Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α. (α) υ 2 = 0

Transcript

1 ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.. Σε κάθε κρούση ανάµεσα σε δύο σώµατα µικρών διαστάσεων : (ϐ) η µεταβολή της ορµής του ενός είναι αντίθετη της µεταβολής της ορµής του άλλου σώµατος. Α.2. ύο σφαίρες Σ και Σ 2 Κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητες υ = +5m/s και υ 2 = 8m/s. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν µετά την κρούση η ταχύτητα της Σ είναι υ = 3m/s τότε η ταχύτητα της Σ 2 µετά την κρούση είναι : (α) υ 2 = 0 Α.3. Μια σφαίρα Σ µάζας m συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε άλλη ακίνητη σφαίρα Σ 2 µάζας 3m. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες ϑα έχουν : (ϐ) αντίθετες ταχύτητες. Α.4. ύο σφαίρες, οι οποίες κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία µε αντίθετες ορµές συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Το ποσοστό % της κινητικής ενέργειας του συστήµατος των δύο σφαιρών που µετατρέπεται σε ϑερµότητα εξαιτίας της κρούσης ισούται µε : (δ)00%

2 Α.5. (α) Στην ανελαστική κρούση δεν ισχύει η διατήρηση της ορµής. Λάθος (ϐ) Οταν δύο σφαίρες µε ίσες µάζες συγκρουστούν κεντρικά και ελαστικά ανταλλάσσουν κινητικές ενέργειες. Σωστό (γ) Οταν µια σφαίρα προσπίπτει πλάγια σε έναν τοίχο και συγκρούεται ελαστικά µε αυτόν,η δύναµη που δέχεται από τον τοίχο κατά την επαφή, έχει την διεύθυνση της τελικής ταχύτητας του σώµατος. Λάθος (δ) Στην έκκεντρη κρούση δύο σφαιριδίων, οι ταχύτητες των σωµάτων ϐρίσκονται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους. Λάθος (ε) Κατά την σκέδαση δύο υποατοµικών σωµατιδίων, τα σωµατίδια έρχονται σε επαφή µεταξύ τους για ελάχιστο χρονικό διάστηµα. Λάθος Θέµα Β Β.. Νετρόνιο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε ακίνητο σωµάτιο - α (πυρήνας ηλίου He 4 2 ) και επιβραδύνεται. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που χάνει το νετρόνιο λόγο της κρούσης είναι : (γ)64% Να λάβετε υπόψη ότι το πρωτόνιο και το νετρόνιο έχουν περίπου την ίδια µάζα m p = m n = m. Λύση Η µάζα του σωµατίου α είναι m 2 = 2m p + 2m n = 4m. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, άρα µετά την κρούση τα σώµατα αποκτούν ταχύτητες υ και υ 2. υ = m m 2 υ = 3υ m + m 2 5 υ 2 = 2m υ = 2υ m + m

3 Το Ϲητούµενο ποσοστό ϑα είναι : K K 00% = [ K ]00% = [ υ 2 K K υ 2 ]00% = 64% Β.2. Τρεις µικρές σφαίρες Σ, Σ 2 και Σ 3 ϐρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι σφαίρες έχουν µάζες m = m, m 2 = m και m 3 = 3m αντίστοιχα. υ 2 3 ίνουµε στην σφαίρα Σ ταχύτητα µέτρου υ και συγκρούεται ελαστικά µε την δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ 2. Στην συνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ 2 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε την τρίτη σφαίρα Σ 3. Η τρίτη σφαίρα αποκτά τότε ταχύτητα µέτρου υ 3. Ο λόγος των µέτρων των ταχυτήτων υ 3 υ είναι : (ϐ) 2 Λύση Στην πρώτη κρούση τα σώµατα ϑα ανταλλάξουν ταχύτητες αφού έχουν τις ίδιες µάζες και συγκρούονται ελαστικά. υ = 0, υ 2 = υ. Για την δεύτερη κρούση ϑα ισχύει : υ 2 = m 2 m 3 υ = υ m 2 + m 3 2 υ 3 = 2m 2 m 2 + m 3 υ = υ 2 υ 3 υ = 2 3

4 Β.3. ύο σφαιρίδια ίσων µαζών κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητες ίσου µέτρου υ. Οι ϕορείς των ταχυτήτων τους σχηµατίζουν γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση όπως ϕαίνεται στο σχήµα. υ υ Πριν φ φ Μετά Κάτοψη Τα σφαιρίδια συγκρούονται πλαστικά και το συσσωµάτωµα που προκύπτει κινείται στην οριζόντια διεύθυνση µε ταχύτητα µέτρου V = 0, 5 3υ. Η γωνία φ είναι ίση µε : (γ) 30 o Λύση Για την κρούση εφαρµόζω την Αρχή ιατήρησης της Ορµής στον οριζόντιο άξονα αφού αναλύσω τις ταχύτητες πριν την κρούση σε συνιστώσες. mυ x + mυ x = 2mV υσυνφ = 0, 5 3υ συνφ = V 3 2 φ = 30o *Εναλλακτικά µπορώ να χρησιµοποιήσω και την Α..Ο. στην διανυσµατική της µορφή : P + P 2 = P k (mυ) 2 + (mυ) 2 + 2mυmυσυν(2φ) = 2mV

5 Θέµα Γ Σφαίρα Σ µάζας m εκτοξεύεται από σηµείο Α οριζοντίου δαπέδου µε ταχύτητα υ o = 0m/s. Αφού διανύσει διάστηµα S = 8m συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε σφαίρα Σ 2 µάζας m 2 > m που ηρεµεί ακίνητο στο σηµείο Γ. Μετά την κρούση το Σ 2 κινείται οριζόντια στο λείο τµήµα Γ του επιπέδου και προσκρούει ελαστικά σε κατακόρυφο τοίχο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του τµήµατος ΑΓ του επιπέδου είναι ίσος µε µ = 0,. Α υο Τραχύ επίπεδο S Γ 2 Λείο επίπεδο Γ. Να ϐρεθεί ο λόγος των µαζών m m 2, ώστε µετά την πρώτη κρούση οι δύο σφαίρες να αποκτήσουν αντίθετες ταχύτητες. Το Σ επιβραδύνεται εξαιτίας της τριβής και συγκρούεται µε το Σ έχοντας πριν την κρούση ταχύτητα υ. Αφού οι ταχύτητες µετά την κρούση είναι αντίθετες τότε : υ = υ 2 m m 2 υ = 2m υ m = m + m 2 m + m 2 m 2 3 Γ.2 Να ϐρεθεί το ποσοστό της Κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ που µεταβιβάστηκε στην σφαίρα Σ 2 κατά την κρούση. Η ταχύτητα του Σ 2 µετά την κρούση ϑα είναι : S Δ υ 2 = 2m υ = υ m + m

6 K 2 K 00% = 2 m 2υ m υ 2 00% = 3 (υ 2 ) 2 υ 2 00% = 75% Γ.3 Να ϐρεθεί η ελάχιστη απόσταση της σφαίρας Σ από το σηµείο Α όταν αυτή ακινητοποιηθεί. Εφαρµόζουµε το ΘΜΚΕ για τον υπολογισµό της ταχύτητας υ της Σ πριν την κρούση. K = ΣW 2 m υ 2 2 m υ 2 o = T S = µm gs υ = 8m/s Η ταχύτητα του σώµατος µετά την κρούση είναι υ = υ 2 = 4m/s. Ε- ϕαρµόζω ένα δεύτερο ΘΜΚΕ µέχρι την ακινητοποίηση του Σ µετά την κρούση. K = ΣW 0 2 m υ 2 = T S = µm gs S = υ 2 2µg = 8m Αρα αφού σταµατάει στα 0, 8m αριστερά του Γ απέχει d = 8 8 = 0m από το σηµείο Α Γ.4 Να ϐρεθεί ο χρόνος που απαιτείται για να έρθουν οι σφαίρες ξανά σε επαφή. Θα συγκρουστούν ; Η Σ 2 ϑα εκτελέσει Οµαλή Κίνηση µέχρι να συγκρουστεί στον κατακόρυφο τοίχο για χρονικό διάστηµα t = S υ 2 = 4, 5s. Μετά την κρούση στον τοίχο που η διάρκεια της είναι αµελητέα το µέτρο της ταχύτητας δεν ϑα αλλάξει, αφού η κρούση είναι ελαστική. Αρα συνεχίζει να κινείται Οµαλά µέχρι το σηµείο Γ για το ίδιο χρονικό διάστηµα t. Αρα για να επανέλθει στο σηµείο Γ απαιτείται χρονικό διάστηµα 9s. Το σώµα ϑα σταµατήσει λόγο της τριβής σε χρονικό διάστηµα t 2. a = Σf m = T m = µmg m 6 = µg = m/s2

7 Ο χρόνος για να σταµατήσει ϑα είναι : 0 υ 2 a t 2 t 2 = 4s Ο χρόνος που απαιτείται για την συνάντηση τους είναι = 3s Η επιβράδυνση ϑα είναι ίδια και για τα δύο σώµατα αφού είναι ανεξάρτητη της µάζας. Αρα τα δύο σώµατα ϑα σταµατούν στο ίδιο σηµείο αφού έχουν ίδιες αρχικές ταχύτητες όταν ξεκινούν να επιβραδύνονται. Αυτό σηµαίνει ότι δεν ϑα συναντηθούν µε µηδενικές ταχύτητες. Θέµα Από την κορυφή λείου κατακόρυφου οδηγού σχήµατος τεταρτοκυκλίου και ακτίνας R =, 25m αφήνεται σώµα Σ µάζας m = 2kg. Οταν το σώµα ϕτάνει στην ϐάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε ακίνητο σώµα Σ 2 µάζας m 2 = 3kg. Μετά την κρούση το Σ 2 ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο τραχύ δάπεδο µε το οποίο εµφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ = 0, και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε σώµα Σ 3 µάζας m 3 = 6kg, αφού διανύσει απόσταση S = 3, 5m. Το Σ 3 είναι στερεωµένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου, που ϐρίσκεται στο ϕυσικό του µήκος και έχει το άλλο άκρο του ακλόνητο σε κατακόρυφο τοίχο. Η σταθερά του ελατηρίου δίνεται k = 2, 5N/m και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάµεσα στο συσσωµάτωµα των Σ 2 και Σ 3 µε το δάπεδο δίνεται µ 2 = 0, 25.. Να ϐρεθούν οι αλγεβρικές τιµές των ταχυτήτων των σωµάτων Σ και Σ 2 µετά την µεταξύ τους κρούση. Το Σ ϑα αποκτήσει στην ϐάση του τεταρτοκυκλίου ταχύτητα υ µε την οποία ϑα συγκρουστεί ελαστικά µε το Σ 2. Με την Α ΜΕ µπορούµε να την υπολογίσουµε : m gr 2 m υ 2 υ = 2gR = 5m/s 7

8 R R 2 3 Οι ταχύτητες µετά την ελαστική κρούση ϑα είναι : υ = m m 2 υ = m/s m + m 2 S υ 2 = 2m υ = 4m/s m + m 2.2 Να ϐρεθεί η µέγιστη παραµόρφωση του ελατηρίου. Το Σ 2 µετά την κρούση επιβραδύνεται και πριν συγκρουστεί µε το Σ 3 έχει ταχύτητα υ την οποία ϑα ϐρω µε ΘΜΚΕ κατά την επιβράδυνση του πριν την κρούση. K = ΣW 2 m 2υ 2 2 m 2υ 2 2 = T S = µ m 2 gs υ = 3m/s Για την πλαστική κρούση που ακολουθεί εφαρµόζω την Αρχή ιατήρησης της Ορµής, ώστε να υπολογίσω την ταχύτητα του συσσωµατώµατος. m 2 υ = (m 2 + m 3 )υ 2 k υ k = m/s Το συσσωµάτωµα επιβραδύνεται µετά την κρούση εξαιτίας της τριβής και της δύναµης από το ελατήριο που συσπειρώνεται. Στην µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου το συσσωµάτωµα στιγµιαία σταµατάει, έχοντας διανύσει 8

9 διάστηµα d. Για να ϐρω την µέγιστη συσπείρωση ( l max = d)εφαρµόζω το ΘΜΚΕ. K = ΣW 0 2 (m 2 + m 3 )υ 2 k = W T + W Fελ 2 (m 2 + m 3 )υ 2 k = µ 2 (m 2 + m 3 )gd kd2 2, 5d , 5d 9 = 0 d = 0, 2m.3 Να ϐρεθεί το ποσοστό της µηχανικής ενέργειας του Σ που µετατράπηκε σε ενέργεια παραµόρφωσης του ελατηρίου, όταν το ελατήριο είναι στην ϑέση µέγιστης παραµόρφωσης. U ελ E µηχ 00% = 2 kd2 00% = 9% m gr.4 Να ϐρεθεί το µέτρο του ϱυθµού µεταβολής της ορµής του Σ την στιγµή που ϕτάνει στο µέγιστο ύψος µετά την κρούση του µε το Σ 2. Το Σ ϕτάνει στο µέγιστο ύψος όταν ακινητοποιείται στιγµιαία. Το ύψος αυτό µπορεί να υπολογιστεί µε την Α ΜΕ. 2 m υ 2 = m gh h = 0, 05m Ο Ϲητούµενος ϱυθµός ϑα είναι : dp dt = ΣF = (ΣF x ) 2 + (ΣF y ) 2 = ΣF x = w x = m gηµφ = 2 6kgm/s *Σηµειώνω ότι η ΣF y είναι κάθετη στην ταχύτητα και παίζει τον ϱόλο της κεντροµόλου δύναµης η οποία έχει στιγµιαία µηδενιστεί στο µέγιστο ύψος. 9

10 R w φ R-h * Το ηµφ ϑα υπολογιστεί από το σχήµα : ηµφ = R2 (R h) 2 ) Επιµέλεια : ρ. Μιχάλης Καραδηµητρίου, Φυσικός R 0