Αξιόπιστη Επικοινωνία υπό Συνθήκες Περιορισμένης Γνώσης

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογισμών (C ) ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Αξιόπιστη Επικοινωνία υπό Συνθήκες Περιορισμένης Γνώσης του Δημήτρη K. Σακαβάλα Επιβλέπων: Aριστείδης Παγουρτζής Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Ιούλιος 2016

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Αξιόπιστη Επικοινωνία υπό Συνθήκες Περιορισμένης Γνώσης ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ του Δημήτρη Κ. Σακαβάλα Συμβουλευτική Επιτροπή: Αριστείδης Παγουρτζής Ευστάθιος Ζάχος Δημήτριος Φωτάκης Εγκρίθηκε από την επταμελή εξεταστική επιτροπή:. Αριστείδης Παγουρτζής Αν. Καθηγητής ΕΜΠ. Ευστάθιος Ζάχος Καθηγητής ΕΜΠ. Δημήτριος Φωτάκης Επ. Καθηγητής ΕΜΠ. Άγγελος Κιαγιάς Αν. Καθηγητής ΕΚΠΑ. Βασίλης Ζήκας Επ. Καθηγητής RPI. Ευριπίδης Μάρκου Επ. Καθηγητής ΠΘ. Αντώνιος Συμβώνης Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Ιούλιος 2016.

4 . Δημήτρης Κ. Σακαβάλας Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 2016, Δημήτρης Κ. Σακαβάλας ( Dimitris K. Sakavalas). Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται στον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

5 Περίληψη Καθώς τα σύγχρονα δίκτυα επικοινωνιών αυξάνονται σε μέγεθος, γίνονται συνεχώς πιο ευάλωτα σε δυσλειτουργίες των συστατικών τους. Τα δίκτυα αυτά αποτελούνται από οντότητες (συμμετέχοντες ή παίκτες) που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους για την επίτευξη κάποιου κοινού στόχου. Τα κατανεμημένα συστήματα χρησιμοποιούνται ευρέως στις σημερινές δικτυακές υποδομές, καθώς είναι ιδανικά για την μοντελοποίηση τέτοιων περιπτώσεων συνεργατικών υπολογισμών. Επομένως, οι παρεχόμενες λύσεις πρέπει να είναι σε θέση να αντιμετωπίσουν εσφαλμένες και κακόβουλες συμπεριφορές εκ μέρους των συμμετεχόντων. Τα ζητήματα ασφάλειας και αξιοπιστίας που προκύπτουν, αποτελούν αντικείμενο μελέτης στους τομείς των Ασφαλών Υπολογισμών πολλών Συμμετεχόντων και των Κατανεμημένων Υπολογισμών. Η παρούσα εργασία, συμβάλλει στην μελέτη θεμελιωδών αρχών επικοινωνίας (Αξιόπιστη Εκπομπή και Αξιόπιστη Μετάδοση Μηνύματος) σε μη αξιόπιστα κατανεμημένα συστήματα, με τη διερεύνηση των επιπτώσεων της δομής του δικτύου και της τοπολογικής γνώσης των συμμετεχόντων στον βαθμό που μπορούν αν επιτευχθούν αυτές οι βασικές εργασίες. Θεωρούμε την χειρότερη περίπτωση αντιπάλου (Βυζαντινός αντίπαλος), ο οποίος διαφθείρει μέρος των συμμετεχόντων και τους αναγκάζει να αποκλίνουν αυθαίρετα από τους προκαθορισμένους κανόνες. Αρχικά, θεωρούμε ότι το μοντέλο t-τοπικά περιορισμένου αντιπάλου, το οποίο εισήχθη το 2004 από Koo, όπου ο αριθμός των διεφθαρμένων παικτών στην γειτονιά κάθε παίκτη περιορίζεται από ένα άνω φράγμα. Διερευνούμε την σχέση μεταξύ του επιπέδου της τοπολογικής γνώσης και της επιλυσιμότητας του προβλήματος αναπτύσσοντας μιας ευέλικτη τεχνική που μας επιτρέπει την εξαγωγή αναγκαίων συνθηκών που καθιστούν το πρόβλημα επιλύσιμο, για κάθε επίπεδο γνώσης της τοπολογίας. Ο έλεγχος της ισχύος αυτών των συνθηκών αποδεικνύεται ότι είναι NP-δύσκολο πρόβλημα, αλλά στην πορεία προτείνουμε ένα αποδοτικό 2- προσεγγιστικό αλγόριθμο για την περίπτωση των δικτύων άγνωστης τοπολογίας (ad hoc). Ως προς την επίλυση του προβλήματος, γενικεύουμε την αλγοριθμική ιδέα στην οποία στηρίζεται ο απλός αλλά ιδιαίτερα χρήσιμος Αλγόριθμος Πιστοποιημένης Διάδοσης (CPA), που προτάθηκε από τον Koo to 2004, και σχεδιάζουμε αλγορίθμους οι οποίοι επιλύουν το πρόβλημα όποτε ισχύουν οι αναγκαίες συνθήκες ( μοναδικοί αλγόριθμοι) σε κάθε περίπτωση τοπολογικής γνώσης. Έτσι, επιτυγχάνουμε τον ακριβή χαρακτηρισμό των γραφημάτων στα οποία είναι δυνατή η αξιόπιστη επικοινωνία σε σχέση με το επίπεδο γνώσης της τοπολογίας. Προκειμένου να επιτευχθούν τα παραπάνω, εισάγουμε το Μοντέλο Μερικής Γνώσης, στο οποίο κάθε παίκτης γνωρίζει ένα οποιοδήποτε τμήμα του δικτύου που αναπαρίσταται

6 από ένα υπογράφημα. Στη μελέτη μας, καταφέρνουμε να απαντήσουμε στο ανοιχτό ερώτημα των Pelc και Peleg (2005) καταφατικά, αποδεικνύοντας την μοναδικότητα του CPA σε δίκτυα άγνωστης τοπολογίας, δηλαδή, ότι ο CPA μπορεί να ανεχθεί όσες τοπικές διαφθορές ανέχεται και οποιοσδήποτε άλλος αλγόριθμος. Επιπλέον, καταφέρνουμε να γενικεύσουμε τα αποτελέσματά μας στο μοντέλο Γενικού Αντιπάλου των Hirt και Maurer (1997), το οποίο αποτελεί γενίκευση όλων των γνωστών μοντέλων αντιπάλου, με την προσαρμογή των τεχνικών και αλγορίθμων μας από το μοντέλο t- τοπικά φραγμένου αντιπάλου. Έτσι, σχεδιάζουμε τους πρώτους αλγορίθμους βέλτιστης ανεκτικότητας, που πετυχαίνουν αξιόπιστη επικοινωνία υπό περιορισμένη τοπολογική γνώση και ύπαρξη γενικού αντιπάλου. Μελετάμε επίσης την αποδοτικότητα πρωτοκόλλων αξιόπιστης επικοινωνίας, εισάγοντας μια αλγοριθμική ιδιότητα που δηλώνει ότι ένα αλγοριθμικό σχήμα είναι όσο αποδοτικό όσο και οποιοδήποτε άλλο ως προς πολυωνυμικές παραμέτρους. Για την εξαγωγή των τελευταίων συμπερασμάτων, χρησιμοποιούμε, μεταξύ άλλων, μια νέα έννοια συνδυασμού γνώσης σχετικά με την δομή του αντιπάλου, κατάλληλες έννοιες διαχωριστών σε μη αξιόπιστα δίκτυα και μια ιδιότητα αυτο-αναγωγής του προβλήματος. Τέλος, μελετάμε την ενεργειακά αποδοτική εκπομπή σε ασύρματα δίκτυα, όπου ταυτόχρονες μεταδόσεις οδηγούν σε παρεμβολή σήματος η οποία αποτρέπει την διάδοση του μηνύματος. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε το ασύρματο μοντέλο δικτύου k-μεταδόσεων, στο οποίο δίνεται ένα άνω φράγμα k στον αριθμό των μεταδόσεων του κάθε παίκτη. Σε αυτό το μοντέλο αποδεικνύουμε ένα κάτω φράγμα στο χρόνο που απαιτείται για το διαμοιρασμό του μηνύματος σε όλο το δίκτυο από οποιοδήποτε πρωτόκολλο. Λέξεις-κλειδιά: αξιόπιστη εκπομπή, αξιόπιστη μετάδοση μηνύματος, βυζαντινός αντίπαλος, μερική γνώση, γενικός αντίπαλος, ελλιπή δίκτυα, δίκτυα άγνωστης τοπολογίας, κατανεμημένα συστήματα, τοπολογική γνώση, ασύρματα δίκτυα, ενεργειακή αποδοτικότητα, εκπομπή k-μεταδόσεων.

7 Abstract As communication networks grow in size, they become increasingly vulnerable to component failures. ese networks consist of numerous interacting entities (agents). Since distributed systems have become popular and widely used in contemporary networking, the provided solutions need to cope with erroneous and malicious components in the underlying communication network. Security and reliability issues that arise have been objects of extensive research in the fields of Secure Multiparty Computations and Distributed Computing. In our work we contribute to the realization of fundamental communication primitives (Reliable Broadcast and Reliable Message Transmission) in an adversarial distributed environment, by investigating the impact of the network structure and the agents topology knowledge level on the achievability of these tasks. We consider a worst-case (Byzantine) adversary, which makes the agents misbehave arbitrarily, Initially, we consider the t-locally bounded adversary model, introduced in 2004 by Koo, where a fixed upper bound on the number of corruptions in each agent s neighborhood is imposed. We explore the tradeoff between the level of topology knowledge and the solvability of the problem by developing a versatile technique which allows us to obtain impossibility results for every level of topology knowledge. Checking the necessary conditions for the solvability of the problem proves to be NP-hard but along the way we obtain an efficient 2-approximation algorithm for the ad hoc case (where agents only know their local neighborhood). On the positive, we generalize the algorithmic idea behind the simple, yet powerful Certified Propagation Algorithm (CPA), also introduced by Koo in 2004, and propose algorithms, that match the obtained bounds (unique algorithms) in every case. us, we exactly characterize the classes of graphs in which reliable communication is possible with respect to topology knowledge. In order to achieve these we introduced the Partial Knowledge Model in which each agent knows a part of the network, namely a connected subgraph containing itself. As a part of the la er contribution, we manage to se le an open question of Pelc and Peleg (2005) in the affirmative, by showing that in ad hoc networks, CPA is unique, that is, it can tolerate as many local corruptions as any other Broadcast algorithm. Furthermore, we manage to generalize our results in the General Adversary model of Hirt and Maurer (1997), which subsumes earlier models by adapting our techniques and algorithms from the t-locally bounded model. us, we devise the first optimally resilient algorithms for Reliable Broadcast/Message transmission under restricted knowledge and general adversaries.

8 We also study the efficiency of RMT protocols by introducing an algorithmic property which implies that a protocol scheme is as efficient as any other for a certain problem with respect to polynomial time. To obtain our la er results we employ, among others, a novel notion of joining operation on adversary structures, appropriate notions of separators in unreliable networks, and a self-reducibility property of the RMT problem. Finally, we study energy-efficient Broadcast in wireless networks, where simultaneous transmissions lead to signal interference which prevents message propagation. In particular, we examine the k-shot wireless network model, in which a bound k on the number of transmissions for every player is given. We prove a lower bound on the Broadcast time of any protocol. Keywords: reliable broadcast, reliable message transmission, byzantine adversary, partial knowledge, general adversary, incomplete networks, ad hoc networks, distributed computing, topology knowledge, wireless networks, energy efficiency, k-shot Broadcast

9

10 Πρόλογος Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Λογικής και Επιστήμης Υπολογισμών (Corelab) της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου ¹. Το εργαστήριο διαθέτει πολυετή εμπειρία σε αλγοριθμικά θέματα κατανεμημένων συστημάτων και ασφάλειας δικτύων. Η συνεργασία μου με το εργαστήριο ξεκίνησε με την εκπόνηση της μεταπτυχιακής μου εργασίας στα πλαίσια του Δ.Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες, την άνοιξη του Στη συνέχεια, είχα την τιμή να γίνω δεκτός ως υποψήφιος διδάκτορας υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή ΕΜΠ κ. Αριστείδη Παγουρτζή και από το φθινόπωρο του 2010 ξεκίνησα να εργάζομαι στην περιοχή που τώρα, αποτελεί το αντικείμενο αυτής της διατριβής. Σκοπός και εφαρμογές της διατριβής Η ταχεία ανάπτυξη των δικτύων επικοινωνιών και η πληθώρα των εφαρμογών που τη συνοδεύει δημιουργούν συνεχώς νέες ανάγκες και προκλήσεις. Τα δίκτυα επικοινωνιών συνήθως αποτελούνται από ένα πολυάριθμο σύνολο οντοτήτων - συμμετεχόντων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αυτές οι οντότητες συχνά επιθυμούν να συνεργαστούν για την διεκπεραίωση εργασιών, οι οποίες ποικίλλουν από βασικές εργασίες, όπως για παράδειγμα η διανομή του ψηφιακού περιεχομένου και κοινή λήψη αποφάσεων, μέχρι πιο περίπλοκες, που θα βασίζονται στις προηγούμενες ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η ηλεκτρονική ψηφοφορία. Ενώ η συμπεριφορά των συμμετεχόντων αναμένεται γενικά να είναι έντιμη, ακολουθώντας κάποιους συμφωνηθέντες κανόνες, υπάρχει η πιθανότητα εμφάνισης προβληματικών ή ακόμα και κακόβουλων συμμετεχόντων στο δίκτυο, οι οποίοι επιθυμούν να παραβιάσουν αυτούς τους κανόνες με στόχο να εξυπηρετήσουν τα δικά τους συμφέροντα, εις βάρος των καλόβουλων συμμετεχόντων. Τέτοιες θεωρήσεις αναδεικνύουν την ανάγκη μελέτης ασφάλειας στα κατανεμημένα συστήματα, με τα οποία μοντελοποιείται ακριβώς η κατάσταση στην οποία πολλοί συμμετέχοντες επιχειρούν να επιτύχουν κάποιον κοινό στόχο δεδομένης της απουσίας μιας κεντρικής αρχής συντονισμού. Οι πραγματικές εφαρμογές σήμερα, αφορούν δίκτυα με ιδιαίτερα πολύπλοκη δομή. Επομένως, η ανάγκη ανάπτυξης σαφούς και συμπαγούς θεωρητικής θεμελίωσης για την υποστήριξη της αξιόπιστης επικοινωνίας μεταξύ τμημάτων του δικτύου αυξάνεται, καθώς η μαθηματική μοντελοποίηση αυτών των δομών γίνεται συνεχώς πιο απαιτητική. Είναι σύνηθες στη βιβλιογραφία, η έρευνα να εστιάζεται σε απλουστευμένες δικτυακές δομές και ισχυρές παραδοχές ως προς τη γνώση των συμμετεχόντων, έτσι ώστε να προκύψουν τα ανάλογα αποτελέσματα που αφορούν την δυνατότητα διεκπεραίωσης ορισμένων εργασιών. Στην παρούσα μελέτη ¹Το μεγαλύτερο μέρος της χρηματοδότησης μου, κατά τη διάρκεια των διδακτορικών μου σπουδών, προήλθε από την υποτροφία για διδακτορικές σπουδές που έλαβα από τον Ειδικό Λογαριασμό Κονδυλίων Έρευνας (ΕΛΚΕ) του Ε.Μ.Π.

11 ασχολούμαστε συγκεκριμένα με τη δομή του δικτύου και την εκ των προτέρων γνώση που κατέχουν οι συμμετέχοντες αναφορικά με αυτήν και εξετάζουμε πως αυτές οι παράμετροι επηρεάζουν την ορθότητα βασικών διαδικασιών ανταλλαγής πληροφορίας. Με αυτόν τον τρόπο συνεισφέρουμε στην ανακάλυψη των ελάχιστων δομικών απαιτήσεων από πλευράς δικτύου, και στο ελάχιστο επίπεδο γνώσης τα οποία καθιστούν επιλύσιμα προβλήματα ασφάλειας και αξιοπιστίας στα εν λόγω κατανεμημένα συστήματα. Τα αποτελέσματα μας έχουν άμεση εφαρμογή στην σχεδίαση δικτύων τα οποία μπορούν να υποστηρίξουν, με τον βέλτιστο τρόπο, την χρήση πρωτοκόλλων αξιόπιστης επικοινωνίας παρά την ύπαρξη συμμετεχόντων που παρεκκλίνουν από την τήρηση των κανόνων. Ένα άλλο πρακτικό πλεονέκτημα που προκύπτει από αυτή τη δουλειά είναι το ότι οι εν λόγω τεχνικές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ακριβή προσδιορισμό των χειρότερων σεναρίων παρεκκλίνουσας συμπεριφοράς που μπορεί να γίνει ανεκτή σε ήδη υπάρχουσες δικτυακές υποδομές. Οι παραπάνω μελέτες μπορούν να εφαρμοστούν ιδανικά σε εφαρμογές κρίσιμης σημασίας, όπως συστήματα ελέγχου πτήσης, πυρηνικών σταθμών παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας και στρατιωτικές επιχειρήσεις, όπου η υποδομή επικοινωνίας πρέπει να είναι σε θέση να αντιμετωπίσει βλάβες ή ακόμα χειρότερα κακόβουλες διαφθορές ορισμένων συσκευών. Σε εφαρμογές τέτοιας φύσης, συχνά χρησιμοποιούνται συσκευές περιορισμένων δυνατοτήτων ως προς τη μνήμη, τη διαθέσιμη ενέργεια και την υπολογιστική ισχύ, όπως ασύρματοι αισθητήρες κ.α., με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Συνεπώς, είναι απαραίτητη η χρήση οντοτήτων-συσκευών με χαμηλές απαιτήσεις ως προς τη συνδεσιμότητα και τη γνώση που μπορούν να έχουν αποθηκευμένη σε μορφή δεδομένων. Τα προβλήματα της αξιόπιστης εκπομπής και αξιόπιστης μετάδοσης μηνύματος, που μελετώνται εκτενώς στην παρούσα εργασία, αποτελούν θεμελιώδη δομικά στοιχεία για την επίτευξη πιο σύνθετων εργασιών σε ασθενώς συνδεδεμένα δίκτυα και μοντέλα περιορισμένης γνώσης των συμμετεχόντων. H ανάγκη μελέτης μοντέλων περιορισμένης γνώσης υπαγορεύεται από εφαρμογές σε δίκτυα ευρείας κλίμακας (π.χ. το διαδίκτυο), όπου η εκτίμηση του βαθμού δυσλειτουργίας μπορεί να γίνει με σχετική ακρίβεια από τον κάθε συμμετέχοντα στα πλαίσια της γειτονιάς του, ενώ μια συνολική εκτίμηση μπορεί να είναι δύσκολο να επιτευχθεί λόγω γεωγραφικών περιορισμών και περιορισμών δικαιοδοσίας. Επιπλέον, η εγγύτητα κόμβων σε κοινωνικά δίκτυα συχνά συσχετίζεται με αυξημένη ποσότητα διαθέσιμης πληροφορίας, γεγονός που δικαιολογεί περαιτέρω την ευστάθεια του μοντέλου. Η εισαγωγή ενός συμπαγούς μοντέλου για τον περιορισμό της γνώσης όπως παρουσιάζεται σε αυτήν την εργασία, συμβάλλει στη θεμελίωση μιας πιο ρεαλιστικής θεώρησης για τα σύγχρονα δίκτυα επικοινωνιών και την αξιοπιστία τους. Η ανάδυση της κοινωνικής δικτύωσης, του ηλεκτρονικού εμπορίου και των ηλεκτρονικών ψηφοφοριών μπορεί δυνητικά να έχει τεράστια επίδραση στη διασφάλιση της οικονομικής και κοινωνικής ευημερίας σε έναν ανοικτό και διασυνδεδεμένο ψηφιακό κόσμο. Για την επίτευξη του σκοπού αυτού, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η οικοδόμηση της εμπιστοσύνης του κοινού σε αυτές τις διαδικασίες. Το τελευταίο μπορεί να επιτευχθεί με την εξασφάλιση της αξιοπιστίας των διαδικασιών και την προστασία των συμμετεχόντων από κακόβουλες συμπεριφορές. Αυτά τα ζητήματα μπορούν να διευθετηθούν μόνο με αυστηρή θεωρητική ανάλυση στο πλαίσιο συναφών επιστημονικών πεδίων, όπως αυτά των Κατανεμημένων Υπολογισμών

12 και της Κρυπτογραφίας. Ιδανικά, η αξιοπιστία των εν λόγω ηλεκτρονικών υπηρεσιών θα καθιερωθεί και θα οδηγήσει σε αυξημένη συμμετοχή ατόμων, ανεξάρτητα από οικονομικούς και κοινωνικούς παράγοντες, δεδομένου ότι η πρόσβαση σε αυτές τις διαδικασίες μπορεί να είναι πολύ προσιτή σε όλους. Το τελευταίο μπορεί να οδηγήσει σε αμεσοδημοκρατικές διαδικασίες που διέπονται από τις αρχές της ισότητας και της δικαιοσύνης. Τέλος, η έρευνα μας μπορεί να ερμηνευθεί ως μια μελέτη για την διάδοση της γνώσης σε έναν γενικό πλαίσιο όπου η επικοινωνία μεταξύ των συμμετεχόντων αυξάνει την ποσότητα των πληροφοριών που κατέχει ο καθένας. Εστιάζοντας σε παραλλαγές της δομής του δικτύου και της αρχικής γνώσης των συμμετεχόντων, παρέχουμε τα ανάλογα όρια για τη διάδοση της γνώσης σε διαφορετικά μοντέλα. Χαλαρώνοντας τις απαιτήσεις ως προς τη γνώση του κάθε συμμετέχοντα με πιθανοτικό τρόπο, έτσι ώστε κάποιος να είναι σίγουρος για την ισχύ ενός γεγονότος με κάποια πιθανότητα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν παρόμοιες τεχνικές για την εξαγωγή ανάλογων αποτελεσμάτων στους τομείς της διάδοσης πεποίθησης ή άποψης σε δίκτυα. Μεταξύ άλλων, αυτό θα παρείχε τη δυνατότητα εντοπισμού κρίσιμων μερών του δικτύου επικοινωνίας, ο έλεγχος των οποίων θα είχε ως αποτέλεσμα την ευρεία διάδοση συγκεκριμένων απόψεων στο δίκτυο. Το παραπάνω θα μπορούσε προφανώς να φανεί χρήσιμο σε στρατηγικές διαφήμισης, αλλά από την άλλη πλευρά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την προστασία δικτύων επικοινωνιών έναντι σε διάδοση ψευδών πληροφοριών. Ευχαριστίες Πρώτα απ όλα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέπων καθηγητή μου κ. Αριστείδη Παγουρτζή, ο οποίος με μεγάλη υπομονή και ηρεμία με εισήγαγε στον κόσμο της έρευνας δίνοντας μεγάλη σημασία στη δημιουργικότητα και στην ελευθερία που είναι απαραίτητο να έχει κανείς για να πετύχει κάτι ουσιαστικό. Μου συμπαραστάθηκε και με καθοδήγησε κατά τη διάρκεια των διδακτορικών μου σπουδών, σε επαγγελματικό και προσωπικό επίπεδο, δείχνοντας μου εμπιστοσύνη που αποτέλεσε για μένα βασική πηγή έμπνευσης. Τα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής μου, κ. Στάθης Ζάχος και κ. Δημήτρης Φωτάκης, με στήριξαν με ειλικρινές ενδιαφέρον και με βοήθησαν ουσιαστικά να ασχοληθώ δημιουργικά με αυτό που πάντα ήθελα να κάνω. Με διαφορετικό ύφος ο καθένας, μου δώσανε συμβουλές στις οποίες θα μπορώ πάντα να στηρίζομαι. Παράλληλα, αποτέλεσε ιδιαίτερη τιμή για μένα η συμμετοχή του Άγγελου Κιαγιά, Βασίλη Ζήκα, Ευριπίδη Μάρκου και Αντώνη Συμβώνη στην επταμελή εξεταστική επιτροπή του διδακτορικού μου. Η παρούσα εργασία περιλαμβάνει παρουσίαση αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τη συνεργασία μου με τον Γιώργο Παναγιωτάκο και τον Χρήστο Λίτσα. Θα ήθελα να τους ευχαριστήσω για τις, επαγγελματικές και μη, εποικοδομητικές συζητήσεις που είχαμε και πιστεύω, μας εμπνεύσανε όλους. Η δουλειά που κάναμε μαζί δεν διαχωριζόταν και πολύ από την καλοπέρασή μας, γιαυτό και προέκυψαν ενδιαφέρουσες ιδέες. Τα μέλη του Corelab, ήταν όλα αυτά τα χρόνια ιδανικοί συνεργάτες και τους ευχαριστώ για την ατμόσφαιρα που δημιούργησαν στο εργαστήριο. Οι χαλαρές συζητήσεις που κάναμε με

13 13 την Χριστίνα, τη Ματούλα, τον Αντώνη, την Πέλη και την Τζέλα, αναγκαίες για να ισορροπήσουμε, θα είναι πάντα αναπόσπαστο κομμάτι των αναμνήσεων αυτών των χρόνων. Ιδιαίτερα θέλω να ευχαριστήσω αυτούς με τους οποίους παίξαμε μαζί μουσική, χαλαρώσαμε, καθαρίσαμε τα κεφάλια μας και πάνω απ όλα περάσαμε καλά και κάναμε πλάκα. Ελπίζω λοιπόν αυτή η κομπανία, οι Μεγάλες Τρίτες όπως την είπαμε, να μαζεύεται που και που και κάθε φορά να περνάμε όσο καλά περάσαμε και τις προηγούμενες. Ευχαριστώ λοιπόν τον Θανάση, τη Ναταλία, το Γιώργο, τους Μανώληδες, την Ελένη και τον Πέτρο. Ευχαριστώ την Ειρήνη που είχε πάντα τον τρόπο της να με φέρνει σε ισορροπία και να μου θυμίζει τι είναι πραγματικά σημαντικό. Η περίοδος αυτή θα ήταν για μένα πιο δύσκολη χωρίς αυτήν. Τέλος, οφείλω ένα τεράστιο ευχαριστώ στην οικογένειά μου που ποτέ δεν σταμάτησε να με στηρίζει με κάθε τρόπο. Η αδερφή μου, η μάνα μου και ο πατέρας μου, μου δίνανε πάντα έναν λόγο να συνεχίζω και να προσπαθώ να εξελιχθώ. Δημήτρης Σακαβάλας Αθήνα, Ιούλιος 2016

14 14

15 Περιεχόμενα Κατάλογος σχημάτων 19 1 Εισαγωγή Το πρόβλημα της Αξιόπιστης Εκπομπής Το μοντέλο επικοινωνίας Το μοντέλο του αντιπάλου Είδος της διαφθοράς Υπολογιστική δύναμη του αντιπάλου Ευάλωτοι παίκτες Τοπολογική Γνώση Μοντέλο μερικής γνώσης Αποδοτικότητα Κατανεμημένων Πρωτοκόλλων Εκπομπή σε Ad Hoc Δίκτυα με Τοπικά Φραγμένο Αντίπαλο Εισαγωγή Διάρθρωση του κεφαλαίου Ορισμός μοντέλου και προβλήματος Ιδιότητες πρωτοκόλλων Ο Αλγόριθμος CPA Κάτω φράγματα στην ανοχή του CPA Nέα παράμετρος-φράγμα για τη Mέγιστη Aνοχή του CPA Ακρίβεια του κάτω φράγματος Άνω φράγμα για την ανοχή του CPA

16 16 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύγκριση με την παράμετρο των Ichimura-Shigeno Προσέγγιση της μέγιστης ανοχής του CPA Ακριβής προσδιορισμός του t CPA max Μοναδικότητα του CPA σε Ad Hoc δίκτυα Συμπεράσματα κεφαλαίου Μερική Γνώση και Φράγματα Διάδοσης Διάρθρωση του κεφαλαίου Προκαταρκτικοί ορισμοί Το Μοντέλο μερικής γνώσης Ad Hoc Δίκτυα Ο αλγόριθμος (CPA) Μοναδικότητα του CPA σε Ad Hoc δίκτυα Δυσκολία επίλυσης του προβλήματος plp C Δίκτυα γνωστής τοπολογίας Ο Αλγόριθμος διάδοσης μονοπατιών Μια ικανή και αναγκαία συνθήκη Το μοντέλο μερικής γνώσης Μοντέλο γενικού αντιπάλου Δίκτυα γνωστής τοπολογίας Ad Hoc Δίκτυα Η περίπτωση του διεφθαρμένου διανομέεα Συμπεράσματα Κεφαλαίου Μερική Γνώση και Αξιόπιστη Μετάδοση Μηνύματος Είσαγωγή Διάρθρωση του Κεφαλαίου Μοντέλο και βασικοί ορισμοί Μερική γνώση και γενικοί αντίπαλοι Αξιόπιστη μετάδοση μηνύματος υπό μερική γνώση Ο RMT-Αλγόριθμος Μερικής Γνώσης (RMT- PKA)

17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ RMT σε ad hoc δίκτυα Μοναδικότητα πρωτοκόλλου ως προς την αποδοτικότητα Self-reducibility of RMT Συμπεράσματα κεφαλαίου Εκπομπή k-μεταδόσεων σε ασύρματα δίκτυα Εισαγωγή Σχετική βιβλιογραφία Προκαταρκτικές έννοιες Προσαρμοστικά πρωτόκολλα Εκπομπής Διάρθρωση του κεφαλαίου Πρωτόκολλα Εκπομπής και δέντρα μετάδοσης Οικογένεια των δικτύων Σχεδιάζοντας ένα αργό γράφημα Δέντρα μεταδόσεων Ένας μη προσαρμοστικός αλγόριθμος για την οικογένεια G Συμπεράσματα κεφαλαίου Βιβλιογραφία 113

18 18 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

19 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Ιδανική και Πραγματική Αξιόπιστη Εκπομπή Αξιόπιστη Εκπομπή σε ελλιπή δίκτυα Γράφημα με K(G, D) = t + 1, για το οποίο ο CPA είναι t-τοπικά ανεκτικός Διαμέριση του G στα υπογραφήματα A, B, T Επισκόπηση συνθηκών σχετιζόμενες με την ύπαρξη t-τοπικά ανεκτικών αλγορίθμων. Οι παράμετροι LP C(G, D) και X (G, D) ορίζονται στο [PP05] και η X (G, D) στο [IS10]. Οι συνεχείς γραμμές δείχνουν γνήσια υποσύνολα. Οι αντίστοιχοι αγγλικοί όροι χρησιμοποιούνται ως εξής t-τοπικά ανεκτικός αλγόριθμος: t-locally resilient και ασφαλής αλγόριθμος: safe algorithm Τα γραφήματα G και G Ένα στιγμιότυπο και η λύση του προβλήματος διαχωρισμού συνόλων με X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} και S = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {1, 4, 6}, {2, 4, 5}}. Η λύση απεικονίζεται με τα δύο σύνολα X 1 = {1, 3, 5} και X 2 = {2, 4, 6}, τα στοιχεία των οποίων απεικονίζονται με τετράγωνα και τρίγωνα αντίστοιχα. Παρατηρείστε ότι όλα τα σύνολα του S έχουν τουλάχιστον έναν κόμβο σε κάθε σύνολο X 1, X Το γράφημα G SSP για το πρόβλημα διαχωρισμού συνόλων που παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.2. Οι ακμές στην δεξιά πλευρά είναι συμμετρικές με αυτές στην αριστερή και παραλείπονται για λόγους απλότητας Επισκόπηση των συνθηκών που αφορούν την ύπαρξη t-τοπικά ανεκτικών αλγορίθμων Εκπομπής ως προς το επίπεδο της τοπολογικής γνώσης. Σημειώνεται ότι το G αναφέρεται στην οικογένεια ζευγών (G, D) Υποθέτοντας ότι Z 1, Z 3, Z 5 E A και Z 2, Z 4, Z 6 F B, παρατηρούμε ότι E A F B πρέπει να περιέχει τα Z 1 Z 2, Z 3 Z 4 αλλά όχι το Z 5 Z Οικογένεια των στιγμιοτύπων G. Δεν υπάρχει RMT Z-pp διαχωριστής

20 20 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 5.1 Οικογένεια γραφημάτων G Δέντρο μεταδόσεων T (π, ID i, t 0 ) Δέντρο 1-μετάδοσης ελαχίστου ύψους Παράδειγμα ενός δέντρου k-μεταδόσεων ελαχίστου ύψους Παράδειγμα εκτέλεσης του CTA

21 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Καθώς τα δίκτυα επικοινωνιών αυξάνονται σε μέγεθος, γίνονται ολοένα και πιο ευάλωτα σε βλάβες των στοιχείων που τα απαρτίζουν. Αυτά τα δίκτυα αποτελούνται από διασυνδεδεμένες οντότητες που επικοινωνούν μεταξύ τους. Στη συνέχεια θα αναφερόμαστε σε αυτές τις οντότητες ως παίκτες. Τα κατανεμημένα συστήματα υπολογισμών γίνονται συνεχώς πιο δημοφιλή λόγω της ευρείας εφαρμογής που βρίσκουν στις σύγχρονες δικτυακές υποδομές. Επομένως είναι σημαντικό, οι λύσεις που παρέχονται να είναι σε θέση να αντιμετωπίσουν την εμφάνιση βλαβών και κακόβουλων ενεργειών στο υποκείμενο δίκτυο. Η λειτουργικότητα των κατανεμημένων συστημάτων επιτυγχάνεται με αποκεντρωμένο τρόπο οι αυτόνομες οντότητες που απαρτίζουν το δίκτυο συνεργάζονται για να εκτελέσουν εργασίες όπως απαιτητικούς υπολογισμούς, διανομή ψηφιακού υλικού ή λήψη κοινών αποφάσεων, δεδομένης της απουσίας μιας κεντρικής αρχής συντονισμού. Η μελέτη της συμπεριφοράς κατανεμημένων συστημάτων υπό την παρουσία βλαβών, περιλαμβάνει το σχεδιασμό αλγορίθμων οι οποίοι επιτυγχάνουν το ζητούμενο στόχο, παρά την ύπαρξη διεφθαρμένων παικτών στο δίκτυο, η ταυτότητα μάλιστα των οποίων θεωρείται άγνωστη. Για να μοντελοποιήσουμε τη διαφθορά των παικτών, θεωρούμε έναν κεντρικό αντίπαλο, ο οποίος ελέγχει εν μέρει τη συμπεριφορά των παικτών, τους οποίους έχει καταφέρει να διαφθείρει. Οι παίκτες οι οποίοι δεν βρίσκονται υπό την επιρροή του αντιπάλου θα ονομάζονται τίμιοι. Διάφοροι τύποι διαφθοράς έχουν προταθεί στη σχετική βιβλιογραφία. Ανάμεσα σε αυτούς τους τύπους αντιπάλου, ο Βυζαντινός ή Ενεργός (Byzantine or Active) αντίπαλος, μοντελοποιεί τη χειρότερη περίπτωση αποκλίνουσας συμπεριφοράς. Συγκεκριμένα, θεωρείται ότι οι παίκτες που ελέγχονται από τον αντίπαλο, μπορούν να συμπεριφερθούν με αυθαίρετο τρόπο, σταματώντας τη ροή ή αλλάζοντας τη δρομολόγηση και το περιεχόμενό της πληροφορίας που πρέπει να μεταδώσουν με τρόπο που μπορεί να αποβεί καταστροφικός για την ορθότητα της οποιασδήποτε διαδικασίας απαιτεί επικοινωνία μεταξύ των συμμετεχόντων. 21

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Το πρόβλημα της Αξιόπιστης Εκπομπής Ένα θεμελιώδες πρόβλημα στον τομέα των κατανεμημένων συστημάτων είναι αυτό της Αξιόπιστης Εκπομπής (Reliable Broadcast) ή αλλιώς το πρόβλημα των Βυζαντινών Στρατηγών (Byzantine Generals) παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Lamport, Shostak and Pease [LSP82] το Στο πρόβλημα αυτό, ο στόχος είναι η ορθή μετάδοση ενός μηνύματος από έναν καθορισμένο παίκτη-διανομέα σε όλο το δίκτυο ανεξάρτητα από την ύπαρξη ενός Βυζαντινού αντιπάλου. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αντίπαλος μπορεί να ελέγχει διάφορους παίκτες-κόμβους του δικτύου, και είναι ικανός να τους επιβάλει να αποκλίνουν από τους κανόνες του πρωτοκόλλου με αυθαίρετο τρόπο. Κατά κύριο λόγο, τα προβλήματα συμφωνίας έχουν μελετηθεί στη βιβλιογραφία στα πλαίσια του μοντέλου φραγμένου αντιπάλου (threshold adversary model), όπου υπάρχει η υπόθεση ύπαρξης ενός άνω ορίου t στον αριθμό των διεφθαρμένων παικτών. Σε αυτό το μοντέλο, έχει αποδειχθεί ήδη από το [LSP82], ότι αξιόπιστη εκπομπή μπορεί να επιτευχθεί αν και μόνον αν t < n/3, όπου n είναι ο συνολικός αριθμός των παικτών που συμμετέχουν. Το πρόβλημα της αξιόπιστης εκπομπής, έχει μελετηθεί εκτενώς σε πλήρη δίκτυα υπό το μοντέλο φραγμένου αντιπάλου από το 1982 έως το 1998, όπου οι Garay και Moses [GM98] παρουσίασαν το πρώτο πλήρως πολυωνυμικό πρωτόκολλο το οποίο ήταν βέλτιστο ως προς την πολυπλοκότητα γύρων και ανεχόταν τον μέγιστο αριθμό διαφθορών t < n/3. Η δυσκολία σχεδιασμού μιας λύσης για το πρόβλημα πρωτίστως μπορεί να συνοψιστεί στο σενάριο όπου ο κόμβος-διανομέας είναι διεφθαρμένος. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1, σε πραγματικά δίκτυα όπου ο διανομέας συνδέεται μέσω διαφορετικών καναλιών επικοινωνίας με κάθε παίκτη, ο διανομέας μπορεί να στείλει αντικρουόμενες τιμές στους παίκτες. Σε αυτήν την περίπτωση, απαιτούμε τελικά οι παίκτες να συμφωνήσουν σε μια κοινή τιμή. Ο σκοπός ενός πρωτοκόλλου αξιόπιστης εκπομπής είναι να προσομοιώσει μια ιδανική εκπομπή, όπου όλοι λαμβάνουν την ίδια τιμή από τον διανομέα την ίδια χρονική στιγμή, μέσω της επικοινωνίας των παικτών. Ουσιαστικά απαιτείται να παρακαμφθούν οι λανθασμένες συμπεριφορές, χωρίς να χαθεί η ομοφωνία στο σύστημα. Ακολουθεί ο τυπικός ορισμός του προβλήματος της Αξιόπιστης Εκπομπής. Ορισμός 1.1 (Πρόβλημα Αξιόπιστης Εκπομπής). Έστω V = {p 1, p 2,, p n } ένα σύνολο n παικτών, X ο πεπερασμένος χώρος των μηνυμάτων και D V ο κόμβος-διανομέας. Έστω επίσης ένα πρωτόκολλο Π μεταξύ των παικτών V με τιμές μηνυμάτων στο X, όπου ο D έχει αρχική τιμή x D X και κάθε παίκτης p i τελικά αποφασίζει σε μια τιμή y i X. Το πρωτόκολλο Π ονομάζεται πρωτόκολλο Αξιόπιστης Εκπομπής αν και μόνον αν ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1. Ορθότητα: Αν ο κόμβος-διανομέας D είναι τίμιος, τότε όλοι οι τίμιοι παίκτες τελικά αποφασίζουν στην τιμή x D. 2. Συνέπεια: Όλοι οι τίμιοι παίκτες τελικά αποφασίζουν στην ίδια τιμή, δηλαδή, p i, p j που είναι τίμιοι, ισχύει ότι y j = y i. Σε ελλιπή δίκτυα, όπου ο διανομέας δεν είναι άμεσα συνδεδεμένος με όλους τους παίκτες, το πρόβλημα παρουσιάζει μια επιπλέον δυσκολία ακόμα και στην περίπτωση που ο κόμβοςδιανομέας είναι ένας τίμιος παίκτης, ο αντίπαλος μπορεί να διαφθείρει ένα κρίσιμο μέρος

23 1.1. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΗΣ ΕΚΠΟΜΠΗΣ 23 x x x x x x x x x x (αʹ) Ιδανική Εκπομπη (βʹ) Πραγματική Εκπομπη x x x y x y x, y?? (γʹ) Πραγματική Εκπομπη με διεφθαρμένο διανομέα Σχήμα 1.1: Ιδανική και Πραγματική Αξιόπιστη Εκπομπή του δικτύου έτσι ώστε να καταστήσει αδύνατη την απόφαση στην σωστή τιμή για κάποιους τίμιους παίκτες. Το σενάριο αυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 1.2. Η περίπτωση της Αξιόπιστης Εκπομπής σε ελλιπή δίκτυα έχει μελετηθεί σε πολύ μικρότερο βαθμό. Μετά την αρχική μελέτη του Dolev [Dol82] η οποία αντιμετώπιζε ρητά το συγκεκριμένο πρόβλημα, ακολούθησαν άλλες δουλειές [Dol82, DDWY93, KGSR02] όπου ουσιαστικά αντιμετωπίζουν το πρόβλημα κυρίως μέσω πρωτοκόλλων για αξιόπιστη και ασφαλή μετάδοση μηνύματος. Από τα τελευταία προκύπτουν και πρωτόκολλα Αξιόπιστης Εκπομπής για ελλιπή δίκτυα, αφού μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση αξιόπιστων καναλιών επικοινωνίας (όπως ορίζονται στην Ενότητα 1.2 ) για κάθε ζεύγος παικτών. Όπως είναι φυσικό, εκτός από το φράγμα t < n/3, απαιτείται να τηρούνται επιπλέον περιορισμοί ως προς τη συνδεσιμότητα του δικτύου για να είναι το πρόβλημα επιλύσιμο. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του φραγμένου αντιπάλου, το πολύ t < c/2 διαφθορές παικτών μπορούν να γίνουν ανεκτές, όπου c είναι η συνδεσιμότητα του δικτύου και αυτό το όριο είναι ακριβές, όπως απο-

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ x x x y y x y?? Σχήμα 1.2: Αξιόπιστη Εκπομπή σε ελλιπή δίκτυα δείχθηκε στο [Dol82]. Αξιόπιστη Επικοινωνία Στην εργασία αυτή ασχολούμαστε με το πρόβλημα της Αξιόπιστης Εκπομπής με τίμιο κόμβοδιανομέα σε γενικά (ελλιπή) δίκτυα. Στη συνέχεια, για λόγους συντομίας, θα αναφερόμαστε σε αυτό το πρόβλημα πιο απλά ως Πρόβλημα Εκπομπής. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 3.7, η περίπτωση αυτή αποτυπώνει ουσιαστικά τη δυσκολία του γενικού προβλήματος, όπου ακόμη και ο διανομέας μπορεί να διαφθαρεί. Αυτό προκύπτει, γιατί δοθείσας μίας λύσης στο απλούστερο αυτό πρόβλημα, μπορούμε να με προσομοιάσουμε τις μεταδόσεις ενός πρωτοκόλλου Αξιόπιστης Εκπομπής για πλήρη δίκτυα. Ο ορισμός του προβλήματος ακολουθεί. Πρόβλημα Εκπομπής (με τίμιο κόμβο-διανομέα). Το δίκτυο μοντελοποιείται ως ένα γράφημα G = (V, E), όπου V είναι το σύνολο των παικτών και το σύνολο ακμών E αντιπροσωπεύει κανάλια επικοινωνίας μεταξύ των παικτών. Υποθέτουμε την ύπαρξη ενός καθορισμένου, τίμιου κόμβου-διανομέα D, η αρχική τιμή του οποίου x D X, όπου είναι ο χώρος των μηνυμάτων, πρέπει να διαδοθεί σε όλους τους παίκτες του δικτύου. Ένα κατανεμημένο πρωτόκολλο Π, ονομάζεται πρωτόκολλο Εκπομπής αν μετά το τέλος αυτού του πρωτοκόλλου, κάθε τίμιος παίκτης του δικτύου έχει αποφασίσει στην τιμή του διανομέα x D, δηλαδή είναι σε θέση να εξάγει την τιμή x D που στάλθηκε αρχικά από τον διανομέα. Όπως έχουμε τονίσει προηγουμένως, το πρόβλημα έχει τετριμμένη λύση σε πλήρη δίκτυα έτσι, εδώ θα εξετάσουμε την περίπτωση ελλιπών δικτύων επικοινωνίας. Παρατηρούμε ότι η επίτευξη Εκπομπής, όπως ορίστηκε παραπάνω, είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμη με την επίτευξη ορθής (αξιόπιστης) μετάδοσης μηνύματος από τον κόμβο-

25 1.2. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ 25 διανομέα D σε όλους τους παίκτες. Η υπόθεση του τίμιου κόμβου-διανομέα είναι ιδιαίτερης σημασίας στην περίπτωση των ασύρματων δικτύων. Σε αυτό το μοντέλο, λόγω της επικοινωνίας μέσω τοπικών εκπομπών, ο διανομέας ουσιαστικά δεσμεύεται να στείλει την ίδια αρχική τιμή σε όλους του γείτονες του, και έτσι να δεσμευτεί σε αυτήν την τιμή. Στην παρούσα εργασία, εξετάζουμε επίσης το συγγενές πρόβλημα της Αξιόπιστης Μετάδοσης Μηνύματος (Reliable Message Transmission RMT), όπου ο κόμβος-διανομέας D επιθυμεί να μεταδώσει ένα μήνυμα σε έναν άλλον κόμβο-παραλήπτη. Στην πραγματικότητα, μια λύση του προβλήματος RMT για κάθε ζεύγος (D, v), v V, συνεπάγεται μια λύση του προβλήματος Εκπομπής. Ο τυπικός ορισμός του προβλήματος ακολουθεί. Πρόβλημα Αξιόπιστης Μετάδοσης Μηνύματος (RMT). Υποθέτουμε την ύπαρξη ενός καθορισμένου, κόμβου-διανομέα D, η αρχική τιμή του οποίου x D X, όπου είναι ο χώρος των μηνυμάτων, πρέπει να διαδοθεί σε έναν καθορισμένο παίκτη R που ονομάζεται παραλήπτης. Ένα κατανεμημένο πρωτόκολλο, ονομάζεται πρωτόκολλο Αξιόπιστης Μετάδοσης Μηνύματος αν μετά το τέλος αυτού του πρωτοκόλλου, ο παραλήπτης R έχει αποφασίσει στην τιμή του διανομέα x D, δηλαδή είναι σε θέση να εξάγει την τιμή x D που του στάλθηκε αρχικά από τον διανομέα. 1.2 Το μοντέλο επικοινωνίας Ένα δίκτυο επικοινωνίας αναπαρίσταται από ένα γράφημα G = (V, E). Οι κόμβοι V του γραφήματος αντιπροσωπεύουν τους παίκτες και οι ακμές E τα μεταξύ τους κανάλια επικοινωνίας. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιούμε τους όρους παίκτης-κόμβος, για να αναφερόμαστε στους συμμετέχοντες του συστήματος. Γενικά, ο κάθε παίκτης μπορεί να έχει κάποια αρχική πληροφορία/είσοδο στην αρχή του πρωτοκόλλου. Η ανταλλαγή πληροφορίας μεταξύ των παικτών συντελείται μέσω των καναλιών επικοινωνίας. Τα κανάλια που χρησιμοποιούνται σε ένα τέτοιο δίκτυο μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με τον βαθμό αξιοπιστίας και ασφάλειας που τα χαρακτηρίζει. Οι διάφορες κατηγορίες καναλιών επικοινωνίας φαίνονται παρακάτω. Αξιόπιστα κανάλια (Authenticated): Τα μηνύματα που μεταδίδονται μέσω τέτοιων καναλιών δεν μπορούν να παραποιηθούν από τον αντίπαλο αλλά o αντίπαλος μπορεί να υποκλέψει το περιεχόμενο. Επιπλέον χρησιμοποιώντας αξιόπιστα κανάλια ο παραλήπτης ενός μηνύματος γνωρίζει πάντα την πραγματική ταυτότητα του αποστολέα. Εμπιστευτικά κανάλια (Confidential): Τα μηνύματα που μεταδίδονται μπορούν να παραποιηθούν από τον αντίπαλο αλλά δεν γίνεται να υποκλαπεί το περιεχόμενό τους. Ασφαλή κανάλια (Secure): Αξιόπιστα και εμπιστευτικά κανάλια. Επίσης ως προς την καθυστέρηση μετάδοσης των μηνυμάτων έχουμε τις εξής κατηγορίες.

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύγχρονα κανάλια (Syn ronous): Η καθυστέρηση της μετάδοσης των μηνυμάτων στο κανάλι φράσσεται από μια γνωστή σταθερά. Ασύγχρονα κανάλια (Αsyn ronous): Η καθυστέρηση, αν και πεπερασμένη, δεν φράσσεται από κάποια γνωστή σταθερά. Η τοπολογία του δικτύου μπορεί να είναι πλήρης ή ελλιπής. Στη δεύτερη περίπτωση κάποια ζεύγη παικτών δεν μοιράζονται κάποιο κανάλι επικοινωνίας για να ανταλλάξουν μηνύματα μεταξύ τους. Σε αυτήν την εργασία θα εστιάσουμε κυρίως σε σύγχρονα, ελλιπή δίκτυα με αξιόπιστα κανάλια. 1.3 Το μοντέλο του αντιπάλου Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, η αποκλίνουσα συμπεριφορά κάποιων παικτών μοντελοποιείται με έναν κεντρικό αντίπαλο ο οποίος τους διαφθείρει. Για παράδειγμα, ο αντίπαλος σε ένα πραγματικό σενάριο θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει έναν hacker, ο οποίος έχει καταφέρει να αποκτήσει τον έλεγχο των μηχανημάτων που χειρίζονται οι παίκτες Είδος της διαφθοράς Διαφορετικά μοντέλα αντιπάλου μπορούν να προσδιοριστούν σε σχέση με την ικανότητα διαφθοράς του αντιπάλου η χειρότερη περίπτωση αντιπάλου, την οποία μελετάμε στην παρούσα δουλειά, είναι ο Βυζαντινός ή Ενεργός (Byzantine or Active) αντίπαλος. Βυζαντινός ή Ενεργός Αντίπαλος: Οι διεφθαρμένοι παίκτες βρίσκονται υπό τον πλήρη έλεγχο του αντιπάλου και η συμπεριφορά τους μπορεί να παρεκκλίνει από το πρωτόκολλο με αυθαίρετο τρόπο Υπολογιστική δύναμη του αντιπάλου Το μοντέλο αντιπάλου προσδιορίζει επίσης την υπολογιστική του ισχύ. Οι πιο συνηθισμένες υποθέσεις σε ότι αφορά το προηγούμενο είναι ότι ο αντίπαλος είτε είναι υπολογιστικά περιορισμένος, οπότε θεωρείται ότι περιορίζεται σε υπολογισμούς που διαρκούν πολυωνυμικό χρόνο ως προς κάποια παράμετρο ασφάλειας, είτε δεν έχει κανέναν περιορισμό ως προς την υπολογιστική του δύναμη και καλείται αντίπαλος απεριόριστης υπολογιστικής ισχύος. Στη παρούσα εργασία, ασχολούμαστε με πρωτόκολλα που πετυχαίνουν τον στόχο τους ακόμα και υπό την παρουσία ενός Βυζαντινού αντιπάλου απεριόριστης υπολογιστικής ισχύος. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται προφανώς ισχύουν και για άλλους τύπους αντιπάλου

27 1.3. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΝΤΙΠΑΛΟΥ 27 αφού το μοντέλο που χρησιμοποιούμε αποτελεί ένα σενάριο χειρότερης περίπτωσης ως προς επίπτωση της διαφθοράς στο σύστημα Ευάλωτοι παίκτες Τέλος, τα είδη αντιπάλου μπορούν να διακριθούν σε σχέση με τα σύνολα των παικτών που μπορεί να διαφθείρουν. Το μοντέλο του t-φραγμένου αντιπάλου που έχει μελετηθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου ο αντίπαλος μπορεί να διαφθείρει το πολύ t παίκτες στο δίκτυο. Σε αυτήν την εργασία εστιάζουμε στα ακόλουθα μοντέλα αντιπάλου ως προς το εύρος των παικτών που μπορούν να διαφθείρουν. t-τοπικά Φραγμένος Αντίπαλος. Ο αντίπαλος μπορεί να διαφθείρει το πολύ t κόμβουςπαίκτες στην γειτονιά κάθε κόμβου. Το μοντέλο αυτό προτάθηκε από τον Koo [Koo04] to Η σημασία αυτού του μοντέλου προέρχεται, μεταξύ άλλων, από τους τοπικούς περιορισμούς που επιβάλλονται στον αντίπαλο, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον σχεδιασμό κριτηρίων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε δίκτυα άγνωστης τοπολογίας όπου ο κάθε παίκτης γνωρίζει μόνο τους άμεσους γείτονές του με τους οποίους επικοινωνεί. Το μοντέλο τοπικά φραγμένου αντιπάλου είναι ιδιαίτερα σημαντικό στις σύγχρονες πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, στα κοινωνικά δίκτυα είναι πιο πιθανό για έναν παίκτη να έχει μια αρκετά ακριβή εκτίμηση του μέγιστου αριθμού των κακόβουλων παικτών που μπορούν να εμφανιστούν στη γειτονιά του, παρά να έχει μια τέτοια εκτίμηση για ολόκληρο το δίκτυο. Στην πραγματικότητα, αυτό το σενάριο ισχύει για όλα τα είδη των δικτύων, όπου κάθε κόμβος θεωρείται ότι είναι σε θέση να εκτιμήσει το μέγεθος της διαφθοράς στην άμεση γειτονιά του. Είναι επίσης φυσικό το φράγμα των διεφθαρμένων παικτών να ποικίλει σε διάφορα τμήματα του δικτύου. Παρακινούμενοι από τέτοιες θεωρήσεις, σε επόμενα κεφάλαια εισάγουμε μια γενίκευση του t-τοπικά φραγμένου αντιπάλου όπου ο αντίπαλος έχει διαφορετικό φράγμα ως προς τους παίκτες που μπορεί να διαφθείρει σε κάθε γειτονιά. Το μοντέλο γενικού αντιπάλου προτάθηκε και καθιερώθηκε από τους Hirt και Maurer στο [HM97], και εμπεριέχει όλα τα τα γνωστά μοντέλα αντιπάλου, συμπεριλαμβανομένων και τον προαναφερθέντων. Ακολουθεί η τυπική περιγραφή του μοντέλου. Μοντέλο Γενικού Αντιπάλου. Ο αντίπαλος μπορεί να διαφθείρει οποιοδήποτε σύνολο παικτών σε μια δεδομένη οικογένεια συνόλων Z που ονομάζεται δομή αντιπάλου. Μια δομή Z για το σύνολο των παικτών V είναι μια μονότονη οικογένεια υποσυνόλων του V, δηλαδή μια οικογένεια συνόλων όπου κάθε υποσύνολο συνόλου της οικογένειας ανήκει σε αυτήν, δηλαδή: Z 2 V, έτσι ώστε Z Z, Z Z, Z Z

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.4 Τοπολογική Γνώση Όσον αφορά την αρχική γνώση που οι παίκτες διαθέτουν για την τοπολογία του δικτύου, επί το πλείστον έχουν μελετηθεί στη σχετική βιβλιογραφία οι επόμενες δύο περιπτώσεις. Ad Hoc Δίκτυα (ή δίκτυα άγνωστης τοπολογίας) : Κάθε παίκτης γνωρίζει μόνο τις ταυτότητες (ids) των άμεσων γειτόνων του. Δίκτυα Γνωστής τοπολογίας: Κάθε παίκτης γνωρίζει την τοπολογία ολόκληρου του δικτύου (ταυτότητες κόμβων και αντίστοιχες ακμές) Μοντέλο μερικής γνώσης Σε αυτήν την εργασία εισάγουμε επίσης το Μοντέλο Μερικής Γνώσης, στο οποίο κάθε παίκτης γνωρίζει μόνο την τοπολογία ενός αυθαίρετου υπογραφήματος του δικτύου στο οποίο ο ίδιος περιλαμβάνεται. Τυπικός ορισμός του μοντέλου αυτού ακολουθεί σε επόμενο κεφάλαιο. Όπως μπορεί να δει κανείς στα επόμενα κεφάλαια της εργασίας, η γνώση ενός παίκτη ως προς τα πιθανά σύνολα διεφθαρμένων παικτών, συσχετίζεται φυσιολογικά με την τοπολογική γνώση που αυτός κατέχει. H ανάγκη μελέτης μοντέλων περιορισμένης γνώσης υπαγορεύεται από εφαρμογές σε δίκτυα ευρείας κλίμακας (π.χ. το διαδίκτυο), όπου η εκτίμηση του βαθμού δυσλειτουργίας μπορεί να γίνει με σχετική ακρίβεια από τον κάθε συμμετέχοντα στα πλαίσια της γειτονιάς του, ενώ μια συνολική εκτίμηση μπορεί να είναι δύσκολο να επιτευχθεί λόγω γεωγραφικών περιορισμών και περιορισμών δικαιοδοσίας. Επιπλέον, η εγγύτητα κόμβων σε κοινωνικά δίκτυα συχνά συσχετίζεται με αυξημένη ποσότητα διαθέσιμης πληροφορίας, γεγονός που δικαιολογεί περαιτέρω την ευστάθεια του μοντέλου. 1.5 Αποδοτικότητα Κατανεμημένων Πρωτοκόλλων Η πολυπλοκότητα ενός κατανεμημένου πρωτοκόλλου μπορεί να αναλυθεί με βάση το μέγιστο ποσό υπολογισμών που κάθε παίκτης πρέπει να εκτελέσει τοπικά (τοπική πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης) και με βάση το συνολικό ποσό πληροφορίας που απαιτείται να ανταλλαχθεί μεταξύ των παικτών κατά τη διάρκεια του πρωτοκόλλου. Επιπλέον, ο αριθμός των γύρων επικοινωνίας που απαιτούνται για την ολοκλήρωση του πρωτοκόλλου είναι ένα άλλο μέτρο το οποίο πρέπει να ληφθεί υπόψη. Σε σύγχρονα δίκτυα, με τα οποία ασχολούμαστε σε αυτή την εργασία, υποθέτουμε ότι κατά τη διάρκεια κάθε γύρου επικοινωνίας, όλοι οι κόμβοι παράλληλα λαμβάνουν τα τελευταία μηνύματα από τους γείτονές τους, εκτελούν τους τοπικούς υπολογισμούς που υπαγορεύονται από το πρωτόκολλο, και τελικά στέλνουν κάποια νέα μηνύματα στους γείτονές τους. οι παράγοντες που εξετάζονται προς βελτιστοποίηση σε ένα κατανεμημένο πρωτόκολλο είναι οι ακόλουθοι:

29 1.5. ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ 29 Πολυπλοκότητα Επικοινωνίας (Bit/Communication Complexity): Ο μέγιστος συνολικός αριθμός bits που στέλνονται από όλους τους τίμιους παίκτες κατά τη διάρκεια του πρωτοκόλλου, μεταξύ όλων των πιθανών εκτελέσεων αυτού. Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον όρο Πολυπλοκότητα Μηνυμάτων για τον συνολικό αριθμό των μηνυμάτων που αποστέλλονται από όλους τους τίμιους παίκτες. Πολυπλοκότητα Γύρων (Round Complexity): Ο μέγιστος αριθμός διαδοχικών γύρων επικοινωνίας, που χρειάζεται έτσι ώστε όλοι οι τίμιοι παίκτες να τερματίσουν το πρωτόκολλο, μεταξύ όλων των πιθανών εκτελέσεων αυτού. Τοπική Υπολογιστική Πολυπλοκότητα (Local Computations Complexity): Η μέγιστη τοπική πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης μεταξύ όλων των παικτών και των πιθανών εκτελέσεων του πρωτοκόλλου. Ένα κατανεμημένο πρωτόκολλο για το οποίο όλοι οι παραπάνω παράγοντες παραμένουν πολυωνυμικοί ονομάζεται Πλήρως Πολυωνυμικό Πρωτόκολλο (Fully Polynomial protocol).

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

31 Κεφάλαιο 2 Εκπομπή σε Ad Hoc Δίκτυα με Τοπικά Φραγμένο Αντίπαλο Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε το πρόβλημα Εκπομπής σε ελλιπή δίκτυα. Μελετάμε την ανοχή (απέναντι σε σφάλματα) του αλγορίθμου Certified Propagation Algorithm (CPA) [Koo04], ο οποίος είναι κατάλληλος για ad hoc δίκτυα. Αντιμετωπίζουμε το ζήτημα του προσδιορισμού του μέγιστου αριθμού των διεφθαρμένων παικτών t CPA max που ο CPA μπορεί να ανεχθεί στο μοντέλο του t-τοπικά φραγμένου αντιπάλου, στο οποίο ο αντίπαλος μπορεί να διαφθείρει το πολύ t παίκτες στην γειτονιά του κάθε παίκτη. Για κάθε γράφημα G και διανομέα D παρέχουμε άνω και κάτω φράγματα για το t CPA max, τα οποία μπορούν να υπολογιστούν αποδοτικά μέσω μιας γραφοθεωρητικής παραμέτρου που παρουσιάζουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Στην πορεία αυτής της μελέτης σχεδιάζουμε έναν αποδοτικό 2-προσεγγιστικό αλγόριθμο για τον υπολογισμό του t CPA max. Επιπλέον εισάγουμε δύο ακόμα γραφοθεωρητικές παραμέτρους, μία εκ των οποίων αντιστοιχεί ακριβώς στην παράμετρο t CPA max. Η προσέγγισή που ακολουθούμε, μας επιτρέπει να απαντήσουμε καταφατικά στο ανοιχτό πρόβλημα, από το 2005, της Μοναδικότητας του CPA [PP05]. 2.1 Εισαγωγή Στην περίπτωση ενός έντιμου διανομέα, ιδιαίτερα χρήσιμης σε ασύρματα δίκτυα λόγω των αξιόπιστων τοπικών εκπομπών, το αναγκαίο φράγμα t < n/3 για την επιλυσιμότητα του προβλήματος της Αξιόπιστης Εκπομπής δεν ισχύει για παράδειγμα, σε πλήρη δίκτυα το πρόβλημα γίνεται τετριμμένο. Ωστόσο, σε ελλιπή δίκτυα η κατάσταση είναι διαφορετική. Ένας μικρός αριθμός των προδοτών (διεφθαρμένοι παίκτες) μπορούν να καταφέρουν να αλλοιώσουν το αποτέλεσμα του πρωτοκόλλου, ελέγχοντας ένα κρίσιμο μέρος του δικτύου, π.χ. αν οι διεφθαρμένοι παίκτες αποτελούν ένα διαχωριστή του δικτύου, δηλαδή ένα σύνολο κόμβων που η αφαίρεσή τους από το γράφημα το καθιστά μη συνεκτικό. Είναι επομένως λογικό να ορι- 31

32 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. AD HOC ΕΚΠΟΜΠΗ ΜΕ ΤΟΠΙΚΑ ΦΡΑΓΜΕΝΟ ΑΝΤΙΠΑΛΟ στούν κριτήρια, βασισμένα στη δομή του γραφήματος (σε γραφοθεωρητικές παραμέτρους), ώστε να φράσσεται ο αριθμός ή να περιοριστεί η κατανομή προδοτών στο δίκτυο. Μια προσέγγιση προς αυτή την κατεύθυνση είναι η εξέταση τοπολογικών περιορισμών ως προς την ικανότητα διαφθοράς του αντιπάλου. Η σημασία των τοπικών περιορισμών έγκειται, μεταξύ άλλων, στο γεγονός ότι αυτοί οι περιορισμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή τοπικών κριτηρίων τα οποία οι παίκτες μπορούν να χρησιμοποιήσουν για την επίτευξη Εκπομπής σε ad hoc δίκτυα. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το μοντέλο t-τοπικά φραγμένου αντιπάλου που προτάθηκε από τον Koo στο [Koo04], στο οποίο το πολύ t διαφθορές μπορούν να εμφανιστούν στη γειτονιά κάθε κόμβου. Ο Koo [Koo04] πρότεινε ένα απλό, αλλά με μεγάλες δυνατότητες πρωτόκολλο για την Εκπομπή στο μοντέλο τοπικά φραγμένου αντιπάλου. Το πρωτόκολλο αυτό, ονομάστηκε αργότερα από τους Pelc, Peleg [PP05] Certified Propagation Algorithm(CPA) και μελετήθηκε από τον Koo σε δίκτυα ειδικής τοπολογίας (δίκτυα πλέγματος). Το 2005, οι Pelc και Peleg [PP05] μελέτησαν το μοντέλο t-τοπικά φραγμένου αντιπάλου σε γραφήματα γενικής τοπολογίας και πρότειναν μια ικανή τοπολογική συνθήκη υπό την οποία ο CPA μπορεί να επιτύχει εκπομπή σε κάθε δίκτυο. Επίσης παρείχαν ένα άνω φράγμα, που περιγράφεται από μια γραφοθεωρητική παράμετρο, για τον αριθμό των διεφθαρμένων παικτών t που μπορεί να γίνει ανεκτός τοπικά από οποιοδήποτε πρωτόκολλο Εκπομπής. Η εξαγωγή ακριβέστερων φραγμάτων αφέθηκε από τους Pelc, Peleg σαν ανοικτό πρόβλημα. Σε αυτήν την κατεύθυνση, προτάθηκε από τους Ichimura and Shigeno [IS10] μια αποδοτικά υπολογίσιμη γραφοθεωρητική παράμετρος η οποία δίνει τελικά έναν καλύτερο, αλλά όχι ακριβή, χαρακτηρισμό της οικογένειας των γραφημάτων στην οποία ο CPA πετυχαίνει Εκπομπή. Έχει παραμείνει ανοικτό πρόβλημα από το 2005 η εξαγωγή μιας παραμέτρου η οποία αποκαλύπτει τον ακριβή αριθμό προδοτών t για τον οποίο ο CPA είναι t-ανεκτικός, δηλαδή ο αριθμός t ο οποίος μπορεί να γίνει τοπικά ανεκτός από τον CPA για οποιοδήποτε γράφημα G με διανομέα D. Πολύ πρόσφατα οι Tseng,Vaidya και Bhandari [TVB15] ανεξάρτητα από την παρούσα δουλειά, προτείνανε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Εκπομπή μέσω CPA. Εδώ, παρέχουμε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη, που περιγράφεται από μια νέα παράμετρο όπως εξηγείται παρακάτω. Η προσέγγισή αυτή, μας επιτρέπει να παρέχουμε μια καταφατική απάντηση στο ανοιχτό πρόβλημα της μοναδικότητας του CPA [PP05]. 2.2 Διάρθρωση του κεφαλαίου Μελετάμε τη συμπεριφορά του CPA σε γενικά (ελλιπή) δίκτυα, όπου ο παίκτης-διανομέας είναι τίμιος. Όπως θα δούμε στην Ενότητα 2.10, η περίπτωση αυτή αποτυπώνει ουσιαστικά τη δυσκολία του γενικού προβλήματος όπου ακόμα και ο διανομέας μπορεί να είναι διεφθαρμένος. Η αρχική μας συνεισφορά είναι ο ακριβής προσδιορισμός του μέγιστου αριθμού των διεφθαρμένων παικτών t CPA max (G, D) ο οποίος μπορεί να γίνει τοπικά ανεκτός από τον CPA, για οποιοδήποτε γράφημα G με διανομέα D. Καταφέρνουμε αυτό αναπτύσσοντας τις ακόλουθες τρεις γραφοθεωρητικές παραμέτρους: