Θέματα κι επίσημες λύσεις 2006 εως 2015 Θαλή κι Ευκλείδη της Ε.Μ.Ε.

Transcript

1 Θέματα κι επίσημες λύσεις 006 εως 05 Θαλή κι Ευκλείδη της Ε.Μ.Ε. από τον parmenides5 έκδοση: σχολικό έτος αρίθμηση / ημερομηνία (ονομασία) Διαγωνισμός Θαλής ος / Θαλής 006: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 007: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 008: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 009: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 00: θέματα - απαντήσεις ος / 9--0 Θαλής 0: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 0: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 0: θέματα - απαντήσεις ος / Θαλής 04: θέματα - απαντήσεις Διαγωνισμός Ευκλείδης ος / Ευκλείδης 006: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 007: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 008: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 009: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 00: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 0: θέματα - απαντήσεις ος / -0-0 Ευκλείδης 0: θέματα - απαντήσεις ος / -0-0 Ευκλείδης 0: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 04: θέματα - απαντήσεις ος / Ευκλείδης 05: θέματα - απαντήσεις Για ευκολία χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος του pdf. parmenides5 facebook δημιουργός των μαθηματικών ιστοσελίδων: για την αγάπη των μαθηματικών: για τους ρομαντικούς της Γεωμετρίας:

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: 6405 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές.. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα. 4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις () ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9- περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου. 6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται. 7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 4, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών. 8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. και δεν προβλέπεται Αναβαθμολόγηση (διότι γίνεται εσωτερικά). 9. Ο «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» θα διενεργηθεί στις 0 Ιανουαρίου 007 και η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 4 Φεβρουαρίου 007 στην Αθήνα. Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στη 4 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ρόδος, 6 Απριλίου Μαΐου 007), στην η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Βουλγαρία, Ιούνιος 007) και στην 48η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Βιετνάμ, Ιούλιος 007). 0. Με εισήγηση της Επιτροπής Διαγωνισμών το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. αποφάσισε να σταλούν μέσω των Παραρτημάτων, σε κάθε συνάδελφο, ο οποίος συμμετέχει στη διαδικασία των διαγωνισμών, αντίτυπα από εκδόσεις της Εταιρείας. Για το σκοπό αυτό, παρακαλούμε τους προέδρους των ΤΝΕ να μας αποστείλουν κατάσταση με τα πλήρη στοιχεία των εμπλεκομένων συναδέλφων στη διαδικασία των διαγωνισμών.. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.. Παρακαλούμαι τον Πρόεδρο της ΤΝΕ μαζί με τα γραπτά να μας στείλει το ονοματεπώνυμο και την ταχ. Δ/νσή του καθώς και τα ονοματεπώνυμα όλων των επιτηρητών για να τους σταλεί ονομαστική ευχαριστήρια επιστολή από το Δ.Σ. της ΕΜΕ. ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: 6405 Αθήνα, 9 Δεκεμβρίου 006 Αγαπητοί μαθητές, Σας καλωσορίζουμε στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) ΘΑΛΗΣ. Σήμερα δεν δίνετε τις συνηθισμένες εξετάσεις. Συμμετέχετε σε έναν αγώνα του πνεύματος. Και μόνο η απόφασή σας για συμμετοχή είναι μια επιτυχία. Με την ευκαιρία αυτής μας της επικοινωνίας θα θέλαμε να σας πληροφορήσουμε για τα εξής : Στα περιοδικά της ΕΜΕ Ευκλείδης Α και Ευκλείδης Β δημοσιεύονται εκτός των άλλων θεμάτων ανά τάξη και θέματα με τις λύσεις τους από Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς. Επίσης έχουν εκδοθεί βιβλία της ΕΜΕ με τα θέματα των Διεθνών Μαθηματικών Ολυμπιάδων, Βαλκανιάδων, Θεωρίας αριθμών και είναι υπό έκδοση βιβλίο με τα θέματα των Ελληνικών Διαγωνισμών. Στον κόμβο της ΕΜΕ στο διαδίκτυο στη διεύθυνση, υπάρχουν θέματα με τις λύσεις τους από παλαιότερους Εθνικούς και Διεθνείς διαγωνισμούς. Ακόμα σύντομα θα τοποθετηθούν και σημειώσεις σχετικές με απαραίτητες γνώσεις μαθηματικών θεωρίας και ασκήσεων επιπέδου διεθνών Διαγωνισμών Για τις εορτές των Χριστουγέννων και το νέο έτος το Δ.Σ. της ΕΜΕ σας εύχεται ολόψυχα χρόνια πολλά, προσωπική και οικογενειακή ευτυχία. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Β τάξη Γυμνασίου. Να υπολογίσετε την παράσταση: 54 Α= 64 (5 + ) 5 : :+ 6. Είναι δυνατόν ένα χαρτονόμισμα των 00 να ανταλλαγεί με 8 νομίσματα των και των 0 ;.Το 6% του αριθμού α 0 είναι ίσο με το 4% του αριθμού β. Να βρείτε την τιμή του κλάσματος. κ = 9α β 6α β 4. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΒΓ και η διχοτόμος Γ x της γωνίας ΑΓΔ ˆ είναι παράλληλη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Γ τάξη Γυμνασίου. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε το x σε μοίρες γ. Αν α + β + = 0 και αβγ=0, τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: γ Α= α ( α + ) ( α + β). Αν p είναι πρώτος αριθμός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 7p + είναι σύνθετος. 4. Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α,β διάφοροι του μηδενός, τέτοιοι ώστε 0 aβ + a β =. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Α τάξη Λυκείου. Η Α τάξη ενός Λυκείου έχει 5 τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον 0 μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε 0. Έτσι δώσαμε 090. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών. λ λx+ = λ + λx. Να λυθεί η εξίσωση ( ) για τις διαφορές πραγματικές τιμές της παραμέτρου λ.. Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με α β γ α γ β β γ α γ β α Α >Β οι διχοτόμοι των γωνιών Α, Β τέμνονται στο Ι. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ = ΒΓ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : ΙΔ = ΙΑ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Β τάξη Λυκείου. Να εξετάσετε αν η εξίσωση x (006κ + ) x+ 007 = 0 όπου κ, έχει δύο ακέραιες ρίζες.. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4, ΒΓ = και σημείο Μ στο εσωτερικό του με ΜΓ = και ΜΒ =. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. 008 κ = Να αποδείξετε. Έστω ότι ο 0 διαιρεί τον κ. + > 9 4. α) Να αποδείξετε ότι : β) Να λύσετε την εξίσωση: 8 x+ x =. + ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Γ τάξη Λυκείου. Έστω συνάρτηση f : με την ιδιότητα f( f( x+ y)) = x f( y) για κάθε xy,. Να αποδείξετε ότι η h : με hx ( ) = f( x) + f( x) είναι σταθερή.. Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x x x 4x 0 + =. π. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, z και θ 0,. Να αποδείξετε ότι: z z + z + z + Re( zz) συν θ ημ θ. 4. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και τα σημεία Κ, Λ, Μ προς το ίδιο μέρος της ευθείας ΒΓ. ΒΚΓ ˆ = ΒΛΓ ˆ = ΒΜΓ ˆ, τότε να αποδείξετε ότι δύο Αν τουλάχιστον από τα γινόμενα ΚΒ ΚΓ, ΛΒ ΛΓ και ΜΒ ΜΓ είναι άνισα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 006 Λύσεις Β Γυμνασίου. Εκτελούμε τις πράξεις και βρίσκουμε Α= ( 44 :) :+ = ( ) :+ = 99 :+ = 9 + = 0. Επειδή ο 00 λήγει σε 0 και τα πολλαπλάσια του 0 λήγουν σε 0, θα πρέπει και ο αριθμός που εκφράζει τα νομίσματα των να λήγει σε 0. Άρα τα νομίσματα των θα είναι 5 ή 0 ή 5. Όμως παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να είναι 5 ή 5. Άρα θα είναι 0. Πράγματι = 00.. Έχουμε: 6 4 α = β οπότε α = β. Έτσι έχουμε β β 6β β β κ = = = = 6 β β 4β β β 4. Αφού η Γx είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΓΔ ˆ θα ισχύει = και αφού ω = φ. Επειδή Γx//ΑB θα ισχύει φ θ

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ ΑΒ=ΒΓ θα είναι θ = ρ. Άρα ω = φ = θ = ρ, και Άρα ω φ ρ = 80, οπότε ˆ ˆ ˆ 60 0 Α=Β=Γ=. ω = φ = ρ = Έχουμε Λύσεις Γ Γυμνασίου ˆ ˆ ΔΓΕ = ΑΓΒ = x x= x ˆ ˆ 0 0 ΔΕΓ = ΗΕΖ = 80 x 6x= 80 8x Έτσι, έχουμε, στο τρίγωνο ΓΔΕ: ˆ ˆ ˆ 0 ΔΓΕ + ΔΕΓ + Δ = 80 οπότε x+ 80 8x+ 5x= x= 80 0 x= 8. γ γ. Α= α ( β) ( ) = α 4β = α β γ = 4 = = = ( αβγ ) Έστω Α=7p+. Για p= έχουμε Α=7 +=55=5, ενώ για p o 7p είναι περιττός οπότε ο Α είναι άρτιος.

11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 4. Αν υπήρχαν τέτοιοι αριθμοί τότε 0 aβ + a β = 9, οπότε 9 00 a β + a β + 0 = 9 οπότε a β + a β = 9 0=, πουδεν ισχύει. 4 9 ΛΥΣΕΙΣ Α τάξη Λυκείου. Έστω ότι α,β,γ,δ,ε είναι οι αριθμοί των μαθητών των πέντε αυτών τμημάτων. Έτσι έχουμε: 0( α + β + γ + δ + ε) = 090 α + β + γ + δ + ε = 09 () Έστω ότι οι αριθμοί των μαθητών των τμημάτων αυτών είναι ανά δύο διαφορετικοί και έστω ότι: α και α,β,γ,δ,ε α < β < γ < δ < ε. Επειδή 0 φυσικοί έχουμε: β > α 0 β > 0 β γ > β γ > γ δ > γ δ > δ ε > δ ε > ε 4

12 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ Συνεπώς α + β + γ + δ + ε 0, άτοπο λόγω της (). Άρα, δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών.. Η εξίσωση γράφεται: λ x λ λ λx λ λ λ λ x + = + x x= ( ) λ λ λ λ = ( ) λ λ λ λ λ ή λ = 0 = 0 = 0 =. Αν λ=0 είναι αδύνατη. Αν λ= είναι αόριστη. Αν λ 0 και λ τότε λ λ x = λ λ ( λ )( λ+ ) λ+ x= x= λ λ λ ( ) ( ). Η ανίσωση γράφεται: α β γ α γ β α γ β , β γ α γ β α γ β α α β γ α γ β + + 0, αρκεί β γ α γ β α αρκεί

13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 5 α β β γ γ α + + β γ γ α α β η οποία ισχύει. 0, 4. Αν ΓΕ=α τότε ΑΕ=α-β=ΒΔ και ΓΙ η τρίτη διχοτόμος. Δ Δ Έχουμε ΙΓΕ = ΙΓΒ Λ Λ Ε = Β, ΙΕ=ΙΒ. Δ Δ Άρα ΙΑΕ = ΙΒΔ άρα ΙΑ=ΙΔ. Γ = Γ διότι ΙΓ=ΙΓ, ΓΕ=ΓΒ και Λ Λ Λ διότι ΒΔ=ΑΕ, ΙΕ=ΙΒ και Ε =Β = Β Β τρόπος Αρκεί το Ι να ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΔ. Αν δηλαδή ΙΚ ΑΔ, αρκεί ΚΑ=ΚΔ. Πράγματι ΚΑ=τ α και ΚΔ= ΒΚ ΒΔ = τ β (α β) = τ α =τ α, αφού τ>α. Λ Λ άρα,

14 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ. Αν x, x οι ρίζες, τότε ΛΥΣΕΙΣ Β τάξη Λυκείου x+ x = 006κ + () και x x 007 () =. Από την () προκύπτει ότι οι x, x θα είναι περιττοί. Αλλά τότε το άθροισμα τους x+ x θα είναι άρτιος, οπότε δεν θα ισχύει η ().. ( ) Παρατηρούμε ότι + = 4= οπότε το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ορθογώνιο στο Μ. Επειδή οπότε Λ ΒΓ έχουμε Λ ΜΓ = ΜΒΓ = Λ και , ΜΓΒ = ΜΓΔ = Έστω

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 7 κ ΜΜ ΔΓ, τότε εμβαδόν του MB. Είναι β τρόπος Δ ΜΑΒ είναι = BΓ ΒΗ οπότε ΜΜ = άρα Ε = 4 =.. υ = =. Το = υ άρα υ= = (+ + + ) + (+ + + ) (+ + + ) = = 0( ) = πολ.0 4. α) Από τη γνωστή ανισότητα: β θετικοί με α Οπότε Αρκεί λοιπόν β, έχουμε: α + β + 6 > = 6 + > 6. 6 > αβ όπου α, , ή 6 9, ή 84 6 που ισχύει.

16 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΛΥΣΕΙΣ λ = β) Αν 8 + τότε 9 λ = < < οπ τε λ < + Η εξίσωση για x 0 είναι ισοδύναμη με την x λx+ = 0 με Δ= 4( λ ) < 0. ό. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. β τρόπος x λx+ = x λx+ λ λ + = = + > ( x λ) ( λ ) λ 0 ΛΥΣΕΙΣ Γ τάξη Λυκείου. Για x = 0 έχουμε f( f( y)) = f( y) για κάθε y. Για y = 0 έχουμε f( f( x)) = x f(0) για κάθε x. Άρα f( f( x)) = f( x) και f( f( x)) = x f(0), για κάθε x Επομένως f ( x) = x f(0) ή f ( x) = f (0) x () και f ( x) = f(0) + x (), για κάθε x Οπότε από τις () και () έχουμε: f( x) + f( x) = f(0), για κάθε x. Άρα η h είναι σταθερή.. Έστω ότι η εξίσωση έχει μια ακέραια λύση ρ. Τότε

17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ 9 ρ + ρ ρ ρ 4ρ = 0 ( ρ) = 4ρ+ ρ 4ρ + 4ρ + = (αφού προφανώς ρ ) > 0 ρ ρ (4ρ + )( ρ ) < 0 < ρ < ρ { 0,, }. 4 Όπως βρίσκουμε εύκολα, οι αριθμοί ρ=0 και ρ= δεν είναι λύσεις της εξίσωσης. Ο αριθμός ρ= όμως είναι λύση της εξίσωσης. Άρα η εξίσωση έχει τη μοναδική λύση ρ=.. Επειδή ( ) + + Re = = + z z z z z z z z z z z z z z αρκεί να δείξουμε ότι: Πράγματι z z + z + z. συν θ ημ θ z z ( ) z z + = συν θ + ημ θ + ( z + z ) z + z συν θ ημ θ συνθ ημθ 4. Από την ισότητα ˆ ˆ ˆ τα Κ, Λ, Μ βρίσκονται στο ίδιο τόξο χορδής ΒΓ. Έστω ΒΚΓ = ΒΛΓ = ΒΜΓ έχουμε ότι ΒΚΓ=ΒΛΓ=ΒΜΓ= ˆ ˆ ˆ φ. Αν ΚΒ ΚΓ= ΛΒ ΛΓ= ΜΒ ΜΓ, τότε ΚΒ ΚΓ ημφ = ΛΒ ΛΓ ημφ = ΜΒ ΜΓημφ. ( ΚΒΓ ) = ( ΛΒΓ ) = ( ΜΒΓ) Αυτό σημαίνει ότι τα Κ, Λ, Μ θα βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στην ΒΓ, άτοπο αφού το μέγιστο πλήθος κοινών σημείων ευθείας και κύκλου είναι.

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: 6405 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές.. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα. 4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις () ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9- περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου. 6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται. 7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 4, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών. 8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. και δεν προβλέπεται Αναβαθμολόγηση (διότι γίνεται εσωτερικά). 9. Ο «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» θα διενεργηθεί στις 9 Ιανουαρίου 008 και η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις Φεβρουαρίου 008 στην Αθήνα. Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στη 5 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (ΠΓΔΜ, Μάιος 008), στην η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Αλβανία, Ιούνιος 008) και στην 49η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Μαδρίτη Ισπανίας, Ιούλιος 008). 0. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν αφιλοκερδώς στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Νικόλαος Αλεξανδρής Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

19 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης ( 00 :8 00) 00 : ( 8 ) 76 ( ) ( ) ( ) 007 Α= Πρόβλημα. Οι μαθητές ενός Γυμνασίου μπορούν να παραταχθούν σε εξάδες, σε οκτάδες και σε δεκάδες, χωρίς να περισσεύει κανείς. Τα πλήθη των μαθητών των τάξεων Α, Β και Γ είναι αριθμοί ανάλογοι προς τους αριθμούς 5, 4 και, αντίστοιχα. Αν το πλήθος των μαθητών του Γυμνασίου είναι αριθμός μεγαλύτερος του 00 και μικρότερος του 400, να βρεθεί το πλήθος των μαθητών κάθε τάξης. Πρόβλημα. Ένας έμπορος αγόρασε 00 κιλά φράουλες με τιμή αγοράς ευρώ το κιλό. Κατά τη μεταφορά είχε απώλεια 0% στα κιλά που αγόρασε. Πόσο πρέπει να πουλήσει το κιλό τις φράουλες ώστε να έχει κέρδος 0% επί της τιμής της αγοράς; Πρόβλημα 4. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος η μεγάλη βάση ΒΓ είναι διπλάσια της μικρής βάσης ΑΔ. Αν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι00cm και το σημείο Κ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΒΓ Β (δηλαδή η ΒΓ είναι μεσοκάθετος της ΑΚ), να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ και (β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΚΓ. Α Κ E Δ Γ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 Γ τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: 8 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( x ) ( y ) x( y ) y( x ) Α= : :, B= 4 +. Για ποιες τιμές του x αληθεύει η ανίσωση: Α >Β. Πρόβλημα Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ε Α Ζ δ ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και ΒΑΓ ˆ = 40. Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ και η ευθεία δ είναι μεσοκάθετη της πλευράς ΑΓ. (α) Να υπολογίσετε τη γωνία ΖΓ ˆ x, (β) Να αποδείξετε ότι ΚΑ = ΑΖ. Πρόβλημα (α) Να αποδείξετε ότι, αν ένας φυσικός αριθμός είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού, τότε το τελευταίο του ψηφίο ανήκει στο σύνολο Σ= { 0,, 4,5, 6,9}. (β) Να βρεθεί πενταψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής A = aaabb, όπου ab, ψηφία με a 0, ο οποίος είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού, περιττός και διαιρείται με το 9. Κ Β E Γ x Πρόβλημα 4 Στο διπλανό σχήμα δίνεται Α ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και ΒΑΓ ˆ = 0. Η ΑΔ είναι παράλληλη προς τη ΒΓ και η ΓΔ είναι κάθετη προς την ΟΓ. Ο (α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΑΕΓ συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του Β Μ τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α. (γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές. Δ Ε Γ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

21 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 Α τάξη Λυκείου Πρόβλημα Δύο παιδιά συζητούν για αλγεβρικά προβλήματα. Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς x και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν μειώσω τον x κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται. Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη: Αν αυξήσεις τον αριθμό x κατά 00 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 0, τότε πάλι το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται; Ο Γιάννης απαντάει: Πράγματι, αυτό ισχύει. Η Μαρία καταλήγει: Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες. Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε ο Γιάννης; Πρόβλημα Αν α, βγ R, με ( α β)( β γ)( γ α) 0 τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( α )( α + ) ( β )( β + ) ( γ )( γ + ) Α= + +. ( α β)( α γ) ( β α)( β γ) ( γ α)( γ β) Πρόβλημα Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α= ˆ 45. Φέρουμε ευθεία ε κάθετη προς την ΑΓ στο Α η οποία τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο Ε. Πάνω στην ευθεία ε παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΓ με το σημείο Α να βρίσκεται μεταξύ των Ε και Δ. Να υπολογίσετε συναρτήσει της πλευράς ΑΓ= β : (α) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, (β) το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΕ. Πρόβλημα 4 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x,y που ικανοποιούν τη σχέση: 6 4 x +x y +x + y +y - 40 = 0 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

22 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 Β τάξη Λυκείου Πρόβλημα Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y που ικανοποιούν τη σχέση: x + x - x - x y -y +y +=0. Πρόβλημα Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές των θετικών μονοψήφιων ακεραίων αριθμών κλμ,,, για τους οποίους η δευτεροβάθμια εξίσωση κx + λx+ μ = 0 έχει δύο ακέραιες ίσες λύσεις. Πρόβλημα Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ημιευθεία Αx // ΒΓ(η Α x βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο Γ ως προς την ευθεία ΑΒ). Στην ημιευθεία Α x θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΒΓΔΕ να είναι ρόμβος (το σημείο Ε βρίσκεται ανάμεσα στο Α και στο Δ ). Στο σημείο Δ θεωρούμε την κάθετη ευθεία στη ΔΓ που τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΑ στο Ζ. (α) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. (β) Να αποδειχθεί ότι το Ε είναι έγκεντρο του τριγώνου ΑΓΖ. Πρόβλημα 4. * Αν xyz,,, να λυθεί το σύστημα: x y+ yz = xz 70 7 yz+ 4zx = 56xy + = 5z x 6xy 5 yz. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 Γ τάξη Λυκείου Πρόβλημα Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α= ˆ 0. Στα σημεία Α και Γ θεωρούμε τις εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνονται στο Δ. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια. (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α του τριγώνου ΑΒΓ. Πρόβλημα (α) Να προσδιοριστούν οι παράμετροι λ, μ έτσι ώστε ο αριθμός να είναι ρίζα των εξισώσεων: ( ) λx μ x μx x λ + 4 = 0 και 4 = 0. (β) Για τις τιμές των λ, μ που βρήκατε στο ερώτημα (α), να λύσετε την εξίσωση λx ( μ+ 4) x 7 =. μx 4x λ 8 Πρόβλημα Αν για τη συνάρτηση f : ισχύει: f f( x) f( y) = f f( x) y, για κάθε, ( ) ( ) τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. xy, Πρόβλημα 4 Για κάθε τρεις μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς ab, και διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο, να αποδείξετε ότι: a+b b+c c+a + + a-b b-c c-a. c, που είναι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

24 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 4 Νοεμβρίου 007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( 00 :8 00) 00 : ( 8 ) 76 ( ) ( ) ( ) 007. Α= ( 5 00) ( 00 :0 76) ( ) ( ) 5 ( 0 76) ( ) = = + + = = Αν ω είναι ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου, τότε ο ω είναι ΕΚΠ 6,8,0 = 0, κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 6, 8 και 0. Επειδή [ ] έπεται ότι ω { 0, 40,60, 480,... } και αφού 00 ω 400 < <, θα είναι ω = 60. Αν x, yz, είναι ο αριθμός των μαθητών της Α, Β και Γ τάξης, αντίστοιχα, τότε θα έχουμε x y z = = = λ και x+ y+ z = Άρα είναι x= 5 λ, y = 4 λ, z = λ και 5λ+ 4λ+ λ = 60 λ = 60 λ = 0. Άρα είναι: x= 5 0 = 50, y = 4 0 = 0, z = 0 = 90.. Ο έμπορος πλήρωσε για την αγορά 00 = 600 ευρώ. 0 Η απώλεια του σε κιλά ήταν 00 = 0 κιλά, οπότε του έμειναν =80 κιλά. Για να έχει κέρδος 0% επί της τιμής αγοράς πρέπει να εισπράξει = 70 ευρώ. 00 Άρα πρέπει να πουλήσει το κιλό 70 :80 = 4 ευρώ. 4. (α) Αν x =ΒΓ, y =ΑΔ και ΑΕ = υ, τότε x = y και ( x+ y) υ Ε =Ε= ( ΑΒΓΔ) y υ = Ε y υ = y υ = 00cm. Άρα έχουμε Ε( ΑΒΔ ) = y υ = 00 cm = 00 cm. (β) ( ΑΒΚΓ ) = ( ΑΒΓ ) = y υ = ( y υ) = 00 = 400 cm.

25 Διαφορετικά Το τετράπλευρο ΑΒΚΓ έχει καθέτους διαγώνιους, οπότε έχει εμβαδόν ( ΑΒΚΓ ) = ΒΓ ΑΚ = y υ = ( y υ) = 00 = 400 cm.

26 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α= : : = :4 + 4 : = :( ) 4 + : = ( : + 4 ) : 4 4 = + 4 : = :6= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x ) ( y ) x( y ) y( x ) x y ( xy x yx y) B= 4 + = + + = x y+ 5 xy+ x+ xy+ y = x+ 5. Α>Β > x+ 5 x> 7 x< 7.. (α) ΖΓ ˆx = ΑΖΓ ˆ (ως εντός εναλλάξ στις παράλληλες ΒΓ και ε ). Επειδή η δ είναι μεσοκάθετη της ΑΓ το τρίγωνο ΑΓΖ είναι ισοσκελές με ΖΓΑ ˆ = ΖΑΓ ˆ. Όμως, από την παραλληλία των ευθειών ε και ΒΓ προκύπτει ότι ΖΑΓ ˆ = Γ ˆ. Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με Α= ˆ 40 προκύπτει ότι 80 ˆ ˆ ˆ Α Β=Γ= = = 70. Άρα έχουμε ΖΓΑ ˆ = ΖΑΓ ˆ = Γ ˆ = 70, οπότε θα είναι ˆ ΑΖΓ = = 40 ΖΑ ˆ x = 40. (β) Επειδή η δ είναι μεσοκάθετη της ΑΓ, το τρίγωνο ΚΑΓ είναι ισοσκελές με ΚΑ = ΚΓ, οπότε η ΚΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΚΓ. Άρα έχουμε AKZ ˆ =ΓΚΖ ˆ. Επειδή είναι ε ΒΓ θα έχουμε AZΚ ˆ =ΓΚΖ ˆ, οπότε θα είναι και AKZ ˆ =ΑΖΚ ˆ, οπότε το τρίγωνο ΚΑΖ είναι ισοσκελές με ΚΑ = AΖ.. (α) Από τον κανόνα πολλαπλασιασμού δύο φυσικών αριθμών έπεται ότι το τελευταίο ψηφίο του γινομένου τους είναι το τελευταίο ψηφίο του γινομένου των ψηφίων των μονάδων τους. Θεωρώντας τα τετράγωνα των μονοψήφιων φυσικών αριθμών διαπιστώνουμε ότι αυτά λήγουν σε 0,, 4, 5, 6, 9, οπότε το τελευταίο ψηφίο κάθε τετραγώνου φυσικού αριθμού ανήκει Σ= 0,, 4,5, 6,9. στο σύνολο { } (β) Σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα θα πρέπει b { 0,, 4,5, 6,9} και αφού ο αριθμός είναι περιττός πρέπει b {, 5, 9}. Επειδή ο Α διαιρείται με το 9 πρέπει να ισχύει ότι: a+ b= πολλαπλάσιο του 9. ()

27 4 Για b = λαμβάνουμε a + = πολ.9, αδύνατο. Για b = 5 λαμβάνουμε a + 0 = πολ.9, αδύνατο. Για b = 9 λαμβάνουμε a + 8 = πολ.9, οπότε προκύπτει ότι a {, 6,9}. Άρα είναι Α= 99 ή Α = ή Α = (α) Παρατηρούμε ότι ΒΟΓ ˆ = Α ˆ = 60, οπότε το τρίγωνο ΟΒΓ είναι 80 0 ισόπλευρο και ισχύει ότι R =ΒΓ= α. Επιπλέον ˆ ˆ Β=Γ= = 75. Άρα είναι ΑΟΓ ˆ = 75 = 50, οπότε θα έχουμε 50 5πα E κτομ. έ α ( ΟΑΕΓ ) = πα =. 60 (β) Επειδή είναι ΔΑΓ=Γ= ˆ ˆ 75 (εντός εναλλάξ στις παράλληλες ΑΔ και ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ) και ΑΓΔ= ˆ 90 ΟΓΑ= ˆ 90 ΟΑΓ=ΔΑΓ= ˆ ˆ 75, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΑΓ είναι όμοια. (γ) Επειδή είναι ΟΑ ΑΔ και ΑΔ ΒΓ θα είναι και ΟΑ ΒΓ, οπότε η ΟΑ περνάει από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Από το τρίγωνο ΟΜΓ έχουμε α α α ΟΜ = ΟΓ ΜΓ ΟΜ = α ΟΜ = ΟΜ =. 4 Άρα είναι ΑΜ = ΑΟ + ΟΜ = α + και α α ( + ) ( ΑΒΓ ) = α α + =. 4.

28 5 Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Σύμφωνα με τη συζήτηση που είχε ο Γιάννης με τη Μαρία, αν x, y είναι οι αριθμοί, τότε θα ισχύουν: xy = ( x 50)( y + 40) 40x 50y = 000 x= 00. xy = ( x + 00)( y 0) 0x+ 00y = 000 y = 0. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρανομαστών είναι α β β γ γ α, ( )( )( ) 0 οπότε έχουμε ( β γ)( α ) ( γ α)( β ) ( α β)( γ ) Α= + + = ( α β)( β γ)( γ α) ( α β)( β γ)( γ α) ( α β)( β γ)( γ α) ( β γ) α + ( γ α) β + ( α β) γ + ( β γ + γ α + α β) = = ( α β)( β γ)( γ α) ( β γ) α + βγ( β γ) α( β γ ) = = ( α β)( β γ)( γ α) ( β γ)( α + βγ α( β + γ)) ( α β)( α γ) = = = =. ( α β)( β γ)( γ α) ( α β)( γ α). Δ Α 45 β Ζ Ε Β Γ (α) Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε ΑΓΔ ˆ = 45 Άρα είναι ˆ ΑΓΔ = 45 = ΒΑΓ ˆ, οπότε ΑΒ ΓΔ, αφού τεμνόμενες από την ΑΓ σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με βάσεις ΑΒ = β, ΓΔ β ΑΖ = =. Άρα έχει εμβαδόν ( ) ΓΔ = β + β = β και ύψος ( ) β + β β β + ΑΒΓΔ = = 4..

29 6 (β) Επειδή είναι ΑΒ ΓΔ τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΕΔΓ είναι όμοια, οπότε, αν ΕΑ = x, θα έχουμε: x ΕΔ x x+ β = = x = x+ β x( ) = β ΑΒ ΔΓ β β ( ) β x = = β Η δεδομένη σχέση γράφεται διαδοχικά: Οι αριθμοί όμως x 6 4 x + x y + y + x + y = 40 ( x y ) ( x y ) = 4 ( x y ) ( x y ) = 4. + y + και x + y +, είναι θετικοί ακέραιοι με x + y + < x + y + και γινόμενο 4 = 4 = = 4 = 6 7. Επομένως θα πρέπει: x + y + = και x + y + = 4 () x x + y + = και x + y + = και x + y + = () + y + = 4 () x + y + = 6 και x + y + = 7 (4) Προφανώς οι σχέσεις (),(),() είναι αδύνατες και από τη σχέση (4), έχουμε: x + y = 5 που αληθεύει για x = και y =. Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το τριώνυμο ω + ω 40= 0, όπου ω = x + y, η οποία, αφού xy>, 0 έχει τη μοναδική λύση x μόνο για x = και y =. + y = 5, που αληθεύει

30 7 Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ισοδύναμα από την δεδομένη ισότητα, έχουμε: x x + + x x y + y + y y + = 0 ( x ) + ( x y ) + ( y ) = 0 ( x 0 και x y 0 και y 0) = = =. ( x και y ) ή ( x και y ) = = = =. Για να έχει η εξίσωση διπλή λύση, πρέπει η διακρίνουσά της να είναι μηδέν. Δ=0 λ 4κμ = 0 λ = 4κμ. -λ Στη περίπτωση αυτή η διπλή λύση είναι: x = x = κ Ο αριθμός 4κμ είναι άρτιος. Άρα και ο λ είναι άρτιος, οπότε ο λ είναι άρτιος. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο λ (δεδομένου ότι είναι μονοψήφιος θετικός ακέραιος) είναι: λ = ή λ = 4 ή λ = 6 ή λ = 8. Αν λ = τότε: 4= 4κμ κμ =, οπότε οι δυνατές τιμές για τα κ και μ είναι κ = και μ =. Αν λ = 4 τότε: 6 = 4κμ κμ = 4, οπότε οι δυνατές τιμές για τα κ και μ είναι ( κ = και μ = 4 ) ή ( κ = 4 και μ = ) ή ( κ = και μ = ). Αν λ = 6 τότε: 6 = 4κμ κμ = 9, οπότε οι δυνατές τιμές για τα κ και μ είναι ( κ = και μ = 9) ή ( κ = 9 και μ = ) ή ( κ = και μ = ). Αν λ = 8 τότε: 64 = 4κμ κμ = 6, οπότε οι δυνατές τιμές για τα κ και μ είναι ( κ = και μ = 8 ) ή ( κ = 8 και μ = ) ή ( κ = 4 και μ = 4 ). Άρα οι δυνατές τιμές για τη διατεταγμένη τριάδα ( κ, λμ, ) είναι: (,,), (,4,4), (,4,), (, 6, 9), (,6,), (,8,8), (4,8,4). Οι άλλες περιπτώσεις απορρίπτονται, διότι δεν δίνουν ακέραια λύση. Οι εξισώσεις που προκύπτουν, με την αντίστοιχη διπλή λύση είναι: x + x+ = 0 με διπλή λύση x = x =, x x + 4x+ 4= 0 με διπλή λύση x = x =, + 6x+ 9= 0 με διπλή λύση x = x =.. (α) Εφόσον το ΒΓΔΕ είναι ρόμβος, θα ισχύουν οι ισότητες: ΒΓ = ΓΔ = ΔΕ = ΒΕ ()

31 8 Θεωρούμε ΑΛ και ΕΚ κάθετες στη ΒΓ. Τότε ΑΛ = ΕΚ (διότι ΑΛΚΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο). ΒΓ Η ΑΛ είναι διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, οπότε ΑΛ =. () ΒΓ ΒΕ Άρα ΑΛ = ΕΚ = =. Δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΚ, έχουμε: ΒΕ ΕΚ = οπότε Β ˆ = 0 o. Από το ρόμβο ΒΓΔΕ έχουμε Β ˆ ˆ =Δ = 0 o και επειδή ΓΔΖ ˆ = 90 o έχουμε τελικά ότι: Δ ˆ = 60 o () Το τετράπλευρο ΑΓΔΖ είναι εγγράψιμο (διότι Α=Δ= ˆ ˆ 90 o ) και η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΖ ˆ. Άρα το Δ είναι μέσο του τόξου ΓΖ, οπότε () ΔΓ = ΔΖ = ΔΕ () Από τις σχέσεις () και () συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. (β) Προφανώς η ΑΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΖ ˆ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ΖΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΖΑ ˆ. Εφόσον το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο, θα ισχύει ΕΖ=ΕΒ και επειδή Β ˆ = 5 o, θα ισχύει: Ζ ˆ = 5 o (4)

32 9 Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΓΔΖ έχουμε ΑΖΓ ˆ = Δ ˆ = 0 o, οπότε θα είναι Ζ ˆ = 5 o. 4. Για xyz 0 το σύστημα είναι ισοδύναμο με το xy yz 7yz 4zx 5zx 6xy + = 70, + = 56, + = 5, z x x y y z το οποίο, αν θέσουμε xy yz zx = u, = v, = w z x y γίνεται u+ v = 70 () 7v+ 4w= 56 (). 5w+ 6u = 5 () Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών εξισώσεων λαμβάνουμε 9 u+ v+ w = 78. ( ) u+ v+ w= 4. (4) Λόγω της (4) η εξίσωση () γίνεται 7v+ 4 4 u v = 56 ( ) 4u+ v= 88. (5) Από τις () και (5) λαμβάνουμε u =, v=, οπότε από την (4) προκύπτει ότι w = 8. Άρα έχουμε το σύστημα xy yz zx =, =, = 8 (6) z x y από το οποίο με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των τριών εξισώσεων έχουμε xyz = 8. (7) Από τις (6) και (7) λαμβάνουμε x = 8 x = 6 x=± 4 8y = 8 y = 64 y =± 8, z = 8 z = 56 z =± 6 οπότε προκύπτουν συνολικά 8 τριάδες που είναι λύσεις του συστήματος: xyz,, = 4,8,6 ή 4, 8, 6 ή 4,8, 6 ή 4, 8,6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ή 4, 8, 6 ή 4,8,6 ή 4, 8,6 ή 4,8, 6.

33 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α Δ Ο Β Μ Γ (α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΑΓ είναι ισοσκελή (ΔΑ = ΔΓ, ως εφαπτόμενες από το Δ στον περιγεγραμμένο κύκλο) και έχουν ˆΓ =ΓΑΔ, ˆ ως εντός εναλλάξ. Άρα είναι όμοια. (β) Παρατηρούμε ότι ΒΟΓ ˆ = Α ˆ = 60, οπότε το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισόπλευρο και ισχύει ότι R =ΒΓ= α. Έστω η ΑΟ τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Μ. Επειδή είναι ΟΑ = ΟΒ και ΑΒ = ΑΓ η ΟΑ είναι η μεσοκάθετη της ΒΓ. Άρα είναι ΑΔ ΒΓ και το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Επιπλέον από το τρίγωνο ΑΜΓ έχουμε ΑΜ = α + και α α ΑΓ = α + + ΑΓ = α + 4 Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΑΓ είναι όμοια ( ˆΓ =ΓΑΔ), ˆ θα έχουμε ΑΔ ΑΓ ΑΓ = ΑΔ= ΑΔ= α ( + ). ΑΓ ΒΓ ΒΓ Άρα είναι α + α( ) ( ) ( ) ( ) + α + α 9 + ΑΒΓΔ = = 5 4. (α) Για να είναι το κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων πρέπει και αρκεί: 8λ ( μ + 4) = 0 λ =. 4μ 4 λ = 0 μ = (β) Για λ= και μ= η δεδομένη εξίσωση γίνεται: x 7x 7 =. x 4x 4 8 Όμως έχουμε τις παραγοντοποιήσεις

34 ( )( ) x 7x = x x + 4x+ ( )( ) x 4x 4= x x+. οπότε η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x + 4x+ 7 =, x,. x + 8 6x 9x 6 = 0, x, x= ή x=, x, 6 x =. 6. Για x= y = 0 από τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση () έχουμε: ( ) ( ) f(0) f ( f(0) ) f f(0) f(0) = f f(0) 0 = () Από τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση () θέτοντας όπου y το f ( x ) έχουμε: f ( f( x) f ( f( x) )) = f ( f( x) ) f( x) () Αν τώρα στη () θέσουμε x = 0 έχουμε: f ( f f ( f )) = f ( f ) f και σε συνδυασμό με την () καταλήγουμε ( ) Θέτοντας στην () όπου x = 0, έχουμε: (0) (0) (0) (0) f f(0) = f(0) = 0. ( (0) ( )) = ( (0)) και δεδομένου ότι ( ) f f f y f f y f f(0) = f(0) = 0, καταλήγουμε στη σχέση f f( y) = y. (4) ( ) Θέτοντας στην () όπου y το x έχουμε: f ( f( x) f( x) ) = f ( f( x) ) x f (0) = f ( f( x) ) x f ( f( x) ) = x (5) Αντικαθιστώντας στην (4) όπου y το f ( x ), έχουμε: f f ( f( x) ) = f( x) ( ) και σε συνδυασμό με την (5), καταλήγουμε στη σχέση f ( x) = f( x), για κάθε x, δηλαδή η f είναι περιττή. 4. Αν θέσουμε a+ b x =, τότε λαμβάνουμε a b a x+ = () b x

35 b c c a (είναι x, αφού b 0 ). Ομοίως, αν θέσουμε y = +, z = + b c c a λαμβάνουμε b y+ = c y () c z+ και =. a z () Από τις (), () και () με πολλαπλασιασμό κατά μέλη λαμβάνουμε ( x+ )( y+ )( z+ ) abc = = xy + yz + zx =. ( x )( y )( z ) bca Όμως έχουμε 0 x+ y+ z = x + y + z + xy+ yz+ zx = x + y + z ( ) ( ) x y z 0 x + y + z. + +

36 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= : 4 + ( 5 ) Μονάδες 5. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και διχοτόμος της γωνίας ΓAx ˆ. Δίνεται ακόμη ότι: ΒAΓ=6 ˆ και ΑΒ = ΑΔ. (α) Να βρείτε τις γωνίες ˆΒκαιΓˆ του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες (β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ ˆ. Μονάδες Β Α x Γ Δ y. Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό α ισχύει: 4 < <, 5 α 4 να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α= α + 5(4 + α) + ( α 4) Μονάδες 5 4. Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το 60% του αριθμού των αγοριών και το 80% του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 00 και λιγότερα από 00. Αν το 80% των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

37 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ x ( ) + ( ) x. Δίνονται οι παραστάσεις: A =, B= ( ) 5 Αν είναι A = B, να προσδιορίσετε την τιμή του x. Μονάδες 5. Το σημείο Α ( λ +,4λ ) ), όπου λ θετικός ακέραιος, βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων Ox y. Να βρεθούν: (α) ο θετικός ακέραιος λ, (β) το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΑ και (γ) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΟΒΑΓ, όπου Β, Γ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο Α στους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy, αντίστοιχα. Μονάδες 5. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ= α, ΑΔ= α και τέσσερα ημικύκλια εξωτερικά του ορθογωνίου. Ο εξωτερικός κύκλος έχει κέντρο το σημείο τομής Ο των διαγωνίων του ορθογωνίου. Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. Μονάδες 5 4. Αν ισχύει ν 45 ν 6 ν = 900, όπου ν θετικός ακέραιος, να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν ν+ 00 ( ) ( ) 4 ( ) ν + Α= +. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

38 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν στο 8 ενός αριθμού x προσθέσουμε το 4 του αριθμού αυτού προκύπτει αριθμός μικρότερος κατά 55 του αριθμού x. Να βρεθεί ο αριθμός x. Μονάδες 5. Να προσδιορίσετε τους ακέραιους x, y και z που είναι τέτοιοι ώστε 0 x y z και xyz+ xy+ yz+ zx+ x+ y+ z = 44. Μονάδες 5. Να βρεθούν οι γωνίες των ισοσκελών τριγώνων τα οποία έχουν τη παρακάτω ιδιότητα: υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μία κορυφή με την απέναντι πλευρά ώστε να δημιουργούνται μέσα στο ισοσκελές τρίγωνο, δύο ισοσκελή τρίγωνα. (Να εξετάσετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις). Μονάδες 5 4. Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες x y = z, y z = x, z x= y, να αποδείξετε ότι: (α) x + y + z = xyz. (β) Ένας τουλάχιστον από τους x, y, z ισούται με 0. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

39 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Δεκαπέντε θετικοί ακέραιοι αριθμοί, με ψηφία περισσότερα από δύο, έχουν ως τελευταίο διψήφιο τμήμα τους τον αριθμό 5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τους είναι πολλαπλάσιο του 5. Μονάδες 5. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ ΒΓ και ˆ ˆ Γ=Δ= 90. Φέρουμε από το Α κάθετη προς τη ΒΓ που την τέμνει στο σημείο Ε και από το Ε κάθετη προς την διαγώνιο ΒΔ που την τέμνει στο σημείο Ζ. Να προσδιορίσετε το μέτρο της γωνίας ΑΖΓ ˆ. Μονάδες 5. Να προσδιορίσετε τις τριάδες ακέραιων ( x, yz, ) με x y z, που ικανοποιούν τις εξισώσεις: ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y + + =, x+ y+ z = 00. Μονάδες 5 4. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Θεωρούμε τυχόν σημείο Μ εκτός του ΑΒ και τέτοιο ώστε η κάθετη από το Μ προς την ευθεία ΑΒ να την τέμνει σε εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ έτσι ώστε ΑΓ ΑΜ και ΑΓ = ΑΜ, ΒΔ ΜΒ και ΒΔ =ΜΒ, και επιπλέον τα σημεία Γ, Μ και Δ να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι το μέσον Κ του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ είναι σταθερό σημείο, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Μ. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

40 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν οι θετικοί ακέραιοι α και β έχουν 0 κοινούς θετικούς διαιρέτες, να προσδιορίσετε το πλήθος των κοινών θετικών διαιρετών των αριθμών Α= 4α + 5β και Β= α + 4β. Μονάδες 5. Να προσδιορίσετε το πλήθος και το άθροισμα των άρτιων θετικών ακέραιων που βρίσκο- νται μεταξύ των αριθμών Α= n n+ και B= n + n+, όπου n θετικός ακέραιος. Μονάδες 5. Να προσδιορίσετε τις τριάδες ακέραιων ( x, yz, ) με x y z που ικανοποιούν την εξίσωση: xy ( x y) + yz ( y z) + zx ( z x) = 6. Ποιες από τις τριάδες αυτές έχουν άθροισμα τετραγώνων ελάχιστο; Μονάδες 5 4. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Θεωρούμε τυχόν σημείο Μ εκτός του ΑΒ και τέτοιο ώστε η κάθετη από αυτό προς την ευθεία ΑΒ να την τέμνει σε εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ τέτοια ώστε ΑΓ ΑΜ και ΑΓ = ΑΜ, ΒΔ ΜΒκαι ΒΔ = ΜΒ και επιπλέον τα σημεία Μ, Γ και Δ να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι το μέσον Κ του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ είναι σταθερό σημείο, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Μ. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

41 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= : 4 + ( 5 ) Α= : 4 + ( 5 ) 49 0 = ( ) ( ) = + + = + + = Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και διχοτόμος της γωνίας ΓAx ˆ. Δίνεται ακόμη ότι ΒAΓ=6 ˆ και ΑΒ = ΑΔ. (α) Να βρείτε τις γωνίες ˆΒκαιΓˆ του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ ˆ. 4 Σχήμα (α) Επειδή η Αy είναι διχοτόμος της γωνίας ΓAˆ x θα είναι ΓΑΔ ˆ = ΔΑ ˆx. Όμως είναι ΓΑΔ ˆ + ΔΑ ˆx = 80 ΒΑΓ ˆ = 80 6 = 8, οπότε καθεμία από τις γωνίες ΓΑ ˆΔ και ΔΑˆx είναι 59. Επειδή είναι Αy ΒΓ έχουμε τις ισότητες γωνιών 0 Β=ΔΑ ˆ ˆ x = 59 και Γ= ˆ 0 ΓΑΔ= ˆ 59. (β) Επειδή είναι ΑΒ = ΑΔ. έπεται ότι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με ΑΒΔ ˆ = ΑΔΒ. ˆ () Λόγω της παραλληλίας των ευθειών ΒΓ και Αy έχουμε ότι ΑΔΒ ˆ = ΔΒΓ ˆ (εντός εναλλάξ γωνίες) () Από τις () και () έπεται ότι: ΑΒΔ ˆ = ΔΒΓ ˆ, οπότε η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ ˆ.

42 . Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό α ισχύει: σης Α= α + 5(4 + α) + ( α 4) < <, να βρεθεί η τιμή της παράστα 5 α 4 Έχουμε: < α α < 4 0 < α < 8 < < 0, οπότε θα είναι α = 9, αφού α θετικός ακέραιος. Άρα είναι: Α= 9 + 5(4 + 9) + (9 4) + 99 = = Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το 60% του αριθμού των αγοριών και το 80% του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 00 και λιγότερα από 00. Αν το 80% των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου. Αν είναι Α ο αριθμός των αγοριών που συμμετέχουν στην παρέλαση, τότε ο Α είναι πολλαπλάσιο του και επιπλέον έχουμε Α = πολ.5 + Α = πολ.5, Α = πολ.7 + Α = πολ.7 οπότε ο αριθμός Α είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 7. Τότε ο αριθμός Α θα είναι πολλαπλάσιο του ΕΚΠ(5,7)=5, δηλαδή θα είναι ένας από του αριθμούς 5, 70, 05, 40,..., Επομένως ο αριθμός Α θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 8, 7, 08, 4,... Αν Α είναι ο αριθμός των αγοριών του Γυμνασίου, τότε από την υπόθεση είναι <Α< < Α< <Α < 0, οπότε οι αποδεκτές τιμές για τον αριθμό Α είναι οι 7 και 08. Επειδή ο αριθμός Α είναι και πολλαπλάσιο του, έπεται ότι Α = 08, οπότε ο αριθμός των αγοριών του Γυμνασίου είναι: 00 Α= 08 = Από την υπόθεση έχουμε ότι τα κορίτσια που συμμετείχαν στην παρέλαση ήταν 08 = 6, οπότε ο αριθμός Κ των κοριτσιών του Γυμνασίου είναι: 00 Κ= 6 = Άρα συνολικά το Γυμνάσιο έχει 80+70=450 μαθητές και μαθήτριες.

43 . Δίνονται οι παραστάσεις: 4 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ x ( ) + ( ) x A =, B= ( ) 5 Αν είναι A = B, να προσδιορίσετε την τιμή του x. Επειδή Επίσης έχουμε ( ) ( ) ( ) = = 0 έχουμε =, οπότε: Επομένως έχουμε x A= = + x = x ( ) ( ) ( ) 4 ( ) + x + x x B= + = + = x Α=Β x= 5 + x= 0 + x x= 0.. Το σημείο Α ( λ +,4λ ) ), όπου λ θετικός ακέραιος, βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων Ox y. Να βρεθούν: (α) ο θετικός ακέραιος λ, (β) το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΑ, (γ) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΟΒΑΓ, όπου Β, Γ είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο Α προς τους θετικούς ημιάξονες Ox και Oy, αντίστοιχα. (α) Σύμφωνα με τις υποθέσεις πρέπει να συναληθεύουν οι ανισότητες: λ+ > 0 και 4λ > 0 λ < και λ >, 4 από τις οποίες, αφού ο λ είναι θετικός ακέραιος, έπεται ότι λ =. (β) Για λ = είναι Α (, ), οπότε (γ) ΟΑ = + = 0. ΕΟΑΒΓ= ( ) =. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ= α, ΑΔ= α και τέσσερα ημικύκλια εξωτερικά του ορθογωνίου. Ο εξωτερικός κύκλος έχει κέντρο το σημείο τομής Ο των διαγωνίων του ορθογωνίου. Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. Από το σχήμα διαπιστώνουμε ότι: 0

44 4 Ο μεγάλος κύκλος έχει ακτίνα α α, τα μικρά ημικύκλια έχουν ακτίνα και τα μεγάλα ημικύκλια έχουν ακτίνα α. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου προκύπτει από το εμβαδόν του μεγάλου κύ- α 9πα κλου π =, αν αφαιρέσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ που είναι α, 4 τα εμβαδά των δύο μικρών ημικυκλίων ημικυκλίων α πα π = και τα εμβαδά των δύο μεγάλων 4 Σχήμα πα = πα. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 9πα πα 4πα 8α Ε= πα α = = ( π ) α ν ν Αν ισχύει = 900, όπου ν θετικός ακέραιος, να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν 6 00 ( ) ν ( ) ν + 4 ( ) ν + Α= +. Έχουμε ν ν ν ν ν ν = ν ν = = ( ) ν ν ν 0 = 5 0 = 0 0 =, από την οποία προκύπτει ότι ν = 0 ν =, αφού για κάθε άλλη τιμή του ν η τιμή της δύναμης 0 ν δεν μπορεί να είναι. Άρα έχουμε: + + Α= 00 ( ) ( ) + 4( ) = = = ( )

45 5 Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν στο 8 ενός αριθμού x προσθέσουμε το 4 του αριθμού αυτού προκύπτει αριθμός μικρότερος κατά 55 του αριθμού x. Να βρεθεί ο αριθμός x. Σύμφωνα με την υπόθεση θα έχουμε την εξίσωση x x x x 5x = x x = 55 = 55 x= = Να προσδιορίσετε τους ακέραιους xy, και z που είναι τέτοιοι ώστε: 0 x y z, xyz+ xy+ yz+ zx+ x+ y+ z = 44. Η τελευταία εξίσωση γράφεται: xyz+ xy+ yz+ zx+ x+ y+ z = 44 xyz + xy + yz + zx + x + y + z + = 45 xy( z + ) + x( z + ) + y( z + ) + ( z + ) = 45 ( xy x y ) z ( x )( y )( z ) ( + ) = = 45. () Επειδή οι x, yz, είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και x y z, έπεται ότι: x + y+ z+. () Από τις () και () και αφού 45= 5 προκύπτουν οι περιπτώσεις ( x+, y+, z+ ) = (,,5) ή(,5,9 ) ή(,,5) ή (,, 45) xyz,, = 0,, 4 ή 0, 4, 8 ή,, 4 ή 0,0, 44 ). ( ) ( ) ( ) ( ) (. Να βρεθούν οι γωνίες των ισοσκελών τριγώνων που έχουν τη παρακάτω ιδιότητα: υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μία κορυφή με την απέναντι πλευρά ώστε να δημιουργούνται μέσα στο ισοσκελές τρίγωνο, δύο ισοσκελή τρίγωνα. (Να εξετάσετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). η περίπτωση. Θεωρούμε σημείο Δ στη πλευρά ΒΓ ώστε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ να είναι ισοσκελή. Διακρίνουμε τις υποπεριπτώσεις: Αν είναι ΒΑΔ ˆ = Βˆ και ΓΑΔ ˆ = ΓΔΑ ˆ τότε ισχύουν οι ισότητες των γωνιών (σχ. ) : Α ˆ ˆ ˆ =Β=Γ= ˆx και Α ˆ ˆ ˆ =Δ = x, (ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΔ, οπότε από τη σχέση Α+Β+Γ= ˆ ˆ ˆ 80 καταλήγουμε στην εξίσωση: o o 5 xˆ = 80 xˆ = 6. Στη περίπτωση αυτή είναι Α= ˆ 08 o και Β=Γ= ˆ ˆ 6 o.

46 6 Στην περίπτωση που είναι πάλιν ισοσκελή τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ με ίσες γωνίες ΒΑΔ ˆ = ΒΔΑ ˆ και ΓΑΔ ˆ = Γˆ, τότε προκύπτουν οι ίδιες γωνίες για το τρίγωνο ΑΒΓ. Στην περίπτωση που είναι πάλιν ισοσκελή τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΓΔ με ίσες γωνίες ΒΑΔ ˆ = ΒΔΑ ˆ και ΓΑΔ ˆ = ΓΔΑ ˆ, τότε προκύπτουν οι γωνίες ˆ 0 Α= 90 και Β=Γ= ˆ ˆ 45, οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. Πράγματι, από τις ισότητες ˆB= BAˆ Δ και ˆΓ =ΔΑΓ ˆ έπεται ότι: ˆ ˆ ˆ ο B 80 ˆ ˆ ˆ ο +Γ=Α Α=Α Α= 90, οπότε θα είναι B ˆ =Γ= ˆ 45 ο. Σχήμα α Σχήμα β η περίπτωση. Θεωρούμε σημείο Δ στη πλευρά ΑΓ ώστε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΓΔ να είναι ισοσκελή και διακρίνουμε τις υποπεριπτώσεις: Αν ΑΒΔ ˆ = Α ˆ και ΒΔΓ ˆ = Γˆ, τότε (σχ. 4) ισχύουν οι ισότητες των γωνιών: Α=Β ˆ ˆ ˆ =Β = ˆx και Δ ˆ ˆ ˆ =Γ= x, αφού η γωνία ˆΔ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΔΑΒ, οπότε xˆ +Β ˆ ˆ ˆ ˆ =Β=Γ= x Β = x. Από τη σχέση Α+Β+Γ= ˆ ˆ ˆ 80 0 καταλήγουμε στην ε- ξίσωση: o o 5xˆ = 80 xˆ = 6. Σχήμα 4 Στη περίπτωση αυτή είναι: Α= ˆ 6 o και Β=Γ= ˆ ˆ 7 o. Αν ΑΒΔ ˆ = Α ˆ = x και ΒΔΓ ˆ = ΓΒΔ ˆ = y, τότε θα έχουμε y = x και x+ y = π.οπότε λαμβάνουμε τελικά τις γωνίες π ˆ ˆ π ˆΑ=, Β=Γ=. 7 7 Σχήμα 5