υσική Σιτσανλής Ηλίας Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Transcript

1 υσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σιτσανλής Ηλίας

2

3 υσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σιτσανλής Ηλίας 2012

4 Ταλαντώσεις Περιοδικές κινήσεις Οι εξισώσεις στην απλή αρμονική ταλάντωση Ταλάντωση και κυκλική κίνηση Δύναμη και ταλάντωση Ενέργεια και ταλάντωση Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Φθίνουσα ταλάντωση Φθίνουσα Ηλεκτρική ταλάντωση Εξαναγκασμένη ταλάντωση Εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση Σύνθεση ταλαντώσεων Διακρότημα

5 ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Μια κίνηση ονομάζεται περιοδική όταν επαναλαμβάνεται κατά το ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περίοδος μιας περιοδικής κίνησης ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί μια φορά η περιοδική κίνηση. Συχνότητα ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων της περιοδικής κίνησης στη μονάδα χρόνου. αν = τότε = 1 οπότε = = 1 (1) Γωνιακή συχνότητα ονομάζεται η ποσότητα = 2 (2) Ταλάντωση είναι μια παλινδρομική περιοδική κίνηση γύρω από μια θέση ισορροπίας. Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται μια ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία γραμμή. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τότε η απομάκρυνση του (η θέση του σώματος με αρχή του συστήματος αναφοράς την θέση ισορροπίας) δίνεται από την εξίσωση = ημ + (1) Η παράμετρος είναι θετικός αριθμός ( > 0) και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. Από την εξίσωση της απομάκρυνσης επειδή ημ + 1 προκύπτει πως ή Οι θέσεις = + και = ονομάζονται ακραίες θέσεις της ταλάντωσης. Η παράμετρος είναι επίσης θετικός αριθμός ( > 0) και ονομάζεται γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα. Η παράσταση + ονομάζεται φάση. Η παράμετρος ονομάζεται αρχική φάση και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 2 0 < 2 Από την εξίσωση κίνησης μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα του σώματος = ή = συν + (2) 2 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

6 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Η ταχύτητα του σώματος είναι η κλίση της εφαπτομένης του διαγράμματος απομάκρυνσης χρόνου. Γίνεται μέγιστη στη θέση ισορροπίας ( = 0) και μηδέν στις ακραίες θέσεις ( = + ή = ) Στην θέση ισορροπίας : = = Στις ακραίες θέσεις =0 Η επιτάχυνση του σώματος είναι η κλίση της εφαπτομένης στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. Συνδυάζοντας την (1) και την (3) προκύπτει = ή = ημ+ (3) = (4) Από την εξίσωση αυτή προκύπτει πως η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε αντίθετες κατευθύνσεις. Η επιτάχυνση μηδενίζεται στη θέση ισορροπίας και γίνεται μέγιστη στις α- κραίες θέσεις. Από την (1) έχουμε Ενώ από την (2) Στην θέση ισορροπίας : =0 Στις ακραίες θέσεις = = =ημ 2 + =συν 2 + Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει + =1 (Η εξίσωση αυτή σε ένα διάγραμμα ταχύτητας θέσης παριστάνει μια έλλειψη.) απ όπου μετά από πράξεις προκύπτει =± (5) Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι στη διάρκεια μιας περιόδου από την ίδια θέση το σώμα περνά δύο φορές με αντίθετες ταχύτητες. Επίσης για θέσεις συμμετρικές ως προς την θέση ισορροπίας (, ) η ταχύτητα έχει ίσο μέτρο. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα γραφήματα,, για αρχική φάση =0 και = 3 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

7 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ =0 = 2 Παρατηρήσεις Η ταλάντωση δεν είναι κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Έτσι, αν π.χ. απαιτείται χρόνος 3s για να μεταβεί το σώμα από την θέση ισορροπίας του στην ακραία θέση (άρα η περίοδος θα είναι =12 s), τότε ο χρόνος που απαιτείται για πάει το σώμα από την θέση ισορροπίας του στο είναι μόλις 1 s και όχι 1,5 s (χρόνος που θα χρειαζόταν για να το διανύσει αν η κίνηση ήταν ομαλή). Επίσης απαιτείται διπλάσιος χρόνος (2 s) για να καλύψει τα υπόλοιπα μέχρι την ακραία θέση. από = 0 στο = + = 4 από = 0 στο = + 2 = 12 4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Το ημίτονο μιας γωνίας μεγαλύτερης από 90 0 ορίζεται ως ημ = τεταγμένη του σημείου Μ απόσταση του σημείου Μ από το Ο Έτσι ημ= =ημ Αν θεωρήσουμε ότι το σημείου Μ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα τότε η γωνία που διαγράφει η ακτίνα ΟΜ θα είναι έτσι = =ημ Δηλαδή η προβολή του σημείου Μ στον άξονα (τεταγμένη) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους ίσου με την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς και γωνιακής συχνότητας ίσης με την γωνιακή ταχύτητα της κυκλικής κίνησης. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα έχουμε = Όμως γνωρίζουμε ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση δίνεται από την εξίσωση = Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει = ή = Το γινόμενο είναι σταθερό (ανεξάρτητο των,,,) κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και συμβολίζεται με και ονομάζεται σταθερά επαναφοράς. (Κάθε φορά που θα λέμε ότι ένα μέγεθος παραμένει σταθερό θα αναρωτιόμαστε «όταν αλλάζει τι;») 5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

9 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ = (1) Έτσι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής = (2) Με μαθηματικά μπορεί να αποδειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή αν σε ένα σώμα ενεργεί δύναμη της μορφής = τότε το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση (με την προϋπόθεση πως και η αρχική ταχύτητα έχει την ίδια διεύθυνση με την δύναμη) με =, (3) =2 Από τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε πως η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος είναι ανεξάρτητες από το πλάτος της ταλάντωσης. Λίγα λόγια για την σταθερά επαναφοράς : Βλέποντας κανείς την εξίσωση = η πρώτη σκέψη είναι πως η σταθερά είναι ανάλογη της μάζας και ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής συχνότητας. Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί η εξαρτημένη μεταβλητή είναι η γωνιακή συχνότητα. Δηλαδή η μάζα του σώματος μαζί με την σταθερά επαναφοράς αναγκάζουν το σώμα να εκτελέσει ταλάντωση με = Τέτοια παραδείγματα έχουμε συναντήσει και σε προηγούμενες τάξεις (όπως =, =, = ) όπου δηλαδή αν και έχουμε ένα μέγεθος να ορίζεται με κάποια άλλα τελικά να μην εξαρτάται απ αυτά. Η σταθερά λέγεται σταθερά, γιατί δεν εξαρτάται από τον χρόνο (οπότε ούτε και από μεγέθη που εξαρτώνται από τον χρόνο όπως,,) και δεν εξαρτάται επίσης ούτε από το πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά ταλάντωσης έχει σχέση με την μορφή της δύναμης και συνήθως δεν εξαρτάται ούτε από την μάζα του σώματος (Υπάρχει η περίπτωση του εκκρεμούς όπου η σταθερά της ταλάντωσης εξαρτάται από την μάζα.) Στα προβλήματά μας η πιο συνηθισμένη περίπτωση ταλαντώσεων είναι το ελατήριο. Σε αυτές τις περιπτώσεις η σταθερά επαναφοράς είναι ίση με την σταθερά του ελατηρίου η οποία είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο. Να θυμηθούμε πως η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σε ένα σώμα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος έτσι 6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ =

10 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Η έννοια της δυναμικής ενέργειας έχει σχέση μόνο όταν οι δυνάμεις που ενεργούν είναι συντηρητικές. Η εξίσωση ορισμού της δυναμικής ενέργειας είναι = (1) Στην περίπτωση των αρμονικών ταλαντώσεων η δύναμη είναι της μορφής = και είναι συντηρητική. Το έργο της υπολογίζεται από το «εμβαδό» του σχήματος που περικλείεται από την αρχική θέση την τελική θέση του άξονα της θέσης και του διαγράμματος της δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση. = + 2 ή = 2 ή = ή = Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει πως η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας είναι Η κινητική ενέργεια θα δίνεται από την εξίσωση = 1 2 (2) = 1 2 (3) Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ονομάζεται μηχανική ενέργεια και είναι =+ ή = Αν υποθέσουμε πως έχουμε μια απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση τότε =ημ και = συν = 1 2 συν ημ 2 ή = 1 2 συν 2 + ημ 2 ή Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής = 1 2 (4) = 1 2 ή 7 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

11 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ = 1 2 (5) Δηλαδή η ολική ενέργεια που έχει ένα σώμα όταν κάνει απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ίση είτε με την μέγιστη δυναμική είτε με την μέγιστη κινητική. = 1 2 = 1 2 Η δυναμική και η κινητική ενέργεια σαν συνάρτηση της ολικής ενέργειας γράφονται = 1 2 ή = 1 2 ημ 2 ή =ημ 2 (6) Η κινητική ενέργεια γίνεται = 1 2 ή = 1 2 συν 2 ή Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς =συν 2 (7) ημ 2 = 1 συν2 2 συν 2 = 1 + συν2 2 Οι εξισώσεις (6), (7) γίνονται και = 1 συν2 2 = 2 2 συν2 = 1 + συν2 2 ή ή = συν2 Οι παραπάνω συναρτήσεις είναι περιοδικές με περίοδο = 2 ή = ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

12 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Δηλαδή η Ενέργεια έχει την μισή περίοδο από την περίοδο της ταλάντωσης. = 2 (8) Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας κάνουμε τη γραφική παράσταση πρώτα της συν2 και στη συνέχεια τη μετατοπίζουμε στον κατακόρυφο άξονα κατά Ρυθμός Ενέργειας Γενικά ρυθμός μεταβολής ενέργειας ισοδυναμεί με ισχύς. Αρχικά ο ρυθμός μεταβολής του έργου μιας δύναμης είναι ο ορισμός της ισχύς μιας δύναμης. Έτσι = = = Όπου η συνιστώσα της δύναμης στη διεύθυνση της ταχύτητας. Αν η δύναμη και η ταχύτητα έχουν την ίδια διεύθυνση (όχι υποχρεωτικά και ίδια κατεύθυνση), τότε ή ή = (9) Όταν η ισχύς της δύναμης είναι θετική τότε προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω του έργου της δύναμης. Ενώ, αν η ισχύς είναι αρνητική, τότε αφαιρείται ενέργεια από το σώμα. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος υπολογίζεται από την ισχύ της συνισταμένης δύναμης και αυτό γιατί, αν υποθέσουμε ότι σε ένα μικρό χρονικό διάστημα το έργο της δύναμης είναι και η κινητική ενέργεια του σώματος έχει μεταβληθεί κατά, τότε από το θεώρημα της κινητικής ενέργειας θα έχουμε = ή = = Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης επειδή η δύναμη και η ταχύτητα έχουν την ίδια διεύθυνση θα ισχύει ή 9 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

13 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ = (10) Στην περίπτωση των απλών αρμονικών ταλαντώσεων (όχι φθίνουσας) επειδή = έχουμε = Για τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας έχουμε = ή = Δ για μια μικρή μεταβολή τότε το στοιχειώδες έργο της συντηρητικής δύναμης είναι = ή = = (11) δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι το αντίθετο του ρυθμού μεταβολής του έργου της συντηρητικής δύναμης που σχετίζεται με τη δυναμική ενέργεια. = Στην περίπτωση των απλών αρμονικών ταλαντώσεων αυτή η συντηρητική δύναμη είναι ίση με την συνισταμένη δύναμη. Έτσι = Παρατηρούμε πως ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι αντίθετος με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Το τελευταίο το περιμέναμε γιατί στην απλή αρμονική ταλάντωση διατηρείται η ενέργεια. Έχουμε =+ ή 0= + ή = (11) Στις ακραίες θέσεις, επειδή η ταχύτητα μηδενίζεται, θα μηδενίζεται και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας άρα και της δυναμικής. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αυτεπαγωγή Όταν ένα πηνίο διαρρέεται από μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό ρεύμα εμφανίζει ΗΕΔ από αυτεπαγωγή. Αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος 10 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

14 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ τότε η επαγωγική ΗΕΔ θα δίνεται από την εξίσωση αυτ το νόημα του πρόσημου είναι ότι όταν η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή είναι αρνητική, τότε η πολικότητά της είναι τέτοια ώστε να δίνει ρεύμα προς την αρνητική φορά, ενώ όταν είναι θετική δίνει ρεύμα προς την θετική. Η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πηνίου κατά την φορά του ηλεκτρικού ρεύματος θα είναι πάντα = = (1) Διερεύνηση : α) Αν το ρεύμα αυξάνεται δηλαδή όταν 0 τότε αυτ 0 δηλαδή η πολικότητα της πηγής θα είναι αντίθετη με τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος (προσπαθεί η πηγή να ελαττώσει το ρεύμα πράγμα σύμφωνο με τον κανόνα του Lentz) και 0 δηλαδή το σημείο απ όπου εισέρχεται το ηλεκτρικό ρεύμα έχει υψηλότερο δυναμικό από το σημείο που εξέρχεται β) Αν το ρεύμα ελαττώνεται 0 τότε αυτ 0 δηλαδή η πολικότητα της επαγωγικής τάσης θα είναι ίδια με τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος (προσπαθεί να αυξήσει το ρεύμα πράγμα σύμφωνο με τον κανόνα του Lentz) και 0 το δυναμικού του σημείου από όπου εισέρχεται το ηλεκτρικό ρεύμα είναι μικρότερο από όπου εξέρχεται. γ) αν το ρεύμα παραμένει σταθερό 0 τότε αυτ 0 δηλαδή δεν εμφανίζεται ΗΕΔ από επαγωγή. και 0 Σε αυτήν την περίπτωση τα σημεία Α και Β είναι βραχυκυκλωμένα Ενέργεια και αυτεπαγωγή Η ισχύς σε μια αυτεπαγωγή δίνεται από την εξίσωση = (2) 11 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

15 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ = Όταν 0 τότε προσφέρεται ενέργεια στο πηνίο ενώ όταν 0 τότε το πηνίο προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα. Όταν το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα τότε έχει αποθηκευμένη ενέργεια 1 2 (3) που αντιπροσωπεύει την ενέργεια που έχει προσφερθεί στο πηνίο για να αποκτήσει το παραπάνω ρεύμα και έχει αποθηκευτεί στο εσωτερικό του με την μορφή ενέργειας μαγνητικού πεδίου. Πυκνωτής Αν και φορτίο ενός πυκνωτή ονομάζουμε το φορτίο του θετικού οπλισμού στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις θα αναφερόμαστε στο φορτίο () ενός συγκεκριμένου οπλισμού του πυκνωτή το οποίο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ή μηδέν σε μια χρονική στιγμή. = (4) Η ισχύς σε ένα πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση όπου = (5) = Όταν η ισχύς είναι θετική τότε προσφέρεται ενέργεια στον πυκνωτή, ενώ αν η ισχύς είναι αρνητική τότε προσφέρει ο πυκνωτής ενέργεια στο κύκλωμα. Όταν ένας πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο τότε έχει αποθηκευμένη ενέργεια με την μορφή ηλεκτρικού πεδίου. = 2 (6) Η παραπάνω ενέργεια αντιπροσωπεύει την ενέργεια που προσφέρθηκε στον πυκνωτή για να φορτιστεί με φορτίο Κύκλωμα LC Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει έναν πυκνωτή και ένα πηνίο το οποίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί πως γράφουμε την εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο. (Αρχικά θα επιλέγουμε μια φορά ως θετική, στη συνέχεια θα σχεδιάζουμε το ηλεκτρικό ρεύμα να έχει την ίδια φορά με τη θετική και τέλος ως φορτίο το φορτίο του ο- πλισμού που συναντά το ηλεκτρικό ρεύμα) 12 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

16 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Στο παρακάτω κύκλωμα το ρεύμα εισέρχεται από το άκρο Α του πηνίου οπότε η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β θα είναι = Η φορά του ρεύματος δείχνει τη φορά της κίνησης του θετικού φορτίου, οπότε μέσα σε χρόνο θα μετακινηθεί φορτίο προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού ρεύματος με αποτέλεσμα το φορτίο του οπλισμού του πυκνωτή που βρίσκεται ενωμένος με το σημείο Γ θα αυξηθεί κατά. Έτσι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου του οπλισμού Γ θα είναι ίσος με το ηλεκτρικό ρεύμα = Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των διαφορών δυναμικού κατά μήκος κλειστού κυκλώματος είναι μηδέν οπότε Με βάση τα προηγούμενα προκύπτει + =0 ή 0 + =0 ή 1 0 (7) όπου το φορτίου του οπλισμού Γ και Οι δύο παραπάνω εξισώσεις βρίσκονται σε ομοιομορφία με τις εξισώσεις που περιγράφουν την α- πλή αρμονική ταλάντωση. Εκεί γνωρίζουμε ότι ή ή ή +=0, = (8) Η λύση των παραπάνω οδηγεί στις εξισώσεις =ημ, =συν 13 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

17 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ όπου = Συγκρίνοντας τις εξισώσεις που υπάρχουν στα δύο πλαίσια (7) και (8) προκύπτει : το είναι συνάρτηση του χρόνου καθώς και είναι συνάρτηση του χρόνου, το είναι σταθερά (ανεξάρτητη του χρόνου) όπως σταθερά είναι και το 1/, η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης όπως και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου και η μάζα είναι σταθερά (ανεξάρτητη του χρόνου) όπως και το είναι σταθερά. Έχουμε δηλαδή τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίσεων μεταξύ των μεγεθών σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με τα μεγέθη σε μια ηλεκτρική ταλάντωση = = = = = 1 2 = = 2 = =2 από την εξίσωση + =0 προκύπτει που δικαιολογείται και από την αντιστοιχία ρυθμού μεταβολής του ρεύματος και της επιτάχυνσης. Έτσι και οι εξισώσεις για το ηλεκτρικό κύκλωμα LC έχουν λύσεις με ημ, =συν = 1/ = 1 (9) Αν την χρονική στιγμή =0 ο οπλισμός Γ είναι φορτισμένος θετικά με φορτίο τότε από την εξίσωση ημ έχουμε ημ απ όπου. Έτσι 14 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

18 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ =ημ + 2 ή = συν (10) και = ημ (11) Από τις (10),(11) προκύπτει = ± (12) Η ενέργεια στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις μπορεί να υπολογιστεί με ανάλογο τρόπο με αυτό των μηχανικών έτσι = 2 = 1 2 (13) Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή ως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου είναι, = συν (14) ενώ η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο ως ενέργεια μαγνητικού πεδίου είναι = ημ (15) 15 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

19 ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Όταν το πλάτος μιας ταλάντωσης παραμένει σταθερό τότε η ταλάντωση χαρακτηρίζεται αμείωτη και αυτό συμβαίνει όταν δεν υπάρχουν τριβές. Όταν υπάρχουν τριβές τότε το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται μέχρι τελικά να μηδενιστεί. Ιδιαίτερη σημασία έχει όταν στην κίνηση υπάρχει δύναμη τριβής αντίθετη της ταχύτητας, δηλαδή της μορφής = Όπου είναι ένας θετικός αριθμός που εξαρτάται από το μέσο που γίνεται η ταλάντωση το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα μάζας δεμένο σε ένα ελατήριο σταθεράς. Στο σώμα ασκείται δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητας. Σε μια τέτοια περίπτωση συμβολίζουμε με = και ονομάζομαι γωνιακή ιδιοσυχνότητα την γωνιακή συχνότητα που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχαν τριβές. Αν 2 τότε η απομάκρυνση του σώματος θα δίνεται από την εξίσωση όπου = ημ + (1) = (2) με =. Αν στην εξίσωση (1) θέσουμε τότε αυτή γράφεται = (3) =ημ + δηλαδή «μοιάζει» με την εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης με γωνιακή συχνότητα και πλάτους. Η κίνηση όμως δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση διότι το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και από την μάζα του σώματος. Από την εξίσωση (2) παρατηρούμε πως < ή δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την ιδιοπερίοδο. Όμως για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης ( ), δηλαδή αν υπάρχουν μικρές τριβές τότε ~. Δηλαδή η περίοδος της ταλάντωσης στη φθίνουσα ταλάντωση είναι περίπου ίδια με την ιδιοπερίοδο της ταλάντωσης. Για μικρές τιμές του το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται με αργό ρυθμό και απαιτείται μεγάλο χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί. 16 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

20 ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Για μεγαλύτερες τιμές της το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πολύ γρήγορα και υπάρχει μεγάλη διαφορά στις τιμές και. Αν το ξεπεράσει την τιμή τότε δεν ισχύει η εξίσωση (1) και η απομάκρυνση δεν είναι «περιοδική». Έστω τις χρονικές στιγμές 0,, 2, 3, το πλάτος της ταλάντωσης είναι,,,, τότε ισχύει Δηλαδή Η σχέση μπορεί να γενικευτεί δηλαδή = = ή = = = Παρατηρήσεις = = = (4) 1) Η σχέση (4) έχει προκύψει για χρονικές στιγμές 0,, 2, 3, ισχύει όμως για κάθε σταθερό χρονικό διάστημα και όχι κατ ανάγκη μια περίοδο. 2) Από την ίδια εξίσωση προκύπτει πως οι όροι,,,,... (που αντιστοιχούν γενικά στο πλάτος για τις χρονικές στιγμές 0,,2,3, ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δηλαδή ο κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό μου με πολλαπλασιασμό με τον ίδιο αριθμό. =, =, =, Ιδιαίτερη σημασία έχει η περίπτωση όπου μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται στο μισό. Ο χρόνος αυτό ονομάζεται χρόνος ημισείας ζωής. 3) Αν τη χρονική στιγμή =0 είναι =0 και = τότε, δηλαδή το δεν είναι η αρχική θέση που βρίσκεται το σώμα όταν η ταχύτητά του είναι μηδέν. Για πολύ μικρές τιμές της παραμέτρου έχουμε ~ 4) Για να βρούμε την ολική ενέργεια σε κάποια χρονική στιγμή θα πρέπει να προσθέσουμε την κινητική και τη δυναμική ενέργεια = +. Το άθροισμα αυτό, επειδή η ενέργεια δε διατηρείται, δεν είναι ίσο με την με την ενέργεια που υπολογίζεται από την παράσταση. Το να γράφουμε = είναι προσεγγιστικά σωστό και πάλι σε ορισμένες μόνο περιπτώσεις και όταν η σταθερά τις απόσβεσης είναι πάρα πολύ μικρή. 5) Ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική λόγω των δυνάμεων τριβής είναι ίσος με την ισχύ της τριβής δηλαδή 17 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

21 ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ = ή = (5) Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πως, όταν η ταχύτητα γίνεται μέγιστη, μεγιστοποιείται και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας, ενώ όταν η ταχύτητα πλησιάζει να γίνει μηδέν έχουμε και μικρό ρυθμό μεταβολής της ενέργειας. Δηλαδή κοντά στη θέση ισορροπίας έ- χουμε απώλεια μηχανικής ενέργεια με μεγάλο ρυθμό ενώ στις ακραίες θέσεις έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργειας με μικρό ρυθμό. ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Όταν στο κύκλωμα LC υπάρχει και ωμικός αντιστάτης τότε ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική στον αντιστάτη λόγω φαινομένου Joule με αποτέλεσμα το πλάτος του φορτίου και το πλάτος της έντασης του ρεύματος διαρκώς να ελαττώνονται μέχρι να μηδενιστούν. Μια τέτοια ηλεκτρική ταλάντωση ονομάζεται φθίνουσα. Το ρόλο της σταθεράς απόσβεσης που είδαμε στις μηχανικές ταλαντώσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις τον έχει η αντίσταση. Έτσι ανάλογα με την αντίστασης το πλάτος της έντασης του ρεύματος μειώνεται αργά όταν η αντίσταση είναι μικρή, ενώ μειώνεται πολύ γρήγορα όταν η αντίσταση είναι μεγάλη. Όταν η τιμή της αντίσταση ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή, τότε πλέον δεν έχουμε ταλάντωση δηλαδή δεν υπάρχει καμία περιοδικότητα στο φαινόμενο. Για το πλάτος του φορτίου ισχύει ανάλογη σχέση με αυτό στις μηχανικές ταλαντώσεις δηλαδή Λόγω της εκθετικής μεταβολής του έχουμε = (1) = = = (2) όπου,,,, το πλάτος του φορτίου τις χρονικές στιγμές 0,, 2, 3, Παρατήρηση. Η Ενέργεια στις φθίνουσας ηλεκτρικές ταλαντώσεις μόνο προσεγγιστικά μπορεί να δοθεί από την εξίσωση = και μόνο στις περιπτώσεις που η αντίσταση είναι πολύ μικρή. Αν θέλουμε σε κάποια στιγμή να υπολογίσουμε την ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου απλά προσθέτουμε τις αντίστοιχες τιμές δηλαδή = (3) Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή ο ρυθμός που μετατρέπεται η ενέργεια σε θερμική είναι ίσος με την ισχύ στον αντιστάτη. Έτσι = (4) 18 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

22 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα μάζας είναι δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο σταθεράς. Ονομάζουμε ιδιοσυχνότητα την συχνότητα της ταλάντωσης που θα έκανε το σώμα, αν δεν ενεργούσε καμία άλλη δύναμη εκτός της δύναμης του ελατηρίου. Δηλαδή και γωνιακή ιδιοσυχνότητα = 1 2 = Αν υπάρχουν δυνάμεις τριβής = τότε η ταλάντωση είναι φθίνουσα και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το σώμα θα σταματήσει. Αν θέλουμε το σώμα να κάνει αμείωτη ταλάντωση θα πρέπει να του δίνουμε ενέργεια που να αναπληρώνει την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική λόγω τριβών. Ένας τρόπος για να δίνεται στο σώμα ενέργεια και να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι να ενεργεί στο σώμα μια περιοδική δύναμη της μορφής = ημ Η δύναμη αυτή ονομάζεται διεγείρουσα δύναμη και το σώμα που ασκεί την δύναμη διεγέρτης. Ό- που η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Η κίνηση του σώματος τελικά θα είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ίση με αυτήν του διεγέρτη. με πλάτος =ημ + (2) = + Δηλαδή το σώμα θα αναγκαστεί να εκτελέσει ταλάντωση με συχνότητα που του επιβάλλεται από το διεγέρτη και όχι με τη δική του ιδιοσυχνότητα και με πλάτος που εξαρτάται και από την συχνότητα του διεγέρτη αλλά και από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο, τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό του πλάτους της ταλάντωσης ή απλά συντονισμό. Η συχνότητα για την οποία μεγιστοποιείται το πλάτος της ταλάντωσης είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. (όταν = τότε μεγιστοποιείται το πλάτος της ταχύτητας). Συντονισμός = max, ~ Όσο μεγαλώνει η σταθερά απόσβεσης τόσο μεγαλώνει και η διαφορά μεταξύ της συχνότητας που έχουμε μέγιστο πλάτος και της ιδιοσυχνότητας. 19 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

23 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Για πολύ μικρές τιμές της το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται σε φάση με πολύ μικρές ταχύτητες (έτσι επίσης η τριβή είναι πολύ μικρή) στην ουσία το ελατήριο δεν είναι παραμορφωμένο. Το άκρο (στο οποίο ενεργεί ο διεγέρτης) και το σώμα ταλαντώνονται περίπου όπως θα ταλαντωνόταν αν ανάμεσά τους υπήρχε μια άκαμπτη ράβδος. Έτσι το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι = /. Για μεγάλες τιμές της το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται με αντίθεση φάσης. Έτσι η μία μετατόπιση σχεδόν αναιρεί την άλλη οπότε το σώμα ταλαντώνεται με πολύ μικρό πλάτος. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση πετυχαίνουμε με μια εναλλασσόμενη πηγή. Η εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο είναι +1 +=ημ (1) Σε αντίθεση με τις μηχανικές ταλαντώσεις στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων ενδιαφερόμαστε για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος. Η λύση της εξίσωσης αυτής περιλαμβάνει ένα μεταβατικό στάδιο και ένα μόνιμο στάδιο. Ο χρόνος της μεταβατικής κατάστασης εξαρτάται από την τιμή της αντίστασης και την τιμή του συντελεστή αυτεπαγωγής. Το μόνιμο κομμάτι της λύσης της εξίσωσης (1) περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση. όπου = ημ (2) =, 1 + εφ = 1 Από την (2) παρατηρούμε ότι το ηλεκτρικό ρεύμα είναι εναλλασσόμενο με κυκλική συχνότητα ίδια με αυτήν της πηγής και το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα ω της πηγής. Όταν η κυκλική συχνότητα της πηγής είναι πολύ μεγάλη, τότε έχουμε πολύ γρήγορες μεταβολές του ηλεκτρικού ρεύματος, με αποτέλεσμα το πηνίο να προβάλει μεγάλη "αντίσταση" και το κύκλωμα να διαρρέεται από μικρό ρεύμα. Δηλαδή αν τότε 0 20 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

24 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Όταν η κυκλική συχνότητα είναι πολύ μικρή τότε πρακτικά η τάση της πηγής τείνει να γίνει συνεχής με αποτέλεσμα ο πυκνωτής να προβάλει μεγάλη "αντίσταση" και το κύκλωμα να μην διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα δηλαδή. αν 0 τότε 0 Όταν η κυκλική συχνότητα είναι ακριβώς ίση με κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος LC τότε το πλάτος της έντασης του ρεύματος γίνεται μέγιστο και τείνει στο άπειρο όταν η αντίσταση τείνει στο μηδέν. Στην κατάσταση αυτή λέμε ότι το κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό. = = 1, (3) = = Σε αυτό το σημείο πρέπει να τονίσουμε ότι στις μηχανικές ταλαντώσεις, όταν =, το πλάτος της ταλάντωσης της απομάκρυνσης (αντίστοιχο με το πλάτος ταλάντωσης του φορτίου του πυκνωτή) ΔΕΝ είναι μέγιστο. Στην κατάσταση συντονισμού είναι μέγιστο το πλάτος της ταχύτητας (αντίστοιχο με το πλάτος ταλάντωσης του ηλεκτρικού ρεύματος). Είναι χρήσιμο πολλές φορές να υπολογίζουμε το ποσό της ενέργειας που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα σε χρόνο μιας περιόδου (στην μόνιμη κατάσταση). Η πηγή προσφέρει τόση ενέργεια στο κύκλωμα όση είναι και η θερμότητα που προσφέρεται από τον αντιστάτη στο περιβάλλον. Γνωρίζουμε όμως ότι η θερμότητα αυτή υπολογίζεται από την εξίσωση = και επειδή το ρεύμα είναι αρμονικά εναλλασσόμενο ισχύει οπότε, = 2 = 1 2 (4) ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Έστω ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις = ημ, = ημ + Παρατήρηση : Αν και οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν αρχική φάση μπορούμε να τις ανάγουμε στην παραπάνω περίπτωση με αλλαγή μεταβλητής ως εξής = ημ +, = ημ + θέτοντας + = =. Τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται = ημ, = ημ + = ημ + Οι οποίες είναι της ίδιας μορφής με τις αρχικές εξισώσεις 21 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

25 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Η απομάκρυνση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι = + ή = ημ + ημ + Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιώντας τις γνώσεις από τα μαθηματικά ημ + = ημσυν + ημσυν = ημ + ημ συν + ημ συν ή = + συν ημ + ημ συν από την άλγεβρα Β Λυκείου =ημ + συν μπορεί να γραφεί με τη μορφή =ημ + όπου = + όπου φ μια γωνία που ικανοποιεί τις εξισώσεις Οπότε στην δική μας περίπτωση η εξίσωση συν =, ημ = = + συν ημ + ημ συν μπορεί να γραφεί με την μορφή = ημ + (1) με πλάτος = + συν + ημ ή = + συν + 2 συν + ημ ή = + +2 συν (2) και μια γωνία για την οποία συν = + συν ημ = ημ Συνηθίζουμε στην φυσική να υπολογίζουμε την εφ., 22 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

26 ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ εφ = ημ + συν (3) Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας οδηγεί επίσης σε απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας. Παρατήρηση Από την εξίσωση (3) δεν μπορεί να προσδιοριστεί μονότιμα η γωνία γιατί και η γωνία + έχει την ίδια εφαπτομένη (εφ + = εφ). Αν όμως γνωρίζουμε το ημ και το συν μπορούμε να προσδιορίσουμε το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία άρα και την γωνία. Μπορούμε να προσδιορίσουμε την γωνία με την προϋπόθεση όμως να υπολογίσουμε την γωνία που σχηματίζει ένα σημείο με συντεταγμένες = ημ και = + συν. Έτσι, αν δεν κάνουμε αλγεβρικές πράξεις με τα πρόσημα, τότε από το πρόσημο του αριθμητική που παριστάνει το ημ και το πρόσημο του παρονομαστή που παριστάνει το συν μπορούμε να βρούμε το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. πχ : ας υποθέσουμε ότι μετά από πράξεις βρήκαμε πως ημ = 1 ενώ + συν = +1 (τέτοια περίπτωση έχουμε όταν πχ η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι = ) τότε εφ = 1 +1 τότε ψάχνουμε να βρούμε γωνία για την οποία το ημ < 0 (αριθμητής) και συν > 0 (παρονομαστής) και η εφαπτομένη της είναι εφ = 1. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει η γωνία να βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο άρα = 2 =. ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ Διακρότημα προκύπτει από την σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων των οποίων οι συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Έτσι Το αποτέλεσμα της σύνθεσης θα είναι =ημ, =ημ = + ή =ημ + ημ από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ημ + ημ = 2ημ = 2συν 2 =2συν 2 = ημ + 2 συν ημ + ή 2 οπότε ημ + (1) 2 23 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

27 ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ Η ταλάντωση που περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση ΔΕΝ είναι απλή αρμονική ταλάντωση γιατί το πλάτος είναι συνάρτηση του χρόνου και μεταβάλλεται "αργά" όταν οι συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Η ταλάντωση του σώματος σε αυτήν την περίπτωση ονομάζεται διακρότημα και ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος. Για να υπολογίσουμε την περίοδο του διακροτήματος εργαζόμαστε ως εξής και ο χρό- Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι η συνάρτηση =συν έχει περίοδο = νος μεταξύ δύο μηδενισμών της συνάρτησης είναι. Οπότε = 2 ή 2 = 2 2 ή 2 = ή = 2 2 ή = 1 (2) και η συχνότητα του διακροτήματος θα είναι = (3) Παρατηρήσεις Σε χρόνο Δ έχουμε Αριθμός Ταλαντώσεων:. = Δ Αριθμός που περνά από την θέση ισορροπίας :. =2 Αριθμός Μηδενισμών του Πλάτους = Αριθμός Διακροτημάτων :. = Δ 24 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

28 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ = = = =ημ + = συν + = ημ + = = ± = = =, =2 = = = = =+ = = =ημ 2 = συν 2 = = =. = = = = = = + = 0 = = =συν = ημ =, =2 = ± = = = = = = συν = ημ = ημ + = = = = = = + Συντονισμός = max, = + +2 συν εφ = = 2συν = = ημ 25 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

29 Κύματα Βασικά χαρακτηριστικά Εξίσωση κύματος Στιγμιότυπο κύματος Ταλάντωση ενός σημείου Φάση κύματος Συμβολή κυμάτων Στάσιμα κύματα Ηλεκτρομαγνητικό κύμα Κανονική ανάκλαση διάχυση Διάθλαση Ολική ανάκλαση Πρίσμα Τυπολόγιο 26 ΚΥΜΑΤΑ

30 ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Μηχανικό κύμα είναι μια διαταραχή που διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο. Κατά την διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου και δίνεται από την εξίσωση = (1) Εγκάρσια κύματα είναι τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται μόνο στα στερεά. Στα εγκάρσια κύματα διακρίνουμε σημεία που ονομάζονται όρη και κοιλάδες. Διαμήκη κύματα είναι τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται στα στερεά, υγρά και αέρια. Στα διαμήκη κύματα διακρίνουμε πυκνώματα και αραιώματα. Αν η πηγή του κύματος εκτελεί περιοδική κίνηση τότε το κύμα που προκύπτει ονομάζεται περιοδικό. Περίοδο και συχνότητα του κύματος ονομάζουμε την περίοδο και τη συχνότητα της πηγής. Η απόσταση που διανύει το κύμα σε μια περίοδο ονομάζεται μήκος κύματος και συμβολίζεται με. Μήκος κύματος είναι μια χωρική περίοδος. Από την εξίσωση (1) και τον ορισμό του μήκους κύματος προκύπτει πως αν = τότε = έτσι ή αν = τότε =, = ή = (2) = (3) Η ταχύτητα ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο στο οποίο διαδίδεται. Η συχνότητα του κύματος εξαρτάται μόνο από την πηγή που δημιουργεί το κύμα και το μήκος κύματος εξαρτάται και από το μέσο (ταχύτητα) αλλά και από την πηγή (συχνότητα). ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ Ας υποθέσουμε ότι στην θέση =0 βρίσκεται η πηγή που εκτελεί ταλάντωση τότε το σημείο του ελαστικού που βρίσκεται στην θέση θα αρχίσει να εκτελεί την ίδια κίνηση που εκτελεί και η πηγή αλλά με καθυστέρηση, όσος είναι δηλαδή ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το κύμα στο σημείο αυτό. Η εξίσωση που περιγράφει την διάδοση ενός κύματος είναι Έτσι αν η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με,=0, (4) =ημ 27 ΚΥΜΑΤΑ

31 ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ η (4) γίνεται ή =ημ (5) = ημ2 (6) Η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου την χρονική στιγμή θα είναι = συν2 (7) Οι εξισώσεις (4),(5),(6) παριστάνουν ένα κύμα να διαδίδεται προς τη θετική φορά. Αν έχουμε ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς την αρνητική φορά τότε η εξίσωση που το περιγράφει είναι = ημ2 + (8) ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ Αν θεωρήσουμε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή = τότε ή εξίσωση (6) γίνεται =ημ2 ή = ημ2 σταθ Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης σε συνάρτηση με την θέση ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος και είναι η εικόνα που θα έχουν όλα τα σημεία σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή =. Αν επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας σε ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στην θέση = τότε η εξίσωση (6) γίνεται =ημ2 ή = ημ2 σταθ Η γραφική παράσταση της τελευταίας εξίσωσης είναι η γραφική παράσταση απλής αρμονικής ταλάντωσης μετατοπισμένης προς δεξιά κατά /. Αυτό το περιμέναμε γιατί κάθε σημείο του μέσου κάνει ακριβώς αυτό που κάνει η πηγή με μια καθυστέρηση. 28 ΚΥΜΑΤΑ

32 ΦΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ ΦΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ Φάση κύματος ονομάζουμε τη γωνία =2 (1) Αν =0 είναι η χρονική στιγμή στην οποία αρχίζει να ταλαντώνεται η πηγή τότε η φάση πρέπει να είναι θετική. Αρνητική φάση σημαίνει πως το κύμα δεν έχει φτάσει σε εκείνο το σημείο. Η φάση για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή = θα είναι =2 ή =σταθ 2 Έτσι η διαφορά φάσης δύο υλικών σημείων του μέσου την ίδια χρονική στιγμή = είναι =2 2 ή = 2 ή Δ= 2 Δ (2) Αν 0 τότε <0 απ όπου προκύπτει πως προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος η φάση ελαττώνεται. Δηλαδή για δύο σημεία που απέχουν απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος οι φάσεις τους διαφέρουν κατά 2 Δ= Δ=2 Η φάση σε συνάρτηση με τον χρόνο για = θα είναι =2 ή =2 σταθ Έτσι η διαφορά φάσης του ίδιου υλικού σημείου σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές θα είναι =2 2 ή =2 ή Δ=2 Δ (3) Δηλαδή σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου η φάση ενός σημείου μεταβάλλεται κατά 2. Δ= Δ=2 29 ΚΥΜΑΤΑ

33 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Οι δύο πηγές Ο 1 και Ο 2 είναι σύμφωνες (Σύμφωνες ονομάζουμε δύο πηγές οι οποίες παρουσιάζουν σταθερή διαφορά φάσης. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε ότι αυτή η σταθερή διαφορά φάσης είναι μηδέν) και τη χρονική στιγμή =0 αρχίζουν να ταλαντώνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις =ημ, =ημ Μέσα στο μέσο διαδίδονται δύο κύματα που προέρχονται από τις πηγές Ο 1 και Ο 2. Τα δύο αυτά κύματα διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα (η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο στο οποίο διαδίδεται). Ένα τυχαίο σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που καθορίζεται και από τα δύο κύματα που φτάνουν στο σημείο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συμβολή κυμάτων. Έστω ότι το τυχαίο σημείο Σ απέχει απόσταση από την πηγή Ο 1 και από την πηγή Ο 2. Το κάθε κύμα που φτάνει στο σημείο Σ το αναγκάζει να εκτελέσει ταλάντωση που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις αντίστοιχα =ημ2, =ημ2 Αν τότε στο σημείο Σ φτάνει πρώτο το κύμα που προέρχεται από την πηγή Ο 2. Στο χρονικό διάστημα μέχρι να φτάσει το πρώτο κύμα το σημείο Σ παραμένει ακίνητο, επειδή κανένα κύμα δεν έχει φτάσει σε αυτό το σημείο για να το αναγκάσει να ταλαντωθεί. Στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την στιγμή που έφτασε το πρώτο κύμα και μέχρι να φτάσει το δεύτερο κύμα το σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που οφείλεται αποκλειστικά στο πρώτο κύμα. Τέλος από τη στιγμή που θα φτάσουν και τα δύο κύματα και έπειτα η ταλάντωση του σημείου οφείλεται και στα δύο κύματα. Έτσι αν οι χρονικές στιγμές που φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ είναι αντίστοιχα = και = θα ισχύει 0 = + Στην περίπτωση που έχουν φτάσει και τα δύο κύματα έχουμε = + ή =ημ2 + ημ2 Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι ημ + ημ = 2ημ γράφεται συν, οπότε η τελευταία εξίσωση = 2ημ συν απ όπου μετά από πράξεις προκύπτει 30 ΚΥΜΑΤΑ

34 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής =2συν2 2 = ημ + ημ2 + (1) 2 όπου =2 και =2συν2 δηλαδή το κάθε σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας με τις δύο πηγές αλλά με διαφορετικό πλάτος. Το πλάτος της ταλάντω- σης του σημείου Σ είναι πλάτος = = 2 συν2 (2) 2 και κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και του 2 ανάλογα με τις αποστάσεις και. Συγκεκριμένα όταν = 0 ή συν = 0 ή = + 2, Z Απόσβεση =2+1 2, Z (3) Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι, όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, τότε το σημείο Σ παραμένει ακίνητο. Επίσης όταν =2 ή συν2 2 = 1 ή ημ = 0 ή =, Z Ενίσχυση =, Z (4) Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι, όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος, τότε το σημείο Σ θα ταλαντώνεται με το μέγιστό του πλάτος δηλ 2. Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο σημεία είναι σταθερός αριθμός ονομάζεται υπερβολή. Έτσι τα σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα σχηματίζουν μια παραμετρική ομάδα υπερβολών (με παράμετρο το μήκος κύματος ). Το ίδιο συμβαίνει και με τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος τα οποία σχηματίζουν μια άλλη ομάδα υπερβολών. 31 ΚΥΜΑΤΑ

35 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Ας εξετάσουμε τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Κάθε υπερβολή συναντά το ευθύγραμμο τμήμα Ο 1 Ο 2 σε ένα σημείο, έτσι ο αριθμός των υπερβολών που σχηματίζονται είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο 1 Ο 2. Ας εκφράσουμε τις αποστάσεις αυτών των σημείων από τις πηγές Ο 1 και Ο 2 σε συνάρτηση με το μήκος κύματος και την απόσταση του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο 1 Ο 2 Για ένα οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Ο 1 Ο 2 όπως προκύπτει και από το σχήμα ισχύει + = Για τα σημεία που ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος ισχύει επίσης = με πρόσθεση των δύο παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη προκύπτει = ή 2 = 2 ή = 2, Z όπου η θέση ενός οποιαδήποτε σημείου μεταξύ του ευθύγραμμου τμήματος Ο 1 Ο 2 (με σύστημα αναφοράς το μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο 1 Ο 2 με θετική φορά από την πηγή Ο 1 προς την πηγή Ο 2 ) που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2 (κοιλία). Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι : Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος (κοιλίες) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι κοιλίες στα στάσιμα κύματα) Μπορούμε να "αριθμήσουμε" τις υπερβολές. Η υπερβολή που περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος (εκφυλίζεται σε ευθεία) είναι η υπερβολή με =0. Ο αμέσως επόμενος κλάδος της υπερβολής στην θετική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της πηγής Ο 2 ) έχει =1 ενώ ο πρώτος κλάδος της υπερβολής που βρίσκεται στην αρνητική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της Ο 1 ) έχει = 1 κλπ. 32 ΚΥΜΑΤΑ

36 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Για να βρούμε τώρα το πλήθος των κλάδων των υπερβολών που βρίσκονται μεταξύ του Ο 1 Ο 2 (το οποίο είναι ίσο με το πλήθος των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο 1 και Ο 2 ), δεν έχουμε παρά να βρούμε πόσα μισά μήκη κύματος χωράνε από το σημείο Ο και μέχρι το σημείο Ο 2, να διπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό (άλλες τόσες υπάρχουν και μεταξύ ΟΟ 1 ) και να προσθέσουμε και μια μονάδα (που αντιστοιχεί στην υπερβολή που περνά από το σημείο Ο). Αν δε θέλουμε να μετράμε μπορούμε να υπολογίζουμε Πλήθος σημείων με μέγιστο πλάτος στο τμήμα Ο 1 Ο 2 =2 /2 /2 +1 το σύμβολο [] στα μαθηματικά σημαίνει το ακέραιο μέρος ενός αριθμού που είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν τον ξεπερνά π.χ. [6,3]=6, [2,6]=2 Με παρόμοια ανάλυση μπορούμε να βρούμε για τους δεσμούς ότι Για τα σημεία που παραμένουν ακίνητα ισχύει + = 33 ΚΥΜΑΤΑ

37 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ =2+1 2 με πρόσθεση κατά μέλη 2 = =2+1 4 ή =2+1 4, Z Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που παραμένουν ακίνητα (δεσμοί) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι δεσμοί στα στάσιμα κύματα). Ο πρώτος δεσμός που βρίσκεται στη θετική φορά (πλευρά της πηγής Ο 2 ) απέχει από το μέσο Ο της απόστασης Ο 1 Ο 2 απόσταση ενώ ο επόμενος + ο επόμενος +2 κ.ο.κ. Με παρόμοιο τρόπο αριθμούνται και οι υπερβολές, δηλαδή ο πρώτος κλάδος υπερβολής που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο 2 έχει =0, ενώ αυτός ο κλάδος που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο 1 έχει = 1 κλπ. Επίσης η απόσταση ενός δεσμού και μιας κοιλίας είναι Όλα τα παραπάνω θυμίζουν στάσιμα κύματα το οποίο είναι φυσιολογικό, μια και στο ευθύγραμμο τμήμα Ο 1 Ο 2 έχουμε δύο κύματα που διαδίδονται με αντίθετες ταχύτητες και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Ο. Δηλαδή στον άξονα η ταλάντωση που εκτελούν τα σημεία είναι ισοδύναμη με την ταλάντωση που θα εκτελούσαν, αν είχαμε να διαδίδονται δύο κύματα της μορφής =ημ2 2 =ημ2 2 + Αν αντί για την διαφορά των αποστάσεων συγκρίναμε την διαφορά των φάσεων με την οποία φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ θα είχαμε =2, =2 Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει ότι η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων είναι Δ=2 (5) Έτσι η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου γίνεται =2συν Δ 2 ημ2 + Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή πρέπει =. Επίσης η διαφορά φάσης γνωρίζουμε ότι δίνεται από την εξίσωση Δ = 2 (εξίσωση 5). Συνδυάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις προκύπτει Δ = 2 ή 34 ΚΥΜΑΤΑ

38 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Δ=2 (6) Δηλαδή αν τα κύματα φτάνουν σε συμφωνία φάσης το σημείο ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2. Ενώ για να παραμένει ακίνητο πρέπει Δ=2 ή Δ=2 + 2 Δ=2+ Δηλαδή αν τα κύματα φτάνουν με αντίθεση φάσης το σημείο παραμένει ακίνητο. Αν είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει το πρώτο κύμα στο σημείο Σ και ο χρόνος του δευτέρου κύματος και Δ η χρονική διαφορά τους τότε για ενισχυτική συμβολή ισχύει Δ= ή Δτ = ή Δτ = ή Δτ = ή ή Δτ = (7) Για να ταλαντώνεται ένα σημείο με μέγιστο πλάτος θα πρέπει η χρονική διαφορά που φτάνουν τα κύματα σε αυτό να είναι Δ =. Ενώ για να παραμένει ακίνητο πρέπει να φτάνουν με διαφορά χρόνου Δ = + /2. Ενίσχυση =, Z Δ=2 Δ= Απόσβεση =2+1 2, Z Δ=2+ Δ= ΚΥΜΑΤΑ

39 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Στάσιμα κύματα δημιουργούνται όταν δύο κύματα ίσου πλάτους διαδίδονται σε ένα γραμμικό μέσο με αντίθετες ταχύτητες. Μια περίπτωση δημιουργίας στάσιμου κύματος είναι όταν τα δύο κύματα περιγράφονται από τις εξισώσεις και =ημ2 = ημ2 + το αποτέλεσμα με βάση την αρχή της επαλληλίας θα είναι = + ή = ημ2 + ημ2 + κάνοντας χρήση της μαθηματικής ταυτότητας ημ + ημ = 2ημ συν προκύπτει = 2ημ συν ή =2συν 2 ημ (1) Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτουν ορισμένα συμπεράσματα Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με την ίδια περίοδο με τα δύο κύματα αλλά με πλάτος που εξαρτάται από την θέση του σημείου πάνω στον άξονα. Το πλάτος αυτό θα είναι και είναι μεταξύ του μηδέν και του 2 = 2 συν 2 (2) 0 2 Υπάρχουν δηλαδή σημεία που ταλαντώνονται με πλάτος 2 τα οποία ονομάζονται κοιλίες και σημεία που παραμένουν συνεχώς ακίνητα που ονομάζονται δεσμοί. Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία με = είναι κοιλίες δηλαδή τα σημεία αυτά ταλαντώνονται με πλάτος = 2. Τότε 2 = 2 συν 2 ή συν 2 = 1 ή 2 ημ 2 = 0 ή =, Z ή 36 ΚΥΜΑΤΑ

40 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κοιλίες = 2, Z (3) Δηλαδή σημεία που απέχουν 0, 2,,3, κ. ο. κ 2 από την πηγή είναι κοιλίες. Από τα σημεία αυτά προκύπτει πως δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν μεταξύ τους. Απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών = 2 (4) Για τα σημεία που είναι δεσμοί εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο έτσι αν = είναι = 0. Τότε 2 2 συν 2 = 0 ή συν 2 = 0 ή = + 2, Z ή Δεσμοί =2+1 4, Z (5) δηλαδή τα σημεία που απέχουν από την πηγή είναι δεσμοί 4,3 4,5, κ. ο. κ 4 Έτσι δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν μεταξύ τους απόσταση = = Απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών = 2 (6) Ενώ μια κοιλία και ο επόμενος απ αυτήν δεσμός απέχουν μεταξύ τους 0 = Μικρότερη απόσταση δεσμού κοιλία = 4 (7) Η ταχύτητα ενός σημείου είναι =2συν 2 συν (8) Όλα τα σημεία περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας και όλα τα σημεία αποκτούν ταυτόχρονα τη μέγιστή τους απομάκρυνση. 37 ΚΥΜΑΤΑ

41 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ Όλα τα σημεία που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο δεσμούς κινούνται με την ίδια κατεύθυνση, ενώ σημεία που βρίσκονται συμμετρικά ως προς έναν δεσμό κινούνται με αντίθετες ταχύτητες. Επειδή η φάση της ταλάντωσης καθορίζεται από την γωνία μέσα στο ημιτόνου σημαίνει πως για δύο σημεία θα έχουν διαφορά φάσης ή μηδέν (όταν το πρόσημο του συν είναι ίδιο) ή (αν το πρόσημο του συν είναι αντίθετο) Το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα με την έννοια που δώσαμε σε ένα κύμα. Δηλαδή το στάσιμο κύμα δεν είναι μια διαταραχή που μεταδίδεται ούτε έχουμε μετάδοση ενέργειας. Η ενέργεια εγκλωβίζεται και δε μεταφέρεται μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική και το αντίστροφο. Όλα τα στάσιμα κύματα δεν περιγράφονται από την εξίσωση (1) η οποία περιγράφει ένα κύμα με κοιλία στην θέση =0. Έτσι η παρακάτω εξίσωση περιγράφει πάλι στάσιμο κύμα, αλλά τώρα στην θέση =0 βρίσκεται δεσμός και όχι κοιλία. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ =2ημ 2 ημ Ηλεκτρομαγνητικά κύματα δημιουργούνται από επιταχυνόμενο φορτίο. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται χωρίς να είναι απαραίτητο κάποιο ελαστικό μέσο για τη διάδοσή τους. Αυτό που μεταδίδεται είναι η ταλάντωση του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Στο κενό τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός, αλλά μέσα στην ύλη η ταχύτητα γίνεται μικρότερη. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η πιο απλή περίπτωση είναι να έχουμε το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο να μεταβάλλονται αρμονικά με το χρόνο σύμφωνα με την εξισώσεις και = ημ2 (1) = ημ2 (2) Το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, αλλά σε κάθε χρονική στιγμή το πηλίκο των μέτρων τους είναι σταθερό και ίσο με την ταχύτητα του κύματος. Αν διαδίδονται στο κενό θα ισχύει = (3) 38 ΚΥΜΑΤΑ

42 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗ Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται πως ανακλώνται οι ακτίνες μια φωτεινής παράλληλης δέσμης που προσπίπτει πάνω σε λεία και στιλπνή επιφάνεια, (κάτοπτρο). Στην κατοπτρική ανάκλαση οι ανακλώμενες ακτίνες εξακολουθούν να είναι παράλληλες Στην διάχυση οι ανακλώμενες ακτίνες δεν είναι παράλληλες Στην κατοπτρική ανάκλαση ή απλά ανάκλαση ισχύουν α) Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη ακτίνα και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. β) Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης = ΔΙΑΘΛΑΣΗ Δείκτης διάθλασης ενός μέσου ονομάζεται το πηλίκο της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του φωτός στο μέσο = (1) Ο δείκτης διάθλασης ενός μέσου είναι μεγαλύτερος της μονάδας, ενώ αυτός του κενού (και περίπου του αέρα) είναι ίσος με τη μονάδα. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ισχύει ο νόμος του Snell ημ ημ Από την σχέση αυτή προκύπτει πως όταν φως περνά σε οπτικά πυκνότερο μέσο τότε η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει προς την κάθετο. Καθώς το φως αλλάζει μέσο η συχνότητα του παραμένει σταθερή όχι όμως και το μήκος κύματος του. Έτσι 39 ΚΥΜΑΤΑ

43 ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ = ή = ή = Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας που μεταβαίνει από το κενό ή τον αέρα σε κάποιο άλλο μέσο μειώνεται. Όταν μια ακτίνα φωτός έρχεται στο μάτι μας ο εγκέφαλός μας θεωρεί πως το φως διαδίδεται ευθύγραμμα όμως στην πραγματικότητα το φως έχει καμφθεί λόγω του φαινομένου της διάθλασης. Έτσι νομίζουμε πως το ψάρι βρίσκεται στην προέκταση της ευθείας όταν διαδίδεται στον αέρα με αποτέλεσμα να το βλέπουμε ψηλότερα απ ότι στην πραγματικότητα είναι. ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Όταν το φως διαδίδεται από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο τότε, όταν η γωνία πρόσπτωσης ξεπεράσει μια κρίσιμη τιμή, δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα παρά μόνο ανακλώμενη ακτίνα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική ανάκλαση ημ = ημ90 ημ = αν > τότε δεν υπάρχει διαθλώμενη (1) Αν το αραιό μέσο είναι ο αέρας τότε για την κρίσιμη γωνία ισχύει Παρατήρηση : ημ = 1 Πολλές φορές σχεδιάζουμε μόνο τη διαθλώμενη ακτίνα και όταν συμβαίνει ολική ανάκλαση τότε σχεδιάζουμε την ανακλώμενη ακτίνα. Να ξεκαθαρίσουμε : ανακλώμενη ακτίνα υπάρχει πάντα είτε συμβαίνει ολική ανάκλαση είτε όχι. Όταν όμως υπάρχει η διαθλώμενη ακτίνα το ποσοστό του φωτός που ανακλάται είναι το πολύ 4%, δηλαδή είναι πολύ ασθενής σε σύγκριση με την διαθλώμενη ακτίνα. Αν όμως συμβαίνει ολική ανάκλαση τότε το ποσοστό αυτό γίνεται 100%. 40 ΚΥΜΑΤΑ

44 ΠΡΙΣΜΑ ΠΡΙΣΜΑ Το πρίσμα έχει διαθλαστική γωνία =60 και δείκτη διάθλασης = 2. Ακτίνα φωτός πέφτει με γωνία =45. Να υπολογιστεί η γωνία εκτροπής της ακτίνας Από τον νόμο του Snell για την προσπίπτουσα ακτίνα ημ = ημ ημ = 1 ημ (1) = = 1 2 = Το τετράπλευρο ΑΔΖΕ έχει άθροισμα 360 έτσι =360 ή Επίσης += =180 =+ = (2) =60 30 =30 ημ = ημ (3) = = 45 Στο τρίγωνο ΔΕΗ η γωνία εκτροπής ε είναι εξωτερική γωνία άρα θα είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών. = + (4) = = ΚΥΜΑΤΑ

45 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΚΥΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΚΥΜΑΤΑ = = = =ημ =ημ2 =συν2 =ημ2 + =2 Δ= 2 Δ=2 =2συν2 ημ2 Απόσβεση o =2+1, Z o =2+ o Δ=+ Ενίσχυση o =, Z o =2 o = =2συν ημ Κοιλίες o =, Z Δεσμοί o =2+1, Z =2συν συν = ημ2 = ημ2 = = ημ = ημ = ημ = ημ = 42 ΚΥΜΑΤΑ

46 Στερεό σώμα Κυκλική κίνηση Κίνηση στερεού σώματος Κύλιση ενός τροχού Ροπή δύναμης Ισορροπία στερεού σώματος Ροπή αδράνειας Θεώρημα παραλλήλων αξόνων (Θεώρημα Steiner) Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στροφορμή Διατήρηση της στροφορμής Ενέργεια στην στροφική κίνηση Έργο κατά τη στροφική κίνηση Τυπολόγιο 43 ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ

47 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ας θεωρήσουμε ένα υλικό σημείο που εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας και σε χρόνο διαγράφει γωνία. Ονομάζουμε γωνιακή ταχύτητα του υλικού σημείου το διάνυσμα = (1) Η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Από την γεωμετρία γνωρίζουμε πως το μήκος τόξου και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία συνδέονται με την εξίσωση Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι = (2) = ή Ονομάζουμε γωνιακή επιτάχυνση το διάνυσμα = (3) = (4) Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα παραμένει σταθερή Ομαλή κυκλική κίνηση =0, = σταθ., = + (5) Στην ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης παραμένει σταθερό. Ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση = σταθ., = +, (6) = Όταν ένα υλικό σημείο εκτελεί κυκλική κίνηση τότε η επιτάχυνσή του αποτελείται από δύο συνιστώσες την κεντρομόλο επιτάχυνση και την επιτρόχιο επιτάχυνση. Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι κάθετη στην ταχύτητα με κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι υπεύθυνη για την αλλαγή στο μέτρο της ταχύτητας του σώματος. Το μέτρο της είναι 44 ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ

48 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ = (7) Η επιτρόχιος επιτάχυνση έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας και είναι υπεύθυνη για την αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας του σώματος. Η τιμή της δίνεται από την εξίσωση = (8) Η επιτάχυνση είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο συνιστωσών των επιταχύνσεων. Δηλαδή = + (9) ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Στερεό σώμα ονομάζουμε εκείνο το σώμα που οι αποστάσεις των σημείων του παραμένουν σταθερές. Ένα στερεό σώμα δεν μπορεί να παραμορφωθεί. Είναι φανερό πως απόλυτα στερεό σώμα δεν υπάρχει. Ένα στερεό σώμα μπορεί να εκτελέσει μεταφορική, στροφική ή σύνθετη κίνηση. Ένα στερεό σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν όλα τα σημεία του έχουν την ίδια ταχύτητα. Μια κίνηση ονομάζεται στροφική όταν υπάρχει μια ευθεία (που ονομάζεται άξονας) της οποίας όλα τα σημεία έχουν την ίδια ταχύτητα, ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος εκτελούν κυκλική κίνηση. Οποιαδήποτε μετατόπιση ενός στερεού σώματος στο χώρο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει προκύψει από μια μεταφορική και μια στροφική μετατόπιση. Έτσι η τυχαία κίνηση ενός στερεού σώματος α- ναλύεται σε μεταφορική και στροφική κίνηση. Το κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος κινείται με τον ίδιο τρόπο που κινείται ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με την μάζα του σώματος, αν οι δυνάμεις που ενεργούν στο στερεό σώμα ενεργούσαν στο υλικό σημείο. Το κέντρο μάζας ομογενών συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. ΚΥΛΙΣΗ ΕΝΟΣ ΤΡΟΧΟΥ Η κίνηση του τροχού είναι αποτέλεσμα μιας στροφικής κίνησης και μιας μεταφορικής κίνησης. Έτσι κάθε σημείο του τροχού εκτελεί σύνθετη κίνηση που αποτελείται από μια μεταφορική κίνηση και από μια κυκλική κίνηση. δηλαδή = + Ένα τυχαίο σημείο του τροχού λόγω της κυκλικής κίνησης μετέχει σε δύο συνιστώσες επιταχύνσεων, την κεντρομόλο και την επιτρόχιο επιτάχυνση. Η επιτρόχιος επιτάχυνση οφείλεται στην γωνιακή ε- πιτάχυνση και είναι ίση με = = ή ή = ή 45 ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ