατος ΟΡ πάνω στον άξονα yy, αυτή έχει µήκος (ΟΡ)=(ΟΑ)ηµωt. ηλαδή µε άλλα λόγια η προβολή του διανύσµατος µεταβάλλεται ηµιτονοειδώς µε το χρόνο. Σκεπτόµενοι αντίστροφα για κάθε µέγεθος που µεταβάλλεται αρµονικά µε το χρόνο (Εναλλασσόµενη τάση, αποµάκρυνση στην ταλάντωση ) µπορούµε να φανταστούµε ότι έχουµε ένα περιστρεφόµενο διάνυσµα και εµείς ταυτίζουµε το µέγεθος που µας ενδιαφέρει µε την προβολή του. Ή διαφορετικά: Αν έχουµε ένα σώµα Σ που εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας έναν κατακόρυφο κύκλο, η προβολή του (η σκιά του) σε κατακόρυφο επίπεδο (σε έναν τοίχο) εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Έτσι για τις ταλαντώσεις, εργαζόµαστε µε τον κύκλο αναφοράς. Κύκλος αναφοράς ονοµάζεται ο κύκλος που έχει κέντρο τη θέση ισορροπίας του ταλαντούµενου υλικού σηµείου και ακτίνα ίση µε το πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντωσης. Όταν ένα υποθετικό υλικό σηµείο γράφει οµαλά τον κύκλο, η προβολή του στον άξονα y y εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και έχει κάθε στιγµή αποµάκρυνση από το κέντρο ίση µε: x= Α ηµ(ωt+φ 0 ). Παράδειγµα 1ο: Ένα υλικό σηµείο εκτελεί α.α.τ. µε εξίσωση x=2ηµ10t (µονάδες στο S.Ι.). Ποιος ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση x=0 στη θέση x=1m; Λύση Η απάντηση µπορεί να δοθεί µε δύο τρόπους: α) Από την εξίσωση της αποµάκρυνσης προκύπτει ότι το πλάτος Α=2m. Παίρνουµε τον κύκλο αναφοράς.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -5- Αφού η αποµάκρυνση x=1m είναι το µισό του πλάτους, το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση, συνεπώς το περιστρεφόµενο διάνυσµα που δείχνει τη θέση του υποτιθέµενου σώµατος που διαγράφει τον κύκλο, βρίσκεται ή στη θέση Β ή στη θέση Γ. Από το τρίγωνο Ο Β έχουµε ηµθ=3 Ο 1 =0 άρα θ=30. Κατά συνέπεια η γωνία που έχει ΟΒ 2 διαγράψει το περιστρεφόµενο διάνυσµα είναι: 1) θ=30 =0 π 6 για το σηµείο Β ή 2) θ =180-30 = 150 =1 5 6π για το σηµείο Γ. Πρώτη φορά φτάνει σε αποµάκρυνση x=1m για θ=30 =0 π, οπότε θ=ωt! 6 π t=1 6 ω = 1 π 6 0 s. β) Καθαρά µε χρήση Τριγωνοµετρίας. Παίρνοντας την εξίσωση της αποµάκρυνσης έχουµε x=2ηµωt! 1=2ηµωt! ηµ10t= ½ Άρα 10t= 2κπ+ π/6 % για κ=0 10t=π/6! t 1 =π/60s ή 10t= 2κπ +π-π/6 % για κ=0 10t=5π/6! t=5π/60! t =π/12 s Εφαρµογή 1η: Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση x=2ηµ20t (S.I.). Πόσο χρόνο χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση Β µε x= -2m στη θέση Γ µε x= -1m; Υπόδειξη: Βρείτε ποιες χρονικές στιγµές περνά από τα σηµεία Β και Γ, στη διάρκεια της πρώτης περιόδου και µετά σκεφτείτε πώς θα απαντήσετε. Εφαρµογή 2η: Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους 0,2m. Για να µεταβεί από τη θέση ισορροπίας Ο στη θέση µε αποµάκρυνση x=0,1m απαιτείται χρόνος 0,1s. Πόση είναι η περίοδος ταλάντωσης και πόσο χρόνο χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση στη θέση Γ; Υπόδειξη: Γράψτε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και από
Μηχανικές Ταλαντώσεις -6- αυτήν βρείτε την γωνιακή συχνότητα, µέσω της οποίας µπορείτε να υπολογίσετε την περίοδο. Προσπαθήστε να απαντήσετε και µε την βοήθεια του κύκλου αναφοράς. 1.2. Αρχική φάση Όταν πρόκειται να εφαρµόσουµε τις χρονικές εξισώσεις x=f(t), υ=f(t) και α=f(t), το πρώτο που πρέπει να προσέξουµε είναι αν το κινητό έχει αρχική φάση. Αν µας δίνουν ότι για t=0 είναι και η αποµάκρυνση x=0 ενώ υ>0, δεν έχουµε αρχική φάση. Ενώ αν για t=0 δίνεται x=x 1 διάφορο του µηδενός και επί πλέον έχουµε κάποια πληροφορία για την ταχύτητα, υπάρχει αρχική φάση, την οποία βρίσκουµε ως εξής: x=x 0 ηµ(ωt+φ 0 ), άρα βάζοντας t=0 προκύπτει x 1 = x 0 ηµφ 0. Παράδειγµα 2ο: Ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. µε πλάτος 0,1m και στην αρχή των χρόνων, βρίσκεται σε ση- µείο Μ µε αποµάκρυνση 5cm, αποµακρυνόµενο από τη θέση ισορροπίας. Μετά από 1s περνά ξανά από το Μ για πρώτη φορά µε αντίθετη ταχύτητα. i) Βρείτε τις εξισώσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο. ii) Ποια η εξίσωση της φάσης σε συνάρτηση µε το χρόνο; Να κάνετε την γραφική της παράσταση. Λύση Αφού για t=0 το σώµα δεν περνά από τη θέση ισορροπίας, υπάρχει Μ @υ αρχική φάση φ 0 και η εξίσωση της αποµάκρυνσης θα είναι: Ο t=0 x=αηµ(ωt+φ 0 ) (1) α) Για t=0 έχουµε 0,05= 0,1ηµ(ωK0+φ 0 )! 0,05 = 0,1 ηµφ 0! ηµφ 0 =1 1 2 φ 0 = 2κπ+ 0 π 6 % για κ=0 φ 0 = 0 π 6 ή φ 0 = 2κπ+π- 0 π 6 % για κ=0 φ 0 = 50 π 6.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -7- Για να επιλέξουµε µία από τις παραπάνω τιµές αρχικής φάσης, παίρνουµε την εξίσωση της ταχύτητας υ=αωσυν(ωt+φ 0 ) που για t=0 δίνει υ=αωσυν 0 π >0 δεκτή λύση ή 6 υ =Αω συν 50 π <0 απορρίπτεται αφού το κινητό κινείται προς τα δεξιά την οποία 6 πήραµε σαν θετική φορά. Άρα φ 0 = 0 π. Οπότε παίρνοντας ξανά την εξίσωση (1) για t=1s έχουµε 6 1=2ηµ(ω+ 0 π 6 )! ηµ(ω+ 0π 6 )= 01 2! ω+ 0 π 6 = 2κπ+ 0π 6 & για κ=1 ω= 2π (2) ή Ποια από τις (2) και (3) είναι η σωστή λύση; Βρίσκοντας την περίοδο, από την (2) έχουµε Τ= 1 2 ωπ = 1s ενώ από την (3) Τ=3s. Με βάση τα δεδοµένα η περίοδος προφανώς είναι µεγαλύτερη από 1s, άρα ω=1 2 3π. Άρα οι ζητούµενες εξισώσεις είναι: x= 0,1ηµ(1 2 π π t + 0 ) (m) και 3 6 υ= 0,1K 1 2 π 2π π συν(1 t+ 0 3 3 6 ) =1 π 1 5 συν(12 π π t+ 0 3 6 ) (m/s). ii) Η φάση της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης µας είναι: φ= 1 2 π π t + 0 3 6 και η γραφική της παράσταση δίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Τι λέτε, έχει φασαρία; Υπάρχει και άλλη λύση β) Να χρησιµοποιήσουµε τον κύκλο αναφοράς. Σύµφωνα και µε το παράδειγµα 1, το σώµα που εκτελεί κυκλική κίνηση για t=0 βρίσκεται στις θέσεις Β ή Γ, όπου η γωνία θ=30. Αν βρισκόταν στη θέση Γ θα πλησίαζε προς τον οριζόντιο άξονα, άρα το υλικό σηµείο που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση θα
Μηχανικές Ταλαντώσεις -8- εκινείτο προς τη θέση ισορροπίας, πράγµα που δεν ισχύει. Τι συµβαίνει µε τη θέση Β; Αφού λοιπόν αρχικά βρίσκεται στη θέση Β η αρχική του φάση είναι φ 0 =θ= 0 π και το 6 σώµα θα ξαναβρίσκεται στο σηµείο Μ, όταν το περιστρεφόµενο διάνυσµα φτάσει στη θέση Γ. Θα διαγράψει δηλαδή γωνία Β ΟΓ= 2 5 π π 0 6 6 =22 π 3 και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του διανύσµατος είναι ω= 0 θ t =22 3π.. Εφαρµογή 3η: Ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. µε πλάτος 0,1m και στην αρχή των χρόνων, βρίσκεται σε σηµείο Β µε αποµάκρυνση 5cm, πλησιάζοντας προς τη θέση ισορροπίας. Μετά από 0 2 3 s η ταχύτητα µηδενίζεται για πρώτη φορά. Βρείτε τις εξισώσεις της αποµάκρυνσης, της ταχύτητας και της ε- πιτάχυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Οδηγία: Να λυθεί και µε τους δύο τρόπους, παραδειγµατικά. Σκεφτείτε πρώτα, αφού σχεδιάστε κατάλληλο σχήµα, σε ποια θέση µηδενίζεται η ταχύτητα. Εφαρµογή 4η: ύο υλικά σηµεία α και β εκτελούν απλές αρµονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους Α=0,2m και ίδιας περιόδου Τ=1s πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Τη χρονική στιγµή t=0 για το α σηµείο x=0,1m και υ>0, ενώ για το υλικό σηµείο β είναι x=0,1m και υ<0. i) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις της αποµάκρυνσης των δύο υλικών σηµείων σε συνάρτηση µε το χρόνο και να τις παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστηµα αξόνων. ii) Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση µε το χρόνο και στο ίδιο σύστηµα αξόνων, τη φάση της ταλάντωσης του κάθε υλικού σηµείου. iii) Ποιες χρονικές στιγµές στη διάρκεια της πρώτης περιόδου της κίνησής τους, τα δύο υλικά σηµεία συναντώνται; Εφαρµογή 5η: Ένα υλικό σηµείο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση x=2ηµ(2πt+ 0 π 6 ). i) Ποια η αρχική του ταχύτητα; ii) Σε πόσο χρόνο η ταχύτητά του θα έχει το ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά για δεύτερη φορά;
Μηχανικές Ταλαντώσεις -9-1.3. Σχέση µεταξύ αποµάκρυνσης και ταχύτητας. Αν γνωρίζουµε το πλάτος µιας ταλάντωσης και των γωνιακή συχνότητα, µπορούµε να υπολογίσουµε την ταχύτητα του σώµατος, που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε µια ορισµένη θέση από την εξίσωση x A 2 2 2 υ + ω 2 Α 2 = 1 Απόδειξη: Οι εξισώσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος είναι x=αηµ(ωt+φ 0 ) και υ=υ mαx συν(ωt+φ 0 ) αντίστοιχα. Λύνουµε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς το ηµίτονο και το συνηµίτονο και παίρνουµε: ηµ(ωt+φ 0 ) = 0 x Α (1) και συν(ωt+φ 0) = 1 υ υ mαx (2) Υψώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά µέλη παίρνουµε: 2 2 x υ ηµ 2 (ωt+φ 0 ) + συν 2 (ωt+φ 0 ) = + 2 2 A ( ω Α) ή x A 2 2 2 υ + ω 2 Α 2 =1 Εφαρµογή 6η: Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = x 0 ηµ(ωt + φ 0 ). i) Να αποδείξετε ότι α) υ = ±ω GΑ 2 -x 2 β) α = ±ω Ηυ 0 2 -υ 2 ii) Να παραστήσετε γραφικά, σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -10- a) την επιτάχυνση του υλικού σηµείου. b) τη δυναµική, την κινητική και την ολική του ενέργεια σε κοινό διάγραµµα. 1.4. Νόµος του Ηοοke και δύναµη του ελατηρίου. Έστω ένα ελατήριο µε φυσικό µήκος l 0. Αν θέλουµε να µεταβάλλουµε το µήκος του, να το παραµορφώσουµε, χρειάζεται να του ασκήσουµε µια δύναµη <F, όπως στο διπλανό σχήµα, για l 0 l F< την οποία ισχύει ο νόµος των ελαστικών παραµορφώσεων ( Νόµος του Ηοοke): < F ελ Η ελαστική παραµόρφωση που υπόκειται ένα σώµα µε την επίδραση µιας δύναµης F, είναι ανάλογη της εφαρµοζόµενης δύναµης. Στην περίπτωση του ελατηρίου, ο νόµος του Ηοοke περιγράφεται από την µαθηµατική εξίσωση: F = kk l Όπου k η σταθερά του ελατηρίου, η οποία εκφράζει το πόσο σκληρό είναι το ελατήριο και l η επιµήκυνση ή η συσπείρωση του ελατηρίου. Αλλά αν ο άνθρωπος ασκεί στο ελατήριο την δύναµη F, τότε το ελατήριο ασκεί στον άνθρωπο την αντίδρασή της, την οποία ονοµάζουµε δύναµη του ελατηρίου, το µέτρο της οποίας θα είναι επίσης Fελ = k l. Εφαρµογή 7η: Από ορισµένο ύψος αφήνουµε µια πλάκα µάζας 2kg να πέσει στο πάνω άκρο ενός ελατηρίου, µε φυσικό µήκος 0,4m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Σε µια στιγµή το µήκος του ελατηρίου είναι ίσο µε 0,3m. Υπολογίστε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα και βρείτε την επιτάχυνσή του. ίνεται η σταθερά του ελατηρίου k=200ν/m και g=10m/s 2.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -11-1.5.1. υναµική Ενέργεια ελατηρίου. Έστω ένα ελατήριο που έχει το φυσικό του µήκος. Ασκώντας στο άκρο του Α µια µεταβλητή δύναµη F, επιµηκύνουµε το ελατήριο έτσι ώστε το άκρο Α να µετακινείται µε σταθερή ταχύτητα. Έτσι αν x η µετατόπιση του σηµείου Α θα ισχύει F=kKx. (προσέξτε το x εδώ είναι η µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της δύναµης, δεν µιλάµε για ταλάντωση!!) Πόσο είναι το έργο της δύναµης F για µετατόπιση x= :; Επειδή η δύναµη είναι µεταβλητή, για να υπολογίσουµε το έργο της, σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση F=f(x) και από το εµβαδόν του χωρίου που σχηµατίζεται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα x, υπολογίζουµε το έργο. Άρα W= 0 1 2 : Kk : = 01 2 kk : 2. Τι εκφράζει το έργο της δύναµης αυτής; Την ενέργεια που µεταφέρεται από εµάς που ασκήσαµε τη δύναµη στο ελατήριο και η οποία έχει πλέον αποθηκευτεί στο ελατήριο µε τη µορφή της δυναµικής ενέργειας παραµόρφωσης. Κατά συνέπεια: Ένα ελατήριο παραµορφωµένο (µε επιµήκυνση ή µε συσπείρωση :) έχει δυναµική ενέργεια η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: U= 0 1 2 kk : 2. Παράδειγµα 3ο:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -12- Ένα σώµα Σ µάζας m=4kg ηρεµεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m. Πόση είναι η επιµήκυνση του ελατηρίου και πόση ενέργεια έχει αποθηκευτεί στο ελατήριο; g=10m/s 2. Λύση Στο διπλανό σχήµα παρουσιάζεται το ελατήριο, όταν πάνω του δεν ασκείται καµιά δύναµη, ενώ δίπλα φαίνεται το ελατήριο όταν στο κάτω άκρο του έχει δεθεί το σώµα Σ, µε αποτέλεσµα το ελατήριο να έχει επιµηκυνθεί κατά l. Οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα Σ είναι το βάρος του w και µια δύναµη από το ελατήριο, η F ελ. Το ελατήριο έχει την τάση να αποκτήσει το φυσικό του µήκος, οπότε η F ελ έχει κατεύθυνση προς τη θέση φυσικού µήκους του. l F ελ w Επειδή το σώµα ισορροπεί ΣF=0! F ελ =w! k l=mg οπότε η επιµήκυνση του ελατηρίου είναι l= 2 m kg =0,4m. Η δυναµική ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στο ελατήριο δίνεται από τη σχέση: U = 0 1 2 kk( l)2 Και µε αντικατάσταση U= 16J. 1.5.2. Και το έργο της δύναµης του ελατηρίου; Η δύναµη που ασκεί το ελατήριο είναι Συντηρητική ή ιατηρητική δύναµη, δηλαδή το έργο της δεν εξαρτάται από τη διαδροµή, αλλά µόνο από την αρχική και τελική θέση. Ισχύει λοιπόν η γνωστή για διατηρητικές δυνάµεις σχέση: W=- U ή W= U αρχ -U τελ, όπου U η δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του ελατηρίου. Εφαρµογή 8η: Ένα σώµα µάζας 2kg ηρεµεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m. Τραβώντας το σώµα το µεταφέρουµε στη θέση Α, οπότε το ελατήριο έχει
Μηχανικές Ταλαντώσεις -13- επιµηκυνθεί κατά x 1 =0,4m, Σε µια στιγµή αφήνουµε το σώµα ελεύθερο να κινηθεί. i) Ποια η αρχική επιτάχυνση που αποκτά το σώµα; ii) Μετά από λίγο φτάνει σε µια θέση Β έχοντας διανύσει απόσταση s=0,3m. a) Ποια η επιτάχυνση του σώµατος στη θέση Β; b) Πόσο είναι το έργο της δύναµης του ελατηρίου από τη θέση Α µέχρι τη θέση Β; c) Ποια η ταχύτητα του σώµατος στη θέση Β; Υπόδειξη: Ξεχάστε την ταλάντωση και δουλέψτε µε βάση το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής και το Θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) 1.6. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώµα α.α.τ. : " Για να µπορεί ένα σώµα να εκτελεί α.α.τ, θα πρέπει κάθε στιγµή η συνισταµένη των δυνάµεων, που ασκούνται πάνω του, να έχει την διεύθυνση της αποµάκρυνσης, µέτρο ανάλογο µε αυτήν και αντίθετη φορά. ηλαδή πρέπει να ισχύει: ΣF= - Dx, όπου D η σταθερά επαναφοράς." Αν λοιπόν σε µια άσκηση µας ζητάνε να αποδείξουµε ότι ένα σώµα εκτελεί α.α.τ. δουλεύουµε ως εξής: Παίρνουµε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα στη θέση ισορροπίας και γράφουµε την συνθήκη ισορροπίας. Θεωρούµε το σώµα σε µια τυχαία θέση που απέχει κατά x από την θέση ισορροπίας και σχεδιάζουµε όλες τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω του. Αναλύουµε τις παραπάνω δυνάµεις σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων, του οποίου ο ένας άξονας συµπίπτει µε τη διεύθυνση της κίνησης. Παίρνουµε σαν θετικές τις προβολές των δυνάµεων που έχουν την φορά της αποµάκρυνσης, σαν αρνητικές τις αντίθετες, βρίσκουµε το αλγεβρικό άθροισµα των προβολών αυτών, για το οποίο πρέπει να ισχύει : ΣF x = - Dx. Στον άξονα τον κάθετο στην κίνηση, το σώµα ή θα ισορροπεί, οπότε ΣF y =0 ή αν εκτελεί κυκλική κίνηση (περίπτωση απλού εκκρεµούς) ΣF y =F κεντροµόλος. Μέσω της παραπάνω διαδικασίας, υπολογίζουµε και την σταθερά επαναφοράς D, (την οποία δεν πρέπει να ταυτίζουµε µε την σταθερά ελατηρίου Κ), η οποία συνήθως απαιτείται στον υπολογισµό της περιόδου:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -14- Παράδειγµα 4ο: Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς 400N/m ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, µε το πάνω άκρο του συνδεδεµένο σε ακλόνητο σηµείο και το κάτω άκρο ελεύθερο. Στο ελεύθερο άκρο κρεµάµε σώ- µα Σ µάζας 4kg και το αφήνουµε να κινηθεί από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου. Αποδείξτε ότι το Σ θα εκτελέσει α.α.τ. και βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης. Τριβές δεν υπάρχουν. g=10m/s 2. Λύση Σχεδιάζουµε το διπλανό σχήµα, στο οποίο εµφανίζεται το ελατήριο στο φυσικό του µήκος, η θέση ισορροπίας, όπου το ελατήριο έχει επιµηκυνθεί κατά l, καθώς και µια τυχαία θέση που απέχει κατά x από τη θέση ισορροπίας. Προσέξτε ότι την επιµήκυνση την παίρνουµε σαν απόσταση, ενώ την αποµάκρυνση x σαν διάνυσµα. Για τη θέση ισορροπίας έχουµε ΣF=0! F ελ =w! k l=mg (1). Για την τυχαία θέση ΣF=F ελ -w= k( l-x)-mg=k l-kx-mg και λόγω της (1) ΣF=-kx, άρα το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D=k. Όσον αφορά το πλάτος της ταλάντωσης, επειδή στην θέση φυσικού µήκους, που αφήνουµε το σώµα, η ταχύτητα είναι µηδενική, συµπεραίνουµε ότι η επιµήκυνση l είναι ίση και µε το πλάτος ταλάντωσης. Οπότε από τη σχέση (1) έχουµε l= 2 m g k =0,1m=A, ενώ για την εξίσωση της αποµάκρυνσης ισχύει: x= 0,1 ηµ(10t+ 0 π 2 ) Μπορείτε να πείτε γιατί;;; Εφαρµογή 9η: Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς 400N/m ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, µε το κάτω άκρο του να στηρίζεται στο έδαφος και το πάνω του άκρο ελεύθερο. Στο ελεύθερο άκρο τοποθετούµε σώµα Σ µάζας 4kg και το αφήνουµε να κινηθεί από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -15- Αποδείξτε ότι το Σ θα εκτελέσει α.α.τ. και βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης. Τριβές δεν υπάρχουν. g=10m/s 2. Εφαρµογή 10η: Ένα σώµα µάζας m ηρεµεί σε κεκλιµένο επίπεδο δεµένο στο ένα άκρο ελατηρίου, σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερό. Αν αποµακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί να κινηθεί, αποδείξτε ότι θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και βρείτε την περίοδο ταλάντωσης. Υπόδειξη: Για να µπορέσουµε να απαντήσουµε θα πρέπει να σχεδιάσουµε ένα σχήµα που να παρουσιάζεται: 1) το ελατήριο στο φυσικό του µήκος, 2) η θέση ισορροπίας και 3) µια τυχαία θέση. Μια καλή ιδέα είναι το σχήµα αυτό να είναι, όπως φαίνεται δίπλα. Μεταφέρετέ το στο τετράδιό σας και σχεδιάστε µετά τις δυνάµεις. Εφαρµογή 11η: Ένα σώµα µάζας 2kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στο έδαφος. Ασκώντας κατακόρυφη δύναµη στο σώµα το κατεβάζουµε κατά 15cm από τη θέση ισορροπίας του και για t=0 το αφήνουµε να κινηθεί. i) Αποδείξτε ότι η κίνηση που θα πραγµατοποιήσει είναι απλή αρµονική ταλάντωση ii) Υπολογίστε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης. iii) Γράψτε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο, θεωρώντας θετική την προς τα πάνω κατεύθυνση. iv) Ποια η εξίσωση της δύναµης του ελατηρίου σε συνάρτηση µε το χρόνο; g=10m/s 2.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -16-1.7. Ενέργεια στην Ταλάντωση Όταν ένα σύστηµα ταλαντώνεται, έχουµε µια συνεχή µετατροπή Ενέργειας, από Κινητική σε υναµική και αντίστροφα. Η ολική ενέργεια είναι πάντα: E= 0 1 2 DΑ2. ίση δηλαδή µε την µέγιστη υναµική Ενέργεια, που στην πραγµατικότητα είναι η ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σύστηµα, για να αποµακρυνθεί κατά Α από την θέση ισορροπίας. Έτσι όταν ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, στη µέγιστη αποµάκρυνση έχει µόνο υναµική ενέργεια ίση µε U = 0 1 2 DΑ2, στην θέση ισορροπίας έχει µόνο Κινητική ενέργεια ίση µε Κ= 0 1 2 mυ max 2 = 0 1 2 DΑ2, ενώ σε οποιαδήποτε άλλη θέση έχει και κινητική και δυναµική ε- νέργεια, οπότε η ολική ενέργεια θα είναι: Ε= 0 1 2 mυ2 + 0 1 2 Dx2 = 0 1 2 DΑ2, Αυτά όλα ανεξάρτητα των ενεργειακών µετατροπών, που µπορούµε να παρατηρήσουµε, µε α- ναλυτική µελέτη, µε βάση την Μηχανική. Ας τα δούµε όλα αυτά όµως µέσω παραδειγµάτων. Παράδειγµα 5ο: Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε σηµείο Ο, στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100ν/m, το άλλο άκρο του οποίου κρέµεται από σταθερό σηµείο. Προσφέροντάς του ενέργεια W=4,5J το αποµακρύνουµε κατά Α, φέρνοντάς το στη θέση Γ, οπότε αφήνοντάς το εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -17- i) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης; ii) Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης Α. iii) Στη θέση Γ τι ενέργεια ταλάντωσης έχουµε; iv) Πόση είναι η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση Γ; v) Πόση είναι η ενέργεια της ταλάντωσης στην θέση Ο και µε ποια µορφή εµφανίζεται; vi) Έχει δυναµική ενέργεια το ελατήριο στην θέση Ο, και αν ναι πόση είναι αυτή; g=10m/s 2. Λύση i) Η ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση µε την ενέργεια που προσφέραµε για να αποµακρύνουµε το σώµα από τη θέση ισορροπίας. Άρα Ε=4,5J. ii) Η ενέργεια ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Ε= 0 1 2 DΑ2, από όπου έχουµε: Α= +1 2 Ε =0,3m. D iii) Η θέση Γ είναι ακραία θέση ταλάντωσης, άρα η ενέργεια ταλάντωσης εµφανίζεται µόνο µε τη µορφή της υναµικής Ενέργειας, άρα U Γ =4,5J. iv) Για να βρούµε την υναµική ενέργεια του ελατηρίου, χρειάζεται να υπολογίσουµε την επιµήκυνσή του στη θέση Γ. Για τη θέση ισορροπίας Α έχουµε: ΣF=0! F ελ =mg! k l=mg! l= 2 m kg = 0,2m. Συνεπώς όταν το σώµα έρθει στην θέση Γ, το ελατήριο έχει επιµήκυνση l = l+α=0,2m+0,3m=0,5m. Άρα το ελατήριο έχει ενέργεια: U ελ = 0 1 2 k ( l )2 = 0 1 2 100K0,52 J=12,5J. v) Η θέση Ο είναι η θέση ισορροπίας, άρα η ενέργεια ταλάντωσης εµφανίζεται µόνο σαν κινητική Κ=4,5J. vi) Ενώ η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης στη θέση Ο είναι µηδέν, το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του µήκος, αλλά έχει επιµήκυνση, άρα έχει υναµική ενέργεια: U ελ = 0 1 2 k ( l)2 = 0 1 2 100K0,22 J=2J. Συµπέρασµα: εν πρέπει να συγχέουµε την υναµική Ενέργεια Ταλάντωσης µε την υναµική Ενέργεια του ελατηρίου. Παράδειγµα 6ο:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -18- Ένα σώµα µάζας 4kg ηρεµεί δεµένο στα άκρα δύο κατακορύφων ελατηρίων µε σταθερές Κ 1 =100Ν/m και Κ 2 =200Ν/m, όπως στο διπλανό σχήµα, όπου το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Εκτρέπουµε το σώµα κατακόρυφα προς τα πάνω κατά d=0,5m και το αφήνουµε να κινηθεί. α) Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώµατος είναι απλή αρµονική ταλάντωση. β) Πόση ενέργεια προσφέραµε στο σώµα για την παραπάνω εκτροπή; γ) Μόλις µηδενισθεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώµατος, το πάνω ελατήριο λύνεται µε αποτέλεσµα το σώµα να ταλαντώνεται στο άκρο µόνο του κάτω ελατηρίου. Να υπολογιστεί η ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώµατος. Λύση α) Στη θέση ισορροπίας: ΣF= 0 ή F ελ -W=0 ή Κ 1 l 1 = mg (1) Έστω το σώµα σε µια τυχαία θέση που απέχει κατά x από την θέση ισορροπίας. Για τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω του έχουµε (βλέπε σχήµα): ΣF= F ελ1 -F ελ2 -W= Κ 1 ( l 1 -x) Κ 2 x mg = Κ 1 l 1 -Κ 1 x Κ 2 x mg και λόγω της (1) ΣF= - (Κ 1 +Κ 2 ) x, συνεπώς το σώµα εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά επαναφοράς D= Κ 1 +Κ 2. β) Η ενέργεια που προσφέραµε στο σώµα για να το ανεβάσουµε κατά d, είναι ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης. Μόλις αφήσουµε το σώµα να κινηθεί έχει µηδενική ταχύτητα, άρα η θέση αυτή είναι ακραία θέση και Α= d=0,5m. Ε τ = ½ DΑ 2 = ½ (Κ 1 +Κ 2 )Α 2 = ½ 300 0,25J= 37,5J. γ) Βρίσκουµε την νέα θέση ισορροπίας, όπου το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά l 2. ΣF= 0 ή F ελ2 =mg ή Κ 2 l 2 = mg ή l 2 = 4 10/200m= 0,2m. Την στιγµή που λύθηκε το ελατήριο Κ 1, το σώµα βρισκόταν στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του, απέχοντας κατά Α από την αρχική θέση ισορροπίας του, που το κάτω ελατήριο είχε το φυσικό µήκος του. Στη θέση αυτή απέχει κατά Α 1 - l 2 = 0,5m-0,2m = 0,3m. Αυτή είναι και η µέγιστη αποµάκρυνση για την νέα ταλάντωσή του. ηλαδή Α 2 = 0,3m. Έτσι έχουµε:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -19- Ε 2 = ½ DΑ 2 2 = ½ 200 0,3 2 J= 9J. Παράδειγµα 7ο: Το σώµα Σ 1 µάζας m 1 =5kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, προκαλώντας του συσπείρωση κατά 0,25m. Για t=0 αφήνουµε πάνω στο σώµα Σ 1 ένα δεύτερο σώµα Σ 2 µάζας m 2 =3kg.. i) Ν αποδειχθεί ότι το σύστηµα των δύο σωµάτων θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση. ii) Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση σε συνάρτηση µε το χρόνο, της δύναµης που δέχεται το σώµα Σ 2 από το Σ 1, αν η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρηθεί θετική. ίνεται g=10m/s 2. Λύση: i).στη θέση ισορροπίας του σώµατος Σ 1 έχουµε: ΣF= 0 F ελ = m 1 g ή kd 1 = m 1 g k = m 1 g/d 1 = 50/0,25 N/m = 200N/m. Η θέση ισορροπίας του συστήµατος είναι η Θ.Ι. 2. για την οποία ισχύει: ΣF=0 F ελ =m ολ g k(d 1 +d 2 ) = (m 1 +m 2 )g kd 2 =m 2 g d 2 =m 2 g/k=30/200m= 0,15m. Παίρνουµε το σύστηµα σε µια τυχαία θέση, που απέχει κατά x από την Θ.Ι.2: ΣF= w ολ -F ελ = (m 1 +m 2 )g- k(d 1 +d 2 +x) = (m 1 +m 2 )g- k(d 1 +d 2 ) kx = -kx,
Μηχανικές Ταλαντώσεις -20- ηλαδή το σύστηµα εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά D=k. ii) Το σύστηµα αρχίζει την ταλάντωσή του µε µηδενική ταχύτητα, άρα ξεκινά από την πάνω ακραία θέση, οπότε Α= d 2 = 0,15m. Η περίοδος ταλάντωσης είναι Τ= 2π (m ολ /k) 1/2 = 2π (8/200) 1/2 = 0,4π s Ν iii) Το σύστηµα ξεκινά την ταλάντωσή του από την θετική ακραία θέση, οπότε έχει αρχική φάση φ 0 =π/2 (γιατί;) και για την αποµάκρυνση έχουµε: x= Αηµ(ωt+π/2) = 0,15 ηµ(5t+π/2) Σ 2 x w Για το σώµα Σ 2 : ΣF= - D 2 x Ν-m 2 g = - m 2 ω 2 x Ν= m 2 g m 2 ω 2 x Ν= 30-3 25 0,15ηµ(5t+ π/2) = 30-11,25ηµ(5t+π/2) ή Ν= 30 11,25 συν5t (µονάδες στο S.Ι.) Η γραφική παράσταση δίνεται παρακάτω. Ν 41,25 (Ν) 30,00 28,75 0 0,4π t(s) Εφαρµογή 12η: Ένα σώµα µάζας m=5kg εκτελεί α.α.τ µε εξίσωση αποµάκρυνσης x=0,2ηµ10t (S.Ι.). Ζητούνται:
Μηχανικές Ταλαντώσεις -21- i) Η ενέργεια ταλάντωσης. ii) Η µέγιστη δυναµική και η µέγιστη κινητική ενέργεια. iii) Η δυναµική και η κινητική ενέργεια τη χρονική στιγµή t 1 =1 5 π s. 12 iv) Τη χρονική στιγµή t 1 + t η δυναµική ενέργεια έχει αυξηθεί κατά 2J σε σχέση µε την τιµη την στιγµή t 1. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώµατος τη στιγµή αυτή; Εφαρµογή 13η: Ένα σώµα Σ µάζας 2kg ηρεµεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=200Ν/m. Ασκώντας κατακόρυφη δύναµη στο σώµα Σ το ανεβάζουµε κατά h=0,4m και το αφήνουµε να ταλαντωθεί. Ζητούνται: i) Η ενέργεια ταλάντωσης. ii) Η µέγιστη δυναµική ενέργεια ταλάντωσης. iii) Η µέγιστη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. iv) Να κάνετε το διάγραµµα της δύναµης του ελατηρίου σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας, θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω. ίνεται g=10m/s 2. Εφαρµογή 14η: Ένα σώµα µάζας m=4kg ισορροπεί όπως στο διπλανό σχήµα έχοντας επιµηκύνει το ελατήριο κατά ;=0,4m. Το ελατήριο έχει σταθερά Κ=400Ν/m και g=10m/s 2. v) Υπολογίστε την τάση του νήµατος και την ενέργεια του ελατηρίου. vi) Σε µια στιγµή κόβουµε το νήµα και το σώµα ταλαντώνεται. a) Γύρω από ποια θέση πραγµατοποιείται η ταλάντωση; b) Ποιο το πλάτος και ποια η ενέργεια ταλάντωσής του; Εφαρµογή 15η: Ένα κατακόρυφο ελατήριο ηρεµεί στηριζόµενο µε το κάτω άκρο του στο έδαφος. Αφήνοντας στο πάνω ελεύθερο άκρο του ένα σώµα Σ µάζας m=2kg (σχήµα α), εκτελεί ταλάντωση µε πλάτος Α 1 = 0,4m. i) Πόση είναι η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου και πόση η
Μηχανικές Ταλαντώσεις -22- ενέργεια ταλάντωσης; ii) Το ίδιο σώµα αφήνεται να πέσει στο ελατήριο από ύψος h=0,5m, πάνω από το ελεύθερο άκρο του. a) Να βρείτε την ενέργεια ταλάντωσής του. b) Πόσο είναι τώρα το πλάτος της ταλάντωσης; c) Στην περίπτωση (α) ή στην (β) το σώµα έχει µεγαλύτερη περίοδο ταλάντωσης; ίνεται g=10m/s 2. Υπόδειξη: Βρείτε µε προσοχή τη θέση ισορροπίας και για τις δύο περιπτώσεις! Εφαρµογή 16η: Από ύψος h=4m πάνω από το ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στο έδαφος, αφήνουµε να πέσει ένα σώµα µάζας m=2kg. i) Με ποια ταχύτητα το σώµα φτάνει στο ελατήριο; ii) Αποδείξτε ότι η κίνηση του σώµατος όταν βρίσκεται σε επαφή µε το ελατήριο είναι απλή αρµονική ταλάντωση. iii) Βρείτε το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης και συγκρίνετέ την µε την µέγιστη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. g=10m/s 2. Υπόδειξη: Τη στιγµή που το σώµα φτάνει στο ελατήριο έχει ταχύτητα. Βρείτε πόσο απέχει στη θέση αυτή από τη θέση ισορροπίας και σκεφτείτε πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης σε αυτή την θέση. Εφαρµογή 17η: Από ένα σταθερό σηµείο κρέµεται ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100ν/m και µε φυσικό µήκος : 0=1m. Στο t=0 Θ.Ι. 1 Θ.Ι. 2 ελεύθερο άκρο του δένουµε ένα σώµα Σ µάζας m=2kg και το αφήνουµε ελεύθερο για t=0 από τη θέση φυσικού µήκους του l 0 ελατηρίου. i) Να αποδείξτε ότι το σώµα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω. ii) Πόσο είναι το µέγιστο µήκος του ελατηρίου και ποιες χρονικές στιγµές το ελατήριο έχει µέγιστο µήκος; iii) Σε µια στιγµή που το ελατήριο έχει το µέγιστο µήκος του, το σώµα Σ χωρίζεται σε δύο κοµµάτια µε ίσες µάζες, όπου το ένα συνεχίζει να παραµένει δεµένο µε το ελατήριο και ταλαντώνεται στην ίδια διεύθυνση, ενώ το άλλο πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα. Να υπολογίσετε το νέο πλάτος ταλάντωσης και την αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης. l max
Μηχανικές Ταλαντώσεις -23- g=10m/s 2. Υπόδειξη: Προσέξτε ότι µόλις φύγει το µισό κοµµάτι θα έχουµε αλλαγή στη θέση ισορροπίας. 1.8. Ταλάντωση και κρούση. Στα προβλήµατα ταλαντώσεων, που ένα σώµα συνδέεται µε ελατήριο, που έχουµε κρούση, ε- κείνο που µας ενδιαφέρει είναι η θέση ισορροπίας του σώµατος, πριν και µετά την κρούση. Έχουµε δύο περιπτώσεις: 1) Όταν το ελατήριο είναι οριζόντιο, ανεξάρτητα τι κρούση έχουµε, δεν αλλάζει η θέση ισορροπίας του σώµατος πριν και µετά την κρούση. Παράδειγµα 8ο: Σώµα Σ µάζας Μ=1,8kg έχει συνδεθεί στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 200N/m. Ένα βλήµα µάζας m 1 = 0,2kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του ελατηρίου µε ταχύτητα υ 0 = 8m/s συγκρούεται µε το σώµα και σφηνώνεται σε αυτό. Ποιο το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα και πόσο χρόνο διαρκεί η συσπείρωση του ελατηρίου; Τριβές δεν υπάρχουν. Λύση Το σώµα Σ αρχικά ηρεµεί. Άρα το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Για την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής: <Ρ αρχ = <Ρ τελ! m 1 υ 0 =(Μ+m 1 )V κ! V κ =0,8m/s. Η κοινή αυτή ταχύτητα είναι και η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υ max. Αλλά υ max =Αω, όπου k=mω 2, οπότε ω= + 0 k m =10rad/s! υ A= max = 0,08m. ω Ενώ το χρονικό διάστηµα που διαρκεί η συσπείρωση είναι t=0 Τ 4 = 01 4 22 π π =22 ω 0 s.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -24- Παράδειγµα 9ο: Μια πλάκα µάζας m 1 = 2kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουµε την πλάκα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,2m και σε µια στιγµή την αφήνουµε να κινηθεί, ενώ ταυτόχρονα από ύψος Η=32,5cm (πάνω από την πλάκα) αφήνουµε µια σφαίρα ίσης µάζας να πέσει. Τα δύο σώµατα συγκρούονται µετά από χρόνο t 1 = π/20 s και κατά την κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες. i) Σε ποια θέση έγινε η κρούση των δύο σωµάτων; ii) Ποιες οι ταχύτητες των δύο σωµάτων ελάχιστα πριν την κρούση; iii) Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης, πριν και µετά την κρούση. ίνεται g=10m/s 2 και π 2 10. Λύση: i) Σε χρόνο t 1 η σφαίρα κατέρχεται κατά y= ½ gt 2, αφού εκτελεί ελεύθερη πτώση. h= ½ 10 π 2 /400 m = 1/8 m= 12,5cm. Οπότε η πλάκα διανύει απόσταση D=Η-h= 32,5cm 12,5 cm = 20cm = d. ηλαδή τα δύο σώµατα συγκρούονται στην θέση ισορροπίας της πλάκας. ii) Για το χρονικό διάστηµα t 1 ισχύει t 1 =Τ/4, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης της πλάκας, από όπου Τ= 4t 1 = 4 π/20 s = π/5 s. Η πλάκα έχει ταχύτητα πριν την κρούση υ 1 =υ mαx = Αω= Α 2π/Τ= 0,2 2π/0,2π m/s = 2m/s, ενώ η σφαίρα υ 2 =gt = 10 π/20 m/s =π/2 m/s= 1,57 m/s. iii) Η ενέργεια ταλάντωσης της πλάκας πριν την κρούση είναι: Ε 1 = ½ m 1 υ 1mαx 2 = ½ 2 2 2 J = 4J Ενώ µετά την κρούση: Ε 2 = ½ m 1 υ 1 2 = ½ 2 (π/2) 2 = π 2 /4J= 2,5J. Εφαρµογή 18η: Το σώµα Β µάζας m 1 =1kg ηρεµεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100ν/m και σε επαφή µε δεύτερο σώµα Γ µάζας m 2 =3kg. Μετακινούµε το σώµα Β προς τα αριστερά συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά 0,2m και το αφήνουµε να κινηθεί,
Μηχανικές Ταλαντώσεις -25- οπότε µετά από λίγο συγκρούεται µε το σώµα Γ. Αν η ταχύτητα του σώµατος Γ µετά την κρούση είναι 1m/s, ποιο είναι το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώµατος Β µετά την κρούση; Εφαρµογή 19η: Ένα σώµα Α µάζας 2kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς k=200ν/m, µε πλάτος 0,5m. Σε µια στιγµή και ενώ κινείται προς τα δεξιά και απέχει 0,3m από τη θέση ισορροπίας του συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε δεύτερο σώµα Β µάζας m 2 =3kg που κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα υ 2 =2m/s. Ζητούνται: i) Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση. ii) το νέο πλάτος της ταλάντωσης. 2) Αλλαγή θέσης Ισορροπίας. Όταν το ελατήριο είναι κατακόρυφο ή πλάγιο και η κρούση είναι πλαστική, τότε µόνον θα αλλάξει η θέση ισορροπίας. Παράδειγµα 10ο: Ένα σώµα Σ µάζας Μ=9kg ηρεµεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m. Από ύψος 5m πάνω από το σώµα Σ, ρίχνουµε κατακόρυφα µε αρχική ταχύτητα υ 0 =10m/s ένα σώµα Σ 1 µάζας 1kg που σφηνώνεται στο σώµα Σ. Να βρείτε: i) την κοινή ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση ii) το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστηµα των δύο σωµάτων. g=10m/s 2. Λύση Το σώµα Σ ισορροπεί στην αρχική θέση ισορροπίας έχοντας συσπειρώσει το ελατήριο κατά α. Άρα ΣF=0! F ελ =Μg! kα=μg! α= 0,9m.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -26- Εφαρµόζουµε για το σώµα Σ 1 την αρχή διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας, λαµβάνοντας σαν επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του σώµατος Σ. Έτσι έχουµε: Κ αρχ +U αρχ = Κ τελ + U τελ ή mgh+0 1 2 mυ 0 2 =0 1 2 mυ2 ή 2 υ= υ 2gh =10*2m/s, 0 + αυτή είναι η ταχύτητα του σώµατος Σ 1 τη στιγµή που φτάνει στο σώµα Σ. i) Εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της ορµής για την κρούση. <Ρ αρχ = <Ρ τελ ή mkυ= (Μ+m)υ κ ή mkυ υ κ = 4 = *2m/s. Μ +m ii) Το συσσωµάτωµα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από την θέση ισορροπίας Θ.Ι.2 για την οποία ισχύει: ΣF=0! (Μ+m) g=k(α+β) όπου β η πρόσθετη συσπείρωση του ελατηρίου. Οπότε β=1 m kg =0,1m. Εφαρµόζουµε την διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης για το συσσωµάτωµα αµέσως µετά την κρούση και στη θέση µέγιστης αποµάκρυνσης και έχουµε: Κ αρχ + U αρχ =Κ τελ + U τελ ή 0 1 2 (Μ+m)υ κ 2 + 0 1 2 kkβ2 = 0 1 2 kkα2.! Α= 2 Μ+m 2 β + υ κ d0,46m k Εφαρµογή 20η: Ένα σώµα Α µάζας m 1 =2kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=200ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Από ύψος h 1 =1,25m, πάνω από το σώµα Α, αφήνεται να πέσει µια σφαίρα µάζας m 2 =2/9kg, η οποία αφού συγκρουστεί µε το σώµα Α ανέρχεται κατά h 2 =0,8m, από τη θέση της κρούσης. i) Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση. ii) Ποια ταχύτητα αποκτά το σώµα Α µετά την κρούση; iii) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος Α; ίνεται g=10m/s 2.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -27- Παράδειγµα 11ο: Μια σφαίρα µάζας m=1kg εκτοξεύεται για t=0 µε ταχύτητα υ 1 από το σηµείο Β, το οποίο απέχει απόσταση s=3m από ακίνητο σώµα Σ, το οποίο ηρεµεί δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=20ν/m. Μετά από λίγο η σφαίρα συγκρούεται µετωπικά µε το σώµα Σ, το οποίο µετά την κρούση εκτελεί α.α.τ. µε εξίσωση: x=(0 2 ) ηµ(πt-π) (µονάδες S.Ι.). π Αν το επίπεδο είναι λείο και η διάρκεια της κρούσεως αµελητέα, ενώ π 2 10, ζητούνται: α) Η ταχύτητα υ 1 της σφαίρας. β) Ποια χρονική στιγµή η σφαίρα θα ξαναπεράσει από το σηµείο Β. γ) Πόσο θα απέχουν µεταξύ τους τη στιγµή αυτή τα δύο σώµατα; Λύση: α) Το σώµα Σ αρχίζει την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας µε αρχική φάση µηδέν. Αν µηδενίσουµε τη φάση παίρνουµε: πt-π= 0 ή t=1s Άρα 1s χρειάστηκε το σώµα Β να συγκρουστεί µε το σώµα Σ, οπότε υ 1 = s/t=3m/s. β) Η ταχύτητα του σώµατος Σ µετά την κρούση είναι υ 2mαx = ω Α= π 2/π= 2m/s. Για την µάζα του σώµατος Σ έχουµε: D=m ω 2 ή m 2 = Κ/ω 2 ή m 2 =20/π 2 = 2kg. Εφαρµόζουµε την Α Ο για την κρούση των δύο σωµάτων και παίρνουµε: Ρ αρχ =Ρ τελ ή m 1 υ 1 = m 1 υ 1 +m 2 υ 2 ή υ 1 = 3-2 2= - 1m/s Η κίνηση της σφαίρας είναι ευθύγραµµη οµαλή: s=υ 1 t 1 ή t 1 = 3/1=3s.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -28- Η σφαίρα θα φτάσει λοιπόν στη θέση Β τη χρονική στιγµή t=4s. γ) Το σώµα Σ ταλαντώνεται και για t=5s βρίσκεται στη θέση: x= 2/π ηµ(4π-π) = 0 Κατά συνέπεια η απόσταση των δύο σωµάτων είναι s=3m.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -29- Ερωτήσεις Θεωρίας 1) Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση i) ευθύγραµµη οµαλή. ii) ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη. iii) οµαλή κυκλική. iv) ευθύγραµµη περιοδική. Εξισώσεις της α.α.τ. 2) Η ταχύτητα υ σηµειακού αντικειµένου το οποίο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση i) είναι µέγιστη, κατά µέτρο, στη θέση x = 0. ii) έχει την ίδια φάση µε την αποµάκρυνση x. iii) είναι µέγιστη στις θέσεις x = ± x 0. iv) έχει την ίδια φάση µε τη δύναµη επαναφοράς. 3) Η φάση της απλής αρµονικής ταλάντωσης i) αυξάνεται γραµµικά µε το χρόνο. ii) είναι σταθερή. iii) ελαττώνεται γραµµικά µε το χρόνο. iv) είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. 4) ίνεται η γραφική παράσταση φ = f(t) απλής αρµονικής ταλάντωσης, που έχει πλάτος αποµάκρυνσης Α = 2 cm. Να γραφεί η εξίσωση της αποµάκρυνσης 5) Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο σε ώρες ( h ) : α. 1 h β. 12 h γ. 24 h δ. 48 h 6) Η διαφορά φάσης φ = φ υ φ x µεταξύ ταχύτητας υ και αποµάκρυνσης x στην απλή αρ- µονική ταλάντωση είναι: α. - 1 π 2, β. 1π, γ. 0, δ. - π 2 7) Το διάγραµµα του σχήµατος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε συνάρτηση µε το χρόνο. Στην περίπτωση αυτή
Μηχανικές Ταλαντώσεις -30- i) στα σηµεία 1 και 5 το σώµα βρίσκεται στη µέγιστη αποµάκρυνση. ii) στα σηµεία 2 και 4 το σώµα βρίσκεται στη µέγιστη αποµάκρυνση. iii) στα σηµεία 4 και 5 το σώµα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. iv) στα σηµεία 3 και 4 το σώµα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. 8) Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Β και Γ του σχήµατος, τα οποία απέχουν 4m. Ο χρόνος για να πάει το σώµα από το Β στο Γ είναι 5s. i) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι. ii) Η περίοδος είναι ίση µε.. iii) Ο χρόνος από το Ο στο Β είναι. iv) Ο χρόνος από το Β στο Ο είναι.. v) Ο χρόνος από το Ο στο µέσον Μ της ΟΓ είναι. vi) Σχεδίασε την επιτάχυνση του υλικού σηµείου στο σηµείο Μ. 9) Το διάγραµµα του σχήµατος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Πόση είναι η επιτάχυνση στο σηµείο 2 και πόση στο σηµείο 5; ii) Πόσο απέχουν χρονικά τα σηµεία 2 και 3; iii) Η επιτάχυνση στο σηµείο 3 είναι θετική, αρνητική ή µηδέν; iv) Η επιτάχυνση στο σηµείο 4 είναι θετική, αρνητική ή µηδέν; 10) Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Β και Γ του σχήµατος, τα οποία απέχουν 4m, µε περίοδο 2s και για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας, όπως στο σχήµα. i) Η εξίσωση της αποµάκρυνσής του είναι: x=. ii) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ=.. 11) Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Β και Γ του σχήµατος, τα οποία απέχουν 4m, µε περίοδο 2s και για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήµα. i) Η εξίσωση της αποµάκρυνσής του είναι: x=. ii) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ=.. 12) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και για t=0 βρίσκεται στο σηµείο Γ, όπως στο σχήµα. Για την αποµάκρυνσή του ισχύει: α) x=αηµωt β) x= Αηµ(ωt+π/2) γ) x= Α ηµ(ωt+π) δ) x= Α ηµ(ωt+3π/2) 13) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και για t=0 βρίσκεται στο σηµείο Β, όπως στο σχήµα. i) Για την αποµάκρυνσή του ισχύει: α) x=αηµωt β) x=
Μηχανικές Ταλαντώσεις -31- Αηµ(ωt+π/2) γ) x= Α ηµ(ωt+π) δ) x= Α ηµ(ωt+3π/2) ii) Πόση είναι η αρχική του επιτάχυνση; iii) Τι τιµή έχει η αρχική του ταχύτητα; 14) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και για t=0 περνά από το σηµείο Μ, όπως στο σχήµα, όπου (ΟΜ)=(ΜΓ). Για την αποµάκρυνσή του ισχύει: α) x=αηµωt β) x= Αηµ(ωt+π/2) γ) x= Α ηµ(ωt+π) δ) x= Α ηµ(ωt+π/6) 15) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και για t=0 περνά από το σηµείο Μ, όπως στο σχήµα, όπου (ΟΜ)=(ΜΓ). Για την αποµάκρυνσή του ισχύει: α) x=αηµωt β) x= Αηµ(ωt+π/6) γ) x= Α ηµ(ωt+3π/2) δ) x= Α ηµ(ωt+5π/6) 16) Ένα σώµα ταλαντώνεται µεταξύ των σηµείων Β και Γ του σχήµατος, τα οποία απέχουν 4m, µε περίοδο 2s και για t=0 περνά από τη θέση Μ, όπως στο σχήµα. Αν (ΟΜ)=1m=(ΟΝ), τότε στη θέση Ν θα φτάσει για πρώτη φορά µετά από χρόνο: α) 1s β) 2s γ) 0,5s δ) 1/3 s 17) Ένα σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση βρίσκεται τη χρονική στιγµή µηδέν στη θέση ισορροπίας. Ποια είναι η αρχική του φάση; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 18) Το διάγραµµα του σχήµατος παριστάνει την αποµάκρυνση ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µεταξύ των σηµείων Β και Γ, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Αν Μ το µέσον της ΟΓ i) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι.. ii) Η περίοδος ταλάντωσης είναι ίση µε. iii) Για τις αποστάσεις µεταξύ των σηµείων ισχύουν: ΟΒ=. ΒΓ= ΒΜ=. iv) Σε ποιο σηµείο βρίσκεται το σώµα τη χρονική στιγµή t 1 =2s; v) Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή t 2 =3s είναι: α) + 0,02π (m/s) β) 0,02π (m/s) γ) µηδέν. vi) Ποια χρονική στιγµή περνά από το σηµείο Ο: α) για πρώτη φορά β) για τέταρτη φορά; 19) Το διάγραµµα του σχήµατος παριστάνει την επιτάχυνση ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µεταξύ των σηµείων Β και Γ, σε συνάρτηση µε το χρόνο.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -32- i) Σε ποιο σηµείο βρίσκεται το σώµα για t=0; ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το σώµα για t=0 ή για t=1s; iii) Για t=3s σε ποια θέση βρίσκεται το σώµα και προς τα πού κινείται; iv) Ποια χρονική στιγµή το σώµα έχει µέγιστη ταχύτητα (κατά µέτρο) για τρίτη φορά; 20) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Σε ποια θέση η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η συνολική δύναµη είναι: α) µηδέν; β) µέγιστη; 21) Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ. Τη χρονική στιγµή t=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση µέγιστης αποµάκρυνσης (x=a). i) Ποια χρονική στιγµή θα περάσει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας; ii) θα φτάσει στη θέση x = - A; iii) θα ξαναπεράσει από τη θέση ισορροπίας; ύναµη στην α.α.τ. 22) Η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργεί σε σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση α. είναι σταθερή β. είναι συµφασική µε την αποµάκρυνση γ. είναι ανάλογη και αντίθετη µε την αποµάκρυνση δ. είναι ανάλογη µε την ταχύτητα Επιλέξτε την σωστή πρόταση 23) Σώµα µάζας m εκτελεί γραµµική απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση x του σώµατος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x = Αηµωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναµη, που δέχεται το σώµα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση F = mω 2 x 24) Τι ονοµάζουµε σταθερά επαναφοράς σε µια α.α.τ.; Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. 25) Ποια από τις επόµενες σχέσεις ανάµεσα στη συνολική δύναµη F που ασκείται σε ένα σώµα και στη θέση x του σώµατος αναφέρεται σε µία απλή αρµονική ταλάντωση; α) F= Dx β) F= D γ) F= -Dx δ) F =Dx 2 26) Ένα υλικό σηµείο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µεταξύ των σηµείων Β και Γ του διπλανού σχήµατος. Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεµένες τις παρακάτω προτάσεις i) Η δύναµη επαναφοράς στη θέση Ο είναι µέγιστη. ii) Η δύναµη επαναφοράς στο Γ έχει φορά προς τα αριστερά και µέγιστο µέτρο. iii) Η δύναµη επαναφοράς στο σηµείο Ρ έχει µικρότερο µέτρο από ότι στο σηµείο Β και
Μηχανικές Ταλαντώσεις -33- φορά προς τα δεξιά. iv) Καθώς το σώµα κινείται από το Β προς το Ρ, το µέτρο της δύναµης επαναφοράς µειώνεται γραµµικά µε το χρόνο. v) Η δύναµη επαναφοράς δύνεται από τη σχέση: α) F= - mω 2 Αηµ(ωt + φ 0 ) β) F= - mωα 2 ηµ(ωt + φ 0 ) γ) F= - mω 2 Αηµωt δ) F= - m 2 ωαηµωt 27) Το σώµα του διπλανού σχήµατος ηρεµεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Εκτρέπουµε το σώµα προς τα δεξιά κατά Α και το αφήνουµε να εκτελέσει α.α.τ. Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεµένες τις παρακάτω προτάσεις: i) Στην αρχική του θέση το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. ii) Η δύναµη επαναφοράς είναι η δύναµη του ελατηρίου. iii) Η δύναµη επαναφοράς είναι η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα. iv) Η δύναµη του ελατηρίου δίνεται από τη σχέση F= - Κx, όπου x η αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας. v) Η δύναµη του ελατηρίου δίνεται από την εξίσωση F = - Κ;, όπου ; το µήκος του ελατηρίου. vi) Το πλάτος ταλάντωσης είναι ίσο µε Α. vii) Αν αυξήσουµε την αρχική αποµάκρυνση του σώµατος θα αυξηθεί και η περίοδος ταλάντωσης. 28) Ένα υλικό σηµείο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µεταξύ των σηµείων Β και Γ του διπλανού σχήµατος και για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας Ο κινούµενο προς τα δεξιά. Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις είναι σωστές και γιατί; 29) Στα άκρα δύο όµοιων οριζόντιων ελατηρίων ηρεµούν τα σώµατα Σ 1 και Σ 2 µε ίσες µάζες. Εκτρέπουµε τα σώµατα προς τα δεξιά, το Σ 1 κατά Α και το Σ 2 κατά 2Α και για t=0 τα αφήνουµε να κινηθούν εκτελώντας α.α.τ. Σ 1 Σ 2 Α 2Α
Μηχανικές Ταλαντώσεις -34- i) Στη θέση ισορροπίας θα φτάσει πρώτο το σώµα: α) Σ 1 β) Σ 2 γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα. ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα θα αποκτήσει το σώµα α) Σ 1 β) Σ 2 γ) θα αποκτήσουν ίσες µέγιστες ταχύτητες. iii) Μεγαλύτερη κατά µέτρο δύναµη επαναφοράς στη διάρκεια της κίνησης, θα δεχτεί α) το σώµα Σ 1 β) το σώµα Σ 2 γ) θα δεχτούν ίσες δυνάµεις. iv) Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστά τη δύναµη που δέχεται το σώµα Σ 1 σε συνάρτηση µε το χρόνο; v) Στο παραπάνω διάγραµµα (που είναι σωστό), να σχεδιάστε τη δύναµη επαναφοράς που ασκείται στο σώµα Σ 2, σε συνάρτηση µε το χρόνο. 30) Ένα σώµα βάρους 10Ν ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Εκτρέπουµε το σώµα κατακόρυφα κατά Α και αφήνοντάς το εκτελεί α.α.τ. Στο σχήµα φαίνεται η θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) η κάτω ακραία θέση (1) και µια τυχαία θέση (2). i) Σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα και στις τρεις παραπάνω θέσεις. ii) Πόσο είναι το µέτρο της δύναµης του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας και πόσο στη θέση (1); iii) Η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα: α) στη θέση (1) κατευθύνεται προς τα πάνω β) στη θέση (2) κατευθύνεται προς τα κάτω γ) στη θέση ισορροπίας κατευθύνεται προς τα κάτω Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεµένες τις παραπάνω προτάσεις. iv) Υπάρχει κάποια θέση που το ελατήριο να µην ασκεί δύναµη στο σώµα; Αν ναι, πόση θα είναι η επιτάχυνση του σώµατος στη θέση αυτή; v) Σε ποια θέση το ελατήριο έχει µέγιστη δυναµική ενέργεια; 31) ύναµη επαναφοράς για ένα υλικό σηµείο που εκτελεί α.α.τ µεταξύ των σηµείων Β και Γ του διπλανού σχήµατος, φαίνεται στο διάγραµµα. i) Για t=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση: α) Ο β) Β γ) Γ δ) άλλη θέση. ii) Το σηµείο (1) της γραφικής παράστασης αντιστοιχεί στη θέση Ο και το σώµα κινείται προς τα δεξιά. iii) Το σηµείο (2) αντιστοιχεί στη θέση στην θέση Γ. B F (1) Ο (3) (2) Γ 10 t(s) iv) Το σηµείο (3) αντιστοιχεί σε ένα σηµείο δεξιότερα του σηµείου Ο. v) Η περίοδος ταλάντωσης είναι ίση µε 10s. vi) Τα σηµεία (1) και (3) αντιστοιχούν σε δύο σηµεία που απέχουν µεταξύ τους απόσταση µεγαλύτερη από το πλάτος ταλάντωσης Α.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -35-
Μηχανικές Ταλαντώσεις -36- Ενέργεια Ταλάντωσης 32) Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή η ολική του ενέργεια i) µεταβάλλεται αρµονικά µε το χρόνο. ii) είναι πάντοτε µικρότερη από τη δυναµική του ενέργεια. iii) είναι πάντοτε µεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια. iv) καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης x 0 και τη µέγιστη ταχύτητα υ 0. 33) Η εξίσωση της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί α.α.τ. είναι x=αηµωt. i) Να βρεθούν οι εξισώσεις υ=f(t), α= f(t), F= f(t). Κ= f(t) και U= f(t) και ii) Να κάνετε τις γραφικές τους παραστάσεις. iii) Αν η εξίσωση της αποµάκρυνσης ήταν x=ασυνωt ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις; 34) Ένα σώµα ταλαντώνεται µε πλάτος Α. Αν διπλασιάσουµε το πλάτος ταλάντωσης: i) Θα διπλασιαστεί και η περίοδος ii) Θα διπλασιαστεί και η ενέργεια ταλάντωσης. iii) Θα τετραπλασιαστεί η περίοδος ταλάντωσης iv) Θα τετραπλασιαστεί η ενέργεια ταλάντωσης. 35) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση αν µεταβάλουµε την ολική της ενέργεια τότε µεταβάλλεται i) το πλάτος της ii) η σταθερά επαναφοράς iii) η περίοδος της iv) η µέγιστη ταχύτητα v) η µέγιστη δυναµική ενέργεια 36) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση το πλάτος της εξαρτάται i) την σταθερά επαναφοράς ii) την περίοδος της iii) την φάση της iv) την ολική της ενέργεια v) την ενέργεια που προσφέραµε εξωτερικά στο σύστηµα για να το θέσουµε σε ταλάντωση 37) Ποιες από τις προτάσεις που αφορούν την ενέργεια στην ταλάντωση είναι σωστές και ποιες λανθασµένες ; i) η µηχανική ενέργεια ταλάντωσης µεταβάλλεται αρµονικά µε το χρόνο ii) η συχνότητα µεταβολής της δυναµικής και κινητικής ενέργειας ταλάντωσης είναι ίδια µε τη συχνότητα ταλάντωσης. 38) Ένα σώµα εκτελεί α.α.τ. µε πλάτος Α και σταθερά επαναφοράς D. Τότε η ενέργεια ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Ε= η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης από την εξίσωση U =. ενώ η κινητική ενέργεια Κ =.. 39) Τι ονοµάζουµε ενέργεια ταλάντωσης και από ποια εξίσωση υπολογίζεται; 40) Απλός αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α. Αν το πλάτος ταλάντωσης διπλασιαστεί, τότε i) η περίοδος ταλάντωσης διπλασιάζεται. ii) το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς διπλασιάζεται. iii) η ολική ενέργεια του συστήµατος τετραπλασιάζεται.
Μηχανικές Ταλαντώσεις -37- iv) το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας τετραπλασιάζεται. Με ποιο ή ποια από τα παραπάνω συµφωνείτε και γιατί; 41) Κατά την α.α.τ. η υναµική Ενέργεια είναι ίση µε την Κινητική Ενέργεια. i) Αυτό συµβαίνει σε: α) Μία θέση, β) δύο θέσεις γ) τρεις θέσεις δ) τέσσερις θέσεις. ii) Ενώ στη διάρκεια µιας περιόδου συµβαίνει: α) Μία φορά, β) δύο φορές γ) τρεις φορές δ) τέσσερις φορές. 42) Ένα σώµα εκτελεί α.α.τ ξεκινώντας από τη θέση x=+α για t=0. i) Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστά, την Κινητική, υναµική και την Ενέργεια ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο; t t t t ii) Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστά την αποµάκρυνση, τη ταχύτητα και την συνισταµένη δύναµη σε συνάρτηση µε το χρόνο; 43) Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή µε ορισµένη ολική ενέργεια, να αντιστοιχίσετε κάθε µία από τις συναρτήσεις. i) U = f (x), ii) Κ = f(x) και iii) Ε ολ =f(x) µε τη γραφική της παράσταση. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 44) Στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ταλαντώνεται ένα σώµα Σ 1 µάζας 1kg µε πλάτος Α και ενέργεια ταλάντωσης 10J. Αν στο άκρο του ίδιου ελατηρίου συνδέσουµε σώµα Σ 2 µάζας 4kg το οποίο ταλαντώνεται µε το ίδιο πλάτος Α, τότε: i) Η περίοδος ταλάντωσης του Σ 2 θα ήταν τετραπλάσια αυτής του Σ 1. ii) Η ενέργεια ταλάντωσης θα τετραπλασιαζόταν. iii) Η ενέργεια ταλάντωσης θα ήταν διπλάσια. iv) Η ενέργεια ταλάντωσης παραµένει σταθερή. 45) Το σύστηµα µάζας - ελατηρίου του σχήµατος εκτελεί απλή
Μηχανικές Ταλαντώσεις -38- αρµονική ταλάντωση πλάτους x 0. Τη χρονική στιγµή t = 0 η µάζα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της, κινούµενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η αποµάκρυνση x της µάζας από τη θέση ισορροπίας της είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συµφωνείτε ή διαφωνείτε: α. Τη χρονική στιγµή t = 2 Τ 8 η επιτάχυνση έχει αλγεβρική τιµή α = 2α 0. _2 β. Η ταχύτητα της µάζας καθορίζεται κάθε στιγµή από την εξίσωση υ = υ 0 συνωί. γ. Τη χρονική στιγµή t=3 2 Τ 8 κινητική του. η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι ίση µε την δ. Η περίοδος της ταλάντωσης του συστήµατος δίνεται από την εξίσωση Τ = 2π _ 1 m k 46) Ένα σώµα µάζας m=2kg εκτελεί α.α.τ. µεταξύ των σηµείων Κ και Μ ξεκινώντας για t=0 από τη θέση ισορροπίας Ο κινούµενο προς την θετική κατεύθυνση, µε περίοδο Τ=1s και πλάτος Α=1m. i) Καθώς πλησιάζει προς το σηµείο Λ η δυναµική του ενέργεια (αυξάνεται, µειώνεται). ii) Μεγαλύτερη δυναµική ενέργεια έχει: α) στο Ο β) στο Λ γ) στο Μ. iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχει: α) στο Ο β) στο Λ γ) στο Μ. iv) Αν η κινητική του ενέργεια από το Λ στο Μ µειώνεται κατά 15J, τότε µεταξύ των δύο αυτών θέσεων θα έχουµε: Κ=.. U =... Ε ταλ = W Fεπαν =.. v) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα t (s) x (m) U (J) Κ (J) Ε ταλ (J) 0,00 0,25 0,75 47) Τα σώµατα Β και Γ ίσων µαζών ηρεµούν όπως στο σχήµα δεµένα στα άκρα δύο όµοιων ελατηρίων. Εκτρέπουµε κατακόρυφα το πρώτο κατά Α και το δεύτερο κατά 2Α και την ίδια στιγµή τα αφήνουµε να ταλαντωθούν. i) Πρώτο στη θέση ισορροπίας θα φτάσει: α) το σώµα Β β) το σώµα Γ γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα. ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα θα αποκτήσει: α) το σώµα Β β) το σώµα Γ
Μηχανικές Ταλαντώσεις -39- γ) θα αποκτήσουν την ίδια µέγιστη ταχύτητα iii) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης έχει: α) το σώµα Β β) το σώµα Γ γ) έχουν ίσες ενέργειες ταλάντωσης 48) Τα σώµατα του διπλανού σχήµατος έχουν µάζες m και 2m, ενώ τα δύο ελατήρια είναι όµοια. Εκτρέπουµε κατά Α και τα δύο σώµατα και την ίδια στιγµή τα αφήνουµε ελεύθερα να ταλαντωθούν. i) Πρώτο στη θέση ισορροπίας θα φτάσει: α) το πρώτο σώµα β) το δεύτερο σώµα γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα. ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα θα αποκτήσει: α) το πρώτο σώµα β) το δεύτερο σώµα γ) θα αποκτήσουν την ίδια µέγιστη ταχύτητα iii) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης έχει: α) το πρώτο σώµα β) το δεύτερο σώµα γ) έχουν ίσες ενέργειες ταλάντωσης 49) Εκτρέπουµε ένα σώµα από τη θέση ισορροπίας κατά x=+α και για t=0 το αφήνουµε να ταλαντωθεί. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστά σε συνάρτηση µε το χρόνο: i) Την ενέργεια ταλάντωσης ii) Τη δυναµική ενέργεια ταλάντωσης iii) Την κινητική ενέργεια. 50) Ένα σώµα µάζας εκτελεί α.α.τ. ξεκινώντας για t=0 από τη θέση ισορροπίας Ο κινούµενο προς την θετική κατεύθυνση. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστά σε συνάρτηση µε το χρόνο: i) Την ενέργεια ταλάντωσης ii) Τη δυναµική ενέργεια ταλάντωσης iii) Την κινητική ενέργεια.