Aerodynamics & Aeroelasticity: Eigenvalue analysis

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Natonal Techncal Unversty of Athens Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egenvalue analyss Σπύρος Βουτσινάς / Spyros Voutsnas

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss

3 Egenvalues m xkx 0 dynamc equaton of 1 d.o.f. no dampng x(t) c e soluton of the dfferental t Substtute soluton nto the equaton: t m k e 0 equaton of moton k m m k 0 k m Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 3

4 Egenvalues m11 m1 x1 k11 k1 x1 m m x k k x dynamc equaton of or more d.o.f. no dampng x x 1 1 t Φ c e Φ q(t) q(t) soluton of the dfferental equatons of moton Substtute soluton nto the equaton: m11 m1 k11 k1 m1 m k1 k t t Φ e Φ e 0, Μ t t Φ e Κ Φ e 0 Μ Κ Φ -Μ Κ Φ 0 Μ Κ det - 0 Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 4

5 m xcx kx 0 by settng: x x 1 x x dynamc equaton of or more d.o.f. ncludng dampng The equaton of moton becomes: mx cx kx x x 1 Egenvalues or m 0 x1 c k x1 0 1 x 1 0 x Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 5

6 Egenvalues x1 1/m 0 c k x1 x x x1 c/m k/m x1 x 1 0 x x1 x1 A x x Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 6

7 Egenvalues x c/m k/m x 1 1 x 1 0 x A det A I 0 c/m k/m det 0 1 c k c k 0,, m m m m n n 1 n n Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 7

8 Modes 1 t x c1 e t x c e 1 q(t) Φ 1 Φ1 Φ q(t) q(t) soluton of the dfferental equatons of moton Substtute soluton nto the equaton: t t Φ e A Φ e det A I 0 A I Φ 0 Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 8

9 Mode shapes of a beam structure Bendng w(y;t) 1 Φ (y) q (t) Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 9

10 mode 1 (shape of vbraton at ω 1 ) Mode shapes of a beam structure T 1 1 w 1 w w w 1 remans constant dsplacement at the tp dsplacement at ntermedate pont Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 10

11 Mode shapes of a beam structure mode (shape of vbraton at ω ) T w w 1 w w 1 remans constant w y dsplacement at the tp dsplacement at ntermedate pont Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 11

12 Mode shapes of a beam structure superposton of the two modes gves 1t t 1 1 w(y;t) Φ (y) q (t) = Φ (y) c e Φ (y) c e 1 dsplacement at the tp dsplacement at ntermedate pont Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 1

13 Mode shapes of a beam structure u(y;t) u(y) v(y;t) (y) w(y;t) 1 w(y) (y;t) (y) v y y q(t) x u(y) v(y) θ y (y) w(y) y z Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 13

14 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 1 =0.69 Hz 1 st flap Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 14

15 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω =1.09 Hz 1 st edge Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 15

16 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 3 =1.99 Hz nd flap Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 16

17 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 4 =4.01 Hz nd edge Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 17

18 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 5 =4.59 Hz 3 rd flap Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 18

19 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 6 =7.99 Hz 4 th flap Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 19

20 Mode shapes of a beam structure Typcal modal characterstcs of a blade ω 7 =8.48 Hz 1 st torson Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 0

21 End of presentaton Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss 1

22 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Aerodynamcs & Aeroelastcty: Egen value analyss