Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών που τέμνονται από τρίτη. Εάν δύο ευθείες ε και ζ τέμνονται από μία τρίτη ευθεία γ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ τους χαρακτηρίζονται ανά ζεύγη ως 1. εντός επί τα αυτά μέρη οι Α 4 και Β 1, και οι Α 3 και Β 2 2. εκτός επί τα αυτά μέρη οι Α 1 και Β 4, και οι Α 2 και Β 3 3. εντός εναλλάξ οι Α 4 και Β 2, και οι Α 3 και Β 1 4. εκτός εναλλάξ οι Α 1 και Β 3, και οι Α 2 και Β 4 5. εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη οι Α 4 και Β 4, οι Α 3 και Β 3, οι Β 1 και Α 1 και οι Β 2 και Α 2 6. εντός εκτός εναλλάξ οι Α 4 και Β 3, οι Α 3 και Β 4, οι Β 1 και Α 2, και οι Β 2 και Α 1 Θεώρημα 6.1 Εάν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. 19

2 20 Γεωμετρία Σχήμα 6.1: Δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη. Απόδειξη. Αν οι ευθείες ε και ζ τέμνονται από την γ, στα σημεία Α και Β, και έχουν ένα κοινό σημείο Γ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ και η γωνία Β 1 είναι εξωτερική, άρα μεγαλύτερη από την εσωτερική γωνία Α 3 άτοπο αφού υποθέσαμε οτι είναι ίσες. Σχήμα 6.2: Εντός εναλάξ ίσες. Άσκηση 6.1 Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν Τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τότε είναι παράλληλες. Τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές τότε είναι παράλληλες. Άσκηση 6.2 Δύο ευθείες κάθετες σε τρίτη ευθεία είναι παράλληλες.

3 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 21 Άσκηση 6.3 Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες. Το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Και εάν δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονας ποιή, εκβαλλομένας τας δύο ευθείας επ άπειρον συμπίπτειν, εφ ά μέρη εισίν αι των δύο ορθών ελάσσονες. Στο σύστημα αξιωμάτων του Hilbert το 5 o αίτημα αντικαθίσταται από το αξίωμα παραλληλίας: Από σημείο εκτός ευθείας περνάει μόνο μία παράλληλη προς την ευθεία. Κατά τη διάρκεια της προσπάθειας να αποδειχθεί το 5 o αίτημα, που συνεχίστηκε για περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια, βρέθηκαν πολλές άλλες προτάσεις που είναι λογικά ισοδύναμες με το 5 o αίτημα. Δηλαδή εάν δεχθούμε το 5 o αίτημα μπορούμε να τις αποδείξουμε, και αντίστροφα, αν δεχθούμε μία από αυτές τις προτάσεις μπορούμε να αποδείξουμε το 5 o αίτημα. Κάποιες από αυτές τις προτάσεις είναι οι ακόλουθες: Υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με δύο ορθές Υπάρχει τετράπλευρο με 4 ορθές γωνίες Υπάρχουν τρίγωνα με αυθαίρετα μεγάλο εμβαδόν Σημεία τα οποία ισαπέχουν από ευθεία και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο, σχηματίζουν ευθεία. Ας δούμε τώρα τι επι πλέον μπορούμε να πούμε για παράλληλες ευθείες αν δεχθούμε το αξίωμα παραλληλίας. Θεώρημα 6.2 Εάν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Απόδειξη. Υποθέτουμε οτι οι παράλληλες ευθείες ε και ζ τέμνονται από την γ, στα σημεία Α και Β. Θα δείξουμε οτι οι εντός εναλλάξ γωνίες Α 1 και Β 3 είναι ίσες. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, τότε υπάρχει άλλη ευθεία δ από το Β που σχηματίζει τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Αλλά τότε από το σημείο Β περνάνε δύο ευθείες παράλληλες προς την ε άτοπο. Άσκηση 6.4 Παρόμοια, δύο παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη ευθεία σχηματίζουν

4 22 Γεωμετρία Σχήμα 6.3: Παράλληλες τεμνόμενες από ευθεία. τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τις εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές. Άσκηση 6.5 Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες προς τρίτη, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Άσκηση 6.6 Αν μία ευθεία βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με δύο παράλληλες ευθείες και τέμνει μία από αυτές τότε τέμνει και την άλλη. Πώς θα ήταν μία γεωμετρία χωρίς το 5 o αίτημα; Μπορούμε να πάρουμε μία ιδέα από ένα μοντέλο του υπερβολικού επιπέδου, όπου ι- σχύουν όλα τα υπόλοιπα αξιώματα, αλλά υπάρχουν περισσότερες παράλληλες από ένα σημείο προς μία ευθεία. Αν ορίσουμε τις έννοιες επίπεδο, σημεία και ευθεία με τον ακόλουθο τρόπο, τότε ισχύουν όλα τα αξιώματα του Hilbert εκτός από το αξίωμα των παραλλήλων. Επίπεδο είναι ένα από τα ημιεπίπεδα που ορίζει μία ευθεία δ, χωρίς την ίδια την ευθεία. Σημεία είναι τα σημεία του ημιεπιπέδου, χωρίς τα σημεία της ευθείας στο σύνορο του ημιεπιπέδου. Ευθείες είναι τα ημικύκλια με κέντρο στο σύνορο δ και οι ημιευθείες που είναι κάθετες στην δ. Είναι εύκολο να ελέγξουμε οτι ισχύουν τα αξιώματα. Για παράδειγμα, Από δύο σημεία περνάει ακριβώς μία ευθεία.

5 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 23 Σχήμα 6.4: Το υπερβολικό επίπεδο. Σχήμα 6.5: Δύο σημεία προσδιορίζουν μία ευθεία. Μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Από ένα σημείο υπάρχει μοναδική κάθετος προς μία ευθεία Σχήμα 6.6: Μοναδική κάθετος από σημείο σε ευθεία. Ορίζουμε ως παράλληλες τις ευθείες που δεν έχουν κοινό σημείο. Εάν οι εντός

6 24 Γεωμετρία εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, οι ευθείες είναι παράλληλες, αλλά όχι μόνον τότε! Σχήμα 6.7: Πολλές παράλληλες από ένα σημείο. Η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι εσωτερικές. Αλλά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από δύο ορθές. Στο υπέρβολικό επίπεδο δεν υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα τρίγωνα. Συγκεκριμένα, στο εσωτερικό μίας γωνίας Α υπάρχουν σημεία από τα οποία δεν περνάει καμία ευθεία που να τέμνει και τις δύο πλευρές της γωνίας. Σχήμα 6.8: Δεν υπάρχει τρίγωνο με γωνία Α, τέτοιο ώστε η πλευρά α να περνάει από το σημείο Δ. Συνέπειες του αξιώματος των παραλλήλων. Στη συνέχεια θα δούμε κάποιες προτάσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας που βασίζονται στο αξίωμα των παραλλήλων.

7 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 25 Πρόταση 6.3 Αν οι πλευρές μίας γωνίας είναι μία προς μία παράλληλες προς τις πλευρές μίας άλλης γωνίας, τότε οι γωνίες είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Πρόταση 6.4 Αν οι πλευρές μίας γωνίας είναι μία προς μία κάθετες προς τις πλευρές μίας άλλης γωνίας, τότε οι γωνίες είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Για την απόδειξη των παραπάνω προτάσεων χρειάζεται να εξετάσουμε διαφορετικές σχετικές θέσεις των δύο γωνιών. Σε όλες τις περιπτώσεις η απόδειξη είναι απλή εφαρμογή του Θεωρήματος 6.2 (ή της Άσκησης 6.4). Σχήμα 6.9: Γωνίες με παράλληλες πλευρές είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Θεώρημα 6.5 Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση λαμβάνουμε σημείο Χ. Από το Γ φέρουμε ΓΨ παράλληλη προς την ΒΑ. Η γωνία Α είναι ίση με την ΑΓΨ ως εντός εναλλάξ. Η γωνία Β είναι ίση με την ΨΓΧ ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Άρα Γ + Α + Β = ΒΓΑ + ΑΓΨ + ΨΓΧ = ΒΓΧ = 2ορθές. Θεώρημα 6.6 Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι 2ν 4 ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε κυρτό ν-γωνο με κορυφές Α 1 Α 2... Α ν. Από την κορυφή Α 1 φέρουμε διαγωνίους Α 1 Α 3, Α 1 Α 4,..., Α 1 Αν 1. Σχηματίζονται ν 2 τρίγωνα, και

8 26 Γεωμετρία Σχήμα 6.10: Γωνίες με κάθετες πλευρές είναι ίσες ή παραπληρωματικές. Σχήμα 6.11: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. το άθροισμα των γωνιών του ν-γώνου είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών των ν 2 τριγώνων, το οποίο είναι 2(ν 2) ορθές. Θεώρημα 6.7 Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. Απόδειξη. Θεωρούμε κυρτό ν-γωνο με κορυφές Α 1 Α 2... Α ν. Η κάθε εξωτερική γωνία α 1, α 2,..., α ν είναι παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής γωνίας,

9 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 27 Σχήμα 6.12: Το άθροισμα των γωνιών ενός ν-γώνου. άρα Α i + α i = 2 ορθές. Συνεπώς ( Α 1 + α 1 ) + + ( Α ν + α ν ) = 2ν ορθές ( Α Α ν ) + ( α α ν ) = 2ν ορθές (2ν 4) ορθές + ( α α ν ) = 2ν ορθές Άρα ( α α ν ) = 4 ορθές. Τετράπλευρα Τα κυρτά τετράπλευρα, ως προς την παραλληλία των πλευρών τους, ταξινομούνται σε αυτά που έχουν τις απέναντι πλευρές παράλληλες παραλληλόγραμμα έχουν μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες τραπέζια δεν έχουν παράλληλες πλευρές. Θα εξετάσουμε ιδιότητες των παραλληλογράμμων. Πρώτα εξετάζουμε αναγκαίες συνθήκες ενός παραλληλογράμμου, δηλαδή τις ιδιότητες που έχει κάθε παραλληλόγραμμο. Απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι αυτές που βρίσκονται σε άκρα μίας διαγωνίου του τετραπλεύρου.

10 28 Γεωμετρία Σχήμα 6.13: Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι γωνίες ίσες. Πρόταση 6.8 Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι γωνίες ίσες. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ. Θα δείξουμε οτι Α = Γ και Β = Δ. Οι γωνίες Β και Δ είναι παραπληρωματικές της Α ως εντός και επί τα αυτά. Άρα Β = Δ. Οι γωνίες Α και Γ είναι παραπληρωματικές της Β ως εντός και επί τα αυτά. Άρα Α = Γ. Πρόταση 6.9 Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές ίσες. Σχήμα 6.14: Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές ίσες. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, και διαγώνιο ΒΔ. Θα δείξουμε οτι ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΓΒ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και GaΔΒ έχουν την ΒΔ κοινή και ΑΒΔ = ΓΔΒ, ΑΔΒ = ΓΒΔ ως εντός εναλλάξ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ = ΓΔΒ, και ΑΒ = ΓΔ, ΑΔ = ΓΒ. Πρόταση 6.10 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες διχοτομούνται. Απόδειξη. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και διαγωνίους ΑΓ, ΒΔ. Θα δείξουμε οτι οι διαγώνιοι έχουν κοινό σημείο, και οτι αυτό είναι το μέσο τους. Οι γωνίες

11 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 29 Σχήμα 6.15: Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες διχοτομούνται. ΒΑΓ και ΑΒΓ είναι μικρότερες από τις Α και Β, οι οποίες είναι παραπληρωματικές. Από το 5 o αίτημα, συμπεραίνουμε οτι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται σε σημείο Μ. Θα δείξουμε οτι Μ είναι το μέσο της ΑΓ και της ΒΔ, δηλαδή οτι ΑΜ = ΓΜ και ΒΜ = ΔΜ. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΓΔΜ έχουν ΑΒ = ΓΔ, ΒΑΓ = ΔΓΑ και ΑΒΔ = ΓΔΒ. Άρα είναι ίσα, και ΑΜ = ΓΜ, ΒΜ = ΔΜ. Αυτές οι ιδιότητες ισχύουν σε κάθε παραλληλόγραμμο: αποτελούν αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένα σχήμα παραλληλόγραμμο. Θα δείξουμε οτι κάθε μία από αυτές είναι και ικανή συνθήκη για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο: ένα τετράπλευρο που έχει μία από αυτές τις ιδιότητες είναι παραλληλόγραμμο. Πρόταση 6.11 Εάν ένα τετράπλευρο έχει τις απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι Α = Γ, Β = Δ. Το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου είναι Α + Β + Γ + Δ = 4 ορθές. Άρα 2 Α + 2 Β = 4 ορθές. Συνεπώς οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ είναι παράλληλες, αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες Α και Β είναι παραπληρωματικές. Επίσης Δ = Β, άρα οι Α και Δ είναι παραπληρωματικές, και συνεπώς οι ευθείες ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλες. Πρόταση 6.12 Εάν ένα τετράπλευρο έχει τις απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι ΑΒ = ΔΓ και ΑΔ = ΒΓ. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΔΒ έχουν τις τρεις πλευρές

12 30 Γεωμετρία ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα. Συνεπώς οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες: ΑΒΔ = ΓΔΒ και ΑΔΒ = ΓΒΔ. Άρα οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Πρόταση 6.13 Εάν ένα τετράπλευρο έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, τότε είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και υποθέτουμε οτι ΑΒ = ΔΓ και ΑΒ ΔΓ. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΔΒ έχουν τις γωνίες ΑΒΔ και ΓΔΒίσες μία προς μία, ως εντός εναλλάξ των παράλληλων πλευρών. Η πλευρά ΒΔ είναι κοινή, και ΑΒ = DeΓ από υπόθεση. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, και ΑΔ = ΒΓ. Από την Πρόταση 6.12, ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Πρόταση 6.14 Εάν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιες διχοτομούνται, τότε αυτό είναι παραλληλόγραμμο. Απόδειξη. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, Μ τό σημείο τομής των ΑΓ και ΔΒ. Υποθέτουμε οτι ΑΜ = ΓΜ και ΒΜ = ΔΜ. Στα τρίγωνα ΜΔΑ και ΜΒΓ έχουμε ΑΜΔ = ΓΜΒ ως κατακορυφή, και τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ίσες. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, και συνεπώς ΜΔΑ = ΜΒΓ, ΔΑ = ΒΓ. Άρα οι πλευρές ΑΔ και ΒΓ είναι ίσες και παράλληλες. Από την Πρόταση 6.13, ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Είδη παραλληλογράμμων Ενα παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία έχει όλες τις γωνίες ορθές, και ονομάζεται ορθογώνιο. Ενα παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες έχει όλες τις πλευρές ίσες, και ονομάζεται ρόμβος. Ενα ορθογώνιο που είναι και ρόμβος ονομάζεται τετράγωνο. Θεώρημα 6.15 Ενα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο εάν και μόνον εάν έχει τις διαγώνιες ίσες. Απόδειξη. Εστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Θα δείξουμε οτι οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΔΓ είναι ίσα, αφού έχουν τη ΔΓ κοινή και ΑΔ = ΒΓ. Άρα και οι υποτείνουσες είναι ίσες, ΑΓ = ΒΔ.

13 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 31 Αντίστροφα, έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΓ = ΒΔ. Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΔΓ είναι ίσα, αφού έχουν όλες τις πλευρές ίσες. Άρα ΑΔΓ = ΒΓΔ. Αλλά αφού ΑΔ ΒΓ, οι γωνίες είναι παραπληρωματικές. Άρα κάθε μία είναι ίση με μία ορθή. Θεώρημα 6.16 Οι διαγώνιες του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις αντίστοιχες γωνίες. Σχήμα 6.16: Οι διαγώνιες του ρόμβου. Απόδειξη. Εστω ένας ρόμβος ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Τότε Ο είναι το μέσον της ΒΔ και ΑΟ είναι διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΔ, άρα είναι και ύψος του, και συνεπώς τέμνει την ΒΔ κάθετα. Η ΑΟ είναι επίσης διχοτόμος της γωνίας Α του ισοσκελούς τριγώνου, άρα διχοτόμος και της γωνίας του ρόμβου. Πρόταση 6.17 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Απόδειξη. Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, και τη διάμεσο στην υποτείνουσα ΑΜ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ προς το Μ και λαμβάνουμε ΜΕ = ΑΜ. Τότε η διαγώνιες ΑΕ και ΒΓ του τετραπλεύρου ΑΒΓΕ διχοτομούνται, άρα αυτό είναι παραλληλόγραμμο. Αφού η Α είναι ορθή, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, άρα οι διαγώνιες είναι ίσες και ΒΓ = ΑΕ = 2ΑΜ. Πρόταση 6.18 Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

14 32 Γεωμετρία Σχήμα 6.17: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου. Σχήμα 6.18: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών τριγώνου. Απόδειξη. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, Μ είναι το μέσο της ΑΒ και Ν το μέσο της ΑΓ. Προεκτείνουμε τη ΜΝ προς το Ν και λαμβάνουμε ΝΚ = ΜΝ. Αν δείξουμε οτι ΜΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, τότε ΜΝ ΒΓ και ΜΚ = ΒΓ, άρα ΜΝ = 1 2 ΜΚ = 1 2 ΒΓ. Για να δείξουμε οτι ΜΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, θα προσπαθήσουμε να δείξουμε οτι ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο με το ΜΒ. Παρατηρούμε οτι ΑΚΓΜ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιες διχοτομούνται. Άρα ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο με το ΑΜ. Αλλά ΑΜ = ΜΒ και συνεπώς ΚΓ είναι ίσο και παράλληλο προς το ΜΒ. Η ακόλουθη Πρόταση είναι το αντίστροφο της Πρότασης Πρόταση 6.19 Εάν μία ευθεία τέμνει δύο πλευρές ενός τριγώνου στα Μ και Ν, και το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της, τότε Μ και Ν είναι τα μέσα των δύο πλευρών. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ στην ΑΒ και Ν στην ΑΓ τέτοια ώστε ΜΝ είναι παράλληλο προς την ΒΓ και ίσο με το μισό της. Φέρουμε τη ΝΔ παράλληλη προς την ΑΒ. Τότε ΜΝΔΒ είναι παραλληλόγραμμο, και ΜΝ = ΒΔ. Αλλά ΜΝ = 1 ΒΓ, άρα Δ είναι το μέσο της ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΝΔΓ έχουν από μία 2

15 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 33 πλευρά ίσες, ΜΝ = ΔΓ και τις προσκείμενες γωνίες επίσης ίσες, ΜΝΑ = ΔΓΝ και AlΜΝ = ΝΔΓ. Άρα είναι ίσα και ΑΝ = ΝΓ, ΑΜ = ΝΔ = ΜΓ. Σχήμα 6.19: Ευθεία παράλληλη στη βάση τριγώνου, που τέμνει δύο πλευρές του. Ενα άλλο σχετικό αποτέλεσμα είναι η ακόλουθη πρόταση. Θεώρημα 6.20 Εάν μία ευθεία ε διέρχεται από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του τριγώνου, τότε η ε διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του τριγώνου. Απόδειξη. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσον της ΑΒ, και Ν σημείο στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΜΝ ΒΓ. Θα δείξουμε οτι ΑΝ = ΝΓ. Από το Ν φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Δ. Τότε ΜΝΔΒ είναι παραλληλόγραμμο αφού έχει τις πλευρές του παράλληλες. Τότε ΑΜ = ΜΒ = ΝΔ. Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΝΔΓ έχουν από μία πλευρά ίσες, ΑΜ = ΝΔ, και τις προσκείμενες γωνίες επίσης ίσες ως εντός εκτός και επί τα αυτά, Α = ΔΝΓ και ΑΜΝ = Β = ΝΔΓ. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα και ΑΝ = ΝΓ. Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Θεώρημα 6.21 Σε ένα τρίγωνο 1. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου) 2. Οι διχοτόμοι των γωνιών διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου)

16 34 Γεωμετρία 3. Οι διάμεσοι του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο (το κέντρο βάρους του τριγώνου) 4. Τα ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ορθόκεντρο του τριγώνου). Απόδειξη. 1. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, με Κ το μέσο της ΒΓ, Μ το μέσο της ΑΓ και Ν το μέσο της ΑΒ. Θεωρούμε τις μεσοκάθετες των ΑΒ και ΑΓ. Αν αυτές ήταν παράλληλες, τότε οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ θα ήταν κάθετες σε παράλληλες ευθείες, και συνεπώς θα ήταν παράλληες μεταξύ τους, άτοπο αφού ΑΒΓ είναι τρίγωνο. Άρα ο ιδύο μεσοκάθετες τέμνονται, έστω στο σημείο Ο. Αλλά τότε ΟΑ = ΟΓ, αφού το Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΓ και ΟΑ = ΟΒ, αφού το Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο της ΑΒ. Συνεπώς ΟΒ = ΟΓ και το Ο βρίσκεται επίσης στη μεσοκάθετο της ΒΓ. Σχήμα 6.20: Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. 2. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τις διχοτόμους των γωνιών Α και Β. Αυτές σχηματίζουν με την ΑΒ γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, και συνεπώς τέμνονται, έστω στο σημείο Κ. Εστω ΚΔ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΒΓ, ΚΕ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΑΓ και ΚΖ η απόσταση του Κ από την πλευρά ΑΒ. Τότε ΚΖ = ΚΔ αφού το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας ΖΒΔ και ΚΖ = ΚΕ αφού το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας ΖΑΕ. Άρα ΚΕ = ΚΔ και συνεπώς το Κ βρίσκεται στη διχοτόμο της ΕΓΔ. 3. Θα συμπληρωθεί 4. Θα συμπληρωθεί

17 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 35 Σχήμα 6.21: Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Θεώρημα 6.22 (Ασθενές Θεώρημα του Θαλή) Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα πάνω σε μία ευθεία, τότα θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη τέμνουσα ευθεία. Σχήμα 6.22: Ισαπέχουσες παράλληλες ευθείες. Απόδειξη. Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2, ε 3,... και δύο ευθείες µ και ν, που τις τέμνουν σε σημεία Α 1, Α 2, Α 3,... και Β 1, Β 2, Β 3,... αντίστοιχα. Υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις Α 1 Α 2, Α 2 Α 3 είναι ίσες, και θα δείξουμε οτι οι αποστάσεις Β 1 Β 2, Β 2 Β 3 είναι ίσες. Από τα Β 1 και Β 2 φέρουμε παράλληλες προς την µ, οι οποίες τέμνουν την ε 2

18 36 Γεωμετρία στο Γ 2 και την ε 3 στο Γ 3 αντίστοιχα. Τα τετράπλευρα Α 1 Β 1 Γ 2 Α 2 και Α 2 Β 2 Γ 3 Α 3 είναι παραλληλόγραμμα. Άρα Α 1 Α 2 = Β 1 Γ 2 και Α 2 Α 3 = Β 2 Γ 3. Συνεπώς Β 1 Γ 2 = Β 2 Γ 3. Επίσης Γ 2 Β 1 Β 2 = Γ 3 Β 2 Β 3 και Β 1 Γ 2 Β 2 = Β 2 Γ 3 Β 3, αφού έχουν παράλληλες πλευρές. Άρα τα τρίγωνα Β 1 Γ 2 Β 2 και Β 2 Γ 3 Β 3 είναι ίσα. Συμπεραίνουμε οτι Β 1 Β 2 = Β 2 Β 3. Πρόταση 6.23 Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις, και ίση προς το ημιάθροισμά τους. Σχήμα 6.23: Διάμεσος τραπεζίου. Απόδειξη. Εστω τραπέζιο ΑΒΓΔ, με ΑΔ ΒΓ, Κ το μέσο της ΑΒ και Λ το μέσο της ΔΓ. Εστω Μ το μέσο της διαγωνίου ΑΓ. Από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΚΜ ΒΓ και ΚΜ = 1 2 ΒΓ. Από το τρίγωνο ΓΔΑ έχουμε ΜΛ ΑΔ και ΜΛ = 1 2 ΑΔ. Αλλά ΑΔ ΒΓ, και συνεπώς ΜΛ ΒΓ. Καταλήγουμε οτι ΜΚ και ΜΛ είναι και οι δύο παράλληλες στην ΒΓ. Από το αξίωμα των παραλλήλων, τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ βρίσκονται στην ίδια ευθεία, και ΚΛ = ΚΜ + ΜΛ = 1 (ΒΓ + ΑΔ). 2 Άσκηση 6.7 Στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Δ, Ε τέτοια ώστε ΑΔ = ΑΕ. Να δείξετε οτι ΔΕ ΒΓ. Άσκηση 6.8 Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη ευθεία δείξτε οτι 1. οι διχοτόμοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες 2. οιδιχοτομοι δύο εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών είναι παράλληλες 3. οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι κάθετες.

19 Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες, Τετράπλευρα 37 Άσκηση 6.9 Αν από την κορυφή Α ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη προς την βάση ΒΓ, αυτή διχοτομεί την εξωτερική γωνία Α του τριγώνου. Άσκηση 6.10 Αν ένα κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές, να αποδείξετε οτι οι διχοτόμοι των άλλων δύο γωνιών του είναι κάθετες Άσκηση 6.11 Να δείξετε οτι οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών κυρτού τετραπλεύρου τέμνονται, και η γωνία που σχηματίζουν είναι ίση με το ημιάθροισμα των αντίστοιχων εσωτερικών Άσκηση 6.12 ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο, και στην πλευρά ΑΒ υπάρχει σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΔΓ = ΓΒ. Μπορείτε να βρείτε τις γωνίες Α, Β και Γ; Άσκηση 6.13 Στις πλευρές ΑΒ και ΓΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΕ = ΓΖ. Δείξτε οτι η ΕΖ περνάει από το κέντρο του παραλληλογράμμου. Άσκηση 6.14 Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ κατά ευθύγραμμα τμήματα ΔΖ = ΒΔ και ΕΗ = ΓΕ. Δείξτε οτι η ΗΖ περνάει από το Α και διχοτομείται από αυτό. Άσκηση 6.15 Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο Μ με ΒΜ = ΒΓ. Στην προέκταση της ΔΑ παίρνουμε σημείο Ν με ΔΝ = ΔΓ. Να δείξετε οτι ΓΜ και ΓΝ είναι κάθετες. Άσκηση 6.16 Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, γωνία ω και τυχαίο σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ. Βρείτε σημεία Ε και Ζ στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα έτσι ώστε ΔΕΓ = ω = ΔΖΒ. Δείξτε οτι το άθροισμα ΔΕ + ΔΖ δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου De πάνω στην πλευρά BeΓ. Άσκηση 6.17 Εξω από το τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ, ΔΑΘ. Δείξτε οτι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι επίσης τετράγωνο. Άσκηση 6.18 Μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε ισίπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Δείξτε οτι το τρίγωνο ΕΓΔ είναι ισοσκελές, και υπολογίστε τις γωνίες του. Άσκηση 6.19 Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στην προέκταση της βάσης ΒΓ. Δείξτε οτι η διαφορά των αποστάσεων του Δ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ δεν εξαρτάται από τη θέση του Δ.

20 38 Γεωμετρία Άσκηση 6.20 Δείξτε οτι το άθροισμα των αποστάσεων εσωτερικού σημείου ισόπλευρου τριγώνου από τις πλευρές του είναι σταθερό. Άσκηση 6.21 Δίδεται τυχαίο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και Ε, Ζ, Η, T h τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Άσκηση 6.22 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ. Να δείξετε οτι τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Άσκηση 6.23 Δείξτε οτι σε ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία μεταξύ του ύψους και της διαμέσου από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με τη διαφορά των οξειών γωνιών του τριγώνου. Δείξτε επίσης οτι η διχοτόμος της ορθής γωνίας διχοτομεί τη γωνία μεταξύ του ύψους και της διαμέσου. Άσκηση 6.24 Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να δείξετε οτι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΖ και ΓΕ χωρίζουν τη διαγώνιο ΒΔ σε τρία τμήματα. Άσκηση 6.25 Να κατασκευάσετε τρίγωνο του οποίου τα μέσα των πλευρών να είναι τρία δοθέντα μη συγγραμμικά σημεία. Άσκηση 6.26 Δείξτε οτι το άθροισμα των βάσεων ενός τραπεζίου είναι μικρότερο από το άθροισμα των διαγωνίων του. Άσκηση 6.27 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε το συμμετρικό Ε της κορυφής Α ως προς τη διαγώνιο ΒΔ. Δείξτε οτι ΒΓΔΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. 1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 5//07 Ώρα εξέτασης: 09:0 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες Να γράφετε με μπλέ ή μαύρο μελάνι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 463. 6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405 Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ.3277 1 Ορισμοί 1. Σημείο είναι

Διαβάστε περισσότερα

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία:

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες.

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΗ. 1 Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ = 17cm, ΑΓ = 25cm και ΑΔ = 15cm. ΑΣΚΗΣΗ. 2 Στο ορθογώνιο τραπέζιο είναι ΑΒ= 9cm,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα