!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "!"#$ % &# &%#'()(! $ * +"

Transcript

1 ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

2

3 ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7

4 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #,

5 '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! "- /,#-7 ",',8##! -#9,!")) 54! : 54 : *; 7 : *; 96 "- /,#-,'-<<,",#=-)>#45")$#,#- &",,#-<--6,+&-5-!, (,9"-6,+&-5)')6 4!,? *; 5 <,?*; 7 ' 4-9,")9") 5

6 --##!# $ **, % - ; *, ; - ;, ;, ( ;, - - :, - : % : - - -, ;?, : $ - ;, &, -, +, ; :;,, ; - - -, ;? --,, - *; #? - «-», «:», «-» *, - : -, ; ; : - * $ ;,,, * *; ) ; *- )#? 4

7 (,#!#($-(!( #/#!!"$ % f ( x ) f ( x ),? δ - x, x ( x δ ; x δ ) x x < f x f x ( f ( x) > f ( x )) 9 ; -, y = f ( x) x, ;-? 9, f ( x) = f ( x) 5?, ; x y = f ( x) ; - f ( x) ; (;), f ( x) x (), f ( x ) =, f ( x ), f ( x) x,, f ( x ) <, f ( x ) > f x X ;, * - # * 6 f ( x) [ a; b ],, :, -? ( a; b) - ;, f ( a) f ( b ); * *?* : )?;,,?, z = z x, y (,, ); ), - x y ; )?;, z = z x ; ;

8 4) ; ; 5) z = z( x) ; $?, (, ) * x, - (), * (*) ) * * # y = x 6x +, - ; y = x ( ) $ * * (( x, y ), ;? ; - (, ; - ;, y * = ( x * ) 6x * +, ( ( x ) * ; x * 6x * + " d = Ax + By + C A + B 6

9 * y = x?: x + y = ; A =, B =, C = x, y (, d ( ) * * * * * x + x 6x + + x 5x + = = + ( x ) ( x ) * * x 5x * * 5x + =, : D = 5 44 <, * * 5x + + > 9, * x, d ( x ) * * 5x + = * x R 9 d x, ;: * * * d ( x ) * * 9 d ( x ) =, d ( x ) * * x 5 ( x ) d = ;, >, * 5 * x 5 =, * x = 5 * x = d ( x ) -, * 9 * y = = 5 - d = 6 6 M (,4 ) ;,, ;, * 7

10 x a y + =, b a, b, a b, #, S = a + b - (,? ; b: a 4a + = ; = ; = ; b = a b b a b a a b S, ; - : ( a ) 4a S ( a) = a + = a + = a a a a ; a ( ; ) ; S ( a) -- S ' ( a) = 4 ( a ), ' 4 S =, ( a ) a a a =, = 4 = ; = 8

11 a = $ S ( a) = 8 ; S ( ) = 8 = ( a ) ( ) ;, a =, 4 * ; b = = 6 x y + = x + y = 6 6, l,, ;?; &,? *? $;? : R, α ( ) 9? S αr = P = R + L, L, L = Rα, 9 ( α ) P = R + Rα = R +, R l + = l α = R ( α )

12 α?: l R lr S = S ( R) = = R R S ( R ) ; : S ( R ) > l R ; &,, ; # ; S ( R) ( R) S = l 4 l S ( R) = R = <, R =, S ( R) R = l 4 -, * 9 l,? *, 4 4 # *?, x y + = a b $, 4 * ) x *, y * -,, x y x b a b a a * * * * * * + = ; ( y ) = b ; y = a ( x ), ( x * >, y * >, ) ) 9? ABCD * * * * * b * 4b * * S = x y = 4x y = 4x a ( x ) x a ( x ) a = a

13 4 * ; * S x x ( ; a) x * = x * = a ; - * S = S x ; * * 4b * * x 4b * S ( x ) = a ( x ) x a ( x ) a + * = a a ( x ) * * * * ( x ) 4b a ( x ) ( x ) 4b a ( x ) * = = a * a * a ( x ) a ( x ) a ( x ), - * * S ( x ) ;, * a x = a x = ± ; * * * a S ( x )? x = ± a 9 x = - * x - * S x ;, S ( R) - *, S ( x ) ABCD : * # ; a b a AB = = a BC = a b a =

14 5, * - 5 *? R, )$ )$CD a, $+ R ( 5) *,???, S R a π R = +, P = R + a + π R 5 ; 5, R + a + π R = 5, ; a?: a = 75 R π R ; π R π R S = R 75 R + π R = 5R R

15 5 ; R ; + π S R >, &,, π R R R >, 5 5 R ; + 5,, R ; + π # ; S : ( π ) S = 5 4R π R = R 5 ; R = 9 S = ( 4 + π ), 4 + π *, R S * +, - 5 * R = 4 + π 6$ * *?-,,?? +$ = a, )$ = )+ = b ) = R ( 6) 6

16 a 9 HB =,,, b, AK =, AKO? OK b 4 = R ab S = 4R,? S π R = a, b R ' : ABH HB KO AB = AO a R b 4 = b R ; ; b R b 4 b 4R b a = = ; R R S b 4R b = 4R - S, ; b ; ( ; R ) # ( b) ( 4 ) 4 b b R b b S ( b) = 4 b R b + = = 4R 4R b 4R 4R b ( ) 4 R b b b R b = = R 4R b R 4R b, 4

17 , S ( b) = b = R, b = S ( b) b = R # b ( ; R), b ( ; R) 9 b R, S ( b), S ( b)? = - ;, * #- *;? - *? S ( b ) R 4R R R R R = = = ; 4R 4R 4 R S 4 = = S π R 4π 7# x y 8,4 B, ( 7) # ; +;,? )$+ * + = A 7 + x y? - ABC S = AB AC 5

18 # AB AC : AB = {, 4} = {, 4 }; AC = x, y 4 ; { } i j k AB AC = 4 = y 4 4 x k = 4x + y k 9 x y 4 ( ) S = ( 4x + y ) = x + y 6 " : ) x + y 6 >, ; y > 6 x, + - () ( 7); ) x + y 6 < y < 6 x, + (), )$+ *;? + (), * ; S = x + y 6 = 6 x y +, - ; x + y = 8 y = ± 8 x y ; S, ; S x x = 6 ± 8 # * S ( x ) x [ ; ) # -,? : 4x x S = ± = ± 8 x 8 x S ;, : x ± = 8 x x ± = 8 x 6

19 $ : x 8 x = = = = = ± ; x 8 x ; x 8; x 6; x 6 $ ;? y : y y = 8 ± 6 = 6; = 8 ± 6 = 6 9, : M ( 6; 6 ), M ( 6; 6 ), M ( 6; 6 ), M 4 ( 6; 6 ), M - () S? x = ±,, $ S = 6 x y S ( 6; 6 ) = = ; S ( 6; 6 ) = = 6 6 ; S ( 6; 6 ) = = ; S ( ; ) = 6 + = # * S ( 6; 6 ) = 6 + 6, C ( 6; 6 ) * ABC 8 A V &, *?, l - a a, A V = l - l = V, 4 4 4V l = a a S = + al 4 7

20 ; l, a 4V a V S = + a = + a a 9, S - a, * : a > #, : S = a ; 8 V V V a = ; a = ; a = 4 V ; a = 4V a a 4V S = + >, a, * 9, - * - ; a = 4V 9 9 ;, S &, A *? R, H - S S = π RH + π R, ; H = R A π R V = π R H, H, R = S SR V = π R R = π R π R a S ;, R = π S V R R ; π ; V ( R ) >

21 # ; V ( R ): V S = R S ;, R =, 6π S S V = 6 π R, V <, R = V - 6π 6π,, -, * $, ;?; * A: π H S S 6π S S S S S S S = = = = = π S 6π π S 6π π 6π 6π 6π 6π p &-, A, -?,?, *? $ : )+=, )$ = $+ = b ( 8) 8 ; p, a + b = p, - a b = p A V = π R H 9

22 R, )+ a, R = ; H, )$+ 6, BCN : BN = BC CN a a H = p = p pa R H A a π = π = 4 V p pa a p pa ; V a - ( ; p ) 9 * $ ; V ( a) ; π p π a 4 p pa pa V ( a) a p pa a p pa p pa π p a( 4 p 5a) = 4 p pa = + = = ( a) V = a = 4 p 5 a = ; V ( a)? a = ; p $ - 4 p a = V ( a) ;, 5, V ( a) * A *, 4 p a = # ; : 5 a p p b = p = p = α - ( 9) α A *?

23 9 SB = R ;? SB ;,?, SB α = π KB Rα R α = π KB, ; KB = A π V = π KB SK = KB SB KB π,, V π R α R α = R = R α 4π α 4π 4π 4π - ; V ; α α ; π, R α V ( α ) = α 4π α α + 4π = 4π α R α ( 4π α ) α R α ( 8π α ) = = 4π 4 4π α π 4π α

24 ,, ;? - π α = α V α ;, π α =, * V 9, A *, π α = " ) $ ( ) 6 - MN # * s = s + s, a =, b =5, H =, h =5, L = 5 MN O M O x 9 PO = PM + MO = + x, OQ = PQ PO = 5 x = 5 x,, ; s = s + s # s s APO BQO APO : AO = AP + PO s = + + x = x + x + 5 ; BQO : BO = OQ + BQ s = 5 x + 5 = x 5x + 85

25 9 s x x x x = # s x * x 9 O - MN, MN = 5 = 5, *- s( x) x [ ; 5] $ ;: x + x 5 x + x 5 s = + = + x x x x x x x x ; ;, : ( x + ) ( 5 x) x + 5 x = ; = ; x + x + 5 x 5x + 85 x x x x ( x + ) ( x x + ) = ( x) ( x + x + ) ; ( ) x + 5 x + 5 = 5 x x ; ( x ) ( 5 x) 5( x ) 4( 5 x) ( 5 x) ( x) = + + ; ( x + ) = ( x) ( x + x + ) = ( x + x ) ; ; 75x 45x 75 ; x 4x + = + = & ; - ; 5, [ ] s( x) * - s = ; s 5 = = = 5 +, *, - N

26 $ + $ # *, R ( : 4 R 5 R 5 ) 5 5 $ ; l &,? *? l l ( :, ) 4 4 $ -, y = x x = 4, y =, *?; ( : S = 9 ) $ 4 # * A, S S S ( : V = ) 6π $ 5 # * A, R ( ) ( : 5R ) $ 6 $ * * A, * A*? ( : ) $ 7 $ * A - * A,? ( : 9 4 ) $ 8 # * A * * A, * ( : ) $ 9 $ *? *- *?, *? 4 ( : ) + 5 4

27 +* $* s = s t, t + t t v s( t ) s s t = = t t t + ( ) - v t = v t = s t, s = s t, t 6,, : t, - v( t ) = + = s ( t) v t s ( t) =, t * 9 - * s( t ), ; v = v( t) 9 v ( t) a t =, s s( t) a t = s t =, 4! "? α = α t 9 ( t) = ( t) ω α α ( t) a t = 5

28 s( t) = t + 6t + 7t + # *; -, * #: t 9 s t, t + 6t + 7t +, ( t )( t )( t ) + +, : t ( ; ] [ ;] t, t [ ;] #:, t [ ] = = v t t t t t t - ; ; * - ; #: v t = t + t + 7 = 6t +, 6t + =, t = $ [ ;] v = = 49, v = = 7, v = = 4 v = 49 4 s( t) = t + 5t + $;; 5 t = -, ;; t [ ;5] v s ( ) s 5 = = = =

29 ; t = v t = t + 5t + = 6t + 5, v = #,, t s t = te $ v t = te = e te = e t t t t t ( ) #:, ( v( t ) = ) e t ( t) =, t = $, e s = = 7 e 6 6 s( t) =, t $ ( t + ) -, 6 s ( t) = =, ( t ) + ( t + ) 64 a( t) = s ( t) = = t + t + 4 $ a 64 ( ) = = 8 8 ( + ) 4 7

30 7 ; s ( t) = 5t + t + 6 s ( t) = 4t + t ;- ;? $, #: 5t t 6 4t t = + +, t t =, t = t = 4 t = 4 t,, $ -, v t = 5t + t + 6 = t +, v t = 4t + t + 8 = 8t + #: ( 4) 4 4 v ( 4 ) = = 5 v = + =, 8 (,, t α ( t) = t t ()# ;? - t = 7, - 4, : ; t ω t = t t = t $ ; t = 7 ω ( 7) = 7 = 86 ( ) #: ( t),t =, 5 c t = 8 ( ω = )

31 4 * * * ( * * ) ; -, : 9 9 m = 5 h = 45 & k = 5 +, v =, g =,, *;;; mv & E k = ( m = m kt = 5 5t, v = v + gt = t 9 ( t)( t) mv Ek = = = ( 5 t 5 t ) 6 t, : h - gt gt h = vt + =, t, &, Ek h 45 t = = = g 4 Ek = ( 5 t 5 t ), 4 t t 5 5, 9

32 t, t ; [ ] - ; ; Ek Ek ( t) t [ ;] #: ; & 4 E k = ( t 5 t ) t 4 ( t) 5 =, t =, t = = = = * & [ ; ] $ E k E =, k E k = =, E = k Ek, * 7 = E max k = " # h, A - OA = a ( )??: *

33 ?: ( ) sinϕ E = k r #: AB - OAB AB = OA + OB r = a + h #: - OAB - OB h h sin OAB = sinϕ = = 9 AB r a + h E = k h ( a + h ) -, h [ ; ) - ; E = E ( h) * $ ; + + h a h E = k = k == ( a h ) + a + h a + h ( a h ) h ( a h ) h 5 #: a h =, a a h =, h = 9 h = a [ ; ) #: - a E,5 = = >, ( a) ( a) a (,5a) ( a + (,5a) ) a + (,5a) 5 5 a a a E = = < ( a + a ) ( a + a ) 5 5

34 a $ «+»,, - ;, *?: [ ) E ( h) # H, *? L ( ) 9 L = vt, v, t ;? v = gh, g, h v = g H x ', ; s, ( ) gt s =,

35 x = gt, x t = 9 g x L vt g ( H x) ( H x) x Hx x g = = = =, x [ ; H ]- ; L = L( t) * $ ; H x L = Hx x = Hx x # H x =, H x = & [ ; H ]#: - H H H H L = = = >, H H H H H H H H 4 L = = = < 4 H H H H ; «+», - [ ; H ], * H, - n, ;, a -, ( n a ) - 9,,

36 I = naε nr + a r, Ε?, r, R *, - a * - - = * $ ; -, a ( ; n] ; I I ( a) ( ) a nr a r ar a nr a r I n + = Ε = nε = nε + + nr + a r nr a r nr a r #: a nr = nr nr a r = r a r =, ( ;n] #: nr a = r nr nr nr r nr I r = nε = nε = Ε >, r nr nr 9R nr + r r nr nr r nr r nr I = nε = nε = Ε < r nr ( nr) 9R nr + r r 9 ; «+», - ( ;n ], - * nr a = r 4

37 -, - * a b # *, d N = kab, k -, k > -, a + b = d, b = d a 9 N = ka d a = k d a a -, a ( ;d )- ; N = N ( a) * $ ; & ( ) N = k d a a = k d a a d a =, d d = a = - ( ;d ) d #: - 5

38 d d d N = k d = k >, 4 4 d d d N k d = k < d ; N a 9 «+»,, ( ;d ), * d d b = d a = d = a = d $* 4 + # - * a b 9 = a b ; a + b =, b = a - ( ) = a a = a a - = a * - a ( ; ) - ; a ( ;) $ ; #: = a a = a a =, a = 5 & ( ; ) $ - ( a) 6

39 ( 4) = 4 = >, ( 6) = 6 = < ; «+»,, a = 5 9 ;, * - ( a) a = 5 9 b = 5 = : - * #,, * a, a, 54 a a = 54 a + = a a 54 a = 8a 6a #: a ;, a > a > 54 a > a ( ;8) - ; ( a) = * # ; & a a a a = 8 6 = 6 8 ( a) a 6 8 =, a =, a = & a = ( a) = 6 8 = 6 >, = 6 8 = 4 < 7 ;8 $

40 ; «+»,, a = 9 ;8, * a a =, *, 4, , - * # a, b 9 S = a + b - ; b = 5 a S a 5 a a 45 a = + = + #: a ;, 5 a > a > a ( ;5) -; S S ( a) = * - # ; & S a a a = + 45 = a =, a =, a = & a = ( ;5) $ S ( a) S,5 =,5 =, 5 <, S = = 9 > 8

41 ; S ( a) - «+»,, a = 9 a = ( ;5 ), * a = 9 b = 5 = 5 = t t -;, t -; + t + 6 5,? U ( t ), ; t U t t = t t #: t - t U t # t t, t t, t ( t + 6) t, 5 t + 6 t 5 6 ( t ) t t, t [ ;9] ; U ( t) * [ ] ; t 6 U ( t) = t = t ( t 6) - ;9 # -

42 #: 6 =, 5 ( t + 6) 6 = ( t + 6) 5 ( t + 6) = 4, t = 4 t = 6 $ U ( t) [ ;9] U =, 4 U ( 4) = 4 >, U 9 =,,, ; V +,, a,,? -, b *?? S = πr,? S = π rh 9 = π + π a r b rh -, V π = r h ; V h = 9 πr V bv = a πr + b π r = aπ r + πr r 4

43 r ( ; ) - ; = ( r) * $- ; aπ r bv bv π r r = + = a r #: bv aπ r =, r aπ r bv =, a π r = bv 9 4bV = aπ + r aπ >, bv a π r = 9 bv, * a π r = bv 5 V aπ b V h = = π bv a π #*, - * h b V = r a π 4

44 $ + $ 9 m s ( t) = ( t ) ', ;? : ; $ ( - + t x t = # t + t = ( : 65, -5) $ 9,? h ; v, gt h( t) = h + vt, h, t #, *, h =, v = 4 ( g = ( : 45 ) c ) $ 4 # AB, ;? - : A ( p ) B ( q ),,?;, AB = a (?: ) a p ( : A) p + q $ 5 - d & * b h,,, *? ($ ;* - ) ( : b = d, h = d ) $ *,,?, 4

45 F = cx ( a + x ), a, x, c = const x F *? a ( : x = ) $ 7 #, : *; ( : ) $ 8 # -, : ) *; ) * ( : ) ; ) 6 6) $ 9 t t -;, t -; + t +,5 49,? ( : ) +*5 $* * 6 $ ; -, &, *-, - " - 9 & 8? 4%, 5% - ; x ; % -,?? 4

46 $ 8 : () - 8 x 9 8 x + 8 x 4, ; :, ( x) ( x) ( x) ( x) = = 8 4 ' ( 5%): 5 x + x = x + 5x = 5x 9 - x, x 5x 6 5 x 5 x x x p, p % = # : i = p x x p x x x 5x 5x = 5x 5x i = 5x i, 6? ( ) : x S x x x i = 4( 8 ) + 5 ( ) ' * * [;7] ' ;: x x S x = + i = + i 4( ) 5 ( ) 4 5 ( ) 44

47 : : x 5 ( i) = 4 ; x,4 5 = ; i x 4 = 5 ; i 4 4 x = 5 = 5 i i 4, x = 5 9? * i [;7], -, < x < 7 : , 5, i, i 84 i > > i > 5 < 5 =, p i =, p < 84, p < 84, p<84 %,? U ( t ) : U t # $ t t + t : U = U ( t ) U + U 9 t z U = t t z = lim z = lim = U t t t 45 U ( t )

48 z (t) - ; ; ( ln y) = y y ; ; z $, ( ln z) = - z +:, A: u t u t = t + 6t + 6t + 4, t 8, t, #: ), : ; ) $ * " + - ) z( t) ( t) = u ( t) : z z ( t) = t + 6t + 6t + 4 = t + t + 6 # : ( ) = = 4 z + :; z t : ; z t ( t) = ( t + t + 6) =

49 # : ( ) = 4 + = z ' : z z ( t) 4t + = ( t) t + t + 4 : z z ( ) ( ) 4 + = = = )! z( t) = t + t + 6, +, * - * ' : * : b t = = =, z z = a ( ), ( t ) = ( ) = $* M ( ;4) 9-, : ; Ot ' z t ;: t + t + 6 =, t + 6t + 8 =, D = 6 4 ( ) 8 = 68, t = 7 t = ' ; Oz = ( ) = = 6 z t ( t) z : ( 4):, :, 47

50 4 ' x ; y -, x?, y?, y? - x 9 y = y (x) x lim x " ) ;? - :, : ; ; A:- Q P Q ;: Q < ( Q) = 9Q + 4Q + 88Q + 5, P( Q) = 44Q #: ) ;, A:, - ;? ; ), ;? ; ) [; 5]; ) * [; 5] ) ; : : A:? : ( Q) = Q P( Q) C( Q) = ( 44Q + 898) Q ( 9Q + 4Q + 88Q + 5)= = 9Q 576Q + 864Q 5 48

51 - ; *, : : ;: = 9 Q 576 Q = = 576Q 5Q #: ( = ) : 576Q 5Q = : 576, Q + Q 5 =, ± ± 8 Q, = =, Q = ; Q = 5 Q = 5, Q A:,, ; ;: = > ( 4) = <, : #: ;, ( Q) ( ) = = 4 5 #:, : ( ) = = P ) #:, ;? : ( ) = = 4 6 9, ; - : ( ) 46 C = = = 8 49

52 6 ; : $ Q = : ( Q) = 576Q Q ( ) = = 8 64 ) #:,? ) A: ( ), A:- 5 ( ) ) #*: ;: ( Q) = 576Q Q # C ( Q) = : 576Q + 864Q + 88 = : 88, Q + Q + =, ± 9 4 ± Q, = =, 4 4 Q = 5; Q =,?, - - * & Q = 5 Q = [; 5], 5: # C( Q) = = ( 5) = = 77 4,, * [; 5] * 75 *?; - & - -, 5

53 @ ; y = f ( x) * y x : $ % E x ' y x f x x ( y ) = lim : = x y x f x E p ( q ) = dq p dp q ( ) - - ; ; $ dq I EI ( q) = di q (z) & " ; z = f (x, y) (z, ; E x, ) E y $- z x z y Ex( z) =, Ey( z) = x z y z ; z = f ( x, y) x y 6 E x (z) z, x %, y ) - #, P z A E B P B, () ), $ %, ) : q( p) S ( p) : p + 8 q ( p) =, S( p) = p + 5, p +, q S - #: ) ;; 5

54 ) + - ; ) 5% ( ) ", : p p = p + 5; 5 p + 8 = ( p + ) p + = p + p + ; 5 5 p = p + p + 8 = p + p 7 ; p + p 7 = ; p = 7 p = ) E p ( q) p = q p q 5 ( p) p + 8 p + ( p + 8) 6 $ q p = = = p + ( p + ) ( p + ) p 6 p 6 p E ( q) = q = = p q( p) p + p + 8 p + p + 8 p + = p 6 E ( q) = = ( + )( + E p ( S) p = S p S ( p) S p p $ = ( + 5) =

55 E ( S) = 9 E ( q) ( S) p p p = S p = S ( p) p +, 5 E ( S ) = = < E <, : ; % * %, - 8% ) 5% * 5% ( 5 = 5), 5% $ + $ A: u ( t) = t + 4t + t + $ - 4 ( : ; ) 5, - $ A: - Π = x + 4x + # A:-, ( : ) $ ; A: t Q < ( Q) ( Q) = t + 5t + #, A: 5 ( : 7) $ 4 A: - K = x x + # A:, ; 8 - A:, - K 5 = 75 ) ( :, : [5,,, 6; 6, IV, ; 7,, II; 8,, 5, ; 9, 4, 5;,,, 7;,, 6, 68]

56 (,#!8(##9!!()(!&#) + : - - b a ( ξ ) f x dx = Lim f x n, max x i= i n i i $ : - ;? ; ; - ; Q, ;?; : [ ; ] a b, Q, - [ a; b], Q Q, ;? - dq Q, ;? [ x; x + x], dq = q( x) dx ;?- #, ; - ;, ; ; *, dq,, dq Q, ; - dq ; ; [ a; b] b Q = q x dx a ) * 7 :! '? - y = f x,, y = f ( x), x = a x b =, - : b a S = f x f x dx 54

57 $,, x = x( t), y = y( t), t [ t ; t ],, «+» x( t ) x( t ) x( t ) x( t ) t t S = ± y t x t dt, > t > t ; < t > t?,,, ϕ ρ ( ϕ ) ρ ( ϕ ) dϕ, ϕ S = ρ = ρ ( ϕ ), ρ ρ ( ϕ ), ϕ [ ϕ ; ϕ ] = * - $?, y = x x +, y = x! y = x x + * ( ; ),! y = x - ( 5) 5 55

58 #: x x x + =, x 4x + =, x =, x = -,? S = x x x + dx = x + 4x dx = 4 x = + x x = 4#? x = acost, y bsin t =, t [ ;π ]? S,? S 9 S = 4S ( 6) 6 $?, π π π S = 4S = 4 b sin t a sin t dt = 4ab sin tdt = ab cos t dt = π = abt sin t = π ab 56

59 5 $?, ; ( cosϕ) ρ = ρ = cosϕ ρ = ( cosϕ), cosϕ, ; ρ = cosϕ (;) ( 7) 7 -? S S=S, S *? S -? S S, ; : #: ϕ, ( ϕ ) cos = cosϕ, π cosϕ =, cos ϕ =, ϕ =? S (ϕ π ) π π π 4( cos ) ( cos cos ) S = ϕ dϕ == ϕ + ϕ dϕ = + cos ϕ = ( cos ϕ + ) dϕ = = ( ϕ sinϕ + ϕ + sin ϕ) = 4 7 = π 4 π 57

60 ? S (ϕ π π ) π π 4cos ( cos ) S = ϕdϕ == + ϕ dϕ = π π π π = ( ϕ + sin ϕ) = 6 4 π S=(S + S )= 7 π 7π π + = $?, ; x 4x + y =, x 8x + y = x y =, y = x ( 8) ' :?; - x = ρ cosϕ y = ρ sin ϕ x 4x + y = ρ cos ϕ 4ρ cosϕ + ρ sin ϕ = ρ = 4cosϕ, x 8x + y = ρ cos ϕ 8ρ cosϕ + ρ sin ϕ = ρ = 8cosϕ, x ρ cosϕ π y = ρ sinϕ = tgϕ = ϕ =, 6 y = x ρ sin ϕ = ρ cosϕ tgϕ = π ϕ = 58

61 ρ = 4cosϕ ρ = 8cos ϕ, π π ϕ 6 8 6? * - π S = ( 64cos ϕ 6cos ϕ ) dϕ = = ( + cos ϕ) dϕ = π π 6 6 π = ( ϕ + sin ϕ) = π π 6 π, y = y( x), y ( x) [ a; b ], L ;-?? b ( ) L = + y x dx a, L, x = x( t), y = y( t), t [ t; t] x ( t), y ( t),, t L = x + y dt t 59

62 ϕ, L ρ ρ ( ϕ ) [ ϕ ; ϕ ], ρ ( ϕ ), =, ϕ L = ρ + ρ dϕ ϕ 7 $ y = x (;) (4;8) - y = ± x 9 - (;) (4;8) y >, x y = = x y = x = x #: ; 4,, 4 -, x 4 + 9x 4 + 9x L = + x dx = + dx = dx = dx = = + = + = = ( 4 9x) dx ( 4 9x) ( 4 4 ) ( 4 4 8) [ ;] x 8 $ y e + e $ ; x x x x y = e e = e e -, x x x x x x x x =, L = + e e dx = + e e e + e dx = 4 6

63 4 x x + e + e x x x x = + e + e dx = dx = e + + e dx = 4 4 x x x x x x x x x x x x ( e e ) dx ( e e ) ( e e ) = e e e e dx e e dx + + = + = = + = = = e e e e = e e = e e 9 $ = ln cos x + y, x π 6 $ ; y = ( ln cos x + ) = ( sin x) = tgx cos x #:, dx cos x >, x [ ; π 6] tg xdx dx π 6 π 6 π 6 π 6 dx + = = = = = cos x cos x cos x = cos x cos x π 6 x π π π π = ln tg + = ln tg + ln tg + = π π = ln tg ln tg = ln ln = ln 4 4 $ ( ) ( t) x = 9 t sin t y = 9 cos t [ ;π ] $ - xt = t t = t y t = ( 9( cost )) = 9sin t ( 9( sin )) 9( cos ) 6

64 #:, π π L = 8 cost + 8sin tdt = 8 cost + cos t + sin t dt = t cost π π sin =, = 9 costdt = 9 costdt = = t sin = cost t π π t π, π, π t t t = 9 sin dt = 8 sin dt t 8 sin dt = = = sin >, t t sin sin = π t 8 ( ) cos = 6( cosπ cos ) = 6( ) = 7 4$ $ $ x = 5cos t y = 5sin t, t π x t = 5 cost sin t = 5sin t yt = 5 sin t cost = 5sin t π π L = 5sin t + 5sin tdt = 5 sin tdt = π π sin t >, t π, = = 5 sin tdt = 5 cos t = sin t = sin t 5 = ( cosπ cos ) = 5 ( ) = 5 6

65 4$ x = cos t y = sin t 9 ( 9) Ox Oy, :;, 4 t ; π - [ ;π ] π, [ ] 9 $ = = = = xt cos t sin t 6cos t sin t yt sin tcost 6sin tcos t -, : L, L = 4L π π L = 6 cos t sin t + 6sin t cos tdt = 6 cos t sin t cos t + sin t dt = = 6 π cos t sin tdt = 6 cost sin tdt = sin tdt = cos t = π π π = ( cos π cos ) = L = 4L = 4 = 4$ ( ) x = cost cos t y = sin t sin t, t π

66 π $ π ( t) ( ) x t = sin+ sin yt = cost cos t L = 9 sin+ sin t + 9 cost cos t dt = = 9 4 sin t sin t sin t + sin t cos t cost cos t + cos t dt = π 6 sin cos sin cos sin sin cos cos π = t + t + t + t t t + t t dt = = 6 sin t sin t + cost cos t dt = 6 costdt = cos = cos t ( t t) t π π sin >, t π, π t t t = 6 sin dt = 6 sin dt sin dt = = t t = sin = sin t = 4cos π π = 4cos cos = 4 π ( ) = 4 44 $ ρ ( cosϕ ) = 9, L = L, L, ϕ - π 64

67 #: ;, π ρ = cosϕ = sinϕ - L = 4 cosϕ + 4sin ϕdϕ = cosϕ + cos ϕ + sin ϕdϕ = π π π cos cos sin ϕ = ϕdϕ = ϕdϕ = dϕ = π π π ϕ ϕ ϕ π = 4 sin dϕ = 4 sin dϕ 8cos 8 cos cos 8( ) 8 == = = = b π π 45# ρ = a e ϕ, ϕ b b ϕ ab $ ; ρ = ae = e, : π ϕ - ϕ π,5π b b,5π ϕ ab ϕ bϕ a b bϕ L = ae + e dϕ = a e + e dϕ = 4,5π,5π,5π b b + ϕ + ϕ,5π 65,5π 4a a b 4a a b = e dϕ e = = b 4a + a b = e e b bπ bπ 4 4,5π 46 $ ρ 5( sinϕ ) #: ; π = +, ρ = 5 + sinϕ = 5cosϕ $ L = 5 + sinφ + 5cos ϕdϕ = 5 + sinϕ + sin ϕ + cos ϕdϕ = π π = 5 + sinϕdϕ = 5 + sinϕdϕ = sinϕ = cos ϕ = π π

68 π π π ϕ ϕ ϕ π π ϕ 5 + cos d = 5 cos d = 4 π ϕ π ϕ π π π = cos dϕ = sin = sin sin = π π = sin sin = = 4 4 π (;7 '()? S x, ;, Ox x [ a; b] x + x dv = S ( x) dx ( ) ' A: x, A: (- Ox ) V b = S x dx a, ;,, '()!,? Ox, y f x y = f x, x = a x = b, =, = π S x f x f x -, Ox b a V = π f x f x dx 66

69 ,? Oy, Oy b a V = π f y f y dy 47 $ A:, x y z =, z a + b = x y z = a + b -, Oz z =, - xoy,? : : ; z = const, xoy $ x a x za y + b = z, y + zb = 67

70 za zb? (? S z = π za zb = π abz -, A: ) b a z π ab V = S z dz = π abzdz = π ab zdz = π ab = 48$ A:,? Ox y = sin x,, y = sin x, x π ( ) -, π π VOx π 4sin x sin x dx π sin xdx = = = π π ( cos x) dx x sin x = π = π = π 49$ A:,? Oy, y = x x +, x =, y =, ;?, - ( 4)! y = x x +, -, * ( ; )! x =, Oy * y = x x + x = f ( y) - ( x ) y =, x = ± y 68

71 4 9 ;, x = + y ' A: π VOy = π + y dy = y y dy = 4 y 7 = πy y y = π 6 5 $ A:,? - Ox ( sin ) ( ) x = a t t y = a cos t ; t [ ;π ] -, dx = x dt = a( cost) dt, Ox π π ( cos ) ( cos ) π ( cos ) V = π a t a t dt = a t dt = π ( cos cos cos ) = a π t + t t dt = π = a πt sin t + t + sin t sin t sin t = 5a π t 69

72 : :?,? y f x x a; b, Ox =, [ ] b S = π f x + f x dx a, x x( t) =, y = y t,?,? Ox, t S = π y t x t + y t dt, t t t t, ;? 5$?,?- Ox y = x, : x = * y = f ( x) (,? y f x = x = $?, x = x 9 4x + S = π x + dx = π x dx = x 4x π x 4x + = π dx = π 4 + = $? R? Ox y R x,? =, x [ R; R] - 7

73 R x S = π R x + dx = R R x R R R R x R = π R x dx = π Rdx = 4 π R R 5 $?,?- Ox = y = a t x acos t sin ' AB? Ox -? ( 5) #:?,? AB Ox, 5 #: $ A( a;) t =, t = $ B( ; a) x = a cos t = a, cos cost =, π t = $ = = y ( a t = ) = a t t x acos t a cos t sin t sin sin cos x a t = cos =, 7

74 $ π 4 4 sin 9 cos sin 9 sin cos S π a t a t t a t tdt = + = π π 5 4 sin t 6 = 6π a sin t costdt = 6π a = π a 5 5 $? S 5 = π a $ + $ $?, y = x, x =, x = ; Ox ( : S = ) $ $?, ρ = 4( + cosϕ ), ρ = cosϕ ( : S = 8π + 9 ) $ $ A:, x y + =, z = y, z = 4 ( : V = 8) $ 4 $ A:,? Ox, y = x, x + y =, y = ( : VOx = π ) $ 5$ A:,?, y = sin x, - ;? ( : VOy = π π ) 4 π $ 6 $ y = ln cos x +, x 6 ( : L = ln ) 7

75 $ 7 $, x = 5cos t π y = t t 5sin, ( : L = 5 ) $ 8 $?,?- Ox y = x +, ; - x =, x = 7 ( : S = π ) 7 < * * + -? ds dp = γ hds, γ, h - ds 6 ' ") * " 6, - Ox (Ox, *), Oy ; ( 7) 7

76 9 h x x, ( ) 7 ( ) =, ds = y ( x) y ( x) dx, γ x x ( ) P = γ x y x y x dx, dp = x y x y x dx x x, ; y x, ; ;, y x, " 6 - γ, Ox, Oy - ; ( 8) 9 h x =, π ( ) 8 ds = y + y dx k P = πγ xy + ( y ) dx, k, y y( x) =,?- Ox 74

77 54 $, ( 9) 9 $ 6 y ( x) y x, -,, - ; ; 5 : ( y y ) = p( x x ), ( x, y ) * &, * (5, ) - y = p x 5 p 9 (, ), ; ; : ( ) p( 5) 4 = p( 4), =, p =, ( y ) ( x 5) = 75

78 ; ( y ) = 5 x, y = ± 5 x, y = 5 x, y = 5 x + + ' ( γ = ) P = ( ) x x x ( y ( x) y ( x) )dx P = x 5 x + 5 x + dx = x 5 xdx = x 5 xdx = $ 5 x = t,5 x = t, x xdx = = t t tdt = t t dt = x = 5 t, dx = tdt 4 5 ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5 x) 5 ( 5 x) t t = 4 = x x 5 5 x 5 xdx = 4 = ( 5 5) 5 ( 5 5) ( 5 ) 5 ( 5 ) 46 = 4 = ", :; 76

79 $ + $* (;), - x = p y (-;) : : p = 9 : ( y ) x =, y = x, y = + x ' ( γ = ) P = x x x ( y ( x) y ( x) )dx 4 P = x xdx = 5 56 " γ, :; $ 4 77

80 ",, ;? - P P 4 $ P +,? A ( 5;), B ( ;) ( AB ) B ( ;), C ( ;) ( BC ) $,? : x x y y = x x y y 9 AB : x 5 y = 5 ; x y = 5 BC : x y = ; y = x + x 6 y ( x) y ( x) x = + = x ; x 6 P = γ x xdx = γ = γ

81 $ P +,? C ; ( AC ): A( 5;) 9 x 5 y = 5 ; y = x + 5 x 4 y ( x) y ( x) = x + 5 = x + 4 ; P = γ x x + 4dx = γ x x = γ P = P + P = γ + γ = 4γ $,, - ( 5) 5 $ AD BC 6 79

82 ,? A( ;) D( 5;) (?): : x y = 5 ; y = x 5,? B( ;7) C ( 5;5) x y 7 = ; y = 7 x 5 $ x P = γ x( y ( x) y ( x) ) dx = x7 x x dx = 5 5 x 5 x 4 x 5 = 7 = $ ( γ ),, ;? R "- ; $ 7 7 8

83 ", ;? Ox AB + AB '- ; R x + y = R ; y = ± R x 9 AB ( R ;), AB # y : y = R x y = R x x R R x R P = πγ x R x + dx = πγ x R x dx = R x R x R R xrdx R = πγ = πγ = πγ 59 $ ( γ = ), ;?,?: * 5 $ $ 8 8 8

84 &, ;?- Ox AB +,?- B ; ( ;) A y = ( x ) x, y = 5 9 y = 5 ( x ) ( x ) 9 P = π x + dx = π x dx = = π x( x ) π 5 = 5 + F - s " A A = F s *" 6, - ; γ h : 9 ( Ox, - *) dp dx 9 dp γ dv γ S x dx S x? da = =,,, ;, dp x + h 8

85 9 9 dp x + h, da = dp ( x + h) = γ ( x + h) S ( x) dx x x A = γ x + h S x dx, S ( x )? x, x, x, ;? () 6, *- ; A: m H, Mm F( r) = G, r G, M, r - $: 4 4 8

86 F ( x), x :, a( x ) x F ( x) = ma( x), x = ( ) a( x) = g = 9,8, F = ma = mg +, -, mm mm F ( x) = G, F = G R x R ( + ) mm mm ma( x) = G, mg = G R ( R + x) - M gr = 9 G F m gr mgr ( x ) = G = R x G R x ( + ) ( + ), da,, ; F x x 9 mgr da = F x dx = dx 84 ( R + x) ", * H - :, H mgr A = dx ( R + x) " 6, - ;, s ( - : k ),! F = ks, F, ;? 6 dx da = F x dx 9 ; s s A = F x dx,

87 4 6, - ; R H, PV = PV P A- : V = π R H P( x )? * x ( 4) 4 A: V ( x) π R ( H x), π π PV = P x V x P R H = P x R H x = 9 - P( x) P π R H P( x) = H x? * dx - P π R H da = P( x) dx = dx 9 ;- H x a a P π R H dx π, A = dx = P R H H x H x a,? * 85

88 6 $ ;, γ, R H $: 4 4 S ( x)? x #: r ( x ) " BOC AOD - AD BC OB = H, 9 OA OB = 9 AD r ( x) r x x xr =, r ( x) = R H H x R S ( x) = π r ( x) = π H -, H H x R π R π R H π H H 4 A = x + dx = x dx = =, BC = R, OA = x, 6 /,, ; γ $, ; ' 5, * 4, 4 86

89 $: 4 4? x S ( x ) +, a = 5 #: ; x = 4 y y = 4 x, y = 4 x, b = y y = 4 x 4 x = 4 x $? S ( x) = a b = 5 4 x = 4 x #, A = γx 4 xdx = γ 4 x 4 x = γ 5 6 = +,, *; *, * ( 4, ) 5 $ dx A = π dx = π 56 = x x 5 = π 56 ln x = π 56 ln = π 56 ln 4' 5 87

90 6 $, ;,,, : # #: : -! 5 F = ks, F = s = k = : = -, 5 5 A = xdx = = ' $* " ;, ;? v = v t 9, t t " [ t; t t] : ds = v( t) dt - [ ; ], : + t t, s t = v t dt t + " - [ t ; t ] x = x t y = y( t) 6,,, - : t ( ) ( ) t s = x + y dt 88

91 64 ( - v t = 6t + 4t + c #, ; [ ; ] +, s = 6t + 4t + dt = t + t + t = αt v( t) = te #, β, β, β αt s te dt = - : αt β u = t dv = e dt β αt t αt s = te dt = = e αt du = dt v = e α α β t t β β α αt αt β αβ α α α α α α e dt = e e = + e + 66 $;;, - t ;6, [ ] x = t sin t + t cost y = t cost + t sin t 89

92 6,, - ( ) = + = y = (( t ) t + t t) = t t x t sin t t cost t cost cos sin sin,, t [ ;6] t s = t cos t + t sin tdt = t dt = = 7 $ ;; v s 7 = = = t 6 -* = " ; ; y = f ( x), x [ a; b] ( x) ρ = ρ ( 44), 44 $ dl dm = ρ x dl -, ( ) dl = + y dx, b a m = ρ x + y dx 9

93 , % A? I = mr, m A, r -? + ; - b I = ρ x x + y + y dx, a Ox Oy - x b b ρ, y ρ a a I = x y + y dx I = x x + y dx A M = mr, m A, r - + ; - b M = ρ x x + y + y dx, a Ox Oy x b b ρ ( ), y ρ ( ) a a M = x y + y dx M = x x + y dx 4 - * M x = myc M y = mxc %- C ( x ; y ) C C x C b b ρ x x + y dx ρ x y + y dx a a =, y b C = b ρ x + y dx ρ x + y dx a a 9

94 " ;, ; y f x x a; b ρ = ρ x ( 45) =, [ ], 45 $? ds 5, dm = ρ ( x) ds - - ;; :, b = a m ρ x f x dx 6 + ;, % b a I = ρ x x + f x f x dx, Ox Oy - x b b ρ, y ρ a a I = x f x dx I = x x f x dx 7 + ; ( ), - b a M = ρ x x + f x f x dx, Ox Oy x b b ρ, y ρ a a M = x f x dx M = x xf x dx 9

95 8 & % ( ; ) C x y ; C C x C b b a C b a b a xρ x f x dx ρ x f x dx a =, y = ρ x f x dx ρ x f x dx 67$ - ( ρ = const ) x + y = R 9 y = ± R x, y = R x x, R R x dx = 4 ρ + = 4 R x ρ = R x πρ, I R dx R R R R x dx = 4 ρ + = 4 R x ρ = R x πρ M R dx R R 68 $ - ( ρ = const ), y = 5 x, y = ; ( 46) 46 - Ox, x C = ' yc 8-9

96 y C x 5 dx 5x x 5 5 x 5 x dx 5x 5 ( x ) 5 5 = = = = 5 5 ( ) $ - y = x, x, ρ ( x) = + x ' ' y = x = x, ( ) x m = + x + x dx = + x dx = x + = 6 : ( ) x x 5 + x x + x dx = x + x dx = + = 6, x x + x dx = x + x dx = x + x = $ 4 x C 5 6 = : =, yc = : = $ + $ $ (, 47), :;, γ = ( : 468 ) 94

97 47 $ +,t v = te #, - 4 ( : ) $ $, ;,, ;? ; - ; 5,?:- ;* ( : 8 ') $ 4, *; A: 6 ( 7 (" 6 68, g = ) 9 ( : 89 ') $ 5 $ ( γ = ), ;?, 5,?:* + ; ( : 9π ) $ 6 $ y = ln x, ;: - x =, x = 8, - ( : 9 ) $ 7 $, y x, x, y ρ x = x = = =, ( : 8 5 ) $ 8 #, y = sin x, y =, x π ( : π π ; 8 ) 95

98 7 < 5 - * * 56 " y - y = f x x, ;?,, ; +?; f ( x ) (, 48) 48 f ( x) OA? O fa,? - OAB - : ' *, - ; ' 67, ; ; ' 67,? 7, 5 y =,, $- x ' 96

99 ? fa, :? OAB ( 49) ' S 49 OAf OAB OfAB OAB OfAB OfAB OfAB k = = = = = = S OAB S S S OAB ( S OAB = ab = : : = S S OAB S S OAB S S S OAB S OfAB ) $? OAfB?; - = 5 dx 5 = = = 5 S OfAB dx dx ln x x x x = ( ln ln ) = ln 69 = 4; k = 4 = 94 9 ' *, (;7 + 6 '*6 -, f ( t), t,, f ( t) 9, U T = f t dt ( [ ] ;T 6 * - %,,,,? $ ; () 97

100 9, [ a; b ], c [ a; b], b f c = f t dt = L b a a 6 L f (t) [ a; b ] - 7 $ f ( t) = t + 6t + 7 #: ) A: [;4] ) + [;4] t t, ; - ; ) " ) A: [;9] - U 4 t 6t =( t + 6t + 7) dt = + + 7t 4 = = ) + f ( t) [;9] F ( c) = ( t + 6t + 7) dt = = t -, *: t, 5 4 t + 6t + 7 =, t 8t + =, = 5 t = 45 [ ; 4] f t = t, : 98

101 6 t -, : * f ( t) = t + 6t + 7 ( *, ): b 6 t = = = a ) ' : ; *: ( t ) = f ( ) = ( ) = 6 f, * ( ;6) ; Ot : t + 6t + 7 = ; D = 64 t =, t = 7 #: ( 5)!,? *, - ;? A: 4,?- OABC,, ;

102 7 # K = x + x + 7, - A: A: -, ; " - + K ( x ), A: - m n,, x x l = ( x + x + 7) dx = + + 7x = = 4 6 A:, ;, *: x 4 x + x + 7 =, 6x + 6x + = 4, 6x + 6x =, [ ;] 6 + = x = 48! K = x + x + 7, #: * : b x = = = =, a 4 ( x ) = K( ) = ( ) + ( ) + 7 = K ( 5): K ( ) = =, K( ) = = 6

103 5 #,? ABCD, [ ;],,?* + ;, -, t p ( - ) 9 - ;? P f ( t ), i = 9 K T T it K f t e dt =, N m, f ( t) = N + mt 7 & 4 p=6%, -, lim K T # T

104 $: ; f ( t) = N + mt, N -, m ; -, f ( t) = + t ' 9 K = T f it ( t) e dt, 6 i = p = = 6, u = + t, 6t ( + t) e dt = = t du = dt, dv = e 6t 4 K = 6 4 = 6 6 = v = e 6 6t 6t ( + t) e e dt = ( + t) 6 e 6t e 6t = e + e #: K( T ) lim K T lim : T ( T ) = lim( + t) = lim T T 6 6 e 6t 6T ( + T ) e ( + ) 6 e T e 6T 6 4 e e dt = 6t 6 T =

105 , lim 6 T = 6 e lim = T e T : lim K ( T ) = T = 6 ( 6) = $ + $ &, ;?, : y = x $ ' ( : k=) $ $ f ( t) = t + 6t # A: - [;] ( : 48) $ # K = 6x + 8x, A: 5 ( : ) $ 4 & "=8%, - 8, lim K T # T ( : 555; 575) : [5,, 9,; 7,, III; 9,,, ]

106 (,#!#>>##!=?!" -!#! #/#!>$%#')#(#&%#'$ % ' * - ;? : ), -, ;?; ) ; )? * ; 4) * ; 5) - (, ) - ; 6)? ; 7) $ * --% *! ' *!, f ( x) dx = g ( y) dy & *; ;? - ' --% '-, (, ) y = f x y, f ( x, y), f ( kx, ky) f ( x, y) = y +?; u = ( y = ux, y = u x + u ), u = u( x) x, ; - ;? 4

107 , ;? y + p( x) y = q( x) ' * y = u v ( y = u v + uv ), u = u( x), v v( x) = ) * *, : < $,,? -, ; (? ;? ) /, y = f ( x) - ( 5), y ( x) = tgα, α ; Ox M ( x; y ), Ox #,? M (, ), - k = 5

108 !, y x y( x) x ; M x y x - y = kx y = x - -,? * y = x dx = x + C -, M (, ) y = *, C : = + C C = 8 * : y = x 8, x = y =? 75 #,? M (,4 ), - k = -, y = y dy dx = y ", : y ydy = dx ydy = dx + C = x + C y = x + C ; ; ; 4 -, ;, y = 4 C : 6 = 4 + C, C = * : y = 4x + y = 4( x + ) & - * A(,), ; Ox -, ( 5) 6

109 5 76 # ;,?; M,, ;, ;, * : ( Oy ) 54 M ( x, y)? y y( x) = - Ox α, tgα = y $ MBN MBN = 8 α, MN tg MBN = MN = y, NB, NB MBN AMP, : NB = MB ; NB = NB = PM = x PM AM PM 7

110 MBN, : y y y y tg (8 α) = ; tgα = ; y = ; y = x x x x " - : dy y dy dx dy dx = ; = ; = + ; ln = ln + dx x y x y x C y x C C 9, y =, ;? x y ( ) =, M, : = = ; * : y = x 77 #,? M (, ),, ;, * ; M ( x, y ) $ MON MON α ( 55), ; Ox, tgα = y ' MPN* : MP tg MNP = PN # MNP MON : MNP = 8 9 α = 9 α MP = y ; PN = ON OP = x + x = 8

111 9, y y y tg ( 9 α ) = ; ctgα = ; = ; tgα = ; y = tgα y y 55 ", *?*: 9 y 4x C = + M,, y =, = 4 + C C = 4 56 y 4( x ) * 9 = # - M,, ; Ox, ( 56)

112 - ;?;, ; M MN Oy ; Oy ; 78#;,?; M (, ) 57-9 M x, y : M ( x, y), M ( X, Y ) Y y = y x X x 9 N (, YN ) ( 57); -, N ( ) Y y = y x x Y = y xy +, PN = yn yp = YN y N ; PN =, - Y y = Y = y N Y N, - : N y xy = y y = x

113 -, : dx y = + ln C; y = ln x + lnc x -? * ;,?; M : (, ) = ln+ lnc ln C =, y = ln x + 79 #,? -, ; [, x]?, ;?, 58 + ; x = y( x) y t dt ' x, y = y y, y = y

114 ",? - *: dy = ; ydy = dx ; ydy = dx; y = x + C; y = x + C dx y y =, C =,? : * y = x 8 #;,?; A ( ;), -, ; Oy, - -, ( Oy ) 59 M ( x, y ) ; MN M ; Oy N ( 59) + - ;, ON = OM # OM = x + y, ON Y y = y X x, X =, Y = ON = y xy

115 -, ; y x + y = y xy = ux, : du du dx x + u x = ux x( u x + u) ; x = x + u ; = dx + u x ; ln u + + u = ln C ln x u C x + + u = y u =, x ( ) x = C C y (, ; Oy ) A?*, - = C ( C ) ; C = C = *, C = Oy -, - x 4( y) = 8 #;,, - ;, ; M ( x, y ), M ( X, Y ) - ON,, - M ( 6) ; ON = ± xy, N (, Y N ), : ON = xy YN = ± xy +, * M x, y : Y y = y x X x

116 6 $ N (, YN ) YN y = xy, YN = y xy Y N, - y xy = ± xy y y y = ±, x x y ux,,?*: dx du u x + u = u ± u; u x = ± u; = ± ; ln x = ± u + ln C x u x = Ce ± u y $ ; u =, x, ;? : x Ce ± y x = 8,? P(, ) ;? ;? :?, - - ;, ;, 4

117 6 $ ;? : M ( x, y ) -, M ( X, Y )? OMA ( 6 ) SOMA = OA MB MB = y, OA, Y y = y x X x A: A( X, A ), y y = y ( X A x); X A = x y, OA S OMA : = X ; S =, *;? A OMA S OMA y = y x = y 5

118 : y x y = 4; y = x ; y = y ; dx = xy ; x x = y y y xy 4 dy y y y 4 4 4, x x y x = uv u = u y, v = v y =?; ( ) -: v v = ; uv 4 v 4 y u v + uv = ; u v + u v y y y = y 4 u v = ; y dv v dv dy () = ; = ; ln v = ln y; v = y; dy y v y () u y = ; u = ; u = dy C; u C; y y + = + y y x = uv = y + C Cy = + y y - P (, ), x = C +, C = +, x = xy = y =,, $ + $ #,? M (, ), - k = 5 ( : y = 5ln x + ) $ #,? M (, ), ; k = ( : y = e x ) 6

119 $ #;,, - ; -, ; x = C y + C ) ( : $ 4,, - ; ; y = C x + y ) ( : $ 5 #,? M (, ),?,, -, ( : y x = x ) >* *, : < <:+ + T, T ( t) t, ;? 9 t #; - dq, dt, ;?,, ( ) dq = k T T dt, T > T k ;, dq #, Q = mc( T T ), m ; c ' -,,?, - dq = mcdt +, ( ) mc dt = k T T dt 7

120 , ;; mc, - ;? dt dt k = ( T T ) mc ", dt k = dt T T mc -, **: k t mc T = T + C e, C t = T = T 9,, C = T T - ;? ( ) kt mc T t = T + T T e +, T > T,, ;? ( ) * kt T t = T + T T e, k k = ; mc ), ( ) t ;? ( 6) 8

121 6 8 $ ; T = T = 6 T = 5 # - 5,, T ( t), dt dt * - ;? : dt k ( T T ) dt = dt k ( T ) dt = ", * dt T = kdt, *?*: dt k dt C; ln ( T ) kt C; ln ( T ) kt C T = + = + = ; kt kt T = Ce ; T = Ce 9

122 -, T T =, = 5 -?* : T = Ce = C =, ; C = 8 T = 8e kt ; T e k k k 5 k 5 = 8 = 5, ; 8e = 5, e =, e = 8 8 T ( t) t 5 = 8 8 $ 5 : T 5 5 = , 5 +, - 5 ', ;? dt ( T ) k T dt =, T, T =, : dt k ( T ) dt = ": dt dt kdt; k dt C; ln ( T ) kt C; T = T = + = + T = + Ce kt

123 # C k - T = 6 : T =, T = + Ce = C = 8 T = + 8e kt ; t k k T = + 8e = 6 e = 5, e = 5, T ( t ) = + 8 ( 5) t $, 5 +, * t = 5 t t t 8 ( 5) 5; ( 5 ) ; ( 5) ( 5 ) 4 t = = = ; = 4 t = 8 6 9, m F T ; F # t =, v = v ; t, v, F = f ( v), F g ( v) T = + + #;,,, ; : dv m F dt =, dv, F -, ;? dt $ * F = FT F - * dv m F F T dt =

124 - ; ; ; - S ( t), v( t) dv mv ds = F T F ds dv =, = dv ds = v dv dt dt ds dt ds 85 9, - ; v t # ;, 5 /, 6 / -, *: a = kvt dv dt = kvt ( ;? ) v = 5, v = 6 ( ; ) -, dv dv kt = ktdt; = k tdt + C ; ln v = + C ; v t = C v v kt e?* : kt v = Ce = C = 5 C = 5; v t = 5e ; = = = k k v e e 9 ; 9 v t = 5 t

125 86 ( - ; v = / # ; 4 * v =8/ #;, ; F = kv, ; v = ma = F dv m kv dt = ; v = 8 9 #?* : dv k dv k = dt; = dt + C ; v t = C v m v m k t m e? *, - : v Ce C ; v t e m = = = = ; v = e = e = = 9 k k 9m m ; v t 4 k t 9 $ =, v = ( 4) = 8 (/) t

126 87*; 8 + k = 4 - *; 64 * *;: ma = mg F dv mg 4v = dt m h( t ) *; -, dh dt dv dv dh dv = v( h) = = v, dt dh dt dh *; dv mg 4v v = dh m " : 4

127 vdv = dh vdv ; = dh + C ; mg 4v m mg 4v m 8h m e h 8h ln mg 4 v = + C; ln mg 4v = 8 C; mg 4 v = C ; 8 m m e 8h 8h m m 4v = mg C v h = mg C,, *; v =, C : ;, v = mg C = C = mg v( h) e C,, *; - : = 8 98 = 4 8h h 8 v h e e ' *;, v : v h e e = 4 = 4 4 / 9, *; 4 / 88, P, ( ) + F + W ( W = Pf + kv) #, ; ( f, k - ) 5

128 65 : ma = F W, Pa = F Pf kv dv P F Pf kv dt =, : S, v v( S ) dv dv ds dv = = v, dt ds dt ds = * - dv Pv F Pf kv ds = ", v dv ds F Pf kv F + Pf ds = ; dv = ; F Pf kv P k F Pf kv P F Pf k F Pf k = ds; v + ln( F Pf kv) = S + C F Pf kv P k P - v S =, = ; C : F k Pf ln( F Pf ) = C, 6

129 : F Pf k F Pf v + ln F Pf kv = S + F Pf k P k ln F Pf kv k v + ln = S k F Pf P ; v + ; F = βmv, β, m, v A + ; ' m - F P = mg, g t, h( t ) -, v( t) ; dv dt #;, dv m ( P F ) dt = +, 7

130 , ;, ( 66) - F P, dv m = mg + βmv dt dv dt ( g βv ) = +, dh v( h) dt = dv dv dh dv v dt dh dt dh = =, * dv v = ( g + βv ) 9 t =, v, - ;, * v = v # *, ;? ; v = v " -, : vdv g + βv = dh -: vdv g + βv h = dh + C; ln g + βv = h + C; g + βv = Ce β ; β h Ce g v( h) β = β 8

131 -, C : C g v = = v C = g + βv β * v h h g + v e β g ( β ) = β $ * ( h = H ),, ;, v( H ) =, - *; A: ( β ) e g + v v H = g = ; g + v = g; = g ; β H β H β H ( β ) e e β g + βv g H = ln β g + βv 9 9 m ; -, ( - k )&,, - ; ( - k )#, t = v 67 v( t), dv dt * dv dt = mv + kvt = kt, m kt kvt 9

132 + v = yz y = y t, z = z t, : ( ) z + zt = k k k k m + + = ; + + = ; m m m m k y z yz yzt t y z y z zt t y z = dz k dz k k = zt = tdt z = t z = e dt m z m m k t m k t m () ; ; ln ; ; k k k t k k t k t m m m () y e = t ; y = t e ; y = t e dt = m m m ; ; k m t = p, t = p, m k k m km tdt pdp, tdt dp = = k k p p = = e pdp = p e dp = m m m k k k km km km t k = p e e dp e p C e t C k = + = + k k m p p p m 9, km k km k v( t) = yz = t + C = t + C k m k m k k k t t t m m m e e e - v v = +: km km v = + C = v C = v + k k *, ;? - : km k km km k v( t) = t + v + = t + + v k m k k m k k k t t t m m m e e e

133 9 (* m F ( F = const ), +,,, α ; (α β ; ) # t + β *,, t = v = 68 * v( t ), * dv dt *, dv α m = F v dt t + β αv v + = m t ( + β ) F m v = yz y = y t, z = z t -:, * α z z + = ; α yz F α z F m( t + β ) y z + yz + = ; y z + y z + = ; m( t + β ) m m( t + β ) m F y z = ; m α dz α z dz α α () = ; = dt; ln z = ln ( t + β ) z = ( t + β ) m ; dt m t z m t m ( + β ) ( + β ) α α α F F F () y ( t + β ) m = ; y = ( t + β ) m ; y = ( t + β ) mdt + C m m m

134 ( t + β ) α + m α F F + y = + C = ( t + β ) m + C ; m α + α + m m ( + β ) F F t v( t) = ( t + β ) ( t + β ) + C = + C ( t + β ) α + m α + m α α α + m m m?* v =, C : α + m α Fβ Fβ m v = + Cβ = C = α + m α + m * *: v t α + α α m + F m ( t + β ) Fβ ( t + β ) m F β = = t + β α α + m α + m α + m ( t + β ) m 6 *, 6 6 *, R, I? E + L,? E = Esinω t, E ω 9 t,, t = ;: I = -, I R - IR ' L di L : dt di E = IR + L dt?; E,, I ; - : di R E + I = sinω t ( ) dt L L

135 I * dv R + v =, dt L du E sin t ω = dt Lv t, = uv, u( t) v( t) R t L e ; v = u t :, du dt R E = sinω t e L L t -, R E u = sinω t e dt + C L 9? ( ) : R R t E t L L I = e sinω t e dt + C L # t R Rt L Le ( Rsinω t Lω cosω t) L e sinω t dt =, R L t + ω L E I = ( Rsinω t Lω cosω t) + C R + ω L - ( t = I = ), ; C : e R t L ELω C = R L + ω

136 E I = Rsinω t Lω cosω t Lωe + R + ω L R t L * L ω = tgϕ ( ϕ ;?), : R Rsin t L cos t R L sin t ω ω ω = + ω ω ϕ, I R ELωe t L E sin( ω t ϕ ) = + R + ω l R + ω L +,, : ( sin ω t ϕ ) ( 4 R t L e ); - ; E= $,? R=5 & L=! # $ - ; t : di IR + L = E dt ;, ;?: I + 5I = I + 5I ; I = u( t ) v( t) ( I = u v + uv ) : u v + uv + 5uv = u v + u v + 5v =

137 , v + 5v =, u v = dv dv v v v dt v t v e dt v 5t + 5 = ; = 5 ; = 5 ; ln = 5 = ; = = = + 5t 5t 5t u e ; u e u e C 9, I t e e C Ce 5t 5t 5t = + = +, t = I =, C : ;, I = + Ce = + C =, ; C =, 5 e I t t = : I 5 e = 9865 ()) <: + ", - ;?,, x( t )?, dx dt hm ( h > ), #;, - d x dx m = k mx hm dt dt d x dx + h + k x =, x( t ) -? dt dt 5

138 @, z + hz + k = z = h + h k z = h h k,, -,, h k <, h k = ω, z = h + ωi, z = h ωi? - *: ( ω ω ) ht x = e C cos t + C sin t, t = dx x = x, = x o dt $ ; h ( ω ω ) x = C cos + C sin e C = x ; dx dt ( cosω sinω ω sinω ω cosω ) = + ht e Ch t Ch t C t C t, ;, : C x + x h ω = 9, ht x + xt x = e x cosωt + sinωt ω *; 6 ht x = ρe sin ωt + ϕ, ωx ρ = x ω + x + x h, ϕ = arctg ω x x h +

139 -, T π π = = ω k h π + T =,, k T > T x x x = 9 = h ht sin ρ = x + e ωt + ϕ ω t t =, t = π π, t, ω = ω,, : ω x = x ; x = x e ; hπ x hπ ω = x e ; hπ ω x4 = x e ; ;, ;, - ;?, - ; ;?; ; ; - hπ ω, ;? - x( t)

140 ", : h k > & z z?- zt zt = + x C e C e ( x = x, dx = x t = ) -, dt C C : C + C = x, zc + zc = x, : C x x z, C x z x = = z z z z * : x x z x z x x t e e z z z z zt = + - *, x : x x z x z x z z x xz zt x t = e + e z t ( z ) z t dx dt ; * dx x x z zt x z x z = z e + dt z z x x z z e ( z ) z t, xz x x x z >, 8

141 x( t ), dt ;?, -, xz x x x z <, dt ", h k = 5- z = z = h - x( t ), dx?* x = C + C t e ht : C = x, C = x + x h $ **: ( ) x = x + x + x h t e ht ),, - t ;? &,, * ;? ', ;? h k > h k =, * - (, - ) 9

142 $ + $ & +?, 5 + +, ln ( : 75 +, t = 5 ) ln 4 ln $ ( ) +? ( : 7 ) $ 9 m ; v =, - # ;? v( t) ; t ( ) ( : v t = mg e t m ) $ 4, # - #, ** 5,, v = /, S = * v =8 / ( : 9 /) $ 5 -, # - 5 /, 4 / #, - * / ( : 5, 5 ) 4

143 $ 6 F m # - v, F = b kv, v ; b, k - # t, - t = F = F = b kv k t m ( : F = Fe ) $ 7 9 m ; -, ( k ) &,, - ( k ) # -, t = ; kt k m m m ( : v = t + k k k e ) $ 8 = R=6 I t, - L=! I I =, % I R t L e ( : I ( t) I, t 7 = = ) $ ;-, ;? E, - R, L ;, ; t = # I R E L ( : I = e t ) R $ 9 96, *, #,, / # $ 5 5t x = 5e 5t + ) ( : 4

144 * 9 $ A?, B ; M M N, - N * #? T x( t) x? t + x t + t, x < t > ( ) A t V ( t ): x V ( t) = B + Mt Nt &? t,, V [ t, t t] +? ; x, x Nx x N t = t V B + M N t? x : t dx dt, Nx dx = dt B + M N t M - ;? > N,?*: dx Ndt dx dt = ; = N + C; x B + M N t x B + M N t 4

145 N ln x = ln B ( M N ) t ln C M N + + x t = C ( ) N B + M N t M N - x = A t =, C - * *: C A = C = A B ( B + ( M N ) ) N M N N M N B x( t ) = A B + ( M N ) t N M N t = T,? T : N M N B x( T ) = A B + ( M N ) T 94 $,? - $ ; 5 /, ; & +? x( t) t $ *?, M = N, * : Nx dx = dt B ;, B =, N = 5, x dx = dt ; 4

146 #?*: dx x dt = = + = t ; ln x t ln C; x Ce ( ) t = x = x =, = Ce C = 9, t = x t =6, e x 6 6 e e 5 = = () 95 = 6 4 -, ;?, -,? '* %-, ;? v -,? h : v = σ gh g = 98 /, σ (- ),? ( σ 6) t *- h dt? dh ( dh < ) A, * - dt 44

147 7 +, A dv A dh, r ( r = ) 9, dv π r dh π r dh = = +, A A,, vdt ( v ), ρ ( ρ = ), = πρ = πρ σ dv vdt gh dt A, - ; σρ r dh = gh dt ", r dh r h dt = t C σρ g h = σρ g t = h =6, h = 6 ; 6r C = σρ g 45

148 9, t h ( 6 h ) r t =, σρ g T, h =: 6r t = σρ g - (r =, T 6 77 ρ =, σ 6, g = 98 / ), 6 (), P t = P 9 P t 9 dp dt, ;*: dp kp dt = ±, k > ; + ; "-, : dp kdt P = ±,,,?* P = Ce ±kt, C 46

149 , t = C = P P = P e ±kt, P kt = P e, P = P e kt ),, - () P # -, - 8, - ; + P( t ) 9 dp dt dp ; = kp (, - dt *) # P = ; 8,, P = 8 9 P ( ) ;? dp kp dt =, P = 8 P =, - dp P dp = kdt; = k dt; ln P = kt + C ; P = Ce P kt 47

150 # C k - : P P = Ce = C, ; C = P = e kt ; k e k k = = 8, ; e 8, e ( 8) = = ; * P( t ) = ( 8) t 9 : 5 P = 8 = , -,, (, ) 59 m( t), dm dt + ;, dm km dt = ' * ;?, kt Ce m t = 48

151 m, m, = m -, 59, m( 59) = m? *, m = Ce = C, C m m t = m e kt ; = 59k m( 59) = me = m, e 59k k 59 = 5, e = 5 59 m m t = 5 t $ m : 59 m = m 5 = 965m 9, m 965m 965%,, %- 965%=85% $ + $ + - * $, 65,, 6 - ( : ) $ $, A,,? $ - ; /, ; - ;,, + *? &? & -? (& - *) ( : 97 ; 68 t = ) 49

152 $ = 6, - - ;?? ( : 84 ) : [,,, 4; ; 4,, IV, ; 6, XIV,, ; 6; 8,, 9, ;,, 5, 5, 5, 55, 56;,,,, ] 5

153 &# & ( $* / ) # & : &--, (, - - / : $ # ),! + % & : '!(), (, - / : ) #, + ) &, % #! * & : '!(), , #$* 6 I, II /, ', )!, 9 7 & ( : $* *, $* / # & ( : %, 47 )!+ /! # % ( : #, /A, B $? : B & CC '- B B B BDE B E " / ( C B, 9 $ &, $ ( & & : B, I, II / ) $,, % ' ( : #, , - -$? : B / $ $, # ' : +, 496 " *; * 6 I, II /, -! ( : $** *, * 6 I, II / ) ( : $** *,

154 !B$ %B &# &%!()(! B$ *A A A+ C B B B B B B (#**) *A: (-#!'? C 5

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1 6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

692.66:

692.66: 1 69.66:6-83 05.05.05 -,, 015 .. 7... 8 1.... 19 1.1.,.. 19 1.. 8 1.3.. 1.4... 1.4.1.... 33 36 40 1.4.. 44 1.4.3. -... 48.. 53.,.. 56.1., -....... 56..... 6.3.... 71.. 76 3.,.... 77 3 3.1.... 77 3.1.1....

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

' ( )* * +,,, ) - ". &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &"&!3, #&- &2!#&, "#4&#3 $!&$3% 2!% #!.1 & &!" //! &-!!

' ( )* * +,,, ) - . &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &&!3, #&- &2!#&, #4&#3 $!&$3% 2!% #!.1 & &! //! &-!! ..!! "#$% #&" 535.34 ' ( )* *,,, ) - ". &!: 1.4.7 &/#&$&& &!&11 5.7.1 $#/&! 1!#&, #/&!#&3 &"&!3, #&- &!#&, "#4&#3 $!&$3%!% #!.1 & &!" //! &-!!% 3 #&$&/!: /&!&# &-!!%, "#&&# 56$.., //! &-!!% ).. &$ 13 .

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u

= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4

x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4 ΦΥΕ4, 9- - η Εργασία Παράδοση 8.. Πρόβληµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα (i cos d, (ii ln d, (iii e sin d, (iv e d (i cos d = = ( sin ( sin sin d = ( ( ( cos + C = ( ( sin + sin ( sin d ( cos +

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 9: Ταλαντώσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-5) Ονοματεπώνυμο Τμήμα Θέμα ο Ερώτημα Ένα σώμα μάζας kg τοποθετείται σε ένα κεκλιμένο επίπεδο και συνδέεται μέσω του νήματος αβαρούς τροχαλίας με ένα ελατήριο αμελητέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Eφαρμογές Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Eφαρμογές Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Eφαρμογές Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης Χρυσή Γ. Κοκολογιαννάκη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 4 ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα. . ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0

u = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt 2 ϕ = 0 u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = 0 C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ + ϕ

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές

ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές κ.λ.π. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράσταση διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I tr 3 P s tr r t t 0,5A s r t r r t s r r r r t st 220 V 3r 3 t r 3r r t r r t r r s e = I t = 0,5A 86400 s e = 43200As t r r r A = U e A = 220V 43200 As A = 9504000J r 1 kwh = 3,6MJ s 3,6MJ t 3r A = (9504000

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο

ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο ΦΥΕ 4 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 9-5-8 (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να σύρεται,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) = Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

..,..,..,..,..,.. $#'().. #*#'!# !" #$% &'( )*%!"( %+

..,..,..,..,..,.. $#'().. #*#'!# ! #$% &'( )*%!( %+ !" #$% &'( )*%!"( %+,--%. )!%/%#-%. %% (*%!%!)..,..,..,..,..,..!" #$#%$"& $#% $#'().. #*#'!# -0 --%0 % %--/%#-%0 %%0 () - %)!" %1 -# #( )%+!"&/ #$%+/,!% 1%/!"& )(00& 3 ) %4%)!% "% %-" ) )!%1 )(-% 3 651300

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1 ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02)

ITU-R P (2012/02) ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU

Διαβάστε περισσότερα

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 3: Κίνηση Υλικού σημείου σε τρείς διαστάσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 05 Θετικών Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες 5 η Εργασία Παράδοση /5/7 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες Για ένα συµµετρικό σώµα (για παράδειγµα, ϑεωρείστε ένα κυλινδρικό σώµα) που κυλά προς τα κάτω, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, να

Διαβάστε περισσότερα