C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,"

Transcript

1 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD = D B = b a, BD 1 = b a + c. () F = D + DD 1 + D 1 F, DD 1 = 1, DD 1 = 1. D 1 F = 1 D 1 1 = 1 B,

2 F = 1 a + b + c. (4) ( EF = F ) E = F ( B + BE) = F ( B + BE) = 1 F B + B = 1 a + b + c 1 1 a b = 1 a + b + c.. BD BD. = a, BD = b. B, D, D. :, D B = O + 1 OB = + 1 DB = 1 ( a b ), D = 1 B = ( a b ), D = 1 D = ( O + OD) = ( a + b ). O B M. B, M,N B. = a, B = b. M, N. :, M = 1 B, N = B, M = + M = + 1 B = + 1 ( 1 B ) = b + a, N = + N = + B = + ( 1 B ) = b + a. 4. L,M,N B B,,B. L, BM, N. N B

3 1 : L, BM, N,. L = 1 ( B + ), : L + BM + N = 0. 1 BM = ( B + B), 1 N = ( + B), N M N M O B L 4 B L 5 5. O B, : O + OB + O = 0. :, L,BM,N, O. O = L = L, OB = BM, O = N, 4, O + OB + O = ( L + BM + N) = O B, G B. O, OB, O OG. : GO = G + O, GO = GB + BO, GO = G + O. 5 G + GB + G = 0. GO = O + BO + O. OG = 1 ( O + OB + O). 7. BDEF, B + + D + E + F. : D = + F = E+ B, B+ + D+ E+ F = D.

4 4 F E O G D B B BD, B = a + b, B = 4 a b, D = 5 a b ( a, b ). BD. : D = B+ B+ D = 8 a b = B, D// B. D = B, BD. 9.,B,,D, M,N B, D. : :, MN = 1 ( D + B). M = 1 ( + B), 1 N = D, MN = N M = 1 D 1 ( + 1 B) = ( D + B). B M N D O D M M BD, O. : O + OB + O + OD = 4 OM. B

5 1 5 :, OM = 1 ( O + O), OM = 1 ( OB + OD), O + OB + O + OD = 4OM. 11., a, b? (1) a + b = a + b ; () a + b = a b ; () a b = a b ; (4) a b = a + b. : (1) : a // b. a + b = a + b : a b, a, b 0. () c = a + b, a = c b, : c b = c + b. b // c. : a // b,, a b, b = 0. () c = a b, a = b + c, : b + c = b + c. (1) : b // c. a // b. a b 0, a b, b = 0. (4) c = a b, a = b + c, : b + c = c b. () : c // b, b = 0,, c b. a // b, b = 0 a = 0. 1.,. (1) b a a b ; () a + b + c a + b + c. : (1),. 11(): a // b,, a b, b = 0. b b a a 1(1) () d = b + c. : a + b + c = a + d a + d = a + b + c a + b + c. (i) a, b, c, (ii) a, b, c 0 ( (i) ). 1. O 1 n. : O 1 + O + + O n = 0.

6 6 : n.. : O O n = 0. n : B 1,,B n n 1 n : 1 B 1 B n 1 B n 1 n B n, n. O 1 + OB 1 + O + OB + + O n + OB n = 0. OB i O i π, : n p = O1 + + O n, q = OB1 + + OB n, q p π n. 0 < π n < π, q p, p + q = 0 p = q = O 1 n, P. : P 1 + P + + P n = n PO. : PO = P i + i O (i = 1,,,n), n PO = P1 + + P n + ( 1 O + + n O) = P P n ( 1 ). 1. a, b, c = a + b d = a b? : k m : k c + m d = 0, k a + k b + m a m b = 0, (k + m) a + (k m) b = 0. a, b, a, b, k + m = 0 k = m = 0, k m = 0

7 7 c, d.. a, b,. : p = c 11 a + c1 b, q = c1 a + c b, r = c1 a + c b. x 1 p + x q + x r = (x1 c 11 + x c 1 + x c 1 ) a + (x 1 c 1 + x c + x c ) b. c 11 x 1 + c 1 x + c 1 x = 0 c 1 x 1 + c x + c x = 0, x 1 = k 1, x = k, x = k, k 1 p +k q +k r = (k1 c 11 +k c 1 +k c 1 ) a +(k 1 c 1 +k c +k c ) b = 0. p, q, r,.. k 1 a k b, k b k c, k c k1 a. : (k 1 a k b ) + (k b k c ) + (k c k1 a ) = 0,,. 4. a 1 = b 1 + b b, a = b b, a = b + b. a1, a, a b 1, b, b. : k 1 a1 + k a + k a = k 1 b1 + (k 1 + k + k ) b + ( k 1 k + k ) b. k 1 = 0 k 1 + k + k = 0 k 1 k + k = 0 k 1 = k = k = 0., k 1,k,k k 1,k 1 + k + k, k 1 k + k. a 1, a, a b 1, b, b. a 1, a, a b 1, b, b. 5. D B B, BD = k D. B, D.

8 8 : BD = D B, D = D. BD = kd, D 1 B = k kd, D = B + k. 1 + k 1 + k B D 5 B T 6 6. T B ( B T ), T B,. : BT = k B, T = (1 k) B., B : = k : (1 k), k = B. B + T = B + BT = B + kb = (1 k) B + k 1 = ( B + B ). B + 7 OB, B, D OB : 1, D O E. O = a, OB = b. (1) a, b O D; () OE : O. O E D 7 B : (1) B, B = B = ( a b ). OD = OB = 1 b, DB = OB = 1 b, D = DB + B = 5 a b. O = OB + B = a b.

9 9 () OE = ko = k a, OE = OD + md k a = b + ( m a 5 ) b. k = 4, OE : O = 4 : B, M B : 1, N :. M BN P, P B Q. B, P Q. : M = B, N =, BN = N B = 5 5 B, M = M = B. P = km, BP = mbn. P = B + BP ( k B ) = ( B + m ) B. 5 k =. P = + ( P = + ) B = 4 B Q B P, Q = l P = B + sb. ) ( 4 l 9 B + 1 l = 9, Q = 4 B = B + s( B). D Q N Q F P P E B M B BD, P,Q B,D. P,Q BD E,F, BD. : B = a, D = b, BD = D B = b a,

10 10 : P = 1 B + Q = E = k P (k > 0), E = k a + k b, B = a + 1 b, 1 D + D = b + 1 a. F = m Q (m > 0), m F = m b + a. E = B + tbd = a + t( b a ) = (1 t) a + t b (t > 0). k a + k b = (1 t) a + t b, (k + t 1) a = ( t k ) b, a b, k + t 1 = 0 t k = 0 k = t = 1., F = B + sbd = (1 s) b + s b (s > 0), : m + s 1 = 0 s m = 0, : m = s =. : BF = BD, BE = 1 BD, E,F BD. 10. O, :,B,, M B k 1,k,k, OM = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 1.

11 11 : B, B,. M B M, B,, : M, B,, 0 m 1,m,m, O : m 1 M + m B + m = 0, m 1 ( OM O) + m ( OB O) + m ( O O) = 0, m 1 OM = (m1 + m + m ) O m OB m O. m 1 0, B,. : k 1 = 1 m 1 (m 1 + m + m ), k = m m 1, k = m m 1, OM = k 1O + kob + ko, k 1 + k + k = O, : M B ( ) k 1,k,k, OM = k 1O + kob + ko, k1 + k + k = 1. : M, B D. M = l D, 0 l 1. D B,.1, m 1,m, OD = m 1OB + mo, m1 + m = 1,m 1,m 0. OM = O + M = (1 l) O + l OD = (1 l) O + lm 1OB + lmo. k 1 = 1 l, k = lm 1, k = lm, OM = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 1, k 1,k,k 0.

12 1, k 1 1, 1 l = k 1 lm 1 = k lm = k l = 1 k 1, m 1 = k, 1 k 1 m = k, 1 k 1 m 1 + m = 1, m 1,m 0, 0 < l 1. OD = m 1OB + mo, D B. OM = (1 l) O + l OD M = l D, M D, B. 1. :,B, k 1,k,k, 0 = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 0. : B, l B + m = 0 (l,m ), l( OB O) + m( O O) = 0, (l + m) O + l OB + m O = 0. k 1 = (l + m), k = l, k = m,, : k 1 O + k OB + k O = 0, k1 + k + k = :,B,,D, 0 = k 1 O + k OB + k O + k4 OD, k1 + k + k + k 4 = 0. : B D B,, D, l,m,n : l B + m + n D = 0,

13 1 l( OB O) + m( O O) + n( OD O) = 0, (l + m + n) O + l OB + m O + n OD = 0. k 1 = (l + m + n), k = l, k = m, k 4 = n,, k 1 O + k OB + k O + k4 OD = 0, k1 + k + k + k 4 = : B B, B, F : FB = k 1 : k, BD : D = k : k 1, E : E = k : k,, k 1,k.k. B M, O OM = 1 (k O + k1ob + ko). k 1 + k + k E D M F B 11 : D E BD = k k 1 + k B, E = k k + k. D = k k B + BD = B + B = B + ( B) k 1 + k k 1 + k = k 1 k 1 + k B + k k 1 + k, D BE M, BE = E k B = B. k + k M = l D, BM = m BE.

14 14 : M = B + BM, ( ) k1 k l B + = ( B + m k 1 + k k 1 + k B, : k k + k ) B. lk = mk k 1 + k k + k lk 1 = 1 m k 1 + k l = k 1 + k k 1 + k + k m = k + k. k 1 + k + k M = k 1 + k k 1 + k + k D. D F M, M = k 1 + k k 1 + k + k D, M M, D,BE,F M. O, OM = O + M = O + k 1 + k k 1 + k + k = k 1 O + ( OB k 1 + k + k = 1 (k O + k1ob + ko). k 1 + k + k ( ) k k B + k 1 + k k 1 + k k O) + ( O O) k 1 + k + k 1. P, Q [O; e 1, e, e ] (,,1), ( 1, 1,). P,Q. :.

15 15 Q( 1, 1, ) D e O P(,, 1) O e B e1. 1. BD,,D, D, DB [;, BD] : = = ( 1) + 0 BD, ( 1,0); D D = BD = BD, ( 1, 1 ) ; ( 1 D, 1 ) ; DB (0, 1). D = BD, DB = BD = 0 + ( 1) BD,. a, b, c (1,5,), (0,,4), (,, 1). a + c, a + b + 4 c. : a + c = (1,5,) + (,, 1) = (,10,4) + (,, 1) = (0,1,). a + b + 4 c = (1,5,) + (0,,4) + 4(,, 1) = (, 15, 6) + (0, 6,8) + ( 8,1, 4) = ( 11, 9, ). 4. B (1,,), (4,1,). (1) P, P B : ; () P, P B :.

16 16 : (1) P : PB = : P = PB..1, k = ( 14, P 5, 1 5, 1 ). 5 () BP = P, P (10,7,0). 5 (1, 1), B( 4,5), B = 5 B.. : (1) = 5 1 B, B + B = 5B. B = B, B x B = 1 + 1x y B = 1 + 1y : ( 4,9) () = 5 B, = 5B. x = x + 5x B y = y : (6, 1). + 5y B B (,0,) D(5,,0),,B. :,B,,D,,B (x,y,z ) (x B,y B,z B ), = D, D = DB. (x x,y y,z z ) = (x D x,y D y,z D z ), :, x = x x D = 1 y = y y D = z = z z D = 4. x B = x D x = 8 y B = y D y = 4 z B = z D z =.

17 17,B ( 1,,4) (8, 4, ) (). D B 6 D E F B 7 7.,B ( 6,5, 8), (4,0,7),,D,E,F,,D,E,F B. :,B,,D,E,F. = 1 B, D = DB, 4 E = EB, F = 4 FB. ( 4,4, 5), D (,, ), E (0,,1), F (,1,4). 8. BD., B (,1,5), (,,4), (1, 1,)., D. : M,,D (x,y,z ),(x D,y D,z D ). M,, 1 ( + x ) = 1 1 (1 + y ) = 1 1 (5 + z ) =, (5,, 1). M B,D, D (0,1,0). 9. (). : D,E,F B,,B. D BE G, D F G. G = k ( 1 D = k B + 1 ) = k B + k. [; ( k B, ], G, k ). BG = m ( 1 BE = m B + 1 ) B [ = m 1 B + 1 ( ] B)

18 18 m B, = m ( BG m, m ). G = B + BG,, ( k, k ) ( = (1,0) + m, m ), k = 1 m k = m k = m = ( 1. G, 1 )., G ( 1, 1 ). G = G. E D E D M F B 9 M F B : B D,BE F. D BE T. T = k D = k B + ( B + B ). [; B, ], B = ( a, = b. T k ) b a + b, k a a +. b BE = BT = m BE = 1 B + ( B B + B B), B m a + b a ( b a a + a ( b a ))

19 19 = m m a a + a + b. b a T = B + BT, ( k ) ( b a + b, k a a + m ) a = (1,0) + m, b a + b, a : : k b a + b = 1 m k a a + b = m a a + b a k = D F T, a + b a + b + b a. T = s s b D = a + s a a + b a + b. b ( s ) b T a + b, s a a +. b T = t t F = + ( t b B + B) = B b + a a t b, b T = + T, : ( s ) ( b a + b, s a a + t ) b = (0,1) + b b + a b, t, : : s b a + b = t b b + a b s a a + b = 1 t s = a + b a + b + a b.

20 0 s = k, T = T. 11 B, P P = k B + mt, k,m,t k + m = 1, k 1, m 1, 1 t 1. P B, k,m,t? : [; B, ]. (0,0), B(1,0), (0,1), P(k,mt). P B, k = 1, mt = 1. k + m = 1, m =, t = 1. 1., OB O 1 B 1 1, P 1, P = P 1, S 1, S = 1 S 1, Q,R O 1 1,B. : PQ RS. 1 P O 1 Q 1 O R 1 B B1 S B E H 1 : [O; O, O, OO1 ]. P = P 1, P = P 1 = 1, OP = O + P = O + 1 = O + OO 1, OQ = OO 1 + O 1 Q = OO O, F G D, PQ = OQ OP = O + OO O. OR = O + R = 1 B + OS = O + S = O, O + OO 1, RS = OS OR = O + OO O.

21 1 PQ = RS, PQ// RS. 1. BD, B,D,D B,. :. E,F,G,H. E = k 1 EB = B, 1 + k F = k FD = 1 D, 1 + k EF = F E = 1 BD. 1 + k, H = k 1 B G = kd HG = BD. EF = HG, EFGH. 14. : ( ), : 1 ( ). ( : ) : [V ; V, V B, V ]. G B, G1 V B, 1 : V G = 1 ( V + ( 1 V B + V ) =, 1, 1 ), G 1 = 1 ( 1 B + + V ) = ( V B V + V V V ) = 1 ( V + ( V B + V ) = 1, 1, 1 ). V G : 1 M,, V M = V G = 4 V + G 1 = 4 ( 1 4, 1 4, 1 ), 4 ( 1 4, 1 4, 1 ) = V M. 4 M V G G 1., : G,G V B V. G BG M, V ( 1 M = 4, 1 4, 1 ), 4 M = M, : 1.

22 V V E G 1 G D B 14 B ,. :,. : [V ; V, V B, V ], M, ( 1 V M = 4, 1 4, 1 ). D,E B,V. 4 D = 1 B = 1 V B 1 V, V D = 1 V + 1 ( 1 V B =, 1 ),0. V E = 1 ( V = 0,0, 1 ), ED = V D ( 1 V E =, 1 ), 1. V E + 1 ED = ( 1 4, 1 4, 1 ) = V M, 4 M ED ED : 1 1 : (1) = 5. () cos θ sinθ sinθ cos θ = 1.

23 () = 1. (4) 4 = x y z (5) =. (6) z x y = x + y + z xyz. y z x. : x y = 5, x y + z = 9, (1) () x 5y + z =, x + y = 1; x + y z = : (1) x = = 1 1 = 1, y = 1 = 1 1 = () x = = = 6 7, y = 1 6 = = , z = 1 6 = = e 1, e, e. (1) : a = e 1 + e e, b = e 1 e 10 e, c = e 1 + e + 6 e ; () d = a b + c e 1, e, e ; () f, a + b c + f = 0. : (1) x 1,x,x x 1 a + x b + x c = 0,

24 4 x 1 + x x = 0 x 1 x + x = 0 x 1 10x + 6x = 0, = 5 0,, a, b, c. () d = a b + c = ( e 1 + e e ) ( e 1 e 10 e ) + ( e 1 + e + 6 e ) = e e + e, d (,17,). () f = 1 ( a b + c ) = 1 ( 6 e e +7 e ) = e 1 +5 e + 7 e. 4. a, b, c? c?,. (1) a (5,,1), b ( 1,4,), c ( 1, 1,5); () a (,,), b (6,6,4), c (1, 1,0); () a (1,, ), b (, 4,6), c (1,0,5). : x 1 a + x b + x c = 0. (1),. () 5x 1 x x = 0 x 1 + 4x x = 0 x 1 + x + 5x = 0, = 11 0, 1 5 x 1 + 6x + x = 0 x 1 + 6x x = 0 x 1 + 4x = 0,

25 = 0, 4 0,. c a, b, x = 1, x 1 + 6x = 1 x 1 + 6x = 1 x 1 + 4x = 0,, c a, b. () x 1 x + x = 0 x 1 4x = 0 x 1 + 6x + 5x = 0, = 0,,. c a, b, x = 1, x 1 x = 1 x 1 4x = 0 x 1 + 6x = 5,, c a, b. 5. a, b, c (1, 1,), (,k,1), (1,1 k,k). : k, a, b, c?, k, a, c? : 0, 1 1 k 1 = k k + = k k

26 6 k = 1. a, c, 1 1 = 1 k 1 = k, k =. k = a, c. 6. e 1, e, e. v a, b, c?,. (1) a = e 1 + e + 4 e, b = e 1 e + e, c = e 1 + e + e, v = 6 e1 + e + 15 e ; () a = e 1 e + e, b = e 1 + e + e, c = e e + 5 e, v = e1 + e. : v = x 1 a + x b + x c,. (1) x 1 + x + x = 6 x 1 x + x = 4x 1 + x + x = 15, = 0,. 4 1 x 1 = x x = 1 x = k v = ( k) a + ( x, k) b + k c, k. x 1 + x x = () x 1 + x + 6x = 1 x 1 + x + 5x = 0, = 6, 5 : x 1 = = 11 6, x = = 16 9,

27 5 n x = 6 v = a + b c a, : = M 1 (1,a,a ), M (1, 1,1), M (,1, ), M 4 ( 1,,). : 4.5, a 1 a a = 7a 5a + = 0, 1 a a a a = n 1. n : n α, (1) 0α = 0; () ( 1)α = α; () k0 = 0 ( k); (4) kα = 0 k = 0 α = 0. : α = (a 1,,a n ), : (1) 0α = (0a 1,,0a n ) = (0,,0) = 0. () ( 1)α = (( 1)a 1,,( 1)a n ) = ( a 1,, a n ) = α. () k0 = (k0,,k0) = (0,,0) = 0. (4) kα = (ka 1,,ka n ) = (0,,0). α 0, a i 0, ka i = 0 k = 0.. :. : K, 1 K. n n = 1 } + {{ + 1 } K, n n K. K. n n 0, n K, 1 n n, 1 n K, m n ( m,n ), m = m n K, Q K. n

28 8. : a + b, a,b Q. : K, a 1 + b 1,a + b K, (a 1 + b 1 ) ± (a + b ) = (a1 ± a ) + (b 1 ± b ) K (); (a 1 + b 1 )(a + b ) = (a1 a + b 1 b ) + (a 1 b + a b 1 ) K ( ); a + b 0, a 1 + b 1 = (a 1 + b 1 )(a b ) a + b a b = a 1a b 1 b a b + a b 1 a 1 b a b K (). K,. 4. K, V K n. : k K, α,β V, (1) k(α β) = kα kβ; () } α + α + {{ + α } = nα; n () α + β = α + γ, β = γ. : α = (a 1,,a n ), β = (b 1,,b n ) (a i,b i K). k K, (1) k(α β) = k(a 1 b 1,,a n b n ) = (k(a 1 b 1 ),,k(a n b n )) = (ka 1 kb 1,,ka n kb n ) = k(a 1,,a n ) k(b 1,,b n ) = kα kβ. () α } + {{ + α } = (a 1 + a 1,a }{{} + + a,,a }{{} n + + a n ) = (na }{{} 1, n n n n,na n ) = nα. () γ = (c 1,,c n ), α + β = α+γ, : (a 1 + b 1,,a n + b n ) = (a 1 + c 1,,a n + c n ), a i + b i = a i + c i, b i = c i, β = γ. 1. : 6 (1) a = 5 i 6 j + k ; () b = 1 1 i k.

29 6 9 : (1) a 70 a 0 = a = 70 (5 i 6 j + k ). () b 1 b 0 = b = 1 ( i k ).. : (1) a = (1,,), b = (,1, ); () a =(,1, 1), b =(1, 1,4). : (1) a = 14, b =, a b = 6, cos a, b = 6 14 = 14 7, a, b = π arccos () a = 6, b =, a b = 7, cos a, b = 7 6 = 7 18, a, b = π arccos a e 0 : (1) a = (1, 1,), e = (1,1,1); () a = (,1,), e = (1,,0). : (1) e e 0 = e = (1,1,1), pr e 0 a = (Π e 0 a ) e 0 = ( a e 0 ) e 0 = e 0 = (1,1,1) = (1,1,1). () a e = 0, pr e 0 a = : (, 1,), B(0, 4,), (,,1). : B = (,,0), = ( 6,, 1), B = (,6, 1), B =, = B = 46 B, B. 5. : (,,1), B(7,6,9), (9,1, 5). : B = (4,8,8), = (6,, 6), B = 1( + 4) = 0, B. 6. a, b, c 60, a = 4, b =, c = 6. a + b + c. : a + b + c = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a + b + c + a b + a c + b c = ( )cos 60 = 100. a + b + c = 10.

30 0. 7. a =, b =, a, b = π 6. a + b a 5 b : ( a + b ) ( a 5 b ) = 6 a 10 b 11 a b = = , a, b, c (,5,7), (0,4,), ( 1,, 4). a + 4 b 5 c b + c. : p = a + 4 b 5 c = (14,1,5), q = b + c = ( 1,10,), p = 446, q = 105, p q = 0. cos p, q = : (1) a = (,, 6); () b = (,, 10). : (1) cos α = 6, cos β =, cos γ = () cos α = 11 11, cos β = 11 11, cos γ = a = (1,,4), b = (1,1,1), c = b k a (k ). (1) k c a ; () a, c d. : (1), c a a c = 0 a b k a = 0. a b = 7, a = 1, k = 1. () d a, c d a = d c = 0, c = b k a, d a = d b = 0. d = (x,y,z), d a = x + y + 4z = 0, d b = x + y + z = 0. x = z,y = z, d = (k, k,k) (k ). 11 a, b, s,t, s a + t b = t a s b,

31 6 1 a, b. : s a + t b = t a s b (s a + t b ) = (t a s b ). s + t + st a b = t + s st a b. st a b = 0. st 0, a b = 0, π. 1., OB O 1 1 B 1 1, O = 8, O = 6, OO 1 = 1. P O, P = OP, M B, M = MB, N B P MN. : O, O, OO1 i, j, k, [O; i, j, k ]. O 1 = 8 i + k = (8,0,1); OP = 1 O = j = (0,,0); OM = 8 i + O = 8 i + 4 j = (8,4,0); ON = 1 O + 6 j + k = (4,6,1); 1 P = OP O1 = ( 8,, 1); MN = ON OM = ( 4,,1). cos 1 P, MN = 5 = D O 1 O P B 1 N 1 1 D B1 M 1 B B : [; B, D, 1 ], 1. 1 = B + B + 1 = B + D + 1 = (1,1,1).

32 (a) B 1 = B + BB1 = B + 1 = (1,0,1), cos 1, B 1 = 6 =., 1 1 1, D 1, B 1, D 1, 6. (b) BD = D B = ( 1,0,1), cos 1, BD = 0 = 0, 1, BD = π.. 1 B 1 D, D 1, B 1, B 1, D 1 π. 14. ( a b ) c = a ( b c )?. : c, a. 0, a c, k 0, a = k c. a = k c, = k( c b ) c = (k c )( b c ) =. 0, a, b, c ; 0, a b = b c = 0, b a, c. 15. a x = b x. : ( a b ) x = 0, : (a) a b 0, x a b ; (b) a b = 0, x. 16. a, b, c, a x = 0, b x = 0, c x = 0. x = 0.. : a, b, c,, x, : x = k 1 a +k b +k c. x = k 1 ( a x )+k ( b x )+k ( c x ) = 0, : x = a, b, c a a a b a c b a b b b c = 0. c a c b c c : a, b, c k 1,k,k : k 1 a + k b + k c = 0. k 1 a + k ( a b ) + k ( a c ) = 0 k 1 ( b a ) + k b + k ( b c ) = 0 k 1 ( c a ) + k ( c b ) + k c = 0,

33 6 x a + y( a b ) + z( a c ) = 0 x( b a ) + y b + z( b c ) = 0 x( c a ) + y( c b ) + z c = 0 ( ) x = k 1, y = k, z = k. 4.1, a a b a c b a b b c = 0. c a c b c, a a b a c b a b b c c a c b c = 0, ( ), x = k 1, y = k, z = k, p = k 1 a + k b + k c,. ( ) : p = k 1 p a + k p b + k p c = 0, p = 0, a, b, c,. 18. B, B H. B, H. B H 18 : H = B + k B H B = 0, B B + k B = 0. k = B B, B H = ( B B) B B. B

34 4 B = B, H = 1 ( B) [( ( B)) B ( B ( B)) ]. 19 BD, B = a, B = b, D = c, D = d., a b = b c = c d = d a, BD?? : a + b + c + d = 0, a + b = ( c + d ) a + d = ( b + c ) : a + b + a b = c + d + c d a + d + a d = b + c + b c a + b = c + d, a + d = b + c. a = c, b = d. B = D, B = D, BD, a + c = 0, b + d = 0. a b = b c = a b 0 = a b = b c = c d = d a. BD. 0. a,b,c,d,. a,b,c,d. :, : = B + B = D + D, BD = B + D = B + D. BD = ( B+ B) ( B+ D) = B + B B+ B D+ B D; BD = ( B+ B) ( B+ D) = B + B D B B+ D B; BD = ( D+ D) ( B+ D) = D + D B+ D D B D; BD = ( D+ D) ( B+ D) = D B D+ B D D D. 4, : 4 BD = D + B B D + B D + D B.

35 6 5 B + B + D + D = 0 B + D = D B. ( B + D) = ( D B) D + B B D = ( B D + D B). 4 BD = ( D + B B D ) = (b + d a c ). a + c = b + d,. D Q O B 0 B P 1 1 B. B = a, = b, B = c,, r. PQ BP Q : (1), (). PQ, a,b,c r. : PQ, Q = P, Q = P = r. BP = B + P, Q = + Q, BP Q = ( B + P) ( + Q) = B + ( B) P r = B + B P r.

36 6 (1) BP Q B P, P = k B, k > 0; () BP Q B P, P = m B, m > 0. P = r, k = m = r a, PQ = P. : (1) r PQ = B, a cbcos B + ar r = b + c a + ar r ; () r PQ = B, a cbcos B ar r = b + c a ar r. S = { x x + a x 1}, a. : x, y S 0 t 1, t x + (1 t) y S. : x + a ( ) x 1 x a a a r = 1 + 4, x S a x, r (). 0 t 1 x, y S, t x + (1 t) a y + a r = t x + (1 t) ( a ) ( y + = t x a ) + + (1 t) y a + t a x + + (1 t) a y + tr + (1 t)r = r. t x + (1 t) y S. 1 4, H 1,H,H,H 4 4, 4 1, 4 1, 1. : H 1,H,H,H 4. (: ) : O. r, O i = r. 4, OH 1 = O + O + O 4, H 1 4 = ( OH 1 O )( O 4 O ) = ( O 4 + O )( O 4 O ) = 0.

37 6 7, H 1 4 = 4 H 1 = 0, H OH i = ( O 1 + O + O + O 4 ) O i, (i = 1,,,4) OH 0 = 4 O i,, OH i OH 0 = O i = r. i=1 H 1,H,H,H 4 H 0 r. 4 0 < a < 1, 0 < b < 1. : a + b + (1 a) + b + a + (1 b) + (1 a) + (1 b). : [O; i, j ]. (0,0), B(1,0), (1,1), D(0,1), 1. P(a,b), P BD, P = a + b, PB = (1 a) + b, P = (1 a) + (1 b), PD = a + (1 b). P + P =, PB + PD BD =,. 5 P 1,P,,P 6 O 1 6. : OP 1, OP,, OP 6 OP i OP j (1 i j 6) OP i + OP j. : a ij OP i OP j ( π), a ij = P i OP j π. a 0 = min{a ij 1 i j 6}, 0 < a 0 π. OP 1 OP,, OP 6, a 1 > π, a > π,..., a 16 > π, π = a a 61 > 6 π = π,. a 1 = P 1 OP π. OP 1 + OP = + cos a =. OP 1 + OP. 6 a,b,c : a + b + c = 0, a + b + c = 1. r i = (x i,y i,z i ) (i = 1,,6), {x i,y i,z i } = {a,b,c}. r i r j, ri r j 1. : p = (1,1,1). r i (1 i 6), r i p = 0. r 1,, r 6 p,. r i = 1 (1 i 6), r1,, r ,, r i r j, r i + r j. r i + r j + ( r i r j ), r i r j 1.

38 8 7 1., a, b, c (1,0,1), (1,,0), ( 1,,1), ( a + b ) ( b c ). : a + b = (4,,), b c = (, 4, 1), ( ) ( a + b ) ( b c ) = 4 1, 4 1, 4 4 = (14,10, 1).. ( a b ) a b.. : ( a b ) = a b = a b sin a, b a b, sin a, b = 0. : a // b.. a, b, ( a b ) ( a + b ) = ( a b ),. : ( a b ) ( a + b ) = a a + a b b a b b = ( a b ). : a, b, a b, a + b. :. 4. c, c a, c b,, (1) a = i j + k, b = 4 j 5 k ; () a = i j + k, b = i + j k. : c = a b. c a, c b. : (1) c = a b = i + 5 j + 4 k. () c = a b = i + j + 5 k. ( ) 5. a, b : (1) a = i + 4 j + k, b = i + j + k ; () a = i + j + k, b = i j. : (1) a b = i + j 5 k, a b = 0. a, b 0. () a b = i + j k, a b =, a, b.

39 7 9 B D P B 1 1 D , BD 1 B 1 1 D 1, P DD 1. 1 B 1. : (1) 1 P 1 ; () P 1 ; () 1 1. : [ 1 ; 1 B 1, 1 D 1, 1 ]. P DD 1. : 1 P = 1 D 1 + D 1 P = 1 D 1 + k D 1 D = 1 D 1 + k 1 = (0,1,k), 1 = (1,1,1). (1) 1 P () P = 1 1 = (0,1,k) (0,0,1) = (1,0,0) = 1 B 1. 1 P = (1,0,1 k), P 1 = (1,0,1 k) (0,0,1) = (0, 1,0) = 1 D 1 = D 1 1. () 1 1 = (1,1,1) (0,0,1) = (1, 1,0) = 1 B 1 1 D 1 = u = i + j k, v = 8 i 5 j + k. v 1, v, v = v1 + v, v 1 u, v // u. : u u 0 = u = 1 (,, 1), pr 14 u 0 v = ( v u 0 ) u 0 = 17 (,, 1). 7 v = 17 7 ( i + j k ), v1 = v v = 7 ( 11 i + 8 j + k ), : v // u, v 1 u = u, v. (1) : v v = v 1 + v,, v 1 u, v // u ; () v 1, v. : (1) v : v = v 1 + v = v 1 + v,. v 1 u, v 1 u, v // u, v // u, v 1 v 1 = v v. ( v 1 v 1 ) u = 0, ( v v ) u = 0, v 1 v 1 u, v 1 v 1 // u, u 0, : v 1 v 1 = 0, v v = 0, v 1 = v 1, v = v. () v = pr u 0 v = ( v u 0 ) u 0 = ( v u ) u, v1 = v v u. v // u, v1 u = v u ( v u ) u = 0, v u 1 u. : v = v 1 + v, (1)

40 40, v u v = u u v1 = v v. 9. a, b, c. : a + b + c = 0 a b = b c = c a. : a + b + c = 0, b c a b + c b = 0 a c + b c = 0, a b = b c = c a., p = a + b + c. p b = a b + c b = 0 p c = a c + b c = 0. p 0, p, b p, b b c,. 10. a, b, B = a + b, B = a + 8 b, D = ( a b ). :,B,D. :,B,D, : B BD = 0. BD = B + D = 5 a + 5 b = 5( a + b ) = 5B, B BD = 0, :,B,D. 11. O, OB, O OB O + O O + O OB = 0. :,B,. :,B, : B = 0. B = OB O, = O O, B = ( OB O) ( O O) = OB O+ O OB+ O O = 0,,B,. 1. a = p n, b = q n, c = r n, a, b, c.. : n a = n b = n c = 0, n 0, a, b, c ;, n = 0 a = b = c = 0,.

41 : 8 (1) a = i j k, b = 5 i + 4 j k, c = 11 i k ; () a = i + j k, b = i 4 j k, c = i 5 j + k ; () a = i + j + k, b = 4 i 5 j + k, c = 7 i 5 j + 8 k ; (4) a = j + k, b = i j, c = i + j k. : (1) ( a, b, 1 c ) = 5 4 = 88 0, a, b, c () ( a, b, 1 c = 1 4 = 5 0, a, b, c. 1 5 () ( a, b, 1 c ) = 4 51 = 40 0, a, b, c (4) ( a, b, 0 1 c ) = 0 = 0, a, b, c. 1. a, b, c : (1) a = i + j + k, b = i j + k, c = i + j + k ; () a = i + k, b = i j + k, c = i + 5 j k ; () a = i j k, b = i j + k, c = i + j ; (4) a = i, b = i + j ; c = i + j + k. : (1) V = ( a, b, 1 1 c ) = 1 1 = () V = ( a, b, 0 1 c ) = 1 1 = 1 = () V = ( a, b, c ) = 1 = 1 =

42 4 (4) V = ( a, b, c ) = = : (1) (1,, 1), B(0,1,5), ( 1,,1), D(,1,); () (,,1), B(,0, 1), ( 1, 4,5), D(,,4); () (1,, ), B(,5, 1), (0,,7), D(,1,); (4) (1,0,1), B(0, 1,), (1,, ), D(,0, 1). :,B,,D, B,, D. ( B,, D). (1) B = ( 1, 1,6), = (,0,), ( B,, D) = D = (1, 1,4), = 0, () B = ( 1,, ), = ( 4,,4), D = (0,0,), ( B,, D) = = 0 0,. 0 0 () B = (,,), = ( 1, 4,10), D = (1, 1,6), ( B,, D) = = 0 0,. (4) B = ( 1, 1,1), = (0,, ), D = (1,0, ), ( B,, D) = = 45 0, , B,, D : (1) ( 1,0,1), B(,1,4), (1,, ), D(, 1,); () (, 1,1), B(5,4,4), (,, 1), D(4,1,); () (1,0,), B(1, 1,0), (,, 1), D(,1,0);

43 8 4 (4) (,, 1), B(1,, ), (,,1), D(1,1,1). : (1) B = ( 1,1,), = (,, 4), D = ( 1, 1,), V = ( B,, D) = = () B = (,5,). = (0,4, ), D = (,,1), V = 1 1 ( B,, D) = = 0 6 () B = (0, 1, ), = (1,, ), D = (,1, ), V = 1 1 ( B,, D) = 6 6 = = 10 6 = 5. 1 (4) B = ( 1,0, 1), = (0, 4,), D = ( 1, 1,), V = 1 1 ( B,, D) = = D B 1 D 5 B 5., BD 1 B 1 1 D 1, B = 4, D = 1 =. (1) 1 1 BD ; () D 1 1 BD. : D, D, DD 1 i, j, k, [D; i, j, k ]. D 1 = (,0,), DB = (,4,0), D 1 = (0,4,).

44 44 (1) 1 1 BD d = ( D 1, DB, D 1 ) DB D 1 = (8, 4,8) = 1 = 8. () D 1 //B 1, D 1 // 1 BD. D 1 1 BD D 1 1 BD ( D, DB, D1 ) 0 4 d = DB = D 1 1 = 16 1 = a = a 1 e1 + b 1 e + c 1 e, b = a e1 + b e + c e, c = a e1 + b e + c e. ( a, b, a 1 b 1 c 1 c ) = a b c ( e 1, e, e ). a b c : a b = (a 1 e1 + b 1 e + c 1 e ) (a e1 + b e + c e ) = a 1 b e1 e + a 1 c e1 e + b 1 a e e 1 + b 1 c e e + c 1 a e e 1 + c 1 b e e = (a 1 b b 1 a ) e 1 e + (a 1 c c 1 a ) e 1 e + (b 1 c c 1 b ) e e, ( a, b, c ) = ( a b ) c = [(a 1 b b 1 a ) e 1 e +(a 1 c c 1 a ) e 1 e + (b 1 c c 1 b ) e e ] (a e1 +b e +c e ) = [(a 1 b b 1 a )c ]( e 1, e, e ) [(a 1 c c 1 a )b ]( e 1, e, e )+[(b 1 c c 1 b )a ]( e 1, e, a 1 b 1 c 1 e ) = a b c ( e 1, e, e ). a b c ( ). 7. : ( a, b, c ) a b c. : ( a, b, c ) = ( a b ) c = a b c cos a b, c a b c = a b c sin a, b a b c. 8. : a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) = 0.

45 8 45 : 7.7 : a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c,. b ( c a ) = ( a b ) c ( b c ) a, c ( a b ) = ( b c ) a ( a c ) b, 9. :, B,, P, a, b, c, p ( p, b, c ) + ( a, p, c ) + ( a, b, p ) ( a, b, c ) = 0. :,B,,P P, PB, P. a = O, P = a p, b = OB, c = O, PB = b p, p = OP, P = c p. P, PB, P ( P, PB, P) = 0, ( a p, b p, c p ) = 0, ( a, b p, c p ) ( p, b p, c p ) = 0, ( a, b, c ) ( a, b, p ) ( a, p, c ) ( p, b, c ) = 0, ( p, b, c ) + ( a, p, c ) + ( a, b, p ) ( a, b, c ) = (1) ( a b ) ( c d ) = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d ; () ( a b ) ( c d ) = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a. : (1) ( a b ) ( c d ) = ( c d ) ( a b ) = [ c ( a b ) d d ( a b ) c ] = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d.

46 46 () ( a b ) ( c d ) = [ a ( c d )] b [ b ( c d )] a = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a. 11. a, b, c, d ( b, c, d ) a + ( c, a, d ) b + ( a, b, d ) c + ( b, a, c ) d = 0. : 10 ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a,. 1. : (1) ( a b, b c, c a ) = ( a, b, c ) ; () ( b c ) ( a d )+( c a ) ( b d )+( a b ) ( c d ) = ( a, b, c ) d ; () ( a d ) ( b c )+( b d ) ( c a )+( c d ) ( a b ) = 0; (4) ( a d ) ( b c )+( b d ) ( c a )+( c d ) ( a b ) = ( a b + b c + c a ). : (1) ( a b, b c, c a ) = [( a b ) ( b c )] ( c a ) = [( a, b, c ) b ( b, c, b ) a ] ( c a ) = ( a, b, c ) ( c, a, b ) = ( a, b, c ). () ( b c ) ( a d ) = ( a d ) ( b c ) = ( b, c, a ) d + ( b, c, d ) a, ( c a ) ( b d ) = ( b d ) ( c a ) = ( c, a, b ) d + ( c, a, d ) b, ( a b ) ( c d ) = ( c, d, a ) b ( c, d, b ) a, ( b c ) ( a d ) + ( c a ) ( b d ) + ( a b ) ( c d ) = ( a, b, c ) d. () ( a d ) ( b c ) = a b a c b d + c d, ( b d ) ( c a ) = b c a b c d + a d, ( c d ) ( a b ) = a c b c a d + b d, : ( a d ) ( b c ) + ( b d ) ( c a ) + ( c d ) ( a b ) = 0. (4) ( a d ) ( b c ) = a b a c + b d c d, ( b d ) ( c a ) = b c + a b + c d a d, ( c d ) ( a b ) = a c + b c + a d b d,

47 8 47. : ( a d ) ( b c ) + ( b d ) ( c a )( c d ) ( a b ) = ( a b + b c + c a ). 1. r i (i = 1,,,4), : ( r 1 r )( r r 4 ) + ( r 1 r )( r 4 r ) + ( r 1 r 4 )( r r ) = 0. : 8.7, ( r 1 r ) ( r r 4 ) = ( r 1 r )( r r 4 ) ( r 1 r 4 )( r r ), ( r 1 r ) ( r 4 r ) = ( r 1 r 4 )( r r ) ( r 1 r )( r r 4 ), ( r 1 r 4 ) ( r r ) = ( r 1 r )( r r 4 ) ( r 1 r )( r r 4 ),. 14. a, b, c b c, c a, a b : b c, c a, a b ( a b, b c, c a ) = 0, 1 (1) : ( a b, b c, c a ) = ( a, b, c ), a. b. c a b, b c, c a. 15 a,b,c, a + b + c < 1. p = (1 a,0,0), q = (0,1 b,0), 1 r = (0,0,1 c). : V, V = ( p q ) 1 a 0 0 r = 0 1 b 0 = (1 a)(1 b)(1 c) c (1 a)(1 b) = 1 (a + b) + ab 1 (a + b) > 0, (1 c)(1 b)(1 a) = (1 b)(1 a) c(1 b)(1 a) 1 a b c > a = (x 1,y 1,z 1 ), b = (x,y,z ). : x 1 x + y 1 y + z 1 z x 1 + y1 + z1 x + y + z. : ( a b ) ( a b ) = a b ( a b ).

48 48 a b = ( y 1 z 1 y z, x 1 z 1 x z, x 1 y 1 x y ) ( a b ) = (y 1 z y z 1 ) + (x 1 z x z 1 ) + (x 1 y x y 1 ), a b = (x 1 + y 1 + z 1)(x + y + z ), ( a b ) = (x 1 x + y 1 y + z 1 z ). (x 1 x + y 1 y + z 1 z ) = (x 1 + y 1 + z 1)(x + y + z ) [(y 1 z y z 1 ) + (x 1 z x z 1 ) + (x 1 y x y 1 ) ], x 1 x + y 1 y + z 1 z x 1 + y 1 + z 1 x + y + z. x 1 x = y 1 y = z 1 z B B(,0), (,0). 7x 5y 5 = 0,. : (x,y), x = x + x B + x = x x = x y = y + y B + y = y, y = y. (x,y ) 7x 5y 5 = 0, 1x 15y 5 = 0. M y Q N P O B x

49 9 49. l B P. B, P, PB MP BNP. MN Q. : B O, B x, [O; i. j ]. M ( l ) ( ) l,0, B,0, P(t,0), t l ( ), t + l, N MN Q : x Q = t y Q = 4 l. Q : y = 4 l ( l < t < l ). t + l ( ) l, t. ( l < t < l ) ( l 4 < x < l 4 ).

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((

AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( ((( ? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

!! "#$%& ! " # $ &%"+,(-. (# / 0 1%23%(2443

!! #$%& !  # $ &%+,(-. (# / 0 1%23%(2443 "#$& " # $ & ' &( &)* &"# &"+,(-. (# / 0 123(2443 2443 56 1 7 & '()(()(*+( ),)(-.(/)((,),24420 8.94: -; :53&:54::549 '()((0)(#'(1)(' ( )(-.(/)((,),24460..94: < * 94&5=>6 '()( 2( )(3(1)((0)('.( )4)((,)

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

! "#! & "0/! ).#! 71 1&$ -+ #" &> " %+# "1 2$

! #! & 0/! ).#! 71 1&$ -+ # &>  %+# 1 2$ "#$" &""'(() *+ , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. / 0-1 2 $1 " 1 /& 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii).. இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers 1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2

SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2 SKEMA PERCUBAAN SPM 07 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS SOALAN. a) y k ( ) k 8 k py y () p( ) ()( ) p y 90 0 0., y,, Luas PQRS 8y 8 y Perimeter STR y 8 7 7 y66 8 6 6 6 6 8 0 0, y, y . a).. h( h) h h h h h h 0

Διαβάστε περισσότερα

1 Adda247 No. 1 APP for Banking & SSC Preparation Website:store.adda247.com

1 Adda247 No. 1 APP for Banking & SSC Preparation Website:store.adda247.com Adda47 No. APP for Banking & SSC Preparation Website:store.adda47.com Email:ebooks@adda47.com S. Ans.(d) Given, x + x = 5 3x x + 5x = 3x x [(x + x ) 5] 3 (x + ) 5 = 3 0 5 = 3 5 x S. Ans.(c) (a + a ) =

Διαβάστε περισσότερα

!"##"$!!%&!!'"! -.(""!/0.. +(!,"

!##$!!%&!!'! -.(!/0.. +(!, !"##"$!!%&!!'"! "#$'()*! -.(""!/0.. +(!," / %% 12$ 3%'! 45!#,(4 6!$(!##%( "$ #(!(#!!# '# $!!&%' $(!"( 2$!# *("(''4&7'(8!8 %(&(!&'&7%"$#"$74#!&'77(!(#6!&9(%7! #&& (!#!&# ($( (!"!"3%'! 4#%&&7'!& ($#4# (#!#%#%''4,(4

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

Answers to practice exercises

Answers to practice exercises Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Progress in surface and subsurface water studies at plot and small basin scale

Progress in surface and subsurface water studies at plot and small basin scale INTERNATIONAL HYDROLOGICAL PROGRAMME Progress in surface and subsurface water studies at plot and small basin scale 10 th Conference of the Euromediterranean Network of Experimental and Representative

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

9 1. /001/2 27 /8? /89 16 < / B? > DEE F

9 1. /001/2 27 /8? /89 16 < / B? > DEE F !" #$ %! &!$ % ' $ ($ $ ) #%*!! +!(, % -. /001/2 03 4 /1. / 5 /6 0/078/2 27 91 1:3 /14 10 72 91.1;11 27 < 2 82 27 = 9 /62025 9> / = 9> 0/80 > /8? /89 16 < 3 9 4 24 4 /11 / 89 ;1 @ = 271002 A1? B 602 C

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. y y 4 y

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &

J! #$ %& ( ) ) )  *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) & J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο. Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 = 2

2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο. Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 = 2 2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος 2012-2013 Ά τετράμηνο Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Α. Να αποδειξετε ότι αν M ( xm, y M) το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος

Διαβάστε περισσότερα

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ

Διαβάστε περισσότερα

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l = C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

!!"#$"%&'()%*$& !! )!+($,-./,0. !! )!"% $&)#$+($1$ !!2)%$34#$$)$ !!+(&%#(%$5$( #$%

!!#$%&'()%*$& !! )!+($,-./,0. !! )!% $&)#$+($1$ !!2)%$34#$$)$ !!+(&%#(%$5$( #$% !!"#$"%&'()%*$&!! )!+($,-./,0.!"#!! )!"% $&)#$+($1$!!2)%$34#$$)$!!+(&%#(%$5$( #$% & !"# $ $ % # &#$ '()*+, -,./ $* 0" 10#')230##445$&% ##* % 0# ' 4#, ) 0# $, 0# 6 7% % # #* # 8#10&29,:# )) )# )#

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

*+,'-'./%#0,1"/#'2"!"./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!"#/5".+!"#$() $!"#%"&'#$() 50&(#5"./%#0,1"/#'2"+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!.

*+,'-'./%#0,1/#'2!./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!#/5.+!#$() $!#%&'#$() 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!. # #$%&'#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 :; #/5.+#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 #$% $ #%&'#$( 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02)

ITU-R P (2012/02) ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU

Διαβάστε περισσότερα

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw) PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γι ν μη μετινηθεί το σώμ χρειάζετι ν εφρμοστεί δύνμη B F F F F F5 Σ F F F 5 F F Β i Έχουμε διδοχιά: γ δ δ γ BA Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

!" #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& !" #$ -4*30*/335*

! #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& ! #$ -4*30*/335* !" #$ %#&! '( (* + #*,*(**!',(+ *,*( *(** *. * #*,*(**( 0* #*,*(**(***&, 1#,2 (($3**330%#&!" #$ 4*30*335* ( 6777330"$% 8.9% '.* &(",*( *(** *. " ( : %$ *.#*,*(**." %#& 6 &;" * (.#*,*(**( #*,*(**(***&,

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Διανύσματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διανύσματα ιανύσματα (ectors Ορισμός: Προσανατολισμένο ευύγραμμο τμήμα που έχω την ελευερία να το μεταφέρω σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Έχουν τρία στοιχεία: Μήκος ιεύυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ

Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

!""#$%!& '% ("#% )'*+, &,!" &, ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&

!#$%!& '% (#% )'*+, &,! &, ' %!'! &#-(5-1-,!& !""#$%!& '% ("#% )'*+, "!,'--"!!./%&-'012'& "-')'3"4',"'""-,, &,!" &, 3. - 5 1 ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&,'--1'#". -'!! "--''!,. 3,"'%'%,,-" '4!, 5 #" "!, '%& " 3--& " 4'%! "#!6,%3 "#!3 ",%3 2,-! "#13 '& "#%-,&"#-"-,"-!3&-',,3"

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

a,b a f a = , , r = = r = T

a,b a f a = , , r = = r = T !" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02) &' (

ITU-R P (2012/02) &' ( ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!

..., ISBN: :.!. # -. $, %, 1983 &$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') !$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $! !! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!! ! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**.

!  #! $ %&! '( #)!' * +#,  -! %&! !! !  #$ % #  &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**. ! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!!! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / 0123 4 # ' -. + &' (, % #. -5 0126, 2**., 2, + &' %., 0, $!, 3,. 7 8 ', $$, 9, # / 3:*,*2;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 01-01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α -ΘΕΩΡΙΑ -ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ -ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χεμερινό εξάμηνο 2006-07 ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 1 ΔΕΥΤΕΡΑ, 9-10-06, 11-13. ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ. Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 o. Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 4ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 301-400 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

! "#$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*'1 %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/1#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+71#%&+#1" 2)1 8')'(#0 1#$+*%4#"$"

! #$%&'!()' %*+,-.+* (*/0(/*'1 %+%/&2(#+) 3#(4 0+)(#)/+/ (*2#(5 3#(4 02' (/1#' +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+71#%&+#1 2)1 8')'(#0 1#$+*%4#$ !"#$%&' "( )*"'"+*,&' -.%&/*,0!"#$ %& '"$ (& )*+,- (.//& /02/3.! "#$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*' %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+7#%&+#" 2) 8')'(#0 #$+*%4#"$"

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( )

ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( ) 1 ITU-R P.530-1 ITU-R P.530-1 (ITU-R 04/3 ) (007-005-001-1999-1997-1995-1994-199-1990-1986-198-1978)... ( ( ( 1 1. 1 : - - ) - ( 1 ITU-R P.530-1..... 6.3. :. ITU-R P.45 -. ITU-R P.619 -. ) (ITU-R P.55

Διαβάστε περισσότερα

Teen Physique. 131 Luke Smith Lance Manibog Donail Nikooei 4 137

Teen Physique. 131 Luke Smith Lance Manibog Donail Nikooei 4 137 T hysq Fst Lst 20 Avo Vs 1 20 21 Rdy z 16 21 56 Ms Sz 8 56 67 Dy Gdy 15 67 82 Adw L 11 82 94 Do Csos 12 94 98 Jss Vs 6 98 103 Jss Mo 13 103 105 Dvd K 10 105 107 Jo By 9 107 112 Js Gtt 3 112 114 Ty MKy

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Μέρος 1 Διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Das Pentagramma Mirificum von Gauß

Das Pentagramma Mirificum von Gauß Wissenschaftliche Prüfungsarbeit gemäß 1 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien vom 07. Mai 198, in der derzeit gültigen Fassung Kandidatin: Jennifer Romina Pütz

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών . Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,

ITU-R SA (2010/01)!  # $% & '( ) * +, (010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα ιανύσµατα

Ασκήσεις στα ιανύσµατα Ασκήσεις στα ιανύσµατα Λυγάτσικας Ζήνων zenon7@otenet.gr http://blogs.sch.gr/zenonlig/ Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 15 Νοεµβρίου 014 c:\education\ B lycee \module\ module\revision vec.tex

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s

2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s ( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας

Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γιώργος Μπαλόγλου 4 η Μαθηματική Εβδομάδα, Θεσσαλονίκη, 7- Μαρτίου 0 Μνήμη Λουκά Κανάκη (95-0) υποθετικό κίνητρο: τομή δύο επιπέδων Ας θυμηθούμε ότι ένα επίπεδο E στον τρισδιάστατο

Διαβάστε περισσότερα

Review Exercises for Chapter 7

Review Exercises for Chapter 7 8 Chapter 7 Integration Techniques, L Hôpital s Rule, and Improper Integrals 8. For n, I d b For n >, I n n u n, du n n d, dv (a) d b 6 b 6 (b) (c) n d 5 d b n n b n n n d, v d 6 5 5 6 d 5 5 b d 6. b 6

Διαβάστε περισσότερα