Алынған шамалар бірдей өлшем бірлікте болуы шарт.

Transcript

1 «Қозғалыс» есептері Мұндай түрдегі есептердің негізгі компоненттері: жүрілген жол-, жылдамдық v, уақыт t. Олардың арасындағы байланыс формулалары: vt, v, t t. v Шешу əдісі: а)есеп шартындағы белгісіз шаманы х арқылы белгілейміз; б)екінші белгілі шама жəне х қолданып үшінші шаманы анықтаймыз; в)осы белгісіздерді қолданып теңдеу құрамыз.. Судағы қозғалыс есептерінде төмендегіні ескереміз : v v v а, бе а. ксы мен, v v v мен, мен, а, бге, v v ас v, ас, а, ксы, Алынған шамалар бірдей өлшем бірлікте болуы шарт.. А пунктінен В пунктіне жаяу адам шығады, олардың арақашықтығы 8 км. Екі сағаттан соң, жаяудан сағатына 4,5км артық жылдамдықпен А пунктінен велосипедші шығады. Егер велосипедші В пунктіне жаяумен бірдей келсе, велосипедшінің жылдамдығын табыңыздар. Х-деп велосипедшінің қозғалыс жылдамдығын белгілейік. Онда оның 8 қозғалыс уақыты тең; ал жаяудың қозғалыс уақыты тең Теңдеу құрамыз: ; х9 км/сағ. Жауабы: 9 км/сағ.. Қайықшы 6 км жолды ағысқа қарсыдан қарағанда, ағыспен 6сағ. тез жүзеді. Қайықшының тынық судағы жылдамдығы ағыс жылдамдығынан км/сағ артық. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын жəне ағыс жылдамдығын табыңыздар. х-қайықтың тынық судағы жылдамдығы, у ағыс жылдамдығы, онда

2 ху қайықтың ағыспен жылдамдығы, х-у қайықтың ағысқа қарсы жылдамдығы. -y; 6 6 y y 6 х5 км/сағ; у км/сағ. Жауабы: 5 км/сағ, км/сағ.. Моторлы қайық 8км жолды ағыспен жəне 5км жолды ағысқа қарсы жүзгенде қанша уақыт кетсе, 54км тынық суда жүзгенге сонша уақыт кетеді. Егер ағыс жылдамдығы км/сағ болса, маторлы қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңыздар. X- маторлы қайықтың тынық судағы жылдамдығы ; 8( ) 5( ) 54( ( 4) 4) ; ; D900; км/сағ. Жауабы: км/сағ. 4. Теплоход 7км жолды белгілі бір жылдамдықпен жүруі керек еді. Бірақ ол жолдың бірінші жартысын белгіленген жылдамдықтан км/сағ артық жылдамдықпен, екінші жартысын км/сағ кем жылдамдықпен жүрді. Барлық жолға 5с уақыт кетті. Белгіленген уақыттан теплоход қанша уақыт кешікті. жоспар бойынша белгіленген жылдамдық. Жылдамдық өзгеруіне байланысты теңдеу құрайық: 6 6 5; 5км/сағ, яғни, ол жоспар бойынша 7/54,8сағ жүру керек; 5-4,8 0,(сағ) мин. Демек, ол мин кешікті. Жауабы: минут 5. Моторлы қайық өзен ағысымен 40 мин өзен ағысына қарсы сағат жүзгенде 7км жол жүрді. Егер ағыс жылдамдығы,5км/сағ болса, тынық судағы маторлы қайық жылдамдығын табыңыздар. х-маторлы қайықтың тынық судағы жылдамдығы; 40мин/сағ. /(х,5)(х-,5)7. х,5км/сағ

3 Жауабы:,5 км/сағ. 6. Жұмысшылар бригадасы жоспар бойынша 60 детал жасау керек еді. Олар күніне жоспардан 4 детал артық жасап, жұмысты жоспардан бір күн бұрын орындады. Бригада жұмысты қанша күнде бітірді. Бригада жоспар бойынша х күнде бітірсін Теңдеу құрамыз: 4 ; 9 күнде Жауабы: 9 күнде. 7. Турист өзен ағысымен 90км жүзген, одан кейін 0км жаяу жүрді. Өзен ағысымен жүзген жолға жаяу жүргендегіден 4сағат көп кетті. Егер турист өзен ағысымен жүзуге кеткен уақытында жаяу жүрсе, ал жаяу жүрген уақытында жүзсе, онда бірдей жол жүреді. Турист қанша уақыт жүзді жəне қанша уақыт жаяу жүрді. жаяу жүрген уақыт, y жүзген уақыт, 0/-жаяудың жылдамдығы, 90/y-жүзгендегі жылдамдық. Теңдеулер жүйесін құрамыз: ух4, у6 0у/х90х/у; х Жауабы: 6,. 8. Шаңғышы 0км жолды белгіленген уақытта жүгіру керек еді. Ол жүгіруді мин. кеш бастағандықтан уақытында келу үшін жылдамдығын км/сағ арттырып, уақытында келді. Шаңғышының соңғы жүгіру жылдамдығын табыңыздар. х шаңғышының соңғы жыл-ғы болсын,онда алғашқы жылдамдық- х ,05 Жауабы: 5 км/сағ. ; 5км/сағ. 9. Қабырғалары м жəне 4м болатын тік төртбұрыш тəріздес клумба, өлшемдері бірдей жолмен қоршалған. Жолдың ауданы клумбаның ауданынан 9 есе артық болса, жолдың өлшемін табыңыз. - жолдың өлшемі, клумб ауданы-8м демек, (4х)(х)-87. хм

4 Жауабы: метр. 0.Вертолеттің жылдамдығы автомобилдің жылдамдығынан 85км/сағ артық, ал олардың жылдамдықтарының қатынасы 5:8. Автомобилдің жəне вертолеттің жылдамдығын табыңыздар.. - автомобилдің жылдамдығы, y- вертолеттің жылдамдығы. y 85 y 5 8 y Жауабы: 90 км/сағ, 75 км/сағ. 90; у75..моторлы қайық 4км жолды ағыспен жəне 9км жолды ағысқа қарсы жүзгенде, барлық жолға 5сағат уақыт кетті. Қайықтың тынық судағы жылдамдығы 5км/сағ болса, судың ағысының жылдамдығын табыңыздар. -өзен ағысының жылдамдығы, ; х. Жауабы: км/сағ.. Катер 75км жолды өзен ағысымен жəне сондай жолды ағысқа қарсы жүзді. Ол осы жолға 80км тынық суды жүзуге кеткен уақыттан екі есе көп уақыт кетірді. Егер судың ағысы 5км/с болса, катердің тынық судағы жылдамдығын табыңыздар. катердің тынық судағы жылдамдығы, ( Жауабы: 0 км/сағ. ) ; х0. Арасы 500км екі қаладан бір мезгілде қарама-қарсы трактор жəне жүк машинасы шықты, олар 4сағаттан кейін кездесті. Егер жүк машинасының жылдамдығы трактордың жылдамдығынан 4 есе артық болса, онда трактордың жылдамдығы қанша? - трактордың жылдамдығы, онда 4х6х500. 0х500; х5. Жауабы : 5 км/сағ. 4

5 4. Поезд 6мин кешікті, жоспар бойынша уақытында болу үшін 0км жолды жылдамдығын 0км/сағ арттырып жүрді. Поездің жоспар бойынша жылдамдығын табыңыздар. -поездің жоспар бойынша жылдамдығы, онда Жауабы: 40км/сағ. 5. Реактивті самолет 0,5 сағатта, моторлы самолеттің сағат ұшқан жолынан 00км жолды артық ұшты. Егер реактивті самолеттің жылдамдығы 5 моторлы самолеттің жылдамдығынан есе көп болса, онда əр самолеттің жылдамдығын табыңыздар. - моторлы самолеттің жылдамдығы, онда реактивті самолеттің жылдамдығы х. Теңдеу құрамыз:,5х-х00; 0,500; х400км/сағ; *40000км/сағ реактивті самолеттің жылдамдығы. Жауабы: 400 км/сағ, 00 км/сағ. 6. C станциясынан D станциясына қарай сағатына жылдамдығы 70км жедел поезд, ал бір сағаттан соң D станциясынан C станциясына қарай сағатына жылдамдығы 45км жүрдек поезд шықты. Егер CD арасы 50км болса, онда D станциясынан қандай қашықтықта олар кезікті? - D станциясынан қашықтық, Жауабы: 80 км ; х80 7. Екі велосипедші бір мезгілде А мен В пункттерінен қарама-қарсы шығып, сағаттан кейін кездесті. А мен В пункттерінің арасы 4км. Бірінші велосипедшінің сағатына жылдамдығы км артық болса, онда екі велосипедшінің жылдамдығын табыңыздар. екінші велосипедшінің жылдамдығы; х бірінші велосипедшінің жылдамдығы; х(х)4. х 9км/сағ, 9км/сағ;. Жауабы: 9км/сағ, км/сағ. 8. Қайықшы А пунктінен 0км қашықтықтағы В пунктіне өзен ағысымен жəне одан А пунктіне қайта қайтып келеді. Қайықшының меншікті

6 жылдамдығы км/сағ болса, онда В пунктінен А қарай жүзгеннен қарағанда, А пунктінен В қарай жүзгенде сағ.0мин уақыт аз кетеді. Егер А пунктінен В қарай сағат уақыт кететін болса, онда қайықшының меншікті жылдамдығын табыңыздар? ағыс жылдамдығы;.5; х. 0 y Қайықшының меншікті жылдамдығы- y болсын, ; у4. Жауабы: 4км/сағ. 9. Катер жолға өзен ағысымен сағат, ал өзен ағысына қарсы 4,5сағат жұмсады. Егер катердің жылдамдығы 5км/сағ болса,онда өзен ағысының жылдамдығы қандай? Егер - өзен ағысының жылдамдығы болса, онда 5х катердің өзен ағысымен жылдамдығы, 5- катердің өзен ағысына қарсы жылдамдығы,s-жол. s 5 s s ,5 5 Жауабы: 5 км/сағ. 0. Катер 96км жолды өзен ағысымен жəне А-дан Б-ға қарсы жүзіп бəріне 4сағат жұмсады. Катер А-дан шыққанда онымен бірдей уақытта салда шықты, катер қайтар жолында салды А-дан 4км қашықтықта кездестірді. Катердің жəне ағыс жылдамдығын табыңыздар. -катердің меншікті жылдамдығы, y- ағыс жылдамдығы, ал салдың жылдамдығы ағыс жылдамдығындай y y Теңдеу құрамыз: 4, y y y Жауабы: 4км/сағ; км/сағ..жеңіл машина екі минут кеш шығып, жүк машинасын 0км аралықта қуып жетті. Егер жеңіл машина жүк машинасына қарағанда сағатына 5км артық жүрсе, онда əр машинаның жылдамдығын табыңыздар. - жүк машина жылдамдығы, ал жеңіл машина жылдамдығы х5.. 6

7 х 5х D Жауабы: 60км/сағ, 75км/сағ.. Темір жол станцияларының арасы 0 км. Бірінші поездің жылдамдығы екіншіге қарағанда сағатына км/сағ артық жəне арақашықтықты екіншіге қарағанда 50 минут тез жүретін болса, онда əр поездің жылдамдығы қандай болатындығын анықтаңдар. х-екінші поезд жылдамдығы; х- бірінші поезд жылдамдығы. 0 ( ) 0 0 біріншінің уақыты, (-) ( ) 5 ( ) 0 6 ( ) D > ± 4, 6; Жауабы: v 48 км/сағ, 0 екіншінің уақыты, теңдеу құрамыз: v 6 км/сағ.. Бірінші пристаннан екінші пристанға қарай км/сағ жылдамдықпен қайық шықты, жарты сағаттан кейін осы бағытта 0км/сағ жылдамдықпен пароход шықты. Пароход қайықтан сағат бұрын келсе, пристанның арасы қанша? 0 60км. t -t сағ, - пристанның арасы, Жауабы: 60 км. 7

8 4. Моторлы қайық өзен ағысына қарсы км жəне өзен ағысымен км жүзді. Өзен ағысына қарсы жүзгенде, өзен ағысымен жүзгеннен бір сағат уақыт көп жұмсады. Маторлы қайықтың тынық судағы жылдамдығы 9км/сағ болса, ағыс жылдамдығын табыңыздар. өзен ағысының жылдамдығы, 9 қайықтың өзен ағысымен жылдамдығы, 9- қайықтың өзен ағысына қарсы жылдамдығы, теңдеу құрамыз: 9 9 (9 9 ) D ± 5, ; 7 Жауабы: км/cағ.. «Біріккен жұмыс» есебі. Бұндай есептердің негізгі компоненттері: жұмыс, уақыт, еңбек өнімділігі. Шешу əдістері: а) əдетте, барлық орындалатын жұмысты -ге тең етіп аламыз; б) еңбек өнімділігі деп, қандайда бір уақыт аралығында істелінген жұмысты айтамыз. Сондықтан, t - əр жұмысшының еңбек өнімділігі, мұндағы t - əр жұмысшының жеке барлық жұмысты істеуге кететін уақыты; в) есептің шарты бойынша барлық жұмысшы барлық жұмысты бірге істесе, онда əр жұмысшының барлық жұмыс бойынша бөліктерін тауып, оларды қосу керек; 8

9 г) кейде есептің шартына байланысты, өнімді еңбекке, кеткен уақытқа байланысты теңдеу құруға болады.. Токарь 0 тетік жону керек еді. Жаңа жонғышты пайдаланып, ол сағатына 4 тетік артық жонып, жоспарды сағ0мин ерте орындады. Жаңа жоңғышты пайдаланып токарь сағатына қанша тетік жонған? Токарь жаңа жонғышты пайдаланып сағатына х тетік жонсын дейік, онда жоспар бойынша сағатына х-4 тетік жонар еді. Ескі жонғышпен кескенде кететін уақыт Теңдеу құрамыз: 4 Жауабы: 6 тетік. ; жаңамен кететін уақыт у ; Жұмысшылар бригадасы 60 тетік жасауы керек еді. Əр күні 4 тетік артық жасай отырып, олар жұмысты жоспардан бір күн бұрын бітірді. Бригада тапсырманы орындауға қанша күн жұмсады? бригада х күнде бітірді десек, жоспар бойынша х күнде бітірер еді Теңдеу құрамыз: 4; 9 күн Жауабы: 9 күн.. Жылқыларға күніне 96кг шөп беретіндей қор бар. Екі жылқыны көрші қожалыққа бергендіктен, оларға күнделікті 4кг шөп қосымша беруге болады. Бастапқыда қанша жылқы болған? бастапқы жылқы саны. Күнделікті əр жылқыға мөлшерленген шөп; бастапқы -, кейінгі - ; Теңдеу құрамыз 4. 8 Жауабы: 8 жылқы га жəне 0га екі егістік алқабынан 700ц астық жиналды. Егер біріншінің га егін алқабынан, екіншінің га егін алқабына жиналса, онда əр алқаптың бір га жерінен қанша астық алынады? қарағанда 0ц астық артық бірінші алқаптың бір га жерінің өнімі, y - екінші алқаптың бір га жерінің өнімі. Теңдеулер жүйесін құрамыз:

10 y 0 y 0 х0 80 0y бірінші теңдеуден; у 40 Жауабы: 0 ц, 40 ц. 5. Токарь үш жұмыс күнінде 08 тетік жасады. Бірінші күні белгіленген жоспар бойынша, екінші күні жоспардан 5% артық, ал үшінші күні екінші күнен 0 тетік артық жасады. Токарь əр күні қанша тетік жасады? бірінші күнгі жасалған тетік, екінші күні жасаған тетік - х0,5х, ал үшінші күні х0,5х0 тетік жасады. Теңдеу құрамыз: хх0,5хх0,5х008;,х98; х60 тетік (бірінші күні) екінші күні 600,5 6069; үшінші күні Жауабы : 60, 69, Орман дайындауда үш бригада жұмыс істеді. Бірінші бригадада барлық жұмысшының 6%, ал екінші бригадада біріншіге қарағанда 7 жұмысшы артық, үшінші бригадада 4 жұмысшы болды. Үш бригадада қанша жұмысшы болды? үш бригададағы жұмысшы саны, онда бірінші бригадада жұмысшы саны 0,6х, ал -шіде 0,6х7, -шіде -4;Теңдеу құрамыз: 0,6х0,6х74х; 0,8х96; х700. Жауабы : 700 жұмысшы. 7. Екі қапта барлығы 40кг ұн бар. Егер бірінші қаптан,5% ұнды екінші қапқа салса, онда екі қаптағы ұн бірдей болады. Əр қапта қанша ұн бар.? бірінші қаптағы ұн, y- екінші қаптағы ұн. Теңдеу құрамыз: y y 40 y 40 y 60 y

11 Жауабы: 80 кг,60 кг. 8. Бірінші трактор екіншіге қарағанда егістікті бір күн бұрын жыртып бітірер еді. Бірақ екі трактор бірігіп екі күн жəне екінші трактор 0,5 күн жер жыртты. Əр трактор жерді жекелей қанша күн жыртар еді? Барлық жұмысты -ге теңеп аламыз. Бірінші трактор егісті -х күнде, екінші трактор егісті -у күнде жыртады дейік. Теңдеулер жүйесін құрамыз: y y y y Теңдеулерді шешіп, Виет теоремасы арқылы х4; х-0,5 табамыз. Екінші шешім теріс болғандықтан алмаймыз, у5 Жауабы: 4күн, 5 күн. 9. Екі труба арқылы бассейн 6сағатта толады. Бассейнді жеке толтырса, бірінші труба екіншіге қарағанда 5сағат тез толтырады. Егер əр труба жекелей толтырса бассейн неше сағатта толар еді? Бірінші сағатта, екінші y сағатта, сонда бірінші труба сағатта - /х л су толтырады, екінші - /у су толтырады, Теңдеулер жүйесін құрамыз: 6 6 y 5 y. y 5 х 0 Жауабы: 0сағ, 5сағ. 0. Үш бригада істеген жұмыстарына 6мың тенге алды. Бірінші жəне үшінші бригада бірігіп, екінші бригадаға қарағанда екі есе көп жұмыс істеді. Екінші жəне үшінші бригада бірігіп, біріншіден есе артық жұмыс істеді. Əр бригада қанша тенге алды? Бірінші бригада мың тенге алсын, екінші y мың тенге алсын, сонда үшінші 6-х-у мың тенге алады. (6 y) y Теңдеу құрамыз: y (6 y) х9 мың теңге; у мың теңге; z5 мың теңге.

12 Жауабы: 9 мың., мың, 5 мың.. Көтергіш екі кран, бірге 6сағат баржаға жүк тиеді. Егер əрқайсысы жеке тиесе, онда біреуі екіншісінен 5сағат тез тиер еді? t, t 5 ( ) 6 5 барлық жұмыс бірге теңеп алынды. 7 0 ( 5) 0 Жауабы: 0сағ, 5 сағ.. Бұйымды өңдеу үшін бір жұмысшы екіншіге қарағанда мин уақыт аз жұмсайды. Егер 4 сағатта бірінші жұмысшы екіншіге қарағанда 8 бұйым артық жасаса, олардың əрқайсысы қанша бұйым өңдеген? біріншінің 4сағаттағы бұйымы;бір бұйымға кеткен уақыт. - 4/х, ал екіншінің бір бұйымға кеткен уақыты 4/(х-8). Теңдеу құрамыз: 4 4 ; 8 60 х -8х-900 Жауабы: 48 бұйым, 40бұйым.. Бірінші картоп егілген жердің ауданы, екінші картоп егілген жердің ауданынан га артық. Біріншіден 748т картоп, ал екіншіден 70т картоп жиналып алынды. Егер екінші жердің əр гектарынан біріншіге қарағанда 4т картоп артық алатын болса, онда əр жердің бір гектарынан қанша картоп алынған? х(т) бірінші жердің бір га--сынан алынған картоп, онда екіншіденх4(т) болады. Теңдеу құрамыз: ; 4 х -0х-4960; х, 5 ± ± 9 Жауабы: 44 тонна, 48 тонна.

13 4. Бірінші кооператив 500ц бидай жинады, ал екіншісі одан ауданы 0га аз жерден 600ц бидай жинады. Егер екіншісі əр гектардан біріншіге қарағанда 5ц артық бидай жинаса, онда бірінші кооператив əр гектардан қанша бидай жинаған? Бірінші кооператив əр га-дан х- ц, онда -ші кооператив əр га-дан х ц бидай жинасын. Теңдеу құрамыз: 0 ; х 0х-750; 5 х-5 ± ± 0 Жауабы: 5 ц. 5. Бірінші жұмсышы белгіленген жұмысты 6 сағатта, екіншісі 5 сағатта, ал үшіншісі 4 сағатта бітірер еді. Барлығы бірігіп 740 тетік жасады. Əрқайсысы қанша тетік жасаған? 0 5 Əрқайсысының жұмыс өнімділігінің қатынасы: : : : : 0 : : 5, ендеше, 740 *0 00 ; )0*40; ) 0* Жауабы: 00, 40, Гаражда 54 шофер жұмыс істейді. Гараждағы 60 машинаның күнделікті 5%-і кəсіби жөндеуден өтетін болса, шоферлар бір айда қанша күн бос болады(бір айда 0 күн)? ) 60 0,55, яғни 45 машина күнделікті жұмыста, ) 9 шофер күнделікті жұмыста болмайды, ) 9*0 70 барлық демалыс күн, 4) 70:545 əр шоферға келетін күн. Жауабы: 5 күн. 7. Екі жұмысшы бір сменада 7 тетік жасауы керек еді. Бірінші жұмысшы еңбек өнімділігін 5%-ке, ал екіншісі 5%-ке арттырды жəне бір сменде екеуі 86 тетік жасайтын болды. Еңбек өнімділігін көбейткеннен кейін əр жұмысшы қанша тетік жасаған?

14 Шешуі х - бірінші жұмысшының жоспар бойынша жасайтын тетігі, у - екінші жұмысшының жоспар бойынша жасайтын тетігі. y 7 Теңдеулер жүйесін құрамыз:.5х.5y 86 Жауабы: 46 тетік, 40 тетік. 8. Көшет егумен екі бригада айланысты. Бірінші бригада екіншіге қарағанда күніне 40 көшет артық егіп, барлығы 70 көшет отырғызды.екінші бригада бірінші бригадаға қарағанда екі күн артық істеп 50 көшет екті. Əр бригада қанша күн жұмыс істеді? х -ші бригаданың жұмыс күні, у -ің күні Жүйе құрамыз: y y Жауабы: күн, 5күн. 9. Қожалық бір күнде 40га жерге егін егуі керек. Қожалық жоспарлағаннан күніне 0% артық егіп, жоспарды екі күн бұрын орындады əрі 4га жерді жоспардан тыс екті. Қожалық қанша га жерге егін екті? жоспар бойынша- га жер дейік, онда /40 күн болады. Егін себілген жер (х4) га, яғни күніне,*405га, демек (х4)/5 күн екті. Теңдеу құрамыз: Жауабы: 64 га. 0. Заводқа қысқа мерзімде 8000 тетік жасау тапсырылды. Жоспар бойынша жұмыс істеп 5%-ін даярлағанан кейін, күнделіктіге қоса 00 тетік артық жасайтын болды, сондықтан жоспардан екі күн бұрын орындады. Тетіктерді жасау үшін заводқа қанша күн кажет? жоспар бойынша тетік саны, онда 8000/ күн қажет. 0,5* алғашқы жасалған тетік, 000/ күн, қалған күнде жасаған тетікке кеткен 6000/(х00) күн, теңдеу құрамыз:. 000/6000/(х00)8000/). х :5006, 6-4 Жауабы: 4 күн. 4

15 .Екі оқушы белгіленген уақытта 0 болттан даярлау керек еді. Олардың біреуі жоспардағыдан əр сағат сайын болттан артық жасап, 5сағат бұрын болды. Əрбір оқушы бір сағатта қанша болттан даярлаған? екінші оқушының бір сағатта жасаған болты, оған кеткен уақыт- 0/ сағат. Теңдеу құрамыз: 0/-0/()5; Жауабы: 6 болт, 8 болт.. Өңдеуші жəне оқушы бір сменада 65 тетік даярлау керек еді. Олар еңбек өнімділігін өңдеуші 0%, оқушы 0% жоспардағыдан арттырды, сондықтан бір сменада 74 тетік жасады. Жоспар бойынша өңдеуші жəне оқушы əрқайсысы қанша тетік жасау керек еді? өңдеуші жоспар бойынша-х, оқушы-у тетік жасасын. y 65 Теңдеу құрамыз:,,y 74 Жауабы: 40тетік, 5 тетік.. Шөп шапқыш машинасының жұмыс өнімділігі шөп шапқыштар бригадасынан бес есе артық. Егер машина жəне бригада жұмысты бірлесіп істесе керекті шөпті күнде даярлайды. Керекті шөпті даярлау үшін бригаданың өзіне ғана қанша күн қажет болар еді? Бригада күнде, оның жұмыс өнімділігі - /, машинаның жұмыс 5 өнімділігі 5/. Бір күнде бірге ( ) шөп бөлігі, күнде: 5 Теңдеу құрамыз: ( )*. Жауабы: 8 күн.. Процентке берілген есептер. Есептің шартына байланысты теңдеу (немесе теңдеу жүйесі) құрылады. Процентті санның сəйкес бөліктерімен алмастырады.. Фотоаппараттың бағасын екі рет бірдей процентке түсірген кейін оның құны 00 тенгеден 9 тенгеге түсті. Фотоаппарат бағасы қанша прцентке түсірілген? 5

16 y%-əрбір ретте түсірілген процент; %00%-y%; 009; 9 0.8; y00%-80%0% 00 Жауабы: 0%. Жыл басында майдың құны 80 тенге еді, бір жылдан кейін оның құны 60 тенге болды.майдың құны қанша процентке өсті? 80 00% Жауабы: 50% 60 х% х6000/80450% 450%-00%50%. Жұмысшы еңбегінің % жұмсағанда 70 тенге ақшасы қалды. Жұмысшы қанша еңбек алады? 89% % - х х8000 Жауабы: 8000 тенге х жұмысшының еңбек ақысы 4. Заттың бағасын бірінші рет 0%, одан кейінгі бағасын тағы 5% түсірді. Алғашқы баға қанша процентке түсірілді? х алғашқы бағасы дейік, сонда 0,8х біріші арзандағаннан кейінгі баға, 0,8х-0,5 0,8х 0,6х екінші арзандағаннан кейінгі баға, х-0,6х 0,4х жаңа баға. Жауабы: 40% 5. Кітапханада ағылшынша, французша жəне немісше тілде кітаптар бар. Ағылшынша кітаптар барлық кітаптың 40%-і, французша кітап ағылшынша кітаптың 75%-і, ал қалған 0 кітап немісше. Кітапханада барлығы қанша шетелдің кітаптары бар? х барлық кітапханадағы кітап саны болсын, онда ағылшынша- 0,4х; французша- 0,75*0,4х0,х; немісше- 0. 6

17 Теңдеу құрамыз: 0,4х0,х0х; 0х-0,7х; 00,х; х0/0,700 Жауабы: 700 кітап. 6. Электропоезд А станциясынан В станциясына қарай бет алды.450км, яғни барлық жолдың 75%-ін жүріп өткеннен кейін, қалған жолды қар басып қалғандықтан тоқтауға тура келді. Жарты сағаттан соң жол тазаланып электропоезд жылдамдығын 5км/с арттырып, В станциясына уақытында жетті Электропоездың алғашқы жылдамджығын табыңыз. 5% қалған жол - 50км. бастапқы жылдамдық болсын, онда теңдеу құрамыз: 0. 5, х60 5 Жауабы: 60км/с 7. Құрамында 5% жəне 40% никелі бар екі сорт болат берілген. Қайта қорытқаннан кейін құрамында 0% никель болатындай 40т болат алу үшін берілген екі сорт болаттан қаншадан алу керек? х 5% никель алынсын, ал у- 40% никель алынсын. Теңдеу құрамыз: 0,05 0.4y 0.* (40 y) 0.4y y 0.4y 4 40 y y 0.5y 5 y 00 Жауабы: 40т, 00т. 8. Екі қапта 40кг ұн бар. Егер бірінші қаптан,5% ұнды екінші қапқа салсақ, онда екі қаптағы ұн бірдей болады. Əр қапта қаншадан ұн болған? х бірінші қаптағы ұн, y- екінші қаптағы ұн, онда теңдеу құрамыз: y y 40 y 40 y 60 y Жауабы: 80 кг,60кг. 9. Құс фермасында қаздар үйрекке қарағанда есе көп еді. Біраз уақыттан кейін қаздар саны 0%-ке, ал үйрек саны 0%-ке өсті. Сонда қаздар мен үйректер 7

18 саны барлығы 8400-ге өскені анықталды. Құс фермасында қаздардың жəне үйректердің саны қанша болды. үйректер саны х десек, онда 0% үйрек - қаздар саны х, онда 0% қаз - х, теңдеу құрамыз: х 0 х х алғашқы үйректер саны х4000 алғашқы қаздар саны х х х х үйрек бар Жауабы: 8800 қаз, 5600 үйрек қаз бар болды. 0. Сауыншы бір жылда екі сиырдан 800л сүт сауды. Келесі жылы бірінші сиырдың сүті 5 %-ке, ал екінші сиырдың сүті 0%-ке көбейді, сондықтан 900л сүт сауды. Сауыншы əр сиырдан қанша сүт сауды? бірінші сиырдың сүті - л, екінші сиырдың сүті - y л болсын. Теңдеу құрамыз: y 800 y y (800 ) 900 0,05х90; х800л; у400 л Жауабы: 800 л, 400 л.. Бүкіл жер шарындағы ағаштың %-і құрылысқа, құрылысқа кеткен ағаштың 5/ бөлігі отынға, ал қалған 44 млн.т басқа қажеттіліке жұмсалады. Жер шарындағы ағаш қанша? 0 х х жер шарындағы ағаш; Теңдеу құрамыз: 0,х 5 0,х44х. Жауабы: 00 млн. т. 8

19 . Ағаш көшеттің биіктігі,м. Екінші жылы көшет 70%-ке ұзарды, ал əрі қарай жыл сайын өткен жылғы өсіміне қарағанда 70% ұзарып отырады. Ағаш қандай биіктікке дейіе өсуі мүмкін? Көшеттің жыл сайынғы өсімі b,; q0,7 болатын геометриялық прогрессия құрайды. q (м) Жауабы: 4 м.. 40 өзінің квадратының неше проценті(%) % 40 х% х,5% Жауабы:,5% х% 40санының проценті, онда 4. 7 санын,5%-ке кеміту керек. 9 шектеусіз 7 санының %-і 0,7, онда бұл санның,5%-ті 0,7,5%9 болады. Ендеше 7-96 Жауабы: 6 5. Жаңа жұлынған саңырауқұлақтарды кептіргенде, ол өз салмағының 98%-ін жоғалтады. 4 кг кептірілген саңырауқұлақ алу үшін қанша жаңа жұлынған саңырауқұлақ қажет? Кептіргенде 98% -ті жоғалса, онда % қалады, яғни /50 бөлігі қалады. Осындай х кг керек дейік, онда 4 кг кепкен жеміс алу үшін теңдеу құрамыз 4 50 Жауабы: 00 кг. х х Етті қайнатқанда салмағының 5% жоғалады. Пісірілген 50 грамм ет алу үшін қанша ет қайнату керек? 50 г - 65% х - 00%.

20 Жауабы: 800 г. 7. Сүттен % кілегей, ал кілегейден 4% май алынады. 60кг май алу үшін қанша сүт қажет? хкг - қажетті сүт, 0,х - 00% 60кг - 4% Жауабы: 500 кг 8. Затты 86 тенгеге сатқанда 0% пайда түсті. Заттың өзіндік құнын табыңдар. х-заттың өзіндік құны, онда х0,х86 т. Жауабы: 60 тенге 9. Екі санның қосындысы 0 тең. Егер бірінші сан екіншісінің 40%-і, ал екіншісі біріншісінің 60 % -і болса, онда сандарды табыңыз. y 0 х-бірінші сан, у-екінші сан; теңдеу құрамыз: y Жауабы: 7, саны үш қосылғышқа жіктелген, екінші қосылғыш бірінші қосылғыштан 5% -ке кем, ал үшінші қосылғыш екінші қосылғыштан -ге кем. Бірінші қосылғышты табыңыз. Шешуі I қосылғыш; 0,75 II қосылғыш; 0,75-- III- қосылғыш; 0,750,75-,54 Жауабы:.6. Халқаралық аукционда 5 мың тенгелік бағалы екі тері 40% пайдамен сатылды. Егер бірінші теріден 5%,, ал екінші теріден 50% пайда түскен болса, олардың əрқайсысы қаншаға сатылған? мың тенге -ші тері, (5-х) мың тенге--ші тері, жалпы пайда 5 0,490 мың тенге, -ден пайда - 0,5х, -ден пайда - 0,5(5-х), сонда : 0,5х,5-0,5х90 Жауабы: 5 мың тенге, 90 мың тенге 0

21 . Бір кг алмұрт бір кг персиктан 0% арзан, ал кг алма кг алмұрттан 0% арзан, кг слива кг алмадан 5% арзан тұрады. кг сливакг персиктан қанша процент арзан тұрады? кг персик х тенге тұрсын, онда кг алмұрт - 0,8х, кг алма- 0,7х, кг слива- 0,85*0,7х0,6х болады, онда х-0,6х0,88х, демек 8,8% Жауабы: 8,8%. Егісті күн жыртты. Бірінші күні барлық егістің 56%-ін, екінші күні қалғанының 75%-ін, ал үшінші күні 0га жер жыртты. Егіс ауданын табыңдар. егіс ауданы болсын, онда 0,56х0,75(х-0,56х)0 х. Жауабы: 000 га 4. Қоймадағы ұнның 40% нан заводына жіберілді, ал қалған ұн үш магазинге сəйкесінше 0,:,5:0,8 болатындай етіп жөнелтілді. Егер бірінші магазин үшіншіге қарағанда 40т кем алса, қоймада қанша ұн болған? х - қоймадағы ұн; қалған ұн - 0,6х үш магазинге бөлінген 0,6 0.., х ) х 0. ; ) 6 0 Жауабы: 480 т 5 х 0.5 ; ) 6 4 х ; Əртүрлі есептер.. Бір натурал сан екіншісінен -ке артық, ал олардың көбейтіндісі 80 тең.осы натурал сандарды табыңыз. Егер х -ші сан, у -ші сан десек, х-у, х5, ху80. у Жауабы: 5,

22 . Екі санның қосындысы 0, ал олардың айырмасы 5 тең. Осы сандарды тап. Егер х -ші сан, у -ші сан десек, ху0; х6,5; х-у5; у57,5 Жауабы: 6,5; 57,5. Екі орынды санның цифрының қосындысы. Егер цифрының орынын айырбастасақ, онда ізделінді саннан 8-ге артық болады. Осы санды тап Егер х ондықтағы цифр, у бірліктегі цифр десек, онда ху; ху ху у7 0ух-0х-у8 9у-9х8 у-х х5 Жауабы: 5, м канализацияны жөндеу үшін екі түрлі 50 керамикалық труба жұмсалды. Трубалардың ұзындықтары 800мм, 00мм. Əрқайсысынан қанша труба жұмсалған. Бірдей өлшемге келтірсек 0,8м,,м трубалар болады, сəйкесінше; 08м х;,м у труба алынсын, онда 0.8.y (50 ) 60 ; 0,8х80-,х60; 0,4х0; y 50 y 50 х50; у00. Жауабы: 50 шт, 00 шт. 5.Бірінші сан екіншісінен 4-ке артық. Квадраттарының айырмасы 56. Сандарды табыңыз. Егер х -ші сан, у -ші сан десек, y 4 y 4. y 56 y 4 Жауабы: 9 жəне Тіктөртбұрыш периметрі 6см, ал ауданы 6см. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

23 Егер х ені, у ұзындығы десек, ху Р (ху) ( у) 6 4 ху 6 y 9 Жауабы: 94см жəне 9см. 7. Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 5см артық.оның ауданы 4см болса, қабырғасын табыңыз. Егер х ені, х5 ұзындығы десек, ху. Теңдеу құрамыз: х (х5)4 х 5х4 х 5х-40 D00 х, х7 Жауабы: см жəне 7см 8. Піл баласынан 480кг артық немесе, 5 есе ауыр. Пілдің салмағы қандай? Егер х піл салмағы, у баласының салмағы десек, онда: х5у, х600 кг х-у480. Жауабы:: 600 кг 9. Екі санның пропорциональ ортасы кіші саннан -ге артық ал арифметикалық ортасы үлкен саннан 4-ке кем. Осы сандарды тап. Егер х кіші сан, у үлкен сан десек, онда пропорциональ орта y, с арифметикалық орта y болады. Теңдеу құрамыз: <y; y -, y 4y. y y y 48 6 y 54 Жауабы: 6, Үш санды тап, егер үшіншісі екіншісінен қанша артық болса, екіншісі біріншісінен сонша артық жəне ең кіші екі санның көбейтіндісі 85, ал екі үлкенінің көбейтіндісі 5болса.., y, z.- сəйкес сандар <y<z.

24 y z y y z y zy 85 y 85 (y z) y 85 5 z yz 5 yz 5 y Жауабы: 8,5; 0;,5..Екі орынды санды табыңыз, егер бірлігі ондығынан -ге артық жəне ізделінді санмен оның цифрларының қосындысының көбейтіндісі 44 болса. Егер х бірліктегі цифр, у ондықтағы цифр десек, онда y y (0y )( y) 44 y y 70 0 Жауабы: 4. Екі санды табыңыз, егер біріншісін екі еселеп, екіншісін үш еселеп қосса - ке, ал екіншісінің төрт есесі біріншінің үш есесінен 8-ге артық. Егер х бірінші, у екінші сан, Теңдеулер жүйесін құрамыз: y 4y 8 Жауабы: 4,5. Мыс пен қалайының екі қорытпасы берілген. Бірінші қорытпада 40% мыс, екіншіде % мыс бар. Екіуін қайта қорытқаннан кейін қорытпаның салмағы 8кг əрі құрамында 5% мыс болса, қорытпаның əрқайсысында қаншадан мыс болған? кг бірінші қорытпаның, (8-х)кг екінші қорытпаның салмағы, онда біріншіде - 0,4х, екіншіде 0,(8-х), соңғыда- 8*0,5 мыс бар. Теңдеу құрамыз: 0,4х0,(8-х)8*0,5. Жауабы: кг, 5 кг 4.Екі заттың қоспасы 8кг болады. Бірінші заттың 40%, ал екінші заттың 5% алынғаннан кейін, екі заттан бірдей қалса, қоспада əрқайсысынан қаншадан болған? y 8 Бірінш зат кг, екіншізат у кг болсын. Теңдеу құрамыз: y Жауабы: 0кг,8кг. 4

25 5. 0,5 тонна қоймалжың заттың құрамында 85% су бар. 5%-ік қоймалжың зат алу үшін қанша кг суды кептіру керек? х-судың салмағы болсын, 0,5т зат құрамында 0,5*0,50,075т қою зат бар. Кептіргеннен кейін 0,5(0,5-х)0,075. х0,т00кг. Жауабы: 00кг. 6. Берілген санды өзінің 6 есесіне кемітсек жəне сол санның 5 бөлігін қоссақ, онда 9, шығады. Берілген санды тап. х берілген сан дейік, сонда Жауабы: Демалу орынында 5 үймен палатка бар. Əр үйде 4 адамнан əр палаткада адамнан тұрады. 70 адам дем алу үшін қанша үй жəне қанша палатка қажет? палатка саны, y үй саны болсын. y 5 у 5 х 0 4 y 70 4 (5 х) 70 y 5 Жауабы: 0, y5 Планиметрия Геометрияның кез келген есебі тиісті формулаларды қолдану арқылы шығады. Бірақ, барлық форулаларды емес қажетті жəне мектеп оқулығында анық берілмеген формулаларды, негізгі қасиеттеді еске түсіреміз:. Диагоналы өзара перпендикуляр теңбүйірлі трапецияның ауданы, оның биіктігінің квадратына тең: h ;. Сырттай шеңбер сызуға болатын теңбүйірлі трапецияның биіктігі, табанының геометриялық ортасы болады; 5

26 . Кез келген үшбұрыштың биіктігімен h, h b, h c, іштей сызылған шеңбердің радиусы r арасындағы байланыс формуласы h ; h h r 4. Кез келген үшбұрыштың биссектрисасы қабырғаларының ұзындықтары а, b ( b c )( b c ) b, c арқылы өрнектеледі, формуласы: l c ; b 5. Үшбұрыштың биссектрисасының ұзындығы мына формула арқылы өрнектеледі, lc b b, мұндағы жəне b - АВСүшбұрышының қабырғалары; жəне b -үшінші қабырғадағы кесінділер; 6. Үшбұрыштың биссектрисасы қарсы қабырғасын, қалған екі қабырғасына сəйкес пропорционал бөліктерге бөледі;. 7. Үшбұрыштың медианасы бір нүктеде қиылысады жəне олардың төбесінен бастап бөліктерінің ұзындықтары : қатынасындай болады; 8. Үшбұрыштың медианасының ұзындығының формуласы m ( b c ), мұндағы, b, c - үшбұрыш қабырғалары; 9. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы мына формуламен өрнектеледі ( mb mc ) m, мұндағы m, медианасының ұзындығы. m b, b c mc -сəйкес қабырғаның. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері сəйкесінше см жəне 5 см. Тік бұрыштан жүргізілген биссектриса гипотенузаны қандай бөліктерге бөледі. B х M 5 - C A Жауабы:,. 7 7 АВ АВС х х 5 56 х BM, MA х

27 . Дұрыс көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы Көпбұрыштың қабырғасының санын тап. 80(n-)800 Жауабы: n-0 n.бөренеден көлденең қимасы квадрат, ауданы 9 см болатындай қырлы ағаш кесу керек. Кесілетін квдраттың диаметрі ең үлкен болғанда қанша болады? B Қима беті квадрат қабырғасы АС cм.(9cм ) ABC -да, АВ- гипотенуза A C AB Жауабы: АВ 4. Параллелограмның диагоналы екі қабырғасмен 5 0 жəне 5 0 бұрыш жасайды. Параллелограмның бұрыштарын табыңыз жəне )5 0 ) жəне 4 Жауабы: 0 0, Параллелограмның биіктігі см, ал бір бұрышы екіншісінен есе артық. Қабырғасын табыңыз. 0 АВС --ші бұрыш -х, -ші бұрыш -х, онда ()60 45, демек АВС -тікбұрышты теңбүйірлі, ВС АС АВ см B Д A C Жауабы: AB cм 7

28 6. АВСD трапециясының AD жəне ВС табандары, AD:ВС қатынасы 4: қатынасындай. Трапеция ауданы 70 см болса, онда АВС үшбұрышының ауданын табыңыз. Берілгені: ABCD - трапеция B C ABC тр ACD AD, BC табандары AD 4 BC A H D тр 70 см ABC? тр AD AD AD ВС CH 4 CH 8 трр 8 70 AD CH AD CH 80 ACD ACD AD CH ABC ( cм Жауабы: 0 ) 7. ABCD параллелограмның үш төбесінің координаттары берілген. A(;), B(-;4) жəне C(;). D төбесінің координатын табыңыз. A B D(;y) -? D(;y) C 8

29 AB DC ( ;4 ) ( ;) ( ; y) ;DA( ; y) ;CB( ; ) Т.к.AB DC DA СВ y ( y ) y ( y ) ( ) 6 y 6 y 4 y 4 y y ( 4 y ) y y 0 Жауабы: D(4;0) 8. АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель α жазықтығы, АС жəне ВС қабырғаларын, сəйкесінше А жəне В нүктесінде қияды. А С-ні табыңыз, егер АС 5 см, А В 4 см, АВ 0 см болса. В 0 В 4 C A А 5 Жауабы: A C cм A C -? ABC ~ B C A АВ АС АВ АС 4 5 АС АС 5 9. Параллелограммның бір бұрышының биссектрисасы бір қабырғасын 4 см жəне 8 см кесінділерге бөледі. Параллелограммның периметрін табыңыз. Берілгені: ABCД параллелограмм AK биссектриса BK8 см KC4 см Р -? А B K C D 9

30 Р(ВСАВ) ВСВККС844 см АК биссектриса болғандықтан ВАК КАД; ВС АД болғандықтан ВКА КАД (ішкі айқыш бұрыштар) ендеше АВК тең бүйірлі, яғни АВВК8 демек Р(48)40 (см) Жауабы: Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары жəне 4-ке тең. Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі? Берілген: ABC. BD биссектриса AB BC 4 Т/к: B 90 AD : CD -? AD AB DC BC BD - бис.қас. б/ша ABC; AC AD BC CD сонымен Жауабы: AD : CD 5 0 : : 7 A B D 0 7 C. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары сəйкес 6 жəне 5 - ке тең. Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі? Бер: ABC, С 90 AС 6, BC 5 T / k : AD : BD? А D В С 0

31 Шешуi: ABC, AB AD 66 ( Жауабы : BD ; 6 5 5) 55 6 CD бис са ; AD АD AC 66 6 BD BC 5 6( ) ; BD Ұзындығы 4π м-ге тең шеңберде м- ге тең хорда жүргізілген. Хорданы керіп турған кіші доғаның бұрыштық өлшемін табыңыз. С πr 4π πr демек, OAB R 80 AOB 60 - дұрыс үшбұрыш Яғни оны керетін доға АВ да (центрлік бұрышқа қарсы жатқандықтан) қа тең болады. Жауабы: 60 0 A O 5 B 5. ABC үшбұрышының, АВВС. АК биіктігі ВС қабырғасын ВК4см жəне КС см етіп бөледі. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз. Берілгені: АВС АВВС AK BC В АК ВС ВК4 BC4 А К С КС AK АВ ВК ( 5 4)(5 4) 7 5 7? 87,5(см ) Жауабы: 87,5(см )

32 Стереометрия.Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса: а) барлық бүйір жақтары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды; б) барлық бүйір жақтарының апофемасының ұзындықтары бірдей; Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына іштей сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.. Егер пирамидаға төмендегі екі шарттың бірі орындалса: а) барлық бүйір қырлары табан жазықтығымен бірдей бұрыш жасайды; б) барлық бүйір қырлары ұзындықтары бірдей; Онда пирамиданың төбесінің проекциясы табанына сыттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі..егер үшжақты бұрыштың, екі сүйір жазық бұрышы тең болса, онда олардың ортақ қабырғаларының проекциясы үшінші жазық бұрыштың биссектрисасы болады. 4. Егер пирамиданың табаны тікбұрышты үшбұрыш болса, онда пирамиданың биіктігінің табаны, табанына сырттай сызылған шеңбердің центрімен беттеседі.. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 7 см, табан қабырғасы 8см. Бүйір қабырғасын табыңыз. B h О C A D OC тікбұрышты, lc O OC 49 (4 ) Жауабы: 9 см. Берілгені: ABCD - дұрыс төртбұрышты пирамида. O h 7 см; ABBCCD DA8 см. Табу керек: labcd : ABCD квадрат AC AD CD ; AC 8 8 ;

33 .Тікбұрышты параллелепипедтің үш өлшемі берілген; см,см жəне 6см D C A B d D C A B Параллелепипед диагоналын табыңыз. Берілгені: ABCDA B C D тікбұрышты параллелепипед; см, b см, с6 см. Табу керек: dd B d b c ; d см, Жауабы: d7 см.. Пирамиданың табанына параллель жазықтық биіктікті : қатынасындай бөледі. Егер табан ауданы 60м болса, қиманың ауданын табыңыз. D C O A B C Берілгені: ABCDA B C D қиық пирамида, O : O O : A O B (ABCD) (A B C D ); ABCD 60 м. Табу керек: A B C D O h; Oh Шешіуі: O :O h :; 4h Жауабы: 5 м * 60 ; 5 м Сүйір бұрышы 0 о тікбұрышты ұшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центріне ұзындығы 6см биіктік тұрғызылған, үшбұрыш жазықтығына C M A D O B тиісті емес ұшынан үлкен катетке дейінгі қашықтық 0см. Ұшбұрыш гипотенузасын табыңыз. Берілгені :шеңбер, (центр О), OBOCOAR, ABC тікбұрышты. С90 о, B0 o, DO, DO6 см, DM CB, DM0 см, Табу керек: AB

34 Үш перпендикуляр теоремасы бойынша: OM CB>MO CA. OBOCOAR, онда O ортасы AB, > MO ½ ACR/, ACAB*sin 0 o R DOM-тікбұрышты, демек MO MD -OD , MO8, AC6, ABAC см. Жауабы: см. 4. Жазықтықтан тысқары алынған нүкте арқылы, жазықтықпен 0 о бұрыш жасайтын екі көлбеу жүргізілген Олардың проекциясы өзара 0 о бұрыш жасайды. Егер көлбеу табандарының арасы 60см болса, нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықты табыңыз. A Берілгені: MA, MB көлбеулер, MO (α), MAO MBO0 o, AOB0 o, AB60 см, Табу керек: MO AOB теңбүйірлі, OK AB жүргіземіз, сонда KOB60 o, KBO0 o, KB60/0 см, KBOB*sin 60 o KB OB o sin 60 M O K α B 0 *0 60 A O K B MOB-тікбұрышты, демек MOOB tg 0 o 60 * 0 см Жауабы: ОМ 0 см. 5. Екіжақты тікбұрыштың арасынан А нүктесі алынған жəне оның жақтардан арақашықтығы см, 6см. Осы нүктеден B A β α D C екіжақтың қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңыз. Берілгені: ααβ90 о, AB β, AB см, AC α, AC6 см, AD α Табу керек: AD 4

35 үш перпендикуляр теоремасы бойынша (AD α, DC проекция > α DC) ADC тікбұрышты DC BA см, ACBD6 см AD AC DC Жауабы: AD0 см 6. Үшжақты бұрыштың екі жазық бұрышы 45 о, үшінші жазық бұрышы 60 о. A Үшінші жазық бұрышқа қарсы жатқан бұрышты табыңыз. Берілгені: үшжақты bc, b,45 o, bc45 o, c60 o екіжақты Табу керек: (b) жəне( cb) арасындағы бұрышты b қырына жазықтықтардан перпендикулярлар түсіреміз, сонда b AB, CB B, AB жəне BC тікбұрышты бір бұрышы 45 о болады, демек теңбүйірлі > ABBCB, онда C B BC. CA, тең бүйірлі AB қарастырамыз, төбесіндегі бұрышы AC60 o, демек AC теңқабырғалы, ACA, онда косинустар теоремасы бойынша: ABC-дан AC AB BC -AB*BC*cos ABC. Кабырға мəндерін қоямыз - cos ABC, cos ABC0, ABC90 o Жауабы: ABC90 o 7. Дұрыс үшбұрышты пираиданың биіктігі 40 см, табан қабырғасы 0 см. Табанының бір қабырғасы арқылы өтетін, қарсы қырға қиманың ауданын табыңыз. c b B C Берілгені: Н40 см, аabdcac0 см, OH, қима ABM C Табу керек : қим AMB 0 OB тікбұрышты, OBR, перпендикуляр B O OB *

36 M теңбүйірлі BC, ауданын табамыз BC h BC h 05h, A P O BM C) BM табамыз B BC h C ( ) BC 0 5 9, BC-дан (мұндағы BC C*BM, BM BC C 50 9 * AMB-дан, MP AB, PB5см, MB 7 5* PM BM PB 5, қим PM*AB * *04 7 Жауабы: 4(кв.см) 8.Дұрыс төртбұрышты призманың диагоналы бүйір жағымен 0 о бұрыш жасайды. Оның табан жазықтығымен жасайтын бұрышын табыңыз. A D C A B D Берілгені: ABCDA B C D дұрыс призма, D BC 0 o Табу керек: D BD D C B-тікбұрышты, D BC 0 o, диагоналды d деп белгілейік, D Bd > D C ½d D C DCABADd/ B C Из ADB (тікб.) DB AD AB d d d 4 4 4, d DB d, D DB тікбұрышты, демек cos DBD Жауабы: 45 o DB d ;d > D BD45 o D B 6

37 9. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасы 0 см, Бүйір қырындағы екіжақты бұрышы 0 о. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз. Берілгені: ABCD дұрыс пирамида, BP A, DP A, BPD0 o, PB PD, AB0 см. Табу керек : б.б A P D O B K C PDB теңбүйірлі, OB d DB , OB0, sin 60 o OD 0,, PD PD PD 0 PB, AP AB - PB, APB-тан AP 400* OA тікбұрышты, AO d0, AP тікбұрышты P үшбұрыштың төбесінен түсірілген перпендикуляр теоремасы бойынша:ao AO AP*A, A 00 0, AC0, AP 0 A O l Теңбүйірлі BC (BC), апофемсын тапсақ- K. K C ( BC ) Р-таб.ұз. B K C б.б. P*K 0*40*0 400 см Жауабы: 400 см 0. Жарты дөңгелек конондақ бет болатындай оралған. Шыққан конустың биіктігі мен жасаушысының арасындағы бұрышын табыңыз. A O C α Жауабы: 0 0 l B Берілгені: R, OBr, πrπr, rr/ OB r R Тікбұрышты COB-дан sin α CB l R α0 0 7

38 . Тікбұрышты үшбұрыштың АВ гипотенузасы Р жазықтығында жатыр, ал АВС үшбұрышы Р жазықтығымен 0 о бұрыш жасайды. С төбесінен Р жазықтығына дейінгі арақашықтықты табыңыз, егер АС 6 см. ВС 8 см болса. A p E B B C O Берілгені: ABC тікбұрышты, С90 о, АВ пл. р, АС6 см, ВС8 см, CEO 0 o, (CE AB, OE AB), CO (p) Табу керек: СО ABO-ның ауданы ABС-ның ауданын cos қа көбейткенге тең. 6* 8 ABС AC*BC 4(см ) A C AOB 4 см, сонда АВ АС ВС (см,) AOB AB*EO, EO AOB 4.4 онда, СОЕ дан СОЕО*tg 0 o.4 *.4 AB 0 см Жауабы:.4 см. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 9см, ал бүйір қыры см. Пирамида көлемі қанша? Берілгені: МСсм, МО 9см Табу керек: V пир M V пир осн h 0 MAO, O 90 ; AO А D 9 C O В АС 6 АВСD- квадрат AC 6 V пир 78м 8

39 Жауабы: V пир 78м. Кубтың диагоналі см. Куб көлемін табыңыз. V - куб қабырғасы Жауабы:: 9 4. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы см, табанының қабырғасы см. Пирамида көлемін табыңыз. Берілгені: б.б см, АВсм. Табу керек:н-? V пир 0 4см 0 H; Д C О А K В Жауабы: V пир с б.б КО 4 AB K 4 гр, KO, O H V АВ 4 пир см K KO K K 4 5. Цилиндрдің табанының диаметрі 4 см, биіктігі см. Өстік қиманың диагоналын табыңыз. Берілгені: hсм, d4см Табу керек: D-? D 6 9 5см Жауабы: 5 см 9

40 6. Қиық конустың радиустары дм и 7 дм, жасаушысы 5дм. Өстік қима ауданын табыңыздар. А В Берілгені: қиық конус: rдм, R7дм, L5дм h? Жауабы: 0( кв.дм.). ABC, BC BC h h h h, AB АВ АС 5, AC AK - BD Конус жасаушысы 5 см, табанының радиус 4 см. т.б. -табыңыз.. 5 D К т, б 0 0 б, б πr 6π 4 т, б 6π Жауабы: т, б 6π 8. Бүйір қырлары өзара перпендикуляр жəне сəйкесінше 4 см, 5 см и 6 см болатын ұшбұрышты пирамида көлемін табыңыз. A C B V V АC AC H AC B A C ( см) Жауабы: V0 (cм) 9. Дөңгелек конустың жасаушысы 6 см жəне табанымен 60 0 бұрыш жасайды. Конустың толық бетінің ауданын табыңыздар. Т.б -? 40

41 А О В Т, Б Б, Б AO ТаБ Т, Б ТаБ, АО R ( cм) Б, Б АО А cos60 π 6 8π πrl πr AO A π cos60 0 () 9π 8π π ( см) Жауабы: Т,б 7(см ) 0. Тікбұрышты параллелепипедтің бір төбесінен шығатын диагоналдары сəйкесінше 0 см, 7 см жəне 0 см. Параллелепипед диагоналын табыңыз. C b d b c а b b с с ( 7 ) 0 ( 0) Жауабы: d 6 ( b c ) b c 04 d 04 d 6. 0 см кесінді жазықтықпен қиылысады. Оның ұштары жазықтықтан см жəне табыңыз. Шешімі: α ( см қашықтықта. Жазықтықпен кесіндінің арасындағы бұрышты sinα sinα α

42 0 Жауабы: α 0. Тікбұрышты параллелепипед өлшемдері 5 м, 50 м, 6 м. Оған тең шамалас кубтың қырын табыңыз. V пар bc м. V пар V куб. V куб k, V7 000 м, k0 мұндағы k- кубтың қабырғасы. Жауабы: 0. Пирамиданың табаны бүйір қабырғасы 0 см, табаны см болатын теңбүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен бірдей қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамида биіктігін табыңыз. Берілгені: пирамида АВВС0 см АС см KO60 0 Т.к O -? B K O A C O H p P OK r табанына іштей сызылған шеңбердің радиусы 0 p( p )( p b )( p c ) p r OK 6 O Сонымен O OK tg60 tg60 ; O 4

43 4. Қыры 4 см тең куб берілген. АВ қыры жəне С С қырының ортасы арқылы қима жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыздар. Берілгені: Куб АВ4см N нүктесі С С қырының ортасы ABNP? D C A P B N D C A B BN BC BN AB 4 NC Жауабы: Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тіктөртбұрыш. Жазбаның диоганалы d табанымен α бұрыш жасайды. Цилиндр көлемін табыңыздар. V πr h h d sinα f d cosα d cosα R f πr π d V π V d 4π cos 4π α d sinα cos α sinα α d f h Жауабы: d cos α sinα 4π 6. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанымен бүйір қырының арасындағы бұрышы α. Диагоналдық қиманың ауданы. Пирамида көлемін табыңыз: Берілгені : FABCD Дұрыс төртбұрышты пирамиданың B 4 α O А D F

44 AFC FAO α V? V AO V AO FO ABCD ABCD FO AC AC AFC ABCD ctg α AC AO AC FO ctg ctg α ctg α 4 FO FO FO ctg α ctg α ctg α ctg α α FO ctg α ctg FO α ctg FO ctg α α ctg α Жауабы: ctgα 0 7. Конус жасаушысы см, ал өстік қиманың төбесіндегі бұрышы 0. Конустың қимасының ауданын табыңыз. 0 R 0 πr ; cos0 9π ( см ) 0 Жауабы: 0 9π ( см ) A B 8.Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін см, ал үшбұрыш қабырғасы см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыштың жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз. Бер: B 44 N О

45 K N см AB BC AC см Т / к : H O? ANC тiк бурыш АN ON AN * ( см) ON тiк бур.караст. Жауабы: ( см) AC CN O N AC ON BC 9 см 8 9.Екі шар аудандарының қатынасы 4:. Көлемдерінің қатынасын табыңыз. V V 4πR 4πR 4 πr 4 πr V Жауабы: 8 V R R R R 4 R R R R 8 ( см) 4. Прогрессия Арифметикалық прогрессия дегеніміз, екінші мүшесінен бастап əрбір мүшесі алдындағы мүше мен тұрақты санды қосқаннан шығатын тізбек. d саны- прогрессия айырымы деп аталады.. Геометриялық прогрессия деп бірінші мүшесі нольден ерекше, екінші мүшесінен бастап əрбір мүшесі алдыңғы мүшесін тұрақты нольден өзгеше санға көбейткеннен шығатын тізбек. q саны- прогрессия еселігі деп аталады.. Арифметикалық прогрессияның 4-ші жəне 6-шы мүшелерінің қосындысы 4. Прогрессияның алдыңғы тоғыз мүшесінің қосындысын табыңыз. 45

46 Шешуі : 9 6 4d 7 9 d 9 Жауабы: 9 6 5d 8d 4 8d Арифметикалық прогрессияның 4 0 берілген, сегізінші мүшесін табыңыз. Шешуі : 8 7d -? Жауабы: d d 4d( 7d)0 7d 5 8. Геометриялық прогрессияның b, b Табу керек q b q q 4 q 4 b q 48 Жауабы: q 4. Кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын табыңыз q, b 0 b 5 q Жауабы: 5. Aрифметикалық прогрессияның бірінші, бесінші жəне онекінші мүшелерінің қосындысы 5-ке тең. Табыңыз: а 6 6 5d 5 5 5d( 5d) 6 5, 6 5 Жауабы: Геометриялық прогрессияның b, b Тавбыңыз: b

47 47 ( ) 84 ; ± ± ± b b q q q q b q b b q b b q b b Жауабы: 84 8 ± b 7. Кез келген алғашқы n мүшесінің қосындысы мына формуламен есептеледі n 4n n. Алғашқы үш мүшесін тап.?,, n 4n n d d * * 4 * 4, d d, 8 d, d * 0 d, 0 Жауабы:, 9, 7 8.Натурал сандар жиынында теңдеуді шешіңіз: екі жағында х квадратына көбейтеміз ) ( ) ( ) ( Теңдеудің сол жағы арифметикалық прогрессия болады. ) )( ( ) ( ) ( n n n онда d n d n n ) ( 5 7 ); ( 5 7, 5 7 n; n n n ) ( Жауабы: 5

48 9. Геометриялық прогрессияның b 5; b n ; n 0. Прогрессияның еселігін жəне мүшесінің санын табыңыз. b b n n 5, b b b q n q b q n n, n, q 5( ) Жауабы: n0; q 0, n, q? q 5 0 q n ( ) n *5 q 5 0( q ) 0q 5 q ( ) n ( ) 0 n 0 0. Геометриялық прогрессияның еселігі, төртінші мүшесі -. Егер 54 алғашқы n мүшесінің қосындысы табыңыз. b4 b 7 q 54 n b ( q ) n q n 6 4 -ге тең болса онда мүшесінің санын 6 4 n 5 Жауабы: 5 n. Арифметикалық прогрессияның а 8 -а 6 6, Бірінші мүшесін жəне айырмасын табыңыз d- -5d6, d 0 ( 9d) 5, 55 ( 7) 5, Жауабы:,.. Арифметикалық прогрессияның 4 4 жəне 8 тең. Бірінші мүшесін жəне айырмасын табыңыз. 48

49 . d 4 * 4 7d *8 d 7d 4d d d 9 d 6 s 6? d Жауабы: 6,. Арифметикалық прогрессияның n-нші мүшесі n 6n. Алғашқы 6 мүшесінің қосындысын табыңыз. 8, *6 5*6 848 Жауабы: Геометриялық прогрессия q, Прогрессияның алтыншы мүшесін табыңыз.. 7 b ( ) b b b q Жауабы: Арифметикалық прогрессияның бірінші жəне төртінші мүшесінің қосындысы 6, ал екінші жəне бесінші мүшенің айырмасы 6-ға тең. Прогрессияның үшінші жəне бесінші мүшесінің қосындысын табыңыз. 4 6 d 6 d 4d 6 d 6 d 6 d -6 5 d ? 5 4d

50 Жауабы: 0 6. Арифметикалық прогрессияның алғашқы он бес мүшелерінің қосындысы 60, ал он екінші мүшесі. Он бірінші мүшенің он бесінші мүшеге қатынасын табыңыз а 5 5? 4 d6-8d4 5 d -d5 d d- 4 d- 6 Жауабы: d 48 d Тригонометрия Тригонометрияға берілген есептерді шешу үшін оларға қатысты формулаларды білу қажет: - бұрыштары бірдей тригонометриялық формулалар; - əртүрлі бұрыштардағы тригонометриялық функцияның мəндері; - функцияның ширектердегі таңбасы; - тригонометриялық функцияларды қосу жəне азайту формулалары; 50

51 - екі жəне үш еселенген бұрышқа байланысты формулалар; - жарты бұрыш формуласы; - тригонометриялық функциялардың қосу жəне азайту формулаларын көбейтуге түрлендіру; - тригонометриялық функцияларды көбейтуді қосындыға түрлендіру формуласы; - көбейтінді формулалары; - кері тригонометриялық функция; - тригонометриялық функциялардың тангенс жарты бұрыш арқылы формуласы Есептеңіз: 6(sin α cos α), егер 6 6 cos α 4 4 ( sin α ) ( cos α ) ) 6 ( sin α cos α ) ( sin α sin α cos α cos α ) ( sin α cos α ) sin α cos α 6 sin α 6 cos ( ) ( α ) Жауабы:. Есептеңіз: ctg π rctg ctg π rctg tgrctg Жауабы: ctg π rctg. Есептеңіз: tg 0 tg40 tg60 tg80 sin 0 sin 40 sin 80 tg 0 tg40 tg60 tg80 cos 0 cos 40 cos 80 sin 0 sin 0 sin 40 sin 80 sin 0 cos 0 cos 40 cos 80 sin 0 sin 40 sin 80 sin 40 cos 40 cos 80 sin 0 sin 40 sin 80 sin 40 cos 40 cos 80 sin 0 (cos 40 cos 0 ) sin 80 cos 80 5

52 sin 0 (cos 40 cos( 90 0 )) 0 0 sin 80 cos 80 4 sin 0 (cos 40 sin 0 ) 0 sin 60 4 sin 0 (cos 40 / ) sin 0 4 sin 0 cos 40 sin 0 ( sin( 0 40 ) sin( 0 40 )) sin 0 sin 0 sin60 sin 0 sin60 4. Берілгені: tg ( α β ), sin β, 5 β II.Табу керек: tg α. tgα tgβ tg( α β ) tgα tgβ cos β tg β - 4 ; Жауабы: 5. Ықшамдаңдар: tgα ; tgα ; tgα ; 4 tgα 4 cos4α cosα sinα cos 4α cos α sin α sinα sinα sin α sin α 6. Ықшамдаңдар: cosα cosα cosα cosα cos α ( cos α cosα ) cosα cosα cosα cosα cosα cos α 4cos α cosα cosα cosα cos α cosα cos α cosα cos α Қолданылған формула: cosα cos α cosα 4cos α cosα 7. Ықшамдаңдар: ctg ctg 5 5 5

53 ctg 5 ( ctg 5 )* ctg5 ( ctg 5 )* ctg5 ctg 5 ( ctg 5 )* ctg5 * ctg5 ctg 5 ctg5 ctg5 ctg5 ctg5 ctg* 5 ctg45 ctg ctg5 5 * ctg5 ctg α Қолданылған формула: ctg α * ctgα ctgα * ctg α 6 Функцияның анықталу облысын табу:. Функцияның анықталу облысын табыңыз: y 9 Шешуi: 9 0 ( )( ) 0 D( y) ( ; ] [ ; ) Жауабы: D (y) ( ; ] [ ; ). Функцияның анықталу облысын табыңыз:: y 9 Шешуi: D( y) [ ; ) Жауабы: D (y) [ ; ). Функцияның анықталу облысын табыңыз: y cos Шешуi: cos 0 cos π 5π πn πn, n Z π 5π πn πn, n Z 6 6 5

54 Жауабы: π 5π πn πn, n Z Функцияның анықталу облысын табыңыз: Шешуi: y y Функция бөлшек түрде болғандықтан, оның анықталу облысына D(у) бөлiм нөлге айналатын нүктелер кiрмейдi. 0 ( )( ) 0 Демек, D ( у) ( ;0) (0;) (;) (; ) 5. Функцияның анықталу облысын табыңыз: y ( )( ) Шешуi: 0 ( )( ) 0 ( ) 0 ; D ( у) [ 0; ) ( ; ] ( ) y 6. Функцияның анықталу облысын табыңыз: cos Шешуi: Функция бөлшек түрде болғандықтан, оның анықталу облысына (D(у) ) бөлiмi нөлге айналатын нүктелер кiрмейдi. cos 0 π πn, n Z π D( у) ( ; ), πn, n Z 7. Функцияның анықталу облысын табыңыз: y 8 (4 5) Шешуi: Логарифмделетiн функция оң болу керектiгiн ескеремiз: D(y) 54

55 4 5 > 0 < 0.8 D( y) ( ;0.8) 8. Функцияның анықталу облысын табыңыз: Шешуi: > ( )(5 7) > 0 y Интервалдар əдiсiн қолдансақ, D ( y) ( ; ) 7 7 Теңдеулердi параметр бойынша шешу. Параметрi бар теңдеулердi шешу үшiн, параметрге байланысты айнымалының мүмкiн мəндерiн табу керек.. Теңдеудi шешу: 0 Шешуi: а) егер 0, онда 0 0 кез келген сан; 0 б) егер 0, онда Теңдеудi шешу: Шешуi: Егер 0, онда 0 0 кез келген сан; Егер 0, онда,.. Теңдеудi шешу: Шешуi: ( ) Егер, онда 0 -шешімі жоқ дейiк, онда ( ) - бiр ғана шешiмi болады.. 4. Теңдеудi шешу: ( ) Шешуi: ( )( ) ( )( ) десек, онда 0 0 кез келген сан; Егер ±, онда 55

56 Теңдеудi шешу: ( )( ) Шешуi: ( )( ) 0, 5 ( )( ) ( 7)( ) (4 9) х - болғанда, а-ның мəнiн табамыз, 0, 4 Сонымен,,,5, 0, 4болғанда, теңдеудiң шешiмi 9, 0,4 болғанда шешiмi жоқ. Егер 4 жоқ. 8 Иррационал теңсiздiктердi шешу., ал 4 9 болса, онда теңдеудiң мағынасы Анықтама: Егер теңсiздiк құрамында түбiр таңбасы болса, онда иррационал теңсiздiк деп аталады. Мұндай теңсiздiктердi шешу үшiн, əдетте түбiрдiң дəрежесiндей дəрежеге шығарамыз..теңсiздiктi шешу керек: > Шешуi: Д ( f ) { 0}, оң жағы терiс сан, демек [ 0; ) аралығындағы барлық мəндер қанағаттандырады. Жауабы: [ 0; ). Теңсiздiктi шешу керек: < Шешуi: Д ( f ) { 0}, екi жағында квадраттаймыз > 0 0, > 0, < ( ), <, ( )( 5) > 0 <. Теңсiздiктi шешу керек: > Шешуi: Д ( f ) { 0} теңсіздіктің оң жағын жəне анықталу облысын ескерсек екі жүйе аламыз:, >, жəне > > 56