F 1. θ O. m g. m g L 1. -1,6+1,6+1,5 3 +2,5 3 +τ Τ =0 τ Τ =-4 3Ν m. N x

Transcript

1 υο _ράβδοι Το στερεό του σχήµατος αποτελείται από δυο ράβδους. Την (ΟΒ)= =0,m µε µάζα m =3Kg και την (Β)= =0,6m µε µάζα m =Kg, που συγκολλούνται στο κοινό τους άκρο Β. Κάθετα στις δυο ράβδους F ασκούνται οι δυνάµεις F =6N και F =N µε τη ορά που αίνεται στο σχήµα. H F εαρµόζεται στο άκρο της Β και η F στο µέσο Α της ΟΒ. Λόγω τριβών µε τον άξονα περιστροής το σύστηµα ισορροπεί σχηµατίζοντας γωνία =60 0 µε την κατακόρυο. α) Ποια είναι η συνολική ροπή που ασκείται στη ράβδο από την τριβή µε τον άξονα περιστροής; β) Ποια είναι η συνολική δύναµη F που ασκείται από τον άξονα περιστροής στη ράβδο όταν αυτή ισορροπεί; γ) Ρίχνουµε λίγο λαδάκι και m µηδενίζουµε τις τριβές µε τον άξονα περιστροής οπότε το υ σύστηµα ξεκινά να περιστρέεται από την ηρεµία. Τότε να υπολογιστεί το έργο όλων των δυνάµεων και η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος µόλις αυτό γίνει κατακόρυο για πρώτη ορά. δ) Αν εκείνη τη στιγµή που γίνεται κατακόρυο, συγκρούεται ελαστικά στο κατώτερο άκρο του, µε σηµειακή µάζα m=kg που κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=0m/s σχηµατίζοντας µε την κατακόρυο, γωνία 30 0, και αν θεωρήσουµε τις επιάνειες λείες, τότε: i) Να υπολογιστούν η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου καθώς και η ταχύτητα της µάζας m αµέσως µετά την κρούση. ii) Πόση είναι η µέγιστη ενέργεια παροδικής παραµόρωσης; ε) Πόση είναι η αντίδραση από τον άξονα στήριξης αµέσως µετά την κρούση; ίνεται 3 =,7 και η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς το Κ.Μ της είναι Ι= m.

2 Λύση: α) Ισχύει: Στ (ο) =0 -F +F ( + )+m g ηµ + m g ηµ ( + )+τ Τ =0 -,6+,6+,5 3 +,5 3 +τ Τ =0 τ Τ =-4 3Ν m. β) ΣF x =0 N x - m g συν- m g συν=0 N x =5+5 N x =0Ν. Ακόµη ΣF y =0 N y - m g ηµ- m g ηµ-f +F =0 N y =0 N y =0 3-4 N y =34-4 N y =0N. Άρα Ν= θ=45 0. N x + N Ν=0 Ν µε y N x N θ N y F m g m g F γ) h = + - συν h =0,8-0,05 h =0,75m h = + h =0,7m ακόµη h = + -( + ) συν h =0,8-0,5 h =0,55m και h = h =0,3m. Τότε W w =m g ( h - h )=30 0,05=,5J και W w =m g ( h - h )=0 0,5=,5J. Ακόµη W F =-F 3 π =-6 0, 3 π =-,6 3 π J και W F =F ( + ) 3 π = 0,8 3 π =,6 3 π J και Wολ =4J.

3 3 Παρατήρηση: ια το κέντρο µάζας του συστήµατος που βρίσκεται στο σηµείο Β είναι h = + - συν60 0 =0,8-0,=0,7m και h = =0,6m και W w =(m +m ) g h=40 0,=4J. Ακόµη Ι = 3 m =0,04Kg m και Ι = m +m ( + ) =0,03+0,5=0,8 Kg m άρα Ι=0,04+0,8=0,3 Kg m. Θ.Μ.Κ.Ε:Κ τελ =W ολ Ι ω = W ολ ω =5 ω=5rad/s. F h h F h h

4 4 δ) i) Θεωρούµε τις επιάνειες λείες, τότε η κατακόρυη συνιστώσα υ y =υ y =υ συν=5 3 m/s παραµένει αµετάβλητη σε όλη τη διάρκεια της κρούσης. Λόγω της µικρής διάρκειας της κρούσης η συµβολή του βάρους είναι ασήµαντη. Είναι Στ εξ =0 άρα ισχύει η Α..Σ: r αρχ= r τελ ή m υ ηµ30 0 ( + )-I ω=ι ω +mυ x ( + ) x 4-0,3 5=0,3 ω +0,8 υ x υ x +0,4 ω =3 ω = 0,4 F και Α..Μ.Ε: m υ + Ι ω = m υ + Ι ω, όπου υ = υ x + υ y = υ x +75, άρα έχουµε ,3= υ +0,3 ω 08= υ x +75+0,3 ( x ) 0,4 08= υ x +75+ (3- υ x ) m 08= υ x +75+ (9+υ x -6 υ x ) 5= υ x + υ x - υ x 3 υ x - υ x -5=0 υ x -4υ x -5=0 υ x =-m/s και υ F εθ=5 3 Τότε είναι ω = x =0rad/s. υ x m 0,4 υ υ y ii) Α..Σ: r αρχ= r τελ ή m υ ηµ30 0 ( + )-I ω=ι ολ ω κ όπου Ι ολ =Ι+m( + ) =0,3+0,64=0,96Kg m 4-0,3 5=0,96 ω κ ω κ =,5rad/s. Τότε η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας της µάζας m, τη στιγµή της µέγιστης ελαστικής ενέργειας παραµόρωσης θα είναι υ xκ =ω κ ( + ) υ xκ =m/s, ενώ η κατακόρυη συνιστώσα είναι σταθερή και ίση µε υ yκ = υ συν=5 3 m/s. H ολική ταχύτητα της µάζας m είναι υ κ = υ xκ + υ yκ =79 υ κ = 79 m/s. Τότε Κ αρχ = m υ + Ι ω =50+0,6 5=54J και τη στιγµή της µέγιστης παροδικής παραµόρωσης θα είναι Κ= m υκ + Ι ωκ = 79+ 0,3 6,5=39,5+=40,5J. Τότε η µέγιστη ενέργεια παροδικής παραµόρωσης είναι Q=54-40,5=3,5J. ε) ια τη γραµµική ταχύτητα του Κ.Μ του συστήµατος που βρίσκεται στο σηµείο Β, είναι υ=ω =0 0,=m/s και η κεντροµόλος επιτάχυνση του Κ.Μ είναι υ α κ = =0m/s. Άρα Ν-(m +m ) g=(m +m ) α κ Ν=40+80 Ν=0Ν.

5 5 Ακόµη για τη γραµµική ταχύτητα του Κ.Μ της m, είναι υ =ω =0 0,=m/s και υ η κεντροµόλος επιτάχυνση του Κ.Μ είναι α κ = =0m/s και / F k =m α κ =3 0=30Ν. Παρόµοια για τη µάζα m, είναι υ =ω ( + )=0 0,5=5m/s και η κεντροµόλος επιτάχυνση του Κ.Μ είναι α κ = υ + ( / ) =50 m/s και F k =m α κ = 50 =50 Ν. Τότε Ν-(m +m ) g= F k + F k Ν= Ν=0Ν.