ЗЕРТХАНАЛЫҚ ЖҰМЫСТАРДЫ ОРЫНДАУҒА ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР

Transcript

1 Әдістемелік нұсқулрдың титулдық прғы Нысн ПМУ ҰС Н 7.8./40 Қзқстн Республиксының білім және ғылым министрлігі С. Торйғыров тындғы Пвлодр мемлекеттік университеті Мтемтик кфедрсы Мтемтик пәні бойынш 5В Экология ммндығының студенттеріне рнлғн ЗЕРТХАНАЛЫҚ ЖҰМЫСТАРДЫ ОРЫНДАУҒА ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР Пвлодр

2 Әдістемелік нұсқулрды бекіту прғы Нысн ПМУ ҰС Н 7.8./4 БЕКІТЕМІН ОІ жөніндегі проректор Пфейфер Н.Э. 0 ж. Құрстырушы: ғ оқытушы Құдйберген М.Қ. Мтемтик пәні бойынш Мтемтик кфедрсы 5В Экология ммндығының сырттй оқу ныснындғы студенттеріне рнлғн зертхнлық жұмыстрды орындуғ әдістемелік нұсқулр Кфедрның отырысынд ұсынылды 0 ж., Хттм Кфедр меңгерушісі Пвлюк И.И. 0 ж. Физик, мтемтик және қпрттық технологиялр фкультетінің ОӘК мқұлднды 0 ж., Хттм ОӘК төрғсы Мұқнов Ж.Ғ. 0 ж. МАҚҰЛДАНДЫ: ЖжӘҚБ бстығы Вркут А.А. 0 ж. Университеттің оқу-әдістемелік кеңесімен мқұлднды

3 0 ж. Хттм Зертхнлық сбқтрғ орындуғ рнлғн әдістемелік нұсқулр. Сызықтық лгебр элементтері Аныктм Екінші ретті нықтуыш деп снын йтмыз. Бұл сн екі тік және екі жтық жолдрдн тұртын кестесі түрінде белгіленеді және бұл кесте де нықтуыш деп тлды. Анықтм бойынш, екінші ретті нықтуыш өзін белгілейтін кестенің негізгі дигонлындғы элементтерінің көбейтіндісі мен қослқы дигонлындғы элементтерінің көбейтіндісінің йырымын тең. Демек, Анықтм Үшінші ретті нықтуыш деп + + снын йтмыз. Бұл сн үш тік және үш жтық жолдрдн тұртын

4 кестесі ретінде белгіленеді және бұл кесте де нықтуыш деп тлды. Мұндғы ij (i,,; j,,) - нықтуыштың элементтері, і жтық, л j тік жолдрының нөмірі. Үшінші ретті нықтуыш өзін белгілейтін кесте элементтерінен үшбұрыш немесе Сррюс ережесі бойынш есептеледі. Бұл ереже бойынш плюс тңбсымен лынғн үш қосылғыш төменде келтірілген «+» сұлб, л минус тңбсымен лынғн үш қосылғыш «-» сұлб бойынш есептеледі: «+» сұлб «-» сұлб белгісізі бр теңдеулер жүйесін шешу әдістері: ) Крмер әдісі: Біртекті емес белгісізді теңдеулер жүйесі берілсін: (0) b b b,,, Осы ж йеніњ негізгі мтрицсыныњ нықтуышы нөлге тең болмсын. 4

5 Осы нықтуыштың k нөмерлі тік жолының элементтерін (0) жүйесінің сәйкес бос мүшелерімен лмстырғнд шыққн нықтуышты деп белгілеік: k k k k b b b k k+ k+ k+, k, Осы нықтуыштр бойынш (0) теңдеулер жүйесінің шешімі Крмер формуллры рқылы нықтлды: k k, k,,,. ) Гусс әдісі Гусс әдісі мтрицның рнгін өзгертпейтін элементр түрлендірулерге негізделген. Бұл түрлендірулер теңдеулер жүйелерініњ эквивленттігін сқтйды. Шешімдері бірдей немесе екеуі де үйлесімсіз болтын тењдеулер ж йелері эквивлентті деп тлды. Гусс әдісінің сұлбсы: Алдымен (0) теңдеулер жүйесінің кеңейтілген мтрицсы құрлды: m m m b b bm Элементр түрлендірулер рқылы бұл мтриц үшбұрышты түрге келтіріледі: () * 0 0 * * 0 * * 0 * * b b b * m Элементр түрлендірулердің қсиеті бойынш, () теңдеулер жүйесі (0) жүйесіне эквивлентті. () жүйесінің ең соңғы теңдеуінен -ді, бір қдм жоғры көтеріліп, келесі теңдеуден -ді тбмыз. Осылй 5

6 тбылғн,, белгісіздерінің мәндері (0) жүйесінің шешімі болды. Ескерту: (0) теңдеулер жүйесіне қойылғн негізгі шрт осы жүйенің нықтлғндығы, демек жүйенің нықтуышы 0 болуы. Сондықтн, * * * 0,, 0, 0. Бұл шрт мтрицлр әдісінде де сқтлды. ) Мтриц әдісі. (0) теңдеулер жүйесін мтрицлық түрде жзмыз A X B. (9 теңдеуі) (5) формулсы бойынш А мтрицсын кері A мтрицсын тбмыз. Енді (9) теңдеуін сол жғынн A -ге көбейтіп және A A E екенің ескеріп, X A B түрінде (9) теңдеуінің шешімін тбмыз. Жттығу сбқ - : -ші, -ші ретті нықтуыштрды есептеу. 4-ші, -ші ретті нықтуышты есептеу, сызықтық теңдеулер жүйесін Крмер формулсын қолднып, Гусс әдісін қолднып шығру. Мтрицлрды қосу, нқты снғ, бір біріне көбейту. Кері мтрицны есептеу. Сызықтық теңдеулер жүйесін мтрицлық әдісті қолднып шығру. ЖС [8] -45, ЖС [8] 47-67; Төменгі есептерді шеш. ) ; b) si ϕ cos ϕ ; c) ; 4 cos ϕ si ϕ ) 0 ; b) ; c) 0 х ; х d) ; e) ; 0 0 b c d 0 нықтуышты үшінші жтық жолының элементтері бойынш жіктеп есепте. 6

7 y 4 z t 5 Теңдеулер жүйесін Крмер және Гусс әдістермен шеш: + ) , + 9, , ) + +, , 4 4, ) + 4 6, ) , 0,, 6,. нықтуышты төртінші тік жолының элементтері бойынш жіктеп есепте.. Анлитиклық геометрия элементтері Егер векторы өзінің А ( х, у, z) бс нүктесі мен B, y, соңғы нүктесі рқылы берілсе, онд, y, z ( ) z, y y y, z z z формуллры бойынш есептеледі. векторының модулі өзінің,y, z координттры рқылы х + у + z 7

8 формулсы бойынш нықтлды. Әлбетте ( х ) + ( у y ) + ( z ) AB. z Демек, векторының модулі оның бс нүктесі А мен соңғы нүктесі В-ның р қшықтығын тең. векторының Ох,Оу,Оz µстеріне көлбеулік бұрыштры α, β, γ болсын. () формулсы бойынш, х сosα, y сosβ, z сosγ болды. Бұл формуллрдғы cosα, cosβ, cos γ векторының бғыттуышы косинустры деп тлды. Бғыттуышы косинустр сos α + cos β + cos γ тепе-теңдегін қнғттндырды. Векторлрдың склярлық көбейтіндісі: Анықтм мен b векторлрының склярлық көбейтіндісі деп b () b cos ϕ снын йтмыз. Мұндғы ϕ - мен b векторлры рсындығы бұрыш. Анықтм бойынш, cos0 Бұл сн вектордың склярлық квдрты деп тлды. Егер мен b векторлры өзр перпендикуляр болс, онд b 0. Бірлік бзистік векторлр үшін i i, i j 0, i k 0, j j, j k 0, k k теңдіктері орындлды. Координттры рқылы берілген {, y, z } {, y, } z o. және b векторлрының склярлық көбейтіндісі b (4) + y y + z z формулсы рқылы нықтлды. 8

9 cos ϕ пр немесе b сosϕ пр b b болғндықтн, мен b векторлрының склярлық көбейтіндісін түрінде жзуғ болды. b b пр немесе b пр b () және (4) формуллрынн b b cosϕ b немесе, координттры рқылы cos ϕ + y + y + z y + z z + y + z мен b векторлры рсындғы бұрыш нықтлды. u кез келген µс, e осы µс бойымен бғыттлғн бірлік вектор болсын. Егер u µсі координт µстерімен α, β, γ бұрыштрын құрс, онд және болды. пр u { сosα,cosβ, γ} e cos cosα + y cosβ + z cos γ Векторлрдың векторлық көбейтіндісі: Анықтм мен b векторлрының векторлық көбейтіндісі деп b түрінде белгіленіп, төмендегі шрттрды қнғттндыртын векторды йтды: ) b b si ϕ, мұндғы ϕ - берілген мен b векторлры рсындғы бұрыш; ) b векторы мен b векторлрын перпендикуляр; 9

10 ), b, құрй b векторлры осы ретпен оң үштік Анықтм көбейтіндісі деп, b, c векторлрыныњ рлс b векторының c векторын склярлық көбейтіндісі йтылды д b c деп белгіленеді. Сонымен, нықтм бойынш b c b c Тік бұрышты декрт жүйесі нықтлғн жзықтықты декрт жзықтықтығы деп тймыз. М - декрт жзықтығының кез келген нүктесі, М х және М осы нүктеден Ох және Оу µстеріне түсірілген у перпендикулярдың тбндры болсын. х ОМх, у ОМу сндры М нүктесінің координттры деп тлды д М ( х, у) деп белгіленеді. Мұндғы х - нүктенің бсцисссы, у ординтсы. Сонымен, декрт жзықтығындғы кез келген нүкте реттелген ( х, у) қос снын, л реттелген ( х, у) қос сны осы жзықтықтғы М нүктесін нықтйды. Полярлық координтттр жүйесі: Жзықтықтың белгіленіп лынғн О нүктесін полюс деп, осы нүктеден шыққн ОА сәулесін полярлық µс деп тйды. Сызықты бірлігі берілген полярлық µсті полярлық координтлр жүйесі деп тйды М ( ρ,θ) нүктесінің полярлық координттры белгілі болс, онд осы нүктенің декрт жүйесіндегі х және у координттры х ρ cos θ, y ρsi θ формуллры рқылы нықтлды (-сурет). Және керісінше, нүктенің декрттық жүйедегі координттры белгілі болс, оның полярлық координттры y ρ х + у, tgθ формуллры рқылы тбылды. 0

11 Декрт жзықтығындғы М ( х, ) және М ( х, ) нүктелері рсындғы қшықтық М формулсы рқылы есептеледі. у ( х х ) + ( у ) М у у Декрт жзықтығының М ( х, ) және М ( х, ) у у нүктелері берілсін. Осы нүктелер рқылы өтетін түзудің ММ бойынд жтқн М ( х, у) нүктесі үшін λ болс, онд ММ М нүктесі М М кесіндісін λ қтынст бөледі деп йтды. М М кесіндісін λ қтынст бөлетін М ( х, у ) нүктесінің координттры х х + λ х + λ, у у + λ у + λ формуллры рқылы нықтлды. Егер Оz µсінің оң бғытындғы нүктеден қрғнд О тен Оy ке дейінгі ең кіші йнлу бұрышы сғт тілінің қозғлу бғытын қрсы болс, онд бұл жүйе оң деп, л керісінше жғдйд сол деп тлды (7 суретте оң жүйе көрсетілген). М, М, М деп М нүктесінің Ох, Оу, Оz µстеріндегі х у z проекциялрын белгілейік. х ОМ, у ОМ, х у z ОМ z сндры М нүктесінің координттры деп тлды д М ( х, у, z) деп белгіленеді және координттрдың орнлсу реті сқтлды. ( хoу ),( уoz ),( Oz ) координт жзықтықтры деп тлды. Суретте М ху, М уz, М хz деп - М нүктесінің өздеріне сәйкес координттр жзықтығындғы проекциялры белгіленген. Бұл жүйе кеңістіктегі тікбұрышты декрт жүйесі деп тлды Z

12 М уz М z М хz М М у У О М х М ху Х 7-сурет Кеңістіктегі М ( х, у, ) және М ( х, у, ) нүктелерінің р қшықтығы М z ( х х ) + ( у у ) + ( z ) М z z формулсы рқылы нықтлды. Мжәне М нүктелері рқылы өтетін түзудің бойынд жтып М М кесіндісін λ қтынст бөлетін М ( х, у, z ) нүктесінің координттры х + λ х у + λ у z + λ z х, х, х + λ + λ + λ ММ формуллры рқылы нықтлды. Мұндғы λ және ММ М М. Төбелері А( х, у ), В( х, у ), С ( х, у ) нүктелерінде жттын АВС ұшбұрышының S удны ± S х х - х - х у у - у - у

13 формулcы рқылы нықтлды. Егер АВ бғыттлғн кесіндісінен АС кесіндісіне дейінгі ең қысқ бұрылу б±рышы оң болс, онд S оң тңбмен, керісінше жғдйд теріс тңбмен лынды. Жзықтықтғы түзулер Тікбұрышты декрттық жүйеде екі йнымлыдн тәуелді кез келген сызықты теңдеу жзықтықт түзуді нықтйды. Ах + Ву + С 0 түзудің жлпы теңдеуі деп тлды. Жзықтықтғы түзулер Тікбұрышты декрттық жүйеде екі йнымлыдн тәуелді кез келген сызықты теңдеу жзықтықт түзуді нықтйды. Ах + Ву + С 0 түзудің жлпы теңдеуі деп тлды. )Бұрыштық коэффициенті k және түзудің ординт µсінен қиып өтетін b кесіндісі рқылы түзуді у k + b теңдеуі рқылы нықтлы )Түзудің бойынд жтқн М ( х; у) және М ( х ; у ) нүктелері рқылы өтетін түзу х х х х у у у у теңдеуі рқылы нықтлды және бұрыштық коэффициенті y y k формул рқылы есептеледі ) Координт µстерінен қиып өтетін және b кесінділері рқылы өтетін түзу y + b теңдеуі рқылы нықтлды. Егер екі түзудің k және k бұрыштық коэффициенттері белгілі болс, онд осы түзулердің рсындғы бұрыш

14 k k tgϕ + k k формулсы рқылы нықтлды. Егер екі түзу A + By + C 0 және A + By + C 0 жлпы теңдеулері рқылы берілсе, онд бұл түзулердің бұрыштық коэффициенттері k А, В k А В Жттығу сбқ - 5 Векторлрды қосу, лу, нқты снғ көбейту. Екі вектордың склярлық, векторлық, рлс көбейтінділері. Үшбұрыштың уднын, прллелепипедтің көлемін, пирмидның көлемін векторлық элементтер рқылы есептеу. Бір нүктеден өтетін кез келген векторғ перпендикуляр болтын жзықтықтың теңдеуі, үш нүктеден өтетін жзықтықтың теңдеуі. Жзықтықтың қлыпты, кесінді түріндегі теңдеуі. Нүктеден жзықтыққ дейінгі қшықтық. Жзықтықтықтрдың перпендикулярлық, прллелдік шрты, екі жзықтықтың рсындғы бұрыш. Жзықтықтғы, кеңістіктегі түзудің жлпы, кнондық теңдеулерін жзу. Түзу мен жзықтықтың қиылысу нүктесін тбу. Нүктеден түзуге дейінгі қшықты тбу. Нүктенің жзықтыққ, түзуге проекциясын тбу. Шеңбердің, эллипстің, гиперболның, прболның теңдеуін жзу. ЖС [8] 67-9; ЖС 4 [8] 6-5; ЖС 5 [8] 6-5 Вектор және оның проекциясы: және BA A( ; ;4) және B( ; ; ) векторлрын нықт. нүктелері берілген. AB A( ;; ) нүктесінен шығтын AB { ;;4} векторының сонғы В нүктесінің координттрын тп. { 6;; } векторының модулін тп. 4 { ; 5; 6} косинустрын тп. векторының бғыттуышы 4

15 5 { ; ;6} және b { ;;0 } векторлры берілген. ) + b ; ) b ; ) ; 4) b ; 5) + b ; 6) b векторлрының координт µстеріндегі проекциялрын тп. 6 мен bвекторлрының рсындғы бұрыш ϕ π., b 4 деп лып: ) b ; ) ; ) b ; 4) ( + b) ; 5) ( b) ( + b) есептеңіздер. ; 6) ( b) ; 7) ( b) + мәндерін 7 мен b векторлры өзр перпендикуляр, с векторы осы векторындың әрқйсысымен, b 5, 8 ( + b + с) ; ) ( b с) π -ке тең бұрыш жсйды. с деп лып :) ( b) ( b + c) ; ) + мәндерін есептеңіздер. ; 5;0 ;4 М 5 0; 8 М ( ; ), М ( ), М ( ), М 4 ( ) және ( ) нүктелері берілген. ) М М ; ) М М ; ) М 4 М 5 ; 4) М 5 М бғыттлғн кесінділерінің координт µстеріне проекциялрын 9 А ( ;), В( ;6), С( 5;) және D( ; ) нүктелері квдрттың төбелері болтынын дәлелде. 0 ( 8;) N нүктесінен қшықтығы 7-ге тең ординт µсіндегі М нүктесін тп. Үшбұрыштың төбелері А( ; ), В(, 5), С( 5;7) нүктелері. Қбырғлрының орт нүктелерін тп. Үшбұрыштың орт нүктелері M( ; ), ( ;4 ) P( ;) нүктелері. Төбелерін тп. N және 5

16 Төбелері: ) А( ; ), В ( ;) және С( ;5) ; ) М ( ;), М ( 5; ) және М ( ; ); ) M ( ;4), N( ;) және P ( 4;5) нүктелерінде жтқн үшбұрыштрдың удндрын есепте. С нүктелерінде жтқн үшбұрыш берілген. С төбесінен АВ қбырғсын түсірілген биіктікті тп. 4 Төбелері: А ( ;6), В( ; ) және ( ; ). Тлдуѓ кіріспе Анықтм Егер кез келген кішкене оң ε сны үшін, осы сннн тәуелді нтурл N снын, < ε теңсіздігі, > N шртын қнғттндыртын брлық нтурл дер үшін,орындлтындй етіп тбуғ болс, онд сны () тізбегінің шегі деп тлды д. немесе lim деп белгіленеді. Шекке көшу ережелері. Егер және y b, онд: ) ± y ± b ; ) y b ; ) егер b 0 болс, онд ; y b Теорем. { }, { y } және { z } тізбектері берілсін. Егер белгілі бір 0 нөмірінен бстп брлық үшін y z теңсіздігі орындлс және, z, онд { y } тізбегінің шегі бр болды және y. Бұл теорем тізбек шегі бр болуының бір белгісі. Жиі қолднылтын шектер si lim бірінші тмш шек. (-теорем 0 рқылы дәлелденеді). lim 0 ( + ) х e рқылы дәлелденеді). екінші тмш шек. (-теорем 6

17 α +,,,, тізбегі үшін < α < тењсіздігі орындлды. Сондықтн { α } жоғрыдн шенелген µспелі тізбек. Демек, екінші теорем бойынш. lim + e шегі бр болды. е снының жуық мәні е, 7 болтыны дєлелденген. Б±л сн Непер сны деп тлды. Егер X йнымлысын белгілі бір ереже бойынш, бірмәнді нықтлғн y Y сәйкестендірілсе, онд y йнымлысы тен тәуелді функциясы деп тлды тәуелсіз йнымлы немесе функцияның ргументі деп тлды. Ал Х жиыны функцияның нықтлу облысы, У жиынын функцияның өзгеру облысы деп тлды. Мысл у х функциясының нықтлу облсы ( ;, л өзгеру облсы [ 0 ;+ ). Мысл у log (+ ) > 0, функциясының нықтлу облсы( ;+ ), л өзгеру облсы ( ; + ) Функция үш түрлі тәсілмен беріледі: Анлитиклық тәсіл; яғни пен y рсындғы бйлныс координттр жүйесінде формул түрінде беріледі. 5 c Мыслы, l πr y, V т.с.с, М±ндѓы + 5 p l, r,v,p,, y йнымлы шмлр. Бұл тәсіл кез келген мтемтиклық ппртты қолднып, зерттеуге қолйлы деп есептеледі.. Грфиктік тәсіл; яғни пен y рсындғы бйлныс координттр жүйесінде функцияның грфигі түрінде беріледі.. Кестелік тәсіл. Тәуелсіз йнымлының нықтлу облысынн лынғн кез келген мәндері мен олрғ сәйкес 7

18 функцияның мәндері кесте түрінде беріледі. Мыслы, тригонометриялық, логрифмдік тғы д бсқ функциялр мәндерінің кестелері. Функцияның жиі кездесетін т рлері:. Алгебрлық және трнсценденттік (лгебрлық емес), функциялр. Мыслы, y - лгебрлық, л y, + 5 y log 5, y si, y rg tg т.б, трнсценденттік функциялр. Бір мәнді және көп мәнді функциялр. y, y si, y 5, бір мәнді, л y ±, y rgsi, y rg tg көп мәнді функциялр. Кері функция. Берілген функцияғ кері функцияның болу шрты: Егер y f () функциясы ; b рлығынд бірсрынды және бір мәнді болып, осы рлықт с ; d рлығынд бейнелесе, онд кері функция ϕ(y), бр болды және ( c;d) рлығынд бір мәнді жєне бірсрынды функция болды. Мыслы y + 4, сндр өсінде нықтлғн және осы рлықт өспелі функция. Сондықтн ( ; + ) рлыѓынд y 4 нықтлғн кері функция бір мєнді жєне бірсрынды. Осы функциядѓы ргументі мен функцияныњ 4 әдеттегідей х, у деп белгілесек, бұл функция, y 4 түрінде жзылды. Демек, y + 4 пен y - функциялры өзр кері болды. Дәл сол сияқты y және y log, функциялры өзр кері. 4 Күрделі функция. z ϕ() функциясы ( ;b) рлығынд нықтлып өзгеру облсы ( с;d) болсын жєне ( с;d) рлығынд y f (z) функциясы нықтлсын. Соңғы теңдіктегі z - ті оның 8

19 мәнімен уыстырып, y f ( ϕ()) функциясын келеміз. Бұл жң функция ( ;b) рлығынд нықтлғн. Осы функцияны функциядн функция лу әдісімен нықтлғн күрделі функция деп тйды. (Функциялр суперпозициясы). Мыслы: z +, y z +, деп лып, y ( + ) + - күрделі функциясын кұрмыз. 5. Айқындлғн және йқындлмғн функциялр. y f () түрінде берілген фуекция йқындлғн деп тлды. Мыслы, y, y l cos, y йқындлғн функциялр. F (, y) түрінде берілген функция йқындылмғн деп тлды, мыслы, + y, y y 5 0 йқындлмғн функциялр. 6. Элементр және элементр емес функциялр. Негізгі элементр функциялрғ: - дәрежелік: y ; - көрсеткіштік: y ; - тригонометриялық: y si, y cos, y tg, y ctg т.б - кері тригонометриялық y rcsi, y rccos, y rctg, y rcctg ; - логрифмдік y log, ( > 0, ) функциялр жєне осы функциялрдн лгебрлық оперциялр мен және олрдың суперпозициялры рқылы жслѓн функциялр жтды. Мыслы, y si l, y cos т.с.с.- функциялр, элементр функциялр тобын енеді. Функцияның шегі. Бір жқты шектер. Функцияның үзіліссіздігі: y f () функциясы 0 нүктесінің мнйынд (мүмкін сол нүктенің өзінен бсқ) нықтлсын. Мысл Шек стындѓы бµлшекті (х-)-ге қысқртып lim ( )( + ) lim ( )( + ) lim

20 Мысл + 0 ( + )( + + )( + ) lim lim ( )( )( ) ( + 4)( + ) ( )( + + ) ( )( + ) lim ( )( + + ) 4 lim Мысл lim 0 сos lim 0 si lim 0 si si 0 0 si М±ндѓы lim (бірінші тмш шек) 0 Мысл 4 tg si lim lim lim cos Бесінші жєне лтыншы мыслдрдѓы шектер бізге белгілі lim + e z z қолдну рқылы есептеледі. Мысл 5 Мысл 6 z немесе lim ( + α) α e k + α 0 k + lim lim lim ( ) lim( + ( ) ) e k k e k тењсіздіктерін si Ескерту: lim шегі 0 lim + e және ( lim + ) e 0 йқындйды. шектері 0 нықтлмғндығын, л 0 нықтлмғндығын 0

21 Жттығу сбқ 6-7 : Функцияның нықтлу облысын тбу, периодты болуын нықту, жұп, тқ болуын зерттеу Анытлмғндықтр және олрды йқынду ережелері. Функцияның үздіксіз болуын зерттеу. -ші, -ші текті үзіліс нүктелер. Коши, Лгрнж, Ролль, Ферм теоремлрын қолдну. Айқындлғн, йқындлмғн, прметрлік түрде берілген функцияның жоғрғы ретті туындылрын, дифференцилдрын есептеу. ЖС 6 [5] ;ЖС 7 [5] 4-67; Есептер. ( ) + ( + ) lim ( ) ( + ) ( + ) ( + ) lim + +. lim lim 8 ( + ) 4 ( ) 4 ( ) ( + ) ( + ) lim lim ( ) ( ) ( + ) 4. + lim + lim

22 4 5. lim lim + lim 0. екендігін дәлелде (шектің нықтмсы бойынш берілген кішкене ε -нен тәуелді N( ε ) снын тбу керек) ( + ) болтынын Үлгі:, тізбегініњ шегі дєлелде. Шешуі ε кез келген з шм болсын ( + ) < ε деп лйық. Бұл теңсіздектен, + + < ε немесе + + < ε. Олй болс < ε болды, демек < ε; + немесе >, Енді N ( ε) ε ε деп лсқ жеткілекті. ε деп снының бүтін бөлемі белгеленген. Мыслы, ε 0, 0 ε 00 болс,,, л N ( ε ) ε ε болды. 4.,. + lim , 5 4. lim + 6 Шектерді есепте 5. lim ; lim ; 4

23 5 4. lim ; lim ; 6 7. lim ; lim ; 4 Берілген функциялрдың нықтлу облсын тп х. у ; 6. + х х у ; + х. у х х ; 7. у х 5х + 6;. у log ( 4); 8. у х х ; х 4. у rcsi ; 9. у ; + х х + х 5. у rccos ; 0. у х; 5 4. Бір йнымлы функцияның дифференцилдық есептеулері және олрдың қолднулры y f () функциясы белгілі бір рлықт нықтлсын. 0 - осы рлықтың белгіленіп лынғн нүктесі болсын. 0 ге өсімшесін беріп, оғн сәйкес функция өсімшесін тбйық: f ( + ) f ( ). Функция өсімшесі y - тің ргумент y 0 0

24 y f ( 0 + ) f ( 0 ) өсімшесі - ке қтнсы осы функцияның [ 0, 0 + ] кесіндісіндегі ортш өзгеру жылдмдығын нықтйды. Функцияның 0 нүктесіндегі өзгеру жылдмдығын нықту үшін y y қтнсының 0 дғы шегін тбуымыз керек. Егер lim 0 бр болс, онд бұл шек функцияның 0 нүктесіндегі өзгеру жылдмдығын нықтйды. Көрсетілген тәсілмен тбылғн шекті берілген y f () функциясының 0 нүктесіндегі туындысы деп тйды д, y dy немесе белгілейді. Туындыны есептеу млы дифференцилду деп d тлды, л 0 нүктесінде туындысы бр функцияны осы нүктеде дифференцилднды деп тйды. Мысл, осы лгоритм бойынш y функциясының туындысын тбйық. Осы мқстпен -ке өсемшесін беріп, функцияның өсімшесін тбмыз, y ( + ) + ( ) + ( ) +. + ( ) + ( ) dy Осы өсімшені - ке бөліп, + + ( ) d теңдігіне келеміз. Енді -ті нөлге ұмтылдырып, берілген функцияның туындысын тбмыз: y.. (C) 0. () α α. ( ) α 4. ( ) 5. (si ) cos 6. (cos ) si 7. (tg) cos 8. (ctg) si Туындылр кестесі 4

25 9. (log ) l 0. (l ). ( ) α l ( e ) e (rcsi ) (rccos ) (rctg) + (rcctg) + Дифференцилду ережелері:. ( u + v) u + v. Қосындыныњ (йырмныњ) туындысы туындылрдыњ қосындысын (йырмсын) тењ.. (uv) u v + v u. Ережені йтып шық, ждыњд сқт.. ( Cu) Cu. Т±рқты шмны туындыныњ сыртын шыѓруѓ болды. u u v v u 4.. Ережені йтып шық, ждыњд v v сқт. Күрделі функцияны дифференцилду ережесі: y f[ ϕ()] күрделі функциясы берілсін. Енді z ϕ() деп лсқ, берілген функция y f(z) түрінде жзылды. Бұл функциялр өз нықтлу облыстрынд дифференцилднс, онд туындысы, dy dy dz y y z z немесе ; формлсы боцынш d dz d есептеледі. Мыслы, күрделі y l rccos функцияның туындысын тбу үшін берілген функцияны үш функцияның суперпозиция- 5

26 сы деп қрстырмыз. y l z, z rccos t, л t. Сондықтн ереже бойынш y (l z) z (rccos t) t () z t rccos t 4 rccos 4. v y u к рделі кµрсеткіштік функция деп тлды, мұндғы Күрделі көрсеткіштік функцияның туындысы: u u(), v v() Белгілі ереже бойынш y u v l u v Мыслы, y si + vu v u si y функцияның туындысы l (si ) + si si () si si Si Si l cos + si х l Cos +. Прметірлік түрде берілген функцияны дифференцилду: ϕ(t) y y() функциясы түрінде берілсін. y ψ(t) Мұндй функцияның туындысы. ψ (t) y, яғни ϕ (t) есептеледі. t dy y формлсы боцынш d t cos t Мыслы,, y b si t болсын y тбйық. y (b si t) ( cos t) b cos t si t b ctgt; Жттығу сбқ 8- Дербес туындылрды есептеу. Екі йнымлы функцияның дербес дифференцилдрын, толық дифференцилын есептеу. Екі йнымлы функцияның 6

27 экстремум нүктелерін тбу, тұйық облысынд ең үлкен және ең кіші мәндерін тбу. ЖС 8 [5] 57-6; ЖС 9 [5] ; ЖС 0 [5] 79-8; ЖС [5] Мын функциялрдың туындысын тп. y y y y ( ) 5. y х + х. y l si + si. y rccos. y rcsi si 4. cos y + l tg si Функциялрдың y туындысын тп. t t. y t t. (t si t) y ( cos t). cos t y si t 7

28 4. cos t y si t t 5. y t + 4 Айқындлмғн функциялрдың y туындысын тп. y. + b y y. + y ; ( > 0) y l y + y + y 5. Бір йнымлы функцияның интегрлдық есептеулері және олрдың қолднулры Алғшқы функция, нықтлмғн интегрл ұғымы: Егер бір Х рлығының әрбір нүктесінде F() функциясы үшін F () f () немесе df () f () d теңдігі орындлс, онд F() функциясы осы рлықт f () үшін лғшқы функция болды. Мыслы F () si функциясы f () cos функциясының лғшқы функциясы болды. Анықтм Егер F () функциясы f () -тің лғшқы функциясы болс, онд оның брлық лғшқы функциялрының жиынын, яғни F ( ) + С өрнегін f () -тің нықтлмғн интегрлы деп тйды және былй белгілейді: f ()d F() + C Бұл өрнектегі f () d -интегрл стындғы өрнек, л х- интегрлду йнымлысы деп тлды. -интегрл белгісі. Интегрлдудың негізгі ережелері: 8

29 Егер F () f () болс, онд f ()d F() + C, мұндғы C Cost ()d A Af f () d, демек тұрқты шмны интегрл сыртын шығруғ болды. [ () f() ] d f()d ± f ± f () d 4 Егер f ()d F() + C және u ϕ() болс, онд f (u)du F(u) + C болды. Демек нықтлмғн интегрл пішіні интегрлду йнымлысынн тәуелсіз. Мыслы, u + b деп лсқ f ( + b)d f ( + b)d( + b) F( + b) + C, 0 + d + C, + d l + C d + C l 4 cos d si + C 5 si d cos + C d 6 tg + C cos d 7 ctg + C si Жиі қолднылтын интегрлдр кестесі: 9

30 8 d + rctg + C rcctg + C, ( 0) 9 d rcsi + C rccos + C, ( > 0) d 0 l + C, + ( 0) d + l + C, ( 0) d l C, + ( 0) tgd l cos + C 4 ctgd l si + C d 5 l tg + C si d π 6 l tg( + ) + C cos 4 7 shd ch + C 8 chd sh + C d 9 th + C ch d 0 cth + C sh Мысл J d 0

31 Шешуі Қжетті элементр түрлендірулерді жүргізгеннен кейін, мүшелеп интегрлдсқ интегрл кестедегі және формуллрын келтіріледі. 4 J 4 d d + 5 d 6 4 d l + C 4 5 Мысл + 5 J d 0 Шешуі Элементр түрлендірулері және () формулны қолднып мын тењдікке келеміз. + 5 d d J d + 5 d + d 5 d( ) l5 l 5 l5 + C. l d( ) Мысл J tg d d J C cos cos Шешуі d tg + tg Мысл 4 J d Бөліміндегі көпмүшеліктен толық квдрт бөліп лмыз ( + ) + 5. Енді d d( + ) екенін ескеріп, кестедегі 8 формулны пйдлнмыз. d d d( + ) + J rctg + C ( + ) + 5 ( + ) Дифференцил белгісінің стын кіргізу рқылы интегрлду: 4 ереже бойынш

32 f ( ϕ() ϕ ()d f ( ϕ())dϕ() f (u)du F(u) + C F( ϕ()) + C. F (u) жєне мұндғы u ϕ(). Бұл түрлендіру ϕ () функциясын дифференцил белгісінің стын кіргізу деп тлды. Мысл 5 f (u) d 5 5 ( 5 ) d( 5 ) u 5 du 5d d(5 ) 5 u du 5 u + C C Бөліктеп интегрлду әдіс: Бөліктеп интегрлду формулсы деп келесі теңдікті йтмыз. udv uv vdu Мысл ( + 7)e d интегрлын есептеу керек. Шешуі u + 7, dv e d деп лмыз. Сонд du ( )d, v e.()-формулсы бойынш, ( e + 7)e d ( )d u + 7, dv e du ( )d, v e ( + 7)e d ( )e d. ( + 7)e ( Соңғы интегрлғ д бөліктеу интегрлду әдісін пйдлнып ( )e ( )e d u, dv e du d, v e 4 e + C d ( )e e d теңдігіне келеміз. Интегрлдың осы мәнін () теңдігіне қойып, берілген интеглды тбмыз: Соңынд,

33 ( + 7)e d ( + 7)e ( 6 + 7)e + C 4 Гиперболлық функциялрды интегрлду: Негізгі формуллр: ch sh ch sh 4 sh ch (ch ) (ch + ) sh ( )e + 4 e + C Мысл ch d ch d sh ( sh) ( + sh )d( sh) sh + + C Анықтлғн интегрлды құру лгоритмі: Бізге [,b] сегментінде нықтлғн y f () функциясы берілсін. [,b] сегментін 0 < < < K < b нүктелері рқылы кез келген - бөлікке бөлшектеп λ m m(i i ) деп лынды. t Әрбір [, ] i i + рлығынн i ξ нүктесі тңдп лынды, i,,, K,; i < ξi < i, д f (i) i дифференцилды өрнегі құрылды. Осы өрнектерден жслғн қосынды σ i 0 f ( ξ ) + K + f ( ξ ) f ( ξ ) интегрлдық қосынды деп тлды. 4 Егер интегрлдық қосындының λ нөлге ұмтылғндғы шегі бр болс және б±л шек [,b] сегментін бөлшектеу тәсілі мен ξi нүктелерін тңдп лу әдісінен тәуелсіз болс, онд осы шек (), b рлығынд лынғн интегрл f функциясынн [ ] b деп тлды д, f ()d деп белгіленеді. Демек, i i

34 b f ()d l im i 0 i Ньютон-Лейбниц формулсы: 0 f ( ξ ) F() f (t)dt -деп нықтлғн функция үшін йнымлы жоғрғы шегінен тәуелді интегрл деп тлды. Бұл функция [,b] сегментінің брлық нүктелерінде F () f () теңдігін қнғттндырды. Демек, F () f () -тің лғшқы функциясы. Егер Φ () f () -тің кез келген бсқ лғшқы функциясы болс, онд F () Φ() + C болды. Олй болс, f (t)dt Φ() + C. Енді деп лсқ, f (t)dt Φ() + C болды. Бұл теңдіктен C Φ(). С-ның осы мәнін ескеріп i f ( t) dt Φ( ) Φ( ) теңдеуіне келеміз. Енді b деп лсқ, b f (t)dt Φ(b) Φ() болды. Бұл формул Ньютон-Лейбниц формулсы деп тлды π d Мысл π si 4 d Шешуі f () функциясының лғшқы функциясы si F() ctg екені белгілі, сондықтн π π 4 d ctg (0 ) π si Жттығу сбқ - 5 Анықтлмғн интегрлды есептеу. Тікелей интегрлду әдісі, бөліктеп, йнымлыны лмстру әдістерін қолднып есептеу. Анықтлғн интегрлды Ньютон-Лейбниц формулсын қолднып есептеу. Анықтлғн интегрлды йнымлыны уыстыру, бөліктеп интегрлду әдістерін қолднып есептеу. Екі еселі π 4 i 4

35 интегрлд ретін өзгерту. Екі еселі интегрлды декрттық координттық жүйесінде есептеу.екі еселі интегрлд йнымлыны уыстыру. Екі еселі интегрлды геометрияд, мехникд, энергетикд қолдну. Үш еселі интегрлды есептеу. Үш еселі интегрлд йнымлыны уыстыру. Үш еселі интегрлды қолдну. ЖС [5] ; ЖС [5] ; ЖС 4 [5] 54-54; ЖС 5 [5] Интегрлдрды есептеңдер d d 0 d 4 ( 5) + d 5 + d ( + 4) e + d 6 Интегрлдрды есептеңдер si d ; e d ; d ; d ch Интегрлдрды есептеңдер. ( ch sh ) + d th d 4 sh d 5 th 4 d 4 Интегрлды Ньютон-Лейбниц формулсын пйдлнып есептеңдер. + d 0 d 4 ( ) 5

36 ( ) 0 d e e d 4 ( + ) 0 z 5 dz 8 0 z + 6 e d ( l) 6