Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής"

Transcript

1 Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1

2 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα Parseval 3. Φαινόμενο Gibbs 2

3 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 3

4 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Γραμμικότητα 2. Ολίσθηση στο Χρόνο 3. Ολίσθηση στη Συχνότητα 4. Αλλαγή Κλίμακας στο Χρόνο 5. Αλλαγή Κλίμακας στη Συχνότητα 6. Ανάκλαση 7. Συζυγία 8. Συμμετρία 9. Παραγώγιση 10. Ολοκλήρωση 11. Ιδιότητα της Συνέλιξης 12. Πολλαπλασιασμός 13. Άρτιο/Περιττό Μέρος Σήματος Πραγματικό/Φανταστικό Μέρος Φάσματος 4

5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (1/10) 1. Γραμμικότητα Αν x i t X i ω και c i αυθαίρετη (πραγματική ή μιγαδική) σταθερά και i = 1,2, n, τότε ισχύει: c 1 x 1 t + c 2 x 2 t + + c n x n t c 1 X 1 ω + c 2 X 2 ω + + c n X n ω Η σχέση δηλώνει ότι ο Μ ενός γραμμικού συνδυασμού συναρτήσεων ισούται με τον γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων επιμέρους M για κάθε συνάρτηση. 2. Ολίσθηση στο Χρόνο Αν x t X ω, τότε για κάθε πραγματικό αριθμό t 0 ισχύει: x t t 0 e jωt 0 X(ω) = X(ω) e jφ ω ωt 0 Η σχέση δείχνει πως αν το σήμα μετατοπιστεί στο χρόνο κατά t 0, τότε το φάσμα του πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα e jωt 0. Έτσι το φάσμα ενός σήματος ολισθημένου στο χρόνο έχει το ίδιο μέτρο με το αρχικό σήμα, ενώ η φάση του αλλάζει γραμμικά. 5

6 Άσκηση 1 Να αποδειχθεί η ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης του μετασχηματισμού ourier. Απάντηση: Σύμφωνα με τον ορισμό, ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x t t 0 είναι: Θέτοντας λ = t t 0, έχουμε: x t t 0 = x t t 0 e jωt dt x t t 0 = x λ e jωλ e jωt 0 dλ = = e jωt 0 x λ e jωλ dλ = e jωt 0 Χ(ω) 6

7 Άσκηση 2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος συνεχούς χρόνου: x t = Π T t + 2T + Π T t 2T Απάντηση: Γνωρίζουμε ότι : Π T t 2 sin ωt ω Με βάση την παρατήρηση αυτή και τις ιδιότητες γραμμικότητας και ολίσθησης στο χρόνο, έχουμε: x t = Π T t + 2T + Π T t 2T = 2 sin ωt 2 sin ωt = ej2ωt + e j2ωt ω ω = 2 sin ωt ω e j2ωt + e j2ωt = 4 sin ωt ω cos 2ωT 7

8 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (2/10) 3. Ολίσθηση στη Συχνότητα Αν x t X ω, τότε για κάθε πραγματικό αριθμό ω 0 ισχύει: e jω 0t x t X ω ω 0 Παρατηρούμε πως ο πολλαπλασιασμός ενός σήματος x(t) με τον όρο e jω 0t μετατοπίζει το φάσμα του σήματος κατά ω 0. Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ σημαντική για τις τηλεπικοινωνίες, επειδή ορίζει μαθηματικά τη διαδικασία της διαμόρφωσης. 8

9 Άσκηση 3 Να αποδειχθεί η ιδιότητα της ολίσθησης συχνότητας του μετασχηματισμού ourier. Απάντηση: Σύμφωνα με τον ορισμό, ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x t e jω 0t είναι: x t e jω 0t = x t e jω 0t e jωt dt = = x t e j(ω ω0)t dt = X ω ω 0 9

10 Άσκηση 4 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος y t = x t cos (ω 0 t). Απάντηση: Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, το σήμα y t γράφεται: y t = x t cos ω 0 t = x t 1 2 ejω 0t + e jω 0t = = 1 2 x t ejω 0t x t e jω 0t Με βάση τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της ολίσθησης συχνότητας, ο M του y t είναι: Y ω = 1 2 x t ejω 0t x t e jω 0t = = 1 2 X ω ω 0 + Χ ω + ω 0 10

11 Άσκηση 4 (συνέχεια) Παρατηρούμε ότι πολλαπλασιασμός του σήματος x t με το cos (ω 0 t) δεν αλλοιώνει τη μορφή του Χ(ω), απλά το φάσμα Χ(ω) του σήματος μεταφέρεται στη περιοχή των συχνοτήτων ±ω 0. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται διαμόρφωση. Φάσμα αρχικού σήματος Φάσμα διαμορφωμένου σήματος Κατά τη διαμόρφωση ένα σήμα x t που μεταφέρει χρήσιμη πληροφορία πολλαπλασιάζεται με ένα σήμα απλής συχνότητας cos (ω 0 t), που ονομάζεται φέρον σήμα, με σκοπό τη μετάδοσή του μέσα από ένα κανάλι μετάδοσης. 11

12 Άσκηση 5 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x(t) = cos(ω 0 t) u(t). Απάντηση: Με τη βοήθεια της σχέσης του Euler το σήμα γράφεται: x t = 1 2 ejω 0t u t e jω 0t u t Από την ιδιότητα της ολίσθησης συχνότητας και επειδή γνωρίζουμε ότι ισχύει u t 1 jω + πδ ω, βρίσκουμε τον Μ του σήματος x(t) από τη σχέση: cos ω 0 t u t j ω ω 0 + πδ ω ω j ω + ω 0 + πδ ω + ω 0 = π 2 δ ω ω 0 + δ ω + ω 0 + jω ω 0 2 ω 2 12

13 Άσκηση 6 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x t = cos(ω 0 t). Απάντηση: Χρησιμοποιώντας τη σχέση του Euler εκφράζουμε το συνημίτονο ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών όρων, δηλαδή: x t = 1 2 ejω 0t e jω 0t Από την ιδιότητα της ολίσθησης συχνότητας και επειδή 1 2πδ(ω), βρίσκουμε τον M του x(t): cos ω 0 t π δ ω ω 0 + δ ω + ω 0 π Χ(ω) -ω0 0 ω0 ω Φασματική πλάτους του x(t) = cos(ω 0 t). Το φάσμα φάσης είναι μηδενικό. 13

14 Άσκηση 7 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x t = Π Τ t cos(ω 0 t). Απάντηση: Από τη σχέση του Euler γνωρίζουμε cos ω 0 t Επομένως, το δοθέν σήμα x(t) γράφεται: = 1 2 ejω 0t e jω 0t x t = Π Τ t Γνωρίζουμε επίσης ότι : 1 2 ejω 0t e jω 0t = 1 2 ejω 0t Π Τ t e jω 0t Π Τ t Π Τ (t) 2 sin ωt ω Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της ολίσθησης στη συχνότητα, έχουμε: x t sin ω ω 0 T ω ω 0 + sin ω + ω 0 T (ω + ω 0 ) 14

15 Άσκηση 7 (συνέχεια) Ο M αποτελείται από δύο συναρτήσεις δειγματοληψίας, τοποθετημένες στις συχνότητες ω 0 και ω 0. Παρατηρείται διάχυση του φάσματος του σήματος σε συχνότητες εκατέρωθεν της συχνότητας ±ω 0 του συνημιτόνου. Το φαινόμενο αυτό είναι ανεπιθύμητο, ειδικά στην περίπτωση που θέλουμε να εντοπίσουμε την ακριβή θέση της συχνότητας περισσοτέρων του ενός συνημιτόνων. Η διαπίστωση ότι η παραθύρωση προκαλεί παραμόρφωση στο φάσμα είναι πολύ σημαντική επειδή η παραθύρωση είναι μία συχνά χρησιμοποιούμενη διαδικασία στην επεξεργασία των σημάτων, προκειμένου να λάβουμε και να επεξεργαστούμε τμήματα των σημάτων. Η ελαχιστοποίηση της επίδρασης του παραθύρου επιτυγχάνεται με αύξηση της διάρκειας Τ του παραθύρου, επειδή αυτό οδηγεί στη μείωση της διάρκειας των λοβών της συνάρτησης δειγματοληψίας. 15

16 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (3/10) 4. Αλλαγή Κλίμακας στο Χρόνο Αν x t X ω τότε για κάθε πραγματικό αριθμό α (α 0), ισχύει: 1 x at a X ω a 5. Αλλαγή Κλίμακας στη Συχνότητα Αν x t X ω, τότε για κάθε πραγματικό αριθμό α (α 0), ισχύει: 1 a x t X(aω) a Το σπουδαίο συμπέρασμα των παραπάνω δύο ιδιοτήτων είναι ότι η αλλαγή της κλίμακας του χρόνου επηρεάζει αντιστρόφως ανάλογα την έκταση του μετασχηματισμού ourier. Έτσι μπορούμε να «στενεύουμε» ή να «πλατύνουμε» το φάσμα του σήματος με διεύρυνση ή στένευση του χρόνου αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας την κατάλληλη κλίμακα. 16

17 Απεικόνιση της αλλαγής κλίμακας στο χρόνο και στη συχνότητα Αν α > 1, το σήμα μεταβάλλεται πιο γρήγορα στο χρόνο, γεγονός που αντιστοιχεί σε υψηλότερες συχνότητες στο πεδίο συχνοτήτων, άρα, το φάσμα του διαστέλλεται (σχήμα β). Αντίθετα, όταν 0 < α < 1, το σήμα μεταβάλλεται πιο αργά στο χρόνο, γεγονός που αντιστοιχεί σε σήμα χαμηλής συχνότητας, άρα το φάσμα του συμπιέζεται (σχήμα γ). 17

18 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (4/10) 6. Ανάκλαση Αν στην ιδιότητα αλλαγής κλίμακας στο χρόνο θέσουμε α = 1, προκύπτει η ιδιότητα της ανάκλασης: x t X( ω) 7. Συζυγία Αν x t X ω τότε ισχύει: x t X ω και x t X ω 18

19 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (5/10) 8. Συμμετρία (δυϊσμός) Αν x t X ω τότε το σήμα y(t) = X(t) έχει M: Y(ω) = 2πx ω Επεξήγηση: Αν ο M της x(t) είναι η Χ(ω), τότε ο M μίας συνάρτησης X(t) είναι η 2πx( ω). Ο συμβολισμός X(t) σημαίνει ότι δημιουργούμε μία συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή t, η οποία έχει όμως τη μορφή και τη μαθηματική έκφραση της X(ω). Επίσης 2πx( ω) σημαίνει ότι έχουμε μία συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή ω (για την ακρίβεια ω), η οποία έχει όμως τη μορφή της x(t). 19

20 Άσκηση 8 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourier της συνάρτησης x t = 1 Απάντηση: Γνωρίζουμε ότι δ t 1. Κάνοντας χρήση της ιδιότητας του δυϊσμού, βρίσκουμε ότι ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x t = 1 είναι: Χ ω = 2π δ ω = 2π δ ω 20

21 Άσκηση 9 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x(t) = e jαt Απάντηση: Α τρόπος - Από την εξίσωση ορισμού του M βρίσκουμε: X(ω) = x t e jωt dt = e jαt e jωt dt = e j α ω t dt = 2π δ ω α Β τρόπος Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της ολίσθησης στη συχνότητα, δηλ. e jω 0t x t προηγούμενης άσκησης. = X ω ω 0 και το αποτέλεσμα {1} = 2π δ(ω) της Ορίζοντας τη συνάρτηση y t = 1 x t = e jαt 1 θα έχουμε: Y(ω) = e jαt 1 = 1 ω ω α = 2π δ ω α Καταλήγουμε έτσι στο ίδιο αποτέλεσμα που προέκυψε από την τετριμμένη μέθοδο υπολογισμού. Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία μπορούμε να αποδείξουμε ότι {e jαt } = 2π δ(ω + α). 21

22 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (6/10) 9. Παραγώγιση Αν x t X ω και ο M της παραγώγου d n x(t)/dt n υπάρχει, τότε αυτός υπολογίζεται από τη σχέση: dx t dt jωx ω ή γενικότερα: d n x t dt n jω n X(ω) και για το πεδίο συχνοτήτων: jt k x t d k X ω dω k 22

23 Άσκηση 10 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourier της συνάρτησης μοναδιαίου τριγωνικού παλμού διάρκειας 2Τ, που δίνεται από τη σχέση: Λ Τ (t) = 1 t Τ, t < Τ 0, t > Τ Απάντηση: Η συνάρτηση μοναδιαίου τριγωνικού παλμού μπορεί να γραφεί ως άθροισμα συναρτήσεων μοναδιαίας κλίσης (ράμπας), σύμφωνα με τη σχέση: Λ Τ (t) = 1 T [r(t + T) 2r(t) + r(t T)] Υπολογίζουμε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της παραπάνω συνάρτησης: Λ Τ t = 1 T u t + T 2u t + u t T Λ Τ t = 1 T δ t + T 2δ t + δ t T 23

24 Άσκηση 10 (συνέχεια) Ο ζητούμενος μετασχηματισμός ourier της Λ Τ t μπορεί να υπολογιστεί με χρήση της ιδιότητας της παραγώγισης, δηλαδή: Λ Τ t = 1 jω 2 Λ Τ t = 1 1 jω 2 T δ t + T 2δ t + δ t T = 1 ωt ω 2 Τ (2 ejωτ e jωτ ) = = 4 sin2 2 ω 2 Τ Θυμίζουμε ότι ο μετασχηματισμός ourier του μοναδιαίου τετραγωνικού παλμού διάρκειας 2Τ είναι: Π Τ t 2 sin ωt ω 24

25 Άσκηση 10 (συνέχεια) Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι μετασχηματισμοί ourier του τετραγωνικού και του τριγωνικού παλμού (παραθύρου). Φασματική αναπαράσταση τετραγωνικού και τριγωνικού παραθύρου Στην περίπτωση του τριγωνικού παλμού, ο κεντρικός λοβός είναι μεγαλύτερου πλάτους ενώ οι δευτερεύοντες λοβοί είναι μικρότερου πλάτους. 25

26 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (7/10) 10. Ολοκλήρωση Αν x t X ω τότε: x τ dτ 1 jω Χ ω + π X 0 δ ω 11. Συνέλιξη Σύμφωνα με αυτή, ο M της συνέλιξης δύο ΓΧΑ σημάτων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους M των σημάτων. Συγκεκριμένα, αν x 1 t X 1 ω και x 1 t X 1 ω, τότε: x t = x 1 t x 2 t X 1 ω X 2 ω 26

27 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (8/10) Σε ένα ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(t), το οποίο διεγείρεται από είσοδο x(t), η έξοδος y(t) δίνεται από το ολοκλήρωμα της συνέλιξης: Αν x t X ω και h t y(t) = h(t) x(t) = x τ h t τ dτ H ω, τότε από την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε: y t = h t x t Y(ω) = Η(ω) Χ(ω) Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε το φάσμα της απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος όταν γνωρίζουμε το φάσμα του σήματος εισόδου X(ω) και το φάσμα H(ω) της κρουστικής απόκρισης h(t) του συστήματος. Επομένως, η υπολογιστικά δύσκολη σχέση της συνέλιξης μετασχηματιζόμενη κατά ourier καταλήγει σε ένα απλό γινόμενο συναρτήσεων. Επιπλέον, η ιδιότητα αυτή είναι σημαντική επειδή αποτελεί τη βάση για το σχεδιασμό ΓΧΑ συστημάτων στο πεδίο συχνοτήτων (αναλογικά φίλτρα). 27

28 Άσκηση 11 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός ourier της μοναδιαίας συνάρτησης u(t). Απάντηση: H συνάρτηση u(t) γράφεται ως: Γνωρίζουμε ότι δ t u(t) = t δ t dt 1. Κάνοντας χρήση της ιδιότητας της ολοκλήρωσης, βρίσκουμε ότι ο μετασχηματισμός ourier του μοναδιαίου βήματος είναι: u t 1 U(ω) = + πδ ω jω 28

29 Άσκηση 12 Να αποδειχθεί η ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού ourier. Απάντηση: Η συνέλιξη δύο γραμμικών και χρονικά αμετάβλητων (ΓΧΑ) σημάτων δίνεται από τη σχέση: x 1 (t) x 2 (t) = x 1 τ x 2 t τ dτ Στην παραπάνω σχέση κάνοντας χρήση του ορισμού του Μ, έχουμε: X(ω) = x t e jωt dt = x 1 τ x 2 t τ dτ = x 1 t x 2 t e jωt dt = = x 1 t x 2 t τ e jωt dt = x 1 t Χ 2 ω e jωτ dτ = X 2 ω = X 2 (ω) X 1 (ω) e jωt dt = dτ = x 1 τ e jωτ dτ 29

30 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (9/10) 12. Πολλαπλασιασμός Ανάλογη ιδιότητα ισχύει και προς την αντίστροφη κατεύθυνση, δηλαδή για τη συνέλιξη των M X(ω) και Y(ω) των σημάτων x(t) και y(t). Συγκεκριμένα, αν x t X ω και y t Y ω και Z(ω) = X(ω) Y(ω), τότε ισχύει: x t y t 1 2π X ω Y ω 30

31 Άσκηση 13 Να αποδειχθεί η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού του μετασχηματισμού ourier. Απάντηση: Από τον ορισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού ourier, έχουμε: X(ω) = 1/2π Χ 1 ω X 2 ω e jωt dω = 1/2π Χ 1 λ X 2 ω λ dλ e jωt dω θέτουμε ω λ = ρ και αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης, οπότε έχουμε: X ω = 1 2π Χ 1 λ X 2 ρ e j λ+ρ t dρ dλ = = 1 2π Χ 1 λ e jλt X 2 ρ e jρt dρ dλ = = 2π 1 2π X 1 ω e jωt dω 1 2π X 2 ω e jωt dω = 2π x 1 t x 2 (t) 31

32 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier (10/10) 13. Άρτιο/Περιττό Μέρος Σήματος - Πραγματικό/Φανταστικό Μέρος Φάσματος Είναι γνωστό ότι κάθε σήμα x(t) μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός άρτιου x e t και ενός περιττού σήματος x o t. Αν x t X ω τότε ισχύει: x e t x ο t Re X ω j Im X ω Όπου η συνάρτηση Re επιστρέφει το πραγματικό μέρος της μιγαδικής συνάρτησης Χ ω και η συνάρτηση Im{ } το φανταστικό. 32

33 Άσκηση 14 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός ourier του σήματος x(t) = e a t, όπου a > 0. Απάντηση: Θεωρούμε αρχικά το σήμα g(t) = e at u(t). Ο M αυτού δίνεται από τη σχέση: G(ω) = e at u t e jωt dt = e at e jωt dt 0 = 1 a + jω Το σήμα g(t) αναλύεται σε άθροισμα άρτιας και περιττής συνιστώσας, δηλ. g(t) = g e t + g 0 t. Η άρτια συνιστώσα g e t είναι g e t και ισχύει x t = 2 g e t. = g t +g t 2 = e a t 2 Ο M του g e (t) βρίσκεται από την τελευταία ιδιότητα του M, δηλ. g e t = R e G ω. Άρα: G e (ω) = R e [G(ω)] = a a 2 + ω 2 Τέλος, κάνοντας χρήση της ιδιότητας της γραμμικότητας του M, βρίσκουμε: X ω = 2 G e (ω) = 2 a a 2 + ω 2 33

34 Σύνοψη Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού ourier (1/2) Ιδιότητα Πεδίο του χρόνου Πεδίο συχνοτήτων Γραμμικότητα a 1 x 1 t + a 2 x 2 (t) a 1 X 1 ω + a 2 Χ 2 ω Ολίσθηση στο χρόνο x t t 0 e jωt 0X(ω) Ολίσθηση στη συχνότητα e jωt 0x(t) Χ(ω ω 0 ) Συμμετρία. Αν t y t = X(t) Y ω = 2πx ω X ω Πολλαπλασιασμός 1 x 1 t x 2 (t) (Διαμόρφωση) 2π [X 1 ω Χ 2 ω ] Συνέλιξη x 1 t x 2 (t) X 1 ω X 2 ω 1 Αλλαγή κλίμακας x at a X ω a Ανάκλαση x t X ω 34

35 Σύνοψη Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού ourier (2/2) Ιδιότητα Πεδίο του χρόνου Πεδίο συχνοτήτων Ολοκλήρωση x τ dτ 1 jω Χ ω + πx ω δ(ω) Παραγώγιση στο χρόνο dx t dt jωx ω Παραγώγιση στη dx ω t x t συχνότητα dω Άρτιο μέρος σήματος Πραγματικό μέρος φάσματος x e t = 1 2 [x t + x t ] Re{X ω } Περιττό μέρος σήματος Φανταστικό μέρος φάσματος x o t = 1 2 [x t x t ] jim{x ω } Συζυγία στο χρόνο x (t) X ω Συζυγία στη συχνότητα x ( t) X ω 35

36 2. Θεώρημα Parseval 36

37 Θεώρημα Parseval (1/2) Το θεώρημα εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας στο πεδίο των συχνοτήτων: x t 2 dt = 1 2 π X ω 2 dω Η ολική ενέργεια ενός σήματος μπορεί να υπολογιστεί ισοδύναμα είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο της συχνότητας. Στο πεδίο του χρόνου υπολογίζουμε την ενέργεια ανά μονάδα χρονικού διαστήματος x t 2 και στη συνέχεια ολοκληρώνουμε για όλη τη διάρκεια του σήματος. Στο πεδίο της συχνότητας υπολογίζουμε την ενέργεια ανά μονάδα κυκλικής συχνότητας X ω 2 /2π και κατόπιν ολοκληρώνουμε για όλες τις συχνότητες. 37

38 Θεώρημα Parseval (2/2) Η συνάρτηση S x (ω) = X ω 2 ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας (energy density spectrum) του σήματος x(t) και εκφράζει την ενέργεια ανά εύρος ζώνης ενός rad του σήματος για διάφορες συχνότητες. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ενέργεια που συνεισφέρουν οι συχνότητες από f 1 έως f 2 αρκεί να ολοκληρώσουμε την X ω 2 μεταξύ αυτών των δύο συχνοτήτων, δηλαδή: Ε 12 = 1 2π f 1 f 2 X ω 2 dω 38

39 3. Φαινόμενο Gibbs 39

40 Φαινόμενο Gibbs Φαινόμενο Gibbs: Αν η συνάρτηση x(t) που επεκτείνουμε (με σειρά ή μετ/σμό ourier) παρουσιάζει ασυνέχειες, τότε στο ανάπτυγμα εμφανίζονται κυματισμοί, το πλάτος των οποίων κορυφώνεται στα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης. Οφείλεται στο γεγονός ότι σε κάθε χρονική στιγμή t το ανάπτυγμα ourier συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης x(t) εκτός από τα σημεία ασυνέχειας, στα οποία συγκλίνει στον μέσο όρο των τιμών της συνάρτησης στις δύο πλευρές της ασυνέχειας. Καθώς η μεταβλητή t τείνει προς τις θέσεις της ασυνέχειας, το πλήθος Ν των όρων του αναπτύγματος πρέπει να αυξάνεται, έτσι ώστε το σφάλμα προσέγγισης να είναι μικρότερο από κάποιο όριο. Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των ταλαντώσεων θα αυξάνει, όμως το μέγιστο πλάτος των ταλαντώσεων θα παραμένει σταθερό και περίπου ίσο με 18%. 40

41 Άσκηση 15 Να υπολογιστεί η τριγωνομετρική σειρά ourier (μορφή Α ) της περιοδικής παλμοσειράς: x(t) = 1, Τ 0 2 < t < 0 1, 0 < t < Τ 0 2 και x(t) = x t + T 0 Απάντηση: Η γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης x(t) είναι: 41

42 Άσκηση 15 (συνέχεια) Οι συντελεστές a 0, a n, b n που περιγράφουν την Α τριγωνομετρικής μορφή, είναι: T 0 /2 T 0 /2 a 0 = 1 T 0 x t dt = 1 T 0 1 dt + 1 dt T 0 /2 0 T 0 /2 0 = 1 T 0 T T 0 2 = 0 a n = 2 T 0 T 0 /2 T 0 /2 x t cos nω 0 t dt 0 T 0 /2 = 2 Τ 0 1 cos nω 0 t dt + 1 cos nω 0 t dt T 0 /2 = 2 Τ 0 1 nω 0 sin nω 0 t 0 0 T 0 /2 + 1 sin nω nω 0 t T 0/2 0 0 = 0 42

43 Άσκηση 15 (συνέχεια) b n = 2 T 0 T 0 /2 T 0 /2 x t sin nω 0 t dt 0 T 0 /2 = 2 Τ 0 1 sin nω 0 t dt + 1 sin nω 0 t dt T 0 /2 = 2 nω 0 Τ 0 = cos nω 0 t 0, n αρτιος 4, nπ n περιττός 0 0 T 0 /2 cos nω 0t T 0/2 0 = 2 (1 cos (nπ) ) nπ Επομένως, το ανάπτυγμα σε σειρά ourier της x(t) είναι: x t = 4 π sin nω 0t sin 3nω 0t sin 5nω 0t + 43

44 Στο σχήμα δίνονται διαδοχικοί υπολογισμοί του αναπτύγματος της x(t) για Ν = 1, 5, 11, 31 πρώτων αρμονικών Άσκηση 16 (συνέχεια) Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση βελτιώνεται καθώς αυξάνεται το Ν. Οι ταλαντώσεις (αναλλοίωτου πλάτους) παραμένουν στα σημεία ασυνέχειας n T 0 2, n = ±1, ±2, ως αποτέλεσμα του φαινομένου Gibbs. Αυτές θα πάψουν να εμφανίζονται όταν το Ν πάρει την τιμή άπειρο. 44

45 4. Μετασχηματισμοί ourier Βασικών Συναρτήσεων 45

46 Μετασχηματισμοί ourier Βασικών Συναρτήσεων Πεδίο του χρόνου Πεδίο συχνοτήτων δ t 1 1 2π δ ω A u t 2πA δ(ω) 1 jω + πδ(ω) δ t t 0 e jωt 0 e jω 0t 2π δ ω ω 0 cos(ω 0 t) π δ ω ω 0 + δ ω + ω 0 sin(ω 0 t) πj δ ω ω 0 δ ω + ω 0 46

47 Μετασχηματισμοί ourier Βασικών Συναρτήσεων Π Τ t = Πεδίο του χρόνου 1, t < T 0, t > T sin ω 0 t πt e at u t, Re a > 0 t e at u t, Re a > 0 t n 1 n 1! e at u t, Re a > 0 k= a k e jkω 0t Πεδίο συχνοτήτων 2 sin ωt ω 1, ω < ω 0 0, ω > ω 0 1 α + jω 1 α + jω 2 1 α + jω n 2π a k δ(ω kω 0 ) k= 47

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήματος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήματος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά ourir ενός περιοδικού αναλογικού σήματος. Ορίσουμε το μετασχηματισμό ourir ενός μη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες.

1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. . Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. co( y co( co( y i( i( y i( y i( co( y co( i( y ± m (. ± ± (. π m (. 3 co ± i( i ± π ± co( (. co( co ( i ( (. 5 i( i( co( (. 6 j j co( + (. 7 j j j i ( (. 8 ( ( y ( y + ( +

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt = Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκν : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3η Σειρά Ασκήσεν 03/05/0 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 1: Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μέρος 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου 2 Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Κατηγορίες Σημάτων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier (Συνέχεια) Παραδείγματα Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Χρονική κλιμάκση j xt () X( j) xat ( ) X( ) a a xate ( ) τ=at

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 7: Μετατροπή Σήματος από Αναλογική Μορφή σε Ψηφιακή Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Είδη Δειγματοληψίας: Ιδανική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Η Κρουστική Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Ιδιότητες της Συνέλιξης Η συνέλιξη μετατοπισμένων σημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Ενότητα 0: Εισαγωγή στο µάθηµα 2 Διαδικαστικά Παράδοση: Παρασκευή 16:00-18:30 Διδάσκων: E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Στη πράξη πολλές φορές χρειάζεται να προσδιορίσουμε την έξοδο ενός συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από ένα σήμα. Στο προηγούμενο κεφάλαιο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Aνάλυση Σήματος 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) 2η Γραπτή Εργασία

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) 2η Γραπτή Εργασία Θ.Ε. ΠΛΗ 0-3 η Γραπτή Εργασία Στόχος: Η η ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ εργασία αποσκοπεί στην κατανόηση των συστατικών στοιχείων των αναλογικών διαμορφώσεων, της δειγματοληψίας, και της μετατροπής του αναλογικού σήματος

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 12: Βασικές Αρχές και Έννοιες Ψηφιακών Επικοινωνιών Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Παράγοντες που επηρεάζουν τη σχεδίαση τηλεπικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier 2 Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 5: Διαμόρφωση Πλάτους (1/2) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Ορισμοί Είδη Διαμόρφωσης Διαμόρφωση Διπλής Πλευρικής Ζώνης (DSB) Κανονική (συνήθης)

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #4 Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόκριση Συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν Απόκριση συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν που περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις Η ιδιότητα πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM / x X x X x X x 3 x DFT X 3 X x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 / DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) 2η Γραπτή Εργασία

Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) 2η Γραπτή Εργασία Θ.Ε. ΠΛΗ22 (2012-13) 2η Γραπτή Εργασία Στόχος: Η 2 η εργασία αποσκοπεί στην κατανόηση των συστατικών στοιχείων των αναλογικών διαμορφώσεων, της δειγματοληψίας, και της μετατροπής του αναλογικού σήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt

x(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Εστω το σήµα xt

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα: ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές.

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Πίεση P() Σήµα εικόνας y I

Διαβάστε περισσότερα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα -Μαρτ-9 ΗΜΥ 49. Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Είδη παραθύρων Bartlett τριγωνικό: n, n Blacman: πn 4πn.4.5cos +.8cos, n < . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 3 Hamming:

Διαβάστε περισσότερα