ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ LASER

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ LASER"

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ LASE ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Μ. ΜΠΕΝΗΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 3

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγικές έννοιες.. Αυθόρμητη κι εξαναγκασμένη εκπομπή, απορρόφηση.. Η ιδέα του laser... Ενισχυτής... Σύστημα ανάδρασης κοιλότητα laser..3. Άντληση.3. Ιδιότητες των δεσμών laser.3.. Μονοχρωματικότητα.3.. Συμφωνία.3.3. Κατευθυντικότητα.3.4. Λαμπρότητα.3.5. Παλμοί μικρής χρονικής διάρκειας.4. Τύποι laser και βασικές παράμετροι. Κατηγορίες Laser Κίνδυνοι και προστασία.. Κατηγοριοποίηση των πηγών laser.. Κίνδυνοι από τη δέσμη του laser... Υπεριώδης ακτινοβολία - UV ( - 4 nm... Ορατή και κοντινή υπέρυθρη ακτινοβολία -NI (4-4 nm..3. Μέση και μακρινή υπέρυθρη ακτινοβολία - FI (4 - nm.3. Άλλοι κίνδυνοι.3.. Ηλεκτρικοί κίνδυνοι.3.. Κίνδυνοι εκρήξεων.3.3. Επικίνδυνα χημικά αέρια.3.4. Χρωστικές laser (Des.3.5. Εύφλεκτα υλικά.3.6. Κρυογενικά υγρά.3.7. Υγρασία θερμοκρασία.3.8. Ακτίνες X.3.9. Υπεριώδης ακτινοβολία.3.. Θόρυβος 3. Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 3.. Εισαγωγή 3.. Γεωμετρική Οπτική: Οπτική πινάκων 3.3. Κυματική οπτική στα πλαίσια της παραξονικής προσέγγισης 3.4. Γκαουσιανές δέσμες Χαμηλότερης τάξης λύση (τρόπος Διάδοση στον ελεύθερο χώρο Υψηλής τάξης λύσεις (τρόποι 4. Παθητικά οπτικά αντηχεία 4.. Εισαγωγή 4... Τρόποι δόνησης ορθογώνιας οπτικής κοιλότητας 4... Αντηχείο παράλληλων επιπέδων (Fabr-Perot Σφαιρικό αντηχείο (Concentric Γενικευμένο σφαιρικό αντηχείο Κυκλικό αντηχείο (ing

3 4.. Συνθήκη ευστάθειας 4.3. Ευσταθή αντηχεία Ιδιοκαταστάσεις Ιδιοσυχνότητες 4.4. Ασταθή αντηχεία 4.5. Χρόνος ζωής φωτονίου και παράγοντας Q 5. Αλληλεπίδρασης ακτινοβολίας με την ύλη 5.. Απορρόφηση κι εξαναγκασμένη εκπομπή 5.. Αυθόρμητη εκπομπή 5.3. Η θερμοδυναμική αντιμετώπιση του Einstein 5.4. Μηχανισμοί διαπλάτυνσης Ομογενής διαπλάτυνση Μη-ομογενής διαπλάτυνση 5.5. Ενεργός διατομή μετάβασης, απορρόφηση κι ενίσχυση 5.6. Μη ακτινοβολητικές μεταβάσεις 5.7. Κορεσμός Κορεσμός απορρόφησης Κορεσμός ενίσχυσης 5.8. Οπτικώς πυκνά μέσα Παγίδευση ακτινοβολίας Ενίσχυση αυθόρμητης εκπομπής 6. Διαδικασίες Άντλησης 6.. Εισαγωγή 6.. Οπτική άντληση με ασύμφωνη πηγή 6... Συστήματα άντλησης 6... Ρυθμός και απόδοση άντλησης 6.3. Οπτική άντληση με σύμφωνη πηγή Συστήματα μεταφοράς άντλησης Ρυθμός και απόδοση άντλησης 7. Laser συνεχούς 7.. Εισαγωγή 7.. Εξισώσεις ρυθμών μεταβολής πληθυσμών (ate equations 7.3. Συνθήκες κατωφλίου και ισχύς εξόδου 7.4. Βέλτιστη σύζευξη εξόδου 7.5. Ρύθμιση (tuning laser 7.6. Επιλογή μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Επιλογή εγκάρσιου μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Επιλογή διαμήκους μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Fabr-Perot Κυκλικές κοιλότητες μονής κατεύθυνσης 8. Παλμικά laser 8.. Εισαγωγή 8.. Αποσβένουσα ταλαντωτική συμπεριφορά 8.3. Q-Switching Ηλεκτρο-οπτικό Q-Switching Μηχανικό Q-Switching 3

4 Ακουστο-οπτικό Q-Switching Απορροφητές κορεσμού 8.4. Τρόποι λειτουργίας των Q-switched laser 8.5. Θεωρία ενεργού Q-switching 8.6. Gain switching 8.7. Εγκλείδωση τρόπων (Mode-locking Περιγραφή στη περιοχή των συχνοτήτων Τρόποι mode-locking 9. Ειδικά Συστήματα laser 9.. Laser αερίων 9... Laser He-Ne 9... Laser CO Laser Excimer 9.. Laser στερεάς κατάστασης 9... Laser ub 9... Laser Νεοδυμίου (Nd:YAG, Nd:Glass Laser Ti:Sapphire 9.3. Laser χρωστικών 9.4. Laser ημιαγωγών 9.5. Laser ελευθέρων ηλεκτρονίων 4

5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Principles of Lasers, O. Svelto, Plenum Press, 998. Το βιβλίο του οποίου η δομή και θεματολογία ακολουθείται σε μεγάλο βαθμό. Κλασσικό βιβλίο που καλύπτει όλα το φάσμα του θέματος του laser τόσο σε προπτυχιακό αλλά και σε μεταπτυχιακό επίπεδο.. Laser Phsics, P.W. Miloni and J.H. Eberl, John Wile & Sons,. Πολύ καλό βιβλίο με πλήρη θεματολογία διαφωτιστικά σχήματα και δομή μοντέρνου βιβλίου διδασκαλίας. 3. Lasers, A.E. Siegman, Universit Science Books, 986. Το απόλυτο βιβλίο του laser. Με εκτενέστατη ύλη και υψηλότατο επίπεδο απευθύνεται σαφώς σε μεταπτυχιακό επίπεδο και σε ειδήμονες. Κρίνεται χρήσιμο για τη διασαφήνιση λεπτών και ειδικών θεμάτων. 4. Optics E. Hecht, Addison Wesle,. Κλασσικό βιβλίο οπτικής προπτυχιακού επιπέδου. Κρίνεται χρήσιμο για το «φρεσκάρισμα» εννοιών της οπτικής και προσέγγισης οπτικών θεμάτων όσον αφορά την οπτική του laser. 5. Fundamentals of Photonics, B.E.A. Saleh and M.C. Teich, Wile-Interscience, 7. Εξαιρετικό βιβλίο Φωτονικής. Κρίνεται χρήσιμο για την ξεκάθαρη παρουσίαση θεμάτων οπτικής και διάδοσης ακτινοβολίας και όχι μόνο. Σύγχρονο και με πολύ διαφωτιστικά σχήματα. 6. Building Scientific Apparatus, J.H. Moore, C.D. Davis and M.A. Coplan, Addison Wesle, 989. Ένα βιβλίο απαραίτητο σε κάθε «μαθητευόμενο» πειραματικό. Το κεφάλαιο της οπτικής καλύπτει πλήρως τις βασικές έννοιες οπτικής και laser. Ωστόσο η ουσιαστική συμβολή του είναι το πειραματικό μέρος όπου παρέχει άφθονη πληροφορία καθώς και πολλά σχήματα συσκευών που συνήθως λείπουν από τα βιβλία που πραγματεύονται το θέμα. 5

6 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγή στις βασικές αρχές και διαδικασίες της λειτουργίας του laser και των ιδιοτήτων των δεσμών laser... Αυθόρμητη κι εξαναγκασμένη εκπομπή, απορρόφηση Έστω το απλουστευμένο μοντέλο των δυο ενεργειακών σταθμών ενός ατόμου (ή μορίου ή άλλου φυσικού συστήματος με ενέργειες Ε κι Ε με Ε < Ε (βλ. σχήμα.. Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι η Ε είναι και η βασική του κατάσταση και ότι το σύστημα βρίσκεται στη διεγερμένη κατάσταση Ε.. Τότε γνωρίζουμε από την κβαντομηχανική ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα θα αποδιεγερθεί στην βασική κατάσταση Ε ελευθερώνοντας ενέργεια Ε -Ε. Στην περίπτωση που η ενέργεια εκπεμφθεί με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ ακτινοβολίας η διαδικασία ονομάζεται αυθόρμητη εκπομπή (spontaneous emission και χαρακτηρίζεται από την εκπομπή ενός φωτονίου ενέργειας hv = Ε - Ε (σχήμα..a. Η μετάβαση στην βασική κατάσταση μπορεί να γίνει και μηακτινοβολητικά, για παράδειγμα με κρούσεις με τα γειτονικά άτομα, και σε αυτή την περίπτωση η διαδικασία ονομάζεται μη-ακτινοβολητική μετάβαση (non-radiative deca. Σχ... (a Αυθόρμητη εκπομπή, (b εξαναγκασμένη εκπομπή (c απορρόφηση. Έστω τώρα ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση Ε κι ένα ΗΜ κύμα συχνότητας ν = ν το διαταράσσει. Από την κβαντομηχανική γνωρίζουμε πως υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα να μεταβεί στην βασική κατάσταση εκπέμποντας ένα φωτόνιο hv = Ε - Ε εξαιτίας του διαταρακτικού ΗΜ πεδίου (σχήμα..b. Το φαινόμενο ονομάζεται εξαναγκασμένη εκπομπή (stimulated emission. Αξίζει να τονίσουμε στο σημείο αυτό την θεμελιώδης διαφορά μεταξύ αυθόρμητης κι εξαναγκασμένης εκπομπής. Κατά την εξαναγκασμένη εκπομπή τα άτομα εκπέμπουν ΗΜ κύματα που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με το προσπίπτον ΗΜ πεδίο κι εκπέμπονται στην ίδια διεύθυνση. Αντίθετα, στην αυθόρμητη εκπομπή τα εκπεμπόμενα ΗΜ κύματα δεν έχουν σταθερή σχέση φάσης με το προσπίπτον ΗΜ πεδίο (μη-συμφωνία φάσης κι εκπέμπονται προς όλες τις κατευθύνσεις. Μπορούμε να πούμε πως στην εξαναγκασμένη 6

7 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες εκπομπή τα εκπεμπόμενα κύματα αθροίζονται συμφώνως με τα προσπίπτοντα έτσι ώστε στο τέλος το ΗΜ πεδίο να προκύπτει ενισχυμένο. Τέλος έστω ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση Ε κι ένα ΗΜ κύμα συχνότητας ν = ν το διαταράσσει. Από την κβαντομηχανική γνωρίζουμε πως υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα το σύστημά μας να μεταβεί από την βασική κατάσταση Ε στην διεγερμένη κατάσταση Ε αυξάνοντας την ενέργειά του κατά Ε - Ε εξαιτίας του διαταρακτικού ΗΜ πεδίου (σχήμα..c. Το φαινόμενο ονομάζεται απορρόφηση (absorption. Στις παραπάνω διαδικασίες μπορούμε να αντιστοιχίσουμε πιθανότητες μετάβασης οι οποίες θα μας βοηθήσουν στην ποιοτική αλλά και ποσοτική κατανόηση του μηχανισμού του laser. Έστω λοιπόν ο αριθμός των ατόμων (ή μορίων ανά μονάδα όγκου που βρίσκεται στην κατάσταση Ε i. O θα ονομάζεται από εδώ και στο εξής πληθυσμός (population της κατάστασης i. Αυθόρμητη εκπομπή: Ο ρυθμός μετάβασης (deca rate του πληθυσμού της κατάστασης Ε είναι ανάλογος του πληθυσμού Ν. (. Ο συντελεστής Α είναι μια θετική σταθερή που ονομάζεται ρυθμός της αυθόρμητης εκπομπής ή συντελεστής Einstein A (θα δούμε σύντομα γιατί κι εξαρτάται μόνο από τη συγκεκριμένη μετάβαση. Η ποσότητα είναι ο χρόνος ζωής της αυθόρμητης εκπομπής. Μη-ακτινοβολητική μετάβαση: Ομοίως γράφουμε: (. Όπου η ποσότητα είναι ο χρόνος ζωής της μη-ακτινοβολητικής μετάβασης που εξαρτάται τόσο από τη συγκεκριμένη μετάβαση αλλά και τον περιβάλλοντα χώρο. Εξαναγκασμένη εκπομπή: Ομοίως γράφουμε: (.3 Ο συντελεστής είναι o ρυθμός της εξαναγκασμένης εκπομπής, με διαστάσεις αντίστροφου χρόνου, κι εξαρτάται τόσο από την συγκεκριμένη μετάβαση αλλά και από την ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Απορρόφηση: Ομοίως γράφουμε: (.4 7

8 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Ο συντελεστής είναι o ρυθμός της απορρόφησης κι εξαρτάται κι αυτός τόσο από την συγκεκριμένη μετάβαση αλλά και από την ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Θεωρώντας επίπεδα κύματα για την προσπίπτουσα ακτινοβολία ισχύει: (.5 όπου σ είναι η ενεργός διατομή (cross section της μετάβασης μετρούμενη σε μονάδες επιφάνειας η οποία εξαρτάται μόνο από τη συγκεκριμένη μετάβαση και μόνο. Η ποσότητα F είναι η ροή (flux των φωτονίων της ΗΜ ακτινοβολίας μετρούμενη σε μονάδες αντίστροφης επιφάνειας επί αντίστροφου χρόνου. Εάν οι δυο στάθμες είναι μη εκφυλλισμένες τότε ισχύει και άρα. Εάν οι δυο στάθμες είναι εκφυλλισμένες με εκφυλισμό (degenerac και, αντίστοιχα, τότε ισχύει και άρα... Η ιδέα του laser... Ενισχυτής Έστω σύστημα δυο ενεργειακών σταθμών Ε κι Ε όπως αυτό του σχήματος δεδομένου υλικού, με εκφυλισμούς σταθμών και, και πληθυσμούς και, αντίστοιχα. Έστω επίσης επίπεδο ΗΜ κύμα φωτονικής ροής F που διαδίδεται κατά τον άξονα του υλικού όπως στο σχήμα.. Σχ... Στοιχειώδης αλλαγή df στη ροή των φωτονίων F κατά τη διάδοση ενός επίπεδου ΗΜ κύματος από το συγκεκριμένο υλικό. Η στοιχειώδης αλλαγή στη ροή df κατά το στοιχειώδες μήκος d θα ισούται με τον αριθμό των φωτονίων που παρήχθησαν με την εξαναγκασμένη εκπομπή κι εκείνων που απορροφήθηκαν. Στο σημείο αυτό παραλείπουμε τις συνεισφορές από την αυθόρμητη εκπομπή και τις μη-ακτινοβολητική μεταβάσεις επειδή είναι πολύ πιο ασθενείς. Επομένως μπορούμε να γράψουμε: (.6 8

9 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Η σχέση.6 μας δείχνει ότι το υλικό μας συμπεριφέρεται ως ενισχυτής (amplifier όταν, δηλ. όταν. Στην αντίθετη περίπτωση όταν συμπεριφέρεται ως απορροφητής (absorber. Σημειώνεται πως για το υλικό είναι διαφανές στη συγκεκριμένη ακτινοβολία (transparent. Παράδειγμα: Οι πληθυσμοί καταστάσεων που βρίσκονται σε θερμική ισορροπία περιγράφονται από τη στατιστική Boltmann. Tότε εάν και οι πληθυσμοί αυτών των καταστάσεων ισχύει: όπου είναι η σταθερή Boltmann και Τ η απόλυτη θερμοκρασία του υλικού. Επειδή πάντα είναι συνεπάγεται πως κι επομένως κανένα υλικό σε θερμική ισορροπία δεν μπορεί να λειτουργήσει ως ενισχυτής παρά μόνο ως απορροφητής. Ωστόσο σε συνθήκες μη θερμικής ισορροπίας (που δεν περιγράφονται από τη στατιστική Boltmann είναι δυνατόν να υπάρξουν συνθήκες όπου θα ισχύει κι επομένως το υλικό θα συμπεριφέρεται ως ενισχυτής. Η συνθήκες αυτές ονομάζονται αντιστροφή πληθυσμών (population inversion και τότε το υλικό χαρακτηρίζεται ως ενεργό μέσο (active medium. (.7... Σύστημα ανάδρασης κοιλότητα laser Για να μπορέσει να δημιουργηθεί μια δέσμη laser από ένα ενισχυτή χρειάζεται ένα σχήμα θετικής ανάδρασης που ονομάζεται ταλαντωτής (oscillator. Αυτό επιτυγχάνεται τοποθετώντας το ενεργό μέσο ανάμεσα σε δυο καθρέφτες υψηλής ανακλαστικότητας (βλ. σχήμα.3. Η δομή αυτή είναι γνωστή ως κοιλότητα laser (laser cavit. Καθώς το ΗΜ κύμα, το οποίο ταξιδεύει κατά τη διεύθυνση των δυο καθρεφτών, ανακλάται μπρος και πίσω πάνω στους καθρέφτες, ενισχύεται κάθε φορά που περνά από το ενεργό μέσο ενισχυτή. Κατασκευάζοντας τον ένα από τους δυο καθρέφτες μερικώς διαπερατό στη συχνότητα της ΗΜ ακτινοβολίας, προκύπτει η δέσμη laser στην έξοδο του καθρέφτη. Σχ..3. Η αρχή λειτουργίας του laser 9

10 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Για να διατηρηθεί η παραπάνω διαδικασία του laser χρειάζεται να επιτευχθεί η λεγόμενη συνθήκη κατωφλίου (threshold condition που λέει ότι η ενίσχυση του ενεργού μέσου πρέπει να αντισταθμίζει τις απώλειες της κοιλότητας. Συγκεκριμένα, ολοκληρώνοντας την σχέση.6 η ενίσχυση που επιτυγχάνεται από ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα είναι, όπου l το μήκος του ενεργού μέσου. Έστω τώρα και οι ανακλαστικότητες των δυο καθρεφτών και η απώλεια ακτινοβολίας για κάθε πέρασμα. Εάν μια δεδομένη στιγμή η φωτονική ροή στην κοιλότητα που φεύγει από τον καθρέφτη προς τον καθρέφτη είναι F, τότε για την ροή F' στο ίδιο σημείο έπειτα από έναν κύκλο μέσα στην κοιλότητα μπορεί να γραφεί: Σε συνθήκες κατωφλίου έχουμε F = F', επομένως θα πρέπει Λογαριθμίζοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι οι συνθήκες κατωφλίου επιτυγχάνονται όταν η αντιστροφή πληθυσμού αποκτήσει την εξής κρίσιμη τιμή που ονομάζεται κρίσιμη αντιστροφή (critical inversion: (.8 (.9 (. Η εξίσωση.8 απλοποιείται εισάγοντας τις μεταβλητές (..a (..b (..c όπου Τ και Τ είναι οι διαπερατότητες των καθρεφτών και αντίστοιχα. Τότε η.8 γράφεται (. Όπου θέσαμε και Η ποσότητα γ i ονομάζεται εσωτερική λογαριθμική απώλεια της κοιλότητας. Συνήθως είναι οπότε. Οι και ονομάζονται λογαριθμική απώλεια των δυο καθρεφτών αντίστοιχα. Τέλος, η ποσότητα γ ονομάζεται απώλεια ενός περάσματος της κοιλότητας (single-pass loss of cavit. Από τη στιγμή που επιτυγχάνεται η συνθήκη κατωφλίου η ταλάντωση του laser προχωρά μέσω της αυθόρμητης εκπομπής. Τα φωτόνια της αυθόρμητης εκπομπής ουσιαστικά ξεκινούν της διαδικασία της ενίσχυσης δηλ. του laser. (.3

11 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες..3. Άντληση Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με το πώς μπορεί να επιτευχθεί η αντιστροφή πληθυσμού στο υλικό που δρα ως ενισχυτής. Μια πρώτη ιδέα είναι να χρησιμοποιηθεί μια ισχυρή πηγή φωτός κοντά στην συχνότητα ν του ενισχυτή. Αποδεικνύεται ότι σε ένα σύστημα δυο σταθμών όπως αυτά που εξετάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορεί να επιτευχθεί αντιστροφή πληθυσμού. Αντίθετα πρέπει να χρησιμοποιηθούν συστήματα με περισσότερες στάθμες. Τα πιο κοινά συστήματα είναι αυτά των τριών (three-level laser και των τεσσάρων (four-level laser σταθμών, βλ. σχήμα.4. Σύστημα τριών σταθμών: Τα άτομα διεγείρονται από τη βασική στάθμη στην διεγερμένη στάθμη. Στη συνέχεια ακολουθεί μια πολύ γρήγορη μετάβαση στην στάθμη 3 (πιθανόν μέσω μιας μη-ακτινοβολητικής διαδικασίας. Εάν η αποδιέγερση από την στάθμη 3 στην βασική στάθμη είναι πολύ πιο αργή από ότι από την στην 3 τότε επιτυγχάνονται οι συνθήκες αντιστροφής πληθυσμού. Ιστορικά να αναφέρουμε πως το πρώτο laser στον κόσμο (ub, Cr 3+ :Al O 3 είναι ένα τυπικό σύστημα τριών σταθμών. Σχ..4. (a laser τριών σταθμών, (b laser τεσσάρων σταθμών. Σύστημα τεσσάρων σταθμών: Τα άτομα διεγείρονται από τη βασική στάθμη στην διεγερμένη στάθμη. Στη συνέχεια ακολουθεί μια πολύ γρήγορη μετάβαση στην στάθμη (πιθανόν μέσω μιας μη-ακτινοβολητικής διαδικασίας. Εάν η αποδιέγερση από την στάθμη στην στάθμη 3 είναι πολύ πιο αργή από ότι από την στην τότε επιτυγχάνονται οι συνθήκες αντιστροφής πληθυσμού. Σημειώνεται πως για να επιστρέψει το σύστημα στην βασική κατάσταση και να κλείσει ο κύκλος πρέπει η μετάβαση από την 3 στην να είναι επίσης πολύ γρήγορη. Η διαδικασία της διέγερσης από τη βασική κατάσταση στην ανώτερη διεγερμένη στα συστήματα τριών και τεσσάρων σταθμών ονομάζεται άντληση (pumping. Γενικά είναι ευκολότερο να επιτευχθούν συνθήκες αντιστροφής πληθυσμού σε συστήματα τεσσάρων

12 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες σταθμών από ότι σε τριών. Η εξήγηση είναι η εξής: Στο σύστημα τριών σταθμών για να επιτευχθούν συνθήκες αντιστροφής πληθυσμού θα πρέπει με βάση τη σχέση.6 να ισχύει (έστω για λόγους απλοποίησης. Επομένως θα πρέπει ο πληθυσμός της κατάστασης (κατάσταση 3 στο σχήμα.4.a να γίνει πρώτα ίσος με αυτόν της βασικής κατάστασης για να αρχίσει η διαδικασία του laser. Αντίθετα στα συστήματα τεσσάρων σταθμών επειδή η κατάσταση (κατάσταση 3 στο σχήμα.4.b είναι άδεια η αντιστροφή πληθυσμών και άρα η διαδικασία laser ξεκινάει από την πρώτη διέγερση στην κατάσταση, δηλαδή αμέσως. Υπάρχει άλλο ένα σύστημα laser τεσσάρων σταθμών με το χαρακτηριστικό ότι η στάθμη 3 είναι υποστάθμη της ίδιας βασικής κατάστασης με την στάθμη. Η στάθμη είναι απλά η υποστάθμη με την μικρότερη ενέργεια. Εάν οι στάθμες και 3 είναι ισχυρά συζευγμένες μέσω τότε η αποδιέγερση από την 3 στην είναι πολύ γρήγορη και το σύστημά μας περιγράφεται ως εν μέρει σύστημα τριών σταθμών (quasi-three-level sstem. Τέλος μια άλλη περίπτωση laser είναι αυτή όπου η διαφορά ενέργειας μεταξύ των σταθμών και 3 σε ένα σύστημα τεσσάρων σταθμών να είναι συγκρίσιμη της ενέργειας kt. Τότε θα υπάρχει πάντα πληθυσμός και στις δυο στάθμες και το σύστημα θα συμπεριφέρεται σε μια ενδιάμεση κατάσταση τριών και τεσσάρων σταθμών...4. Η λειτουργία του laser Μια παραστατική απεικόνιση του μηχανισμού λειτουργίας του laser παρουσιάζεται στο σχήμα.5. Αρχικά το laser αποτελούμενο από τους δυο καθρέφτες της κοιλότητας και το ενισχυτικό μέσο (άτομα, μόρια, κρύσταλλος, κτλ. αρχίζει να αντλείται. Η άντληση έχει ως αποτέλεσμα την διέγερση των ατόμων του ενισχυτικού μέσου. Στη συνέχεια τα άτομα αποδιεγείρονται τυχαία σε χρόνους της τάξης των ns μέσω του μηχανισμού της αυθόρμητης αποδιέγερσης. Τα φωτόνια που προκύπτουν από αυτόν τον μηχανισμό εκπέμπονται προς όλες τις διευθύνσεις. Μερικά (ή ένα! εξ αυτών που τυγχάνει να διαδίδονται στον άξονα της κοιλότητας ανακλώνται πολλαπλώς μεταξύ των καθρεφτών της κοιλότητας επάγοντας έτσι την εξαναγκασμένη αποδιέγερση των ατόμων του ενισχυτικού μέσου. Τα προκύπτοντα φωτόνια εκπέμπονται στην ίδια διεύθυνση με τον άξονα της κοιλότητας με αποτέλεσμα το φαινόμενο να παίρνει πολύ γρήγορα διαστάσεις χιονοστιβάδας. Πολύ γρήγορα οι διάφοροι εμπλεκόμενοι μηχανισμοί (άντληση, ενίσχυση, απώλειες, κτλ. έρχονται σε ισορροπία και το laser τίθεται στην πλήρη λειτουργία του. Με βάση όλα τα παραπάνω γίνεται πλέον κατανοητό το ακρωνύμιο L.A.S.E..: Light Amplification b Stimulated Emission adiation (Ενίσχυση φωτός με εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας

13 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Σχ..5. Παραστατική λειτουργία του laser 3

14 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες.3. Ιδιότητες των δεσμών laser Η ακτινοβολία laser χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθμό μονοχρωματικότητας, συμφωνίας κατευθυντικότητας και λαμπρότητας. Μια άλλη σημαντική ιδιότητα που συμπεριλαμβάνεται εδώ είναι και η ικανότητα να παράγονται παλμοί πολύ μικρής χρονικής διάρκειας..3.. Μονοχρωματικότητα Η ιδιότητα αυτή προκύπτει από τα εξής δύο γεγονότα. Πρώτον μόνο η ΗΜ ακτινοβολία που έχει την κατάλληλη συχνότητα ν μπορεί να ενισχυθεί και δεύτερον αυτή η συχνότητα υποστηρίζεται από το φάσμα συντονισμού της κοιλότητας του laser (μόνο για συγκεκριμένες συχνότητες μπορεί υπάρξει ταλάντωση στην κοιλότητα. Η δεύτερη αυτή ιδιότητα έχει ως αποτέλεσμα το φιλτράρισμα του εύρους της συχνότητας ν που αντιστοιχεί στη μετάβαση από το φάσμα των ιδιοσυχνοτήτων της κοιλότητας. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια πολύ πιο στενή φασματικά γραμμή laser από αυτήν της μετάβασης κατά την αυθόρμητη εκπομπή..3.. Συμφωνία (Coherence Για κάθε ΗΜ κύμα μπορούμε να ορίσουμε σε πρώτη προσέγγιση τις έννοιες της χωρικής και χρονικής συμφωνίας. Σχ..6 Μέτωπα σφαιρικών επίπεδων κυμάτων. Χωρική συμφωνία: Έστω δύο σημεία P και P στο χώρο που την χρονική στιγμή t = βρίσκονται στο ίδιο μέτωπο ενός ΗΜ κύματος, κι έστω Ε (t και Ε (t τα αντίστοιχα ηλεκτρικά πεδία (βλ. σχήμα.6. Εξ ορισμού η διαφορά φάσης των δύο σημείων είναι μηδέν. a. Εάν η διαφορά φάσης των δύο σημείων παραμένει μηδέν για κάθε χρονική στιγμή t > τότε λέμε πως υπάρχει τέλεια συμφωνία μεταξύ των δύο σημείων. 4

15 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες b. Εάν η διαφορά φάσης δύο οποιωνδήποτε σημείων του μετώπου κύματος παραμένει μηδέν για κάθε χρονική στιγμή t > τότε λέμε πως υπάρχει τέλεια χωρική συμφωνία (perfect spatial coherence. c. Στην πράξη για να συμβαίνει το b τα σημεία P και P πρέπει να βρίσκονται «σχετικά κοντά» και τότε μιλάμε για μερική χωρική συμφωνία (partial spatial coherence. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε την επιφάνεια συμφωνίας και το χαρακτηριστικό μήκος συμφωνίας που αντιστοιχεί στην επιφάνεια αυτή. Χρονική συμφωνία: Έστω ηλεκτρικό πεδίο ΗΜ κύματος Ε(t σε σταθερό σημείο στο χώρο. a. Εάν για δεδομένη χρονική καθυστέρηση τ η διαφορά φάσης μεταξύ Ε(t και Ε(t+ τ παραμένει σταθερή για κάθε t, τότε λέμε πως έχουμε χρονική συμφωνία για το διάστημα τ (μερική χρονική συμφωνία partial temporal coherence. Ο χρόνος τ λέγεται χρόνος συμφωνίας. Η περίπτωση αυτή φαίνεται στο σχήμα.7. b. Εάν αυτό συμβαίνει για κάθε τ τότε λέμε πως έχουν τέλεια χρονική συμφωνία (perfect temporal coherence. Σχ..7. Παράδειγμα μερικής χρονικής συμφωνίας με χρόνο συμφωνίας τ. Από το σχήμα.7 φαίνεται πως η χρονική συμφωνία και η μονοχρωματικότητα είναι άρρηκτα συνδεμένες. Μάλιστα θα δείξουμε ότι για στάσιμα ΗΜ κύματα με χρόνο συμφωνίας τ το εύρος συχνοτήτων Δν δίνεται από τη σχέση Δν /τ. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί πως η χρονική και χωρική συμφωνία είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Το ηλεκτρικό πεδίο του σχήματος.6 θα μπορούσε να περιγράφει το πεδίο σε δυο σημεία του μετώπου του κύματος τα οποία να έχουν τέλεια χωρική συμφωνία ενώ για το κάθε σημείο υπάρχει μόνο μερική χρονική συμφωνία. Αξίζει στο σημείο αυτό να αναφέρουμε μια πολύ γνωστή ιδιότητα των δεσμών laser που είναι αποτέλεσμα της χωροχρονικής συμφωνίας. Πρόκειται για την λεγόμενη κοκκίωση (speckle η οποία παρατηρείται όταν ανακλάται μια δέσμη laser από μια μη λεία επιφάνεια. Η ανάκλασή της (παρατηρούμενη βέβαια σε γωνία διαφορετική αυτής της γωνίας πρόσπτωσης παρουσιάζεται στο σχήμα.8. 5

16 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Σχ..8. Κοκκίωση δέσμης laser. Η κοκκίωση είναι αποτέλεσμα της συμβολής πολλών κυμάτων ίδιας συχνότητας διαφορετικών όμως πλατών και φάσεων. Έτσι όταν μια μη λεία επιφάνεια φωτίζεται από μια δέσμη laser κάθε σημείο της γίνεται δευτερεύουσα πηγή κυμάτων και η συμβολή τους σε μακρινή απόσταση θα αποτελείται από τα κύματα όλων των σημείων. Επομένως όταν η επιφάνεια δεν είναι λεία τα επί μέρους κύματα θα διαφέρουν τόσο σε φάση όσο και σε πλάτος με αποτέλεσμα η ένταση της συμβολής να παρουσιάζει μια τυχαία τοπική αυξομείωση που είναι ακριβώς το φαινόμενο της κοκκίωσης Κατευθυντικότητα Η ιδιότητα αυτή είναι άμεση απόρροια του γεγονότος ότι η διαδικασία της ενίσχυσης του φωτός γίνεται μέσα στην κοιλότητα laser. Μόνο τα κύματα που διαδίδονται στον άξονα της κοιλότητας μπορούν υπάρξουν, να ενισχυθούν (χωρική συμφωνία και τελικά να διαδοθούν εκτός της κοιλότητας. Η απόκλιση από την τέλεια κατευθυντικότητα (παράλληλη δέσμη οφείλεται στην ύπαρξη οπών κατά τη διάδοση της δέσμης στις οποίες λαμβάνει χώρα το φαινόμενο της περίθλασης (diffraction. Ως παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη γνωστή από την οπτική διάδοση επίπεδου κύματος μέσα από οπή διαμέτρου D. Τότε λόγω περίθλασης η γωνιακή απόκλιση της δέσμης θα είναι (οι δέσμες laser με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται diffraction limited Γενικά για οποιοδήποτε ΗΜ κύμα θα ισχύει όπου β σταθερή κοντά στη μονάδα. Τα παραπάνω ισχύουν για δέσμες με τέλεια χωρική συμφωνία. Σε περίπτωση που έχουμε μερική χωρική συμφωνία μπορούμε να γράψουμε (.4 (.5 (.6 6

17 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες όπου D c το χαρακτηριστικό μήκος που προσδιορίζει την επιφάνεια χωρικής συμφωνίας. Επομένως γίνεται φανερό πως η χωρική συμφωνία και η κατευθυντικότητα είναι άρρηκτα συνδεμένες Λαμπρότητα (Brightness Ως λαμπρότητα μιας πηγής ΗΜ κυμάτων ορίζουμε την ισχύ που εκπέμπεται ανά μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα στερεάς γωνίας. Έστω στοιχειώδης επιφάνεια ds στο σημείο Ο της πηγής (βλ. σχήμα.9.a. Σχ..9. (a Λαμπρότητα πηγής ΗΜ κυμάτων στο σημείο Ο. (b Λαμπρότητα δέσμης laser διαμέτρου D και γωνιακής απόκλισης θ. Η ισχύς dp που εκπέμπεται από τη ds σε στερεά γωνία dω γύρω από τη διεύθυνση ΟΟ μπορεί να γραφεί ως όπου θ είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας παρατήρησης ΟΟ και της καθέτου στην επιφάνεια n. Ο παράγοντας υπεισέρχεται λόγω της παρατήρησης στην ευθεία ΟΟ και άρα της προβολής του n στην ΟΟ. Η ποσότητα Β καλείται λαμπρότητα της πηγής στο σημείο Ο στην κατεύθυνση ΟΟ. Η Β γενικά εξαρτάται από τις πολικές συντεταγμένες θ και φ. Στην περίπτωση που είναι σταθερή, τότε λέμε πως η πηγή είναι ισοτροπική. Έστω τώρα δέσμη laser ισχύος P, διαμέτρου D και γωνιακής εκτροπής θ (βλ. σχήμα.9.b. Εφόσον η γωνία θ είναι πολύ μικρή έχουμε. Η επιφάνεια της δέσμης είναι πd /4 ενώ η στερεά γωνία είναι πθ. Τότε η σχέση.3 δίνει για την λαμπρότητα της δέσμης: Εάν η δέσμη laser είναι diffraction limited τότε από την σχέση. προκύπτει ότι (.7 (.8 (.9 7

18 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες που είναι και η μέγιστη δυνατή λαμπρότητα για μια δέσμη ισχύος P. Η λαμπρότητα είναι ίσως η πιο σημαντική παράμετρος-ιδιότητα της δέσμης laser αλλά και γενικά οποιασδήποτε πηγής φωτός. Μια δέσμη laser ακόμη και μέτριας ισχύος έχει λαμπρότητα πολλές τάξεις μεγέθους από οποιαδήποτε άλλη πηγή φωτός. Ο βασικός λόγος είναι η υψηλή κατευθυντικότητα Παλμοί μικρής χρονικής διάρκειας Η δυνατότητα παραγωγής παλμών laser εξαιρετικά μικρής χρονικής διάρκειας αναφέρεται στο σημείο αυτό ως ιδιότητα του φωτός laser. Παλμοί laser διάρκειας μερικών femtosecond fs ( fs = -5 sec είναι πλέον απαραίτητο εργαλείο στα περισσότερα εργαστήρια Ατομικής Μοριακής και Οπτικής Φυσικής (και όχι μόνο ενώ παλμοί σύμφωνου φωτός με διάρκεια στην περιοχή των attoseconds asec ( asec = -8 sec παράγονται σε αρκετά εργαστήρια στον κόσμο. Η ιδιότητα της μικρής χρονικής διάρκειας συνεπάγεται συγκέντρωση ενέργειας στο χρόνο κι επομένως μπορεί να ιδωθεί ως «το αντίπαλο δέος» της μονοχρωματικότητας που είναι η συγκέντρωση ενέργειας σε μήκη κύματος. Πάντως η μονοχρωματικότητα θεωρείται πιο βασική ιδιότητα από την διάρκεια και για το λόγο αυτό οι παλμοί attosecond δεν αποκαλούνται από πολλούς παλμοί laser αν και έχουν τις υπόλοιπες ιδιότητες..4. Τύποι laser και βασικές παράμετροι Τα διάφορα συστήματα laser μπορούν (ακαδημαϊκά κυρίως να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με: Το ενεργό υλικό (ενισχυτή o Laser στερεάς κατάστασης o Laser υγρών o Laser αερίων o Laser ελευθέρων ηλεκτρονίων Το μήκος κύματος o Laser υπέρυθρης ακτινοβολίας o Laser ορατής ακτινοβολίας o Laser υπεριώδους ακτινοβολίας o Laser ακτινών X Τη χρονική διάρκεια o Laser συνεχούς (CW laser o ns laser o ps laser o fs laser 8

19 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Τη ζημιά που προκαλεί η δέσμη laser στο μάτι ή/και το δέρμα (βλ. Κεφ. o CLASS I o CLASS II o CLASS IIIa o CLASS IIIb o CLASS IV Πίνακας.. Βασικές παράμετροι τυπικών συστημάτων laser που απαντώνται στα εργαστήρια Ατομικής Μοριακής και Οπτικής Φυσικής. Όνομα Σύμβολο Σχέση (Τυπική μονάδα μέτρησης Μήκος κύματος λ nm Συχνότητα f, ν 4 Η Διάρκεια παλμού * Δτ ns, ps, fs Ρυθμός επανάληψης* H, kh Ενέργεια Ε μjoule, mjoule Ενέργεια ανά παλμό* E p E/ (μjoule, mjoule/pulse Ισχύς P E p / Δτ mwatt, Watt Ένταση Ι P/A** Watt/cm Ροή F I / hf # φωτονίων / (cm s * Ισχύει για παλμικά laser. ** Α είναι η επιφάνεια της δέσμης στο σημείο μέτρησης της έντασης. 9

20 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Με βάση την σχέση.6 δείξτε ότι η ενίσχυση που επιτυγχάνεται έπειτα από ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα ενός laser περιγράφεται από τη σχέση όπου l το μήκος του ενεργού μέσου.. Έστω σύστημα δυο μη εκφυλισμένων σταθμών που σε θερμοδυναμική ισορροπία σε θερμοκρασία Τ = 4 Κ. Ο λόγος των πληθυσμών του είναι Ν /Ν = /(e. a. Υπολογίστε το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στη μετάβαση Ε Ε και σε ποια περιοχή του φάσματος ανήκει. b. Μπορεί το παραπάνω σύστημα να χρησιμοποιηθεί εν γένει ως ενισχυτής laser; Σε κάθε περίπτωση εξηγείστε το λόγο. 3. Κοιλότητα laser αποτελείται από δυο καθρέφτες με ανακλαστικότητες = και =.5 ενώ η απώλεια ακτινοβολίας για κάθε πέρασμα είναι L = %. Εάν το μήκος του ενεργού υλικού είναι 7.5 cm και η ενεργός διατομή της μετάβασης είναι σ =.8 x -9 cm υπολογίστε την τιμή της αντιστροφής πληθυσμού. 4. Το παλμικό Ti:Sapphire laser του Κέντρου Εφαρμογών Laser του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Ενέργεια ανά παλμό E p = 6 mjoule, Διάρκεια παλμού Δτ = 5 fs. Υπολογίστε την ισχύ P της ακτινοβολίας. Συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την παρεχόμενη ισχύ του μεγαλύτερου (προς το παρόν υδροηλεκτρικού φράγματος στον κόσμο Three Gorges Dam στην Κίνα. Να δικαιολογήσετε το αποτέλεσμα. 5. Πόσα φωτόνια περιέχει ο κάθε παλμός του Ti:Sapphire laser του Κέντρου Εφαρμογών Laser αν το μήκος κύματος του είναι λ = 8 nm και ποια η ροή F αν η διάμετρος της δέσμης του είναι mm? 6. Δεδομένου ότι η ένταση της ηλιακής ακτινοβολίας στη γη είναι I kw/m, υπολογίστε την λαμπρότητα του ήλιου (θεωρήστε κάθετη πρόσπτωση των ακτίνων του στη γη. Συγκρίνετε την παραπάνω τιμή της λαμπρότητας με αυτή ενός laser ισχύος P = W και μήκους κύματος λ = 8 nm. Σχολιάστε το αποτέλεσμα. 7. Η πρώτη προσπάθεια μέτρησης της απόστασης Γης-Σελήνης με τη μέθοδο της ανάκλασης από την επιφάνεια της Σελήνης δέσμης laser έγινε τη δεκαετία του 6. Χρησιμοποιήθηκε ένα Q-switched rub laser (λ 694 nm που (μαζί με ένα τηλεσκόπιο στην έξοδό του έδινε παράλληλη δέσμη διαμέτρου m. a. Υπολογίστε την διάμετρο της δέσμης στην επιφάνεια της Σελήνες θεωρώντας τέλεια χωρική συμφωνία της δέσμης. Η απόσταση Γης-Σελήνης είναι ίση με 386. Km. Με τι ακρίβεια εκτιμάτε (τάξη μεγέθους ότι μετρήθηκε η απόσταση δικαιολογείστε την απάντησή σας. b. Η ακρίβεια της μεθόδου βελτιώθηκε δραματικά με την τοποθέτηση ειδικών καθρεφτών από Αμερικάνους αστροναύτες το 969 στην επιφάνεια της Σελήνης.

21 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Εισαγωγικές Έννοιες Θεωρώντας ότι ένας τέτοιος καθρέφτης είναι επίπεδος με διάμετρο m υπολογίστε τον αριθμό των φωτονίων ανά δευτερόλεπτο που αναμένεται να καταγράφει ένα ανιχνευτής στη Γη με διάμετρο cm από την % ανάκλαση του παραπάνω καθρέφτη. Θεωρήστε το ίδιο laser με το πρώτο ερώτημα του οποίου η ένταση είναι mw. Αγνοείστε φαινόμενα απορρόφησης ή οποιαδήποτε άλλα δευτερεύοντα προβλήματα.

22 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ LASE ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι καθιερωμένοι κανόνες κατηγοριοποίησης των πηγών laser καθώς και οι κίνδυνοι που παρουσιάζει η κάθε κατηγορία από όπου προκύπτουν και τα αντίστοιχα μέτρα ασφαλείας. Οι παρακάτω κανόνες προστασίας καθιερώθηκαν παγκοσμίως μετά το 976 (OSHA egulations: 9 CF and. Ως συνέπεια τα laser που παράγονται έκτοτε είναι κατηγοριοποιημένα από τον ίδιο τον κατασκευαστή προκαθορίζοντας έτσι τα μέτρα ασφαλείας που πρέπει να λάβει ο χρήστης (εκπαίδευση, γυαλιά, ταμπέλες, κτλ.. Εάν παρόλα αυτά η κλάση δεν είναι γνωστή τότε μπορεί να μετρηθεί ή και να υπολογιστεί (από εξειδικευμένο προσωπικό. Τα laser κατηγοριοποιούνται με βάση την ικανότητά της βασικής ή μιας ανακλώμενης δέσμης τους να τραυματίσει το μάτι ή το δέρμα. Η κατάλληλη κλάση καθορίζεται από το μήκος κύματος, την ισχύ και τη διάρκεια του παλμού (αν είναι το laser παλμικό. Η κατηγοριοποίηση βασίζεται στην μέγιστη προσβάσιμη ισχύ εξόδου. Υπάρχουν τέσσερις κλάσεις laser. H κλάση είναι η λιγότερο επικίνδυνη. Όλες οι υπόλοιπες κλάσεις laser πρέπει να αναγράφουν εμφανώς την κλάση τους... Κατηγοριοποίηση των πηγών laser CLASS I: Τα laser κλάσης δεν προκαλούν καταστροφή στα μάτια ακόμη κι αν η δέσμη πέσει μέσα στο μάτι από ατύχημα. Ωστόσο συνεχόμενο κοίταγμα της δέσμης απευθείας με γυμνό μάτι θα πρέπει να αποφεύγεται. Η ισχύς των laser κλάσης είναι μικρότερη από.4 µw για συνεχή CW laser με μήκος κύματος στο ορατό. Να σημειωθεί πως ένα laser που είναι εντελώς απομονωμένο από περιβάλλον του εργαστηρίου μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως κλάσης εάν οι εκπομπές στον περιβάλλοντα χώρο δεν ξεπερνούν τα όρια της κλάσης. CLASS II: Τα laser κλάσης δεν προκαλούν καταστροφή στα μάτια κατά τη διάρκεια ενός ανοιγοκλεισίματος του ματιού (blink, δηλ. περίπου.5 sec. Ωστόσο μπορούν να προκαλέσουν ζημιά στην περίπτωση που ο παραπάνω χρόνος παραταθεί. Τα laser κλάσης έχουν μήκη κύματος στο ορατό (4-7 nm και ισχύ εξόδου μεταξύ.4 µw και mw για CW laser. Ο μεγαλύτερος αριθμός αυτής της κατηγορίας είναι τα Ηλίου-Νέου (He-Ne. CLASS IIIa: Τα laser κλάσης 3a δεν προκαλούν καταστροφή στα μάτια κατά τη διάρκεια ενός ανοιγοκλεισίματος του ματιού (blink, δηλ. περίπου.5 sec. Ωστόσο, είναι πιθανή η ζημιά στην περίπτωση που κοιτάξουμε τη δέσμη με κάποιο φακό ή και απευθείας για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Η ισχύς εξόδου για CW laser με μήκη κύματος στο ορατό είναι μεταξύ -5 mw. CLASS IIIb: Τα laser κλάσης 3b μπορούν να προκαλέσουν ζημιές από ατυχήματα στα μάτια στην περίπτωση που κοιτάξουμε τη δέσμη απευθείας ή ακόμη και κάποιο ανακλώμενο κομμάτι της. Η ισχύς εξόδου για CW laser είναι μεταξύ 5-5 mw. Εξαιρώντας τα μεγάλης

23 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser ισχύος laser αυτής της κατηγορίας, διαχεόμενη δέσμη laser δεν είναι επικίνδυνη εκτός κι αν την κοιτάξουμε με κάποιο φακό. CLASS IV: Τα laser κλάσης 4 είναι τα πιο επικίνδυνα laser. Έκθεση στη δέσμη τους ή ακόμη και σε ανάκλασή της ή και διάχυσή της είναι ενδεχόμενα επικίνδυνη τόσο για τα μάτια όσο και για το δέρμα. Επιπλέον μπορεί να προκαλέσει ανάφλεξη εύφλεκτων υλικών, να δημιουργήσει επικίνδυνα αέρια (π.χ. Ο 3, κ.α. Η ισχύς εξόδου για CW laser για όλα τα μήκη κύματος είναι μεγαλύτερη από τα 5 mw. Όλα τα παλμικά laser που λειτουργούν στα μήκη κύματος 4 nm έως,4 nm θα πρέπει να συμπεριλαμβάνονται στην κλάση 4. Πίνακας.. Συνοπτικός πίνακας κατάταξης των συστημάτων laser CLASS I CLASS II CLASS IIIa CLASS IIIb CLASS IV P <.4 µw, Ακίνδυνο.4<P< mw CW ορατή ακτινοβολία, στιγμιαία άμεση έκθεση (.5s <P<5 mw CW ορατή ακτινοβολία, στιγμιαία άμεση έκθεση (.5s 5<P<5 mw CW καμιά άμεση έκθεση CW P>5 mw, παλμικά, ιδιαίτερα επικίνδυνα.. Κίνδυνοι από τη δέσμη του laser Μάτια: Το μάτι είναι εξαιρετικά ευάλωτο κατά την έκθεσή του στους περισσότερους τύπους laser. Ο τύπος της βλάβης του εξαρτάται από την ένταση του φωτός, το μήκος κύματός του, και από το μέρος του ιστού που εκτίθεται. Η καταστροφή προκαλείται είτε από την αύξηση της θερμοκρασίας είτε από φωτοχημικές διεργασίες. Έντονη έκθεση έχει σαν αποτέλεσμα εγκαύματα στον κερατοειδή (cornea και τoν αμφιβληστροειδή (retina. Εμφάνιση καταρράκτη ή και βλάβη στον κερατοειδή προκαλείται από χρόνια έκθεση σε φως από laser. Βλάβη του αμφιβληστροειδούς είναι συνήθης από έκθεση σε ορατή και κοντινή υπέρυθρη ακτινοβολία. Οι περισσότερες μη-σύμφωνες πηγές φωτός μπορούν να κοιταχτούν απευθείας χωρίς κανέναν κίνδυνο επειδή μόνο ένα πολύ μικρό ποσοστό της ισχύος του φτάνει στο μάτι κι απλώνεται σε όλο τον αμφιβληστροειδή. Αντίθετα, η ακτινοβολία laser είναι σύμφωνο φως. Η δέσμη της μπορεί να περάσει μέσα από την κόρη του ματιού (pupil και να εστιαστεί σε μια πολύ μικρή επιφάνεια στον αμφιβληστροειδή εναποθέτοντας εκεί όλη του την ενέργεια. Μόνο το ορατό και το κοντινό υπέρυθρο εστιάζονται στον αμφιβληστροειδή. Βλάβη του αμφιβληστροειδούς συνεπάγεται μερική ή και ολική τύφλωση εάν πειραχθεί το οπτικό νεύρο. Η βλάβη μπορεί να είναι μη-αναστρέψιμη ενώ κατά την έκθεση δεν προκαλείται πόνος ή ενόχληση. 3

24 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser Επί πλέον, μερικά πολύ ισχυρά παλμικά laser μπορούν να προκαλέσουν τέτοια βλάβη στον αμφιβληστροειδή ώστε να προκληθεί αιμορραγία. Δέρμα: Η έκθεση στην ακτινοβολία laser μπορεί να προκαλέσει και βλάβες στο δέρμα. Ισχυρή έκθεση μπορεί να προκαλέσει τραυματισμούς από ήπιο κοκκίνισμα (reddening σε δημιουργία φλυκταινών (blistering έως και κάψιμο (charring. Καρκίνοι του δέρματος μπορεί να προκληθούν από χρόνια έκθεση σε υπεριώδες (UV φως. Το μέγεθος και ο τύπος της βλάβης εξαρτάται από την ποσότητα της αποτιθεμένης ενέργειας και από το μήκος κύματος του φωτός. Σε αντίθεση η βλάβες στο δέρμα είναι συνήθως αναστρέψιμες.... Υπεριώδης ακτινοβολία - UV ( - 4 nm Η έκθεση του ματιού στο υπεριώδες φως στην περιοχή των -35 nm απορροφάται από τον κερατοειδή και μπορεί να προκαλέσει φωτοκερατίτιδα (φλεγμονή του κερατοειδούς. Η επαναλαμβανόμενη έκθεση του κερατοειδούς στο υπεριώδες φως δεν έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη ενός μηχανισμού προστασίας, όπως για παράδειγμα συμβαίνει στο δέρμα (μαύρισμα. Το κοντινό υπεριώδες φως στην περιοχή των 35-4 nm απορροφάται κυρίως στο φακό του ματιού και μπορεί να προκαλέσει καταρράκτη. Μήκη κύματος μικρότερα από 4 nm δεν αποτελούν κίνδυνο για τoν αμφιβληστροειδή. Η έκθεση του δέρματος στην υπεριώδη ακτινοβολία μπορεί να προκαλέσει κοκκίνισμα, γήρανση ακόμη και καρκίνο του δέρματος.... Ορατή και κοντινή υπέρυθρη ακτινοβολία -NI (4-4 nm Η έκθεση του ματιού σε laser δέσμες στο ορατό (4-7 nm και κοντινό υπέρυθρο (7-4 nm φάσμα μπορεί να βλάψει τον αμφιβληστροειδή. Οι δέσμες laser αυτής της φασματικής περιοχής διαδίδονται μέσα στο μάτι και εστιάζονται από το φακό παράγοντας ισχυρή ένταση φωτός στον αμφιβληστροειδή. Η ένταση της ακτινοβολίας πάνω στον αμφιβληστροειδή μπορεί να ξεπεράσει κατά παράγοντα αυτής της προσπίπτουσας στον κερατοειδή εξαιτίας της εστίασης. Η μετατροπή αυτής της ενέργειας σε θερμότητα μπορεί να προκαλέσει εγκαύματα στον αμφιβληστροειδή με αποτέλεσμα την απώλεια όρασης ακόμη και τύφλωση αν πειραχθεί το οπτικό νεύρο. Ακόμη και χαμηλής ενέργειας δέσμες μπορούν να προκαλέσουν ζημία στο μάτι εάν εστιαστούν κατά παράγοντα. Για το λόγο αυτό τα μήκη κύματος στην περιοχή των 4-4 nm ονομάζονται περιοχή οφθαλμικής επικινδυνότητας (ocular haard region. Η έκθεση του δέρματος στην ορατή ακτινοβολία μπορεί να προκαλέσει εγκαύματα και υπέρμετρη ξήρανση...3. Μέση και μακρινή υπέρυθρη ακτινοβολία - FI (4 - nm Οι δέσμες laser της μέσης και μακρινής υπέρυθρης ακτινοβολίας προκαλούν βλάβες κυρίως στον κερατοειδή και λιγότερο στο φακό του ματιού. Η βλάβη οφείλεται συνήθως σε φαινόμενα θερμότητας αν και παλμικά laser μπορεί να προκαλέσουν βλάβες εξαιτίας 4

25 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser θερμομηχανικών φαινόμενων. Το φως με μήκη κύματος πάνω από 4 nm δεν φτάνει στον αμφιβληστροειδή. Η μέση υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκη κύματος μεταξύ 4 nm και 3 nm μπορεί να διαπεράσει μέσα στο φακό προκαλώντας καταρράκτη. Η μακρινή υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκη κύματος μεταξύ 3 και nm απορροφάται από τον κερατοειδή και μπορεί να προκαλέσει καψίματα στον κερατοειδή μέχρι και απώλεια όρασης..3. Άλλοι κίνδυνοι Παράλληλα με τους κινδύνους από τις δέσμες laser ελλοχεύουν κι άλλοι κίνδυνοι σχετικοί με την λειτουργία του laser. Αυτοί περιλαμβάνουν εκρήξεις, ηλεκτρικές εκκενώσεις, κρυογενικά υγρά, εύφλεκτα υλικά, θόρυβο, ακτίνες x, ακτινοβολία υπεριώδους και επικίνδυνα χημικά αέρια που συνοδεύουν το laser..3.. Ηλεκτρικοί κίνδυνοι Θανατηφόροι ηλεκτρικοί κίνδυνοι υπάρχουν στις υψηλής ισχύος ηλεκτρικές εγκαταστάσεις των συστημάτων laser. Η ηλεκτροπληξία αποτελεί την πιο κοινή αιτία θανάτου σχετική με το περιβάλλον εργασίας υψηλής ισχύος συστημάτων laser. Μια σειρά από λεπτομερείς κανόνες αποφυγής ηλεκτρικών κινδύνων ακολουθούνται στα διάφορα εργαστήρια τόσο από το εξειδικευμένο προσωπικό όσο και από τους χρήστες..3.. Κίνδυνοι εκρήξεων Λάμπες υψηλής πίεσης που χρησιμοποιούνται στα laser για άντληση πρέπει να είναι κατασκευαστικά προστατευμένες να αντέχουν πιθανές εκρήξεις κατά τη διάρκεια της ζωής τους. Πιθανοί υποψήφιοι εκρήξεων είναι οι υψηλής τάσης πυκνωτές οι οποίοι θα πρέπει να είναι κατάλληλα θωρακισμένοι για τέτοιες περιπτώσεις. Τα παραπάνω πρότυπα πρέπει να τηρούνται από τον κατασκευαστή Επικίνδυνα χημικά αέρια Αναθυμιάσεις, τοξικά αέρια, ατμοί και καπνός μπορεί να υπάρξουν σε χώρους εγκαταστάσεων συστημάτων laser. Για παράδειγμα, το όζον παράγεται γύρω από τις λάμπες άντλησης ενώ ίνες αμιάντου μπορούν να ελευθερωθούν από τούβλα που χρησιμοποιούνται για μπλοκάρουν δέσμες CO laser. Η αυξημένη χρήση χημικών laser καθιστά τους χημικούς κινδύνους πιο επικίνδυνους από την ακτινοβολία laser. Για παράδειγμα, το φθόριο που χρησιμοποιείται σε KrF laser είναι εξαιρετικά τοξικό κι απαιτεί άμεση μεταχείριση μόλις κάποιος έρθει σε επαφή. He-Cd lasers μπορεί να μολύνουν το εργαστήριο με ατμούς καδμίου εάν δεν απάγεται σωστά από το εργαστήριο. Ο κατάλληλος εξαερισμός του εργαστηρίου είναι απαραίτητος έτσι ώστε τα πιθανά χημικά αέρια να βρίσκονται σε συγκεντρώσεις κάτω του επιτρεπτού ορίου. 5

26 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser.3.4. Χρωστικές laser (Des Οι οργανικές χρωστικές που χρησιμοποιούνται από μερικά συστήματα laser είναι γνωστό πως μπορεί να οδηγήσουν σε καρκινογενέσεις, μεταλλάξεις και τερατογεννήσεις. Οι χρήστες αυτών των laser πρέπει να ακολουθούν πιστά το πρωτόκολλο ασφαλείας του εργαστηρίου σχετικά με την προετοιμασία των χρωστικών, την χρήση τους, την αποθήκευσή τους και την ανακύκλωσή τους. Γάντια, εργαστηριακές ποδιές και κατάλληλα γυαλιά πρέπει να χρησιμοποιούνται όταν κανείς μεταχειρίζεται επικίνδυνα χημικά. Ένας σταθμός πλύσης ματιών και άμεσης παροχής νερού (ντους πρέπει να υπάρχει σε χώρους που χειρίζονται επικίνδυνα χημικά. Φαγητό και ποτό απαγορεύονται στο εργαστήριο laser ιδίως όταν στο περιβάλλον υπάρχουν χημικές ουσίες Εύφλεκτα υλικά Εύφλεκτοι υλικά και αέρια μπορεί να αναφλεγούν από δέσμες laser κλάσης 4. Τέτοιες δέσμες πρέπει να τερματίζονται με μη-εύφλεκτα υλικά. Εύφλεκτοι διαλύτες και υλικά πρέπει να αποθηκεύονται σε κατάλληλα σκεύη (containers και να θωρακίζονται από τις δέσμες laser καθώς και από ηλεκτρικούς σπινθήρες. Εάν δεν χρησιμοποιούνται συχνά πρέπει να απομακρύνονται από το εργαστήριο. Τέλος κάθε εργαστήριο πρέπει απαραίτητα να έχει λειτουργικό πυροσβεστήρα Κρυογενικά υγρά Κρυογενικά υγρά (ειδικά το υγρό άζωτο μπορεί να χρησιμοποιούνται για την ψύξη των κρυστάλλων του laser. Τα υγρά αυτά μπορούν να προκαλέσουν εγκαύματα στο δέρμα ή ακόμη και εξατμιζόμενα να μειώσουν τα επίπεδα του οξυγόνου σε μη επαρκώς εξαεριζόμενα εργαστήρια. Η χρήση και αποθήκευση των κρυογενικών υγρών πρέπει να γίνεται φορώντας γάντια με μόνωση και μάσκα προστασίας. Εάν το δέρμα έρθει σε επαφή με το υγρό ρίξτε επάνω άφθονη ποσότητα νερού. Ο επαρκής εξαερισμός του εργαστηρίου που χρησιμοποιεί κρυογενικά υλικά είναι απαραίτητος Υγρασία - θερμοκρασία Συνήθως τα υψηλής ισχύος παλμικά laser απαιτούν συγκεκριμένες τιμές θερμοκρασίας και υγρασίας του χώρου στέγασής τους για να λειτουργήσουν. Η συνήθης θερμοκρασία είναι γύρω στους o C. Ο χρήστης θα πρέπει να είναι κατάλληλα ντυμένος ανεξάρτητα από τις εξωτερικές συνθήκες σε περίπτωση που θα εργαστεί στο χώρο για μεγάλο χρονικό διάστημα. Η συνήθης τιμή υγρασίας είναι 3% ένα όριο που είναι πολύ χαμηλότερο από το επιτρεπτό (45% για τον άνθρωπο προκαλώντας ξηρασία λαιμού στον χρήστη. Εάν ο χρήστης χρειάζεται να παραμένει για μεγάλο χρονικό διάστημα στο χώρο είναι καλό να κάνει πολλά μικρά διαλλείματα. 6

27 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser.3.8. Ακτίνες X Η παραγωγή ακτινών X είναι πιθανή όταν οι τάσεις ξεπερνούν τα 5 kv, όχι και τόσο σύνηθες για τυπικά εργαστηριακά laser. Σε αυτή την περίπτωση το εργαστήριο πρέπει να παρακολουθείται για τα επιτρεπτά επίπεδα ραδιενέργειας των ακτινών X Υπεριώδης ακτινοβολία Αν και η υπεριώδης ακτινοβολία της δέσμης laser παρουσιάζει τους μεγαλύτερους κινδύνους, εντούτοις υπεριώδης ακτινοβολία μπορεί να παραχθεί και από τις εκκενώσεις λαμπών άντλησης. Η σωστή θωράκισή τους είναι απαραίτητη και συχνά παρέχεται από τον κατασκευαστή..3.. Θόρυβος Τα επίπεδα του θορύβου σε μερικά εργαστήρια laser μπορεί να ξεπεράσουν τα επιτρεπτά όρια. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητη η χρήση ωτοασπίδων. Πως λειτουργεί το μάτι Το μάτι λειτουργεί σαν μια φωτογραφική μηχανή ακριβείας και αποτελείται από διαφορετικά μέρη που δουλεύοντας όλα μαζί μας επιτρέπουν να βλέπουμε. Η ίριδα είναι το χρωματιστό μέρος του ματιού με μία οπή στο μέσο που ονομάζεται κόρη. Μπροστά από την ίριδα βρίσκεται ένας διάφανος χιτώνας, ο κερατοειδής, που λειτουργεί σαν το πρόσθιο προστατευτικό κέλυφος του ματιού αλλά και σαν εστιακός φακός. Ο πρόσθιος θάλαμος είναι ο ενδιάμεσος χώρος μεταξύ του κερατοειδή και της ίριδας. Ο πρόσθιος θάλαμος διατηρεί το σχήμα του καθώς περιέχει υδατοειδές υγρό το οποίο προμηθεύει με οξυγόνο και θρεπτικά συστατικά το εσωτερικό του ματιού. Ο κερατοειδής είναι ο πιο δυνατός φακός του οπτικού συστήματος του ματιού. Είναι σχεδόν αόρατος καθώς αποτελείται από διάφανο ιστό. Το κυρτό του σχήμα, του επιτρέπει να λειτουργεί και σαν φακός, προσφέροντας τα δύο τρίτα της συνολικής δύναμης εστίασης του ματιού. Η υπόλοιπη δύναμη εστίασης προέρχεται από τον κρυσταλλοειδή φακό, που βρίσκεται στο πρόσθιο μέρος του ματιού, πίσω από την ίριδα. Ο αμφιβληστροειδής λειτουργεί σαν το φιλμ της φωτογραφικής μηχανής καλύπτοντας την εσωτερική επιφάνεια στο πίσω μέρος του ματιού. Αποτελείται από νευρικό ιστό και φωτουποδοχείς που μετατρέπουν τις ακτίνες φωτός σε ηλεκτρικά σήματα τα οποία πηγαίνουν στον εγκέφαλο μέσο του οπτικού νεύρου. Η ίριδα και ο φακός μέσα στο μάτι λειτουργούν μαζί σαν το μπροστινό μέρος φωτογραφικής μηχανής, επιτρέποντας τις ακτίνες του φωτός από ένα αντικείμενο να περάσουν στον αμφιβληστροειδή στο πίσω μέρος του ματιού, οπού η εικόνα εντυπώνεται αλλά ανεστραμμένη. Ο εγκέφαλος μετά αναλύοντας την εικόνα τη ξαναστρέφει στη κανονική της 7

28 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser θέση. Καθ όλη τη διάρκεια ο φακός μέσα στο μάτι αλλάζει το σχήμα του προσαρμόζοντας το βάθος εστίασης που χρειάζεται για το μάτι να βλέπει καθαρά. 8

29 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser Το παρακάτω κείμενο δημοσιεύθηκε στο περιοδικό "Laser Focus" τον Αύγουστο του 977. Accident victim's view Because laser injuries to ees are rare, workers tend to discount the importance of safet precautions. The following dramatic account b Dr. C. David Decker, a victim of such an accident earlier this ear was prepared in the hope that his experience ma increase vigilance among his colleagues. The necessit for safet precautions with high power lasers was forcibl brought me to me last Januar when I was partiall blinded b a reflection from a relativel weak Nd-YAG laser beam. etinal damage resulted from a 6-millijoule, -nanosecond pulse of invisible 64-nanometer radiation. I was not wearing protective goggles at the time, although the were available in the laborator. As an experienced laser researcher knows, goggles not onl cause tunnel vision and become fogged but the become ver uncomfortable after several hours in the laborator. When the beam struck m ee I heard a distinct popping sound, caused b a laser-induced explosion at the back of m eeball. M vision was obscured almost immediatel b streams of blood floating in the vitreous humour, and b what appeared to be particulate matter suspended in the vitreous humour. It was like viewing the world through a round fishbowl full of glcerol into which a quart of blood and a handful of black pepper have been partiall mixed. There was local pain within a few minutes of the accident, but it did not become excruciating. The most immediate response after such an accident is horror. As a Vietnam Veteran, I have seen several terrible scenes of human carnage, but none affected me more than viewing the world through m blood-filled eeball. In the aftermath of the accident I went into shock, as is tpical in personal injur accidents. As it turns out, m injur was severe but not nearl as bad as it might have been. I was not looking directl at the prism from which the beam had reflected, so the retinal damage is not in the fovea. The beam struck m retina between the fovea and the optic nerve, missing the optic nerve b about three millimeters. Had the focused beam struck the fovea, I would have sustained a blind spot in the centre of m field of vision. Had it struck the optic nerve, I probabl would have lost the sight of that ee. Ee damage caused b laser pulse is shown in this plot of field of view under high-intensit illumination (red line and under low-intensit illumination (blue line. Outer circles show field of view; the two small regions inside the field (pink of view are blind spots produced b laser damage. The blind spots are larger than the lesion and occup a larger area under low illumination. The optic nerve blind spot is orange, close to the lesions. The beam did not strike so close to the optic nerve, however, that it wavered nerve-fiber bundles radiating from the optic nerve. This has resulted in a crescent shaped blind spot man times the sie of the lesion. The diagram is a Goldman-Fields scan of the damaged ee, indicating the sightless portions of m field of view four months after the accident. The small blind spot at the top exists for no discernible reason; the lateral blind spot is the optic nerve blind spot. The effect of the large blind area is much like having a finger placed over one's field of vision. Also I still have numerous floating objects in the field of view of m damaged ee, although the blood streamers have disappeared. These "floaters" are more a dail hindrance than the blind areas, because the brain tries to integrate out the blind area when the undamaged ee is open. There is also recurrent pain in the ee, especiall when I have been reading too long or when I get tired. 9

30 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Κατηγορίες Laser The moral of all this is to be careful and to wear protective goggles when using high power lasers. The temporar discomfort is far less than the permanent discomfort of ee damage. The tpe of reflected beam which injured me also is produced b the polariers used in Q switches, b intracavit diffraction gratings, and b all beamsplitters or polariers used in optical chains. 3

31 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΑΔΟΣΗ ΗΜ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ 3.. Εισαγωγή Το φως μπορεί να περιγραφεί ως ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα του οποίου η συμπεριφορά διέπεται από τους γενικούς νόμους του Maxwell οι οποίοι περιγράφουν όλες τις μορφές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, π.χ. ραδιοκύματα, ακτίνες X, κτλ. Αυτή η θεώρηση του φωτός ονομάζεται ηλεκτρομαγνητική οπτική (electromagnetic optics. Η διάδοση της ΗΜ ακτινοβολίας επιτυγχάνεται μέσω των συζευγμένων διανυσματικών πεδίων, του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Ωστόσο, δύναται να περιγράψουμε πλήθος οπτικών φαινόμενων χρησιμοποιώντας μια απλοποιημένη θεωρία βαθμωτών πεδίων στην οποία το φως περιγράφεται από μια βαθμωτή κυματοσυνάρτηση. Αυτή η προσεγγιστική περιγραφή του φωτός ονομάζεται κυματική οπτική (wave optics. Όταν το φως διαδίδεται μέσα και γύρω από αντικείμενα των οποίων οι διαστάσεις είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματός του, η κυματική του φύση δεν διακρίνεται και η συμπεριφορά του φωτός μπορεί να περιγραφεί επαρκώς μέσα από γεωμετρικούς κανόνες. Αυτό το προσεγγιστικό μοντέλο περιγραφής του φωτός ονομάζεται οπτική ακτίνων (ra optics ή και γεωμετρική οπτική (geometrical optics. Από μια καθαρά μαθηματική σκοπιά μπορούμε να πούμε πως η οπτική ακτίνων είναι το όριο της κυματικής οπτικής όταν το μήκος κύματος του φωτός είναι απειροστό. Αν και η ηλεκτρομαγνητική οπτική παρέχει την πιο ολοκληρωμένη περιγραφή του φωτός στο πλαίσιο της Κλασσικής Μηχανικής, εντούτοις υπάρχουν οπτικά φαινόμενα που υπόκεινται στο πεδίο της Κβαντομηχανικής (π.χ. φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Τέτοια φαινόμενα εμπίπτουν στο πεδίο της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής και ο αντίστοιχος κλάδος ονομάζεται κβαντική οπτική (quantum optics. Σχ. 3.. Σχηματική παράσταση των επικαλύψεων των διαφόρων μοντέλων περιγραφής του φωτός. 3

32 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 3.. Γεωμετρική Οπτική: Οπτική πινάκων Τα οπτικά στοιχεία συνήθως είναι κεντραρισμένα γύρω από κάποιον οπτικό άξονα, γύρω από τον οποίο διέρχονται οι ακτίνες με κάποια μικρή κλίση. Τέτοιου είδους ακτίνες ονομάζονται παραξονικές ακτίνες. Η δε παραπάνω προσέγγιση ονομάζεται παραξονική οπτική. Σημειώνεται πως η παραξονική οπτική μπορεί να συνδυαστεί τόσο με τη γεωμετρική όσο και με την κυματική οπτική. Η οπτική πινάκων είναι μια τεχνική για την εύκολη και βολική περιγραφή της παραξονικής οπτικής. Σ αυτή η ακτίνα περιγράφεται από τη θέση της και τη γωνία της σε σχέση με τον οπτικό άξονα. Η θέση και η γωνία στα επίπεδα εισόδου κι εξόδου ενός οπτικού συστήματος σχετίζονται μέσω δυο γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Συνεπώς το οπτικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από έναν x πίνακα που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς. Πιο αναλυτικά: Έστω οπτικό σύστημα που τοποθετείται μεταξύ δύο επιπέδων και, που θεωρούνται ως τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου, αντίστοιχα, των ακτίνων (σχήμα 3.. Τόσο οι ακτίνες όσο και ο οπτικός άξονας εμπεριέχονται στο επίπεδο. Το ζητούμενο είναι να «ιχνηλατήσουμε» την ακτίνα καθώς αυτή διαδίδεται στο οπτικό σύστημα. Μια ακτίνα που διασχίζει το επίπεδο στο χαρακτηρίζεται εξολοκλήρου από τη συντεταγμένη στο σημείο εισόδου και τη γωνία θ. Κατά την έξοδο της ακτίνας από το οπτικό σύστημα στο επίπεδο οι νέες συντεταγμένες της είναι και θ. Το οπτικό σύστημα όσο περίπλοκο και να είναι χαρακτηρίζεται πλήρως από το αποτέλεσμα που είχε πάνω στην ακτίνα. Σχ. 3.. Μια ακτίνα εισέρχεται σε ένα οπτικό σύστημα στο επίπεδο στη θέση (, θ και βγαίνει στο επίπεδο η θέση (, θ. Στην παραξονική προσέγγιση όταν όλες οι γωνίες είναι αρκετά μικρές έτσι ώστε sinθ tanθ θ, η σχέση μεταξύ, θ και, θ είναι γραμμική και γενικά μπορεί να γραφεί ως A C B D (3. όπου A, B, C και D είναι πραγματικοί αριθμοί. Οι εξισώσεις 3. μπορούν βολικά να γραφούν σε μορφή πίνακα ως 3

33 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 33 D C B A (3. Ο πίνακας Μ του οποίου τα στοιχεία είναι τα A,B,C και D, χαρακτηρίζει το οπτικό σύστημα αφού επιτρέπει να υπολογιστεί η θέση (, θ από την θέση εισόδου (, θ. Ονομάζεται πίνακας μεταφοράς (ra-transfer matrix. Η βολικότητα των πινάκων μεταφοράς έγκειται στο γεγονός ότι ένα πολύπλοκο οπτικό σύστημα μπορεί να «σπάσει» στα συστατικά του τα οποία περιγράφονται από πίνακες μεταφοράς. Έτσι το πρόβλημα της μεταφοράς της ακτίνας μέσα από οποιοδήποτε οπτικό σύστημα ανάγεται σε πρόβλημα πολλαπλασιασμού διδιάστατων πινάκων. Στον πίνακα 3. δίνονται οι πίνακες μεταφοράς μερικών χαρακτηριστικών περιπτώσεων. Παράδειγμα: Ελεύθερη διάδοση tan d d d M Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τον γενικό πίνακα μεταφοράς για την αντίστροφη διάδοση, δηλ. με βάση το σχήμα 3., η ακτίνα να μπει το επίπεδο στη θέση (, θ και να βγει από το επίπεδο στη θέση (, θ. Μια απλή αλγεβρική αντιστροφή του πίνακα Μ δεν είναι αρκετή καθώς δεν λαμβάνει υπόψη την αλλαγή των κατά σύμβαση προσήμων των οπτικών μεγεθών. Κατά σύμβαση αντιστροφή του διανύσματος της ακτίνας συνεπάγεται αντιστροφή της συντεταγμένης θ. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε ' ' ' ' D C B A (3.3 ή ' ' ' ' A C B D (3.4 Συγκρίνοντας την σχέση 3.4 με την 3. προκύπτει εύκολα ότι ο πίνακας μεταφοράς για την αντίστροφη διάδοση Μ - είναι: D C B A M, A C B D M

34 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 34 Πίνακας 3.. Τυπικές περιπτώσεις πινάκων μεταφοράς. Παρατηρείστε ότι η ορίζουσα των πινάκων είναι μοναδιαία, δηλ. AD-BC =, όταν τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου βρίσκονται σε μέσα με τον ίδιο δείκτη διάθλασης Κυματική οπτική στα πλαίσια της παραξονικής προσέγγισης Από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει η κυματική εξίσωση t E c E (3.5 Χωρίζοντας τις χωρικές από τις χρονικές μεταβλητές της λύσης θέτοντας (,, (,,, ( t A x u t x E (3.6 προκύπτει ότι ( ( (,, ( ( t A ck dt t A d x u k (3.7.a (3.7.b όπου k σταθερά. Η λύση της 3.7.b είναι της γενικής μορφής: exp( ( t i A t A, με ω=ck.

35 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Επομένως, στο πλαίσιο της κυματικής οπτικής, όπου η περιγραφή των πεδίων γίνεται από βαθμωτές συναρτήσεις, θεωρούμε μονοχρωματικό κύμα το οποίο μπορεί να περιγραφεί από την εξής βαθμωτή συνάρτηση: ~ E ( x,,, t E ( x,, exp( i t Το πλάτος Ẽ πρέπει να ικανοποιεί την κυματική εξίσωση (Helmhol equation ( E ~ ( x,, (3.8 k (3.9 όπου k=ω/c. Η λύση στην παραπάνω εξίσωση μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Frenel-Kirchoff. Για μια δεδομένη κατανομή του πεδίου Ẽ(x,, στο επίπεδο =, η κατανομή του πεδίου Ẽ(x,, σε οποιοδήποτε επίπεδο στην κατεύθυνση της διάδοσης περιγράφεται από τη σχέση E ~ ( x,, j ~ exp[ ( jkr ] E ( x,, cos dx d (3. S r Η γεωμετρική επεξήγηση παρουσιάζεται στο σχήμα 3.3, όπου r είναι η απόσταση ανάμεσα στα σημεία P (x, του επιπέδου και P(x, του επιπέδου. θ είναι η γωνία μεταξύ της γραμμής P P και της καθέτου στο επίπεδο. Σχ. 3.3.Υπολογισμός του πεδίου Ẽ στο σημείο P όταν είναι γνωστή η τιμή του στο σημείο P. Έστω τώρα ότι αναζητούμε τη μορφή της παραπάνω λύσης στο πλαίσιο της παραξονικής προσέγγισης όπου το κύμα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση σε μικρές γωνίες θ. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να γράψουμε E ~ ( x,, u ( x,, exp( jk (3. Όπου η u(x,, είναι μια αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση, δηλ. μεταβάλλεται ελάχιστα σε απόσταση τάξης μεγέθους του μήκους κύματος. Με βάση την σχέση 3. η σχέση 3.9 δίνει u u jk (3. όπου ( / x ( /. Η σχέση 3. είναι η παραξονική κυματική εξίσωση (paraxial Helmholt equation. Για να βρούμε μια λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης αντίστοιχης της 3. κάνουμε τις εξής προσεγγίσεις στην 3.: α cosθ, β r = - για τον παρονομαστή του κλάσματος, και για το r στο εκθετικό γράφουμε 35

36 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 36 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( / / x x x x x x r (3.3 εφόσον, x x. Η διαφορετική προσέγγιση της ποσότητας r οφείλεται στο ότι στο μεν εκθετικό προσεγγίζεται σε σχέση με το μήκος κύματος (k=π/λ ενώ στο δε παρονομαστή προσεγγίζεται σε σχέση με τις χωρικές συντεταγμένες x και. Με βάση τα παραπάνω η σχέση 3. γράφεται: ( ( ( exp,, ( ~ ( ( exp(,, ( ~ d dx x x jk x E jk j x E S (3.4 Αυτό ονομάζεται ολοκλήρωμα Hugens-Fresnel-Kirchhoff στην προσέγγιση Fresnel, το οποίο λαμβάνοντας υπόψη και την σχέση 3. που είναι η έκφραση της παραξονικής δέσμης γράφεται: ( ( exp,, (,, ( d dx L x x jk x u L j x u S (3.5 όπου θέσαμε L =. Η μέχρι τώρα ανάλυση αναφέρεται σε διάδοση στον ελεύθερο χώρο. Θέλοντας να επεκτείνουμε την προσέγγισή μας και σε ένα γενικό οπτικό σύστημα ABCD αποδεικνύεται ότι η σχέση 3.4 παίρνει τη μορφή: ( ( exp,, (,, ( d dx B x x x D x A jk x u B j x u S (3.5.b Παρατηρείστε ότι για A=D= και B=L προκύπτει η περίπτωση της διάδοσης στον ελεύθερο χώρο Γκαουσιανές δέσμες Στο κεφάλαιο αυτό θα ψάξουμε να βρούμε ιδιολύσεις της 3.5, δηλ. λύσεις που διατηρούν την συναρτησιακή τους μορφή καθώς διαδίδονται (ιδιοκαταστάσεις. Οι Γκαουσιανές δέσμες αποτελούν μια πολύ σημαντική κατηγορία τέτοιων λύσεων της παραξονικής κυματικής εξίσωσης με τεράστιες εφαρμογές στην οπτική των δεσμών laser. Στην προσέγγισή μας η Γκαουσιανή λύση καθώς και οι ιδιότητές της θα προκύψουν από τις σχέσεις 3.4 και Χαμηλότερης τάξης λύση (τρόπος Θεωρούμε τη γενικότερη σχέση 3.5. Χωρίς απώλεια της γενικότητας (και με μόνη υπόθεση να μην υπάρχουν περιοριστικές οπές (apertures κατά την διάδοση του κύματος, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα 3.5 να μπορεί να πάει στα όρια ± η λύση μπορεί να γραφεί ως (δοκιμαστική συνάρτηση:

37 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 37 ]} / [( exp{,, ( q x jk x u (3.6 όπου q = q( είναι μια μιγαδική παράμετρος, γνωστή ως παράμετρος της Γκαουσιανής δέσμης. Μάλιστα αν γράψουμε ]} / [( exp{,, ( q x jk x u (3.7 τότε η γενική λύση γράφεται ως q x jk q B A x u exp /,, ( (3.8 με D Cq B Aq q (3.9 Η φυσική ερμηνεία αυτών των λύσεων μπορεί να προκύψει εύκολα με τον παρακάτω συλλογισμό. Καταρχήν γράφουμε τη Γκαουσιανή λύση του πεδίου Ẽ με βάση τις 3. και 3.8. q x jk q B A E exp / ~ (3. Στη συνέχεια θεωρούμε σφαιρικό κύμα με το κέντρο του x = = =. Το πεδίο του σε κάποιο σημείο P(x,, μπορεί να γραφεί ως jk A E exp ~ (3. όπου η ακτίνα του κύματος. Ακολουθώντας την παραξονική προσέγγιση μπορούμε να γράψουμε ( x (, / ( sin x x x x (3. οπότε το πεδίο γράφεται x jk A E exp ~ (3.3 Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως προσέγγιση Fresnel ενός σφαιρικού κύματος και ονομάζεται παραβολοειδές κύμα. Η ακτίνα καμπυλότητας του κύματος είναι η. Για πολύ μεγάλα το παραβολοειδές κύμα καταλήγει σε ένα επίπεδο κύμα (Ẽ~exp(-ik γεγονός που παραστατικά φαίνεται στο σχήμα 3.4. Σχ Γραφική εξήγηση των προσεγγίσεων παραβολοειδούς και επίπεδου κύματος.

38 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 38 Συγκρίνοντας τις σχέσεις 3. και 3.3 προκύπτει πως η Γκαουσιανή δέσμη μπορεί να ιδωθεί ως ένα σφαιρικό κύμα με μιγαδική ακτίνα καμπυλότητας q. Για να κατανοηθεί το νόημα της μιγαδικής καμπυλότητας χωρίζουμε την μεταβλητή q στο πραγματικό και φανταστικό της μέρος. ( ( ( w j q (3.4 Τότε η 3. γράφεται x jk w x E exp exp ~ (3.5 Η συνάρτηση 3.5 διέπεται από τον παράγοντα πλάτους / exp( w r, όπου ( x r που περιγράφει την ακτινική εξάρτηση του πλάτους του πεδίου. Η μεταβλητή w είναι η παράμετρος που περιγράφει το ακτινικό μέγεθος της δέσμης (spot sie. Θα μελετήσουμε την 3.5 διεξοδικά για την περίπτωση της διάδοσης στον ελεύθερο χώρο. Συγκρίνοντας τον παράγοντα φάσης της 3.5 με αυτόν της 3.3 για το σφαιρικό κύμα, παρατηρούμε ότι είναι ταυτόσημοι. Αυτό μας οδηγεί στο να αναγνωρίσουμε την ποσότητα ( ως την ακτίνα καμπυλότητας του σφαιρικού μετώπου κύματος της Γκαουσιανής δέσμης Διάδοση στο ελεύθερο χώρο Υποθέτουμε την διάδοση της Γκαουσιανής δέσμης κατά τη θετική φορά του άξονα σε ελεύθερο χώρο. Τότε είναι A = D =, C = και B =. Άρα από την 3.9 προκύπτει ότι q q (3.6 Επίσης κάνοντας την υπόθεση = για = (προκύπτει από την απαίτηση η φάση του κύματος της 3.5 να είναι μηδέν στο = για όλα τα x,, μπορούμε να γράψουμε w j q (3.7 όπου w είναι το ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της δέσμης (η τιμή του αντιστοιχεί στο επίπεδο =. Συνδυάζοντας τις 3.7, 3.6 και 3.4 προκύπτει μετά από λίγη άλγεβρα ( ( w w w w (3.8.a (3.8.b Η λύση του πεδίου με βάση την 3.8, 3. και τα αποτελέσματα 3.8 μπορεί να γραφεί τελικά στην βολική μορφή:

39 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα όπου E ~ ( x,, w r exp exp jk w w r jk j (3.9 tan (3.3 w Αυτή είναι και η τελική λύση του προβλήματος αφού με μόνη παράμετρο το ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της δέσμης w, (για δεδομένο λ μπορεί να προσδιοριστεί η κατανομή του πεδίου σε οποιοδήποτε. Δεν απομένει παρά να δούμε το φυσικό νόημα των δυο όρων της λύσης, δηλ. του παράγοντα πλάτους (w /wexp[-r /w ] και του παράγοντα φάσης exp[- ik(+r /-φ]. Παράγοντας πλάτους (w /wexp[- r /w ] Κατά τη διάδοσή της η δέσμη διατηρεί την Γκαουσιανή της μορφή (επομένως είναι ιδιολύση της 3.4 όπως αρχικά απαιτήσαμε. Ωστόσο αυτό που αλλάζει είναι το μέγεθος της δέσμης w σύμφωνα με τη σχέση 3.8. Το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης w προκύπτει όταν = (beam waist. H ένταση του πεδίου είναι ~ I E w w r I, επομένως μπορεί να γραφεί exp w I (3.3 Αναζητώντας το αξονικό (r = σημείο στο οποίο η ένταση μειώνεται στο μισό προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει όταν w w πρέπει να ισχύει / w, ή. Από την 3.8 προκύπτει ότι σε αυτή την περίπτωση w (3.3 Η απόσταση είναι γνωστή ως μήκος aleigh (aleigh range και ορίζεται ως η απόσταση από το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης w μέχρι το μέγεθος να έχει μεγαλώσει κατά παράγοντα. Σχ Κανονικοποιημένη ένταση Ι/Ι ως συνάρτηση της αξονικής (r = απόστασης. Για = η τιμή της έντασης πέφτει στο μισό. 39

40 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Η ακτινική εξάρτηση της έντασης φαίνεται σχηματικά στο σχήμα 3.6. για διαφορετικά. Παρατηρείστε ότι στην τιμή r w / η ένταση μειώνεται στην τιμή I I / e r w η ένταση μειώνεται στην τιμή I I / e max max, ενώ για Σχ Κανονικοποιημένη ένταση Ι/Ι ως συνάρτηση της ακτινικής απόστασης r για διάφορες αξονικές αποστάσεις : a =, b =, c =. Για μεγάλες αποστάσεις >>, μπορούμε να γράψουμε προσεγγιστικά w / w δηλ. το w εξαρτάται γραμμικά από τα. Άρα μπορούμε να ορίσουμε τη γωνία απόκλισης (βλ. σχήμα 3.7 ως w (3.3 w Σχ Το πλάτος της δέσμης w( και η γωνιακή απόκλιση θ ως συνάρτηση της απόστασης. Τέλος ορίζουμε το αξονικό μήκος κατά το οποίο το μέγεθος της δέσμης δεν μεγαλώνει παραπάνω από τον παράγοντα. Σε αυτό το μήκος η αξονική ένταση της δέσμης δεν μειώνεται κάτω από το μισό της μέγιστης τιμής της. Το μήκος αυτό που ισούται με δυο φορές το μήκος aleigh ονομάζεται βάθος εστίασης (depth of focus, confocal parameter. 4

41 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα Σχ Το βάθος πεδίου Γκαουσιανής δέσμης. Μετά την εισαγωγή του μήκους aleigh οι σχέσεις γράφονται πιο απλά ως εξής: w ( w tan ( (3.33.a (3.33.b (3.33.c Παράγοντας φάσης exp[-ik(+r /-φ] Κατά τον άξονα διάδοσης της δέσμης (r = η φάση της δέσμης είναι k-φ(. k είναι η φάση του επιπέδου κύματος. H φ( αντιστοιχεί σε ένα προβάδισμα φάσης που δίνεται από τη σχέση 3.33c και παίρνει τιμές από π/ για = - έως π/ για = +. Αντιστοιχεί δε στο προβάδισμα φάσης του μετώπου κύματος σε σχέση με ένα επίπεδο ή σφαιρικό κύμα. Η ολική φάση αθροιστικά από = - έως = + είναι π, και το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο Gou. Ο παράγοντας φάσης kr / είναι υπεύθυνος για την κύρτωση του μετώπου κύματος και την απόκλιση από το σφαιρικό μέτωπο κύματος. Παριστάνει την απόκλιση της φάσης για τα σημεία δεδομένου επιπέδου κάθετου στο άξονα εκτός του άξονα. Οι ισοφασικές επιφάνειες είναι παραβολοειδείς. Μια γραφική παράσταση αυτών φαίνεται στο σχήμα 3.9, ενώ στο σχήμα 3. φαίνεται μια συγκριτική απεικόνιση επιπέδων, Γκαουσιανών και σφαιρικών κυμάτων. Σχ Μέτωπα κυμάτων Γκαουσιανής δέσμης 4

42 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 4 Σχ. 3.. Μέτωπα (α επιπέδου κύματος, (b σφαιρικού κύματος, (c Γκαουσιανής δέσμης. Παράδειγμα: Εστίαση Γκαουσιανής δέσμης από λεπτό φακό. Έστω Γκαουσιανή δέσμη με ελάχιστο μέγεθος δέσμης w και επίπεδο μέτωπο κύματος που προσπίπτει πάνω σε λεπτό φακό εστιακής απόστασης f. Θέλουμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο μέγεθος δέσμης w, καθώς και την απόσταση m στην οποία συμβαίνει αυτό. Θεωρώντας τους πίνακες μεταφοράς ελεύθερης διάδοσης και διάδοσης από λεπτό φακό έχουμε για τον τελικό πίνακα διάδοσης Μ D C B A f f f M / / / Η μιγαδική παράμετρος δέσμης /q πριν το φακό είναι καθαρά φανταστική (= για επίπεδο κύμα και γράφεται: j w j q όπου το μήκος aleigh που αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση w. Η μιγαδική παράμετρος δέσμης /q μετά το φακό γράφεται:

43 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 43 / / f f f j f f f f j f f j f b a b j b a a jb a j f j f q B A q D C w j q Η μιγαδική παράμετρος δέσμης /q στο σημείο εστίασης της δέσμης m είναι φανταστική εφόσον στο σημείο αυτό =. Επομένως το πραγματικό μέρος της προηγούμενης εξίσωσης δίνει: m m m f f f f f f f Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η απόσταση στην οποία συμβαίνει το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης είναι μικρότερο από την εστιακή απόσταση του φακού! Παρατηρείστε όμως ότι σε τυπικές συνθήκες είναι >> f, επομένως m f. Στη συνέχεια εξισώνοντας τα φανταστικά μέρη και λαμβάνοντας υπόψη ότι m f έχουμε: m m m m m m f w f w f f f w (3.34 Για τυπικές συνθήκες είναι >> f, οπότε προκύπτει το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα w f w (3.35

44 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα 44 Υψηλής τάξης λύσεις (τρόποι Αποδεικνύεται υπάρχουν οικογένειες ιδιολύσεων της 3.5 που μπορούν να γραφτούν ως γινόμενα Γκαουσιανών συναρτήσεων και πολυωνύμων Hermite. Για παράδειγμα για διάδοση στο ελεύθερο χώρο η ιδιολύση είναι: ( exp exp,, ( ~, m l j x jk w x w H w x H w w x E m l m l (3.36 Για την χαμηλότερη τάξη λύση θέτουμε l = m =. Επειδή το πολυώνυμο Hermite μηδενικής τάξης είναι μια σταθερά η λύση αυτή δεν είναι άλλη από τη λύση της Γκαουσιανής στο ελεύθερο χώρο που μελετήσαμε. Αυτή η λύση ονομάζεται τρόπος ΤΕΜ (Transverse Electric and Magnetic στην παραξονική προσέγγιση το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο της ακτινοβολίας είναι κάθετα στην διάδοση διεύθυνσης. Στο σχήμα 3. φαίνεται η ακτινική κατανομή του προφίλ των εντάσεων τρόπων ΤΕΜ διαφόρων τάξεων. Σχ. 3.. Προφίλ των εντάσεων τρόπων ΤΕΜ διαφόρων τάξεων.

45 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διάδοση ΗΜ κυμάτων σε οπτικά μέσα ΑΣΚΗΣΕΙΣ a Δείξτε ότι για την ελεύθερη διάδοση μέσα από υλικό πάχους d και δείκτη διάθλασης n d / n ο πίνακας μεταφοράς είναι M (χρησιμοποιείστε το νόμο του Snell. b Ομοίως δείξτε ότι για διάδοση μέσα από λεπτό φακό ο πίνακας μεταφοράς είναι M (Χρησιμοποιείστε τη σχέση για την εστίαση από λεπτό φακό /p + /q / f = /f. Αποδείξτε ότι εάν ο πίνακας διάδοσης είναι M C D αντίστροφη διάδοση είναι ο τότε ο πίνακας για την D M. (Χρησιμοποιείστε τη σχέση 3.3 και την C A περιγραφή αντίστροφου πίνακα από την άλγεβρα δηλ. εάν A d det A c b. a a b A, τότε c d 3 Εάν ως λύση της κυματικής εξίσωσης Helmhol ( k E ( x,, θεωρήσουμε την ~ συνάρτηση E ( x,, u ( x,, exp( jk όπου η u(x,, είναι μια αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση, δείξτε ότι η κυματική εξίσωση καταλήγει στην παραξονική u u u κυματική εξίσωση jk. x ~ 4 Αποδείξτε την σχέση αντικαθιστώντας την δοκιμαστική λύση 3.7 στο ολοκλήρωμα Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3.4, 3.6 και 3.7 δείξτε τις σχέσεις Έστω μια ΤΕΜ Γκαουσιανή δέσμη laser που παρέχεται από παλμικό Ti:Sapphire laser διαμέτρου δέσμης cm, μήκους κύματος λ = 8 nm, χρονικής διάρκειας παλμού τ = 5 fs κι ενέργειας παλμού E = 5 mj. Η δέσμη εστιάζεται από λεπτό φακό εστιακής απόστασης f =.5 m. Υπολογίστε τις παρακάτω ποσότητες: a. Το μήκος aleigh της δέσμης πριν εισέλθει στο φακό. b. Το ελάχιστο μέγεθος της δέσμης κατά την εστίαση w. c. Το μήκος aleigh και το βάθος εστίασης. d. Την μέγιστη ένταση της δέσμης στην εστία I( =, r=. Μονάδες: W/cm. e. Την μέγιστη ένταση της δέσμης σε απόσταση = από την εστία. Σημείωση: Τα παραπάνω δεδομένα και υπολογισμοί ανταποκρίνονται στις προδιαγραφές και καθημερινή χρήση του Ti:Sapphire laser του Κέντρου Εφαρμογών Laser του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. 45

46 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΟΠΤΙΚΑ ΑΝΤΗΧΕΙΑ 4.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την θεωρία των παθητικών οπτικών αντηχείων (passive optical resonators. Τα οπτικά αντηχεία είναι ο όρος που χρησιμοποιείται για το σύστημα ανάδρασης που αναφέρθηκε στην.. γνωστό και ως κοιλότητα laser (laser cavit. Ο όρος παθητικός αναφέρεται στο γεγονός ότι δεν περιλαμβάνεται κάποιο ενεργό μέσο (ενισχυτής μέσα στην κοιλότητα. Τα οπτικά αντηχεία αποτελούνται συνήθως από επίπεδους ή σφαιρικούς καθρέφτες που βρίσκονται σε απόσταση L μεταξύ τους. Η απόσταση L μπορεί να είναι από μερικά κλάσματα του εκατοστού έως και αρκετές δεκάδες εκατοστά. Τα αντηχεία laser είναι ανοικτά, χωρίς πλευρικές επιφάνειες γύρω από τον άξονα διάδοσης για να μειωθούν οι επιτρεπτοί τρόποι ταλάντωσης. Αυτό θα γίνει κατανοητό στο υποκεφάλαιο 4. όπου θα αναπτύξουμε την θεωρία των τρόπων δόνησης μέσα σε μια ορθογώνια κοιλότητα. Τα οπτικά αντηχεία, εφόσον είναι ανοικτά, αναπόφευκτα έχουν απώλειες λόγω περίθλασης στα δύο άκρα τους. Επομένως, μιλώντας αυστηρά, δεν μπορεί να υποστηρίξουν πραγματικά στάσιμα κύματα (εφόσον αυτά θα καταστραφούν λόγω των απωλειών. Ωστόσο μπορούμε στα παρακάτω να δεχθούμε την έννοια των στάσιμων κυμάτων με πολύ μικρές απώλειες που υποστηρίζονται σε οπτικά αντηχεία. Τότε λοιπόν ορίζουμε ως τρόπο δόνησης (mode το εξής ΗΜ πεδίο: E ( r, t E u ( r exp[( t / jt] (4. c όπου τ c είναι ο χρόνος ζωής του τρόπου (cavit photon deca time Τρόποι δόνησης ορθογώνιας οπτικής κοιλότητας Έστω η ορθογώνια κοιλότητα του σχήματος 4. με διαστάσεις x = = a, = L. Σχ. 4.. Oρθογώνια κοιλότητα a x a x L. 46

47 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία 47 Εργαζόμενοι όπως και στο κεφάλαιο 3.3, η λύση της κυματικής εξίσωσης t E c E μπορεί να γραφεί ως: ( exp(,, (,,, ( t j x u E t x E (4. Επί πλέον θεωρώντας τα τοιχώματα της κοιλότητας τέλειους αγωγούς το πεδίο πρέπει να υπόκειται στις εξής οριακές συνθήκες: ˆ n E (4.3 Όπου nˆ το μοναδιαίο διάνυσμα της εκάστοτε επιφάνειας. Με άλλα λόγια οι εφαπτομενικές συνιστώσες του πεδίου πρέπει να μηδενίζονται πάνω στις αγώγιμες επιφάνειες. Οι λύσεις της κυματικής εξίσωσης Helmhol,, ( ( x u k μπορούν να προκύψουν με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών (δηλ. ( ( (,, ( u u x u x u x. Η γενική λύση γράφεται ως cos( sin( sin(,, ( sin( cos( sin(,, ( sin( sin( cos(,, ( k k x k u x u k k x k u x u k k x k u x u x x x x x (4.4 Οι 4.4 ικανοποιούν την κυματική εξίσωσης Helmhol όταν x k k k k (4.5 Επί πλέον ικανοποιούν την συνθήκη 4.3 αφού μηδενίζονται στα επίπεδα x = = =. Απαιτώντας τώρα να ικανοποιούνται οι 4.3 και στα άκρα x = a, = a και = L της κοιλότητας προκύπτει ότι: L n k a m k a l k x (4.6 όπου l,m,n θετικοί ακέραιοι. Το φυσικό τους νόημα είναι ότι αντιστοιχούν στον αριθμό των δεσμών που έχει το στάσιμο κύμα κατά τη διεύθυνση x,, και. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τον αριθμό των τρόπων ταλάντωσης Ν(ν μιας ορθογώνιας κοιλότητας των οποίων η συχνότητα είναι μεταξύ και ν. Είναι ο ίδιος αριθμός τρόπων με αυτών που έχουν κυματάνυσμα k με μέγεθος k μεταξύ και πν/c. Πράγματι είναι L n k v c n n L c v k Πράγματι, για παράδειγμα όταν x n n ˆ τότε μηδενίζονται οι εφαπτομενικές συνιστώσες,, ( x u και,, ( x u.

48 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Από τις 4.6 βλέπουμε πως σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων k x, k, k οι επιτρεπτές τιμές του k προσδιορίζονται από διανύσματα στους άξονες k x, k, k με αρχή το σημείο (,, και μήκος αυτό των σημείων των επιτρεπτών δεσμών. Μια απλή περίπτωση με ( k x, k, k = (a, a, L φαίνεται στο σχήμα 4.. Σχ. 4.. Τρόποι ταλάντωσης ορθογώνιας κοιλότητας. Ο αριθμός των σημείων με k μεταξύ και πν/c μπορεί να υπολογιστεί ως το /8 του όγκου της σφαίρας με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα πν/c διαιρεμένου με τον όγκο μιας μονάδας όγκου με διαστάσεις (π/a, π/a, π/l. Σημειώνεται πως τα k είναι μόνο θετικά κι επομένως θα λάβουμε υπόψη τον όγκο ενός ογδοημόριου. Άρα ( / 8( 4 / 3 (v / c 8v ( V (4.7 ( / a ( / a ( / L 3c N 3 Ο παράγοντας μπροστά από το κλάσμα μπήκε επειδή στην ανάλυσή μας δεν λάβαμε υπόψη τους δυο επιτρεπτούς τρόπους ταλάντωσης σε κάθε κατεύθυνση δηλ. τις δυο πολώσεις του πεδίου. Οι πολώσεις του πεδίου προκύπτουν από τη συνθήκη βαθμίδας Coulomb που καταλήγει στην, όπου. Για δεδομένο κυματάνυσμα το διάνυσμα της πόλωσης βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στο το διάνυσμα επιτρέποντας έτσι δυο ανεξάρτητες πολώσεις του πεδίο στο επίπεδο αυτό. V είναι ο όγκος της κοιλότητας, V = 4a L. Επομένως ο αριθμός των τρόπων ταλάντωσης ανά μονάδα όγκου της κοιλότητας και ανά μονάδα συχνότητας p v γράφεται: p 3 3 dn 8v (4.8 3 V dv c 48

49 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία 4... Αντηχείο παράλληλων επιπέδων (Fabr-Perot Αποτελείται από δυο επίπεδους καθρέφτες τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση L όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3.a. Σε πρώτη προσέγγιση οι τρόποι δόνησης του αντηχείου μπορούν να θεωρηθούν ως οι γραμμικοί συνδυασμοί δυο επίπεδων ΗΜ κυμάτων που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις ως προς τον άξονα της κοιλότητας. Οι ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας τότε μπορούν να υπολογιστούν από την συνθήκη το μήκος κύματος της κοιλότητας L να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ημιμήκους του μήκους κύματος λ, δηλ. L=n(λ/. Αυτό προκύπτει από την αναγκαία συνθήκη μηδενισμού των στάσιμων ΗΜ κυμάτων πάνω στην επιφάνεια των καθρεφτών. Οι ιδιοσυχνότητες περιγράφονται από τη σχέση: c v n (4.9 L Η σχέση 4.9 προκύπτει διαφορετικά και από μια άλλη συνθήκη απαιτώντας η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι μηδέν ή ακέραιο πολλαπλάσιο του π, επομένως k(l = nπ => πνl/c=nπ => ν=nc/l. Μόνο σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των ΗΜ κυμάτων μπορούν να συμβάλλουν ενισχυτικά και να υποστηρίξουν συνθήκες στάσιμων κυμάτων. Με βάση την 4.9 η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης θα είναι: c v (4. L Σχ (a Αντηχείο Fabr-Perot, (b Σφαιρικό αντηχείο Σφαιρικό αντηχείο (Concentric Αποτελείται από δυο σφαιρικούς καθρέφτες ίδιας ακτίνας καμπυλότητας τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση L έτσι ώστε οι συντεταγμένες των κέντρων καμπυλότητας C και C να ταυτίζονται, δηλ. L =, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3.b. Όπως και στο αντηχείο Fabr-Perot σε πρώτη προσέγγιση οι τρόποι δόνησης του αντηχείου μπορούν να θεωρηθούν ως οι γραμμικοί συνδυασμοί δυο ΗΜ σφαιρικών κυμάτων που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις ως προς τον άξονα της κοιλότητας και που ξεκινούν από το σημείο C. Τα σφαιρικά κύματα ξεκινούν από το κοινό κέντρο καμπυλότητας, διαδίδονται μέχρι τα σφαιρικά κάτοπτρα στις επιφάνειες των οποίων ανακλώνται και εστιάζονται πάλι στο κοινό κέντρο καμπυλότητας επαναλαμβάνοντας το ίδιο μοτίβο διάδοσης. Προσέξτε ότι τα σφαιρικά κύματα εστιάζονται στο f = κι όχι στο f = / που ισχύει για τα επίπεδα κύματα (είναι /s + /s = -/. Οι ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας 49

50 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία καθώς και η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης περιγράφονται από τις σχέσεις 4.9 και 4., αντίστοιχα Γενικευμένο σφαιρικό αντηχείο Αντηχεία που σχηματίζονται από δυο σφαιρικούς καθρέφτες ίδιας ακτίνας καμπυλότητας τοποθετημένοι ο ένας απέναντι από τον άλλο σε απόσταση L έτσι ώστε L συχνά χρησιμοποιούνται. Ωστόσο δεν είναι εύκολο γενικά να χρησιμοποιήσει κανείς γεωμετρική οπτική για να βρει κλειστές τροχιές μέσα στην κοιλότητα. Μια ειδική περίπτωση φαίνεται στο σχήμα 4.4, όπου L= (αντηχείο confocal κατά την οποία ενώ μπορούμε να βρούμε οικογένειες κλειστών διαδρομών μέσα στην κοιλότητα εντούτοις δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το είδος των κυμάτων, π.χ. επίπεδα ή σφαιρικά. Με βάση το σχήμα 4.4 βλέπουμε πως η δέσμη αρχικά διαδίδεται από το σημείο στο παράλληλα. Έπειτα εστιάζεται στο σημείο / {/ + /s = /} και διαδίδεται ως την σφαιρική επιφάνεια από όπου ανακλάται ως παράλληλη δέσμη {/s + /(/ = /}. Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο συλλογισμό καταλήγουμε στο αρχικό σημείο εκκίνησης. Σχ Αντηχείο Confocal.Τα βέλη αντιστοιχούν στη μια φορά διάδοσης. Η δημιουργία στάσιμων κυμάτων στην κοιλότητα επιβάλλει την ύπαρξη κυμάτων με διάδοση αντίθετης φοράς Κυκλικό αντηχείο (ing Μια ιδιαίτερη κατηγορία αντηχείων είναι τα κυκλικά αντηχεία όπου η κλειστή διαδρομή μιας ακτίνας μέσα στην κοιλότητα προκύπτει από περισσότερα των δυο οπτικών στοιχείων (επίπεδων ή και σφαιρικών κατόπτρων τοποθετημένων σε κατάλληλη γεωμετρία συνδυασμένα έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η κλειστή διαδρομή. Παραδείγματα φαίνονται στο σχήμα

51 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Σχ Κυκλικά αντηχεία. Γενικά μπορούμε να πούμε πως οι ιδιoσυχνότητες προκύπτουν από τη συνθήκη η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Τότε οι ιδιοσυχνότητες περιγράφονται από τη σχέση: όπου L p το μήκος της κλειστής διαδρομής. c v n (4. L p Αυτού του τύπου τα αντηχεία επιτρέπουν την διαδρομή μόνο προς τη μια κατεύθυνση με τη χρήση κατάλληλου οπτικού στοιχείου (π.χ. οπτική δίοδος, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί σε ένα αντηχείο Fabr-Perot. Έτσι στο σχήμα 4.5.a, η διαδρομή επιτρέπεται μόνο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο σχήμα 4.5.b, ελλείψει διόδου, τα κύματα είναι στάσιμα κι άρα η διάδοσή τους επιτρέπεται και στις δυο φορές. Επομένως καταλήγουμε στο πολύ σημαντικό συμπέρασμα πως οι έννοιες των τρόπων δόνησης και των ιδιοσυχνοτήτων δεν περιορίζονται μόνο στα στάσιμα κύματα! Γενικά τα αντηχεία μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες, τα ευσταθή και τα ασταθή. Ασταθή είναι αυτά τα οποία έπειτα από ένα συγκεκριμένο αριθμό ανακλάσεων από τους δυο καθρέφτες η δέσμη αποκλίνει από τον άξονα της κοιλότητας. Στην αντίθετη περίπτωση το αντηχείο ονομάζεται ευσταθές. Παράδειγμα: Αριθμός τρόπων δόνησης σε κλειστά και ανοιχτά αντηχεία. Θεωρούμε ένα laser He-Ne με μήκος κύματος λ = 633 nm και εύρος συχνότητας Δν =.7x 9 H. Θεωρούμε επίσης αντηχείο μήκους L = 5 cm. Ανοιχτό αντηχείο: Η 4. για Ν τρόπους δόνησης που χωράνε στο δοθέν Δν γράφεται: v N c L N open Lv c 6 5

52 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Κλειστό αντηχείο: Έστω ότι το αντηχείο περικλείεται από μια κυλινδρική πλευρική επιφάνεια διαμέτρου α = 3 mm. Σύμφωνα με την 4.8 ο αριθμός τρόπων δόνησης με εύρος συχνότητας Δν είναι N P V v v 8v c 3 V v 8v c 3 a L v N closed Συνθήκη ευστάθειας Έστω το αντηχείο του σχήματος 4.5. Η δέσμη φεύγει από το σημείο P στο επίπεδο β μέσα στο αντηχείο ανακλάται από τους καθρέφτες και και ξαναβγαίνει στο επίπεδο β στο σημείο P. Ο πίνακας μεταφοράς της δέσμης είναι ο γνωστός ABCD. Συνεχίζοντας τη διαδρομή της η δέσμη από το σημείο P στο σημείο P του επιπέδου β, από το P στο σημείο P 3, κοκ. Ο πίνακας μεταφοράς της δέσμης για όλη την διαδρομή μετά από n επί μέρους κλειστές διαδρομές θα είναι ο (ABCD n. Σχ Τυχαίο αντηχείο. Ένα αντηχείο λέγεται ευσταθές όταν ο πίνακας μεταφοράς του (ABCD n δεν αποκλίνει. Ο ορισμός αυτός ισοδυναμεί με το να μη αποκλίνει η δέσμη από το αντηχείο. Τα παραπάνω μπορούν να επεκταθούν και σε κάθε μορφής αντηχείο ως εξής. Ορίζοντας τη μεταβλητή, ο πίνακας (ABCD n γράφεται (θεώρημα Slvester: A C B D n A sin( sin n sin(( n C sin( n D sin( B sin( n n sin(( n (4. Ο παραπάνω πίνακας δεν αποκλίνει μόνο εάν η θ είναι πραγματικός αριθμός. Επομένως, εφόσον, η συνθήκη ευστάθειας για οποιοδήποτε αντηχείο γράφεται: A D (4.3 Ειδικά για την περίπτωση αντηχείου με δυο σφαιρικά κάτοπτρα ακτίνων καμπυλότητας, και απόστασης L μπορούμε να το συγκεκριμενοποιήσουμε ακόμη περισσότερο. Ο πίνακας μεταφοράς (ανάκλαση από τον, ελεύθερη διάδοση στον, ανάκλαση από τον, ελεύθερη διάδοση στον γράφεται (βλ. πίνακα 3.: 5

53 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία ( / / L L L L L L L L L D C B A (4.4 Εύκολα επαληθεύεται ότι η ορίζουσα είναι μονάδα δηλ. AD - BC =. Από τον πίνακα 4.4 προκύπτει ότι ( ( L L L L L D A (4.5 Κατά συνθήκη ορίζουμε τις παραμέτρους g =-L/ και g =-L/ οπότε η 4.5 καταλήγει στην g g (4.6 που είναι και η τελική συνθήκη ευστάθειας. Παρατηρείστε πως η ευστάθεια εξαρτάται μόνο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των ακτινών καμπυλότητας, των κατόπτρων και της απόστασής τους L. Σχ Παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία. Η συνθήκη ευστάθειας 4.6 μπορεί να παρασταθεί γραφικά στο επίπεδο g, g όπως στο σχήμα 4.7. Οι έντονες γραμμές της υπερβολής αντιστοιχούν στην εξίσωση g g = ενώ οι συνθήκη g g = (δηλ. g = ή g = αντιστοιχεί στους άξονες g και g. Επομένως η περιοχή ευστάθειας είναι η γραμμοσκιασμένη περιοχή του σχήματος 4.7. Μια ιδιαίτερη περίπτωση κοιλότητας δυο καθρεφτών είναι αυτή που αντιστοιχεί στα σημεία της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων με κλίση 45 ο. Πρόκειται για κοιλότητες με δυο σφαιρικά κάτοπτρα ίδιας ακτίνας καμπυλότητας. Εύκολα παρατηρεί κανείς πως τα σημεία A, B και C αντιστοιχούν στα αντηχεία concentric, confocal, και Fabr-Perot, αντίστοιχα. Επειδή τα αντηχεία αυτά βρίσκονται στα όρια των περιοχών ευστάθειας, είναι ευσταθή μόνο για συγκεκριμένες ακτίνες (π.χ. ακτίνες κάθετες στους επίπεδους καθρέφτες ενός αντηχείου Fabr-Perot. Η ευστάθειά τους αναφέρεται ως οριακή ευστάθεια.

54 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Ευσταθή αντηχεία Θα θεωρήσουμε μια γενική περίπτωση αντηχείου μήκους L και χωρίς περιοριστικές οπές. Η διάδοση του πεδίου μέσα στην κοιλότητα περιγράφεται από την παραξονική διάδοση κυμάτων του ολοκληρώματος Fresnel-Kirchhoff (σχέση 3.5, του οποίου ιδιοκαταστάσεις (λύσεις είναι οι Ερμιτιανές-Γκαουσιανές (Hermite-Gaussian δέσμες όπως αυτές περιγράφηκαν στα υποκεφάλαια 3.4., 3.4. και Για να περιγράψουν σωστά οι εν λόγω ιδιοκαταστάσεις την κατανομή του ΗΜ πεδίου μέσα στην κοιλότητα, απαιτούμε αυτές να αναπαράγουν τον εαυτό τους μετά από μια κλειστή διαδρομή στην κοιλότητα. Επομένως εάν q είναι η μιγαδική παράμετρος δέσμης τότε μετά από μια κλειστή διαδρομή θα πρέπει να ισχύει q=q. Δηλαδή ( B q A D Cq D Cq B Aq q (4.7 Εφόσον η q είναι μιγαδική, το τριώνυμο έχει λύση όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική, δηλ. 4 ( BC A D (4.8 Επειδή όμως AD-BC =, εφόσον τα επίπεδα εισόδου κι εξόδου βρίσκονται σε μέσα με τον ίδιο δείκτη διάθλασης, προκύπτει ότι D + A <, επομένως καταλήγουμε στην συνθήκη 4.3. Αυτό σημαίνει πως λύσεις του τύπου Hermite-Gaussian μπορούν να υπάρξουν μόνο σε ευσταθείς κοιλότητες και ανάποδα. Οι λύσεις της 4.7 γράφονται (από τις δύο λύσεις μόνον αυτή με το αρνητικό πρόσημο οδηγεί σε φυσικά αποδεκτή λύση, δηλ. πραγματικό w. C j C D A C BC A D A D q 4 ( ( (4.9 Φέρνοντας την q στην μορφή ορισμού της C C D A C j C C D A C D A C j C D A w j q Ο παρονομαστής δίνει C B C BC C A D C D A C C D A Επομένως 4 B j B A D w j q (4. Η πολύ σημαντική αυτή σχέση εκφράζει τη μιγαδική παράμετρο q ως συνάρτηση των στοιχείων του πίνακα μεταφοράς ABCD.

55 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Ιδιοκαταστάσεις Για να βρούμε την μαθηματική σχέση που περιγράφει το πεδίο u(x,, σε κάποιο σημείο μιας κοιλότητας, χρειάζεται να υπολογίσουμε την μιγαδική παράμετρο q (σχέση 3.9 ως συνάρτηση των στοιχείων του πίνακα μεταφοράς ABCD. Από την q μπορούμε να εξάγουμε το πραγματικό και φανταστικό της μέρος (σχέσεις 3.4, 4. και να εκφράσουμε το ακτινικό μέγεθος της δέσμης w και την ακτίνα καμπυλότητας. Έχοντας αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τα w και σε οποιοδήποτε σημείο της κοιλότητας (σχέσεις 3.8 κι επομένως να γνωρίζουμε την πλήρη και αναλυτική μορφή του πεδίου (σχέση 3.9. Εφαρμόζουμε λοιπόν την παραπάνω μεθοδολογία για ένα αντηχείο δύο σφαιρικών κατόπτρων ακτινών καμπυλότητας = = και μεταξύ τους απόσταση L. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας μεταφοράς (κλειστή διαδρομή γράφεται (βλ. 4.4: ( L L L L L L D C B A (4. Έχουμε L L L L L L L L B C B A D B BC B A D B ( ( 4 ( 4 ( ( 4 (4. Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή g = - L/ => /L = /(-g, η 4. δίνει ( / 4 g L g g g L g g L L g g B (4.3 Επομένως από την 4. προκύπτει για το ακτινικό μέγεθος της δέσμης w 4 / / g L w (4.4 Από την 3.8 προκύπτει και το αποτέλεσμα για την ελάχιστη ακτινική απόσταση (beam waist w θέτοντας = L/ (στο μέσον της κοιλότητας. 4 / / 4( g g L w (4.5 που για συμμετρικά αντηχεία, δηλ. = L, όπου g=, δίνει το απλό αποτέλεσμα / /, L w L w (4.6

56 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία δηλ. w w /. Εύκολα αποδεικνύεται ότι για L << προκύπτει ότι w w. Στο σχήμα 4.8 δίνονται μερικά παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία Σχ Παραδείγματα Γκαουσιανών ακτινικών κατανομών σε συμμετρικά αντηχεία Ιδιοσυχνότητες Αρχικά στην 4.. περιγράψαμε τις ιδιοσυχνότητες ενός αντηχείου απαιτώντας η διαφορά φάσης μιας κλειστής διαδρομής του κύματος μέσα στην κοιλότητα να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Το επιχείρημα αυτό ισχύει για επίπεδα κύματα, ωστόσο για Ερμιτιανές- Γκαουσιανές δέσμες οι χωρικές διαφορές φάσης που παρουσιάζουν σε σχέση με τα επίπεδα κύματα μεταβάλλουν την απλή σχέση 4.9. Χωρίς απόδειξη (η λεπτομερής παρουσίασή της ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτών των σημειώσεων δίνεται ότι για αντηχεία δυο κατόπτρων οι επιτρεπτές ιδιοσυχνότητες της κοιλότητας που αντιστοιχούν σε Ερμιτιανές-Γκαουσιανές δέσμες της μορφής 3.36 περιγράφονται από τη σχέση: v lmn c l m n cos L ( g g (4.7 Παρατηρείστε ότι για την περίπτωση επίπεδων κατόπτρων όπου = =, κι άρα g =g =, προκύπτει η 4.9. Παράδειγμα: Περίπτωση = = L, όπου g =g =. c Η 4.7 δίνει v lmn (n l m 4 L Παρατηρούμε πως ενώ για τα ΤΕΜ (l=m= κύματα η συχνοτική διαφορά δυο διαδοχικών τρόπων είναι Δν=c/L, για τα ΤΕΜ lm κύματα η διαφορά αυτή είναι Δν=c/4L (π.χ. (n,,(n,,. 56

57 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Επίσης είναι σημαντικό να επισημάνουμε πως μπορεί να υπάρχουν τρόποι ταλάντωσης (n,l,m που έχουν την ίδια συχνότητα ν lmn αλλά ωστόσο αντιστοιχούν σε διαφορετικές χωρικές κατανομές (δέσμες. Αυτοί οι τρόποι λέγονται εκφυλλισμένοι ως προς την συχνότητα Ασταθή αντηχεία Τα ασταθή αντηχεία, δηλ. αυτά των οποίων οι δέσμες αποκλίνουν γρήγορα από την κοιλότητα, αν και χαρακτηρίζονται από τον αρνητικό όρο ασταθή, εν τούτοις βρίσκουν τεράστιες εφαρμογές στα laser υψηλής ισχύος. Τα ευσταθή αντηχεία έχουν το βασικό μειονέκτημα πως η δέσμη μέσα στην κοιλότητα είναι πολύ λεπτή, πολλές φορές ανεπαρκής να καλύψει τη διατομή του ενεργού μέσου σε εφαρμογές υψηλής ισχύος. Για παράδειγμα μια Γκαουσιανή δέσμη ενός ευσταθούς αντηχείου έχει ελάχιστο ακτινικό μέγεθος της τάξης του (λ/lπ / (βλ. 4.6 που αντιστοιχεί σε ένα τυπικό μέγεθος < mm. Στο σχήμα 4.9 φαίνεται το παράδειγμα ενός ασταθούς αντηχείου. Η διατομή της κοιλότητας εξαρτάται μόνο από το μέγεθος των κατόπτρων. Η μορφή της δέσμης στην έξοδό του είναι δακτυλιοειδής. Σχ Παράδειγμα ασταθούς αντηχείου Χρόνος ζωής φωτονίου και παράγοντας Q Έστω ένας τρόπος δόνησης ενός (ευσταθούς η μη αντηχείου κι έστω ότι ο τρόπος αυτός υπόκειται σε απώλειες (ανακλαστικότητες καθρεφτών μικρότερες του, σκέδαση σε οπτικά στοιχεία μέσα στην κοιλότητα, κτλ.. Ζητούμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσα στην κοιλότητα. Έστω λοιπόν Ι η αρχική ένταση του πεδίου του τρόπου δόνησης, και οι ανακλαστικότητες των καθρεφτών και Τ οι κλασματική απώλεια ανά πέρασμα μέσα από την κοιλότητα. Τότε η ένταση μετά από m κλειστές διαδρομές που αντιστοιχεί σε χρόνο t m = ml/c θα είναι: m ( T I ( t I m (4.8 Εάν τώρα ο αριθμός των φωτονίων σε αυτόν τον τρόπο δόνησης είναι φ(t τότε η 4.8 γράφεται: 57

58 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία m ( T ( t m (4.9 όπου φ ο αρχικός αριθμός των φωτονίων τη χρονική στιγμή t=.υποθέτοντας απώλειες εκθετικού τύπου μπορούμε να γράψουμε exp( / c (4.3 ( t m t m όπου τ c χρονική σταθερά. Από τη σύγκριση των 4.8 και 4.9 προκύπτει ότι c L c ln[ ( T ] L c (4.3 Επομένως ορίζουμε ως χρόνο ζωής φωτονίου στην κοιλότητα την σταθερά τ c που εκφράζει το χρόνο που απαιτείται ώστε να μειωθεί ο αριθμός των φωτονίων στο /e του αρχικού. Η σταθερά γ είναι η λογαριθμική απώλεια που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο (σχέσεις..3. Στη συνέχεια εισάγουμε την έννοια του παράγοντα ποιότητας της κοιλότητας η παράγοντα Q ο οποίος ορίζεται ως (4.3 Επομένως μια κοιλότητα με μεγάλο Q έχει μικρές απώλειες. Στην περίπτωσή μας η αποθηκευμένη ενέργεια είναι Ε = φ hν. Άρα η 4.3 γράφεται Με τη βοήθεια της 4.3 προκύπτει ότι Q (4.33 d / dt Q (4.34 c Ως ένα τελευταίο βήμα μπορούμε να αναφέρουμε πως η ποσότητα /(πτ c είναι το συχνοτικό εύρος της δέσμης laser που βγαίνει από την κοιλότητα. (Υποθέτοντας Γκαουσιανή κατανομή τύπου Ε = Εο exp[(-t/τ c +jωt] μέσα στην κοιλότητα άρα και στην έξοδό της, το εύρος προκύπτει από την κατανομή του μετασχηματισμού Fourier της έκφρασης. Τότε η 4.34 γράφεται: Q (4.35 Η 4.35 μας λέει πως ο παράγοντας ποιότητας Q μπορεί να ερμηνευτεί ως ο λόγος της συχνότητας συντονισμού προς το εύρος της. 58

59 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία Παράδειγμα: Έστω κοιλότητα με = =.98, Τ = και L = 9 cm. Υπολογίζουμε το χρόνο ζωής φωτονίου. Από την 4.3 προκύπτει ότι τ c = 5 ns. Υπολογίζοντας και τον χρόνο διέλευσης L/c = 3 ns παρατηρούμε ότι είναι πολύ μικρότερος του τ c. Υπολογίζουμε το συχνοτικό εύρος Δν = /(πτ c με τη βοήθεια της 4.3 και προκύπτει Δν =. MH. Η τιμή είναι ενδεικτική για τυπικές κοιλότητες. Γενικά κυμαίνεται από μερικά ΜΗ έως και μερικές δεκάδες MH. Υπολογίζουμε τον παράγοντα ποιότητας Q. Εικάζοντας λ=63 nm προκύπτει ν=5 4 H. Τότε η 4.34 μας δίνει Q = Επομένως μέσα σε μια κοιλότητα laser μπορούν να επιτευχθούν πολύ μεγάλες τιμές παράγοντα ποιότητας Q. Με άλλα λόγια οι απώλειες ενέργειας ανά κύκλο είναι ελάχιστες με αποτέλεσμα να μπορεί να συσσωρευθεί μεγάλη ποσότητα ενέργειας γύρω από μια συχνότητα. 59

60 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παθητικά Οπτικά Αντηχεία ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρούμε laser He-Ne με μήκος κύματος λ=633 nm και εύρος συχνότητας (διαπλατυσμένο κατά Doppler Δν*=.7x 9 H. Το σφαιρικό αντηχείο του laser έχει μήκος L=5 cm και καθρέφτες με ανακλαστικότητες =, =.9 και μηδαμινές κλασματικές απώλειες (Τ i ή L i. Να υπολογιστούν: a. Ο χρόνος ζωής τ c του φωτονίου στο αντηχείο και ο χρόνος διέλευσής του. Πώς συγκρίνονται οι δυο χρόνοι. Παίζει κάποιο ρόλο η διαφορά τους στο μηχανισμό του laser; Εξηγείστε. b. Η συχνοτική διαφορά μεταξύ δυο διαδοχικών τρόπων δόνησης Δν. Το συχνοτικό εύρος του τρόπου δόνησης Δν c. Ο παράγοντας ποιότητας για τον τρόπο δόνησης του λ=633 nm που αντιστοιχεί τόσο στο συχνοτικό εύρος Δν c (μη διαπλατυσμένο όσο και στο Δν* (διαπλατυσμένο. Ποια η φυσική εξήγηση της διαφοράς τους; c. O αριθμός των τρόπων δόνησης του αντηχείου εντός του συχνοτικού εύρους Δν*. Πόσο αλλάζει ο αριθμός των τρόπων δόνησης εάν περικλείσω το αντηχείο με μια κυλινδρική πλευρική επιφάνεια διαμέτρου 5 mm; Σε τι συμπέρασμα καταλήγετε από το αποτέλεσμα σχετικά με τη γεωμετρική δομή ενός laser; Εξηγείστε.. Θεωρήστε ένα σφαιρικό αντηχείο με ίδιους σφαιρικούς καθρέφτες ακτίνας καμπυλότητας =4 m τοποθετημένοι σε απόσταση L= m. Υπολογίστε το μέγεθος της δέσμης w στο κέντρο του αντηχείου καθώς και w στην επιφάνεια των καθρεφτών για ένα ΤΕΜ τρόπο με μήκος κύματος λ = 54.5 nm. Επαναλάβατε τους υπολογισμούς για την περίπτωση = m, L= m. Με βάση τα αποτελέσματά σας σχεδιάστε ποιοτικά (σε δυο διαστάσεις την κοιλότητα και την δέσμη laser εντός της. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. 6

61 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΥΛΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τους μηχανισμούς αλληλεπίδρασης της ύλης με την ακτινοβολία. Η περιγραφή γίνεται σε επίπεδο Ατομικής Φυσικής θεωρώντας μεταβάσεις σε συστήματα μερικών επιπέδων. Τα ενεργειακά επίπεδα και οι μεταβάσεις σε πιο πολύπλοκα συστήματα μορίων και στερεών δεν εξετάζονται εδώ. Οι περιπτώσεις αυτές αναλύονται κατά περίπτωση στο κεφάλαιο 9 όπου παρουσιάζονται οι διάφορες κατηγορίες των laser και οι βασικοί εκπρόσωποί τους. 5.. Απορρόφηση κι εξαναγκασμένη εκπομπή Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε με λεπτομέρεια τις διαδικασίες της απορρόφησης κι εξαναγκασμένης εκπομπής σε ένα σύστημα δυο σταθμών που αλληλεπιδρά με μονοχρωματική ακτινοβολία. Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τους ρυθμούς W και W (βλ. σχέσεις.3 και.4. Για το σκοπό αυτό θα ακολουθήσουμε την ημικλασσική προσέγγιση κατά την οποία τα άτομα περιγράφονται από την κβαντομηχανική ενώ τα πεδία περιγράφονται κλασσικά από τις εξισώσεις του Maxwell. (Η προσέγγιση είναι ισχυρή όταν ο αριθμός των φωτονίων που αντιστοιχούν σε μια συχνότητα είναι πολύ μεγαλύτερος του. Ας υποθέσουμε πως ένα άτομο περιγράφεται από το σύστημα του σχήματος..a,b κι ότι οι καταστάσεις είναι μη εκφυλισμένες. Τότε οι κυματοσυναρτήσεις των δυο σταθμών περιγράφονται από τις ( r, t u( rexp[ i( E / t] (5. ( r, t u ( rexp[ i( E / t] όπου u, (r είναι οι ιδιοσυναρτήσεις των στάσιμων καταστάσεων και r οι συντεταγμένες του ηλεκτρονίου. Κατά τη διαδικασία της εκπομπής το άτομο περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση η οποία μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των δυο παραπάνω κυματοσυναρτήσεων, δηλ. t a( t a ( (5. όπου α, (t είναι μιγαδικά πλάτη για τα οποία ισχύει α + α = κι επομένως αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση ή, αντίστοιχα. Η ηλεκτρική διπολική ροπή μ αυτού του ατόμου θα δίνεται από τη σχέση μ e rdv (5.3 όπου e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Τότε από τις σχέσεις προκύπτει ότι: μ er a u dv er a u dv * * * * er[ a a u u exp( i t a a u u exp( i t] dv όπου το * συμβολίζει τη συζυγή μιγαδικά ποσότητα και (5.4 ( E / η συχνότητα E ταλάντωσης. Ο ταλαντωτικός όρος της 3.4 μπορεί να γραφεί πιο απλά ως 6

62 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη * μosc e[ aa μ exp( it] (5.5 όπου μ η χρονικά ανεξάρτητη διπολική ροπή (το στοιχείο μήτρας - matrix element - του τελεστή της διπολικής ροπής. * μ uerudv u er u (5.6 Η σχέση 5.5. είναι η έκφραση της διπολικής ροπής ενός ατόμου δυο σταθμών με μεταβαλλόμενους χρονικά πληθυσμούς. Πέρα από τους σταθερούς όρους της 5.4 που μπορεί να επάγουν μια μόνιμη διπολική ροπή, υπάρχει ο όρος ταλάντωσης που διέπεται από τη συχνότητα ω και το πλάτος μ. Έστω τώρα ότι το άτομό μας βρίσκεται μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε(t = Ε sin(ωt, όπου ω ω η κυκλική συχνότητα του πεδίου. Προσέξτε πως το μήκος κύματος του πεδίου λ είναι πολύ μεγαλύτερο από τη διάσταση του ατόμου. Πράγματι για laser στην οπτική περιοχή είναι λ 4 6 nm συγκριτικά με την τυπική διάσταση του ατόμου που είναι ~ Å. Επομένως το πεδίο θα έχει την ίδια τιμή σε όλη την περιοχή του ατόμου. Το πεδίο Ε(t αλληλεπιδρά με την διπολική ροπή του ατόμου μ. Με βάση την κβαντομηχανική το η αλληλεπίδραση αυτή περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή H = μ E η οποία και εισάγεται ως διαταραχή στη χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger (το πεδίο είναι ασθενές συγκριτικά με το Κουλομπικό πεδίο /r του ατόμου. Επειδή τώρα ω ω, η αλληλεπίδραση αυτή θα οδηγήσει σε μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων και. Η λεπτομερής περιγραφή αυτών των μεταβάσεων άπτονται υπολογιστικών τεχνικών που ξεφεύγουν το σκοπό του μαθήματος. Ο φοιτητής παραπέμπεται σε βιβλία κβαντικής/ατομικής φυσικής. Για το λόγο αυτό δίνεται το τελικό αποτέλεσμα με την συνθήκη ότι στην αρχή του χρόνου t= έχουμε α ( = και α ( =, δηλ. ο πληθυσμός είναι όλος στην βασική κατάσταση. Τότε η χρονική εξέλιξη της κατάστασης περιγράφεται από τη σχέση: a ( t E ( v v t (5.7 3h όπου ν=ω/π και δ η συνάρτηση δέλτα του Dirac. Τότε ο ρυθμός μετάβασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την 5.7. Άρα E ( v v 3h W sa (5.8 Ο δείκτης sa αναφέρεται στο ένα άτομο (single atom. Η εξίσωση 5.8 συχνά γράφεται στην πιο βολική μορφή της εισάγοντας την πυκνότητα ενέργειας ρ του ΗΜ πεδίου αντί του πλάτους Ε του πεδίου ως: ( v v 3n h W sa όπου ρ = n ε Ε /, n ο δείκτης διάθλασης κι ε η διηλεκτρική σταθερά. (5.9 Το αποτέλεσμα της 5.9 έχει ένα εμφανώς αφύσικο χαρακτηριστικό. Ο ρυθμός μετάβασης είναι μηδέν για ν ν ενώ απειρίζεται για ν=ν. Αυτό είναι απόρροια των αφύσικων 6

63 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη υποθέσεων που κάναμε δηλ. πεδίο άπειρης διάρκειας που συνεπάγεται μαθηματικά μονοχρωματικές συχνότητες, και επίσης μαθηματικά μονοενεργειακές στάθμες. Όπως θα δούμε και παρακάτω, ακόμη κι αν δεχτούμε τα πεδία αυστηρά μονοχρωματικά, οι ενεργειακές στάθμες των ατόμων υφίστανται διαπλατύνσεις. Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα λοιπόν είναι η αντικατάσταση της συνάρτησης Dirac με μια κανονικοποιημένη κατανομή συχνοτήτων συμμετρική γύρω από την ν. Θα ονομάσουμε g(ν-ν αυτήν την συνάρτηση και θα μελετήσουμε αργότερα τη μορφή και τις ιδιότητές της. Έτσι ο ρυθμός μετάβασης γράφεται g( v v 3n h W sa (5. Στη συνέχεια θεωρούμε την περίπτωση της εξαναγκασμένης εκπομπής. Το πρόβλημα είναι πανομοιότυπο με αυτό της απορρόφησης με τη διαφορά πως οι αρχικές συνθήκες είναι τώρα α ( = και α ( =, δηλ. ο πληθυσμός είναι όλος στην διεγερμένη κατάσταση. Αποδεικνύεται ότι η λύση είναι ταυτόσημη με αυτή της απορρόφησης αρκεί να εναλλάξουμε τους δείκτες και. Άρα θέτοντας μ = μ = μ sa sa sa W W W g( v v 3n h (5. Είναι χρήσιμο να συμπεριλάβουμε στην έκφραση 5. την περίπτωση που έχουμε επίπεδα κύματα. Τότε η ένταση Ι του κύματος είναι Ι = cρ/n, οπότε η 5. γράφεται W sa 3n ch Ig( v v ( Αυθόρμητη εκπομπή Το φαινόμενο της αυθόρμητης εκπομπής δεν μπορεί να περιγραφεί σωστά με την ημικλασσική προσέγγιση. Η ακριβής λύση του απαιτεί κβαντομηχανική περιγραφή τόσο του ατόμου όσο και του πεδίου, η οποία προφανώς είναι εκτός του σκοπού του μαθήματος. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας αντιμετώπισης είναι η περιγραφή του ρυθμού μετάβασης από τη σχέση vn A 3 (5.3 3h c Παράδειγμα 5.. Υπολογισμός του ρυθμού αυθόρμητης εκπομπής Α για διπολικές μεταβάσεις. Με βάση τη σχέση 5.3 για λ = 5 nm και μ = e r, με r. nm προκύπτει ότι Α 8 s -. Επομένως ο χρόνος ζωής μιας τέτοιας κατάστασης (που μπορεί να αποδιεγερθεί με διπολική μετάβαση είναι τ sp ns. Παρατηρείστε ότι ο ρυθμός Α εξαρτάται από την τρίτη δύναμη της συχνότητας. Επομένως ο ρόλος του πρέπει να είναι πολύ σημαντικός σε μεγάλες συχνότητες. Πράγματι στην περιοχή των x-ra laser (λ < 5 nm ο Α γίνεται τόσο μεγάλος ώστε οι τιμές του χρόνου ζωής μιας διπολικής ζεύξης δυο καταστάσεων να γίνεται τ sp < fs και να δυσκολεύει πολύ την διαδικασία της αντιστροφής πληθυσμού. 63

64 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη 5.3. Η θερμοδυναμική αντιμετώπιση του Einstein Ο Einstein περίγραψε τα φαινόμενα της απορρόφησης, εξαναγκασμένης κι αυθόρμητης εκπομπής με ένα στατιστικό τρόπο και μάλιστα πριν τους κβαντομηχανικούς υπολογισμούς. Στο στατιστικό του μοντέλο περιγράφει σωστά τη σχέση μεταξύ των ρυθμών απορρόφησης, εξαναγκασμένης κι αυθόρμητης εκπομπής. Οι υπολογισμοί του βασίζονται στο εξής επιχείρημα. Έστω ότι ένα υλικό τοποθετείται μέσα σε μια κοιλότητα μέλανος σώματος της οποίας τα εσωτερικά τοιχώματα διατηρούνται σε σταθερή θερμοκρασία Τ. Μετά την αποκατάσταση της θερμοδυναμικής ισορροπίας η πυκνότητα ενέργειας της ΗΜ ακτινοβολίας θα περιγράφεται από την σχέση (θεωρία μέλανος σώματος. 8v hv v 3 (5.4 ( c / n exp( hv / kt Σε αυτές τις συνθήκες θερμοδυναμικής ισορροπίας ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση στην κατάσταση θα είναι ίσος με αυτόν των μεταβάσεων από την κατάσταση στην κατάσταση. Επομένως μπορούμε να γράψουμε W Bv (5.5 W B v όπου Β οι σταθεροί συντελεστές γνωστοί ως συντελεστές Einstein. Tότε εάν N και N οι πληθυσμοί αυτών των καταστάσεων ισχύει: AN B N B (5.6 v v N Από την στατιστική Boltmann για μη εκφυλισμένες καταστάσεις έχουμε (βλ. σχέση.7 N hv exp (5.7 N kt Οι σχέσεις 5.5 και 5.6 δίνουν A v (5.8 B B exp( hv / kt Από τη σύγκριση των 5.4 και 5.8 για ν = ν, προκύπτει ότι: B A B B 8hv ( c / n B 3 3 (5.9 Η τεχνική του Einstein μας έδωσε το αποτέλεσμα ότι οι ρυθμοί απορρόφησης κι εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι οι ίσοι, όπως δείξαμε και κβαντομηχανικά. Επίσης μας δίνει το λόγο των ρυθμών αυθόρμητης κι εξαναγκασμένης εκπομπής Α/Β. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει την ακριβή τιμή του καθενός, εμείς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα των κβαντομηχανικών υπολογισμών και να βρούμε τα Α και Β. Πράγματι συγκρίνοντας τις 5.9, 5.5 και 5.9 προκύπτει εύκολα ότι 64

65 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη B 3n h vn A 3 3h c (5..a (5..a Παρατηρείστε πως το αποτέλεσμα στην τιμή του Α είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό των κβαντικών ηλεκτροδυναμικών υπολογισμών! 5.4. Μηχανισμοί διαπλάτυνσης Στη μέχρι τώρα ανάλυσή μας θεωρήσαμε ένα μόνο άτομο. Έτσι για παράδειγμα η φασματική κατανομή μιας μετάβασης καθορίστηκε μόνο από τις ατομικές ιδιότητες. Ωστόσο η παραπάνω θεώρηση επιδέχεται δραστικές αλλαγές λαμβάνοντας υπόψη τη συμπεριφορά ενός συνόλου ατόμων που βασικά δρουν ως ο ενισχυτής του laser. Ιδιαίτερα, αλλοίωση επιδέχεται η φασματική κατανομή των γραμμών μετάβασης καθώς διαπλατύνονται εξαιτίας συγκεκριμένων διαδικασιών που εξαρτώνται από τη φύση του υλικού. Οι διαδικασίες αυτές ονομάζονται μηχανισμοί διαπλάτυνσης χωρίζονται σε δυο κατηγορίες. α στους ομογενείς όπου η διαπλατυσμένη φασματική κατανομή των ατομικών μεταβάσεων είναι η ίδια για όλα τα άτομα και β στους μη-ομογενείς όπου η διαπλατυσμένη φασματική κατανομή των ατομικών μεταβάσεων δεν είναι ίδια για όλα τα άτομα και κατά συνέπεια δομείται σε ένα γενικότερο φάσμα Ομογενής διαπλάτυνση Ο πρώτος μηχανισμός ομογενούς διαπλάτυνσης είναι αυτός της διαπλάτυνσης λόγω κρούσεων. Στα αέρια οφείλεται στις κρούσεις των ατόμων/μορίων με τα άλλα άτομα/μόρια, ιόντα, ηλεκτρόνια, κτλ., αλλά και με τα τοιχώματα του περιβάλλοντα χώρου. Στα στερεά οφείλεται στις αλληλεπιδράσεις των ατόμων του πλέγματος με τα φωνόνια του κρυστάλλου. Μετά από μια κρούση η κυματοσυνάρτηση του συστήματος δυο σταθμών υπόκειται μια τυχαία αλλαγή φάσης η οποία αντικατοπτρίζεται στην ίδια αλλαγή φάσης της διπολικής του ροπής. Ως αποτέλεσμα διακόπτεται η σύμφωνη αλληλεπίδραση ατόμου-ημ πεδίου. Εφόσον στην αλληλεπίδραση τον κύριο ρόλο παίζει η διαφορά φάσης κι όχι η απόλυτη τιμή της, μπορούμε να θεωρήσουμε προς διευκόλυνσή μας ότι η αλλαγή φάσης γίνεται στο πεδίο ενώ του ατόμου παραμένει σταθερή. Ως ισοδύναμο αποτέλεσμα το πεδίο δεν είναι ημιτονοειδές αλλά παρουσιάζει ασυνέχειες, όπως στο σχήμα.7 του Κεφ.. Ο ρυθμός μετάβασης τότε περιγράφεται από τη σχέση 5. που όμως τώρα ισχύει για όλο τον πληθυσμό των ατόμων κι όχι μόνο για ένα, γεγονός αναμενόμενο αφού για ομογενή διαπλάτυνση όλα τα άτομα έχουν την ίδια διαπλάτυνση. Μένει τώρα να προσδιορίσουμε την ακριβή σχέση της φασματικής πυκνότητας g(ν-ν της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Αυτή εξαρτάται από τον μέσο χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ των κρούσεων τ c = <τ>. Υποθέτουμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας p τ του χρόνου κρούσεων 65

66 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη (δηλ. η πιθανότητα δυο διαδοχικές κρούσεις να βρίσκονται στο διάστημα τ και τ+δτ μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση exp( / c p (5. Είναι απλό να επαληθεύσει κανείς ότι c p d. Το παραπάνω μαθηματικό πρόβλημα αντιστοιχεί στο να υπολογίσει κανείς τη φασματική κατανομή ενός κύματος όπως αυτού του σχήματος.7 για το οποίο ο χρόνος συμφωνίας τ έχει κατανομή που περιγράφεται από τη σχέση 5.. Αποδεικνύεται ότι η φασματική κατανομή περιγράφεται από τη σχέση g( v v c 4 ( v v (5. Η κατανομή αυτή είναι Λορεντζιανή με μέγιστη τιμή το τ c και φασματικό πλάτος (FWHM v (5.3 c Ένας δεύτερος μηχανισμός ομογενούς διαπλάτυνσης προέρχεται από την αυθόρμητη αποδιέγερση. Είναι η φυσική ενδογενής διαπλάτυνση των ενεργειακών σταθμών που περιγράφεται πλήρως από την κβαντική ηλεκτροδυναμική. Αποδεικνύεται ότι κι αυτή η περίπτωση περιγράφεται όπως και η διαπλάτυνση κρούσεων από μια Λορεντζιανή της μορφής 5. με φασματικό πλάτος όμως v (5.4 Όπου τ sp ο χαρακτηριστικός χρόνος (FWHM της αυθόρμητης εκπομπής. sp c c Παράδειγμα 5.. Διαπλάτυνση κρούσεων σε laser He-Ne. Έστω ότι οι ατμοί He-Ne βρίσκονται σε πίεση P. Μια εκτίμηση του τ c προκύπτει ως τ c =l/υ th, όπου l η μέση ελεύθερη διαδρομή του ατόμου στο αέριο και υ th η μέση θερμική ταχύτητά του. Από την κινητική θεωρία των αερίων για μονοατομικά αέρια έχουμε για την υ th : 3 / M kbt th MS (3kBT / M Όσον αφορά τη μέση ελεύθερη διαδρομή αυτή υπολογίζεται από το μοντέλο της σκληρήςσφαίρας. Σε αυτό το άτομο θεωρείται ως ασυμπίεστη σφαίρα ακτίνας r που κατά τη διαδρομή του σαρώνει όγκο πr υ th t. Ο αριθμός των κρούσεων Ζ στη μονάδα του χρόνου είναι ίσος με τον αριθμό των ατόμων μέσα σε αυτό τον όγκο, δηλ. Ζ= πr υ th t n v, όπου n v ο αριθμός των ατόμων στη μονάδα του όγκου. Επομένως ό t th έ ύ ή r thtnv r ό ό ύ n v 66

67 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Για την ακρίβεια η σωστή έκφραση είναι / r n λόγω της σχετικής κίνησης των ατόμων. Δεδομένου ότι Επομένως PV Nk T n B v N V v P προκύπτει ότι k T M k Mk T BT B 3k T r P 6r P c th B B k B T r P Θεωρώντας r. nm και P =.5 Torr προκύπτει ότι τ c.5 μs και άρα Δν.64 MH. Παρατηρείστε ότι Δν ~ P. Παράδειγμα 5.3. Υπολογισμός του φυσικού πλάτους για διπολική μετάβαση. Βασιζόμενοι στα αποτελέσματα του παραδείγματος 5. είναι τ sp ns. Άρα Δν 6 ΜΗ. Παράδειγμα 5.4. Φασματικό εύρος ενός Nd:YAG laser. Στους ιοντικούς κρυστάλλους με προσμίξεις οι κρούσεις γίνονται μεταξύ των ιόντων και των φωνονίων του κρυστάλλου. Ο αριθμός των φωνονίων του κρυστάλλου είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας. Έτσι για θερμοκρασία δωματίου αναφέρουμε πως η ομογενής διαπλάτυνση είναι GH Μη-ομογενής διαπλάτυνση Η πρώτη περίπτωση μη ομογενούς διαπλάτυνσης έρχεται από τα ιόντα σε ιοντικούς κρυστάλλους ή γυαλιά. Τα ιόντα αυτά βρίσκονται σε ένα τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από τα γειτονικά άτομα του κρυστάλλου ή γυαλιού. Εξαιτίας των ανομοιογενειών του μέσου, ειδικά στο γυαλί, τα πεδία αυτά διαφέρουν από ιόν σε ιόν, με αποτέλεσμα να αλλοιώνονται οι ενεργειακές τους καταστάσεις (Stark effect. Στο φαινόμενο οφείλεται ο όρος μη-ομογενής διαπλάτυνση. Αποδεικνύεται ότι για τυχαίες ανομοιογένειες η κατανομή των συχνοτήτων μεταβάσεων g(ν-ν περιγράφονται από Γκαουσιανές κατανομές. Παράδειγμα 5.5. Φασματικό εύρος ενός Nd:glass laser. Πρόκειται για γυαλί πυριτίου με προσμίξεις ιόντων Nd 3+. Εξαιτίας των ανομοιογενειών του γυαλιού το φασματικό εύρος της μετάβασης λ =.5 μm είναι Δν 5.4 ΤΗ, δηλ. περίπου 4 φορές μεγαλύτερο από το αντίστοιχο της ομογενούς διαπλάτυνσης του Nd:YAG (βλ. παραδ Ένας δεύτερος μηχανισμός μη ομογενούς διαπλάτυνσης έρχεται από τα αέρια, και είναι γνωστός ως διαπλάτυνση Doppler. Υποθέτουμε πως ένα ΗΜ κύμα συχνότητας ν διαδίδεται στον άξονα κι έστω υ η ταχύτητα του ατόμου στην κατεύθυνση αυτή. Με βάση το φαινόμενο Doppler, η κατάσταση είναι ισοδύναμη με το να θεωρήσουμε το άτομο ακίνητο 67

68 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη και το κύμα με συχνότητα ν = ν (- υ /c, όπου c η ταχύτητα του φωτός στο μέσο. Η απορρόφηση από το άτομο συμβαίνει μόνο όταν η φαινομενική συχνότητα ν του ΗΜ κύματος είναι ίση με τη συχνότητα μετάβασης ν. Άρα ν (- υ /c = ν ή ν = ν /(- υ /c. Το τελευταίο αποτέλεσμα μπορούμε να το ερμηνεύσουμε ως τη νέα συχνότητα μετάβασης ' v v (5.5 c / του ατομικού συστήματος η οποία είναι διαπλατυσμένη κατά /(-υ /c. Για να υπολογίσουμε τη φασματική συνάρτηση διαπλάτυνσης g(ν - ν χρησιμοποιούμε την κινητική θεωρία των αερίων και συγκεκριμένα την κατανομή Maxwell-Boltmann. Αποδεικνύεται ότι η κατανομή είναι Γκαουσιανή με FWHM φασματική διαπλάτυνση / ln kb T v v (5.6 Mc Παράδειγμα 5.6. Φασματικό εύρος Doppler ενός He-Ne laser. Έστω λ = 63.8 nm και Τ = 3 Κ. Από την 5.6 προκύπτει ότι Δν.7 GΗ. Συγκρίνοντας με το παράδειγμα 5. της ομογενούς διαπλάτυνσης κρούσεων όπου Δν.64 ΜΗ και το παράδειγμα 5.3 της φυσικής διαπλάτυνσης Δν 6 ΜΗ, βλέπουμε ότι η διαπλάτυνση Doppler είναι ο κύριος παράγοντας διαπλάτυνσης Ενεργός διατομή μετάβασης, απορρόφηση κι ενίσχυση Ο ρυθμός μετάβασης W είναι ανάλογος της πυκνότητα ενέργειας ρ του ΗΜ πεδίου (σχέση 5.9, άρα και της έντασης του ΗΜ πεδίου Ι, επομένως και της ροής φωτονίων F=I/hν. Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε την ενεργό διατομή (cross section της μετάβασης ως W (5.7 F δικαιολογώντας έτσι τις σχέσεις.5 που είχαμε ορίσει αυθαίρετα στο κεφ.. Επομένως η ενεργός διατομή της απορρόφησης ή της εξαναγκασμένης εκπομπής (είναι ίσες εφόσον τα W είναι ίσα περιγράφεται από τη σχέση: vg( v v (5.8 3n ch Πρέπει να τονιστεί στο σημείο αυτό ότι η ενεργός διατομή της μετάβασης σ εξαρτάται μόνο από τις παραμέτρους των υλικών ( μ, ν, g(ν-ν και την συχνότητα ν του προσπίπτοντος κύματος. Επομένως η γνώση του σ συναρτήσει της ν αρκεί για να περιγραφεί η διαδικασία αλληλεπίδρασης. Ένας άλλος τρόπος να περιγράψει κανείς την αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας με την ύλη είναι μέσω της ποσότητας α: a ( N N (5.9 68

69 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Όταν Ν > Ν η σταθερά λέγεται συντελεστής απορρόφησης. Αν και η εξάρτηση του α από τους πληθυσμούς δεν φαίνεται να την κάνει καλή παράμετρο εντούτοις είναι βολική πειραματική παράμετρος αφού μετρείται πολύ εύκολα. Όταν Ν > Ν ο συντελεστής απορρόφησης γίνεται αρνητικός, επομένως το ΗΜ κύμα ενισχύεται αντί να απορροφάται. Σε αυτή την περίπτωση εισάγουμε μια νέα ποσότητα τον συντελεστή ενίσχυσης g: g ( N N (5.3 Στην περίπτωση που οι ενεργειακές στάθμες είναι εκφυλισμένες με εκφυλισμό g και g για τους πληθυσμούς Ν και Ν, αντίστοιχα, οι σχέσεις 5.9 και 5.3 γράφονται: a N N ( g / ] (5.3 [ g g N N ( g / ] (5.3 [ g 5.6. Μη ακτινοβολητικές μεταβάσεις Οι διεγερμένες καταστάσεις της ύλης γενικά μπορούν να αποδιεγερθούν χωρίς την εκπομπή ακτινοβολίας και μάλιστα σε πολλές περιπτώσεις αυτός είναι ο σημαντικότερος μηχανισμός αποδιέγερσης. Ο κύριος μηχανισμός μη ακτινοβολητικών αποδιεγέρσεων είναι η αποδιέγερση λόγω κρούσεων. Στα αέρια και τα υγρά η ενέργεια αποδιέγερσης μπορεί να μεταφερθεί στα αλληλοσυγκρουόμενα σώματα και τα τοιχώματα του δοχείου μετατρεπόμενη σε κινητική ενέργεια. Στα στερεά, όπως στους ιοντικούς κρυστάλλους και γυαλιά, η ενέργεια ενός διεγερμένου ιόντος μπορεί να μεταφερθεί στα φωνόνια του κρυστάλλου ή στις δονήσεις του γυαλιού. Η λεπτομερής περιγραφή μη ακτινιβολητικών μεταβάσεων είναι περίπλοκη από τη φύση της και μόνο η ποιοτική περιγραφή της έχει νόημα στο σημείο αυτό. Συνήθως θεωρούμε πως η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί από μια σχέση της μορφής.. Υποθέτοντας λοιπόν πως το σύστημα δυο σταθμών μας έχει τόσο ακτινοβολητικές όσο και μη ακτινοβολητικές μεταβάσεις μπορούμε να γράψουμε dn N N N dt (5.33 N όπου (5.34 N Αυτή είναι η βάση για τον υπολογισμό της χρονικής εξάρτησης του Ν. Στο κεφάλαιο 5.7 θα δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα λεπτομερέστερα. 69

70 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη 5.7. Κορεσμός Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος σταθμών στην παρουσία ενός ισχυρού ΗΜ πεδίου. Για παράδειγμα σε ένα σύστημα δυο σταθμών με αρχικό πληθυσμό στην βασική κατάσταση, αναμένεται πως η αλληλεπίδραση με ισχυρό ΗΜ πεδίο κατάλληλης συχνότητας κι έντασης θα καταστήσει τους πληθυσμούς των δυο σταθμών ίσους μετά την πάροδο εύλογου χρονικού διαστήματος. Το φαινόμενο αυτό καλείται κορεσμός Κορεσμός απορρόφησης: Ομογενής διαπλάτυνση Θα θεωρήσουμε σύστημα δυο σταθμών με πληθυσμούς Ν > Ν και ομογενή διαπλάτυνση της ενεργειακής μετάβασης. Ο ρυθμός μεταβολής του διεγερμένου πληθυσμού Ν εξαιτίας των φαινομένων της απορρόφησης, εξαναγκασμένης εκπομπής και αυθόρμητης εκπομπής (ακτινοβολητικής και μη ακτινοβολητικής μπορεί να γραφεί ως: dn dt dn dt WN N WN WN N WN Εισάγοντας τις μεταβλητές Ν Τ = Ν + Ν και ΔΝ = Ν - Ν, η 5.35 δίνει dn dt N( W Στην κατάσταση ισορροπίας όπου dδν/dt =, έχουμε N T (5.35a (5.35b (5.36 NT N (5.37 W Ωστόσο για να διατηρείται το σύστημα σε ισορροπία πρέπει να απορροφά ενέργεια από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Η ισχύς ανά μονάδα όγκου δίνεται από τη σχέση dp dv WN T NT ( hv WN hv hv W / W Επειδή σε συνθήκες κορεσμού ισχύει Wτ >>, τελικά προκύπτει ότι dp dv S NT hv (5.38 (5.39 Η 5.39 μας λέει πως η ισχύς που πρέπει να απορροφάται από το σύστημα έτσι ώστε αυτό να βρίσκεται σε κορεσμό είναι ίση με αυτή που χάνεται από το σύστημα εξαιτίας της αυθόρμητης εκπομπής του πληθυσμού Ν Τ /! Μερικές φορές είναι χρήσιμο να γράψουμε τις 5.37 και 5.38 σε μια πιο βολική μορφή. Λαμβάνοντας υπόψη ότι σ = W/F => W = σf = σι/hν έχουμε N N I / (5.4 T I S 7

71 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη όπου dp / dv ( dp / dv S I / I I / I S (5.4 S hv I S (5.4 Η I S ονομάζεται ένταση κορεσμού κι εξαρτάται από το υλικό και τη συχνότητα του προσπίπτοντος κύματος. Τότε η απορρόφηση α (σχέση 5.9 γράφεται a a (5.43 I / όπου a N I S T. Παρατηρείστε ότι όταν αυξάνει η ένταση της προσπίπτουσας δέσμης I τότε ο συντελεστής απορρόφησης μειώνεται. Ωστόσο η συναρτησιακή της μορφή παραμένει η ίδια (σχέση 5.8, όπως παρουσιάζεται και στο σχήμα 5. Σχ. 5.. Συμπεριφορά του συντελεστή απορρόφησης συναρτήσει της συχνότητας ν για αυξανόμενες τιμές της έντασης I (ομογενής διαπλάτυνση Κορεσμός ενίσχυσης: Ομογενής διαπλάτυνση Στη συνέχεια θεωρούμε την περίπτωση υλικού όπου η μετάβαση παρουσιάζει ενίσχυση. Για το λόγο αυτό θεωρούμε σύστημα τεσσάρων σταθμών όπως στο σχήμα 5.. Το σύστημα αντλείται με κάποια βολική διαδικασία και θεωρούμε τις μεταβάσεις 3 και g πολύ γρήγορες έτσι ώστε Ν 3 Ν. 7

72 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Σχ. 5.. Σύστημα τεσσάρων σταθμών σε κορεσμό. Με τις παραπάνω παραδοχές το σύστημα περιγράφεται από τη εξής εξίσωση ρυθμών μετάβασης (rate equation: dn WN N P (5.44 dt P είναι ο ρυθμός άντλησης. Στην κατάσταση ισορροπίας όπου dν /dt =, έχουμε P N N (5.45 W I / I όπου Ν = P τ είναι ο πληθυσμός στη στάθμη απουσία της δέσμη laser, δηλ. όταν Ι =. Επίσης hv I S (5.46 Ο λόγος που οι τιμές των εντάσεων κορεσμού σε σύστημα δυο σταθμών και σύστημα τεσσάρων σταθμών διαφέρουν κατά παράγοντα, οφείλεται στο γεγονός ότι στο σύστημα δυο σταθμών η αλλαγή στον πληθυσμό της μιας κατάστασης συνεπάγεται σε μια ίση αλλαγή στην άλλη. Επομένως το ΔΝ ισούται με δυο φορές την αλλαγή του πληθυσμού στην εκάστοτε κατάσταση. Τέλος ο συντελεστής ενίσχυσης g (σχέση 5.3 γράφεται g g (5.47 I / όπου g = σn είναι ο συντελεστής ενίσχυσης απουσία της δέσμη laser, δηλ. όταν Ι =. Όπως και στην περίπτωση του συντελεστή απορρόφησης, όταν αυξάνει η ένταση της προσπίπτουσας δέσμης τότε ο συντελεστής ενίσχυσης μειώνεται. Ωστόσο η συναρτησιακή του μορφή παραμένει η ίδια (σχέση 5.8, όπως και στην περίπτωση του συντελεστή απορρόφησης. I S S Κορεσμός: Μη-ομογενής διαπλάτυνση Τα φαινόμενα κορεσμού είναι πιο πολύπλοκα σε αυτή την περίπτωση και θα εξεταστούν μόνο ποιοτικά. Θα υποθέσουμε πως η γραμμή της ενεργειακής μετάβασης διαπλατύνεται 7

73 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη τόσο ομογενώς όσο και μη ομογενώς. Τότε το προφίλ της φασματικής γραμμής μπορεί να προκύψει ως η συνέλιξη (convolution ομογενών συνεισφορών διαφορετικής κεντρικής συχνότητας όπως το παράδειγμα της απορρόφησης στο σχήμα 5.3. Σχ Μοντέλο φασματικής κατανομής της απορρόφησης για ομογενής και μη ομογενής μηχανισμούς. Η ολική απορρόφηση προκύπτει ως συνέλιξη ομογενών γραμμών από διαφορετικά άτομα. Σε αυτή την περίπτωση ωστόσο διαφορετικές περιοχές συχνοτήτων ενδέχεται να έχουν διαφορετική απορρόφηση κορεσμού. Έτσι αυξάνοντας την προσπίπτουσα ένταση μπορεί για παράδειγμα μια στενή σχετικά φασματική περιοχή να φτάσει πιο γρήγορα σε κορεσμό με αποτέλεσμα η συγκεκριμένη φασματική περιοχή να παραμένει αδρανής σε περεταίρω αύξηση της έντασης. Ποιοτικά η κατάσταση περιγράφεται στο σχήμα 5.4. Αντίστοιχα ισχύουν και για την φασματική κατανομή της ενίσχυσης g. Σχ Δημιουργία «τρύπας» στο φάσμα της απορρόφησης εξαιτίας του κορεσμού στην περιοχή της συχνότητας ν (hole burning Οπτικώς πυκνά μέσα Παγίδευση ακτινοβολίας Στην περίπτωση που μόνο ένα μικρό ποσοστό ατόμων έχει διεγερθεί και εάν το μέσο είναι οπτικά πυκνό, το φαινόμενο της Παγίδευσης της Ακτινοβολίας παίζει σημαντικό ρόλο. Σ αυτή την περίπτωση ένα φωτόνιο που προκύπτει από αυθόρμητη αποδιέγερση αντί να διαφύγει από το μέσο ενίσχυσης μπορεί να απορροφηθεί από ένα άλλο άτομο το οποίο 73

74 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη καταλήγει στη διεγερμένη κατάσταση του ατόμου που εξέπεμψε το φωτόνιο αρχικά. Ως αποτέλεσμα ο ρυθμός της αυθόρμητης αποδιέγερσης μειώνεται επηρεάζοντας έτσι τη εύρυθμη λειτουργία του laser. Ο ρυθμός της αυθόρμητης αποδιέγερσης εξαιτίας του φαινομένου της παγίδευσης ακτινοβολίας εξαρτάται από την ατομική πυκνότητα, την ενεργό διατομή της μετάβασης και τη γεωμετρία του μέσου. Έχει ιδιαίτερη σημασία για μεταβάσεις στο UV οι οποίες έχουν μεγάλες ενεργές διατομές. Μάλιστα σε ορισμένες περιπτώσεις ο χρόνος ζωής της αποδιέγερσης μπορεί φαινομενικά να μεγαλώσει μερικές τάξεις μεγέθους Ενίσχυση Αυθόρμητης Εκπομπής Στην περίπτωση που το ποσοστό των διεγερμένων ατόμων του ενισχυτικού μέσου είναι πολύ μεγάλο και εάν το μέσο είναι οπτικά πυκνό, το φαινόμενο της Ενίσχυσης της Αυθόρμητης Εκπομπής (Amplified Spontaneous Emission - ASE παίζει σημαντικό ρόλο. Θεωρώντας ένα κυλινδρικής γεωμετρίας ενισχυτικό μέσο κι έστω Ω η στερεά γωνία που υποτείνεται από τη μια πλευρά του κυλίνδρου. Εάν η ενίσχυση του μέσου είναι μεγάλη, τότε η εκπομπή φωτονίων εντός της στερεάς γωνίας Ω θα ενισχυθεί ισχυρά από το ενεργό μέσο. Επομένως το ενεργό μέσο θα αποδώσει σε μεγάλο βαθμό την ενέργειά του στην κατεύθυνση της στερεάς γωνίας Ω, στερώντας την από τη διαδικασία του laser που λαμβάνει χώρα αυστηρά στο άξονα της κοιλότητας. Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως ASE. Η ακτινοβολία ASE έχει χαρακτηριστικά παρόμοια ως ένα βαθμό με την ακτινοβολία laser, όπως ένταση, συμφωνία και κατευθηντικότητα, έχει ωστόσο μικρότερο φασματικό εύρος από ότι το laser της κοιλότητας. Ο λόγος είναι ότι εξαιτίας της στερεάς γωνίας η συνάρτηση ενίσχυσης της κοιλότητας είναι πολύ πιο στενή. 74

75 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπολογίστε το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής Α και τον αντίστοιχο χρόνο ζωής μιας διεγερμένης κατάστασης για διπολικές μεταβάσεις που αντιστοιχούν στα εξής μήκη κύματος: α λ=5 nm, α λ=5 nm, α λ=5 nm, α λ=,5 nm. Θεωρήστε ότι r Å. Σχολιάστε το πώς επηρεάζει αυτό την λειτουργία ενός συμβατικού laser στα διάφορα μήκη κύματος.. Η γραμμή μετάβασης ενός laser He-Ne με μήκος κύματος λ=.5 μm είναι κατά βάση διαπλατυσμένη κατά Doppler με συνάρτηση διαπλάτυνσης που περιγράφεται από τη σχέση:.94 g ( v v exp 4ln, με Δν =9x 8 H. Ο χρόνος ζωής της διεγερμένης κατάστασης είναι αυτός της αυθόρμητης εκπομπής με τιμή τ sp = ns. Υπολογίστε την μέγιστη ενεργό διατομή σ της μετάβασης. 3. Για την περίπτωση μη ομογενούς διαπλάτυνσης Doppler θεωρήστε ότι η πιθανότητα ένα άτομο μάζας M ενός αερίου θερμοκρασίας Τ να έχει συνιστώσα ταχύτητας στο διάστημα και περιγράφεται από την κατανομή Maxwell M p exp K BT K BT Με βάση αυτή και την σχέση 5.5 υπολογίστε την συνάρτηση φασματικής κατανομής της διαπλάτυνσης θεωρώντας ότι. Συγκρίνοντας το αποτέλεσμά σας με την εξής Γκαουσιανή κατανομή / όπου το FWHM της κατανομής, καταλήξτε στη σχέση 5.6 για το φασματικό εύρος της διαπλάτυνσης. 4. Η απορρόφηση a περιγράφεται από τη σχέση 5.43 όταν η προσπίπτουσα στο υλικό ένταση Ι περιγράφει παλμούς laser χρονικής διάρκειας μεγαλύτερης αυτής της αυθόρμητης εκπομπής τ. Στην περίπτωση που η διάρκεια των παλμών έντασης Ι είναι μικρότερη του τ τότε η παραπάνω σχέση αλλάζει. Ξεκινώντας από την εξίσωση πληθυσμών 5.36 και με βάση τα παραπάνω καταλήξτε σε μια νέα έκφραση για την απορρόφηση a για την περίπτωση που η χρονική διάρκεια του παλμού του laser είναι αρκετά μικρότερη της διάρκειας της αυθόρμητης αποδιέγερσης. 75

76 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΑΝΤΛΗΣΗΣ 6.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε με λεπτομέρεια την διαδικασία άντλησης που αρχικά αναφέραμε στο κεφάλαιο. Η άντληση επιτυγχάνεται με τους εξής δυο τρόπους: (α οπτικά, δηλ. μέσω μιας ισχυρής λάμπας ή ενός laser και (β ηλεκτρικά, δηλ. μέσω συνεχούς ή εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει ένα αγώγιμο μέσο όπως ένα ιονισμένο αέριο ή ένα ημιαγωγό. Στην οπτική άντληση με ασύμφωνη πηγή, φως από μια ισχυρή λάμπα απορροφάται από το ενεργό μέσο και τα άτομά του διεγείρονται στο κατάλληλο ενεργειακό επίπεδο. Η μέθοδος αυτή συνιστάται ιδιαίτερα στα laser στερεάς κατάστασης και χρωστικών. Ο λόγος είναι πως οι μηχανισμοί διαπλάτυνσης στα στερεά και τα υγρά παράγουν σημαντική φασματική διαπλάτυνση με αποτέλεσμα να δημιουργούνται ουσιαστικά φασματικές ζώνες αντί για φασματικές γραμμές. Το αποτέλεσμα βέβαια είναι η πολύ πιο αποδοτική άντληση του ενεργού μέσου αφού απορροφάται μεγαλύτερο μέρος της εκπεμπόμενης από την λάμπα ενέργειας. Στην άντληση με σύμφωνη πηγή, μονοχρωματικό φως laser απορροφάται από το ενεργό μέσο και τα άτομά του διεγείρονται στο κατάλληλο ενεργειακό επίπεδο. Ισχυρές πηγές laser συνεχής ή παλμικές παρέχονται σε πληθώρα μηκών κύματος με αποτέλεσμα να βρίσκουν άμεση εφαρμογή ως αντλίες άλλων πιο εξειδικευμένων συστημάτων laser. Η μονοχρωματικότητα του laser το κάνει κατάλληλο για άντληση τόσο στερεών και υγρών laser αλλά και αερίων, αρκεί η συχνότητα του laser συμπίπτει με αυτή της διέγερσης, σε αντίθεση με την οπτική άντληση με ασύμφωνη πηγή. Τα πιο αποδοτικά κι ευρέως χρησιμοποιούμενα laser άντλησης είναι τα laser διόδου. Η ηλεκτρική άντληση επιτυγχάνεται με ισχυρές ηλεκτρικές εκκενώσεις. Είναι κατάλληλη μέθοδος για laser αερίων και ημιαγωγών. Πράγματι για τα αέρια η ενεργός διατομή μιας διέγερσης μέσω κρούσης ηλεκτρονίων e + A A* + e, όπου Α* το διεγερμένο ενεργό άτομο, είναι μη συντονιστική με αποτέλεσμα η άντληση να έχει αρκετά μεγάλη απόδοση. Από την άλλη μεριά στους ημιαγωγούς είναι πιο βολική μέθοδος αφού πολύ εύκολα μπορεί να διαρρεύσει ρεύμα σε ένα ημιαγωγό, π.χ. δίοδος p-n. Η μέθοδος αυτή ξεφεύγει του σκοπού του μαθήματος και θα εξετασθεί μόνο για την περίπτωση των ημιαγωγών στο κεφάλαιο 9. Εκτός από τους προαναφερθέντες τρόπους άντλησης υπάρχουν κι άλλοι πιο εξειδικευμένοι τρόποι (χημική άντληση, άντληση δυναμικής αερίων, άντληση ακτίνων x, άντληση με δέσμες ηλεκτρονίων, κτλ. που ξεφεύγουν το σκοπό του μαθήματος και παραλείπονται. Ο σκοπός του κεφαλαίου είναι πέρα από το περιγραφικό επίπεδο του φαινόμενου, ο υπολογισμός του ρυθμού άντλησης ανά μονάδα όγκου. 76

77 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης 6.. Οπτική άντληση με ασύμφωνη πηγή 6... Συστήματα άντλησης Στην περίπτωση της άντλησης με ισχυρή ασύμφωνη πηγή, το φως μιας λάμπας (flashlamp εκπέμπεται ισοτροπικά και σε ένα ευρύ φάσμα. Το φως αυτό χρειάζεται να μεταφερθεί στο ενεργό μέσο με τη μεγαλύτερη δυνατή αποδοτικότητα. Οι λάμπες είναι συνήθως κυλινδρικού σχήματος. Δυο συνήθης διατάξεις άντλησης με τη χρήση μιας λάμπας φαίνονται στο σχήμα 6.. Και στις δυο περιπτώσεις τόσο το ενεργό μέσο όσο και η λάμπα έχουν το ίδιο σχήμα κυλινδρικής ράβδου και το ίδιο μέγεθος. Η διάμετρος είναι από μερικά mm έως μερικές δεκάδες mm, ενώ το μήκος από μερικά cm έως μερικές δεκάδες cm. Στο σχήμα 6..a η λάμπα και το ενεργό μέσο έχουν τοποθετηθεί στις δυο εστίες του ελλειπτικού κατόπτρου που τις περιβάλλει (θάλαμος άντλησης. Επομένως το φως από τη λάμπα συγκεντρώνεται σχεδόν αποκλειστικά πάνω στο ενεργό μέσο από τον υψηλής ανακλαστικότητας θάλαμο. Σχ. 6.. Διατάξεις άντλησης με τη χρήση μιας λάμπας Στο σχήμα 6..b η λάμπα και το ενεργό μέσο έχουν τοποθετηθεί όσο πλησιέστερα γίνεται μέσα σε κυλινδρικό θάλαμο. Σε αυτή την περίπτωση ο θάλαμος είναι επιστρωμένος από ανακλαστικά υλικά που διαχέουν το φως αντίθετα από το ανακλαστικό κάτοπτρο του σχήματος 6..a. Τα υλικά αυτά (λευκά κεραμικά, πούδρες BaSO 4 αν και υστερούν σε ανακλαστικότητα σχετικά με τα κάτοπτρα, προσφέρουν υψηλό βαθμό ομοιομορφίας της κατανομής του φωτός μέσα στο θάλαμο άντλησης. Δυο συνήθης διατάξεις άντλησης με τη χρήση δύο λαμπών φαίνονται στο σχήμα 6.. Στο σχήμα 6..a ο θάλαμος άντλησης αποτελείται από δυο ελλειπτικά κάτοπτρα με κοινή την μια εστία στην οποία τοποθετείται το ενεργό μέσο. Οι λάμπες τοποθετούνται στις άλλες δυο εστίες. Στο σχήμα 6..b η δυο λάμπες και το ενεργό μέσο έχουν τοποθετηθεί όσο πλησιέστερα γίνεται μέσα σε κυλινδρικό θάλαμο επιστρωμένο με ανακλαστικά υλικά που διαχέουν το φως. Αν και οι αποδόσεις αυτών των διατάξεων είναι μικρότερες από ότι αυτές της μιας λάμπας του σχήματος 6., εντούτοις η ομοιογένεια της άντλησης είναι πολύ μεγαλύτερη με αποτέλεσμα να παρέχουν ποιοτικά καλύτερες και ισχυρότερες δέσμες laser. 77

78 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης Αναφέρεται ότι σε υψηλής ισχύος συστήματα laser χρησιμοποιούνται πιο πολύπλοκες διατάξεις άντλησης που βασίζονται όμως στις αναφερθείσες μεθόδους. Σχ. 6.. Διατάξεις άντλησης με τη χρήση δυο λαμπών Οι λάμπες (flashlamp ή flashtube είναι ουσιαστικά ένα ηλεκτρικό (βολταϊκό τόξο σχεδιασμένες να παράγουν πολύ ισχυρούς, ασύμφωνους, μεγάλου φασματικού εύρους (white light και μικρής διάρκειας φωτεινούς παλμούς. Αποτελούνται από ένα γυάλινο σωλήνα με ηλεκτρόδια στις δυο άκρες του (άνοδος και κάθοδος γεμισμένος με κάποιο αέριο (συνήθως Xe ή Kr σε πίεση 5-5 Torr. Όταν το αέριο διεγερθεί κατάλληλα ιονίζεται επιτρέποντας να διαδοθεί μεταξύ ανόδου και καθόδου ένας ηλεκτρικός παλμός υψηλής τάσης ο οποίος παράγει και το φως της λάμπας. Ο συνήθης μηχανισμός λειτουργίας μιας λάμπας για χρήση σε συστήματα laser είναι ο εξής: Τα δύο ηλεκτρόδια της λάμπας είναι συνδεδεμένα με έναν πυκνωτή υψηλής τάσης τέτοιας τιμής ώστε να μην ιονίζεται το αέριο (μερικά kvolt. Το εναρκτήριο λάκτισμα (triggering της διαδικασίας δίνεται από μια επιπλέον παλμική υψηλή τάση αθροιζόμενη σε αυτή του πυκνωτή (series triggering. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το ιονισμό του αερίου (δημιουργία πλάσματος και στη συνέχεια τη ροή ηλεκτρικού ρεύματος και την ακτινοβόληση φωτός (εξαιτίας της κρούσης των ιόντων και των ηλεκτρονίων. Σχ Μηχανισμός λειτουργίας λάμπας άντλησης (series triggering Για να κατανοήσουμε τις λεπτομέρειες του μηχανισμού άντλησης παραθέτουμε στο σχήμα 6.4 τυπικά φάσματα εκπομπής λαμπών Xe, Kr, Ar και Ne, ενώ στο σχήμα 6.5 τις ενεργές διατομές απορρόφησης ως συνάρτηση του μήκους της ακτινοβολίας για τα ιόντα Nd 3+ σε 78

79 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης κρυστάλλους Nd:YAG (Nd:Y 3 Al 5 O και Cr 3+ σε κρυστάλλους Αλεξανδρίτη (BeAl O 4. Σημειώνεται πως και στις δυο περιπτώσεις η πρόσμιξη Nd 3+ ή Cr 3+ είναι υπεύθυνη για την απορρόφηση κι άρα το ενεργό μέσο. Συγκρίνοντας τα φάσματα εκπομπής αλλά και τις ενεργές διατομές απορρόφησης προκύπτουν οι αλληλεπικαλυπτόμενες περιοχές που προάγουν την άντληση. Για παράδειγμα οι ισχυρές γραμμές εκπομπής του Kr στην περιοχή 75-9 nm σχεδόν ταυτίζονται με το φάσμα απορρόφησης του Nd 3+ στην περιοχή αυτή. Σχ Τυπικά φάσματα εκπομπής λαμπών Xe, Kr, Ar και Ne. Σχ Ενεργές διατομές απορρόφησης για τα ιόντα Nd 3+ σε κρυστάλλους Nd:YAG (συνεχής γραμμή και Cr 3+ σε κρυστάλλους Αλεξανδρίτη (διακεκομμένη γραμμή. Η αριστερή κλίμακα αντιστοιχεί στο Nd:YAG ενώ η δεξιά στον Αλεξανδρίτη. 79

80 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης 6... Ρυθμός και απόδοση άντλησης Έστω ένα συνεχές laser που αντλείται ομοιογενώς σε όλο του τον όγκο V με ρυθμό p. Το ερώτημα που θέτουμε είναι: Ποια η ελάχιστη ηλεκτρική ισχύς που χρειάζεται για να λειτουργήσει το laser στο ρυθμό p. Θεωρώντας το σύστημα laser τεσσάρων σταθμών του σχήματος 6.6 η ελάχιστη ισχύς P m περιγράφεται από τη σχέση: P m Για μη ομοιογενή άντληση μπορούμε να γράψουμε P m ( dn / dt Vhv Vhv P mp p mp (6. hv dv hv V (6. mp p όπου < p > ο μέσος ρυθμός άντλησης. Επομένως μπορούμε να ορίσουμε την απόδοση της άντλησης ως τον λόγο της ελάχιστης απαιτούμενης ισχύος P m προς την παρεχόμενη ηλεκτρική ισχύ P p : n P p hv mp p p m mp p p (6.3 P P V Ομοίως για παλμικά laser μπορούμε να ορίσουμε ως απόδοση την n p hv dvdt mp p (6.4 E όπου το ολοκλήρωμα ορίζεται σε όλη την διάρκεια του παλμού άντλησης κι Ε p είναι η ηλεκτρική ενέργεια που δίνεται σε αυτό το χρονικό διάστημα. p Σχ. 6.6: Σύστημα laser τεσσάρων σταθμών Για να υπολογίσουμε την απόδοση χωρίζουμε την διαδικασία της άντλησης σε τέσσερα βήματα: (i την εκπομπή ακτινοβολίας από την λάμπα, (ii την μεταφορά της ακτινοβολίας στο ενεργό μέσο, (iii την απορρόφησή της από το ενεργό μέσο, (iv τη μεταφορά της απορροφημένης ακτινοβολίας από το ενεργό μέσο στο άνω ενεργειακό επίπεδο του laser. Επομένως η απόδοση άντλησης μπορεί να γραφεί ως γινόμενο των τεσσάρων παραπάνω επί μέρους αποδόσεων, n r, n t, n a και n pq αντίστοιχα: n P r t a pq n n n n p r t a pq (6.5 P p P P r P P t P P a 8

81 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης όπου (i n r =P r /P p, η απόδοση ακτινοβολίας, είναι ο λόγος ανάμεσα στην εκπεμπόμενη ακτινοβολητική ισχύ στο κατάλληλο φασματικό εύρος απορρόφησης και την ολική παρεχόμενη ηλεκτρική ισχύ. (ii n t =P t /P r, η απόδοση μεταφοράς, είναι ο λόγος ανάμεσα στην ισχύ που μεταφέρθηκε στο άτομο προς την στην εκπεμπόμενη ακτινοβολητική ισχύ στο κατάλληλο φασματικό εύρος απορρόφησης. (iii n a =P a /P t, η απόδοση απορρόφησης, είναι ο λόγος ανάμεσα στην ισχύ που πραγματικά απορροφήθηκε από το ενεργό μέσο (δεν απορροφάται όλη η παρεχόμενη ισχύς προς την ισχύ που παρέχεται στο μέσο. (iv n pq =P pq /P α, η κβαντική απόδοση, είναι ο λόγος ανάμεσα στην ελάχιστη απαραίτητη ισχύ και την απορροφημένη ισχύ (όλα τα διεγερμένα άτομα δεν αποδιεγείρονται στην διεγερμένη κατάσταση του laser. Λεπτομερής σχέσεις γι αυτά μεγέθη αυτά είναι δύσκολο να εξαχθούν, για το λόγο αυτό παραθέτουμε στο πίνακα 6. μερικές τιμές από τη βιβλιογραφία. Παρατηρείστε ότι η μέγιστη απόδοση δεν υπερβαίνει το %. Με άλλα λόγια, η διαδικασία του laser είναι μια εξαιρετικά ενεργοβόρα διαδικασία! Με βάση όλα τα παραπάνω, η ποσότητα που αρχικά μας ενδιέφερε να υπολογίσουμε, δηλ. ο ρυθμός άντλησης, μπορεί να γραφεί ως: Pp n p p (6.6 Alhv όπου V = A l, με A τη διατομή της ράβδου (ενεργό μέσο και l το μήκος του. Η φόρμουλα αυτή είναι πολύ διαδεδομένη στη βιβλιογραφία και χρήσιμη σε υπολογισμούς. Πίνακας 6.: Τιμές επί μέρους αποδόσεων διαδικασιών άντλησης mp 6.3. Οπτική άντληση με σύμφωνη πηγή Δέσμες laser συχνά χρησιμοποιούνται για να αντλήσουν άλλα συστήματα. Αν και η πληθώρα των πηγών laser είναι εν δυνάμει κατάλληλες για άντληση, θα εστιάσουμε την προσοχή μας στο πολύ διαδεδομένο laser διόδου (diode laser την λεπτομερή περιγραφή του οποίου θα κάνουμε στο κεφάλαιο Συστήματα μεταφοράς άντλησης Για την αποδοτικότερη λειτουργία του laser το εκπεμπόμενο φως του laser διόδου πρέπει να μεταφερθεί με τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο ενεργό μέσο, όπως έγινε και με την περίπτωση των λαμπών. Υπάρχουν δύο γεωμετρίες (τρόποι άντλησης: (i Η διαμήκης (ή 8

82 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης αξονική άντληση όπου η δέσμη άντλησης εισέρχεται στο ενεργό υλικό κατά τον άξονα της κοιλότητα laser. (ii Η εγκάρσια άντληση όπου η δέσμη άντλησης εισέρχεται στο ενεργό υλικό από διάφορες διευθύνσεις κάθετες στον άξονα της κοιλότητα laser. Στη διαμήκη άντληση η δέσμη που εκπέμπεται από laser διόδου γενικά πρέπει να συγκεντρωθεί σε μια μικρή διάμετρο διαστάσεων.- mm και πιθανώς κυκλικής διατομής μέσα στο ενεργό μέσο. Τρεις δημοφιλείς διατάξεις διαμήκους άντλησης φαίνονται στο σχήμα 6.7. Συγκεκριμένα, στο σχήμα 6.7.a ο κρύσταλλος laser βρίσκεται μέσα σε μια επίπεδη-κοίλη κοιλότητα. Ο επίπεδος καθρέφτης είναι αποτιθέμενος πάνω στη μια άκρη του κρυστάλλου ενώ η δέσμη άντλησης εστιάζεται από τη μεριά του. Στα σχήματα 6.7.b και 6.7.c δυο δέσμες άντλησης από δυο διαφορετικά laser διόδου, εστιάζονται στο κέντρο του κρυστάλλου από τις δυο του μεριές. Η κοιλότητα laser μπορεί να είναι είτε κυκλικό αντηχείο (σχήμα 6.7.b είτε κλειστής μορφής (σχήμα 6.7.c. Το μεγαλύτερο πρόβλημα σε αυτές τις οπτικές διατάξεις είναι να προσαρμοστεί η ελλειπτικότητα και η γωνιακή απόκλιση της δέσμης του laser διόδου στις ανάγκες της εστίασης μέσα στην κοιλότητα. Αυτό επιτυγχάνεται με εξειδικευμένες οπτικές διατάξεις. Σχ. 6.7: Διατάξεις διαμήκους άντλησης Ρυθμός και απόδοση άντλησης Στην περίπτωση της διαμήκους άντλησης θεωρώντας ότι η ένταση του laser άντλησης μέσα στο ενεργό μέσο είναι Ι p (r,, όπου r η ακτινική συνιστώσα και η αξονική, ο ρυθμός άντλησης προκύπτει ως: 8

83 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης p ai ( r, p (6.7 hv p α είναι ο συντελεστής απορρόφησης του ενεργού μέσου στην συχνότητα ν p της άντλησης. Επίσης θεωρούμε ότι η ένταση της δέσμης άντλησης έχει Γκαουσιανή κατανομή (σχέση 3.3 r I ( r, I (, exp exp( a p p (6.8 w p όπου Ι p (, είναι η μέγιστη ένταση στην είσοδο της ράβδου και w p η διάμετρος της δέσμης που για λόγους απλοποίησης την θεωρούμε ανεξάρτητη από την απόσταση. Επίσης τον συντελεστή απορρόφησης τον θεωρούμε σταθερό για όλη τη διαδικασία του laser εφόσον οι διεγερμένοι πληθυσμοί παραμένουν σε μικρά ποσοστά σχετικά με τον συνολικό πληθυσμό. Η ένταση Ι p (, συνδέεται με την προσπίπτουσα ισχύ P pi ως Από τις 6.8 και 6.9 προκύπτει ότι P pi I ( r,rdr (6.9 I p p Ppi (, (6. w Επίσης η προσπίπτουσα ισχύς P pi συνδέεται με την ηλεκτρική ισχύ που παρέχεται στη δίοδο P p ως pi r t p p P n n P (6. όπου n r η απόδοση ακτινοβολίας της διόδου και n t η απόδοση μεταφοράς στο σύστημα άντλησης. Με βάση όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι: p ( r, n r P n t hv p p a w p exp r w p exp( a (6. Αποδεικνύεται ότι ο μέσος ρυθμός άντλησης < p > για δεδομένο τρόπο δόνησης μιας κοιλότητας που περιγράφεται από το πλάτος πεδίου u(r, περιγράφεται από τη σχέση: p u p u dv dv (6.3 Θεωρώντας λοιπόν έναν ΤΕM τρόπο και ελάχιστη διάμετρο δέσμης w σταθερό μέσα στη ράβδο laser τότε μπορώ να γράψω (σχέσεις 3. και 3.36 με, φ Τότε η 6.3 δίνει (με την προσέγγιση cos (k ταλαντώνεται πολύ γρήγορα r u exp cos ( k w (6.4 p Pp n n r t hv p l exp( a cos [ exp( al ] ( w w l p ( k d ( / l exp( a d αφού όρος (6.5 83

84 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Διαδικασίες Αντλησης Τέλος ορίζοντας την απόδοση της απορρόφησης ως n α =-exp(-αl και θέτοντας n p =n r n t n α προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα p n p P hv p p ( w Παράδειγμα: Ισχύς άντλησης κατωφλίου για laser τεσσάρων σταθμών. w p l (6.6 Έστω laser τεσσάρων σταθμών με Ν το άνω laser ενεργειακό επίπεδο. Στο κεφάλαιο στη σχέση. είχαμε βρει την συνθήκη για κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμού. Λαμβάνοντας υπόψη τις N c ln( ln( L ln, ln, ln( L i i i η σχέση αυτή γράφεται πιο απλά Ν c = γ / σ e l. Η ενεργός διατομή σ e αναφέρεται στην αυθόρμητη εκπομπή. Αποδεικνύεται ότι στη γενικότερή της μορφή λαμβάνοντας υπόψη και την χωρική εξάρτηση των p και u η σχέση γράφεται ως <Ν > c = γ / σ e l. Η συνθήκη κατωφλίου άντλησης προκύπτει από τη συνθήκη ότι ο αριθμός των ατόμων που διεγείρονται μέσω της άντλησης να είναι ίσος με αυτών που αποδιεγείρονται μέσω της αυθόρμητης εκπομπής. Επομένως, ο ρυθμός άντλησης μπορεί να γραφεί ως p = Ν c / τ ή στη γενικότερη μορφή του p c N c l Από τη στιγμή που υπολογίσαμε το ρυθμό άντλησης σε συνθήκες κατωφλίου μπορούμε πολύ εύκολα να υπολογίσουμε την απαραίτητη ισχύ για τις συνθήκες αυτές από τη σχέση 6.6. Προκύπτει: P p hv w w p ( n p e e i p 84

85 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. LASE ΣΥΝEΧΟΥΣ 7.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τα μέχρι τώρα καλυφθέντα θέματα για να αναπτύξουμε το θεωρητικό υπόβαθρο της λειτουργίας ενός laser συνεχούς (cw. Ένα laser συνεχούς (continuous wave ή continuous waveform παράγει ΗΜ ακτινοβολία σταθερού πλάτους και συχνότητας, κι επομένως ιδωμένο από τη μαθηματική πλευρά έχει άπειρη διάρκεια εξ ου και ο όρος «συνεχές». Στα laser συνεχούς η διαδικασία της αντιστροφής πληθυσμού πρέπει να είναι συνεχής σε αντίθεση με τα παλμικά laser που θα εξεταστούν στο επόμενο κεφάλαιο. Η θεωρία περιγραφής των laser συνεχούς βασίζεται στην προσέγγιση της εξίσωσης ρυθμών μεταβολής πληθυσμών. Η βάση της θεωρίας είναι η απλή παραδοχή πως ο αριθμός των ατομικών μεταβάσεων και ο αριθμός των εμπλεκόμενων φωτονίων πρέπει να είναι σε ισορροπία. Σημειώνεται πως στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση των laser τεσσάρων σταθμών κυρίως για λόγους οικονομίας χώρου αλλά κι επειδή μερικά από τα πιο χαρακτηριστικά laser, όπως π.χ. τα αερίων He-Ne και τα ιοντικών κρυστάλλων Nd:YAG, ανήκουν στην κατηγορία αυτή. 7.. Εξισώσεις ρυθμών μεταβολής πληθυσμών (ate equations Έστω το σύστημα laser τεσσάρων σταθμών του σχήματος 7., όπου η άντληση γίνεται στη ενεργειακή κατάσταση η οποία ταχύτατα αποδιεγείρεται στην κατάσταση, που είναι το άνω επίπεδο του laser. Επίσης η κατάσταση 3 που είναι το κάτω επίπεδο του laser αποδιεγείρεται ταχύτατα στη βασική κατάσταση του συστήματος. Υπό αυτές τις συνθήκες μπορούμε να θεωρήσουμε την προσέγγιση Ν Ν 3 εφόσον δεν συντηρούν πληθυσμούς λόγω της πολύ γρήγορης αποδιέγερσής τους. Επίσης θεωρούμε πως η κοιλότητα laser έχει ένα τρόπο ταλάντωσης κι ότι η πυκνότητα ενέργειας της άντλησης και του τρόπου ταλάντωσης είναι ομοιογενή μέσα στο ενεργό υλικό της κοιλότητας. Ο αριθμός των φωτονίων στην κοιλότητα είναι φ. Αυτό το απλουστευμένο μοντέλο, αν και περιορίζεται σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις, είναι οδηγός για τον τρόπο μεταχείρισης πιο πολύπλοκων μοντέλων. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε για τους ρυθμούς μεταβολής των πληθυσμών του εν λόγω συστήματος laser dn dt BN p (7..a N d dt V B N a (7..b όπου p είναι ο ρυθμός άντλησης. Θεωρήσαμε αμελητέα την αλλαγή του πληθυσμού της βασικής κατάστασης λόγω της άντλησης, δηλ. N g >>N. Στο κεφάλαιο 6 καταλήξαμε σε σχέσεις υπολογισμού του όρου αυτού. Ο όρος BφN αντιστοιχεί στην εξαναγκασμένη εκπομπή. Στο κεφάλαιο 5 είχαμε δει πως ο ρυθμός αποδιέγερσης της εξαναγκασμένης c 85

86 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς εκπομπής W είναι ανάλογος της έντασης του πεδίου (σχέση 5., άρα κι ανάλογος του αριθμού των φωτονίων φ. Επομένως η σταθερά Β αναφέρεται ως ρυθμός αποδιέγερσης της εξαναγκασμένης εκπομπής ανά φωτόνιο και ανά τρόπο δόνησης. Η ποσότητα τ είναι ο χρόνος ζωής της κατάστασης που περιλαμβάνει τόσο τις ακτινοβολητικές όσο και τις μη ακτινοβολητικές διαδικασίες. Ο όρος V α ΒφΝ αντιπροσωπεύει τον ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των φωτονίων όπου V α είναι ο όγκος του τρόπου δόνησης μέσα στο ενεργό μέσο. Τέλος, ό όρος φ/τ c, όπου τ c ο χρόνος ζωής φωτονίου στην κοιλότητα (σχέση 4.3. Σχ. 7.. Τυπικό laser τεσσάρων σταθμών Παρατηρούμε πως στη σχέση 7..b δεν υπάρχει όρος που να αντιστοιχεί στην αυθόρμητη εκπομπή σε αντίθεση με τον όρο Ν /τ της σχέσης 7..a. Στο κεφάλαιο είχαμε αναφέρει πως η διαδικασία laser ξεκινά με την αυθόρμητη εκπομπή. Πράγματι, εάν θέσουμε στη σχέση 7..b φ= για t= τότε dφ/dt=, κι άρα δεν έχουμε laser. Από τους διάφορους τρόπους που μπορούμε να σκεφτούμε έτσι ώστε να συμπεριλάβουμε την αυθόρμητη εκπομπή, ο πιο εύκολος είναι να προσθέσουμε ένα φωτόνιο στον όρο V α ΒφΝ, δηλ. V α Β(φ+Ν το οποίο ουσιαστικά θα είναι υπεύθυνο για την έναρξη της διαδικασίας laser. Ωστόσο επειδή κατά τη λειτουργία του laser ο αριθμός των φωτονίων μέσα την κοιλότητα είναι τεράστιος ( 6 για laser συνεχούς θα παραλείψουμε εντελώς τον όρο αυθόρμητης εκπομπής έχοντας όμως υπόψη το παραπάνω σχόλιο. Η μόνη άγνωστη ποσότητα στις σχέσεις 7. είναι η σταθερή Β κι αυτήν θα υπολογίσουμε. Για το λόγο αυτό θεωρούμε κοιλότητα μήκους L με ενεργό μέσο μήκους l και δείκτη διάθλασης n κι έστω Ι η ένταση της δέσμης μέσα στην κοιλότητα τη χρονική στιγμή t=. Ακολουθώντας τη συλλογιστική της παραγράφου.. μπορούμε να γράψουμε για την ένταση (λαμβάνοντας υπόψη ότι Ν >>Ν Ι μετά από ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα I I ( L exp( N l i (7. ' όπου και οι ανακλαστικότητες των δυο καθρεφτών, L i η απώλεια ακτινοβολίας για κάθε πέρασμα και σν l η ενίσχυση σε κάθε πέρασμα μέσα στην κοιλότητα. Ορίζοντας τώρα τις ποσότητες =-α -Τ και =-α -Τ όπου Τ,Τ οι διαπερατότητες των καθρεφτών και α, α οι απώλειες των καθρεφτών, η αλλαγή της έντασης σε ένα πέρασμα της κοιλότητας γράφεται: I I I [( L ( T ( T exp( N l ] I i (7.3 ' 86

87 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς Υποθέτοντας ίσες απώλειες καθρεφτών (α = α = α και εισάγοντας τις προσεγγίσεις -α-τ (-α(-τ και -α-τ (-α(-τ η 7.3 γράφεται I I I [( L ( ( T ( T exp( N l ] I i (7.4 ' Τέλος, χρησιμοποιώντας τις βολικές μεταβλητές (βλ. κεφ..., σχέσεις. ln( ln( T, [ln( ln( i και λαμβάνοντας υπόψη ότι σν l γ << η 7.3 δίνει T, i L i ] I [exp( exp( exp( exp( N i l ] I [exp( exp( N ( N l l ] I [exp( ( N l ] I [ ( N l ] I (7.5 Στη συνέχεια διαιρούμε με το χρόνο που χρειάζεται για να ολοκληρώσει το φως ένα πέρασμα μέσα στην κοιλότητα, δηλ. Δt = L e /c, όπου L e =L+(n-l το οπτικό μήκος της κοιλότητας (λαμβανομένου υπόψη του δείκτη διάθλασης του ενεργού μέσου μήκους l. Στο όριο ΔΙ /Δt dι /dt προκύπτει: di lc c N I dt L L (7.6 e e Επειδή η ένταση είναι ανάλογη του αριθμού των φωτονίων τότε με απευθείας σύγκριση των σχέσεων 7..b και 7.6 προκύπτει ότι lc B V L c L e c e (7.7.a (7.7.b Παρατηρείστε πως η 7.7.b γενικεύει το αποτέλεσμα που βρήκαμε στο κεφάλαιο 4 για το χρόνο ζωής του φωτονίου μέσα την κοιλότητα (σχέση 4.3. Έχοντας υπολογίσει τα Β και τ c μπορούμε να προχωρήσουμε στη επίλυση του συστήματος 7. στο πλαίσιο των παραδοχών και προσεγγίσεων που θέσαμε. Επειδή Ν=Ν -Ν Ν οι 7. γράφονται τελικά dn dt N BN p (7.8.a d V BN a (7.8.b dt c Η λύση των εξισώσεων 7.8 εξαρτάται από την κάθε περίπτωση. Για παράδειγμα, για ένα laser συνεχούς θέτουμε τις χρονικές παραγώγους ίσες με μηδέν (κατάσταση ισορροπίας stead state. Για ένα παλμικό laser πρέπει να καθορίσουμε τον όρο άντλησης p = p (t και να θέσουμε αρχικές συνθήκες π.χ. Ν(t== και φ(t==. Πάντως και στις δυο 87

88 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς περιπτώσεις, όταν είναι γνωστή η λύση για το φ (ή φ(t τότε ο υπολογισμός της πολύ σημαντικής ποσότητας της ισχύος εξόδου μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως εξής: Η 7.7.b μπορεί να γραφτεί ως Αντικαθιστώντας την 7.9 στην 7.8.b έχουμε c c c i (7.9 L L L c e e d c c c i V BN a (7. dt L L L e e e Στη σχέση αυτή ο όρος (γ c/l e φ είναι οι απώλειες λόγω της διαπερατότητας του καθρέφτη. Επομένως η ισχύς εξόδου (προϋποθέτοντας τη γνώση του φ γράφεται ως P OUT e c ( hv L (7. e Παράδειγμα : Υπολογισμός αριθμού φωτονίων σε κοιλότητα τυπικού cw laser Χαμηλής ισχύος laser: Έστω He-Ne laser μήκους L= L e = 5 cm, λ=63 nm και ισχύος εξόδου mw. Για τυπική διαπερατότητα Τ = % έχουμε γ = - ln(- Τ =.. Η 7. δίνει φ φωτόνια. Υψηλής ισχύος laser: Έστω CO laser μήκους L e = 5 cm, λ=.6 μm και ισχύος εξόδου kw. Για τυπική διαπερατότητα Τ = 45% έχουμε γ = - ln(- Τ =.6. Η 7. δίνει φ 7 φωτόνια Συνθήκες κατωφλίου και ισχύς εξόδου Θεωρούμε αρχικά τις συνθήκες κατωφλίου. Έστω ότι για t= ένας μικρός αριθμός φωτονίων φ i υπάρχει στην κοιλότητα (π.χ. φ i = λόγω αυθόρμητης αποδιέγερσης. Επομένως από την 7.8.b έχουμε ότι dφ/dt > => BV α Ν > /τ c.όπως γνωρίζουμε η διαδικασία του laser ξεκινάει όταν η αντιστροφή πληθυσμών Ν φτάσει σε μια κρίσιμη τιμή Ν c, όπως δείξαμε και στο κεφάλαιο, που εκφράζεται ως (με τη βοήθεια των 7.7. N c (7. l BV Ο αντίστοιχος ρυθμός άντλησης τότε προκύπτει από την 7.8.a αντικαθιστώντας dν/dt = (κατάσταση ισορροπίας, Ν = Ν c και φ =. Τότε προκύπτει για τον κρίσιμο ρυθμό άντλησης ότι (βλ. και παράδειγμα στο τέλος του κεφ. 6 N c cp (7.3 l Δηλαδή, ο κρίσιμος ρυθμός άντλησης cp αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου ο ρυθμός άντλησης p ισούται με το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής της κατάστασης Ν. Εάν p > cp, τότε ο αριθμός των φωτονίων θα μεγαλώσει. Η τιμή του εξαρτάται από την τιμή του ρυθμού της αυθόρμητης εκπομπής. Στην περίπτωση που η p είναι ανεξάρτητη από το χρόνο (κατάσταση η οποία εμπίπτει στις αρχικές παραδοχές μας ο αριθμός των φωτονίων θα c 88

89 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς φτάσει σε μια σταθερή τιμή φ. Αυτή η τιμή φ στην κατάσταση ισορροπίας καθώς και ο αντίστοιχος αριθμός αντιστροφής πληθυσμού N καθορίζονται από την λύση των εξισώσεων 7.8 για τις συνθήκες ισορροπίας dφ/dt = και dν/dt =. Οι λύσεις προκύπτουν εύκολα ως N BV V ( c c p l N N / c (7.4.a (7.4.b Οι εξισώσεις 7.4 περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός laser τεσσάρων σταθμών. Στη συνέχεια θα τις εξετάσουμε στη λεπτομέρειά τους. Σχ. 7.. Ποιοτική εξάρτηση της αντιστροφής πληθυσμών Ν και αριθμού φωτονίων φ ως συνάρτηση του ρυθμού άντλησης. Παρατηρούμε πως ακόμη κι όταν p > cp, είναι Ν = Ν c, που σημαίνει ότι η αντιστροφή πληθυσμών κατά τη λειτουργία του laser είναι πάντοτε ίση με την κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμών. Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό το φαινομενικά παράδοξο αποτέλεσμα παραθέτουμε το διάγραμμα 7. στο οποίο δίνεται ποιοτικά η εξάρτηση της αντιστροφής πληθυσμών και αριθμού φωτονίων ως συνάρτηση του ρυθμού άντλησης. Παρατηρούμε πως όταν p < cp, τότε φ = και η αντιστροφή αυξάνει γραμμικά. Όταν p = cp, τότε είναι Ν = Ν c και φ =. Εάν τώρα p > cp, τότε ενώ η αντιστροφή πληθυσμών παραμένει σταθερή Ν = Ν =Ν c, ο αριθμός των φωτονίων αυξάνει γραμμικά με την p. Με άλλα λόγια η άντληση αυξάνει την αντιστροφή πληθυσμών μέχρι την κρίσιμη τιμή (αποθήκευση ενέργειας στο ενεργό υλικό ενώ από το σημείο αυτό και πέρα περεταίρω αύξησή της οδηγεί σε αύξηση του αριθμού των φωτονίων στην κοιλότητα (αποθήκευση ενέργειας στο ΗΜ πεδίο της κοιλότητας. Στη συνέχεια θα γράψουμε την 7.4.b σε μια πιο χρήσιμη μορφή γράφοντας Ν /τ = Ν c /τ = cp. Τότε προκύπτει ότι c p V N ( a (7.5 Επειδή τα μεγέθη του ρυθμού άντλησης και της παρεχόμενης ισχύος συνδέονται γραμμικά (σχέση 6. μπορούμε να γράψουμε cp Pp A P c b c p V N ( ( a (7.6 P P cp TH 89

90 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς όπου χρησιμοποιήσαμε την 7.4.a και ορίσαμε την σταθερή A b =V α /l η οποία ουσιαστικά είναι το μέτρο της διαμέτρου της δέσμης laser μέσα στην κοιλότητα (μικρότερη ή το πολύ ίση με τη διάμετρο V/l του ενεργού μέσου. Από την 7. και τη 7.6 προκύπτει η σχέση για την τιμή της ισχύος εξόδου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι ένταση κορεσμού για ένα σύστημα τεσσάρων σταθμών περιγράφεται από τη σχέση I s = hν/στ (σχέση 5.46, προκύπτει ότι P OUT A b I s P p ( P TH (7.7 Από τη σχέση αυτή μπορεί να οριστεί άλλη μια πολύ χρήσιμη ποσότητα, η απόδοση κλίσης του laser ως: n Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 6.6 και 7.3 προκύπτει ότι Οπότε η 7.8 γράφεται dp / dp A I s OUT p b s (7.8 P mp P TH Ahv TH mp n P cp p TH (7.9 n Alhv l b n ( ( ( s p hv hv mp A A n p n c n n q n t p (7. όπου: n p είναι η απόδοση άντλησης όπως ορίστηκε στην 6.5. n c = γ /γ είναι το κλάσμα των φωτονίων που εξέρχονται από την κοιλότητα λόγω της διαπερατότητας του ενός καθρέφτη και καλείται απόδοση εξόδου. 3 n q = hν/hν mp είναι το κλάσμα της ελάχιστης ενέργειας που μετατρέπεται σε ενέργεια του laser και καλείται κβαντική απόδοση laser (βλ. σχήμα n t = A b /A είναι το κλάσμα της επιφάνειας του ενεργού μέσου που χρησιμοποιείται από τη δέσμη laser και καλείται κάθετη απόδοση. Αξίζει να σημειώσουμε για άλλη μια φορά πως υποθέσαμε ότι το ενεργό μέσο αντλείται ομοιόμορφα Βέλτιστη σύζευξη εξόδου Αξίζει να σημειωθεί πως για δεδομένο ρυθμό άντλησης υπάρχει μια τιμή της διαπερατότητας Τ του καθρέφτη για την οποία η ισχύς εξόδου μεγιστοποιείται. Πράγματι, παρατηρούμε από τη σχέση 7.7 ότι η ισχύς εξόδου P OUT εξαρτάται από την παράμετρο γ η οποία είναι το μέτρο της διαπερατότητας του καθρέφτη. Ωστόσο εξαρτάται κι από την μεταβλητή P TH η οποία με τη σειρά της εξαρτάται κι αυτή από το γ (σχέση 7.9. Το μέγιστο της εξάρτησης της ισχύος εξόδου P OUT από την διαπερατότητας Τ του καθρέφτη καθορίζεται από τη σχέση dp OUT / dγ = Ρύθμιση (tuning laser Το φασματικό εύρος ενίσχυσης μερικών laser είναι αρκετά φαρδύ και χρειάζεται για τις περισσότερες εφαρμογές να επιλεγεί μια στενότερη φασματική περιοχή του. Άλλα laser μπορεί να παρουσιάσουν ενίσχυση σε περισσότερες από μια μεταβάσεις και να χρειαστεί κανείς να μπορεί να επιλέγει μεταξύ αυτών. Σε κάθε περίπτωση απαιτείται ένας μηχανισμός 9

91 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς ρύθμισης (tuning του laser στην κατάλληλη φασματική περιοχή που πραγματώνεται με την ενσωμάτωση ενός κατάλληλου οπτικού στοιχείου μέσα στην κοιλότητα. Στο μέσο υπέρυθρο (CO laser συνήθως χρησιμοποιείται ένα φράγμα περίθλασης (grating ως ένας από τους καθρέφτες της κοιλότητας, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.3.a. Σε αυτή τη διάταξη για δεδομένη στροφή του φράγματος μόνο ένα μήκος κύματος (για την ακρίβεια ένα πολύ στενό φασματικό εύρος γύρω από ένα κεντρικό μήκος κύματος επιτρέπεται να διαδοθεί μέσα στην κοιλότητα. Η ρύθμιση του μήκους κύματος του laser επιτυγχάνεται με την γωνιακή περιστροφή του φράγματος περίθλασης. Σχ Ρύθμιση μήκους κύματος laser με τη χρήση: a φράγματος περίθλασης, b πρίσματος. Στο ορατό και κοντινό υπέρυθρο συνήθως χρησιμοποιείται ένα πρίσμα με τις δυο του πλευρές σε γωνία Brewster σχετικά με τη δέσμη του laser, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.3.b. Όπως και στο φράγμα, με την κατάλληλη επιλογή της γωνίας στροφής του πρίσματος (ή και του καθρέφτη μόνο ένα μήκος κύματος επιτρέπεται να διαδοθεί στην κοιλότητα. Στο ορατό και κοντινό υπέρυθρο χρησιμοποιείται πλέον ευρέως η λύση του διπλοθλαστικού (birefringent φίλτρου όπως φαίνεται στο σχήμα 7.4. Το φίλτρο είναι ένας διπλοθλαστικός κρύσταλλος (π.χ. KDP: potassium dihdrogen phosphate σε γωνία Brewster με τη δέσμη του laser. Το φίλτρο είναι τοποθετημένο ανάμεσα σε δυο πολωτές με τον άξονά τους στραμμένο έτσι ώστε να διαδίδεται δέσμη laser με γραμμική πόλωση αυτή του επιπέδου πρόσπτωσης στο φίλτρο. Θεωρούμε ότι ο οπτικός άξονας Α του κρυστάλλου είναι σε ένα επίπεδο παράλληλο στην επιφάνεια του κρυστάλλου και ότι δεν είναι παράλληλος ή κάθετος στο επίπεδο πόλωσης της δέσμης laser. Επειδή η δέσμη laser προσπίπτει στο φίλτρο με γωνία Brewster δεν θα αλλάξει η έντασή της, ωστόσο στην έξοδο του φίλτρου θα είναι γενικά ελλειπτικά πολωμένη αφού η τακτική κι έκτακτη ακτίνα έχουν διαφορετικούς δείκτες διάθλασης n o κι n e, αντίστοιχα, κι επομένως εισάγουν διαφορά φάσης που περιγράφεται από τη σχέση 9

92 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς (n n L e o e (7. όπου L e είναι το πάχος του φίλτρου στην κατεύθυνση της δέσμης. Η ελλειπτικά πολωμένη πλέον δέσμη θα χάσει μεγάλο μέρος από την έντασή της στον δεύτερο πολωτή. Μόνο τα μήκη κύματος που ικανοποιούν τη σχέση Δφ=lπ, όπου l ακέραιος, θα διατηρήσουν την αρχική τους γραμμική πόλωση και θα διαδοθούν μέσα από τον δεύτερο πολωτή κι επομένως θα συνεισφέρουν στη διαδικασία του laser. Σχ Χρήση διπλοθλαστικού φίλτρου για τη ρύθμιση μήκους κύματος laser Επιλογή μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Τα laser γενικά ταλαντώνονται σε περισσότερους του ενός τρόπων. Η βασική αιτία εντοπίζεται στο γεγονός ότι η συχνοτική διαφορά των τρόπων ταλάντωσης είναι συνήθως μικρότερη από το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης, με αποτέλεσμα να ενισχύονται περισσότεροι του ενός τρόπων ταλάντωσης. Η κατάσταση απεικονίζεται ποιοτικά στο σχήμα 7.5 αλλά και παρακάτω στο σχήμα 7.7. Η ζητούμενη λειτουργία του laser σε ένα τρόπο ταλάντωσης μπορεί να επιτευχθεί με διάφορους τρόπους, μερικούς εκ των οποίων θα αναφέρουμε παρακάτω. Σχ Ποιοτικό παράδειγμα συνάρτησης ενίσχυσης g για διάφορους ρυθμούς άντλησης p, και οι δυνατοί τρόποι ταλάντωσης συχνοτικής διαφoράς c/l που υποστηρίζονται από την g. Σημείωση: Θυμίζουμε πως οι τρόποι ταλάντωσης χωρίζονται σε εγκάρσιους και διαμήκεις, όπου οι όροι αυτοί δεν έχουνε καμία σχέση με τις έννοιές τους από τους τρόπους ταλάντωσης των κυμάτων. Ανακαλώντας την σχέση 4.7, εγκάρσιοι είναι αυτοί που 9

93 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς αναφέρονται στους δείκτες l και m (με n σταθερό και διαμήκεις είναι αυτοί που αναφέρονται στον δείκτη n (l και m σταθερά Επιλογή εγκάρσιου μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Στην περίπτωση των ευσταθών κοιλοτήτων (αντηχείων με μικρή διάμετρο δέσμης ( <.5 mm μπορεί να επιλέξει κανείς τον εγκάρσιο τρόπο ταλάντωσης του laser (δηλ. τους δείκτες l και m. Για τις περισσότερες εφαρμογές απαιτείται ο τρόπος TEM. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας μια οπή διαμέτρου α στον άξονα της κοιλότητας. Αποδεικνύεται ότι καθώς το α μικραίνει οι απώλειες λόγω περίθλασης στον τρόπο TEM είναι πολύ λιγότερες από ότι στους υψηλότερους τρόπους TEM ή TEM. Επομένως με την κατάλληλη επιλογή της οπής α μπορούμε να επιβάλλουμε την ταλάντωση του τρόπου TEM αν και με μερικές απώλειες λόγω του χωρικού περιορισμού του Επιλογή διαμήκους μοναδικού τρόπου ταλάντωσης Ακόμη και στην περίπτωση που το laser ταλαντώνεται σε ένα εγκάρσιο τρόπο μπορεί να ταλαντωθεί σε αρκετούς διαμήκεις τρόπους (που αντιστοιχούν στο δείκτη n. Έχουμε δει στο κεφ. 4 πως οι διαμήκεις τρόποι απέχουν φασματικά Δν=c/L. Η επιλογή του τρόπου ταλάντωσης μπορεί να γίνει σε μερικές περιπτώσεις πολύ απλά επιλέγοντας το μήκος L της κοιλότητας τέτοιο ώστε Δν>Δν /, όπου Δν είναι το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης. Σε αυτή την περίπτωση, εάν ρυθμίσουμε την συχνότητα του απαιτούμενου τρόπου δόνησης να ταυτιστεί με το μέγιστο της συνάρτησης ενίσχυσης τότε οι γειτονικοί τρόποι θα έχουν πολύ μικρότερη ενίσχυση και δεν θα επιβιώσουν (τουλάχιστον σε συνθήκες κοντά σε αυτές του κατωφλίου. Μαθηματικά η παραπάνω συνθήκη εκφράζεται ως c L (7. Για παράδειγμα σε laser He-Ne με λ=633 nm το φασματικό εύρος της συνάρτησης ενίσχυσης είναι Δν =,7 GH, οπότε προκύπτει ότι η κατάλληλη κοιλότητα για ένα διαμήκη τρόπο ταλάντωσης πρέπει να έχει μήκος L < 7.5 cm. Αντίθετα στα laser στερεάς κατάστασης όπου το Δν είναι μερικές εκαντοντάδες GH, το κατάλληλο μήκος είναι μικρότερο του mm, και άρα η μέθοδος δεν είναι εφαρμόσιμη Fabr-Perot Ένας συνηθισμένος τρόπος για να πετύχουμε διαμήκη μοναδικό τρόπο ταλάντωσης είναι να εισάγουμε μέσα στην κοιλότητα ένα (ή και παραπάνω πλακίδιο έταλον Fabr-Perot όπως φαίνεται στο σχήμα

94 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς Σχ Διάταξη επιλογής διαμήκους τρόπου ταλάντωσης με τη χρήση έταλον. Το έταλον είναι ένα διαφανές υλικό για ορατή και υπέρυθρη ακτινοβολία των οποίων οι δυο επιφάνειες έχουν κατάλληλη ανακλαστικότητα. Θεωρώντας ένα πλακίδιο έταλον τοποθετημένο σε γωνία θ ως προς τον άξονα της κοιλότητας, τότε τα μέγιστα της διερχόμενης ακτινοβολίας περιγράφονται από τη σχέση v nc n (7.3 n L ' cos ' r όπου n ακέραιος, n r ο δείκτης διάθλασης του έταλον, L' το πάχος του και θ' η γωνία διάθλασης. Εφόσον το πάχος του έταλον είναι πολύ πιο μικρό από το μήκος της κοιλότητας, μια πολύ μικρή στροφή του αρκεί για να επιλεγεί ο κατάλληλος τρόπος διάδοσης στην κατάλληλη ενίσχυση, όπως παραστατικά φαίνεται στο σχήμα 7.7. Η συχνοτική διαφορά δυο διαδοχικών μεγίστων (ονομάζεται και free spectral range προκύπτει εύκολα από την 7.3 ως c v fsr (7.4 n L ' cos ' r Στο σχήμα 7.7 παρουσιάζονται γραφικά οι σχέσεις των συχνοτικών πλατών της κοιλότητας, του έταλον και του προφίλ ενίσχυσης από όπου φαίνεται ο μηχανισμός επιλογής των τρόπων δόνησης μέσω ενός πλακιδίου έταλον. 94

95 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς Σχ Επιλογή διαμήκους τρόπου ταλάντωσης με τη χρήση έταλον Κυκλικές κοιλότητες μονής κατεύθυνσης Αποδεικνύεται ότι η επιλογή διαμήκους τρόπου ταλάντωσης μπορεί να επιτευχθεί ή τουλάχιστον να βοηθηθεί, εάν η κοιλότητα είναι κυκλική (ring resonator κι επιπλέον η ταλάντωση περιορισθεί στη μια διεύθυνση (βλ. σχήμα 4.5.a. Για να επιτευχθεί αυτό χρειάζεται μια οπτική διάταξη που είχαμε αναφέρει ως οπτική δίοδος (από το ηλεκτρικό ανάλογο της διόδου ρεύματος. Η καρδιά αυτής της διάταξης είναι ο περιστροφέας Farada (Farada otator - F. Πρόκειται για ένα διαφανές μαγνητο-οπτικό υλικό που κατά τον άξονά του εφαρμόζεται ομογενές μαγνητικό πεδίο (βλ. σχήμα 7.8. Το μαγνητικό πεδίο έχει ως αποτέλεσμα τη στροφή της γραμμικής πόλωσης του προσπίπτοντος ΗΜ κύματος στην έξοδο του υλικού. Το μέγεθος της στροφής εξαρτάται από το υλικό, το μήκος του και την τιμή του μαγνητικού πεδίου. Σε αντίθεση με τα υλικά που παρουσιάζουν στροφική ικανότητα (εξαιτίας της ανισότητας δεξιόστροφων και αριστερόστροφων στερεοϊσομερών, ο περιστροφέας Farada στρίβει την πόλωση σε μια μόνο φορά ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της δέσμης. Αυτό σημαίνει πως αν στο σχήμα 7.8 το ΗΜ κύμα στην έξοδο του F έχει στρέψει την πόλωσή του κατά γωνία θ, τότε εάν ανακλαστεί από έναν καθρέφτη κι επιστρέψει πίσω, στην άλλη έξοδο του F θα έχει στραφεί κατά θ. θυμηθείτε τα πειράματα με ζαχαρόνερο στα εργαστήρια οπτικής 95

96 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς Σχ Περιστροφέας Farada Εκμεταλλευόμενοι αυτή την ιδιότητα φτιάχνουμε την οπτική διάταξη του σχήματος 7.9. Η διάταξη αποτελείται από δυο πολωτές τοποθετημένοι με τους οπτικούς τους άξονες παράλληλα, έναν περιστροφέα Farada κι ένα πλακίδιο καθυστέρησης λ/. Η δίοδος δουλεύει ως εξής: Αρχικά η δέσμη είναι πολωμένη παράλληλα στον οπτικό άξονα του πολωτή ένα κι επομένως διέρχεται ανενόχλητη από αυτόν. Στη συνέχεια περνά από τον F και στρέφεται κατά γωνία θ. Το πλακίδιο καθυστέρησης λ/ (του οποίου η στροφή γύρω από τον οπτικό του άξονα κατά γωνία φ επιφέρει στροφή της γραμμικής πόλωσης κατά φ/ ανεξάρτητα από τη φορά πρόσπτωσης στρέφεται κατάλληλα ώστε να επιφέρει στροφή της πόλωσης κατά γωνία θ αναιρώντας τη στροφή που επέφερε ο F. Συνεπώς το ΗΜ κύμα περνά αδιατάρακτο και από το δεύτερο πολωτή. Το ΗΜ κύμα που διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά ωστόσο δεν έχει την ίδια μοίρα. Περνά από τον πολωτή ανεπηρέαστο αλλά μετά από τη διέλευσή του από το πλακίδιο λ/ στρέφει την πόλωσή του κατά θ. Έπειτα μετά από τη διέλευσή του από τον F έχει στρέψει την πόλωσή του κατά θ με αποτέλεσμα να χάσει μεγάλο μέρος της ενέργειάς του κατά τη διέλευσή του μέσα από τον πολωτή, με τελικό αποτέλεσμα την μη επιβίωσή του μέσα στην κοιλότητα. Σχ Οπτική δίοδος εντός (απλοποιημένης κυκλικής οπτικής κοιλότητας. 96

97 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Laser Συνεχούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω Nd:YAG laser που περιγράφεται γεωμετρικά από το παρακάτω σχήμα. Με βάση αυτό και το διπλανό διάγραμμα πειραματικών μετρήσεων της ισχύος εξόδου ως συνάρτηση της ισχύος της άντλησης να υπολογίσετε: a. Το οπτικό μήκος της κοιλότητας και το χρόνο ζωής του φωτονίου στην κοιλότητα. Δίνεται ο δείκτης διάθλασης για τον Nd:YAG κρύσταλλο n=.8. Θεωρείστε μηδενικές απώλειες καθρεφτών και κοιλότητας (δηλ. γ i = -α-τ i -Τ i, και L i. b. Την ισχύ άντλησης κατωφλίου (ελάχιστη ισχύς άντλησης που απαιτείται για να λειτουργήσει ο κρύσταλλος. c. Την απόδοση κλίσης του laser. d. Την ένταση κορεσμού του laser θεωρώντας ομογενή άντληση του κρυστάλλου. e. Την ενεργό διατομή της μετάβασης μεταξύ των σταθμών laser δοθέντος του μήκους κύματος λ=,6 μm και του χρόνου ζωής της διεγερμένης στάθμης τ = 3 μs. f. Τον αριθμό των φωτονίων στην έξοδο του laser για 6 kw της ισχύος άντλησης.. Έστω μια οπτική κοιλότητα δυο επίπεδων καθρεφτών με μήκος L. Στον ένα της καθρέφτη τοποθετείται πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος με σκοπό την φασματική μετατόπιση των τρόπων ταλάντωσης. a. Υπολογίστε την φασματική μετατόπιση Δν ενός οποιουδήποτε διαμήκους τρόπου ταλάντωσης όταν ο πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος κινήσει τον καθρέφτη κατά μήκος λ/, όπου λ το μήκος κύματος του πρώτου (βασικού τρόπου ταλάντωσης. b. Έχουμε δει πως η επιλογή διαμήκων τρόπων ταλάντωσης μπορεί να γίνει σε ορισμένες περιπτώσεις μέσω της κατάλληλης επιλογής του μήκους της κοιλότητας. Μπορεί η μέθοδος αυτή να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με την μέθοδο του πρώτου ερωτήματος για την επιλογή τρόπων ταλάντωσης μιας κοιλότητας σταθερού μήκους; Απαντήστε στο ερώτημα θεωρώντας laser He-Ne με φασματικό εύρος συνάρτησης ενίσχυσης Δv =,7 GH. 97

98 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΛΜΙΚΑ LASE 8.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την λειτουργία των παλμικών laser, δηλ. laser των οποίων οι παλμοί έχουν πεπερασμένη χρονική διάρκεια σε αντίθεση με αυτούς των laser συνεχούς. Συγκεκριμένα θα εξετάσουμε περιπτώσεις όπου ο ρυθμός άντλησης ή/και οι απώλειες της κοιλότητας είναι χρονικά εξαρτώμενες. Η συμπεριφορά του laser σε τέτοιες συνθήκες χαρακτηρίζεται ως μεταβατική (transient και χωρίζεται σε δυο κατηγορίες: (i Περιπτώσεις όπου το laser λειτουργεί σε ένα τρόπο δόνησης και που μπορεί να περιγραφεί μέσω εξισώσεων ρυθμών μεταβολής πληθυσμών π.χ. Q-switching. (ii Περιπτώσεις όπου το laser λειτουργεί σε πολλούς τρόπους δόνησης και χρειάζεται μια διαφορετική περιγραφή από αυτή του ενός τρόπου δόνησης π.χ. mode-locking. 8.. Αποσβένουσα ταλαντωτική συμπεριφορά Στο σημείο αυτό, πριν προχωρήσουμε στην λεπτομερή περιγραφή της μεταβατικής συμπεριφοράς του laser θα ασχοληθούμε με τη λύση των εξισώσεων 7.8 στην περίπτωση παλμικής λειτουργίας. Οι διαφορικές εξισώσεις 7.8 που περιγράφουν τη λειτουργία του laser δεν είναι γραμμικές (παρουσία όρων φν κι επομένως δεν λύνονται αναλυτικά εν γένει. Θεωρούμε μια βηματική συνάρτηση για την περιγραφή του ρυθμού άντλησης, δηλ. p (t= για t< και p (t= p για t>. Ένα τυπικό παράδειγμα αριθμητικής λύσης των εξισώσεων 7.8 για ένα σύστημα τριών σταθμών είναι αυτή που περιγράφεται από στο σχήμα 8.. Η λύση για σύστημα τεσσάρων σταθμών είναι ποιοτικά ίδια αν θεωρήσουμε ως αρχή του χρόνου τα μs. Σχ. 8.. Παράδειγμα χρονικής συμπεριφοράς της αντιστροφής πληθυσμών N(tV α, και του αριθμού των φωτονίων φ(t για ένα σύστημα laser τριών σταθμών παλμικής διέγερσης. 98

99 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του σχήματος 8. συνοψίζονται ως εξής: Μετά από περίπου μs η αντιστροφή πληθυσμού αυξάνεται εξαιτίας της άντλησης ενώ ο αριθμός φωτονίων παραμένει πολύ χαμηλός κοντά στην αρχική του τιμή (καθορισμένης από την αυθόρμητη εκπομπή ώσπου η αντιστροφή πληθυσμού να φτάσει στην κρίσιμη τιμή (Ν c =Ν ο V α στο σχήμα 8.. Στη συνέχεια η αντιστροφή πληθυσμού συνεχίζει να αυξάνει με αποτέλεσμα την αύξηση του αριθμού των φωτονίων στην κοιλότητα. Άλλωστε από την 7.8.b προκύπτει ότι για Ν >Ν c είναι dφ/dt>. Μετά την επίτευξη της κρίσιμης αντιστροφής πληθυσμού χρειάζεται κάποιος χρόνος μέχρι ο αρχικός αριθμός των φωτονίων της κοιλότητας (φ να φτάσει στην τιμή της κατάστασης ισορροπίας (φ = 5.8x 4 στο σχήμα 8.. Όταν ο αριθμός των φωτονίων γίνει μεγάλος (φ>φ τότε η διαδικασία της εξαναγκασμένης εκπομπής υπερκεράζει τον ρυθμό άντλησης και η αντιστροφή πληθυσμού αρχίζει να μειώνεται. Στην μέγιστη τιμή του φ(t η αντιστροφή πληθυσμού έχει φτάσει στην κρίσιμη τιμή Ν c. Αυτό μπορεί να προκύψει εύκολα και από την 7.8.b όπου για Ν = Ν c συνεπάγεται ότι dφ/dt= (μέγιστο φ. Στη συνέχεια μετά τη μεγιστοποίηση του φ(t η αντιστροφή πληθυσμού συνεχίζει μειούμενη σε τιμές χαμηλότερες της κρίσιμης Ν c εξαιτίας του υψηλού ρυθμού εξαναγκασμένης εκπομπής. Έτσι η λειτουργία του laser τίθεται εκτός κατωφλίου και ο αριθμός των φωτονίων μειώνεται. Όταν ο αριθμός των φωτονίων μειωθεί πολύ (φ<φ τότε ο ρυθμός άντλησης κυριαρχεί στο σύστημα και η διαδικασία ξαναρχίζει για να διαγράψει τον επόμενο κύκλο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου επιτευχθούν οι συνθήκες ισορροπίας (stead state. Ο αριθμός των φωτονίων στην έξοδο του laser εμφανίζεται ως αλληλουχία κορυφών (laser spikes μειούμενου πλάτους και ισοκατανεμημένες στο χρόνο. Την ίδια συμπεριφορά έχει και η ισχύς εξόδου του laser. Το φαινόμενο χαρακτηρίζεται ως αποσβένουσα ταλαντωτική συμπεριφορά (damped relaxation oscillation. Παρατηρείστε πόσο μεγαλύτερος μπορεί να γίνει ο αριθμός των φωτονίων (άρα και η ενίσχυση του laser όταν η αντιστροφή πληθυσμού υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή Q-Switching Είδαμε στο κεφάλαιο 7 ότι στα laser συνεχούς η αντιστροφή πληθυσμού δεν ξεπερνά την τιμή που αποκτά σε συνθήκες κατωφλίου δηλ. αυτής στην οποία αρχίζει η λειτουργία του laser. Στο υποκεφάλαιο 8. είδαμε πως μπορούμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο χρησιμοποιώντας παλμική άντληση. Το αποτέλεσμα είναι μεν η μεγαλύτερη ενίσχυση του φωτός laser αλλά μόνο για σχετικά μικρές τιμές (π.χ. δεν άλλαξε η τάξη μεγέθους. 99

100 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Ένας ιδανικός τρόπος περεταίρω αντιστροφής πληθυσμού, άρα και ενίσχυσης του φωτός laser μπορεί να προκύψει αν με κάποιο τρόπο εισάγουμε ένα είδους κλείστρου (shutter μέσα στην κοιλότητα. Όταν το κλείστρο είναι κλειστό τότε η διαδικασία laser διακόπτεται και η τιμή της αντιστροφής πληθυσμού μπορεί να πάρει τιμές πολύ μεγαλύτερες από την κρίσιμη τιμή. Εάν τώρα το κλείστρο ανοίξει, ξεκινά η διαδικασία του laser και η αποθηκευμένη ενέργεια εκπέμπεται με τη μορφή ενός χρονικά στενού και ισχυρού παλμού. Αυτή η διαδικασία αφορά στην αλλαγή του παράγοντα ποιότητας Q και η τεχνική ονομάζεται μεταγωγή του παράγοντα ποιότητας Q (Q-switching. Με την τεχνική αυτή επιτυγχάνονται διάρκειες παλμών της τάξης του χρόνου ζωής του φωτονίου στην κοιλότητα (μερικά έως δεκάδες ns καθώς και μέγιστης ισχύος (στην περιοχή των MW. Για να περιγράψουμε τη δυναμική του Q-switching, θεωρούμε μια βηματική συνάρτηση για την περιγραφή του ρυθμού άντλησης, δηλ. p (t= για t< και p (t= p για <t<t p, ενώ το κλείστρο είναι κλειστό. Σε αυτή την περίπτωση για <t<t p, το σύστημα τεσσάρων σταθμών περιγράφεται από την 7.8.a για φ=. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η N ( t N [ exp( t / ] (8. όπου η ασυμπτωτική τιμή Ν (προκύπτει και από την συνθήκη dν/dt= δίνεται από την σχέση N p (8. Η γραφική απόδοση των παραπάνω φαίνεται στο σχήμα 8. από το οποίο φαίνεται πως η διάρκεια του παλμού άντλησης t p θα πρέπει στην ιδανική περίπτωση να είναι ίση ή μικρότερη του χρόνου αυθόρμητης εκπομπής τ. Πράγματι για t p >> τ η αντιστροφή πληθυσμού δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά, επομένως η περεταίρω προσφορά ενέργειας στο σύστημα σπαταλάται ως αυθόρμητη εκπομπή. Από την άλλη μεριά, με βάση τη σχέση 8. προκύπτει ότι για να πετύχουμε μεγάλη αντιστροφή πληθυσμού θα πρέπει ο χρόνος αυθόρμητης εκπομπής τ να είναι μεγάλος. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας καταστάσεις με απαγορευμένες ηλεκτρο-διπολικές μεταβάσεις (μετασταθείς καταστάσεις των οποίων οι χρόνοι ζωής είναι ακόμη και στην κλίμακα των milliseconds. Σημειώνεται πως αυτές οι συνθήκες πληρούνται για τα laser στερεάς κατάστασης. Όχι όμως για τα laser ημιαγωγών, χρωστικών και μερικών αερίων για τα οποία το Q-switching είναι μη αποδοτικό. Έστω τώρα ότι το κλείστρο ανοίγει απότομα την χρονική στιγμή t p. Η ποιοτική συμπεριφορά του συστήματος είναι ανάλογη αυτής που περιγράφηκε στην 8. και παρουσιάζεται στο σχήμα 8..b. Μετά το άνοιγμα του κλείστρου η αντιστροφή πληθυσμού παραμένει σταθερή για μικρό χρονικό διάστημα κι αρχίζει να μειώνεται όταν ο αριθμός των φωτονίων αυξηθεί σημαντικά. Όταν η τιμή της φτάσει την κρίσιμη τιμή N c τότε ο πληθυσμός των φωτονίων μεγιστοποιείται, όπως έχουμε δείξει. Στη συνέχεια απώλειες της αντιστροφής συνεχίζονται με αποτέλεσμα να μειωθεί και ο αριθμός των φωτονίων μέχρι το μηδέν. Η αντιστροφή παραμένει σε μια μικρή τιμή N f όπως θα δούμε παρακάτω.

101 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Σχ. 8.. Δημιουργία συνθηκών Q-switching laser. (a Αντιστροφή πληθυσμού. (b Εξέλιξη της αντιστροφής πληθυσμού και του αριθμού των φωτονίων κατά το «άνοιγμα» του Q- switching. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι χρονικές κλίμακες των σχημάτων 8..a και 8..b είναι πολύ διαφορετικές. Στο σχήμα 8..a η αντιστροφή καθορίζεται από το χρόνο ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser κι επομένως ως μετασταθής είναι της τάξης του μs ms. Από την άλλη μεριά στο σχήμα 8..b ο χρόνος είναι της τάξης του χρόνου ζωής του φωτονίου μέσα στην κοιλότητα δηλ. στην κλίμακα των ns (-5 ns. Έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι κι αντίστοιχες συσκευές για την επίτευξη Q-switching σε κοιλότητα laser. Συνήθως χωρίζονται σε δυο κατηγορίες το ενεργό και το παθητικό Q- switching. Στο ενεργό Q-switching η συσκευή ενεργοποιείται από ένα εξωτερικό ερέθισμα (π.χ. αλλαγή τάσης. Στο παθητικό Q-switching η συσκευή ενεργοποιείται από την μηγραμμική οπτική απόκριση του μέσου της συσκευής. Παρακάτω θα περιγράψουμε τις αρχές λειτουργίας τέτοιων συσκευών Ηλεκτρο-οπτικό Q-Switching Αυτές οι συσκευές χρησιμοποιούν το ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο που ονομάζεται φαινόμενο Pockels. Αποτελούνται από ένα κελί (Pockels cell που περιέχει ένα μη γραμμικό κρύσταλλο, όπως π.χ. ο KD*P (deuterated potassium dihdrogen phosphate, i.e., KD PO 4, στο οποίο εφαρμόζεται κατάλληλη υψηλή τάση που έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή των δεικτών διάθλασης του κρυστάλλου. Η επαγόμενη διπλοθλαστικότητα είναι ανάλογη της επαγόμενης τάσης. Στο σχήμα 8.3 φαίνεται η διάταξη ενός Q-switched laser με τη χρήση πολωτή και Pockels cell. Το Pockels cell είναι τοποθετημένο έτσι ώστε οι άξονες x και της επαγόμενης διπλοθλαστικότητας να βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο ως προς τον οπτικό άξονα της κοιλότητας και σε γωνία 45 ο σε σχέση με τον οπτικό άξονα του πολωτή. Έστω τώρα ότι η δέσμη laser διαδίδεται από το ενεργό μέσο προς τον πολωτή κι έστω ότι η πόλωσή της είναι παράλληλη αυτής του άξονα του πολωτή. Τότε θα διαδοθεί μέσα από τον πολωτή αδιατάρακτη και θα εισέλθει στο Pockels cell το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση υψηλής

102 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser τάσης ώστε να επάγει διπλοθλαστικότητα. Το ηλεκτρικό πεδίο του laser σχηματίζει γωνία 45 ο σε σχέση και με του δυο άξονες διπλοθλαστικότητας x και του Pockels cell. Επομένως κατά την έξοδο της δέσμης από το Pockels cell οι δυο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου του laser Ex και E θα έχουν υποστεί διαφορετικές καθυστερήσεις στη φάση τους εμφανίζοντας μια διαφορά φάσης ( n n L' x (8.3 όπου L το μήκος του κρυστάλλου του Pockels cell. Εάν η τιμή της τάσης είναι τέτοια ώστε η επαγόμενη διαφορά φάσης να είναι Δφ=π/ τότε η δέσμη του laser προκύπτει κυκλικά πολωμένη. Μετά από την ανάκλαση της δέσμης από τον καθρέφτη περνά πάλι από το Pockels cell αποκτώντας επιπλέον διαφορά φάσης μεταξύ των Ex και E Δφ=π/, συνολικά δηλ. Δφ=π. Επομένως το πεδίο προκύπτει γραμμικά πολωμένο αλλά στραμμένο κατά 9 ο σχετικά με το αρχικό κύμα. Επομένως δεν μπορεί να διαδοθεί μέσα από τον πολωτή και ανακλάται εκτός κοιλότητας. Η διαδικασία αυτή αντιστοιχεί σε κλειστό διακόπτη Q- switching. Ο διακόπτης ανοίγει όταν απαλειφθεί η επαγόμενη τάση στο Pockels cell. Τότε παύει η διπλοθλαστικότητα και το φως διαδίδεται ανενόχλητο μέσα από το Pockels cell. Τυπικές τιμές της επαγόμενης τάσης (τάση λ/4 εξαιτίας της επαγόμενης διαφοράς φάσης σε κάθε πέρασμα είναι από 5 kv. Ο δε χρόνος ανοίγματος μικρότερος του ns. Σχ Διάταξη ενός Q-switched laser με τη χρήση πολωτή και Pockels cell Μηχανικό Q-Switching Ο πιο κοινός μηχανισμός για μηχανικό Q-switching είναι αυτός της περιστροφής ενός εκ των καθρεφτών της κοιλότητας γύρω από άξονα κάθετο στον οπτικό άξονα της κοιλότητας. Σε αυτή την περίπτωση το άνοιγμα του διακόπτη επιτυγχάνεται όταν κατά την περιστροφή ο καθρέφτης γίνει παράλληλος με τον άλλο καθρέφτη της κοιλότητας. Σε κάθε άλλη θέση ο διακόπτης είναι κλειστός. Για λόγους απλοποίησης της ευθυγράμμισης χρησιμοποιούνται πρίσματα αντί επίπεδων καθρεφτών όπως φαίνεται στο σχήμα 8.4. Η μέθοδος αυτή είναι απλή και φτηνή και κατάλληλη για όλα τα μήκη κύματος. Εξαιτίας όμως της πεπερασμένης ταχύτητας του μοτέρ παράγουν αργό Q-switching. Για παράδειγμα για ένα γρήγορο μοτέρ με ταχύτητα περιστροφής 4. rpm (4H, η διάρκεια του ανοίγματος του Q-switching είναι περίπου 4 ns. Τόσο αργό Q-switching μπορεί να οδηγήσει σε ανεπιθύμητη παραγωγή δευτερευόντων παλμών.

103 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Ακουστο-οπτικό Q-Switching Σχ Μηχανικό Q-switching. Ένας ακουστο-οπτικός διαμορφωτής αποτελείται από ένα κομμάτι διαφανούς υλικού (π.χ. fused Quart στη μια άκρη του οποίου είναι στερεωμένος ένας πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος (σχήμα 8.5. Σχ Ακουστο-οπτικό Q-switching. Ο πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος τίθεται σε λειτουργία από έναν ταλαντωτή ραδιοσυχνοτήτων και ταλαντούμενος προκαλεί την διάδοση ενός υπερηχητικού κύματος στο ακουστο-οπτικό υλικό. Το μέρος του υλικού απέναντι από τον πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο είναι κομμένο υπό γωνία και φέρει υλικό απορρόφησης των υπερήχων. Έτσι η ανάκλαση των υπερήχων στην επιφάνεια του υλικού μειώνεται δραστικά και τα υπερηχητικά κύματα διαδίδονται μόνο σε μια κατεύθυνση μέσα στο ακουστο-οπτικό υλικό. Το υλικό παραμορφώνεται τοπικά εξαιτίας των υπερηχητικών κυμάτων και παρουσιάζει διπλοθλαστικότητα, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται τοπικά ο δείκτης διάθλασής του. Το φαινόμενο ονομάζεται φωτοελαστικό. Η περιοδική αλλαγή του δείκτη διάθλασης ενεργεί ως φράγμα περίθλασης με περίοδο ίση με αυτή ενός ακουστικού μήκους κύματος που όμως ταξιδεύει με την ταχύτητα του ήχου στο υλικό. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η δέσμη του laser να περιθλάται κατά ένα μέρος της εκτός της κοιλότητας όπως φαίνεται στο σχήμα 8.5. Οι επαγόμενες απώλειες από το οπτικοακουστικό υλικό μέσα στην κοιλότητα έχουν ως αποτέλεσμα την διακοπή της λειτουργίας του laser. Όταν η τάση μηδενιστεί τότε to laser επανέρχεται στην λειτουργία του παράγοντας ισχυρούς στενούς παλμούς. 3

104 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Απορροφητές κορεσμού Οι τρεις παραπάνω συσκευές έκαναν χρήση του ενεργού Q-switching. Εδώ θα εξετάσουμε τη περίπτωση του παθητικού Q-switching που βασίζεται στους απορροφητές κορεσμού. Είναι η πιο κοινή μέθοδος παθητικού Q-switching. Ένας απορροφητής κορεσμού είναι ένα υλικό υψηλής απορροφητικότητας στο μήκος κύματος του laser και άρα χαμηλής τιμής έντασης κορεσμού (βλ. σχέση 5.4 για μεγάλο σ. Σε συνθήκες κορεσμού ο απορροφητής γίνεται διάφανος στο μήκος κύματος που απορροφούσε πριν τον κορεσμό. Η παρουσία ενός τέτοιου απορροφητή μέσα σε μια κοιλότητα laser έχει ως αποτέλεσμα να αποτρέπει την δημιουργία συνθηκών laser για όσο χρονικό διάστημα απαιτείται για να φτάσει σε συνθήκες κορεσμού απορρόφησης. Η διαδικασία του laser θα ξεκινήσει μόνο όταν η ενίσχυση ξεπεράσει τις απώλειες τόσο της κοιλότητας όσο και του απορροφητή. Εξαιτίας όμως των μεγάλων απωλειών του απορροφητή (μεγάλη απορρόφηση η τελική τιμή της αντιστροφής πληθυσμού είναι επίσης πολύ μεγάλη. Έτσι επιτυγχάνονται οι συνθήκες Q- switcing. Ο κορεσμός του απορροφητή σηματοδοτεί και το «άνοιγμα» του διακόπτη για την διαδικασία του laser και την παραγωγή στενών και ισχυρών παλμών όπως περιγράφηκαν και προηγουμένως. Στη συνέχεια ο απορροφητής αποδιεγείρεται και η εικόνα επαναλαμβάνεται στο ρυθμό της άντλησης του laser Τρόποι λειτουργίας των Q-switched laser Τα laser που χρησιμοποιούν Q-switching λειτουργούν με δυο τρόπους: ( Παλμικής άντλησης όπου ο ρυθμός άντλησης είναι παλμικός με διάρκεια παλμού συγκρίσιμου αυτού του χρόνου ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser (σχήμα 8.6. Εάν δεν υπήρχε το Q-switching, η αντιστροφή πληθυσμού θα έφτανε σε μια μέγιστη τιμή και μετά θα μειώνονταν. Το Q-switching ενεργοποιείται τη στιγμή που η αντιστροφή πληθυσμού έχει φτάσει στο μέγιστό της (πολύ μεγαλύτερο αυτού που θα έφτανε χωρίς το Q-switching. Έπειτα ο αριθμός των φωτονίων αυξάνει μέχρι την μέγιστη τιμή του που συμβαίνει όταν η αντιστροφή πληθυσμού φτάσει στην κρίσιμη τιμή της, για να μειωθεί πολύ γρήγορα (σχεδόν στο μηδέν μαζί με την μείωση της αντιστροφής στην ελάχιστη παραμένουσα τιμή της. Να τονιστεί και πάλι πως οι δυο χρόνοι άντλησης και laser είναι πολύ διαφορετικοί κι αντιστοιχούν σε κλίμακες ms και ns αντίστοιχα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται στο ρυθμό επανάληψης της άντλησης που μπορεί να φτάσει και τα δεκάδες H. Ηλεκτρο-οπτικές και μηχανικές συσκευές, όπως και απορροφητές κορεσμού χρησιμοποιούνται σε αυτή την περίπτωση. 4

105 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Σχ Παλμική λειτουργία laser μέσω παλμικής άντλησης. (a Ρυθμός άντλησης, (b Απώλειες κοιλότητας, (c Αντιστροφή πληθυσμού, (d Αριθμός φωτονίων. ( Συνεχούς άντλησης με παλμική λειτουργία Q-switching (σχήμα 8.7. Σε αυτήν την περίπτωση το laser αντλείται συνεχώς σε ρυθμό p, και οι απώλειες της κοιλότητας αυξομειώνονται περιοδικά μέσω μια συσκευής Q-switching. Η έξοδος του laser τότε αποτελείται από ένα συνεχές τραίνο παλμών, όπως φαίνεται στο σχήμα 8.7.c. Κατά τη διάρκεια του κάθε παλμού η αντιστροφή πληθυσμού μειώνεται από τη μέγιστη τιμή στην παραμένουσα για να αυξηθεί ως την μέγιστη τιμή της πριν ενεργήσει το επόμενο Q- switching. Εφόσον ο χρόνος που χρειάζεται για να έχουμε συνθήκες μέγιστης αντιστροφής πληθυσμού είναι περίπου ίσος αυτού της ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser τ, ο χρόνος που απαιτείται μεταξύ δυο διαδοχικών παλμών laser τ p μπορεί να είναι ίσος ή και μικρότερος του τ. Για την ακρίβεια εάν τ p >>τ τότε το μεγαλύτερο μέρος της αντιστροφής θα σπαταληθεί σε αυθόρμητη αποδιέγερση. Επομένως ο ρυθμός επανάληψης σε αυτή την περίπτωση μπορεί να φτάσει ακόμη και τα μερικές δεκάδες kh. Ακουστο-οπτικές συσκευές και σε μερικές περιπτώσεις μηχανικές χρησιμοποιούνται σε αυτή την περίπτωση. 5

106 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Σχ Παλμική λειτουργία laser μέσω παλμικού Q-switching Θεωρία ενεργού Q-switching Αν και όπως έχουμε επισημάνει το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 7.8 που περιγράφει το laser είναι μη γραμμικό και εν γένει δεν λύνεται αναλυτικά, εν τούτοις θα επιχειρήσουμε μια απλοποίησή του από τη οποία μπορούν να εξαχθούν ασφαλή αποτελέσματα για την λειτουργία του laser. Θα θεωρήσουμε σύστημα laser με ενεργό (γρήγορο Q-switching που «ανοίγει» την χρονική στιγμή t= (βλ. σχήμα 8.6. Η χρονική εξέλιξη του συστήματος laser για t> περιγράφεται από τις εξισώσεις 7.8 με αρχικές συνθήκες Ν(=Ν i και φ(=φ i. Εξαιτίας της πολύ γρήγορης μεταβολής των Ν(t και φ(t μπορούμε να θεωρήσουμε την επίδραση των όρων p και Ν/τ μηδενική. Επομένως γράφουμε: dn dt BN (8.4.a d V BN a (8.4.b dt c Στο σημείο αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε το Ν i που από την σχέση 8. προκύπτει ίσο με Ν i = p (τ, όπου p ( είναι η τιμή του ρυθμού άντλησης την στιγμή του ανοίγματος του Q- switching και που δεν είναι γνωστή. Υποθέτοντας ότι η συνάρτηση που περιγράφει την άντληση δεν αλλάζει τη μορφή της με την μεταβολή του μεγέθους της, μπορούμε να γράψουμε ότι. Επειδή όμως η ενέργεια Ε P που αντιστοιχεί στο ρυθμό άντλησης p μπορεί να γραφεί ως, προκύπτει ότι κι επομένως με βάση την σχέση 8. αντίστοιχη ενέργεια θα ισχύει. Ομοίως για την κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμού και την N N i ic. Με βάση αυτά γράφουμε: E p x (8.5 E pc Η ποσότητα μπορεί να μετρηθεί πειραματικά. Η κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμών υπολογίζεται ως Ν ic =γ/σl (βλ. σχέση 7.4.a. Επομένως από την 8.5 υπολογίζεται 6

107 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser 7 και το N i. Παρατηρείστε ότι με βάση τις σχέσεις 8.4 η αντιστροφή πληθυσμού που αντιστοιχεί στο μέγιστο του παλμού των φωτονίων (dφ/dt= έχει τιμή. Επομένως ισχύει. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να προχωρήσουμε στο υπολογισμό των παρακάτω μεγεθών. Μέγιστη τιμή ισχύος εξόδου (peak power Με βάση την σχέση 7. έχουμε p e p hv L c P ( (8.6 όπου φ p ο αριθμός των φωτονίων που αντιστοιχεί στην μέγιστη τιμή ισχύος, ο οποίος υπολογίζεται παίρνοντας τον λόγο των σχέσεων 8.4.a και 8.4.b. Προκύπτει ότι N N V dn d p a (8.7 η οποία εύκολα ολοκηρώνεται για να δώσει ln p i p i p a p N N N N N V (8.8 Έτσι η μέγιστη τιμή της ισχύος εξόδου υπολογίζεται ως ln p i p i c b p N N N N hv A P (8.9 όπου είναι η τομή της δέσμης laser και χρησιμοποιήθηκε η σχέση όπως υπολογίστηκε στην 7.7.b. Ενέργεια εξόδου: dt t hv L c dt t P E e ( ( (8. Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την 8.4.b ως εξής: ( (] ( [ ( ( ( ( ( f i c a c a c a c a N N V N N V dt t dt t dt dt dn V dt t N dt B V dt dt d (8. Είναι φ(=φ( ενώ Ν f είναι η παραμένουσα αντιστροφή πληθυσμού. Ο λόγος που η αντιστροφή πληθυσμού δεν μηδενίζεται βασίζεται στην διαφορετική απώλεια πληθυσμού για την αντιστροφή και τα φωτόνια. Πράγματι, από τη σχέση 8.4 προκύπτει ότι τα φωτόνια έχουν μεγαλύτερες απώλειες λόγω και των απωλειών της κοιλότητας με αποτέλεσμα όταν μηδενιστεί ο πληθυσμός τους να υπάρχει ένας παραμένων πληθυσμός αντιστροφής ο οποίος δεν αποδιεγείρεται (αφού είναι σε μετασταθή κατάσταση και το Q-switching είναι «κλειστό». Επομένως η ενέργεια γράφεται

108 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser E ( V hv f (8. Για τον υπολογισμό της χρειάζεται επί πλέον ο υπολογισμός του Ν f. Αυτός προκύπτει ολοκληρώνοντας την 8.7 με άνω όριο ολοκλήρωσης το ( φ(. Προκύπτει ότι f p ln (8.3 f που δίνει την ποσότητα Ν f / Ν i ως συνάρτηση της Ν p / Ν i την οποία μπορούμε να μετρήσουμε. Ορίζοντας την ποσότητα η Ε = (Ν i -Ν f / Ν i ως τον κανονικοποιημένο παράγοντα αντιστροφής, η 8.3 γράφεται ως και η ενέργεια εξόδου ως E i p N i E N p ln( E A b hv E (8.4 (8.5 Διάρκεια παλμού: Προσεγγιστικά η διάρκεια του παλμού laser μπορεί να προκύψει ως το πηλίκο της ενέργειας προς την ισχύ. Έτσι με βάση τους υπολογισμούς των 8.9 και 8.5 προκύπτει ότι ( N / N i p E p c (8.6 [( N / N ln( N / N ] i p i p 8.6. Gain switching Η τεχνική που ονομάζεται Gain switching (μεταγωγή ενίσχυσης, επιτρέπει την δημιουργία στενών (κλίμακα ns και ισχυρών παλμών laser όπως και η τεχνική Q-switching. Η διαφορά τους είναι πως ενώ στην Q-switching απενεργοποιούνταν απότομα οι απώλειες της κοιλότητας, στην Gain switching ενεργοποιείται απότομα η ενίσχυση του laser. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας παλμούς άντλησης τόσο γρήγορους ώστε η αντιστροφή πληθυσμών κι επομένως η ενίσχυση του laser να αποκτούν τιμές πολύ μεγαλύτερες της τιμής κατωφλίου πριν ο αριθμός φωτονίων της κοιλότητας αποκτήσει τιμές ικανές να ελαττώσουν την αντιστροφή. Η ποιοτική εξήγηση του φαινομένου προκύπτει από το σχήμα 8.. Χωρίς να μπούμε σε πολλές λεπτομέρειες, εάν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός άντλησης διαρκεί μόνο 5 μs τότε μέσα στο χρόνο αυτό θα προκύψει μόνο μια κορυφή κι επομένως ένας παλμός φωτονίων. Τυπική περίπτωση τέτοιου laser είναι το CO όπου το Gain switching γίνεται με ηλεκτρική παλμική άντληση (δηλ. ηλεκτρική εκκένωση που λαμβάνει χώρα μέσα στο μείγμα των αερίων που αποτελούν το ενεργό μέσο του laser. 8

109 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser 8.7. Εγκλείδωση τρόπων (Mode-locking Ας υποθέσουμε ένα laser που ταλαντώνεται με έναν μεγάλο αριθμό διαμηκών τρόπων ταλάντωσης. Στη γενικότητά τους οι φάσεις των τρόπων θα έχουν τυχαία συμπεριφορά με αποτέλεσμα η ένταση της δέσμης να έχει κι αυτή ομοίως τυχαία συμπεριφορά. Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται στο σχήμα 8.7 όπου φαίνεται η ασύμφωνη άθροιση Ν=5 διαδοχικών τρόπων δόνησης ίσου πλάτους και τυχαίας φάσης. Το αποτέλεσμα είναι μια τυχαία αλληλουχία παλμών φωτός η οποία παρά τη τυχαιότητά της έχει τις εξής ιδιότητες ως αποτέλεσμα της φασματικής κατανομής των τρόπων: (i Η κυματομορφή είναι περιοδική με περίοδο (ii Κάθε παλμός φωτός της κυματομορφής έχει διάρκεια, όπου το συνολικό φασματικό εύρος. Επομένως για laser με σχετικά μεγάλο φασματικό εύρος ενίσχυσης, όπως τα στερεής κατάστασης, χρωστικών και ημιαγωγών, το μπορεί να γίνει συγκρίσιμο με το φασματικό εύρος ενίσχυσης του laser. Αυτό συνεπάγεται δημιουργία παλμών, έστω και σε μορφή θορύβου, με διάρκεια ps ή και μικρότερη. Ωστόσο να σημειώσουμε στο σημείο αυτό πως τόσο γρήγοροι παλμοί δεν μπορούν να μετρηθούν από φωτοανιχνευτές και χρειάζονται ειδικές συμβολομετρικές τεχνικές για τη μέτρησή τους. Σχ Χρονική συμπεριφορά ασύμφωνης άθροισης 5 διαδοχικών τρόπων δόνησης ίσου πλάτους και τυχαίας φάσης. Η ποσότητα Α είναι το πλάτος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου. Ας υποθέσουμε τώρα πως οι τρόποι δόνησης ίδιου η συγκρίσιμου πλάτους έχουν συγκεκριμένη σχέση φάσεων μεταξύ τους. Ένα τέτοιο laser ονομάζεται κλειδωμένων τρόπων (mode locked, και η διαδικασία εγκλείδωσης των τρόπων mode locking Περιγραφή στη περιοχή των συχνοτήτων Έστω n+ διαδοχικοί τρόποι ταλάντωσης ίσου πλάτους Ε. Υποθέτουμε πως οι φάσεις τους περιγράφονται από την σχέση: 9

110 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser l l (8.7 όπου φ σταθερά. Τότε το ολικό ηλεκτρικό πεδίο του ΗΜ κύματος αποτελούμενου από τους παραπάνω τρόπους δόνησης γράφεται: l n ( t E exp{ j[( l t l l n E ]} (8.8 όπου ω η συχνότητα του κεντρικού τρόπου, Δω η διαφορά συχνότητας δυο διαδοχικών τρόπων και θεωρούμε την τιμή της φάσης του κεντρικού τρόπου μηδέν. Το συνολικό πεδίο μπορεί να γραφτεί ως με E ( t A ( t exp( j t (8.9 l n l n A ( t E exp[ jl ( t ] (8. ΟΙ σχέσεις 8.9 και 8. δείχνουν πως το συνολικό πεδίο μπορεί να περιγραφεί από ένα ημιτονοειδές φέρον κύμα συχνότητας ω του οποίου το πλάτος Α είναι χρονικά εξαρτώμενο. Η χρονική εξάρτηση του πλάτους υπολογίζεται παραλείποντας την σταθερή φάση φ από την 8. (δεν προσδίδει τίποτε στην χρονική εξάρτηση και παρατηρώντας πως η 8. τότε είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο exp(jδωt. Το άθροισμα της προόδου τότε γράφεται A( t l n l n E E exp[ j( t ] sin[( n t / ] sin( t / l E exp( j t n exp( exp( j t j t n (8. Στο σχήμα 8.9 προβάλλεται η ποσότητα που είναι ανάλογη της έντασης της δέσμης για n+ = 7 τρόπους. Το αποτέλεσμα είναι η συμβολή των τρόπων για την παραγωγή ενός τραίνου παλμών. Τα μέγιστα των παλμών συμβαίνουν όταν ο παρονομαστής της 8. μηδενίζεται. Επομένως δυο διαδοχικοί παλμοί θα απέχουν χρονικά κατά Δωt/ = π ή αλλιώς (8. p όπου Δν η διαφορά συχνοτήτων δυο διαδοχικών τρόπων. Η τιμή του μέγιστου προκύπτει ως. Τα ελάχιστα συμβαίνουν όταν ο αριθμητής μηδενίζεται. Συγκεκριμένα το πρώτο ελάχιστο συμβαίνει όταν (n+δω t p / = π. Κι επειδή είναι Δτ p t p προκύπτει p (n L (8.3 όπου το συνολικό φασματικό εύρος. Οι σχέσεις 8. και 8.3 είναι συμφυής με τις ιδιότητες των σειρών Fourier όπως η σχέση 8.8.

111 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Σχ Πλάτη τρόπων ταλάντωσης ενός mode-locked laser ως συνάρτηση της συχνότητας. a Ομογενής κατανομή. b Γκαουσιανή κατανομή με φασματικό εύρος Δω L. Το μεγάλο εύρος της Δν L της επιτρέπει να είναι της τάξης του φασματικού εύρους της ενίσχυσης του laser Δν με αποτέλεσμα να επιτρέπεται ο σχηματισμός πολύ στενών παλμών laser. Για παράδειγμα laser στερεάς κατάστασης και ημιαγωγών επιτρέπουν έως και μερικά picoseconds. Laser χρωστικών και στερεάς κατάστασης, με εύρος ενίσχυσης εκατονταπλάσιο των προηγουμένων, επιτρέπουν παλμούς στην κλίμακα των femtoseconds (7 fs για Ti:sapphire laser. Από την άλλη μεριά laser αερίων με πολύ στενότερο εύρος ενίσχυσης επιτρέπουν παλμούς μέχρι ps. Σχ Χρονική συμπεριφορά του τετραγώνου του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου επτά τρόπων ταλάντωσης με κλειδωμένες φάσεις και ίσα πλάτη. Η μέγιστη ισχύς του παλμού είναι ανάλογη του ενώ για ασύμφωνη άθροιση των τρόπων είναι απλά το άθροισμα των επί μέρους ισχύων, άρα είναι. Επομένως για τον ίδιο αριθμό τρόπων με τα ίδια πλάτη, ο λόγος των εντάσεων μεταξύ mode-locked και ασύμφωνης άθροισης είναι, που για laser στερεάς κατάστασης μπορεί να είναι και 3 με 4. Άρα η τεχνική mode-locking όχι μόνο επιτρέπει το σχηματισμό πολύ στενών παλμών αλλά ταυτόχρονα επιβάλλει και την υψηλή ισχύ τους.

112 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Επεκτείνοντας το μοντέλο mode-locking σε πιο ρεαλιστικές περιπτώσεις εξετάζουμε αυτήν όπου τα πλάτη δεν είναι ισοϋψή αλλά ακολουθούν μια κατανομή Γκάους όπως στο σχήμα 8.8.b. Τότε αποδεικνύεται ότι το χρονικό έυρος του κάθε παλμού περιγράφεται από τη σχέση p ln L.44 L (8.4 Γενικά παλμοί τέτοιου είδους όπου, όπου β μικρός ακέραιος που εξαρτάται από την φασματική κατανομή της έντασης του παλμού, ονομάζονται Fourier transform limited - FTL. Ουσιαστικά FTL παλμοί είναι οι στενότεροι επιτρεπτά παλμοί που μπορούν να σχηματισθούν με βάση το φασματικό τους εύρος και το καλύτερο κλείδωμα των φάσεών τους. Στην περίπτωση που ο παλμός δεν είναι FTL τότε η σχέση των φάσεων των τρόπων του μπορεί να είναι οιαδήποτε με αποτέλεσμα η συχνότητα του φέροντος κύματος να μην είναι σταθερή αλλά να εξαρτάται από το χρόνο. Το φαινόμενο λέγεται chirping (κελάηδημα, καθώς ομοιάζει μια μετατόπιση Doppler κι άρα το κελάηδημα ορισμένων πουλιών Τρόποι mode-locking Οι μέθοδοι επίτευξης mode-locking, όπως και αυτές του Q-switching, μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: ( Ενεργού mode-locking, όπου το στοιχείο του mode-locking ενεργοποιείται από εξωτερικούς παράγοντες. ( Παθητικό mode-locking, όπου το στοιχείο που επάγει mode-locking ενεργοποιείται από εξωτερικούς παράγοντες αλλά μέσω ενός μηγραμμικού φαινομένου όπως τον κορεσμό ενός απορροφητή κορεσμού ή την μη γραμμική αλλαγή του δείκτη διάθλασης κατάλληλου υλικού. Παρακάτω θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις παθητικού mode-locking. Γρήγορος απορροφητής κορεσμού. Θεωρούμε έναν απορροφητή με χαμηλή ένταση κορεσμού και χρόνο αποκατάστασης (αποδιέγερσης μικρότερο από τη διάρκεια των modelocked παλμών. Για χαμηλές εντάσεις της δέσμης laser Ι εντός της κοιλότητας συγκριτικά με αυτής του κορεσμού I s μπορούμε να γράψουμε για τις απώλειες γ α του απορροφητή με μήκος l α (βλ. Σχέση l l l ( I / I l l ( I / I ( I / I s s s (8.5 I / I s Αθροίζοντας της σταθερές απώλειες της δέσμης εντός της κοιλότητας με το σταθερό όρο του απορροφητή η τελική μορφή των απωλειών για ένα κύκλο ( γ t γράφεται ( I / I (8.6 t s όπου γ είναι οι απώλειες ανεξάρτητα από την ένταση της δέσμης και γ οι απώλειες στον απορροφητή κορεσμού που εξαρτώνται από την ένταση της δέσμης. Έστω λοιπόν τώρα ένας πολύ λεπτός απορροφητής που τοποθετείται πάνω στον έναν καθρέφτη της κοιλότητας κι ότι το laser αρχικά ταλαντώνεται με μη κλειδωμένες φάσεις. Το φάσμα θα ομοιάζει αυτό του σχήματος 8.7 και για τις χαμηλής έντασης κορυφές του η κορεσμένη ενίσχυση g (βλ. σχέση 5.47 θα είναι περίπου ίση με τις απώλειες γ της κοιλότητας και του μη-κορεσμένου απορροφητή. Ωστόσο ένας παλμός (κορυφή υψηλής έντασης θα υποστεί λιγότερη

113 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser εξασθένηση συγκριτικά με τις χαμηλής εξασθένησης, όπως δείχνει η σχέση 8.6. Σε αυτή την περίπτωση η κορεσμένη ενίσχυση g μπορεί να ξεπεράσει τις ολικές απώλειες γ t. Τότε ένας τέτοιος παλμός θα ενισχύεται σε κάθε κύκλο του μέσα στην κοιλότητα με αποτέλεσμα μετά από πολλούς κύκλους να επιβιώσει ένας μοναδικός ισχυρός mode-locked παλμός. (Η ενίσχυση άλλων κορυφών που μπορεί να πληρούν τις προϋποθέσεις έντασης του απορροφητή, δεν είναι εφικτή παρουσία του ισχυρού παλμού επειδή απλά το ενεργό μέσο έχει αποδιεγερθεί κατά τη διέλευση του ισχυρού παλμού. Η κατάσταση περιγράφεται ποιοτικά στο σχήμα 8. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πως το κλείδωμα των φάσεων στους mode-locked παλμούς γίνεται καθαρά με χρονική επιλογή ενισχύοντας τον ισχυρότερο παλμό και απορρίπτοντας (μη ενισχύοντας όλους τους υπόλοιπους. Επομένως εφόσον ένας παλμός (αυτός που τυχαία παρουσίασε υψηλή ένταση ενισχύεται ξανά και ξανά μέχρι την μέγιστη τιμή, είναι αυτός ακριβός ο τρόπος δόνησης που «κλειδώνει» στην ενίσχυση. Τυπικό παράδειγμα γρήγορων απορροφητών κορεσμού είναι οι απορροφητές ημιαγωγών. Η αποδιέγερσή τους περιλαμβάνει τους εξής τυπικούς χρόνους: α ~ fs εξαιτίας της θερμοποίησης των ηλεκτρονίων εντός της ζώνης αγωγιμότητας μέσω αλληλεπιδράσεων ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. β ~ ps εξαιτίας της θερμοποίησης των ηλεκτρονίων εντός της ζώνης αγωγιμότητας μέσω αλληλεπιδράσεων ηλεκτρονίου-φωνονίου. γ ps ns εξαιτίας των ακτινοβολητικών και μη-ακτινοβολητικών ηλεκτρονικών αποδιεγέρσεων. Σχ. 8.. Παθητικό mode-locking από ένα γρήγορο απορροφητή κορεσμού. Kerr-lens mode-locking Μια άλλη τεχνική γρήγορου παθητικού mode-locking βασίζεται στο φαινόμενο της εστίασης που προκαλείται από κατάλληλο υλικό που παρουσιάζει μη γραμμικότητα τύπου Kerr (εξ ου και η αναφορά του ως Kerr-lens mode-locking (KLM. Έστω λοιπόν ένα οπτικό υλικό, όπως π.χ. quart ή sapphire, το οποίο διαπερνά δέσμη laser ομογενούς έντασης I. Για επαρκώς μεγάλη ένταση ο δείκτης διάθλασης του μέσου θα αλλάξει φανερώνοντας μια εξάρτησή του 3

114 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser από την ένταση, δηλ. n = n(i. Αναπτύσσοντας κατά Talor τη σχέση αυτή και κρατώντας μέχρι γραμμικούς όρους προκύπτει n n n ( 8.7 I όπου n είναι μια θετική σταθερή που εξαρτάται από το υλικό και μόνο. Το φαινόμενο ονομάζεται οπτικό φαινόμενο Kerr και οφείλεται στην υπερ-πολωσιμότητα του μέσου εξαιτίας του υψηλού πεδίου (όροι υψηλότερης τάξης στο ανάπτυγμα της διπολικής ροπής πέραν του σταθερού όρου και της πολωσιμότητας. Μπορεί να εκληφθεί ως παραμόρφωση των ηλεκτρονικών τροχιακών των ατόμων.. Το οπτικό φαινόμενο Kerr δεν πρέπει να συγχέεται με το φαινόμενο Kerr ή πιο σωστά ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο Kerr το οποίο αναφέρεται στην εμφάνιση διπλοθλαστικότητας σε ένα μέσο όταν εφαρμοσθεί επάνω του ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο. Ας υποθέσουμε τώρα πως η ένταση της δέσμης laser σε ένα μέσο Kerr έχει Γκαουσιανό προφίλ στην κάθετη ως προς την διάδοσή της. Τότε η ένταση στο κέντρο θα είναι μεγαλύτερη από ότι αυτή στα άκρα. Επομένως, με βάση την 8.7, θα επαχθεί ένας μη γραμμικός δείκτης διάθλασης δn = n I, με θετική τιμή στο κέντρο της δέσμης μειούμενη καθώς προχωρούμε προς τα άκρα. Για μια Γκαουσιανή κατανομή μπορούμε να γράψουμε, όπου η μέγιστη ένταση και w η ελάχιστη διάμετρος της δέσμης. Η μη γραμμική διαφορά φάσης που αποκτά η δέσμη κατά τη διέλευσή της από το υλικό μήκους l μπορεί να γραφεί ως: n l n l n l p p exp[ ( r / w ] [ ( r / w ] (8.8 Επομένως, σε πρώτης τάξης προσέγγιση, η διαφορά φάσης δφ μπορεί να θεωρηθεί ως παραβολική συνάρτηση του r/w, το οποίο είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι δημιουργείται ένας σφαιρικός φακός στο μέσο από το οπτικό φαινόμενο Kerr. Μάλιστα ο εν λόγω φακός μπορεί να οδηγήσει σε εστίαση της δέσμης όταν η ένταση της δέσμης ξεπεράσει μια κριτική τιμή. Το φαινόμενο λέγεται αυτοεστίαση (self-focusing. Με βάση τα προαναφερθέντα, ένα οπτικό στοιχείο μη γραμμικής απώλειας (σχέση 8.6, όπως ο απορροφητής κορεσμού, μπορεί να υλοποιηθεί όπως δείχνει το σχήμα 8.. Η οπή παίζει τον αντίστοιχο ρόλο του απορροφητή κορεσμού. Συγκεκριμένα, σε υψηλές εντάσεις η δέσμη θα εστιάζεται ισχυρότερα στην περιοχή του κέντρου της οπής από ότι οι λιγότερο υψηλές εντάσεις, έχοντας έτσι πολύ λιγότερες απώλειες. Εφόσον οι απώλειες καθορίζονται από το μέγεθος της οπής, είναι αυτό το τελευταίο που επιλεκτικά θα ενισχύει το πιο ισχυρό παλμό, όπως ακριβώς γίνεται και με το απορροφητή κορεσμού. Επειδή το οπτικό φαινόμενο Kerr είναι εξαιρετικά γρήγορο οι mode-locked παλμοί που επιτυγχάνονται με αυτόν τον τρόπο μπορεί να έχουν διάρκεια έως και μερικά fs. Τέλος να σημειωθεί πως η έξοδος του mode-locked παλμού όταν έχει φτάσει στην επιθυμητή τιμή της έντασής του από την κοιλότητα γίνεται με κάποιο ηλεκτρο-οπτικό στοιχείο όπως π.χ. ένα Pockels cell. 4

115 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser Σχ. 8.. Υλοποίηση του οπτικού φαινόμενου Kerr για την επίτευξη mode-locking. 5

116 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Παλμικά Laser ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Είδαμε ότι στα παλμικά laser η ασυμπτωτική τιμή της αντιστροφής πληθυσμών περιγράφεται από τη σχέση N. Για το λόγο αυτό επιλέγονται καταστάσεις όπου η p διεγερμένη κατάσταση είναι μετασταθής (δηλ. δεν αποδιεγείρεται με ηλεκτροδιπολικές μεταβάσεις αυξάνοντας έτσι την τιμή της αντιστροφής, επιτυγχάνοντας τη διαδικασία γνωστή ως Q-switching. Μάλιστα ο χρόνος αποδιέγερσης τ μπορεί να είναι και ms. Ωστόσο όταν σταματά η διαδικασία του Q-switching έχουμε δει πως το σύστημα αποδιεγείρεται ταχύτατα σε κλίμακα χρόνων ns. Πως εξηγείτε αυτή τη συμπεριφορά δεδομένου ότι απαγορεύονται οι ηλεκτροδιπολικές μεταβάσεις; Δικαιολογείστε ποιοτικά αλλά επαρκώς την απάντησή σας.. Ο πιο στενός παλμός laser μέχρι σήμερα είναι ενός παλμικού laser στερεάς κατάστασης (Ti:Sapphire με χρονική διάρκεια 4 fs μετρημένη στο FWHM (full width at half maximum. a. Υπολογίστε το συχνοτικό κι ενεργειακό εύρος του αντίστοιχου φάσματος υποθέτοντας Γκαουσιανή κατανομή των πλατών των τρόπων δόνησης. b. Εάν το κεντρικό μήκος κύματος του φάσματος είναι λ = 8 nm ποιο το φασματικό εύρος Δλ; Μέχρι πιο όριο πιστεύετε ότι μπορεί να φτάσει η ελάχιστη χρονική διάρκεια αυτού του παλμού. c. Μπορεί το παραπάνω laser να χρησιμοποιεί τη μέθοδο του γρήγορου απορροφητή για να πετύχει Mode-locking; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 6

117 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΙΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ LASE Στo κεφάλαιο αυτό εξετάζονται μερικά αντιπροσωπευτικά συστήματα laser αερίων, στερεών, ημιαγωγών και υγρών. Δίνεται βάση στους μηχανισμούς των διαδικασιών laser για την κάθε περίπτωση, ενώ εξετάζονται σε κάποιο βαθμό οι τεχνικές λεπτομέρειες των συστημάτων laser καθώς και οι γενικότερες εφαρμογές τους. 9. Laser αερίων 9.. Laser He-Ne To laser He-Ne είναι από το πιο δημοφιλή laser αερίων (γνωστό κι από την χρήση του στα εργαστήρια κυμάνσεων. Η ακτινοβολία laser προκύπτει από τις μεταβάσεις στο άτομο του νέου ενώ το ήλιο είναι απαραίτητο στο αέριο μείγμα για την άντληση του συστήματος. Από την πληθώρα των μηκών κυμάτων που μπορεί να συντονιστεί το σύνηθες μήκος κύματος είναι το λ=633 nm (κόκκινο. Μάλιστα το μήκος κύματος λ=.5 μm είναι ιστορικά το πρώτο cw laser αερίων. Σχ. 9.. Το ενεργειακό διάγραμμα των καταστάσεων του laser He-Ne Το λεπτομερές σχήμα των ενεργειακών σταθμών που εμπλέκονται στην λειτουργία του φαίνεται στο σχήμα 9.. Αρχικά διεγείρονται τα άτομα του ηλίου μέσω ηλεκτρικής 7

118 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser εκκένωσης. Οι κρούσεις των ηλεκτρονίων της εκκένωσης διεγείρουν τα άτομα του He από τη βασική τους κατάσταση s S (ή S στις καταστάσεις s S (ή S και s 3 S (ή 3 S. Οι διεγερμένες καταστάσεις είναι σχεδόν σε συντονισμό (ίδια ενέργεια με τις διεγερμένες καταστάσεις 4s (ή s s p 5 4s και 5s (ή s s p 5 5s του Ne. Για ευκολία στα επόμενα θα παραλείψουμε την γραφή της ολοκληρωμένης ηλεκτρονικής δομής των ατόμων και θα γράφουμε μόνο αυτήν των εμπλεκομένων καταστάσεων. Έτσι έχουμε μεταφορά πληθυσμού (άντληση των καταστάσεων του Ne από τα άτομα He μέσω των μεταξύ τους κρούσεων. Μάλιστα επειδή οι καταστάσεις S και 3 S είναι μετασταθείς (απαγορεύονται οι διπολικές μεταβάσεις S S η άντληση είναι πολύ αποδοτική. Να σημειωθεί πως η άντληση μπορεί να γίνει και κατευθείαν στα άτομα Ne με τις κρούσεις ηλεκτρονίων ατόμων Ne, αλλά έχει αποδειχθεί πως η άντληση μέσω ατόμων He είναι ο επικρατών μηχανισμός. Επομένως οι καταστάσεις 4s και 5s είναι τα άνω ενεργειακά επίπεδα του laser. Με βάση τους κανόνες διπολικών μεταβάσεων τα κάτω ενεργειακά επίπεδα θα είναι οι p-καταστάσεις, δηλαδή οι 4p και 3p, όπως φαίνεται και στο σχήμα 9.. Οι γραμμές των μεταβάσεων διαπλατύνονται κυρίως κατά Doppler (όπως έχουμε δει οι ομογενείς διαπλατύνσεις λόγω κρούσεων και λόγω της φυσικής διαπλάτυνσης είναι της τάξης των MH ενώ η μη-ομεγενής διαπλάτυνση Doppler είναι της τάξης των GH. Στο σχήμα 9. φαίνεται η βασική κατασκευαστική δομή ενός laser He-Ne. Σχ. 9.. Η βασική κατασκευαστική δομή ενός laser He-Ne Τα laser He-Ne είναι cw laser χαμηλής ισχύος γεγονός που οφείλεται στην πολύ χαμηλή κβαντική απόδοση της άντλησης. Για λ=633 nm και μήκη κοιλότητας -5 cm η ισχύς είναι μεταξύ - mw. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές όπου δεν είναι απαραίτητη η υψηλή ισχύς. Για παράδειγμα στο εργαστήριο για αρχική ευθυγράμμιση οπτικών διατάξεων, στην εκπαίδευση σε προπτυχιακά μαθήματα εργαστηρίων οπτικής για μελέτη βασικών οπτικών φαινομένων (συμβολή, περίθλαση, κτλ., στα καταστήματα για την ανάγνωση των bar code, αλλά και στην μετρολογία και την ολογραφία, αν και αντιμετωπίζουν μεγάλο ανταγωνισμό σε μερικές περιπτώσεις από τα laser διόδου που είναι μικρότερα σε μέγεθος και φτηνότερα. 8

119 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser 9.. Laser CO Το ενεργό μέσο του laser CO είναι κατάλληλο μείγμα από τα αέρια CO, N και He. Η ταλάντωση laser επιτυγχάνεται μεταξύ δυο ταλαντωτικών καταστάσεων του CO ενώ τα N και He ενισχύουν την αποδοτικότητα (ανάλογα με το He στο laser He-Ne. Το ενεργειακό διάγραμμα των ταλαντωτικών καταστάσεων των CO, N παρουσιάζεται στο σχήμα 9.3. Το N ως διατομικό συμμετέχει με την πρώτη διεγερμένη κατάστασή του (ν=. Το CO είναι πιο πολύπλοκο ως γραμμικό τριατομικό μόριο. Στο σχήμα 9.3 παρουσιάζονται οι τρεις μηεκφυλισμένοι ταλαντωτικοί τρόποι ταλάντωσής του: smmetric stretching, bending, asmmetric stretching. Τα ενεργειακά του επίπεδα περιγράφονται από τρεις κβαντικούς αριθμούς τους n, n και n 3, αντίστοιχα, με ολική ενέργεια ταλάντωσης Ε = n hν + n hν + l n 3 hν 3. Οι καταστάσεις συμβολίζονται ως n n n 3. Για παράδειγμα η κατάσταση αντιστοιχεί στη δόνηση n. Ο δείκτης l= της κατάστασης n συμβολίζει την στροφορμή της κατάστασης n γύρω από τον άξονα του μορίου και υπάρχει λόγω του διπλού εκφυλισμού του τρόπου bending (το μόριο μπορεί να «λυγίσει» σε δυο κάθετα επίπεδα. Η ταλάντωση laser επιτυγχάνεται μεταξύ των επιπέδων και (λ=.6 μm καθώς και και (λ=9.6 μm. Σχ [Πάνω] Το ενεργειακό διάγραμμα των ταλαντωτικών καταστάσεων του laser CO. [Κάτω] Οι τρεις βασικοί τρόποι ταλάντωσης του γραμμικού τριατομικού μορίου του CO : (ν smmetric stretching, (ν bending, (ν 3 asmmetric stretching. Η άντληση της κατάστασης επιτυγχάνεται με δυο τρόπους. Πρώτον, μέσω ηλεκτρικής εκκένωσης, που όπως και στην περίπτωση του He-Ne οι κρούσεις με τα ενεργητικά ηλεκτρόνια οδηγούν στη διέγερση του μορίου του CO στην. Δεύτερον, με συντονιστική μεταφορά ενέργειας από το διεγερμένο μόριο του N. Όμοια με την περίπτωση του He-Ne, το μόριο του N αρχικά διεγείρεται από την ηλεκτρική εκκένωση στην 9

120 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser ταλαντωτική κατάσταση ν= η οποία είναι μετασταθής και της οποίας η ενέργεια είναι πολύ κοντά στην ενέργεια της του CO. Ως αποτέλεσμα υπάρχει ισχυρή ζεύξη των δυο καταστάσεων και αποδοτική μεταφορά πληθυσμού από την ν= του N στην του CO. Μετά την επίτευξη laser μεταξύ των επιπέδων και, τα κατώτερα επίπεδα αποδιεγείρονται στην βασική κατάσταση μέσω κρούσεων με τα υπόλοιπα μόρια. Με βάση την ελαστική θεωρία των κρούσεων η μεταφορά ταλαντωτικής ενέργειας σε μεταφορική είναι πολύ πιο αποδοτική όταν τα μόρια είναι μικρά, κι εκεί ακριβώς έρχεται ο ρόλος του He. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι το N βοηθά σημαντικά στην αύξηση του πληθυσμού του άνω ενεργειακού επιπέδου του laser ενώ το He βοηθά σημαντικά στη μείωση του πληθυσμού του κάτω ενεργειακού επιπέδου του laser. Τέλος, όπως και στο laser Ηe-Ne οι φασματικές γραμμές του είναι διαπλατυσμένες κυρίως κατά Doppler. Το laser CO μπορεί να λειτουργήσει είτε ως cw είτε ως παλμικό (Q-switched. Πρόκειται για ένα από τα πιο ισχυρά laser που υπάρχουν με ισχύ που μπορεί να ξεπερνά και τα kw. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται κυρίως σε βιομηχανικές εφαρμογές (κοπή μετάλλων, κολλήσεις, γυάλισμα επιφανειών, κτλ.. Επίσης έχουν χρησιμοποιηθεί και στην χειρουργική (κοπή κι ανάπλαση δέρματος, σταμάτημα αιμορραγιών, κτλ.. Το CO laser έχει χαμηλό κόστος παραγωγής κι επειδή είναι αρκετά αποδοτικό έχει καταστεί ένα μεγάλο κομμάτι της βιομηχανίας επεξεργασίας υλικών. Στο σχήμα 9.4 παρουσιάζεται μια τυπική διάταξη laser CO. Σχ Διάταξη laser CO Laser Excimer Θεωρήστε ένα διατομικό μόριο A με ενεργειακές καταστάσεις για την βασική και την διεγερμένη στάθμη που φαίνονται στο σχήμα 9.5. Εφόσον η βασική στάθμη είναι απωστική το μόριο δεν μπορεί να υπάρξει σε αυτή την κατάσταση, κι επομένως μονάχα ατομικές καταστάσεις μπορούν να υπάρξουν (μονομερή. Ωστόσο, επειδή το ενεργειακό δυναμικό

121 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser παρουσιάζει ελάχιστο για την διεγερμένη κατάσταση, τότε το εν λόγω στοιχείο μπορεί να υπάρξει σε αυτή τη μορφή γνωστή ως διμερές (dimer. Ένα τέτοιο μόριο ονομάζεται excimer (από τις λέξεις excited dimer. Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα μεγάλο ποσοστό μορίων excimers παράγεται σε δεδομένο όγκο του μέσου. Τότε σε κατάλληλες συνθήκες μπορεί να ξεκινήσει η διαδικασία laser μέσω της μετάβασης ανάμεσα στην διεγερμένη κατάσταση (κατάσταση excimer και την βασική. Αυτή είναι η γενική λειτουργία ενός excimer laser, κι ένα κλασσικό παράδειγμα είναι το laser Ne, που ήταν και το πρώτο excimer laser με λ=7 nm. Σχ Οι ενεργειακές καταστάσεις ενός excimer laser. Σχ Οι ενεργειακές καταστάσεις ενός KrF excimer laser.

122 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Ειδικά συστήματα Laser Τα excimer laser έχουν τρεις σημαντικές ιδιότητες: ( Τα μήκη κύματός τους είναι στο υπεριώδες εφόσον οι μεταβάσεις είναι μεταξύ ηλεκτρονικών καταστάσεων. ( Η βασική κατάσταση οδηγεί σε πολύ γρήγορη διάσπαση του μορίου με αποτέλεσμα η κάτω στάθμη του laser να αδειάζει ταχύτητα, κι άρα το excimer laser να λειτουργεί ως ένα laser τεσσάρων σταθμών. (3 Επειδή η βασική στάθμη δεν έχει δέσμιες καταστάσεις δεν υπάρχουν μεταβάσεις μεταξύ περιστροφικών-ταλαντωτικών καταστάσεων με αποτέλεσμα οι φασματικές γραμμές της μετάβασης να μην είναι πολύπλοκες και σχετικά φαρδιές, Δν = cm -. Θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα μια σημαντική ομάδα excimer laser στην οποία ένα άτομο ευγενούς αερίου (Kr, Ar, Xe συνδυάζεται με ένα άτομο αλογόνου (F,Cl. Για παράδειγμα ArF (λ = 93 nm, KrF (λ = 48 nm, XeF (λ = D 35 nm και XeCl (λ = 39 nm. Εξ αυτών το laser KrF είναι το πιο διαδεδομένο. Το ενεργειακό διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα 9.6. Η άντληση του KrF excimer laser γίνεται με ηλεκτρική εκκένωση όπως και στα άλλα laser αερίων. Οι μηχανισμοί διέγερσης είναι δύο: (a είτε από τα διεγερμένα άτομα Kr με την παρακάτω διαδικασία (b είτε από τα ιόντα Kr με την παρακάτω διαδικασία Ο ρόλος του He είναι αυτός του αερίου υποβάθρου όπως στην περίπτωση του laser CO. Τα excimer laser είναι παλμικά με μικρή χρονική διάρκεια (<