ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

Transcript

1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Μετασχηματισμός Fourier Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοπός Μελέτη Μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες του 4

5 Μετασχηματισμός Fourier - Ιδιότητες - y(t) x(t)*h(t) ( ) H( ) x (t) dt ( ) d

6 Απόδειξη: Θεώρημα Parseval x(t) dt ( ) d 2 jt x(t) dt x(t) x (t) dt x(t) ( ) e ddt 2 2 * 1 * Αναστρέφοντας τη σειρά ολοκλήρωσης 1 * jt 1 * ( ) x(t) e dt d ( ) ( ) d ( ) 2 d 6

7 Θεώρημα Parseval x(t) dt ( ) d 2 Η συνολική ενέργεια του σήματος x(t) μπορεί να υπολογιστεί είτε από την ενέργεια ανά μονάδα χρόνου x(t) 2 και ολοκλήρωση σε όλο το χρόνο, είτε από την ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας Χ(Ω) 2 /2π και ολοκλήρωση σε όλες τις συχνότητες. Η Χ(Ω) 2 ονομάζεται και πυκνότητα φάσματος ενέργειας. 7

8 Συνέλιξη F y(t) h(t)*x(t) Y( ) ( ) ( ) Απόδειξη: MF του y(t): jt Y ( ) h( ) x(t ) e dt Εναλλάσσοντας τη σειρά ολοκλήρωσης jt h( ) x(t ) e dtd Θέτοντας t =t-τ jt jt ' jt jt ' h( ) e x(t') e dt ' d h( ) e d x(t') e dt ' ( ) ( ) 8

9 Παράδειγμα 1. Διασύνδεση ΓΧΑ συστημάτων σε σειρά Χ(Ω) Η1(Ω) Η2(Ω) Υ(Ω) Χ(Ω) Η2(Ω) Η1(Ω) Υ(Ω) Χ(Ω) Η(Ω) Υ(Ω) Η(Ω)=Η1(Ω)Η2(Ω)=Η2(Ω)Η1(Ω) 9

10 Παράδειγμα 2. Να υπολογιστεί ο MF της εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου η κρουστική απόκριση ισούται με δ(t-t o ) h(t) (t t ) ( ) o e jt o Άρα jto Y ( ) ( ) ( ) e X ( ) Το αποτέλεσμα αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού για h(t)=δ(t-t o ) η είσοδος x(t) παράγει έξοδο y(t)=x(t-t o ) και με βάση την ιδιότητα της jt ολίσθησης στον χρόνο ο MF της y(t) είναι o. Y ( ) e X ( ) 10

11 Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί η MF ενός συστήματος διαφόρισης. Η έξοδος y(t) ενός ΓΧΑ συστήματος διαφόρισης του οποίου η είσοδος είναι x(t), δίνεται από τη σχέση Από την ιδιότητα διαφόρισης έχουμε Και συνεπώς dx(t) y(t) dt Y( ) j( ) H( ) j 11

12 Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί η H(Ω) ενός συστήματος ολοκλήρωσης. Η έξοδος y(t) ενός ΓΧΑ συστήματος ολοκλήρωσης του οποίου η είσοδος είναι x(t), δίνεται από τη σχέση Από την ιδιότητα διαφόρισης έχουμε Y ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j Και συνεπώς 1 ( ) ( ) j t y(t) x( )d που δεν είναι άλλο από τον MF της βηματικής συνάρτησης. 12

13 Παράδειγμα 5. Να σχεδιαστεί το φάσμα του σήματος y(t)=s(t)x(t), όπου s(t)=cosω 0 t και x(t) σήμα το φάσμα του οποίου είναι αυτό του σχήματος. 1 Y ( ) ( )*S( ) 2 13

14 1 Y ( ) ( )*S( ) 2 Ο πολλαπλασιασμός δυο σημάτων αναφέρεται ως διαμόρφωση πλάτους (ΑΜ-Amplitude Modulation) Από την ιδιότητα της ολίσθησης στη συχνότητα είχαμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσμα: 1 Y ( ) X ( 0) X ( 0) 2 14

15 Έχουμε υποθέσει ότι Ω 0 >Ω 1 ώστε να μην υπάρχει επικάλυψη φάσματος. Παρατηρούμε ότι με τον πολλαπλασιασμό του σήματος x(t) με ένα ημιτονοειδές σήμα, όλη η πληροφορία του σήματος x(t) διατηρείται, αν και η πληροφορία αυτή έχει ολισθήσει σε υψηλότερες συχνότητες. 15

16 Παράδειγμα 6. Να σχεδιαστεί το φάσμα του σήματος g(t)=s(t)y(t), όπου s(t) και y(t) τα σήματα του προηγούμενου παραδείγματος. 1 G( ) Y( )*S( ) 2 16

17 Εφαρμόζοντας ένα βαθυπερατό φίλτρο, όπως αυτό του παρακάτω σχήματος, μπορούμε να πάρουμε ένα σταθμισμένο αντίγραφο του αρχικού φάσματος Χ(Ω). Ιδανικό φίλτρο '( ) F( ) G( ) 17

18 Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί η MF του σήματος x(t) 1 ( ) 1( ) 2( ) 2 Οι Χ 1 (Ω), Χ 2 (Ω) είναι τετραγωνικοί παλμοί. t sin t sin 2 To x(t) μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο δύο σημάτων: t sin 1 sin t 1 x(t) 2 x1(t) x2(t) t 2 t 2 Με βάση την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού t 2 18

19 Οπότε: 19

20 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα Ι,». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 20