Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών που τέμνονται από τρίτη. Εάν δύο ευθείες ε και ζ τέμνονται από μία τρίτη ευθεία γ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ τους χαρακτηρίζονται ανά ζεύγη ως 1. εντός επί τα αυτά μέρη οι Α 4 και Β 1, και οι Α 3 και Β 2 2. εκτός επί τα αυτά μέρη οι Α 1 και Β 4, και οι Α 2 και Β 3 3. εντός εναλλάξ οι Α 4 και Β 2, και οι Α 3 και Β 1 4. εκτός εναλλάξ οι Α 1 και Β 3, και οι Α 2 και Β 4 5. εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη οι Α 4 και Β 4, οι Α 3 και Β 3, οι Β 1 και Α 1 και οι Β 2 και Α 2 6. εντός εκτός εναλλάξ οι Α 4 και Β 3, οι Α 3 και Β 4, οι Β 1 και Α 2, και οι Β 2 και Α 1 Θεώρημα 6.1 Εάν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. 19

2 20 Γεωμετρία Σχήμα 6.1: Δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη. Απόδειξη. Αν οι ευθείες ε και ζ τέμνονται από την γ, στα σημεία Α και Β, και έχουν ένα κοινό σημείο Γ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ και η γωνία Β 1 είναι εξωτερική, άρα μεγαλύτερη από την εσωτερική γωνία Α 3 άτοπο αφού υποθέσαμε οτι είναι ίσες. Σχήμα 6.2: Εντός εναλάξ ίσες. Άσκηση 6.1 Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν Τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τότε είναι παράλληλες. Τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές τότε είναι παράλληλες. Άσκηση 6.2 Δύο ευθείες κάθετες σε τρίτη ευθεία είναι παράλληλες.

3 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 21 Άσκηση 6.3 Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες. Το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Και εάν δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονας ποιή, εκβαλλομένας τας δύο ευθείας επ άπειρον συμπίπτειν, εφ ά μέρη εισίν αι των δύο ορθών ελάσσονες. Στο σύστημα αξιωμάτων του Hilbert το 5 o αίτημα αντικαθίσταται από το αξίωμα παραλληλίας: Από σημείο εκτός ευθείας περνάει μόνο μία παράλληλη προς την ευθεία. Κατά τη διάρκεια της προσπάθειας να αποδειχθεί το 5 o αίτημα, που συνεχίστηκε για περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια, βρέθηκαν πολλές άλλες προτάσεις που είναι λογικά ισοδύναμες με το 5 o αίτημα. Δηλαδή εάν δεχθούμε το 5 o αίτημα μπορούμε να τις αποδείξουμε, και αντίστροφα, αν δεχθούμε μία από αυτές τις προτάσεις μπορούμε να αποδείξουμε το 5 o αίτημα. Κάποιες από αυτές τις προτάσεις είναι οι ακόλουθες: Υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με δύο ορθές Υπάρχει τετράπλευρο με 4 ορθές γωνίες Υπάρχουν τρίγωνα με αυθαίρετα μεγάλο εμβαδόν Σημεία τα οποία ισαπέχουν από ευθεία και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο, σχηματίζουν ευθεία. Ας δούμε τώρα τι επι πλέον μπορούμε να πούμε για παράλληλες ευθείες αν δεχθούμε το αξίωμα παραλληλίας. Θεώρημα 6.2 Εάν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Απόδειξη. Υποθέτουμε οτι οι παράλληλες ευθείες ε και ζ τέμνονται από την γ, στα σημεία Α και Β. Θα δείξουμε οτι οι εντός εναλλάξ γωνίες Α 1 και Β 3 είναι ίσες. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, τότε υπάρχει άλλη ευθεία δ από το Β που σχηματίζει τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Αλλά τότε από το σημείο Β περνάνε δύο ευθείες παράλληλες προς την ε άτοπο. Άσκηση 6.4 Παρόμοια, δύο παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη ευθεία σχηματίζουν

4 22 Γεωμετρία Σχήμα 6.3: Παράλληλες τεμνόμενες από ευθεία. τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τις εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές. Άσκηση 6.5 Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες προς τρίτη, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Άσκηση 6.6 Αν μία ευθεία βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με δύο παράλληλες ευθείες και τέμνει μία από αυτές τότε τέμνει και την άλλη. Πώς θα ήταν μία γεωμετρία χωρίς το 5 o αίτημα; Μπορούμε να πάρουμε μία ιδέα από ένα μοντέλο του υπερβολικού επιπέδου, όπου ι- σχύουν όλα τα υπόλοιπα αξιώματα, αλλά υπάρχουν περισσότερες παράλληλες από ένα σημείο προς μία ευθεία. Αν ορίσουμε τις έννοιες επίπεδο, σημεία και ευθεία με τον ακόλουθο τρόπο, τότε ισχύουν όλα τα αξιώματα του Hilbert εκτός από το αξίωμα των παραλλήλων. Επίπεδο είναι ένα από τα ημιεπίπεδα που ορίζει μία ευθεία δ, χωρίς την ίδια την ευθεία. Σημεία είναι τα σημεία του ημιεπιπέδου, χωρίς τα σημεία της ευθείας στο σύνορο του ημιεπιπέδου. Ευθείες είναι τα ημικύκλια με κέντρο στο σύνορο δ και οι ημιευθείες που είναι κάθετες στην δ. Είναι εύκολο να ελέγξουμε οτι ισχύουν τα αξιώματα. Για παράδειγμα, Από δύο σημεία περνάει ακριβώς μία ευθεία.

5 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 23 Σχήμα 6.4: Το υπερβολικό επίπεδο. Σχήμα 6.5: Δύο σημεία προσδιορίζουν μία ευθεία. Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Από ένα σημείο υπάρχει μοναδική κάθετος προς μία ευθεία Σχήμα 6.6: Μοναδική κάθετος από σημείο σε ευθεία. Ορίζουμε ως παράλληλες τις ευθείες που δεν έχουν κοινό σημείο. Εάν οι εντός

6 24 Γεωμετρία εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, οι ευθείες είναι παράλληλες, αλλά όχι μόνον τότε! Σχήμα 6.7: Πολλές παράλληλες από ένα σημείο. Η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές. Αλλά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από δύο ορθές. Στο υπέρβολικό επίπεδο δεν υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα τρίγωνα. Συγκεκριμένα, στο εσωτερικό μίας γωνίας Α υπάρχουν σημεία από τα οποία δεν περνάει καμία ευθεία που να τέμνει και τις δύο πλευρές της γωνίας. Σχήμα 6.8: Δεν υπάρχει τρίγωνο με γωνία Α, τέτοιο ώστε η πλευρά α να περνάει από το σημείο Δ. Συνέπειες του αξιώματος των παραλλήλων. Στη συνέχεια θα δούμε κάποιες προτάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας που βασίζονται στο αξίωμα των παραλλήλων.

7 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 25 Πρόταση 6.3 Αν οι πλευρές μίας γωνίας είναι μία προς μία παράλληλες προς τις πλευρές μίας άλλης γωνίας, τότε οι γωνίες είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Πρόταση 6.4 Αν οι πλευρές μίας γωνίας είναι μία προς μία κάθετες προς τις πλευρές μίας άλλης γωνίας, τότε οι γωνίες είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Για την απόδειξη των παραπάνω προτάσεων χρειάζεται να εξετάσουμε διαφορετικές σχετικές θέσεις των δύο γωνιών. Σε όλες τις περιπτώσεις η απόδειξη είναι απλή εφαρμογή του Θεωρήματος 6.2 (ή της Άσκησης 6.4). Σχήμα 6.9: Γωνίες με παράλληλες πλευρές είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Θεώρημα 6.5 Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση λαμβάνουμε σημείο Χ. Από το Γ φέρουμε ΓΨ παράλληλη προς την ΒΑ. Η γωνία Α είναι ίση με την ΑΓΨ ως εντός εναλλάξ. Η γωνία Β είναι ίση με την ΨΓΧ ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Άρα Γ + Α + Β = ΒΓΑ + ΑΓΨ + ΨΓΧ = ΒΓΧ = 2ορθές. Θεώρημα 6.6 Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι 2ν 4 ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε κυρτό ν-γωνο με κορυφές Α 1 Α 2... Α ν. Από την κορυφή Α 1 φέρουμε διαγωνίους Α 1 Α 3, Α 1 Α 4,..., Α 1 Αν 1. Σχηματίζονται ν 2 τρίγωνα, και

8 26 Γεωμετρία Σχήμα 6.10: Γωνίες με κάθετες πλευρές είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Σχήμα 6.11: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. το άθροισμα των γωνιών του ν-γώνου είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών των ν 2 τριγώνων, το οποίο είναι 2(ν 2) ορθές. Θεώρημα 6.7 Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε κυρτό ν-γωνο με κορυφές Α 1 Α 2... Α ν. Η κάθε εξωτερική γωνία α 1, α 2,..., α ν είναι παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής γωνίας,

9 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 27 Σχήμα 6.12: Το άθροισμα των γωνιών ενός ν-γώνου. άρα Α i + α i = 2 ορθές. Συνεπώς ( Α 1 + α 1 ) + + ( Α ν + α ν ) = 2ν ορθές ( Α Α ν ) + ( α α ν ) = 2ν ορθές (2ν 4) ορθές + ( α α ν ) = 2ν ορθές Άρα ( α α ν ) = 4 ορθές. Τετράπλευρα Τα κυρτά τετράπλευρα, ως προς την παραλληλία των πλευρών τους, ταξινομούνται σε αυτά που έχουν τις απέναντι πλευρές παράλληλες παραλληλόγραμμα έχουν μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες τραπέζια δεν έχουν παράλληλες πλευρές. Θα εξετάσουμε ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Πρώτα εξετάζουμε αναγκαίες συνθήκες ενός παραλληλογράμμου, δηλαδή τις ιδιότητες που έχει κάθε παραλληλόγραμμο. Απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι αυτές που βρίσκονται σε άκρα μίας διαγωνίου του τετραπλεύρου.

10 28 Γεωμετρία Σχήμα 6.13: Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι γωνίες ίσες. Πρόταση 6.8 Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι γωνίες ίσες. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ. Θα δείξουμε οτι Α = Γ και Β = Δ. Οι γωνίες Β και Δ είναι παραπληρωματικές της Α ως εντός και επί τα αυτά. Άρα Β = Δ. Οι γωνίες Α και Γ είναι παραπληρωματικές της Β ως εντός και επί τα αυτά. Άρα Α = Γ. Πρόταση 6.9 Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές ίσες. Σχήμα 6.14: Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές ίσες. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, και διαγώνιο ΒΔ. Θα δείξουμε οτι ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΓΒ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και GaΔΒ έχουν την ΒΔ κοινή και ΑΒΔ = ΓΔΒ, ΑΔΒ = ΓΒΔ ως εντός εναλλάξ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ = ΓΔΒ, και ΑΒ = ΓΔ, ΑΔ = ΓΒ. Πρόταση 6.10 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες διχοτομούνται. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ. Θα δείξουμε οτι οι διαγώνιοι έχουν κοινό σημείο, και οτι αυτό είναι το μέσο τους. Οι γωνίες

11 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 29 Σχήμα 6.15: Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες διχοτομούνται. ΒΑΓ και ΑΒΓ είναι μικρότερες από τις Α και Β, οι οποίες είναι παραπληρωματικές. Από το 5 o αίτημα, συμπεραίνουμε οτι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται σε σημείο Μ. Θα δείξουμε οτι Μ είναι το μέσο της ΑΓ και της ΒΔ, δηλαδή οτι ΑΜ = ΓΜ και ΒΜ = ΔΜ. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΓΔΜ έχουν ΑΒ = ΓΔ, ΒΑΓ = ΔΓΑ και ΑΒΔ = ΓΔΒ. Άρα είναι ίσα, και ΑΜ = ΓΜ, ΒΜ = ΔΜ. Αυτές οι ιδιότητες ισχύουν σε κάθε παραλληλόγραμμο: αποτελούν αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένα σχήμα παραλληλόγραμμο. Θα δείξουμε οτι κάθε μία από αυτές είναι και ικανή συνθήκη για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο: ένα τετράπλευρο που έχει μία από αυτές τις ιδιότητες είναι παραλληλόγραμμο. Πρόταση 6.11 Εάν ένα τετράπλευρο έχει τις απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι Α = Γ, Β = Δ. Το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου είναι Α + Β + Γ + Δ = 4 ορθές. Άρα 2 Α + 2 Β = 4 ορθές. Συνεπώς οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ είναι παράλληλες, αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες Α και Β είναι παραπληρωματικές. Επίσης Δ = Β, άρα οι Α και Δ είναι παραπληρωματικές, και συνεπώς οι ευθείες ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλες. Πρόταση 6.12 Εάν ένα τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι ΑΒ = ΔΓ και ΑΔ = ΒΓ. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΔΒ έχουν τις τρεις πλευρές

12 30 Γεωμετρία ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα. Συνεπώς οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες: ΑΒΔ = ΓΔΒ και ΑΔΒ = ΓΒΔ. Άρα οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Πρόταση 6.13 Εάν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι ΑΒ = ΔΓ και ΑΒ ΔΓ. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΔΒ έχουν τις γωνίες ΑΒΔ και ΓΔΒίσες μία προς μία, ως εντός εναλλάξ των παράλληλων πλευρών. Η πλευρά ΒΔ είναι κοινή, και ΑΒ = DeΓ από υπόθεση. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, και ΑΔ = ΒΓ. Από την Πρόταση 6.12, ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Πρόταση 6.14 Εάν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιες διχοτομούνται, τότε αυτό είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, Μ τό σημείο τομής των ΑΓ και ΔΒ. Υποθέτουμε οτι ΑΜ = ΓΜ και ΒΜ = ΔΜ. Στα τρίγωνα ΜΔΑ και ΜΒΓ έχουμε ΑΜΔ = ΓΜΒ ως κατακορυφή, και τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ίσες. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, και συνεπώς ΜΔΑ = ΜΒΓ, ΔΑ = ΒΓ. Άρα οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ είναι ίσες και παράλληλες. Από την Πρόταση 6.13, ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Είδη παραλληλογράμμων Ενα παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία έχει όλες τις γωνίες ορθές, και ονομάζεται ορθογώνιο. Ενα παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες έχει όλες τις πλευρές ίσες, και ονομάζεται ρόμβος. Ενα ορθογώνιο που είναι και ρόμβος ονομάζεται τετράγωνο. Θεώρημα 6.15 Ενα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο εάν και μόνον εάν έχει τις διαγώνιες ίσες. Απόδειξη. Εστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Θα δείξουμε οτι οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΔΓ είναι ίσα, αφού έχουν τη ΔΓ κοινή και ΑΔ = ΒΓ. Άρα και οι υποτείνουσες είναι ίσες, ΑΓ = ΒΔ.

13 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 31 Αντίστροφα, έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΓ = ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΔΓ είναι ίσα, αφού έχουν όλες τις πλευρές ίσες. Άρα ΑΔΓ = ΒΓΔ. Αλλά αφού ΑΔ ΒΓ, οι γωνίες είναι παραπληρωματικές. Άρα κάθε μία είναι ίση με μία ορθή. Θεώρημα 6.16 Οι διαγώνιες του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις αντίστοιχες γωνίες. Σχήμα 6.16: Οι διαγώνιες του ρόμβου. Απόδειξη. Εστω ένας ρόμβος ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Τότε Ο είναι το μέσον της ΒΔ και ΑΟ είναι διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΔ, άρα είναι και ύψος του, και συνεπώς τέμνει την ΒΔ κάθετα. Η ΑΟ είναι επίσης διχοτόμος της γωνίας Α του ισοσκελούς τριγώνου, άρα διχοτόμος και της γωνίας του ρόμβου. Πρόταση 6.17 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Απόδειξη. Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, και τη διάμεσο στην υποτείνουσα ΑΜ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ προς το Μ και λαμβάνουμε ΜΕ = ΑΜ. Τότε η διαγώνιες ΑΕ και ΒΓ του τετραπλεύρου ΑΒΓΕ διχοτομούνται, άρα αυτό είναι παραλληλόγραμμο. Αφού η Α είναι ορθή, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, άρα οι διαγώνιες είναι ίσες και ΒΓ = ΑΕ = 2ΑΜ. Πρόταση 6.18 Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

14 32 Γεωμετρία Σχήμα 6.17: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου. Σχήμα 6.18: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών τριγώνου. Απόδειξη. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, Μ είναι το μέσο της ΑΒ και Ν το μέσο της ΑΓ. Προεκτείνουμε τη ΜΝ προς το Ν και λαμβάνουμε ΝΚ = ΜΝ. Αν δείξουμε οτι ΜΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, τότε ΜΝ ΒΓ και ΜΚ = ΒΓ, άρα ΜΝ = 1 2 ΜΚ = 1 2 ΒΓ. Για να δείξουμε οτι ΜΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, θα προσπαθήσουμε να δείξουμε οτι ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο με το ΜΒ. Παρατηρούμε οτι ΑΚΓΜ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιες διχοτομούνται. Άρα ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο με το ΑΜ. Αλλά ΑΜ = ΜΒ και συνεπώς ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο προς το ΜΒ. Η ακόλουθη Πρόταση είναι το αντίστροφο της Πρότασης Πρόταση 6.19 Εάν μία ευθεία τέμνει δύο πλευρές ενός τριγώνου στα Μ και Ν, και το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε Μ και Ν είναι τα μέσα των δύο πλευρών. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ στην ΑΒ και Ν στην ΑΓ τέτοια ώστε ΜΝ είναι παράλληλο προς την ΒΓ και ίσο με το μισό της. Φέρουμε τη ΝΔ παράλληλη προς την ΑΒ. Τότε ΜΝΔΒ είναι παραλληλόγραμμο, και ΜΝ = ΒΔ. Αλλά ΜΝ = 1 ΒΓ, άρα Δ είναι το μέσο της ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΝΔΓ έχουν από μία 2

15 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 33 πλευρά ίσες, ΜΝ = ΔΓ και τις προσκείμενες γωνίες επίσης ίσες, ΜΝΑ = ΔΓΝ και AlΜΝ = ΝΔΓ. Άρα είναι ίσα και ΑΝ = ΝΓ, ΑΜ = ΝΔ = ΜΓ. Σχήμα 6.19: Ευθεία παράλληλη στη βάση τριγώνου, που τέμνει δύο πλευρές του. Ενα άλλο σχετικό αποτέλεσμα είναι η ακόλουθη πρόταση. Θεώρημα 6.20 Εάν μία ευθεία ε διέρχεται από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του τριγώνου, τότε η ε διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του τριγώνου. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσον της ΑΒ, και Ν σημείο στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΜΝ ΒΓ. Θα δείξουμε οτι ΑΝ = ΝΓ. Από το Ν φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Δ. Τότε ΜΝΔΒ είναι παραλληλόγραμμο αφού έχει τις πλευρές του παράλληλες. Τότε ΑΜ = ΜΒ = ΝΔ. Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΝΔΓ έχουν από μία πλευρά ίσες, ΑΜ = ΝΔ, και τις προσκείμενες γωνίες επίσης ίσες ως εντός εκτός και επί τα αυτά, Α = ΔΝΓ και ΑΜΝ = Β = ΝΔΓ. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα και ΑΝ = ΝΓ. Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Θεώρημα 6.21 Σε ένα τρίγωνο 1. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου) 2. Οι διχοτόμοι των γωνιών διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου)

16 34 Γεωμετρία 3. Οι διάμεσοι του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο βάρους του τριγώνου) 4. Τα ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ορθόκεντρο του τριγώνου). Απόδειξη. 1. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, με Κ το μέσο της ΒΓ, Μ το μέσο της ΑΓ και Ν το μέσο της ΑΒ. Θεωρούμε τις μεσοκάθετες των ΑΒ και ΑΓ. Αν αυτές ήταν παράλληλες, τότε οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ θα ήταν κάθετες σε παράλληλες ευθείες, και συνεπώς θα ήταν παράλληες μεταξύ τους, άτοπο αφού ΑΒΓ είναι τρίγωνο. Άρα ο ιδύο μεσοκάθετες τέμνονται, έστω στο σημείο Ο. Αλλά τότε ΟΑ = ΟΓ, αφού το Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΓ και ΟΑ = ΟΒ, αφού το Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΒ. Συνεπώς ΟΒ = ΟΓ και το Ο βρίσκεται επίσης στη μεσοκάθετο της ΒΓ. Σχήμα 6.20: Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. 2. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τις διχοτόμους των γωνιών Α και Β. Αυτές σχηματίζουν με την ΑΒ γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, και συνεπώς τέμνονται, έστω στο σημείο Κ. Εστω ΚΔ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΒΓ, ΚΕ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΑΓ και ΚΖ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΑΒ. Τότε ΚΖ = ΚΔ αφού το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας ΖΒΔ και ΚΖ = ΚΕ αφού το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας ΖΑΕ. Άρα ΚΕ = ΚΔ και συνεπώς το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της ΕΓΔ. 3. Θα συμπληρωθεί 4. Θα συμπληρωθεί

17 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 35 Σχήμα 6.21: Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Θεώρημα 6.22 (Ασθενές Θεώρημα του Θαλή) Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα πάνω σε μία ευθεία, τότα θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη τέμνουσα ευθεία. Σχήμα 6.22: Ισαπέχουσες παράλληλες ευθείες. Απόδειξη. Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2, ε 3,... και δύο ευθείες µ και ν, που τις τέμνουν σε σημεία Α 1, Α 2, Α 3,... και Β 1, Β 2, Β 3,... αντίστοιχα. Υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις Α 1 Α 2, Α 2 Α 3 είναι ίσες, και θα δείξουμε οτι οι αποστάσεις Β 1 Β 2, Β 2 Β 3 είναι ίσες. Από τα Β 1 και Β 2 φέρουμε παράλληλες προς την µ, οι οποίες τέμνουν την ε 2

18 36 Γεωμετρία στο Γ 2 και την ε 3 στο Γ 3 αντίστοιχα. Τα τετράπλευρα Α 1 Β 1 Γ 2 Α 2 και Α 2 Β 2 Γ 3 Α 3 είναι παραλληλόγραμμα. Άρα Α 1 Α 2 = Β 1 Γ 2 και Α 2 Α 3 = Β 2 Γ 3. Συνεπώς Β 1 Γ 2 = Β 2 Γ 3. Επίσης Γ 2 Β 1 Β 2 = Γ 3 Β 2 Β 3 και Β 1 Γ 2 Β 2 = Β 2 Γ 3 Β 3, αφού έχουν παράλληλες πλευρές. Άρα τα τρίγωνα Β 1 Γ 2 Β 2 και Β 2 Γ 3 Β 3 είναι ίσα. Συμπεραίνουμε οτι Β 1 Β 2 = Β 2 Β 3. Πρόταση 6.23 Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις, και ίση προς το ημιάθροισμά τους. Σχήμα 6.23: Διάμεσος τραπεζίου. Απόδειξη. Εστω τραπέζιο ΑΒΓΔ, με ΑΔ ΒΓ, Κ το μέσο της ΑΒ και Λ το μέσο της ΔΓ. Εστω Μ το μέσο της διαγωνίου ΑΓ. Από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΚΜ ΒΓ και ΚΜ = 1 2 ΒΓ. Από το τρίγωνο ΓΔΑ έχουμε ΜΛ ΑΔ και ΜΛ = 1 2 ΑΔ. Αλλά ΑΔ ΒΓ, και συνεπώς ΜΛ ΒΓ. Καταλήγουμε οτι ΜΚ και ΜΛ είναι και οι δύο παράλληλες στην ΒΓ. Από το αξίωμα των παραλλήλων, τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ βρίσκονται στην ίδια ευθεία, και ΚΛ = ΚΜ + ΜΛ = 1 (ΒΓ + ΑΔ). 2 Άσκηση 6.7 Στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Δ, Ε τέτοια ώστε ΑΔ = ΑΕ. Να δείξετε οτι ΔΕ ΒΓ. Άσκηση 6.8 Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη ευθεία δείξτε οτι 1. οι διχοτόμοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες 2. οιδιχοτομοι δύο εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών είναι παράλληλες 3. οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι κάθετες.

19 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 37 Άσκηση 6.9 Αν από την κορυφή Α ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη προς την βάση ΒΓ, αυτή διχοτομεί την εξωτερική γωνία Α του τριγώνου. Άσκηση 6.10 Αν ένα κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές, να αποδείξετε οτι οι διχοτόμοι των άλλων δύο γωνιών του είναι κάθετες Άσκηση 6.11 Να δείξετε οτι οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών κυρτού τετραπλεύρου τέμνονται, και η γωνία που σχηματίζουν είναι ίση με το ημιάθροισμα των αντίστοιχων εσωτερικών Άσκηση 6.12 ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο, και στην πλευρά ΑΒ υπάρχει σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΔΓ = ΓΒ. Μπορείτε να βρείτε τις γωνίες Α, Β και Γ; Άσκηση 6.13 Στις πλευρές ΑΒ και ΓΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΕ = ΓΖ. Δείξτε οτι η ΕΖ περνάει από το κέντρο του παραλληλογράμμου. Άσκηση 6.14 Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ κατά ευθύγραμμα τμήματα ΔΖ = ΒΔ και ΕΗ = ΓΕ. Δείξτε οτι η ΗΖ περνάει από το Α και διχοτομείται από αυτό. Άσκηση 6.15 Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο Μ με ΒΜ = ΒΓ. Στην προέκταση της ΔΑ παίρνουμε σημείο Ν με ΔΝ = ΔΓ. Να δείξετε οτι ΓΜ και ΓΝ είναι κάθετες. Άσκηση 6.16 Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, γωνία ω και τυχαίο σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ. Βρείτε σημεία Ε και Ζ στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα έτσι ώστε ΔΕΓ = ω = ΔΖΒ. Δείξτε οτι το άθροισμα ΔΕ + ΔΖ δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου De πάνω στην πλευρά BeΓ. Άσκηση 6.17 Εξω από το τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ, ΔΑΘ. Δείξτε οτι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι επίσης τετράγωνο. Άσκηση 6.18 Μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε ισίπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Δείξτε οτι το τρίγωνο ΕΓΔ είναι ισοσκελές, και υπολογίστε τις γωνίες του. Άσκηση 6.19 Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στην προέκταση της βάσης ΒΓ. Δείξτε οτι η διαφορά των αποστάσεων του Δ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ δεν εξαρτάται από τη θέση του Δ.

20 38 Γεωμετρία Άσκηση 6.20 Δείξτε οτι το άθροισμα των αποστάσεων εσωτερικού σημείου ισόπλευρου τριγώνου από τις πλευρές του είναι σταθερό. Άσκηση 6.21 Δίδεται τυχαίο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και Ε, Ζ, Η, T h τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Άσκηση 6.22 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ. Να δείξετε οτι τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Άσκηση 6.23 Δείξτε οτι σε ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία μεταξύ του ύψους και της διαμέσου από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με τη διαφορά των οξειών γωνιών του τριγώνου. Δείξτε επίσης οτι η διχοτόμος της ορθής γωνίας διχοτομεί τη γωνία μεταξύ του ύψους και της διαμέσου. Άσκηση 6.24 Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να δείξετε οτι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΖ και ΓΕ χωρίζουν τη διαγώνιο ΒΔ σε τρία τμήματα. Άσκηση 6.25 Να κατασκευάσετε τρίγωνο του οποίου τα μέσα των πλευρών να είναι τρία δοθέντα μη συγγραμμικά σημεία. Άσκηση 6.26 Δείξτε οτι το άθροισμα των βάσεων ενός τραπεζίου είναι μικρότερο από το άθροισμα των διαγωνίων του. Άσκηση 6.27 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε το συμμετρικό Ε της κορυφής Α ως προς τη διαγώνιο ΒΔ. Δείξτε οτι ΒΓΔΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»

Ονοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος» ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ.  Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.

ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Τα παρακάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου του σχολικού έτους 013-14 στο 17 ο ΓΕ.Λ Αθηνών με εισηγητές τους καθηγητές Νίκο Καρακάση και Δημήτρη Αθανασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι : Αν η διάμεσος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου (εφαρμοσμένη διαλεκτική) Ε. Παπαδοπετράκης Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα