1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 3 Αυγούστου 2014 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

Transcript

1 1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 3 Αυγούστου 2014 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η αποµάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγµή : (α) έχουν πάντα αντίθετο πρόσηµο Α.2. Η δύναµη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώµα µάζας m που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση είναι ίση µε F. Το πηλίκο F m : (ϐ) µεταβάλλεται αρµονικά σε σχέση µε το χρόνο Α.3. Σφαίρα Σ 1 συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε ακίνητη σφαίρα Σ 2 τετραπλάσιας µάζας. Μετά την κρούση (δ) ισχύει P 1 = P 2, όπου P 1, P 2 οι µεταβολές των ορµών των δύο σφαιρών. Α.4. Σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και η αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας του δίνεται από το παρακάτω διάγραµµα. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο ϑα είναι : (δ) x = 4ηµ(πt + 5π 6 ) 1

2 Α.5. (α) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η ενέργεια µεταβάλλεται περιοδικά µε τον χρόνο. Λ (ϐ) Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Σ (γ) Στις ανελαστικές κρούσεις δεν διατηρείται η ορµή. Λ (δ) Η κρούση δύο πρωτονίων ονοµάζεται σκέδαση. Σ (ε) Η σταθερά επαναφοράς της απλής αρµονικής ταλάντωσης εξαρτάται από την γωνιακή συχνότητα.λ Θέµα Β Β.1. Ενα σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση ενέργειας Ε. Τις χρονικές στιγµές που το µέτρο της επιτάχυνσης είναι ίσο µε το µισό της µέγιστης τιµής της ( α = α max 2 ), η κινητική ενέργεια (Κ) είναι ίση µε : (γ) 3E 4 α = α max ω 2 x = ω2 A x = A Άρα : U = 1 2 Dx2 = E 4 E = K + U K = E U = 3E 4 Β.2. Τρεις σφαίρες Α,Β και Γ µε µάζες 2m, m, 3m αντίστοιχα, έχουν τα κέντρα τους στην ίδια ευθεία και ηρεµούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η σφαίρα Β εκτοξεύεται προς την σφαίρα Γ µε ταχύτητα υ o, όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Αν όλες οι κρούσεις που συµβαίνουν είναι κεντρικές και ελαστικές, τότε 2m m 3m A B Γ ο συνολικός αριθµός κρούσεων που ϑα γίνουν είναι : (α) 2 Κρούση Β, Γ: υ Γ = 6m 4m υ o υ Γ = 3υ o 2 και υ B = m 3m 4m υ o υ B = υ o 2 2

3 Κρούση Β, Α : υ A = 4m 3m υ B υ A = 2υ o 3 και υ B = m 2m 3m υ B υ B = υ o 6 Στο τέλος τα Β, Γ έχουν την ίδια ϕορά, αλλά δεν συγκρούονται γιατί η σφαίρα Γ έχει µεγαλύτερη ταχύτητα από την Β (υ Γ > υ B ) Β.3. ύο σώµατα της ίδιας µάζας m κινούνται µε ταχύτητες ίδιου µέτρου υ, όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα και συγκρούονται πλαστικά. Μετά την υ υ Πριν φ φ Μετά κρούση το συσσωµάτωµα κινείται µε ταχύτητα µέτρου υ = υ 2. Η γωνία φ που σχηµατίζει η διεύθυνση κίνησης καθενός από τα δύο σώµατα πριν την κρούση µε την διεύθυνση κίνησης του συσσωµατώµατος είναι : (γ) 60 Εφαρµόζω την Αρχή ιατήρησης της Ορµής : P oλ(πριν) = P oλ(µετά) (mυ)2 + (mυ) 2 + 2(mυ)(mυ)συν(2φ) = (m + m)υ συν(2φ) = υ' 1 2 2φ = 120 2ος τρόπος! Αν επιλέξω να αναλύσω τις ταχύτητες πριν την κρούση σε κάθετες συνιστώσες και να χρησιµοποιήσω την διατήρηση της ορµής στον 3

4 οριζόντιο άξονα τότε : mυ x + mυ x = (m + m)υ υσυνφ + υσυνφ = 2 υ 2 συνφ = 1 2 φ = 60 Θέµα Γ Μικρό σώµα µάζας m = 2kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω, σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση κατάλληλης δύναµης ΣF = f(x), που η τιµή της µεταβάλλεται σύµφωνα µε το ακόλουθο διάγραµµα. Σας είναι γνωστό ότι το σώµα την χρονική στιγµή t = 0 διέρχεται επιβραδυνόµενο από την ϑέση x = A. Από το διάγραµµα υπολογίζω το πλάτος A = 0, 4m και από την κλίση του την σταθερά επαναφοράς D = 50N/m. 2 για την αρχική ϕάση : x = + 2 A = Aηµ(φ o) ηµ(φ o ) = ηµ( π 4 ) και υ > 0 συν(φ o ) > 0 φ o = π 4 rad Γ.1. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστηµα t για δύο διαδοχικούς µηδενισµούς της Κινητικής Ενέργειας. t = T 2 = π 5 s Γ.2. Να γραφτούν οι χρονικές εξισώσεις f(t) της αποµάκρυνσης (x), ταχύτητας (υ), επιτάχυνσης (α) του σώµατος και να σχεδιαστεί το διάγραµµα αποµάκρυνσης - χρόνου (x t). Οι χρονικές εξισώσεις στο S.I. είναι : x = 0, 4ηµ(5t + π 4 ), υ = 2συν(5t + π 4 ), x = 10ηµ(5t + π ) και το 4 διάγραµµα ϑέσης - χρόνου : Γ.3. Να υπολογίσετε την ελάχιστη χρονική διάρκεια για την µετάβαση του σώµατος από την αρχική ϑέση, στην ϑέση που µηδενίζεται για δεύτερη ϕορά η υναµική Ενέργεια. 4

5 x (m ) 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4 0 1 t(s e c ) Η δυναµική ενέργεια µηδενίζεται για δεύτερη ϕορά, όταν το σώµα διέρχεται από την Θ.Ι.Τ. µε αρνητική ταχύτητα. Με τη χρήση του περιστρε- ϕόµενου διανύσµατος προκύπτει : φ = 2π π φ t = 4 ω = 7π 20 s (Θα µπορούσε να λυθεί και µε την χρήση της εξίσωσης κίνησης!) Γ.4. Να υπολογίσετε τον ϱυθµό µεταβολής της Κινητικής Ενέργειας την χρονική στιγµή που το µέτρο της δύναµης ΣF είναι ίσο µε το µισό της µέγιστης τιµής της για πρώτη ϕορά µετά την t = 0. dk DA = ΣF υ = Dxυ, επίσης ΣF = dt 2 = Dx x = ±A = ±0, 2m 2 Με την χρήση της Α ΕΤ προκύπτει η ταχύτητα : E = K + U υ = ± 3m/s. Για πρώτη ϕορά x = 0, 2m και υ = 3 Άρα dk dt = +10 3J/s Θέµα Σώµα Σ µάζας M = 0, 5kg, έχει στο εσωτερικό του ωρολογιακό εκρηκτικό µηχανισµό, ο οποίος ενεργοποιείται την χρονική στιγµή t = 0. Με κατάλληλο τρόπο το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο δάπεδο ανάµεσα σε δύο ακραίες ϑέσεις P, P που απέχουν µεταξύ 5

6 τους απόσταση d = 10m. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης από την ϑέση ισορροπίας Ο ϑα δίνεται στο S.I. από την σχέση : x = Aηµ(10t + π 3 ) Από την εκφώνηση προκύπτει το πλάτος της ταλάντωσης d = 2A A = 5m, η γωνιακή συχνότητα ω = 10rad/s και η σταθερά επαναφοράς D = Mω 2 = 50N/m.1. Για την ταλάντωση του σώµατος Σ να γράψετε την εξίσωση της υνα- µικής και της Κινητικής ενέργειας σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση από την Θέση ισορροπίας f(x) και να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα διαγράµµατα σε κοινό σύστηµα ϐαθµολογηµένων αξόνων. Η ενέργεια της ταλάντωσης ϑα είναι E = 1 2 DA2 = 625J, η δυναµική και η κινητική ενέργεια ϑα δίνονται στο S.I. από τις σχέσεις : U = 1 2 Dx2 U = 25x 2 και K = E U K = x 2 µε 5m x +5m U, K (J ) x (m ) 6

7 .2. Την χρονική στιγµή t 1 = π s γίνεται η προγραµµατισµένη έκρηξη, µε 60 αποτέλεσµα την δηµιουργία ϑραυσµάτων Σ 1 και Σ 2 µε µάζες m 1 = m 2 τα οποία συνεχίζουν να κινούνται στον οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητες υ 1 και υ 2 αντίστοιχα. Αν σας είναι γνωστό το µέτρο της ταχύτητας υ 2 = υ max 5, όπου υ max η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης τότε να υπολογιστούν : (α) η ϑέση και η ταχύτητα του σώµατος Σ την χρονική στιγµή t 1, Με αντικατάσταση του χρόνου στην χρονική εξίσωση της αποµάκρυνσης προκύπτει x = +5m, άρα ακραία ϑέση, οπότε υ = 0. (ϐ) η ταχύτητα υ 1 του Σ 1 µετά την έκρηξη. Από την Αρχή ιατήρησης της Ορµής προκύπτει : P oλ(πριν) = P oλ(µετά) 0 = mυ 1 + mυ 2 υ 1 = υ 2 υ 1 = 10m/s..3. Μετά την έκρηξη το σώµα Σ 2 κινείται προς τα δεξιά και εισέρχεται σε τµήµα δαπέδου µήκους S = 6m µε το οποίο εµφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ = 0, 6 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε σώµα Σ 3, µάζας m 3 που είναι στερεωµένο στο κάτω άκρο νήµατος µήκους l = 0, 4m και ισορροπεί κρεµασµένο από την οροφή. Μετά την κρούση το Σ 3 εκτρέπεται γωνιακά από την κατακόρυφο κατά γωνία θ = 60. Να υπολογιστούν : (α) το µέτρο της ταχύτητας του Σ 3 αµέσως µετά την κρούση, Για την άνοδο του Σ 3 εφαρµόζω την Α ΜΕ, λαµβάνοντας υπόψη ότι η µέγιστη ανύψωση του σώµατος είναι h = l lσυν60 = l m 3υ 2 3 = m 3 gh υ 3 = 2gh = 2m/s (ϐ) ο λόγος των µαζών m 2 m 3, 7

8 Από τις γνωστές σχέσεις για την κεντρική ελαστική κρούση προκύπτει : υ 3 = 2m 2 m 2 + m 3 υ 2, µε υ 2 την ταχύτητα του Σ 2 λίγο πριν την κρούση. Η ταχύτητα αυτή ϑα υπολογιστεί µε ΘΜΚΕ για το Σ 2 από την στιγµή της έκρηξης µέχρι την στιγµή της κρούσης µε το Σ 3, λαµβάνοντας υ- πόψη το έργο της τριβής ολίσθησης (W = T S = µns, N = m 3 g ). K = ΣW 1 2 m 2υ m 2υ2 2 = µm 2 gs υ 2 = 8m/s Αρα από την σχέση για την υ 3 προκύπτει ο λόγος m 2 = 1 m 3 7 Και αφού m 1 = m 2 = m = M 2 = 0, 25kg m 3 = 7 4 kg (γ) το ποσοστό της αρχικής ενέργειας του σώµατος Σ που µετατράπηκε σε ϐαρυτική δυναµική ενέργεια. Η αρχική ενέργεια είναι η ενέργεια της ταλάντωσης Ε και η ϐαρυτική ενέργεια είναι U = m 3 gh = 7 J. Αρα το Ϲητούµενο ποσοστό ϑα είναι 8 το U E 100% = 7 50 % (δ) η τάση του νήµατος στην ϑέση µέγιστης γωνιακής εκτροπής του σώµατος Σ 3 Σχεδιάζοντας τις δυνάµεις στην ϑέση µέγιστης γωνιακής εκτροπής (υ = 0 F k = 0) προκύπτει ότι T W y = F k = 0 T = m 3 gσυν60 = 7 8 N Επιµέλεια : Καραδηµητρίου Μιχάλης 8