Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17. Ανάδραση του ανύσματος κατάστασης και επανατοποθέτηση πόλων του συστήματος Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης καταστάσεως. Ackermann s formula. Χρήση Butterworth πολυωνύμων. Μέθοδο Faddeev. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη των μεθόδων επανατοποθέτηση ιδιοτιμών ενός συστήματος μιας εισόδου μέσω ανάδρασης καταστάσεως. 5

6 Κανονική μορφή ελεγξιμότητας (Συστήματα μίας εισόδου και μίας εξόδου) Έστω το σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων x t = Ax t + Bu t (1) A R n n, B R n 1 6

7 Θεώρημα 1 Θεώρημα. Το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο αν και μόνο αν υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x t = T 1 x t x t = Tx t, T R n n, T 0 τέτοιος ώστε οι πίνακες Α T 1 AΤ, Β = T 1 Β, οι οποίοι περιγράφουν το σύστημα με άνυσμα κατάστασης το x t x t = Αx t + Βu t να έχουν την μορφή A = a 0 a 1 a 2 a n 1 R n n, B = R n 1 (2) 7

8 Κανονική μορφή ελεγξιμότητας όπου a i R, i = 0,1,2,, n 1 είναι οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του A: det si n A = d s = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Ορισμός. Λέμε ότι οι πίνακες της μορφής (2) βρίσκονται στην κανονική μορφή ελεγξιμότητας. 8

9 Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (1) x t x t = Ax t + Bu t Tx t x t = Tx t = T 1 AT = ATx t + Bu t A x t + T 1 B B u t si n A B = = st 1 T T 1 AT T 1 B = = T 1 si n A B T 0 0 I m 9

10 Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (2) x t x t = Ax t + Bu t x t = Tx t Tx t = ATx t + Bu t = T 1 AT x t C = B AB A n 1 B = A + T 1 B B u t = T 1 B T 1 AT T 1 B T 1 AT n 1 T 1 B = T 1 B T 1 AB T 1 A n 1 B = T 1 B AB A n 1 B = = T 1 C 10

11 Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (3) B R n 1 x t = Ax t + Bu t x t = Tx t Tx t = ATx t + Bu t x t = T 1 AT x t + T 1 B u t A B C = T 1 C TC = C T = C C 1 11

12 Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (4) Κανονική μορφή ελεγξιμότητας B = AB = A = a 0 a 1 a 2 A 2 B = A AB = , B = a 0 a 1 a = 0 1 a a 0 a 1 a a 2 = 1 a 2 a 1 + a

13 Αναλλοίωτες κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας (5) C = B AB A 2 B = 0 1 a a 2 a 1 + a 2 a 1 a 2 1 C 1 = a T = C C 1 = B AB A 2 B a 1 a 2 1 a

14 Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης (Eigenvalue assignment via state feedback) (1) Έστω το σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων: x t = Ax t + Bu t (1) A R n n, B R n 1 Υποθέτουμε ότι όλες οι συνιστώσες x i t, i = 1,2,, n του ανύσματος κατάστασης x 1 t x t = x 2 t x n t R n 1 είναι γνωστές μετρήσιμες (στην πράξη κάτι τέτοιο συμβαίνει μόνο σε ειδικές περιπτώσεις). 14

15 Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης (Eigenvalue assignment via state feedback) (2) Ορίζουμε «νόμο ελέγχου» που αποτελεί ανάδραση του ανύσματος κατάστασης μέσω σταθερού πίνακα F R 1 n (state feedback control law), ο οποίος συνίσταται σε ένα γραμμικό συνδυασμό όλων των συνιστωσών x i t, i = 1,2,, n του ανύσματος κατάστασης, με βάση την: u t = r t + Fx t (2) u t = r t + Fx t = r t + f 0 f 1 f n 1 x 2 t x 1 t x n t = r t + f 0 x 1 t + f 1 x 2 t + + f n 1 x n t (3) = 15

16 Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης (Eigenvalue assignment via state feedback) (3) όπου F = f 0 f 1 f n 1 R 1 n και r(t) μία νέα είσοδος αναφοράς. Ορισμός. Ένας νόμος ελέγχου όπως ο (3) ονομάζεται regulator. Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουμε ότι το σύστημα κλειστού βρόγχου είναι το x t = Ax t + B r t + Fx t = Ax t + Br t + BFx t = A + BF x t + Br t x t = A + BF x t + Br t (4) 16

17 Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης (Eigenvalue assignment via state feedback) (4) 17

18 Επανατοποθέτηση ιδιοτιμών μέσω ανάδρασης (Eigenvalue assignment via state feedback) (5) Η ασυμπτωτική ευστάθεια ενός γραμμικού και χρονικά αναλλοίωτου συστήματος, όπως το σύστημα στην (1), εξαρτάται από τη θέση όλων των ιδιοτιμών του πίνακα A εντός του ανοικτού αριστερού μιγαδικού ημι-επιπέδου C = s C, Re s < 0. Μετά από ανάδραση του ανύσματος κατάστασης, όπως στην (2), η ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόγχου εξαρτάται από τη θέση όλων των ιδιοτιμών του πίνακα A + BF εντός του C. 18

19 Θεώρημα 2 (1) Το ερώτημα που δημιουργείται είναι αν η επιλογή του πίνακα στην (3) μας δίνει τη δυνατότητα επιλογής των ιδιοτιμών του πίνακα A + BF του συστήματος κλειστού βρόγχου στην (4). Θεώρημα. Για ένα σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων (1) υπάρχει νόμος ανάδρασης του ανύσματος κατάστασης της μορφής u t = r t + Fx t τέτοιος ώστε όλες ιδιοτιμές του συστήματος κλειστού βρόγχου x t = A + BF x t + Br t να έχουν αυθαίρετες (επιθυμητές) τιμές αν και μόνο αν το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο. 19

20 Θεώρημα 2 (2) Απόδειξη. Α, Β ελέγξιμο, τότε υπάρχει F R 1 n τέτοιος ώστε οι ιδιοτιμές του A + BF να είναι επιθυμητές και αυθαίρετες. Αν το ζεύγος Α, Β είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x t = T 1 x t x t = Tx t, T R n n, T 0 τέτοιος ώστε οι πίνακες Α T 1 AΤ, Β = T 1 Β, οι οποίοι περιγράφουν το σύστημα με άνυσμα κατάστασης το x t x t = Αx t + Βu t (5) 20

21 Θεώρημα 2 (3) να έχουν την κανονική μορφή ελεγξιμότητας A = R n n, B = a 0 a 1 a 2 a n 1 Για το σύστημα (5), έστω νόμος ελέγχου ανάδρασης του ανύσματος κατάστασης x t όπου u t = Fx t F = f 0 f 1 f n 1 R 1 n R n 1 21

22 Θεώρημα 2 (4) Έστω ότι a c s είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόγχου, έστω δηλαδή ότι a c s = det si n A BF = s n + d n 1 s n d 1 s + d 0 και έστω ότι λ i d C : Re λ i d < 0, i = 1,2,.., n είναι οι επιθυμητές ιδιοτιμές του συστήματος κλειστού βρόγχου έτσι ώστε Θα είναι s λ 1 d s λ 2 d s λ n d = s n + d n 1 s n d 1 s + d 0 22

23 Θεώρημα 2 (5) A + BF = = a 0 a 1 a 2 a n f 0 f 1 f n a 0 + f 0 a 1 + f 1 a 2 + f 2 a n 1 + f n 1 23

24 Θεώρημα 2 (6) Για να έχει το σύστημα κλειστού βρόγχου χαρακτηριστικό πολυώνυμο το a c s και άρα ιδιοτιμές τις λ d i, i = 1,2,.., n θα πρέπει να είναι A + BF = d 0 d 1 d 2 d n 1 και άρα θα πρέπει να ισχύουν οι ισότητες a 0 + f 0 = d 0, a 1 + f 1 = d 1,, a n 1 + f n 1 = d n 1 24

25 Θεώρημα 2 (7) θα δίνονται από τις σχέσεις f 0 = d 0 + a 0, f 1 = d 1 + a 1,,, f n 1 = d n 1 + a n 1 Ορίζουμε τον πίνακα F από την σχέση u t = Fx t = F T 1 x t = FT 1 x t F x t Βλέπουμε ότι τα στοιχεία του πίνακα ανάδρασης F = f 0 f 1 f n 1 R 1 n δίνονται από την F = FT 1 25

26 Θεώρημα 2 (8) Υπάρχει F R 1 n τέτοιος ώστε οι ιδιοτιμές του A + BF να είναι αυθαίρετες, τότε A, B ελέγξιμο. Έστω ότι υπάρχει F R 1 n τέτοιος ώστε οι ιδιοτιμές του A + BF να είναι αυθαίρετες αλλά δεν είναι ελέγξιμο. A, B δεν είναι ελέγξιμο άρα υπάρχει υπάρχει λ C: rank λi n A B < n ξ T R 1 n, ξ T 0 0 : ξ T λi n A B = 0 1,n+1 ξ T λi n A = 0 1,n και ξ T Β = 0 26

27 Θεώρημα 2 (9) F R 1 n ξ T ΒF = 0 1,n F R 1 n ξ T λi n A B = 0 1,n F R 1 n το λ είναι ιδιοτιμή του A + BF Δεν υπάρχει F R 1 n τέτοιος ώστε οι ιδιοτιμές Α + BF να είναι αυθαίρετες, το οποίο αντιβαίνει στην υπόθεση. 27

28 Τι γίνεται αν το σύστημα δεν είναι στην companion form; (1) Βήμα 1. Ορίζουμε μετασχηματισμό: x t = T 1 x t x t = Tx t, τέτοιον ώστε να πάρουμε το σύστημα στην ελέγξιμη μορφή: όπου x t Τ = Β ΑΒ Α n 1 B = Αx t + Βu t a 1 a 2 a n 1 1 a 2 a a n

29 Τι γίνεται αν το σύστημα δεν είναι στην companion form; (2) Βήμα 2.Υπολογίζουμε τον controller για το σύστημα στην κανονική μορφή u t = Fx t όπου F = f 0 f 1 f n 1 R 1 n f 0 = d 0 + a 0, f 1 = d 1 + a 1,,, f n 1 = d n 1 + a n 1 d s λ 1 s λ d d 2 s λ n = s n + d n 1 s n d 1 s + d 0 Βήμα 3.Ο controller που ψάχνουμε έχει την μορφή: u t = FT 1 x t + v t F Bass-Goura approach 29

30 2 η μέθοδος (Ackermann s formula) (1) Βήμα 1. Ορίζουμε τον πίνακα (ανάδραση u t = Kx t ) A = A BK Βήμα 2. Κατασκευάζω το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο det si n A BK = s μ 1 s μ 2 s μ n = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Cayley Hamiltton φ A = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 Ι n = 0 30

31 2 η μέθοδος (Ackermann s formula) (2) A 2 = Ι n = Ι n A = A BK A BK 2 = A 2 ABK BKA A 3 = A BK 3 = A 3 A 2 BK ABKA BKA 2 0 = φ A = A 3 + a 2 A 2 + a 1 A + a 0 Ι n n = 3 = a 0 Ι n + a 1 Α ΒΚ + α 2 A 2 ABK BKA + A 3 A 2 BK ABKA BKA 2 = 31

32 2 η μέθοδος (Ackermann s formula) (3) = a 0 Ι n + a 1 Α + a 2 Α 2 + a 3 Α 3 φ A α 1 ΒΚ a 2 ABK a 2 BKA A 2 BK ABKA BKA 2 = = φ A B α 1 Κ + a 2 KA + KA 2 AB a 2 K + KA A 2 B K = φ A B AB A 2 B α 1 Κ + a 2 KA + KA 2 a 2 K + KA K α 1 Κ + a 2 KA + KA 2 φ A = B AB A 2 B a 2 K + KA K 32

33 2 η μέθοδος (Ackermann s formula) (4) K α 1 Κ + a 2 KA + KA 2 B AB A 2 B 1 φ A = a 2 K + KA 0 0 I 0 0 I B AB A 2 B 1 φ A = 0 0 I α 1 Κ + a 2 KA + KA 2 a 2 K + KA K 33

34 2 η μέθοδος (Ackermann s formula) (5) Βήμα 3. όπου K = 0 0 I B AB A 2 B 1 φ A φ A = a 0 Ι n + a 1 A + a 2 A 2 + a 3 A 3 και a i οι συντελεστές του επιθυμητού χαρακτηριστικού πολυωνύμου. 34

35 Επιθυμητές θέσεις πόλων (χρήση Butterworth πολυωνύμων) (1) s = w 0 w 0 σταθερά 1 n+1 2n = e j 2k+1 π n+1 2n, k = 0,1,2, n πλήθος επιθυμητών πόλων n = 1, k = 1, s = w 0 cos π + jsin π = w 0 35

36 Επιθυμητές θέσεις πόλων (χρήση Butterworth πολυωνύμων) (2) s = w 0 w 0 σταθερά n πλήθος επιθυμητών πόλων n = 2, 1 n+1 2n = e j 2k+1 π n+1 2n, k = 0,1,2, s = w 0 cos 2k + 1 π + jsin 2k + 1 π = w 0 cos 3 2k π + jsin 3 2k π k = 0, s 1 = w 0 cos 3 4 π + jsin 3 4 π 36

37 Επιθυμητές θέσεις πόλων (χρήση Butterworth πολυωνύμων) (3) s w 0 = 1 n+1 2n = e j 2k+1 π n+1 2n, k = 0,1,2, w 0 σταθερά, n πλήθος επιθυμητών πόλων n = 2, s = w 0 cos 2k + 1 π + jsin 2k + 1 π = w 0 cos 3 2k π + jsin 3 2k k = 1, s 2 = w 0 cos 9 4 π + jsin 9 4 π απορρίπτεται π 37

38 Επιθυμητές θέσεις πόλων (χρήση Butterworth πολυωνύμων) (4) s = 1 n+1 n+1 2n = e j 2k+1 π w 2n, k = 0,1,2, 0 w 0 σταθερά, n πλήθος επιθυμητών πόλων n = 2, s = w 0 cos 2k + 1 π + jsin 2k + 1 π = w 0 cos 3 2k π + jsin 3 2k π k = 2, s 2 = w 0 cos 15 απορρίπτεται 4 π + jsin 15 4 π 38

39 Επιθυμητές θέσεις πόλων (χρήση Butterworth πολυωνύμων) (5) s = 1 n+1 n+1 2n = e j 2k+1 π w 2n, k = 0,1,2, 0 w 0 σταθερά, n πλήθος επιθυμητών πόλων n = 2, s = w 0 cos 2k + 1 π + jsin 2k + 1 π = w 0 cos 3 2k π + jsin 3 2k k = 3, s 2 = w 0 cos 21 4 π + jsin 21 4 π π 39

40 Παράδειγμα 1 (1) Ανάστροφο εκκρεμές x 1 x 2 x 3 x 4 = M + m g Ml m M g x 1 x 2 x 3 x Ml 0 1 M u y 1 y 2 = x 1 x 2 x 3 x 4 40

41 Α = Παράδειγμα 1 (2) Ανάστροφο εκκρεμές Bass-Goura formula det M, B = , C = M = B AB A 2 B A 3 B = = Ελέγξιμο 41

42 Παράδειγμα 1 (3) Ανάστροφο εκκρεμές s s 0 0 det si 4 A = = s 0 0 s s s a 0 = 0, a 1 = 0, a 2 = , a 3 = 0 T = B AB A 2 B A 3 B a 1 a 2 a 3 1 a 2 a a = 42

43 Παράδειγμα 1 (4) Ανάστροφο εκκρεμές = = = u t = Kx t + v t 43

44 Παράδειγμα 1 (5) Ανάστροφο εκκρεμές Επιθυμητοί πόλοι: μ 1 = 2 + j2 3, μ 2 = 2 j2 3, μ 3 = 10, μ 4 = 10 d s = s μ 1 s μ 2 s μ 3 s μ 4 = = s s s s = = s 4 + d 3 s 3 + d 2 s 2 + d 1 s + d 0 K = FT 1 = f 0 f 1 f 2 f 3 T 1 F = a 0 d 0 a 1 d 1 a 2 d 2 a 3 d 3 T 1 44

45 Παράδειγμα 1 (6) Ανάστροφο εκκρεμές = =

46 Ackermann s formula Παράδειγμα 1 (7) Ανάστροφο εκκρεμές d s = s μ 1 s μ 2 s μ 3 s μ 4 = = s s s s = = s 4 + d 3 s 3 + d 2 s 2 + d 1 s + d 0 d 3 = 24, d 2 = 196, d 1 = 720, d 0 = 1600 φ A = A 4 + d 3 A 3 + d 2 A 2 + d 1 A + d 0 I 4 = = = A A A A I

47 Παράδειγμα 1 (8) Ανάστροφο εκκρεμές K = B AB A 2 B A 3 B 1 φ A = = = =

48 Παράδειγμα 1 (9) Ανάστροφο εκκρεμές 48

49 Μέθοδο Faddeev (1) A, B, C Γ.Χ.Α. σύστημα μιας εισόδου μιας εξόδου x t = Ax t + Bu t y t = Cx t, y t, u t R, x t R n, A R n n, B R n 1, C R 1 n και γραμμική ανάδραση κατάστασης u t = v t kx t, v t = u t + kx t k = k 1 k 2 k n k R 1 n, (row vector) 49

50 Μέθοδο Faddeev (2) Έστω το σύστημα x t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι: α s = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 Να βρεθεί ένας πίνακας K R m n τέτοιος ώστε αν εφαρμόσω την ανάδραση κατάστασης: u t = v t Κx t το καινούργιο σύστημα να έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο το: α s = s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 50

51 Μέθοδο Faddeev (3) det R A a I... n 1 1 n si n A R AR a I A A a I a I A a A a I n 1 n 2 n 1 2 n 1 det R AR a I A A a A a I a I A a A a A a I n 1 2 n 3 n n R AR a I A a A a A a I n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 n Adj si si n n 1 n n n A A si A s a s a s a Adj si A s I R s R s R n 1 n 2 n 3 n n 1 2 n 1 n 51

52 Μέθοδο Faddeev (4) x t = A ΒΚ x t + Bv t y t = C DK x t + Dv t a k s = det si n A + BK = = det{ si n A I n + si n A 1 BK } = det si n A det I n + si n A 1 BK = a s 1 + K si n A 1 B si n A 1 = 1 a s a k s a s = a s K si n A 1 B s n 1 I n + s n 2 A + a n 1 I n + s n 3 A 2 + a n 1 A + a n 2 I n + 52

53 Μέθοδο Faddeev (5) a n 1 a n 1 = ΚΒ a n 2 a n 2 = ΚΑΒ + a n 1 KB Μέθοδο Faddeev a n 3 a n 3 = ΚΑ 2 Β + a n 1 KAB + a n 2 KB a a = KCQ T a = a n 1 a 1 a 0, a = a n 1 a 1 a 0 C = B AB A 2 B A n 1 B a n Q = a n 2 a n 1 a 1 a 2 1 K = a a Q T 1 C 1 53

54 Παράδειγμα 2 (1) Έστω το σύστημα x t = x t u t Να βρεθεί Κ = k 1 k 2 k 3 τέτοιο ώστε αν εφαρμόσω ανάδραση κατάστασης: u t = v t Κx t το καινούργιο σύστημα να έχχει ιδιοτιμές τις { 1, 2, 3}. K = a a Q T 1 C 1 54

55 Παράδειγμα 2 (2) Λύση a = a n 1 a 1 a 0 a = a n 1 a 1 a 0 a s = s + 1 s + 2 s + 3 = s 2 + 3s + 2 s + 3 = s 3 + 6s s + 6 a s = s 2 1 s 3 = s 3 3s 2 s

56 Παράδειγμα 2 (3) a a = = a n Q = a n 2 a n 1 a 1 a Q = Q 1 = =

57 Παράδειγμα 2 (4) C = B AB A 2 B = K = C 1 = = K =

58 Κλειστό σύστημα Κλειστό σύστημα x t = A Bk x t + Bv t y t = Cx t Χαρακτηριστικά πολυώνυμα a c s = det si A + Bk a s, a s = det si A Bass-Gura formula 58

59 Ορίζουσες Ορίζουσα Τριγωνικού Μπλόκ πίνακα det P 0 P Q = det = det P det (S) R S 0 S Μπλοκ πίνακες P Q R S = P 0 I P 1 Q R I 0 S RP 1 Q P Q I Q P QS = 1 R 0 R S 0 S S 1 R I det P 1 1 det S RP 1 Q = 1 det S det P QS 1 R 1 59

60 Εφαρμογή (1) και det si A B k 1 det si A det(1 + k si A 1 B) = 1 det si A + B1 1 k Κάνοντας χρήση της Bass-Gura formula det si A det(1 + k si A 1 B) = 1 det si A + B1 1 k α s 1 + k si A 1 B = det si A + Bk = a s a s = α s 1 + k si A 1 B a s α s = α s k si A 1 B 60

61 Εφαρμογή (2) from the resolvent formula si A 1 = 1 a s (sn 1 I + s n 2 A + α 1 I + s n 3 A 2 + α 1 A + α 2 I + ) = α 1 α 1 s n 1 + α 2 α 2 s n α n α n = kbs n 1 + k A + a 1 I Bs n

62 Εφαρμογή (3) α 1 α 1 = kb α 2 α 2 = kab + a 1 kb = a 1 kb + kab α 3 α 3 = ka 2 B + a 1 kab + a 2 kb = a 2 kb + a 1 kab + ka 2 B 1 a 1 a 2 a n a 1 a n 2 a a = k B AB A 2 B A n 1 B a n 3 T a a = kct C Εάν το σύστημα είναι ελέγξιμο k = a a T C T C 1 62

63 Άσκηση 1 Έστω το σύστημα x t = x t y t = 1 1 x t u t Κατασκευάστε (εάν είναι δυνατόν) έναν ελεγκτή κατάστασης ο οποίος σταθεροποιεί το σύστημα. 63

64 Άσκηση 2 Έστω το σύστημα x t = x t y t = 1 1 x t u t Κατασκευάστε (εάν είναι δυνατόν) έναν ελεγκτή κατάστασης ο οποίος σταθεροποιεί το σύστημα. 64

65 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 2012, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 1970, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 1980, Linear Systems, Prentice Hall. 65

66 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 17. Ανάδραση του ανύσματος κατάστασης και επανατοποθέτηση πόλων του συστήματος». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 66

67 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 67

68 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 68

69 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο