Κεφάλαιο 1 1. Αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις

Transcript

1 Online concept tutorials!!! Κεφάλαιο 1 1. Αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις,, Εύρεση χρονικών διαστημάτων με περιστρεφόμενο διάνυσμα: ΘΙ,,,, Αρχική φάση, : Ακραίες αατ ΘΙ: ( ) ( ) Νόμος Hooke Μέτρο δύναμης ελατηρίου: : παραμόρφωση (ΦΜ) Δυναμική ενέργεια ελατηρίου : παραμόρφωση (ΦΜ) Θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας (WKET): Έργο δύναμης ελατηρίου : παραμορφώσεις (ΦΜ) Ρυθμοί μεταβολής Γραφικές παραστάσεις αν

2 CAUTION!!! 1 Η περίοδος είναι ανεξάρτητη από το πλάτος της ταλάντωσης. Για ένα μοναδικό ελατήριο με σημειακή μάζα:. 3 Για δύο ελατήρια με σημειακή μάζα ανάμεσά τους:. 4 Η προσφερόμενη ενέργεια για την έναρξη ταλάντωσης ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης. 5 Όταν εκτρέπουμε ένα σώμα από τη ΘΙ και το αφήνουμε ( ταλάντωσης. ), τότε αυτή είναι ακραία θέση της 6 Στον υπολογισμό της αρχικής φάσης: αν τότε ή αν τότε ή PROBLEM SOLVING 1 Όταν εμπλέκονται τα και, την ίδια χρονική στιγμή, τότε χρησιμοποιούμε:. Όταν εμπλέκονται τα και, την ίδια χρονική στιγμή, τότε χρησιμοποιούμε:. 3 Όταν δίνεται μια σχέση ενεργειών (π.χ ) τότε χρησιμοποιούμε ΔΕΤ:. 4 Πώς αποδεικνύεται ότι ένας ταλαντωτής εκτελεί αατ. 3 σχήματα ΦΜ (φυσικό μήκος), ΘΙ (θέση ισορροπίας), ΤΘ (τυχαία θέση) Καθορίζουμε μια θετική κατεύθυνση Στη ΘΙ γράφουμε: (1) Στην ΤΘ βρίσκουμε την και τη γράφουμε στη μορφή κάνοντας χρήση της (1)

3 Online concept tutorials!!! Κεφάλαιο 1. Αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Εύρεση χρονικών διαστηµάτων µε περιστρεφόµενο διάνυσµα: 1,,,, 0 1 Μηχανικές (k-m) Αρχική φάση, 0: Ηλεκτρικές (LC) 1 ( ) 1 ( ) Ρυθµοί µεταβολής 1 1. Εξ ορισµού είναι: 4. Ισχύει: Οι αποδείξεις των ρυθµών µεταβολής. Από το ο κανόνα Kirchhoff στο 3. Έχουµε:. κύκλωµα LC έχουµε: Εποµένως: 1 5. Έχουµε:. Εποµένως: Γραφικές παραστάσεις αν

4 CAUTION!!! 1 Η περίοδος είναι ανεξάρτητη από το πλάτος της ταλάντωσης ή. Σε ένα ιδανικό κύκλωµα κάθε χρονική στιγµή ισχύει ( ος κανόνας του Kirchhoff): 3 Η προσφερόµενη ενέργεια για την έναρξη ταλάντωσης ισούται µε την ενέργεια ταλάντωσης. 4 Στον υπολογισµό της αρχικής φάσης: αν 0 τότε ή αν 0 τότε ή 5 Όταν ο πυκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος ( ) τότε και ισχύουν: PROBLEM SOLVING 1 Όταν εµπλέκονται τα και, την ίδια χρονική στιγµή, τότε χρησιµοποιούµε: ή (που απορρέουν από τη ΕΤ). Όταν δίνεται µια σχέση ενεργειών (π.χ 3 ) τότε χρησιµοποιούµε ΕΤ:. 3 Όταν ζητείται η πολικότητα της ΗΕ εξ αυτεπαγωγής χρησιµοποιούµε τον κανόνα του Lenz: Όταν το αυξάνεται τότε η τείνει να δηµιουργήσει (virtual) ρεύµα αντίρροπο της πηγής. Όταν το µειώνεται τότε η τείνει να δηµιουργήσει (virtual) ρεύµα οµόρροπο της πηγής.

5 Κεφάλαιο 1 3. Φθίνουσες ταλαντώσεις Α. Μηχανικές ταλαντώσεις ύναµη απόσβεσης Εξίσωση κίνησης Χρόνος ηµιζωής / Λύση εξίσωσης κίνησης Λόγος απόσβεσης Πλάτος Κυκλική συχνότητα Πλάτος µετά από χρόνους ηµιζωής, 1,, Ενέργεια, 1,, Β. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις ύναµη απόσβεσης ος κανόνας Kirchhoff Χρόνος ηµιζωής / Λύση εξίσωσης 0 Λόγος απόσβεσης Πλάτος (µέγιστο φορτίο), 1,, Κυκλική συχνότητα Πλάτος µετά από χρόνους ηµιζωής Ενέργεια, 1,,

6 Κεφάλαιο 1 4. Eξαναγκασµένες ταλαντώσεις Α. Μηχανικές ταλαντώσεις ιεγείρουσα δύναµη Εξίσωση κίνησης Συχνότητα ταλάντωσης Συντονισµός ό Β. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις ιεγείρουσα τάση ος κανόνας Kirchhoff 0 0 Συχνότητα ταλάντωσης Συντονισµός ό 1

7 Κεφάλαιο 1 5. Σύνθεση ταλαντώσεων Α. Ίσες συχνότητες () = ( + () = () = ( + ) =0 = + =0 = + + = + = = =0 ή = = + = Γενική περίπτωση () = ( + ) () = ( + ) Χρησιµοποιούµε phasors Β. Πολύ κοντινές συχνότητες (beats) () = () = () = + = = = = = = Αριθµός ταλαντώσεων σε χρόνο = = + = Ακουστά beats από το ανθρώπινο αφτί < 10

8 1. Οδεύοντα κύµατα Εξίσωση κύµατος (, ) = : θετική κατεύθυνση διάδοσης +: αρνητική κατεύθυνση διάδοσης Κ ε φ ά λ α ι ο Φάση (, ) = Για θετική κατεύθυνση διάδοσης: = = 1 ιαφορά φάσης Για =: = Για =: = Συµφωνία φάσης = και = όπου = 0, 1, Ταχύτητα ταλάντωσης (, ) = = = ( ) Στιγµιότυπο =() για = =0 σηµείο που µόλις αρχίζει να ταλαντώνεται (έναρξη ταλάντωσης) <0 σηµεία που δεν έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται Αντίθεση φάσης = ( + 1) και =(+) όπου = 0, 1, Επιτάχυνση ταλάντωσης (, ) = = = = = Ταχύτητα διαδόσεως = = Χρόνος διαδόσεως Υπολογίζεται από την =0. Aν η αρχική φάση είναι µηδέν τότε: = Γραφική παράσταση =() για = 1. Θέτουµε την τιµή του στην εξίσωση =(,).. Βρίσκουµε τη θέση του µετώπου: =. 3. Υπολογίζουµε τον αριθµό των µηκών κύµατος µέχρι το : =. 4. Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση =(). 1. Θέτουµε την τιµή του στην εξίσωση =(,).. Υπολογίζουµε το χρόνο διάδοσης του κύµατος: =. 3. Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση =() στο [, + ].. Συµβολή κυµάτων = = = + Αρχή της επαλληλίας = + + Φάση Πλάτος = + = Συνθήκη συµβολής Κροσσοί συµβολής >(, ) όπου και οι = χρόνοι διαδόσεως = Ενισχυτική συµβολή ( =) Ταχύτητα ταλάντωσης (, ) = = + όπου =0,1, = Αποσβεστική συµβολή ( =0) =(+1) όπου =0,1, Επιτάχυνση ταλάντωσης (, ) = + =

9 Κ ε φ ά λ α ι ο 3. Στάσιµα κύµατα (µε κοιλία στο =) = = + ιαφορά φάσης = 0 Εκατέρωθεν, 4, 6, δεσµών ή µεταξύ διαδοχικών δεσµών = Εκατέρωθεν 1, 3, 5, δεσµών Ταχύτητα ταλάντωσης (, ) = = = ( ) (, ) = = = 1 = = Επιτάχυνση ταλάντωσης (, ) = = = Πλάτος = = εσµοί ( =0) =(+) όπου = 0, 1, Κοιλίες ( =) = όπου = 0, 1, = = =/4 4. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα Μακριά από την πηγή (, ) = (, ) = ιαφορά φάσης = 0 µακριά από την πηγή = / κοντά στην πηγή = = Ταχύτητα του φωτός στο κενό = =3 10 / 5. Ανάκλαση ιάθλαση Ταχύτητα του φωτός = = Νόµος Snell = είκτης διάθλασης = >1 κενό ή αέρας: =1 Κρίσιµη γωνία = > το είναι οπτικά πυκνότερο από το η διαθλώµενη αποµακρύνεται από την κάθετο < το είναι οπτικά αραιότερο από το η διαθλώµενη πλησιάζει στην κάθετο Oλική εσωτερική ανάκλαση Μήκος κύµατος = 1. οπτικά πυκνότερο οπτικά αραιότερο Αν = αέρας: =. >

10 1. Κινήσεις στερεού Μεταφορική Κ ε φ ά λ α ι ο 4 Στροφική dx υ = υ = ωr dt ω = dθ dt dυ a = aε = αγ r dt ΕΟΚ υ = ct x = υt ΕΟΕΚ a = ct υ = υ 0 ± at 1 x = υ0t± a t υ = υ 0 ± ax Συνθήκες κύλισης = = =. Στατική = = Αριθµός περιστροφών = Ροπή ως προς σηµείο περιστροφής = : απόσταση του σηµείου περιστροφής από την Ισορροπία =0 και = 0 ως προς οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου των δυνάµεων 3α. Ροπή αδράνειας Ροπή αδράνειας στερεού = Ροπή αδράνειας οµογενών σωµάτων = Κεντροµόλος επιτάχυνση = = α = γ dω dt ΣΟΚ ω = ct θ = ωt ΣΟΕΚ α = ct γ ω = ω0 ± α γ t 1 θ = ω0t± α γ t ω = ω ± α θ 0 γ = = Ροπή ζεύγους = : απόσταση των δυνάµεων του ζεύγους Ανεξάρτητη του σηµείου περιστροφής Ανατροπή = 0 ως προς τον άξονα περιστροφής Ροπή αδράνειας συστήµατος υλικών σηµείων = Ισοπαχής ράβδος = 1 1 Ισοπαχής δακτύλιος = Επιτρόχιος επιτάχυνση = = Θεώρηµα Όταν ένα στερεό ισορροπεί υπό την επίδραση 3 οµοεπίπεδων και µη παράλληλων δυνάµεων, τότε αυτές διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ισοπαχής κύλινδρος = 1 Θεώρηµα Steiner = + Σφαίρα = 5

11 3β. Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Θεµελιώδης νόµος στροφικής κίνησης (ΘΝΣΚ) Στ = I α axis axis ως προς τον άξονα περιστροφής Σύνθετη κίνηση Στ cm = Icmαγ ο άξονας περιστροφής πρέπει να διέρχεται από το cm και να µην αλλάζει κατεύθυνση 4. Στροφορµή Στροφορµή υλικού σηµείου = = Στροφορµή συστήµατος σωµάτων = Aν όλα τα µέλη έχουν ίδια, τότε: = Αρχή διατήρησης στροφορµής (Α Σ) Σ ένα σύστηµα σωµάτων, αν Στ ext = 0 τότε L= ct Κρούση µεταξύ υλικού σηµείου και εκτεταµένου σώµατος Α Σ 5. Έργο Κινητική ενέργεια γ Μεθοδολογία Μεταφορική κίνηση Σ Fcm = macm Στροφική κίνηση Στ = I α ( a = α R) axis axis Σύνθετη κίνηση Σ F = ma Στ Στροφορµή στερεού σώµατος = Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση 1 1 K = Mυ K = Iω Έργο κατά τη στροφική κίνηση = Αν η ροπή είναι σταθερή: = Ρυθµοί µεταβολής = = = Αρχή διατήρησης µηχανικής ενέργειας (Α ΜΕ) + = + Κύλιση άνευ ολισθήσεως W f s ( ολ ) = 0 Α ΜΕ W = W f s( στροϕ.) f s( µεταϕ.) Σε άνοδο ή κάθοδο επί κεκλιµένου επιπέδου, η στατική τριβή είναι: cm cm cm = Icmαγ ( a cm γ ε γ = α γ R) Spin (e, p, n ) = 1 ħ = 0,53 10 Γενικευµένη µορφή ΘΝΣΚ Για ένα σώµα: = µε και ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής Για σύστηµα σωµάτων: = Ανακατανοµή µάζας σε στερεό µε Στ ext = 0 I1ω 1 = Iω αν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το cm και δεν αλλάζει κατεύθυνση ή είναι ακλόνητος Μέση ισχύς Χαµηλότερη θέση των cm Σύνθετη κίνηση 1 1 K = Mυcm + Icmω Βαρυτική δυναµική ενέργεια = Μηχανική ενέργεια =+ Στιγµιαία ισχύς ροπής = = = Θεώρηµα έργου-ενέργειας (WET) στη στροφική κίνηση 1 1 Iω Iω1 = ΣW Ανακύκλωση Για ράβδο Στην ανώτερη θέση πρέπει: 0 ή 0 Για κυλιόµενη σφαίρα Στο ανώτερο σηµείο πρέπει: 0

12 Αρχή διατήρησης της ορµής (Α Ο) Ελαστική () = () Κάθετη ελαστική κρούση µε τοίχο = = () = () Έργο σταθερής δύναµης Κ ε φ ά λ α ι ο 5 Κρούσεις Ανελαστική () = () + Πλάγια ελαστική κρούση µε τοίχο = () = () = = ή = Έργο τριβής ολισθήσεως = ( =, όπου για το : =0) Έργο βάρους =±h h: κατακόρυφη απόσταση των Α, Β +: κάθοδος : άνοδος Μεταβολή ενέργειας: = () () Aπώλειας ενέργειας: = () () Κλάσµα µεταβολής ενέργειας: = () (ποσοστό επί τοις 100: % = 100%) Κλάσµα απώλειας ενέργειας: = () (ποσοστό επί τοις 100: % = 100%) Ποσοστό µεταβιβαζόµενης ενέργειας από σώµα Α σε σώµα Β: ος νόµος Newton = % = 100% Μέση δύναµη = Ελαστική µετωπική κρούση Οι σχετικές ταχύτητες πριν και µετά την κρούση είναι αντίθετες = ( ) Ταχύτητες αµέσως µετά την κρούση = = Αν =, τότε ανταλλάσσουν ταχύτητες = = Αν =0 (ακίνητος στόχος) τότε = + = + Aν, τότε: 0 Aν, τότε: Πλαστική µετωπική κρούση Α Ο: () = () + = ( + ) Πλάγια ελαστική κρούση Α Ο: () = () Ορµή συστήµατος: () = + + = +

13 Κρούση και ταλάντωση Χωρίς αλλαγή στη θέση ισορροπίας Με αλλαγή στη θέση ισορροπίας 4 σχήµατα: 5 σχήµατα: ΦΜ, ΘΙ «πριν», =0 «µετά», ΑΘ Θετική κατεύθυνση WKET (, ) Τύποι ελαστικής κρούσης ή Α Ο (, ) ΘΙ: = 0 ( ) ΕΤ ( =0, ΑΘ) ή = () ΦΜ, Α.ΘΙ «πριν», =0 «µετά», Β.ΘΙ, ΑΘ Θετική κατεύθυνση WKET (, ) Α Ο () Α. ΘΙ: = 0 B. ΘΙ: = 0 = ΕΤ ( =0, ΑΘ) ή = ( ) () Φαινόµενο Doppler Όταν µειώνεται η απόσταση των και : αυξάνεται η συχνότητα του ανιχνευόµενου ήχου (οξύτερος ήχος). Όταν αυξάνεται η απόσταση των και : µειώνεται η συχνότητα του ανιχνευόµενου ήχου (βαρύτερος ήχος). Μήκος κύµατος ηχητικών κυµάτων από την = Μεταβολή στο µήκος κύµατος αντιλαµβάνεται ο µόνον όταν η κινείται =± Doppler effect and beats Ο τοίχος (ως ανιχνευτής) δέχεται ηχητικά κύµατα από την µε = και τα επανεκπέµπει (ως πηγή) µε την ίδια συχνότητα. Ο ακίνητος αποκλείεται να ακούει διακροτήµατα όταν είναι ανάµεσα στην και τον τοίχο. = ± + : πλησιάζει : αποµακρύνεται : πλησιάζει + : αποµακρύνεται Σχέση χρονικής διάρκειας εκποµπής και ανίχνευσης ήχου = Όταν και πλησιάζουν, η διάρκεια ανίχνευσης είναι µικρότερη <. Όταν και αποµακρύνονται, η διάρκεια ανίχνευσης είναι µεγαλύτερη >. To ανθρώπινο αφτί αντιλαµβάνεται διακροτήµατα όταν η = είναι <. = = 1 =