ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήματος.

Transcript

1 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά ourir ενός περιοδικού αναλογικού σήματος. Ορίσουμε το μετασχηματισμό ourir ενός μη περιοδικού αναλογικού σήματος, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Δώσουμε τη φυσική σημασία του αναπτύγματος σε σειρά ourir και του μετασχηματισμού ourir.

2 Εφαρμόσουμε το παραπάνω ανάπτυγμα/μετασχηματισμό στις περιπτώσεις α του περιοδικού τετραγωνικού σήματος, β του τετραγωνικού παλμού και γ του αιτιατού εκθετικού σήματος. Θα αναφέρουμε τις ιδιότητες του μετασχηματισμού ourir. Υπολογίσουμε το μετασχηματισμό ourir μερικών βασικών συναρτήσεων. Επεκτείνουμε τις έννοιες της ενέργειας και της ισχύος τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

3 Στο χώρο των n-διαστάσεων κάθε διάνυσμα παριστάνεται ως n a a i i i Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ορίζεται από τη σχέση a, b a b a b n i Για μια ορθοκανονική βάση διανυσμάτων οι συντεταγμένες α, α,, α n, ενός διανύσματος a, είναι οι προβολές του a σε κάθε ένα από τα διανύσματα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση a i a, i i,,, n Το μέτρο norm ή μήκος ενός διανύσματος, ορίζεται από τη σχέση a a, a i i n a i i Ένα σύνολο διανυσμάτων a, a,, a n καλείται ορθοκανονικό όταν a a, m m,, m m n n, d n n b a n n, m m d b *, y y a Σεραφείμ Καραμπογιάς, b a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3 d

4 Περιγραφή σήματος στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας Υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής ενός αιτιοκρατικού σήματος. Ο πρώτος τρόπος περιγραφής πραγματοποιείται στο πεδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο πεδίο της συχνότητας. Ο πρώτος τρόπος είναι άμεσα αντιληπτός και η χρονική μεταβολή του σήματος δίδεται είτε μέσω αναλυτικής σχέσης μαθηματικός τύπος είτε με γραφική παράσταση. Aσυν f 4 A A A Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

5 Η περιγραφή των σημάτων στο πεδίο της συχνότητας περιλαμβάνει, κατά περίπτωση, τη χρήση της σειρά ή του μετασχηματισμού ourir μέσω των οποίων ένα σήμα περιγράφεται από το φασματικό του περιεχόμενο. Πλάτος A Aσυν f f Συχνότητα Φάση f Συχνότητα Το φάσμα του σήματος Η συνάρτηση η οποία περιέχει τη φασματική περιγραφή ενός σήματος ονομάζεται φάσμα του σήματος. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

6 Πλάτος Πλάτος Πλάτος a sin f Σεραφείμ Καραμπογιάς a a f Συχνότητα Χρόνος a3 sin 3 f a 3 a 3 3f Συχνότητα Χρόνος a a 3 f 3f Συχνότητα Χρόνος Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

7 Το εσωτερικό γινόμενο δύο σημάτων και y είναι, y Δύο μη μηδενικά σήματα και y λέγονται ορθογώνια αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο ισούται με μηδέν, y. Θα προσδιορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων j και a b jm * y d j j m, m j j m d j m d, m j j m, j m d m j j m j m j m j m j j m cos m jsin m Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7

8 Το εσωτερικό γινόμενο δύο σημάτων και y είναι, y Δύο μη μηδενικά σήματα και y λέγονται ορθογώνια αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο ισούται με μηδέν. j jm Θα προσδιορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων και * y d j j m, j j m d j m d,, m m m m j j m, j d d j jm Παρατηρούμε ότι το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων και είναι ίσο με μηδέν για m, επομένως τα σήματα είναι ορθογώνια και σχηματίζουν ένα σύνολο ορθογώνιων σημάτων. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-8

9 Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σημάτων j Για τα εκθετικά σήματα, =, ±, ±,..., παρατηρούμε j j m, j m d m j Τα εκθετικά σήματα j, =, ±, ±,..., σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα [, + ], διάρκειας = π/ω, καλούνται αρμονικά συσχετιζόμενα εκθετικά σήματα και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο σημάτων. Επομένως κάθε σήμα στο χρονικό αυτό διάστημα εκφράζεται j a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-9

10 Έστω τώρα ένα σήμα στο διάστημα [, + ], και ας υποθέσουμε ότι είναι δυνατόν να αναπτυχθεί σε άθροισμα εκθετικών στοιχειωδών σημάτων, a j Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές a j n και ολοκληρώνουμε από έως +, j n d Πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με a j j n j n j j n a d a j j n d a j, j n Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

11 j j n, j j n d,, n n n n j n d a j, j n n n n a n j n, j n a n j n, j n n j n a, j n j n d an an j n d Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

12 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ OURIER - ΣΕΙΡΑ OURIER Εκθετική σειρά ourir j a Εξίσωση σύνθεσης a n j n d Εξίσωση ανάλυσης Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

13 j a Η σειρά αποτελεί την εκθετική σειρά ourir ή το ανάπτυγμα ourir του σήματος Οι μιγαδικοί συντελεστές a καλούνται συντελεστές ourir ή φασματικές γραμμές του και ορίζουν το φάσμα του σήματος Κάθε συντελεστής a δηλώνει το φασματικό περιεχόμενο του σήματος στη συχνότητα ω και ονομάζεται στη αρμονική συνιστώσα. Η σταθερά a είναι η συνεχής ή η σταθερά συνιστώσα του φάσματος. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3

14 Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir για το περιοδικό ορθογώνιο σήμα,, a a sin Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

15 a 4 a a sin 4 sin 4 a sin a sin sin a a 3 sin sin a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

16 a a a sin 4 sin 4 a sin a sin sin a a 3 sin 3 3 sin 4 a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

17 Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών τριγωνομετρικών περιοδικών σημάτων. Για τα σήματα, sinω και cosω, παρατηρούμε ότι Σεραφείμ Καραμπογιάς sin m,sin m cos m,cos m sin,cos m, για κάθε και m Τα σήματα, sinω και cosω, < <, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικά διάστημα [, +], διάρκειας =π/ω καλούνται αρμονικά συσχετιζόμενα σήματα και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Επομένως κάθε σήμα στο χρονικό αυτό διάστημα εκφράζεται a b cos c sin Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7

18 Τριγωνομετρική σειρά ourir a b cos c sin a d Η Μέση Τιμή του σήματος b d,,... cos c d,,... sin Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-8

19 Αν χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα bcos a csin a Acos b όπου cos A και b c c sin cos c cos c sin b sin b an c b A A cos a cos A b c A b c Γενικά an c b A A an cos c b A a A b c και an c b Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-9

20 Σειρές ourir j a a n j n d A A cos A a a b cos c sin a b j c Παρατηρούμε ότι τα πλάτη του τριγωνομετρικού αναπτύγματος A είναι ίσα με το διπλάσιο των αντιστοίχων συντελεστών του εκθετικού αναπτύγματος a. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

21 Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir για τα σήματα: j a A cos A sin j j a a a a j a j 3 a j 3 3 Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

22 Κατασκευή του σήματος από αρμονικά συσχετιζόμενα συνημίτονα. Φυσική σημασία της εκθετικής σειράς ourir. 5 5 a j a 5 5 a a a a a 6 3 a a j 6 j6 j j cos j 6 3 j j6 j6 cos 6 3 j j j j cos jsin j cos jsin j cos πρόσθεση j cos j Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-

23 Πλάτος Πλάτος Πλάτος Πλάτος 5 5 a j cos 3 Σεραφείμ Καραμπογιάς cos 6 5 cos Συχνότητα cos Συχνότητα 3 Συχνότητα 5 Συχνότητα cos 6 cos 3 Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3

24 Σειρές ourir περιοδικών σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς 3 a j an j n d 3 Ορίσαμε το ανάπτυγμα σε σειρά ourir ενός περιοδικού σήματος, + =, σ ένα a j διάστημα [, + ]. Παρατηρούμε ότι η σειρά ourir συγκλίνει στο σήμα για κάθε χρονική στιγμή, δηλαδή j a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

25 Σειρές ourir μη περιοδικών σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς a j an j n d 3 Ορίσαμε το ανάπτυγμα σε σειρά ourir ενός μη περιοδικού σήματος σ ένα διάστημα [, +]. Έξω από το διάστημα αυτό η σειρά ourir σήμα, δηλαδή j a a j δεν συγκλίνει κατ ανάγκη στο Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

26 Ύπαρξη σειράς ourir. Ικανή Συνθήκη: Σε κάθε περίοδο το σήμα να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμο: d Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει ότι κάθε συντελεστής α είναι πεπερασμένος a j d d Ένα σήμα το οποίο παραβαίνει τη συνθήκη αυτή είναι το σήμα, Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

27 . Ικανή Συνθήκη: Το σήμα σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα είναι συνεχές ή να περιέχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών, κάθε μία από τις οποίες να είναι πεπερασμένου ύψους., 4 /, 4 6 /4, 6 7, Ικανή Συνθήκη: Το σήμα σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα να είναι φραγμένης κύμανσης, δηλαδή να υπάρχουν πεπερασμένος αριθμός μεγίστων και ελαχίστων στο διάστημα. sin, Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7

28 Φαινόμενο Gibbs Σεραφείμ Καραμπογιάς Ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το περιοδικό σήμα από το πεπερασμένο άθροισμα Το σφάλμα προσέγγισης είναι: Εφαρμογή: Για N = έχουμε N N N N a j N a j a j j cos j a a j cos j j a j a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-8

29 cos y y cos cos Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-9

30 cos Σεραφείμ Καραμπογιάς 3 cos 3 cos 3 5 cos cos 3 3 cos 5 5 Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3

31 8 N 8 79 N 79 Στα σημεία ασυνέχειας του το ανάπτυγμα σε σειρά ourir δίνει τη μέση τιμή του αριστερού και του δεξιού ορίου του σήματος, δηλαδή N Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3

32 Παράδειγμα Να υπολογιστεί η μέση ισχύς κάθε όρου της εκθετικής σειράς ourir j a Απάντηση P a j a j d a * d a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-3

33 Ταυτότητα του Parsval P d a Η ολική μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος είναι ίση με το άθροισμα των ισχύων όλων των όρων της εκθετικής σειράς ourir, πράγματι, * P d d j a d Αν το σήμα είναι πραγματικό λόγω της α * = α - έχουμε a j d a a a P d a a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-33

34 Παράδειγμα Να υπολογιστεί η μέση ισχύς κάθε όρου της τριγωνομετρικής σειράς ourir a A cos P d A cos d cos cos A A d cos d A cos d Απάντηση P A d cos A Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-34

35 Παρατηρήσεις Στο τριγωνομετρικό ανάπτυγμα ourir το σήμα έχει αναλυθεί σε ένα άθροισμα συνημιτόνων, κάθε ένα από τα οποία έχει διαφορετικό πλάτος A και φάση θ. a A cos παρατηρούμε ότι δεν υπεισέρχονται αρνητικές συχνότητες. Στην εκθετική σειρά ourir το σήμα έχει αναλυθεί σε ένα άθροισμα εκθετικών σημάτων, κάθε ένα από τα οποία έχει διαφορετικό πλάτος α. j a παρατηρούμε ότι τώρα υπεισέρχονται στο άθροισμα αρνητικές συχνότητες. Οι αρνητικές συχνότητες υπεισέρχονται στο άθροισμα επειδή αναπτύσσουμε ένα πραγματικό σήμα με τη βοήθεια μιγαδικών συναρτήσεων. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-35

36 Η μέση ισχύς κάθε όρου της τριγωνομετρικής σειράς ourir είναι A P Η μέση ισχύς κάθε όρου της εκθετικής σειράς ourir είναι P a Για πραγματικά σήματα * = a a ή a a, δηλαδή P * a a P Επίσης για πραγματικά σήματα επειδή A = a έχουμε P a a A Η ύπαρξη αρνητικής συχνότητας, για πραγματικά σήματα είναι απόρροια της αναπαράστασης του σήματος με τη βοήθεια μιγαδικών σημάτων και έχει ως αποτέλεσμα να μοιράζει εξίσου την ισχύ μεταξύ θετικής και αρνητικής αρμονικής. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-36

37 Για το περιοδικό ορθογώνιο σήμα,, Σεραφείμ Καραμπογιάς Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir είναι a a sin Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-37

38 a sin a a Σεραφείμ Καραμπογιάς Περιβάλλουσα sin Η συνεχής συνιστώσα του φάσματος είναι a Η θεμελειώδης συχνότητα είναι Η απόσταση μεταξύ των φασματικών γραμμών είναι Ο πρώτος μηδενισμός της περιβάλλουσας του φάσματος γίνεται όταν Η συχνότητα του πρώτου μηδενισμού είναι sin Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-38

39 Στο ανάπτυγμα σε σειρά ourir, η εξίσωση ανάλυσης a j αναλύει ένα σήμα στο διάστημα [, +], ή στο διάστημα -, αν το σήμα είναι περιοδικό, σε ένα διακριτό φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων με συχνότητες ω, με πλάτος α. j a d Όταν το σήμα είναι σήμα τάσης η μονάδα μέτρησης των συντελεστών a Vols. είναι Με άλλα λόγια το ανάπτυγμα ourir των περιοδικών σημάτων αναπαριστά μη περιοδικά σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασματικό του περιεχόμενο. Όταν το σήμα δεν είναι περιοδικό τότε ο μετασχηματισμός ourir αναπαριστά το σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτει το φασματικό του περιεχόμενο. a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-39 a a

40 ή X Ο Μετασχηματισμός ourir ή το φάσμα του f X j j f d d Η συνάρτηση Xω αποτελεί την εξίσωση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηματισμός ourir Μ του σήματος. Ακριβέστερα, μετασχηματισμός ourir είναι ο κανόνας εύρεσης της Xω από την. ή X X f j f j d df Η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήμα στο πεδίο του χρόνου Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

41 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourir του ορθογώνιου παλμού διάρκειας.,, αλλιώς Απάντηση: X sin X Συνεχές φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

42 Οι συντελεστές της εκθετικής σειράς ourir για το περιοδικό ορθογώνιο σήμα. a a a sin 4 a a a 3 3 a 3 3 Διακρικό φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων με αρμονικά συσχετιζόμενες συχνότητες Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-4

43 Στο μετασχηματισμό ourir, η εξίσωση ανάλυσης X αναλύει ένα μη περιοδικό σήμα στο διάστημα, σ ένα συνεχές φάσμα περιοδικών εκθετικών σημάτων. j d Xω είναι το φασματικό περιεχόμενο στο απειροστό διάστημα συχνοτήτων [ω, ω + dω]. Η συνεισφορά των συχνοτήτων [ω, ω + dω] έχει πλάτος X d ή X f df Ο μετασχηματισμός ourir Xω είναι η φασματική πυκνότητα πλάτους. Όταν είναι σήμα τάσης, τότε ο συχνότητας. Xω έχει μονάδα μέτρησης Vols ανά μονάδα Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-43

44 Ο μετασχηματισμός ourir παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Με το μετασχηματισμό ourir αναλύουμε μη περιοδικά σήματα με εκθετικά σήματα και με το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασματικό τους περιεχόμενο. Το αιτιατό εκθετικό σήμα a u, ar έχει μετασχηματισμό ourir X a j X a a a a arg X a 4 Το αιτιατό εκθετικό σήμα. 4 a Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-44

45 Να υπολογιστεί το σήμα, του οποίου ο μετασχηματισμός ourir είναι, παράθυρο συχνοτήτων με πλάτος W, δηλαδή, X, W, αλλιώς Απάντηση sin W X W W W W W Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-45

46 Συνάρτηση Δειγματοληψίας sinc sin,, sinc Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-46

47 A X f A A y A Y f f A 3 A ˆ Xˆ f 3 f A A A 3 f Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-47

48 Ιδιότητες του μετασχηματισμού ourir X X Συζυγία * * X Γραμμικότητα c c c X cx,, a αλλιώς u X sin X a j X X Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-48

49 Άρτιο-περιττό μέρος σήματος. Πραγματικό-φανταστικό μέρος φάσματος Ολίσθηση στο χρόνο o X j m X για κάθε πραγματικό αριθμό. j X Σεραφείμ Καραμπογιάς X,, αλλιώς X sin,, αλλιώς X sin j Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-49

50 Ολίσθηση συχνότητας j X Η ιδιότητα αυτή αποτελεί τη βάση της διαμόρφωσης που χρησιμοποιείται ευρέως στις τηλεπικοινωνίες.,, a αλλιώς u X sin X a j X X Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

51 Εφαρμογή: Αν το σήμα μηνύματος m έχει φάσμα Mω το μέτρο του οποίου είναι M A W W Το φάσμα του μηνύματος για ένα αυθαίρετο σήμα m. Να βρεθεί το φάσμα του σήματος z = m cosω W W W z M M Z A Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος. W W W Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

52 Αλλαγή κλίμακας στο χρόνο και τη συχνότητα - Ανάκλαση a X και X a a a a a X X X Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-5

53 Ανάκλασης X Θεώρημα της Συνέλιξης y h Y H X h y h X H Y H X Υπολογίζεται εύκολα το φάσμα του σήματος εξόδου Yω ενός ΓΧΑ συστήματος αν γνωρίζουμε το φάσμα του σήματος εισόδου Xω και την απόκριση συχνότητας Hω. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-53

54 Θεώρημα του Parsval E X d d Η ποσότητα Xω εκφράζει την κατανομή ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας και ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος. X f df,, a αλλιώς u X sin X a j X X Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-54

55 Παραγώγιση jx d d α στο πεδίο του χρόνου d X d j β στο πεδίο συχνότητας Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-55 y d y d RC C A B y i M N d d b d y d a Για σήμα έχουμε και j j H y j H j d dy j j j H H j RC y d y d RC H H j RC RC j H

56 Παραγώγιση Σεραφείμ Καραμπογιάς α στο πεδίο του χρόνου d d,, jx a αλλιώς u u β στο πεδίο συχνότητας j d sin X X X a j a j a X sgn X, j d X X X Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-56

57 Ολοκλήρωση X X j d Συμμετρίες για πραγματικά σήματα X * X X X X m X m Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-57

58 Δυϊσμός X Το σήμα y = X έχει μετασχηματισμό ourir: Y X W X W W W W Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-58

59 Δυϊσμός X Το σήμα y = X έχει μετασχηματισμό ourir: Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-59 sin X αλλιώς,, u a j a X u a j a X X f X a a a X y Y u j X Y

60 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourir του τριγωνικού παλμού διάρκειας. u u u d d d d αλλιώς,, αλλιώς,, Ο τριγωνικός παλμός διάρκειας. d d Η πρώτη παράγωγος του τριγωνικού παλμού διάρκειας. d d Η δεύτερη παράγωγος του τριγωνικού παλμού διάρκειας. c sin Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

61 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourir του σήματος cos επομένως ο μετασχηματισμός ourir του σήματος είναι cos Το σήμα γράφεται και ως j j j X o j X Ο μετασχηματισμός ourir του σήματος = cos ω. Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

62 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourir του σήματος cos u Το σήμα γράφεται και ως u u j j επομένως ο μετασχηματισμός ourir του σήματος είναι cos j u Συνεχές τμήμα του φάσματος Διακριτό τμήμα του φάσματος j u j u j X o j Σεραφείμ Καραμπογιάς Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-6

63 Μετασχηματισμός ourir περιοδικών σημάτων Όπως γνωρίζουμε ένα περιοδικό σήμα αναπτύσσεται σε σειρά ourir j o a j X j j a X a Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός ourir επεκτείνεται και στα περιοδικά σήματα. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-63

64 j a a sin, και a X X Ο μετασχηματισμός ourir για το περιοδικό ορθογώνιο κύμα Το φάσμα ενός περιοδικού σήματος με περίοδο αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα ομοιόμορφα κατανεμημένες σε απόσταση ω = π / Τ με πλάτος π φορές το αντίστοιχο πλάτος του συντελεστή της εκθετικής σειράς ourir του σήματος. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-64

65 Συναρτήσεις Συσχέτισης Σεραφείμ Καραμπογιάς Για ένα σήμα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R d d Για ένα σήμα ισχύος ορίζεται η μέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R lim d Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R τ εξαρτάται από το πλάτος του σήματος. Ορίζεται ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ο οποίος είναι ανεξάρτητος από το πλάτος του σήματος. r R E Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-65

66 Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η ενέργεια, E, σήματος,, είναι ίση με τη τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης σήματος, R τ, για τ =. R d R Σεραφείμ Καραμπογιάς Ο M της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήματος ισούται με τη φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος. R R X d E του R h R h X y h R R R y h Y X H Σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου ΓΧΑ συστήματος ισούται με τη συνέλιξη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της εισόδου με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του συστήματος Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-66

67 Ιδιότητες της μέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η μέση ισχύς, P σήματος είναι ίση με τη μέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R τ, για τ =. R lim d Ο μετασχηματισμός ourir της μέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ισούται με τη φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος. R S Η συνάρτηση S ω περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμεται η ισχύς του σήματος στο χώρο των συχνοτήτων. R lim Σεραφείμ Καραμπογιάς d P R S h R h y h R y R * h * h S S H y * Σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-67

68 Με τη βοήθεια ενός radar είναι δυνατή η μέτρηση της απόστασης στην οποία βρίσκεται ένας στόχος π.χ. αεροπλάνο. Το σήμα εκπομπής αποτελείται από ορθογώνιους παλμούς διάρκειας, οι οποίοι επαναλαμβάνονται με περίοδο Τ. Υποθέτουμε ότι ο στόχος βρίσκεται σε απόσταση d. Το χρονικό διάστημα Δτ από τη στιγμή εκπομπής του παλμού μέχρι τη στιγμή που φτάνει η ηχώ του στόχου είναι d c όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός. r Ο παλμός εκπομπής, και ο παλμός λήψης r, σε ένα ιδανικό σύστημα Radar. Αρχή λειτουργίας Radar Η διάταξη προσδιορίζει το χρονικό διάστημα Δτ, και στη συνέχεια προσδιορίζει την απόσταση d. d Σεραφείμ Καραμπογιάς c Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-68

69 Η ηχώ του σήματος εκπομπής από το στόχο διαβρώνεται από θόρυβο. Επομένως ο προσδιορισμός του Δτ πρακτικά είναι αδύνατο να προσδιορισθεί απευθείας από το σήμα εκπομπής και από την ηχώ του. r Ο παλμός εκπομπής, και ο παλμός λήψης r, σε ένα πραγματικό σύστημα Radar. Το σήμα ηχούς, r εφαρμόζεται στη είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος το οποίο ονομάζεται προσαρμοσμένο φίλτρο machd filr. Η κρουστική απόκριση του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι η ανάκλαση του σήματος εκπομπής, δηλαδή, h r Προσαρμοσμένο φίλτρο στο σήμα y r h Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-69

70 Η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου y, είναι η συνέλιξη του σήματος ηχούς r, με την κρουστική απόκριση h, δηλαδή, y = r * h. r y Ο παλμός εκπομπής, και ο παλμός λήψης r, και η έξοδος του προσαρμοσμένου σήματος y, σε ένα πραγματικό σύστημα Radar. Το χρονικό διάστημα Δτ είναι ίσο με τη χρονική στιγμή κατά την οποία η έξοδος του προσαρμοσμένου φίλτρου αποκτά τη μέγιστη τιμή της. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7

71 Η διαμόρφωση και η αποδιαμόρφωση στη μετάδοση σήματος. Η διαμόρφωση χρησιμοποιεί το σήμα πληροφορίας m για να μεταβάλλει το πλάτος ενός ημιτονοειδούς φέροντος cosω c. m cos c u α Διαμορφωτής Το διαμορφωμένο σήμα είναι Κανάλι u m cos r cos c z Χαμηλοπερατό Φίλτρο β Σύγχρονη ή σύμφωνη αποδιαμόρφωση Το λαμβανόμενο σήμα απουσία θορύβου μέσω ιδανικού καναλιού είναι Το αποδιαμορφωμένο σήμα είναι r u m cos Το σήμα αυτό διέρχεται μέσα από ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι y l m cos cos z r cos c c c c m c m m cos Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7 c y l

72 Μελέτη της διαμόρφωσης και αποδιαμόρφωσης στο πεδίο συχνότητας M f A W Το φάσμα του μηνύματος για ένα αυθαίρετο m f c W f c f c f c W U f A c A W f c f c W W Το φάσμα U f του διαμορφωμένου σήματος f c f c W f f f c f c Z f f c απόκριση φίλτρου διέλευσης χαμηλ. συχν. f c f c W f c f c W W f c W f c W f W c f Το φάσμα Ζ f του σήματος στην είσοδο του φίλτρου Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-7

73 Πολυπλεξία Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς H διαδικασία της διαμόρφωσης μας δίδει τη δυνατότητα να διευθετήσουμε τη μετάδοση πολλών μηνυμάτων από διαφορετικούς χρήστες μέσα από το ίδιο φυσικό κανάλι Στη ραδιοφωνία και στην τηλεοπτική εκπομπή ο πομπός μεταφέρει το φάσμα του σήματος πληροφορίας που πρόκειται να εκπέμψει στην κατάλληλη περιοχή συχνοτήτων για να μη παρεμβάλλεται με κάποιον άλλον. Η διαδικασία κατά την οποία συνδυάζουμε έναν αριθμό ξεχωριστών σημάτων μηνύματος σε σύνθετο σήμα για να τα μεταδώσουμε μέσα από ένα κοινό κανάλι καλείται πολυπλεξία. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές πολυπλεξίας Η πολυπλεξία με διαίρεση συχνότητας DM rquncy Division Mulipling Η πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου DM im Division Mulipling Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-73

74 M f Σεραφείμ Καραμπογιάς Πολυπλεξία με Διαίρεση Συχνότητας f c W W f m LP διαμορφωτής u M f f c W W f m LP διαμορφωτής u Σ ΚΑΝΑΛΙ M 3 f f c3 W 3 W 3 f m 3 LP διαμορφωτής u 3 Πομπός DM. Παράδειγμα πολυπλεξίας τριών σημάτων με διαίρεση συχνότητας Μια τυπική διάταξη συστήματοc DM φαίνεται στο Σχήμα. Το σχήμα αυτό δείχνει την πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας στον πομπό 3 σημάτων μηνύματος. Τα χαμηλοπερατά φίλτρα στον πομπό χρησιμοποιούνται για να είναι βέβαιο ότι το εύρος-ζώνης των σημάτων μηνύματος περιορίζεται σε W Hz. Κάθε σήμα διαμορφώνει ένα ξεχωριστό φέρον και επομένως απαιτούνται 3 διαμορφωτές. Στη συνέχεια τα σήματα από τους 3 διαμορφωτές προστίθενται και μεταδίδονται μέσα από το κανάλι. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-74

75 U f Ζώνη προστασίας Ζώνη προστασίας Ζώνη προστασίας Φίλτρο λήψης για το m 3 f c f c W f c f c3 f c W 3 f c W 3 f Φάσμα του πολυπλεγμένου σήματος Για τον περιορισμό της πιθανότητας φασματικής επικάλυψης, τα διαμορφωμένα φάσματα διαχωρίζονται μεταξύ τους κατά συχνότητα με ζώνες προστασίας. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-75

76 Η πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου χρησιμοποιείται συνήθως κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας. m m Πολυπλεξία με Διαίρεση Χρόνου N σήματα, που είναι όλα περιορισμένου εύρους-ζώνης μέχρι B 34Hz λόγω των χαμηλοπερατών φίλτρων εισόδου LP, δειγματοληπτούνται στον πομπό το ένα μετά το άλλο m 3 m 4 Σεραφείμ Καραμπογιάς Κυματομορφή DM με τέσσερα κανάλια f N πλαίσιο f f Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-76

77 Πολυπλεξία με Διαίρεση Χρόνου Σεραφείμ Καραμπογιάς m LP s Περίοδος δειγματοληψίας m LP s s s m 3 LP s Σ s 3 m 4 LP s 3 s 4 s 4 Μεταγωγή Καταμερισμού Χρόνου Κυματομορφές ελέγχου μεταγωγής Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-77

78 Τέλος Ενότητας Σεραφείμ Καραμπογιάς

79 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-79

80 Σημειώματα Σεραφείμ Καραμπογιάς

81 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-8

82 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Σήματα και Συστήματα. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opncourss.uoa.gr/courss/di45/. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-8

83 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Craiv Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://craivcommons.org/licnss/by-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-83

84 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Ανάπτυγμα - Μετασχηματισμός ourir Αναλογικών Σημάτων 3-84