Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατανεμημένα Συστήματα Ι"

Transcript

1 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου

2 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού Μελέτη κατανεμημένων αλγόριθμων εκλογής αρχηγού για δίκτυα δακτυλίου

3 Περίληψη 1 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 2 Παραλλαγές και εφαρμογές

4 1 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 2 Παραλλαγές και εφαρμογές

5 Μοντέλο Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Το κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) είναι ισχυρά συνεκτικό, δηλαδή υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι ανάμεσα σε κάθε ζεύγος κόμβων Υποθέτουμε και πάλι ότι οι κόμβοι/διεργασίες έχουν δείκτες 1, 2,, n (αυθαίρετη ανάθεση στις διεργασίες) Οι διεργασίες δεν ξέρουν τους δείκτες (τους χρησιμοποιούμε εμείς για να αναφερόμαστε στις διεργασίες) Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs) Κάθε διεργασία γνωρίζει μόνο το δικό της UID

6 Ισχυρά συνεκτικά δίκτυα Το παραπάνω γράφημα δεν είναι ισχυρά συνεκτικό Τα υπογραφήματα στα περιγράμματα είναι ισχυρά συνεκτικά (αποτελούν τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες του γραφήματος)

7 Εκλογή αρχηγού Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Οι διεργασίες έχουν UIDs από κάποιο ολικά διατεταγμένο σύνολο (πχ N + ) Το UID κάθε διεργασίας είναι διαφορετικό από των υπολοίπων Δεν υπάρχει περιορισμός στο ποια UIDs εμφανίζονται τελικά από το σύνολο Ακριβώς μία διεργασία ορίζει τελικά τον εαυτό της αρχηγό θέτοντας leader true Εκδοχές του προβλήματος: Μπορεί να απαιτείται και οι από τους μη-αρχηγούς να θέσουν leader false Το n και το diam μπορεί να είναι γνωστά ή άγνωστα στις διεργασίες (ή μπορεί απλά να γνωρίζουν άνω φράγματα σε αυτές τις ποσότητες)

8 Περιγραφή του αλγορίθμου Οι διεργασίες διατηρούν μια μεταβλητή leader (αρχηγός) η οποία αρχικά είναι false, και μια μεταβλητή max_uid (μέγιστη_ταυτότητα) με αρχική τιμή την ταυτότητα της διεργασίας Σε κάθε γύρο, οι διεργασίες εκπέμπουν το max_uid σε όλους τους γείτονες Μόλις λάβουν μία ταυτότητα απο κάποιον γείτονα, τη συγκρίνουν με τo max_uid Αν είναι μεγαλύτερη, θέτουν τη μεταβλητή στη νέα τιμή Μετά από diam γύρους, αν η μεταβλητή ισούται με την ταυτότητα της διεργασίας, η διεργασία μεταβαίνει στην κατάσταση εκλεγμένη θέτοντας τη μεταβλητή leader στην τιμή true

9 Χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Οι διεργασίες δεν γνωρίζουν το πλήθος των διεργασιών n Οι διεργασίες γνωρίζουν τη διάμετρο του γραφήματος diam Ο αλγόριθμος βασίζεται σε απλές πράξεις σύγκρισης ταυτοτήτων Ο αλγόριθμος πλημμυρίζει (floods) το δίκτυο με το μέγιστο UID

10 Ψευδοκώδικας (1/2) Το αλφάβητο μηνυμάτων M είναι το σύνολο των UIDs states i αποτελείται από: u, ένα UID, αρχικά το UID της i max_uid, ένα UID, αρχικά το UID της i leader {unknown, true, false}, αρχικά unknown rounds, ένας ακέραιος, αρχικά 0 msgs i : if rounds < diam then στείλε max_uid σε κάθε j out_nbrs

11 Ψευδοκώδικας (2/2) trans i : rounds rounds + 1 Έστω U το σύνολο των UIDs που έλαβες από in_nbrs max_uid max({max_uid} U) if rounds = diam then if max_uid = u then leader true else leader false

12 Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου FloodMax Έστω ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα από n = 8 διεργασίες Γενικό δίκτυο, diam = 3 Οι διεργασίες είναι αριθμημένες από 1 έως 8

13 Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου FloodMax Έστω ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα από n = 8 διεργασίες Γενικό δίκτυο, diam = 3 Οι διεργασίες είναι αριθμημένες από 1 έως 8 Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες Δεν γνωρίζουν την ταυτότητα των υπόλοιπων διεργασιών

14 Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου FloodMax Έστω ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα από n = 8 διεργασίες Γενικό δίκτυο, diam = 3 Οι διεργασίες είναι αριθμημένες από 1 έως 8 Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες Δεν γνωρίζουν την ταυτότητα των υπόλοιπων διεργασιών Πρώτος γύρος (αποστολή μηνυμάτων)

15 Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου FloodMax Έστω ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα από n = 8 διεργασίες Γενικό δίκτυο, diam = 3 Οι διεργασίες είναι αριθμημένες από 1 έως 8 Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες Δεν γνωρίζουν την ταυτότητα των υπόλοιπων διεργασιών Πρώτος γύρος (αποστολή μηνυμάτων) Δεύτερος γύρος

16 Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου FloodMax Έστω ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα από n = 8 διεργασίες Γενικό δίκτυο, diam = 3 Οι διεργασίες είναι αριθμημένες από 1 έως 8 Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες Δεν γνωρίζουν την ταυτότητα των υπόλοιπων διεργασιών Πρώτος γύρος (αποστολή μηνυμάτων) Δεύτερος γύρος Εκλογή αρχηγού (διεργασία 2)

17 Ανάλυση του αλγορίθμου FloodMax Έστω n διεργασίες και m = E κανάλια, όπου η διεργασία με τη μεγαλύτερη ταυτότητα είναι η i max Η διεργασία i max εκλέγεται αρχηγός στο τέλος του γύρου diam Καμμία διεργασία εκτός της i max δεν είναι σε κατάσταση εκλεγμένη Η χρονική πολυπλοκότητα είναι O(diam(G)) Η πολυπλοκότητα επικοινωνίας είναι O(diam(G) m)

18 Απόδειξη ορθότητας του FloodMax (1/3) Θεώρημα Στον αλγόριθμο FloodMax, η διεργασία i max θέτει leader true και κάθε άλλη διεργασία θέτει leader false σε diam γύρους Απόδειξη Αρκεί να δό στο γύρο r = diam κάθε j V έχει ήδη θέσει ή θέτει max_uid u max Αν ισχύει αυτό, τότε η i max βλέπει max_uid = u max και θέτει leader true, ενώ κάθε j V, j i max βλέπει max_uid = u max > u και θέτει leader false

19 Απόδειξη ορθότητας του FloodMax (2/3) Απόδειξη (συνέχεια) Αρκεί να δό στο γύρο r = diam κάθε j V έχει ήδη θέσει ή θέτει max_uid u max Παρατηρούμε ότι j V ισχύει ότι dist(i max, j) diam Δηλ μονοπάτι από την i max στην j μήκους x diam i max x

20 Απόδειξη ορθότητας του FloodMax (3/3) Απόδειξη (συνέχεια) i max x Αρκεί να δό στο γύρο x, η διεργασία σε απόσταση x από την i max παραλαμβάνει u max Με επαγωγή στον αριθμό των γύρων (βάση) Αρχικά η i max έχει max_uid = u max Άρα στο γύρο 1 η i max στέλνει u max και η 1 το παραλαμβάνει υπόθεση) Έστω ότι στο γύρο r η διεργασία r παραλαμβάνει u max (βήμα) Επειδή u max > u i, i V, i i max, η r θέτει max-uid u max, άρα στο γύρο r + 1 στέλνει u max και η r + 1 παραλαμβάνει στο γύρο r + 1 j V, j i max, στο γύρο dist(i max, j) diam, η j παραλαμβάνει u max και θέτει max_uid u max

21 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ανάλυση πολυπλοκότητας του FloodMax Χρονική Πολυπλοκότητα

22 Ανάλυση πολυπλοκότητας του FloodMax Χρονική Πολυπλοκότητα Στο γύρο diam όλοι παίρνουν μια απόφαση, άρα η χρονική πολυπλοκότητα είναι diam γύροι Πολυπλοκότητα Επικοινωνίας

23 Ανάλυση πολυπλοκότητας του FloodMax Χρονική Πολυπλοκότητα Στο γύρο diam όλοι παίρνουν μια απόφαση, άρα η χρονική πολυπλοκότητα είναι diam γύροι Πολυπλοκότητα Επικοινωνίας Σε κάθε γύρο, κάθε διεργασία στέλνει το max_uid σε όλες τις εξερχόμενες ακμές της Επειδή κάθε e E είναι εξερχόμενη ακριβώς μίας κορυφής, σε κάθε γύρο στέλνεται ακριβώς ένα μήνυμα από την e, άρα E μηνύματα σε κάθε γύρο Αφού ο αριθμός των γύρων είναι diam, συνολικά στέλνονται diam E μηνύματα

24 Ανάλυση πολυπλοκότητας του FloodMax Χρονική Πολυπλοκότητα Στο γύρο diam όλοι παίρνουν μια απόφαση, άρα η χρονική πολυπλοκότητα είναι diam γύροι Πολυπλοκότητα Επικοινωνίας Σε κάθε γύρο, κάθε διεργασία στέλνει το max_uid σε όλες τις εξερχόμενες ακμές της Επειδή κάθε e E είναι εξερχόμενη ακριβώς μίας κορυφής, σε κάθε γύρο στέλνεται ακριβώς ένα μήνυμα από την e, άρα E μηνύματα σε κάθε γύρο Αφού ο αριθμός των γύρων είναι diam, συνολικά στέλνονται diam E μηνύματα Σημείωση: Ο αλγόριθμος δουλεύει ακόμα και αν οι διεργασίες γνωρίζουν ένα άνω φράγμα d στη διάμετρο (δηλ d diam) Η πολυπλοκότητα τότε εξαρτάται από το d (στη θέση του diam)

25 Βελτίωση πολυπλοκότητας επικοινωνίας Ιδέα: Οι διεργασίες στέλνουν τις max_uid τιμές τους μόνο όταν τις μαθαίνουν για πρώτη φορά (όχι σε κάθε γύρο) Το u max προωθείται σαν κύμμα προς όλες τις διεργασίες Βελτιώνει στην πράξη αλλά όχι στη χειρότερη περίπτωση (Αλγόριθμος OptFloodMax)

26 Αλγόριθμος OptFoodMax Ψευδοκώδικας (1/2) Το M είναι το σύνολο των UIDs states i αποτελείται από: u, ένα UID, αρχικά το UID της i max_uid, ένα UID, αρχικά το UID της i leader {unknown, true, false}, αρχικά unknown rounds, ακέραιος, αρχικά 0 new_info, boolean, αρχικά true msgs i : if rounds < diam and new_info =true then στείλε max_uid σε κάθε j out_nbrs

27 Αλγόριθμος OptFoodMax Ψευδοκώδικας (2/2) trans i : rounds rounds + 1 Έστω U το σύνολο των UIDs που έλαβες από in_nbrs if max(u) > max_uid then new_info true max_uid max(u) else new_info false if rounds = diam then if max_uid = u then leader true else leader false

28 Απόδειξη ορθότητας του OptFloodMax (1/2) Θεώρημα Στον αλγόριθμο OptFloodMax η διεργασία i max θέτει leader true και κάθε άλλη διεργασία θέτει leader false σε diam γύρους Απόδειξη Θα αποδείξουμε την ορθότητα του OptFloodMax δείχνοντας ότι όταν ξεκινάει από την ίδια ανάθεση UIDs και το ίδιο δίκτυο με τον FloodMax, προσομοιώνει τη συμπεριφορά του Θα αποδείξουμε μια σχέση προσομοίωσης που περιλαμβάνει τις καταστάσεις και των δύο αλγορίθμων μετά τον ίδιο αριθμό γύρων

29 Απόδειξη ορθότητας του OptFloodMax (2/4) Θα δό r, 0 r diam, μετά από r γύρους οι τιμές των u, max-uid, leader, και rounds μεταβλητών είναι ίδιες στις καταστάσεις και των δύο αλγορίθμων Για τα u, rounds, και leader, ισχύει τετριμμένα για κάθε r < diam

30 Απόδειξη ορθότητας του OptFloodMax (3/4) Απόδειξη (συνέχεια) Απομένει να δό μετά από κάθε γύρο r, max_uid i = max_uid i, όπου με αναφερόμαστε στον OptFloodMax Αυτό θα συνεπάγεται και leader i = leader i μετά το γύρο diam, δηλαδή ότι και οι δύο αλγόριθμοι παίρνουν τελικά την ίδια απόφαση σε όλες τις διεργασίες

31 Απόδειξη ορθότητας του OptFloodMax (4/4) Θα δείξουμε ότι μετά από κάθε γύρο r, max_uid i = max_uid i, όπου με αναφερόμαστε στον OptFloodMax Απόδειξη με επαγωγή στον αριθμό των γύρων r: Αν στο γύρο r ισχύει max_uid i = max_uid i, τότε δό ισχύει και στον r + 1 (ισχύει τετριμμένα για r = 0) Η μόνη ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι όταν η i δεν στέλνει στον OptFoodMax ενώ στέλνει στον FloodMax Όμως εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση καμμία διεργασία δεν μπορεί να μη γνωρίζει το max_uid i Άρα η αποστολή του max_uid i από τον FloodMax είναι περιττή

32 Σημειώσεις για μέθοδο προσομοίωσης Η μέθοδος της προσομοίωσης είναι πολύ χρήσιμη στην απόδειξη της ορθότητας βελτιστοποιημένων εκδοχών κατανεμημένων αλγορίθμων Πρώτα αποδεικνύεται ορθή μία απλή εκδοχή Έπειτα μία πιο αποδοτική αλλά πιο σύνθετη εκδοχή επαληθεύεται αποδεικνύοντας μία τυπική σχέση μεταξύ αυτής και του απλού αλγορίθμου Στους σύγχρονους αλγορίθμους γίνεται γενικά μέσω των καταστάσεων και των δύο αλγορίθμων μετά από τον ίδιο αριθμό γύρων

33 Παρατηρήσεις Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Μπορούμε να μειώσουμε λίγο ακόμα το πλήθος των μηνυμάτων του FloodMax: Αν μια διεργασία i λάβει νέο μέγιστο από τη διεργασία j που είναι και εισερχόμενος και εξερχόμενος γείτονάς της, τότε η i δεν χρειάζεται να στείλει μήνυμα στη j στον επόμενο γύρο Ο FloodMax μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση του LCR, όμως ο LCR δεν χρειάζεται να ξέρει τη διάμετρο, στον LCR ο αρχηγός εκλέγεται όταν μια διεργασία λάβει μήνυμα με το δικό της UID και όχι μετά από ένα συγκεκριμένο αριθμό γύρων όπως στον FloodMax

34 Αντιπαράδειγμα για τον OptFloodMax (1/3) Παρουσιάζουμε ένα δίκτυο και μία ανάθεση UIDs στις διεργασίες του, στα οποία ο αλγόριθμος στέλνει Θ(n 3 ) μηνύματα Η πολυπλοκότητα επικοινωνίας του FloodMax είναι diam E = O(n 3 ) Άρα θα έχουμε δείξει ότι ο OptFloodMax δεν βελτιώνει τον FloodMax στη χειρότερη περίπτωση

35 Αντιπαράδειγμα για τον OptFloodMax n n 1 n 2 n UIDs i, 2 i n, (i, i 1) E (η κατευθυνόμενη γραμμή προς τα δεξιά), u i = i i, j, 1 i < j n, (i, j) E (όλες οι αντίστροφες ακμές - προσοχή, δεν είναι όλες ζωγραφισμένες στην εικόνα) diam = n 1, γιατί dist(n, 1) = n 1 Η διεργασία 1 έχει n 1 εξερχόμενες ακμές και i > 1, η διεργασία i έχει n i + 1 εξερχόμενες ακμές Οι αντίστροφες ακμές δεν συνεισφέρουν νέα γνώση αφού πάντα στέλνουν μικρότερο id σε διεργασία που ξέρει μεγαλύτερο id

36 Αντιπαράδειγμα για τον OptFloodMax (2/3) n n 1 n 2 n n n 1 n n n n n n 1 n n 2 n 1 n 1 # transmissions

37 Αντιπαράδειγμα για τον OptFloodMax (3/3) Αριθμός μηνυμάτων: n #messages = (n 1) 2 + (n i + 1) 2 i=2 [ n ] = (n i + 1) 2 2n + 1 i=1 [ n ] = i 2 2n + 1 i=1 = n3 3 + n2 2 + n 6 2n + 1 = Θ(n 3 )

38 Παραλλαγές και εφαρμογές 1 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 2 Παραλλαγές και εφαρμογές

39 Ορισμοί Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Ένα κατευθυνόμενο επικαλυπτικό δέντρο ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E) είναι ένα δέντρο με ρίζα που αποτελείται απκλειστικά από κατευθυνόμενες ακμές του E, με όλες τις ακμές να έχουν κατεύθυνση από τους γονείς στα παιδιά τους, και που περιέχει κάθε κορυφή του G Ένα κατευθυνόμενο επικαλυπτικό δέντρο του G με ρίζα τον κόμβο i 0 είναι πρώτα κατά πλάτος αν κάθε κόμβος σε απόσταση d από τον i 0 στο G εμφανίζεται σε βάθος d στο δένδρο Κάθε ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα έχει ένα πρώτα κατά πλάτος κατευθυνόμενο επικαλυπτικό δένδρο

40 Παραλλαγές και εφαρμογές Σε ένα σύγχρονο δίκτυο G, η αναζήτηση πρώτα κατά πλάτος (breadth-first search, BFS) απαιτεί την κατασκευή ενός επικαλυπτικού δέντρου T(G), με ρίζα μια διεργασία i 0, όπου οι κορυφές που είναι σε απόσταση d από την i 0 στο G βρίσκονται στο επίπεδο d του δέντρου T(G) Υποθέτουμε πλήρως συνεκτικό γράφημα Ο αλγόριθμος πρέπει να δίνει ως έξοδο τη δομή ενός πρώτα κατά πλάτος κατευθυνόμενου επικαλυπτικού δένδρου Η έξοδος πρέπει να δίνεται κατανεμημένα: κάθε διεργασία πρέπει να ορίζει το γονέα της

41 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Οι διεργασίες διατηρούν μια μεταβλητή μαρκαρισμένη η οποία αρχικά είναι false και μια μεταβλητή γονέας με αρχική τιμή 0

42 Παραλλαγές και εφαρμογές Οι διεργασίες διατηρούν μια μεταβλητή μαρκαρισμένη η οποία αρχικά είναι false και μια μεταβλητή γονέας με αρχική τιμή 0 Αρχικά, η διεργασία u 0 θέτει τη μεταβλητή μαρκαρισμένη ως true, τη γονέας ίση με την ταυτότητα της, και στέλνει ένα μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες της

43 Παραλλαγές και εφαρμογές Οι διεργασίες διατηρούν μια μεταβλητή μαρκαρισμένη η οποία αρχικά είναι false και μια μεταβλητή γονέας με αρχική τιμή 0 Αρχικά, η διεργασία u 0 θέτει τη μεταβλητή μαρκαρισμένη ως true, τη γονέας ίση με την ταυτότητα της, και στέλνει ένα μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες της Σε κάθε γύρο, εάν μια διεργασία λάβει ένα μήνυμα αναζήτησης και η τιμή της μεταβλητής μαρκαρισμένη είναι false, τότε θέτει τη μεταβλητή σε true, θέτει τη γονέας ίση με την ταυτότητα της διεργασίας από όπου έλαβε το μήνυμα, και στον επόμενο γύρο στέλνει ένα μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες της

44 Παραλλαγές και εφαρμογές Οι διεργασίες διατηρούν μια μεταβλητή μαρκαρισμένη η οποία αρχικά είναι false και μια μεταβλητή γονέας με αρχική τιμή 0 Αρχικά, η διεργασία u 0 θέτει τη μεταβλητή μαρκαρισμένη ως true, τη γονέας ίση με την ταυτότητα της, και στέλνει ένα μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες της Σε κάθε γύρο, εάν μια διεργασία λάβει ένα μήνυμα αναζήτησης και η τιμή της μεταβλητής μαρκαρισμένη είναι false, τότε θέτει τη μεταβλητή σε true, θέτει τη γονέας ίση με την ταυτότητα της διεργασίας από όπου έλαβε το μήνυμα, και στον επόμενο γύρο στέλνει ένα μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες της Υποθέσεις: Οι διεργασίες δεν γνωρίζουν το πλήθος των διεργασιών n Οι διεργασίες έχουν μοναδικές ταυτότητες

45 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS Αρχικό δίκτυο Αρχικό δίκτυο 3 Το δίκτυο έχει 9 κόμβους, 14 ακμές Η διεργασία 1 ξεκινά την εκτέλεση του αλγορίθμου Η διεργασία 1 θεωρείται μαρκαρισμένη Όλες οι άλλες διεργασίες δεν είναι μαρκαρισμένες

46 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 1ος γύρος 1ο βήμα Η διεργασία 1 στέλνει μήνυμα αναζήτησης σε όλους του γείτονες της 1ος γύρος 1ο βήμα s s

47 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 1ος γύρος 2ο βήμα 1ος γύρος 1ο βήμα 3 Η διεργασία 1 στέλνει μήνυμα αναζήτησης σε όλους του γείτονες της 8 6 1ος γύρος 2ο βήμα Οι διεργασίες 2, 5 μαρκάρονται Οι διεργασίες 2, 5 θέτουν την 1 ως γονέα στο δέντρο

48 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 2ος γύρος 1ο βήμα 3 2ος γύρος 1ο βήμα s 8 6 Οι διεργασίες 2, 5 στέλνουν μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες τους 5 1 s 1 s 9 s 1 s s 1 2 s 4 s 7

49 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 2ος γύρος 1ο βήμα Οι διεργασίες 2, 5 στέλνουν μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες τους 2ος γύρος 2ο βήμα 3 5 2ος γύρος 2ο βήμα Η διεργασία 1 αγνοεί τα μηνύματα αναζήτησης που έλαβε Οι διεργασίες 3, 4, 7, 8, 9 μαρκάρονται Οι διεργασίες 3, 8 θέτουν την 5 ως γονέα στο δέντρο Οι διεργασίες 4, 7 θέτουν την 2 ως γονέα στο δέντρο Η διεργασία 9 διαλέγει τυχαία την 2 ως γονέα στο δέντρο

50 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 3ος γύρος 1ο βήμα Οι διεργασίες 3, 4, 7, 8, 9 στέλνουν μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες τους 3ος γύρος 1ο βήμα s s s s s s s s s s s s s s s s

51 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 3ος γύρος 1ο βήμα Οι διεργασίες 3, 4, 7, 8, 9 στέλνουν μήνυμα αναζήτησης σε όλους τους γείτονες τους 3ος γύρος 2ο βήμα Οι διεργασίες 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 αγνοούν τα μηνύματα αναζήτησης που έλαβαν Η διεργασία 6 μαρκάρεται 3ος γύρος 2ο βήμα Η διεργασία 6 διαλέγει τυχαία την 8 ως γονέα στο δέντρο

52 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 4ος γύρος 1ο βήμα Η διεργασία 6 στέλνει μήνυμα αναζήτησης σε όλους του γείτονες της 4ος γύρος 1ο βήμα s s

53 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS 4ος γύρος 2ο βήμα 5 4ος γύρος 1ο βήμα Η διεργασία 6 στέλνει μήνυμα αναζήτησης σε όλους του γείτονες της 4ος γύρος 2ο βήμα Οι διεργασίες 4, 8 αγνοούν τα μηνύματα αναζήτησης που έλαβαν

54 Παραλλαγές και εφαρμογές Παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου SynchBFS Τελικό δίκτυο 5 3 Τελικό δίκτυο Το δέντρο αναζήτησης κατά εύρος έχει κατασκευαστεί Ο αλγόριθμος εκτελέστηκε σε 4 γύρους Συνολικά μεταδόθηκαν 28 μηνύματα

55 Παραλλαγές και εφαρμογές Χαρακτηριστικά του αλγορίθμου SynchBFS κατασκευάζει ένα δέντρο αναζήτησης πρώτα κατά πλάτος Η δομή του δέντρου δεν είναι αποθηκευμένη σε κάποια κεντρική διεργασία Η χρονική πολυπλοκότητα είναι το πολύ diam γύροι Στην πραγματικότητα είναι η μέγιστη απόσταση από τη u 0 Στο παράδειγμα, η διάμετρος είναι 4, αλλά η μέγιστη απόσταση από τη u 0 είναι 3 Η πολυπλοκότητα επικοινωνίας είναι m

56 Παραλλαγές και εφαρμογές Βελτίωση της πολυπλοκότητας επικοινωνίας Μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των μηνυμάτων που χρησιμοποιεί ο αλγόριθμος ως εξής: Οι διεργασίες μπορούν να αναγνωρίσουν το κανάλι από το οποίο έλαβαν ένα μήνυμα Οι διεργασίες δεν στέλνουν μηνύματα αναζήτησης στα κανάλια από τα οποία έλαβαν ένα μήνυμα αναζήτησης Στο παράδειγμα εκτέλεσης του SynchBFS τα συνολικά μηνύματα μειώνονται κατά 10

57 Διάδοση (broadcast) μηνύματος Παραλλαγές και εφαρμογές Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για τη μετάδοση ενός μηνύματος σε όλο το δίκτυο Η διεργασία u 0 θέλει να στείλει το μήνυμα M σε όλες τις διεργασίες του δικτύου Η διεργασία u 0 ξεκινάει την κατασκευή του δέντρου στέλνοντας το μήνυμα αναζήτησης το οποίο περιέχει και το μήνυμα M Οι άλλες διεργασίες επισυνάπτουν και αυτές με τη σειρά τους το μήνυμα M στα μηνύματα αναζήτησης που στέλνουν Εφόσον το δέντρο περιέχει όλες τις διεργασίες, το μήνυμα M τελικά παραλαμβάνεται από όλες τις διεργασίες του δικτύου

58 Πλήρης γνώση (1/2) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Είναι απαραίτητο κάθε διεργασία να γνωρίζει και τα παιδιά της Τροποποιούμε τον αλγόριθμο SynchBFS ως εξής: Κάθε διεργασία που λαμβάνει ένα μήνυμα αναζήτησης επιστρέφει στον αποστολέα ένα μήνυμα γονέας ή μη-γονέας ανάλογα του αν ο αποστολέας είναι ο γονέας της διεργασίας Χαρακτηριστικά: Κατά την ολοκλήρωση της εκτέλεσης του SynchBFS, όλες οι διεργασίες γνωρίζουν τα παιδιά τους Η χρονική πολυπλοκότητα και η πολυπλοκότητα μηνυμάτων παραμένουν ίδιες (στη χειρότερη περίπτωση)

59 Πλήρης γνώση (2/2) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των μηνυμάτων που χρησιμοποιεί ο αλγόριθμος Τροποποιούμε τον αλγόριθμο SynchBFS ως εξής: Κάθε διεργασία που λαμβάνει μήνυμα αναζήτησης απαντά στον αποστολέα με ένα μήνυμα γονέας εφόσον ο αποστολέας είναι ο γονέας της διεργασίας Εάν η διεργασία που έστειλε το μήνυμα αναζήτησης σε μία γειτονική διεργασία, δεν λάβει μήνυμα γονέας στον επόμενο γύρο, θεωρεί ότι δεν επιλέχτηκε ως γονέας της γειτονικής διεργασίας χρησιμοποιεί m + n 1 μηνύματα

60 Τερματισμός (1/3) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Πώς μπορεί η διεργασία u 0 να μάθει πότε ολοκληρώθηκε η κατασκευή του δέντρου; Δεν είναι γνωστή η διάμετρος του δικτύου και το πλήθος των διεργασιών n Βασιζόμαστε την παραλλαγή SynchBFS όπου οι διεργασίες απαντάνε στον αποστολέα ενός μηνύματος αναζήτησης με ένα μήνυμα γονέας ή μη-γονέας ανάλογα του αν ο αποστολέας είναι ο γονέας της διεργασίας

61 Τερματισμός (2/3) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Επεκτείνουμε τον SynchBFS ως εξής: Εφόσον κάθε μήνυμα αναζήτησης απαντηθεί, κάθε κόμβος ξέρει τα παιδιά του και ότι είναι όλα μαρκαρισμένα Ξεκινώντας από τα φύλα, προωθούμε μήνυμα τερματισμού προς τη ρίζα του δένδρου

62 Τερματισμός (3/3) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Επομένως τα μηνύματα γονέας ή μη-γονέας έχουν δύο χρήσεις: 1 Παροχή πλήρους γνώσης κάθε διεργασία γνωρίζει και τα παιδιά της 2 Ενημέρωση τερματισμού κάθε διεργασία γνωρίζει πότε τα υποδέντρα των παιδιών της έχουν κατασκευαστεί τ απαιτεί O(diam(G)) γύρους και χρησιμοποιεί O(m) μηνύματα

63 Παραλλαγές και εφαρμογές Εφαρμογές του αλγορίθμου SynchBFS Διάδοση μηνυμάτων (broadcast) Συλλογή πληροφορίας και υπολογισμοί με κατανεμημένη είσοδο Εκλογή αρχηγού Υπολογισμός της διαμέτρου

64 Παράδειγμα (1/2) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Έλεγχος χώρου στάθμευσης αυτοκινήτων Για λόγους αυτόματου ελέγχου, η εταιρεία τοποθετεί ένα πλήθος από μονάδες εφοδιασμένες με αισθητήρες έτσι ώστε να καλύπτουν όλο το χώρο στάθμευσης Οι μονάδες συνδέονται μέσω ενός ασύρματου δικτύου Το σύστημα υπολογίζει αυτόματα το σύνολο των σταθμευμένων αυτοκινήτων Οι μονάδες έχουν ξεχωριστή διεύθυνση στο δίκτυο Ο χειριστής του συστήματος χρησιμοποιεί έναν τερματικό σταθμό που είναι συνδεδεμένος στο ασύρματο δίκτυο

65 Παράδειγμα (2/2) Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Παραλλαγές και εφαρμογές Ο τερματικός σταθμός δημιουργεί ένα δέντρο αναζήτησης πρώτα κατά πλάτος Κάθε μονάδα μετράει το πλήθος των αυτοκινήτων που βλέπει και το στέλνει στο γονέα της στο δέντρο Ο γονέας συγκεντρώνει τις τιμές που έλαβε από τα παιδιά της στο δέντρο, τις προσθέτει με τη δικιά της και στέλνει το σύνολο στο δικό της γονέα Το άθροισμα που υπολογίζει η ρίζα του δέντρου είναι το πλήθος των σταθμευμένων αυτοκινήτων

66 Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Βιβλιογραφία Σημειώσεις του μαθήματος Βιβλίο Distributed Algorithms (NLynch) Κεφάλαιο 4: Algorithms in General Synchronous Networks

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 13 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 2 Το πρόβλημα εκλογής αρχηγού Ο αλγόριθμος LCR Ο αλγόριθμος HS 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 10 Νοεμβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 1 Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Προηγούμενη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Ασύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Κατανεμημένα Συστήματα Ι 6η Διάλεξη 24 Νοεμβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 6η Διάλεξη 1 Ασύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Περίληψη 1 Ασύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Δακτύλιοι Το πρόβλημα της Εκλογής Προέδρου Εκλογή Προέδρου σε Ανώνυμους Δακτύλιους Ασύγχρονος Αλγόριθμος με

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Αλγόριθμοι σε Γράφους ΙΙ. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 3: Αλγόριθμοι σε Γράφους ΙΙ. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη : Αλγόριθμοι σε Γράφους ΙΙ ΕΠΛ : Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Κατασκευή ΓΔ Γνωστή Ρίζα Τι θα δούμε σήμερα Κατασκευή ΓΔ Κατά Βάθος Αναζήτησης - Γνωστή Ρίζα Κατασκευή ΓΔ Άγνωστη Ρίζα ΕΠΛ: Κατανεµηµένοι

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Υποστήριξη Φοιτητών

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Υποστήριξη Φοιτητών Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης ευτέρα, 24 Οκτωβρίου, 2011 Αίθουσα Β3 Υλικό µαθήµατος Σηµειώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να επικοινωνούν µεταξύ τους.

Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να επικοινωνούν µεταξύ τους. Εισαγωγή Μοντέλο Βασικοί Αλγόριθµοι Γράφων Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Βυζαντινά Σφάλματα Τι θα δούμε σήμερα Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Συμφωνίας με Βυζαντινά Σφάλματα: n > 3f Αλγόριθμος Συμφωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα. Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κατανεμημένα Συστήματα. Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κατανεμημένα Συστήματα Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6: Εκλογή Προέδρου σε Σύγχρονους Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 6: Εκλογή Προέδρου σε Σύγχρονους Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 6: Εκλογή Προέδρου σε Σύγχρονους Δακτύλιους ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Μη Ομοιόμορφος Αλγόριθμος Εκλογής Προέδρου σε Σύγχρονο Δακτύλιο Ομοιόμορφος Αλγόριθμος Εκλογής Προέδρου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά και Διάχυτα Συστήματα. Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κινητά και Διάχυτα Συστήματα. Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κινητά και Διάχυτα Συστήματα Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Φροντιστηρίου. Κατανεμημένα Συστήματα Ι. Το περιβάλλον DAP - Χαρακτηριστικά. Το περιβάλλον DAP Τι είναι.

Περίληψη Φροντιστηρίου. Κατανεμημένα Συστήματα Ι. Το περιβάλλον DAP - Χαρακτηριστικά. Το περιβάλλον DAP Τι είναι. Κατανεμημένα Συστήματα Ι 1 Περίληψη Φροντιστηρίου 2 Το Περιβάλλον DAP Φροντιστήριο Ένα παράδειγμα υλοποίησης στο DAP Δευτέρα 14 Νοεμβρίου 2005 Γιάννης Κρομμύδας Το περιβάλλον DAP Τι είναι Το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα. Javascript LCR example

Κατανεμημένα Συστήματα. Javascript LCR example Κατανεμημένα Συστήματα Javascript LCR example Javascript JavaScript All JavaScript is the scripting language of the Web. modern HTML pages are using JavaScript to add functionality, validate input, communicate

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα με Java. Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κατανεμημένα Συστήματα με Java. Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κατανεμημένα Συστήματα με Java Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Τι είναι ένα Κατανεμημένο Σύστημα; Επικοινωνία, Χρονισμός, Σφάλματα Μοντέλο Ανταλλαγής Μηνυμάτων 1

Διαβάστε περισσότερα

Εντοπισμός τερματισμού. Κατανεμημένα Συστήματα 1

Εντοπισμός τερματισμού. Κατανεμημένα Συστήματα 1 Εντοπισμός τερματισμού Κατανεμημένα Συστήματα 1 lalis@inf.uth.gr Μοντέλο συστήματος Μια ομάδα διεργασιών εκτελεί έναν υπολογισμό Κατάσταση διεργασίας: ενεργητική ή παθητική (ανάλογα με το αν εκτελεί μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Αναζήτηση στους γράφους Βασικός αλγόριθμος λό - Αναζήτηση κατά πλάτος - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Διάσχιση (αναζήτηση ) στους γράφους Φεύγοντας

Διαβάστε περισσότερα

Εκλογήαρχηγού. Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου. Κατανεµηµένα Συστήµατα 06-1

Εκλογήαρχηγού. Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου. Κατανεµηµένα Συστήµατα 06-1 Εκλογήαρχηγού Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 06- Εισαγωγή Πρόβληµα: επιλογή µίας διεργασίας από το σύνολο εν αρκεί να αυτοανακηρυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύγχρονο σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα

Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα Τµήµα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τει Δυτικής Ελλάδας Μεσολόγγι Δρ. Α. Στεφανή Διάλεξη 5 2 Εγκυροποίηση Λογισµικού Εγκυροποίηση Λογισµικού

Διαβάστε περισσότερα

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος 2017 1 / 53 Outline 1 Άσκηση 1:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αµοιβαίοςαποκλεισµός. Κατανεµηµένα Συστήµατα 03-1

Αµοιβαίοςαποκλεισµός. Κατανεµηµένα Συστήµατα 03-1 Αµοιβαίοςαποκλεισµός Εισαγωγή Συγκεντρωτική προσέγγιση Κατανεµηµένη προσέγγιση Αλγόριθµος Lamport Αλγόριθµος Ricart-Agrawala Προσέγγιση µεταβίβασης σκυτάλης Αλγόριθµος LeLann Αλγόριθµος Raymond Αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση

Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος Μοντέλου Αλγόριθμοι γράφων Αλγόριθμοι αυτομάτων Αυτόματα ως προδιαγραφές ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 4-1

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ελάχιστα Γεννητικά Δένδρα Ελάχιστο Γεννητικό

Διαβάστε περισσότερα

Fast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002.

Fast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002. Fast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002. ιδάσκων: Άρης Παγουρτζής Παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος nleon@cs.ntua.gr 1 Το μοντέλο 2 6 5 9 1 3 4 7 8 Broadcasting: Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 3 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού σε περιβάλλον ανταλλαγής μηνυμάτων. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 10: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού σε περιβάλλον ανταλλαγής μηνυμάτων. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 10: Αλγόριθμοι Αμοιβαίου Αποκλεισμού σε περιβάλλον ανταλλαγής μηνυμάτων ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Αλγόριθμος Χρήση Συντονιστή Αλγόριθμος του Lamport Αλγόριθμος LeLann:

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του µαθήµατος. Κατανεµηµένα συστήµατα. Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Σκοπός του µαθήµατος. Κατανεµηµένα συστήµατα. Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Σκοπός του µαθήµατος Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης ευτέρα, 7 Ιανουαρίου, 2008 Αίθουσα Β3 Μελέτη ϐασικών ϑεωρητικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ Δυαδικά Δέντρα

Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ Δυαδικά Δέντρα Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Δυαδικά Δένδρα Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης (ΔΔΑ) Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου Εισαγωγή στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεπής παρατήρηση εκτέλεσης & συνεπείς καθολικές καταστάσεις. Κατανεμημένα Συστήματα 1

Συνεπής παρατήρηση εκτέλεσης & συνεπείς καθολικές καταστάσεις. Κατανεμημένα Συστήματα 1 Συνεπής παρατήρηση εκτέλεσης & συνεπείς καθολικές καταστάσεις Κατανεμημένα Συστήματα 1 lalis@inf.uth.gr Λογικά συνεπείς τομές Τμήμα τοπικής ιστορίας: h i.k {e i.1,e i.2,e i.k } τμήμα της τοπικής εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δένδρα. Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών :

Δένδρα. Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών : Δένδρα Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών : Ανάλυση αλγορίθμων (π.χ. δένδρα αναδρομής) Δομές δεδομένων (π.χ. δένδρα αναζήτησης) ακμή Κατηγορίες (αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα