Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod"

Φόβος Πυλαρινός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f skup svih primitivnih funkcij ϕ + C Stv: ϕ- primitivn funkcij funkcije f n nekom intervlu d f f dϕ ϕ + C kf k f, k R f ± g f ± g Tblic neodreenih integrl α α+ + C, α α + ln + C e e + C ln + C 5 sin cos + C 6 cos sin + C 7 cos tg + C 8 sin ctg + C

2 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI 9 rcsin + C 0 rctg + C + ± ln + ± + C ln + + C. Reeni zdci... Reiti integrl. t t t t + C + C.... Reiti integrl, > 0. t rcsin t + C rcsin + C... Reiti integrl t, > 0. ± t ± ± t t ± ln t + t ± + C ln + ± + C ln + ± ln + C ln + ± + C, gde je C ln + C... Reiti integrl, > 0. t ± t t t ln t + t + C ln + + C ln + + C ln + + C

3 .. REXENI ZADACI..5. Reiti integrl +, > t + t + t rctg t + C rctg + C N osnovu prethodnih zk dokzli smo z > 0 9' rcsin + C 0' + rctg + C ' ± ln + ± + C ' ln + + C..6. Reiti integrl primenom formule 0', gde je rctg + C rctg + C...7. Reiti integrl. primenom formule 9', gde je rcsin + C rcsin + C..8. Reiti integrl ln lnln. ln t ln lnln du ln u + C ln ln t + C ln lnln + C u sin + cos..9. Reiti integrl. sin cos ln t u t ln t t du

4 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI sin + cos sin cos sin cos t sin + cos t + t C sin cos + C...0. Reiti integrl +. + t + t rctg t + C rctg t + C rctg + C... Reiti integrl 8 8 ln + + C... Reiti integrl + t ln t + t + C... Reiti integrl t t ln t +C + t + t t t t t t... Reiti integrl tg. tg C ln cos + C..5. Reiti integrl sin cos cos t sin + +. t ln t +

5 .. REXENI ZADACI C + C..6. Reiti integrl. t t t t t 9 t 9 t + t 9 9 t t 5 + C C..7. Reiti integrl t + t t t t t t 7 8 t + C C sin n, n {,,, 5} cos n, n {,,, 5}..8. Reiti integrl sin. cos sin cos + sin + C + sin + C..9. Reiti integrl cos...0. Reiti integrl sin. sin sin sin cos cos t sin sin t t + t + C cos + cos + C

6 6 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI... Reiti integrl... Reiti integrl cos. sin. cos sin cos + cos + cos sin + sin sin + C... Reiti integrl cos.... Reiti integrl sin 5. sin 5 sin sin cos cos t sin sin t t +t t+ t 5 t5 +C cos + cos 5 cos 5 + C..5. Reiti integrl cos Reiti integrl tg. tg..7. Reiti integrl cos tg + C. t, t 0 t t t t t t + t 8t + 8 t t5 5 + C C Reiti integrl.

7 .. REXENI ZADACI 7 5 t, t 0 t t t t t t + t t + t t5 5 + C C..9. Reiti integrl t 5 t t 5 5 t 5 tt 75 t t C + b + c..0. Reiti integrl C t 9 t 7 7 ln t t +C 7 ln C ln C + b + c... Reiti integrl [ ] [ t 7 7 t 7 t rcsin + C 7 rcsin + C 7 ] 7

8 8 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI + b c + + e... Reiti integrl +. Od + prvimo }{{} }{{} I I I t ln t + C t ln + C I t 6 t 7 7 ln t t + C ln C ln + 7 ln C b c + + e... Reiti integrl. Od prvimo I 8 }{{} I 8 t }{{} I t + C t + C I

9 .. REXENI ZADACI t rcsin 8 5 t + C rcsin C 5 6 rcsin t 5 t 8 + C + 9 rcsin C cos + b cosc + d sin + b cosc + d sin + b sinc + d... Reiti integrl cos cos. Prcijln integrcij u, v diferencijbilne udv uv vdu..5. Reiti integrl I rccos. u rccos du I rccos dv v rccos + t t t t t + t + C + + C + t t I rccos C rcsin..6. Reiti integrl I. rcsin u rcsin du I dv v rcsin + t, t 0 t t t t t

10 0 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI ln + t t + C ln + + C I rcsin + ln + + C..7. Reiti integrl I rctg. + + rctg u rctg du + dv v t, t 0 t t t + t + t t rctg t + C rctg + C I rctg + rctg + C I P n sin + b I P n cos + b I P n e u P n, dv Reiti integrl I + sin. rctg t t + t + + t I u + sin + du + dv sin v cos + cos + u + du + cos dv cos v sin + cos + + sin sin + cos + + sin + cos + C..9. Reiti integrl I rcsin. u rcsin I rcsin du rcsin dv v rcsin rcsin rcsin rcsin u rcsin du dv v t t t

11 .. REXENI ZADACI rcsin rcsin + rcsin + rcsin + C..0. Reiti integrl I I ln ln Reiti integrl I ln u ln + + du + dv + v + + ln C e rctg +. e rctg u du I + + erctg + dv erctg + v e rctg + e rctg erctg I. + + Dobili smo d vi I erctg + I, odnosno I e rctg + C +... Reiti integrle I e cos b, I e sin b. I e u cos b du b sin b cos b dv e v e e cos b+ b e u sin b du b cos b sin b dv e v e e cos b+ b e sin b b e cos b + b e sin b b cos be e cos b + b e sin b b I. Dobili smo d je I e cos b + b sin b + b +C. N sliqn nqin se dobij I e sin b b cos b + b + C... Reiti integrl I e sin. cos be I e sin cos e e e cos e e cos + sin + C. 8

12 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI I + c... Reiti integrl I, > 0. Prvi nqin. I + + I + rcsin + C. Drugi nqin. I cos t cos t u du dv v I + rcsin + C. Odvde je sin t, t [ π, π] cos t sin t cos t + cos t cos t t + sin t + C rcsin + sin rcsin + C + rcsin + C, jer je sin rcsin...5. Reiti integrl I +, > 0. Prvi nqin. I u + du + dv v I + ln C. Odvde je I + + ln C..6. Reiti integrl I, > 0. Prvi nqin. I u du dv v + + I ln + + C. Odvde je I ln + + C..7. Reiti integrl I +.

13 .. REXENI ZADACI I t t + 7 zk... 6 t t ln t+ t C ln C I Reiti integrl I +. PROVERITI I + u du dv + v + + t t t t [ + + ln + ] +. Dobili smo I + I ln + +, odkle je I ln C I b + c + d Reiti integrl I I n +, n n..50. Reiti integrl I +. I + rctg + C u I + + du + dv v rctg I. + +

14 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI Dobili smo rctg + + rctg I, odkle je I [ + + rctg ] + C...5. Reiti integrl I + +. I [ ] + + t t + [ t t + + rctg t ]+ C [ rctg + ] + C..5. Reiti integrl I n +, n. n u I n + + du n n + n n dv v + n n + n + + n n + n + n n + + n n + n + n ni n + n I n [. ] Odvde je I n n + n + n I n Integrcij rcionlnih funkcij R P P Q K + Q, d P < d Q P Q P A k k p kp + b + c l + b + c l + b q + c q [ lq A, + A, A ] [,k A, + + A, k A ],k + [ [ k Ap, B, + C, A p, p p A ],k p + p kp + B, + C, + b + c + b + c... + B,l + C,l [ + b + c l B, + C, + B, + C, + b + c + b + c... + B ],l + C,l [ + b + c l Bq, + C q, + B q, + C q, + b q + c q + b q + c q... + B ] q,l + C q,l + b q + c q lq..5. Reiti integrl I +. + A A + + B + + C + B + C + / ] +

15 .. REXENI ZADACI 5 A + C + A + B C + A + B + C Odvde immo sistem qijeje ree e A, B, C I + B + C ln + + C A + C 0 A + B C A + B + C 0, A Reiti integrl I I 5 6+ B + C A ln B / C A A + B + C + 5A B C + 6A Odvde immo sistem A + B + C 5 5A B C 6 6A, qije je ree e A, B, C A I + + B + C A ln + B + C ln + + C 5 6+ A + B + C A ln +B ln +C ln + C..55. Reiti integrl I A + + B + + C + + D + + E + + F Reiti integrl I Reiti integrl I +. A + B + C+D +5

16 6 GLAVA. NEODRE ENI INTEGRALI A+B Reiti integrl I C+D A+B + + C+D + + Metod Ostrogrdskog..59. Reiti integrl I +. E + prodiferenci- + A +B+C + + D + rmo + A +B+C + A +B+C[ + ] Reiti integrl I D + E + t I C t97 t98 t99 t00 t96 t97 t98 t C..6. Reiti integrl I t tt + t + t tt +t+ t tt+t+ A t + B t+ + C t+ n..6. Reiti integrl I n +. n t + t + t + t + t 00 t 00 t / tt + t + n n n + n n n t + n n n t + n t ln t + + C n n ln n + + C Integrcij ircionlnih funkcij Reiti integrl I + +. t t +

17 .. REXENI ZADACI 7 I t t t +t + + t + + t t t t t +t+ A t + Bt+C t +t+..6. Reiti integrl I. t t t + t..65. Reiti integrl I. n+ n b n n

Σχετικά έγγραφα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,