C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
|
|
|
- Μνάσων Μελετόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD = D B = b a, BD 1 = b a + c. () F = D + DD 1 + D 1 F, DD 1 = 1, DD 1 = 1. D 1 F = 1 D 1 1 = 1 B,
2 F = 1 a + b + c. (4) ( EF = F ) E = F ( B + BE) = F ( B + BE) = 1 F B + B = 1 a + b + c 1 1 a b = 1 a + b + c.. BD BD. = a, BD = b. B, D, D. :, D B = O + 1 OB = + 1 DB = 1 ( a b ), D = 1 B = ( a b ), D = 1 D = ( O + OD) = ( a + b ). O B M. B, M,N B. = a, B = b. M, N. :, M = 1 B, N = B, M = + M = + 1 B = + 1 ( 1 B ) = b + a, N = + N = + B = + ( 1 B ) = b + a. 4. L,M,N B B,,B. L, BM, N. N B
3 1 : L, BM, N,. L = 1 ( B + ), : L + BM + N = 0. 1 BM = ( B + B), 1 N = ( + B), N M N M O B L 4 B L 5 5. O B, : O + OB + O = 0. :, L,BM,N, O. O = L = L, OB = BM, O = N, 4, O + OB + O = ( L + BM + N) = O B, G B. O, OB, O OG. : GO = G + O, GO = GB + BO, GO = G + O. 5 G + GB + G = 0. GO = O + BO + O. OG = 1 ( O + OB + O). 7. BDEF, B + + D + E + F. : D = + F = E+ B, B+ + D+ E+ F = D.
4 4 F E O G D B B BD, B = a + b, B = 4 a b, D = 5 a b ( a, b ). BD. : D = B+ B+ D = 8 a b = B, D// B. D = B, BD. 9.,B,,D, M,N B, D. : :, MN = 1 ( D + B). M = 1 ( + B), 1 N = D, MN = N M = 1 D 1 ( + 1 B) = ( D + B). B M N D O D M M BD, O. : O + OB + O + OD = 4 OM. B
5 1 5 :, OM = 1 ( O + O), OM = 1 ( OB + OD), O + OB + O + OD = 4OM. 11., a, b? (1) a + b = a + b ; () a + b = a b ; () a b = a b ; (4) a b = a + b. : (1) : a // b. a + b = a + b : a b, a, b 0. () c = a + b, a = c b, : c b = c + b. b // c. : a // b,, a b, b = 0. () c = a b, a = b + c, : b + c = b + c. (1) : b // c. a // b. a b 0, a b, b = 0. (4) c = a b, a = b + c, : b + c = c b. () : c // b, b = 0,, c b. a // b, b = 0 a = 0. 1.,. (1) b a a b ; () a + b + c a + b + c. : (1),. 11(): a // b,, a b, b = 0. b b a a 1(1) () d = b + c. : a + b + c = a + d a + d = a + b + c a + b + c. (i) a, b, c, (ii) a, b, c 0 ( (i) ). 1. O 1 n. : O 1 + O + + O n = 0.
6 6 : n.. : O O n = 0. n : B 1,,B n n 1 n : 1 B 1 B n 1 B n 1 n B n, n. O 1 + OB 1 + O + OB + + O n + OB n = 0. OB i O i π, : n p = O1 + + O n, q = OB1 + + OB n, q p π n. 0 < π n < π, q p, p + q = 0 p = q = O 1 n, P. : P 1 + P + + P n = n PO. : PO = P i + i O (i = 1,,,n), n PO = P1 + + P n + ( 1 O + + n O) = P P n ( 1 ). 1. a, b, c = a + b d = a b? : k m : k c + m d = 0, k a + k b + m a m b = 0, (k + m) a + (k m) b = 0. a, b, a, b, k + m = 0 k = m = 0, k m = 0
7 7 c, d.. a, b,. : p = c 11 a + c1 b, q = c1 a + c b, r = c1 a + c b. x 1 p + x q + x r = (x1 c 11 + x c 1 + x c 1 ) a + (x 1 c 1 + x c + x c ) b. c 11 x 1 + c 1 x + c 1 x = 0 c 1 x 1 + c x + c x = 0, x 1 = k 1, x = k, x = k, k 1 p +k q +k r = (k1 c 11 +k c 1 +k c 1 ) a +(k 1 c 1 +k c +k c ) b = 0. p, q, r,.. k 1 a k b, k b k c, k c k1 a. : (k 1 a k b ) + (k b k c ) + (k c k1 a ) = 0,,. 4. a 1 = b 1 + b b, a = b b, a = b + b. a1, a, a b 1, b, b. : k 1 a1 + k a + k a = k 1 b1 + (k 1 + k + k ) b + ( k 1 k + k ) b. k 1 = 0 k 1 + k + k = 0 k 1 k + k = 0 k 1 = k = k = 0., k 1,k,k k 1,k 1 + k + k, k 1 k + k. a 1, a, a b 1, b, b. a 1, a, a b 1, b, b. 5. D B B, BD = k D. B, D.
8 8 : BD = D B, D = D. BD = kd, D 1 B = k kd, D = B + k. 1 + k 1 + k B D 5 B T 6 6. T B ( B T ), T B,. : BT = k B, T = (1 k) B., B : = k : (1 k), k = B. B + T = B + BT = B + kb = (1 k) B + k 1 = ( B + B ). B + 7 OB, B, D OB : 1, D O E. O = a, OB = b. (1) a, b O D; () OE : O. O E D 7 B : (1) B, B = B = ( a b ). OD = OB = 1 b, DB = OB = 1 b, D = DB + B = 5 a b. O = OB + B = a b.
9 9 () OE = ko = k a, OE = OD + md k a = b + ( m a 5 ) b. k = 4, OE : O = 4 : B, M B : 1, N :. M BN P, P B Q. B, P Q. : M = B, N =, BN = N B = 5 5 B, M = M = B. P = km, BP = mbn. P = B + BP ( k B ) = ( B + m ) B. 5 k =. P = + ( P = + ) B = 4 B Q B P, Q = l P = B + sb. ) ( 4 l 9 B + 1 l = 9, Q = 4 B = B + s( B). D Q N Q F P P E B M B BD, P,Q B,D. P,Q BD E,F, BD. : B = a, D = b, BD = D B = b a,
10 10 : P = 1 B + Q = E = k P (k > 0), E = k a + k b, B = a + 1 b, 1 D + D = b + 1 a. F = m Q (m > 0), m F = m b + a. E = B + tbd = a + t( b a ) = (1 t) a + t b (t > 0). k a + k b = (1 t) a + t b, (k + t 1) a = ( t k ) b, a b, k + t 1 = 0 t k = 0 k = t = 1., F = B + sbd = (1 s) b + s b (s > 0), : m + s 1 = 0 s m = 0, : m = s =. : BF = BD, BE = 1 BD, E,F BD. 10. O, :,B,, M B k 1,k,k, OM = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 1.
11 11 : B, B,. M B M, B,, : M, B,, 0 m 1,m,m, O : m 1 M + m B + m = 0, m 1 ( OM O) + m ( OB O) + m ( O O) = 0, m 1 OM = (m1 + m + m ) O m OB m O. m 1 0, B,. : k 1 = 1 m 1 (m 1 + m + m ), k = m m 1, k = m m 1, OM = k 1O + kob + ko, k 1 + k + k = O, : M B ( ) k 1,k,k, OM = k 1O + kob + ko, k1 + k + k = 1. : M, B D. M = l D, 0 l 1. D B,.1, m 1,m, OD = m 1OB + mo, m1 + m = 1,m 1,m 0. OM = O + M = (1 l) O + l OD = (1 l) O + lm 1OB + lmo. k 1 = 1 l, k = lm 1, k = lm, OM = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 1, k 1,k,k 0.
12 1, k 1 1, 1 l = k 1 lm 1 = k lm = k l = 1 k 1, m 1 = k, 1 k 1 m = k, 1 k 1 m 1 + m = 1, m 1,m 0, 0 < l 1. OD = m 1OB + mo, D B. OM = (1 l) O + l OD M = l D, M D, B. 1. :,B, k 1,k,k, 0 = k 1 O + k OB + k O, k1 + k + k = 0. : B, l B + m = 0 (l,m ), l( OB O) + m( O O) = 0, (l + m) O + l OB + m O = 0. k 1 = (l + m), k = l, k = m,, : k 1 O + k OB + k O = 0, k1 + k + k = :,B,,D, 0 = k 1 O + k OB + k O + k4 OD, k1 + k + k + k 4 = 0. : B D B,, D, l,m,n : l B + m + n D = 0,
13 1 l( OB O) + m( O O) + n( OD O) = 0, (l + m + n) O + l OB + m O + n OD = 0. k 1 = (l + m + n), k = l, k = m, k 4 = n,, k 1 O + k OB + k O + k4 OD = 0, k1 + k + k + k 4 = : B B, B, F : FB = k 1 : k, BD : D = k : k 1, E : E = k : k,, k 1,k.k. B M, O OM = 1 (k O + k1ob + ko). k 1 + k + k E D M F B 11 : D E BD = k k 1 + k B, E = k k + k. D = k k B + BD = B + B = B + ( B) k 1 + k k 1 + k = k 1 k 1 + k B + k k 1 + k, D BE M, BE = E k B = B. k + k M = l D, BM = m BE.
14 14 : M = B + BM, ( ) k1 k l B + = ( B + m k 1 + k k 1 + k B, : k k + k ) B. lk = mk k 1 + k k + k lk 1 = 1 m k 1 + k l = k 1 + k k 1 + k + k m = k + k. k 1 + k + k M = k 1 + k k 1 + k + k D. D F M, M = k 1 + k k 1 + k + k D, M M, D,BE,F M. O, OM = O + M = O + k 1 + k k 1 + k + k = k 1 O + ( OB k 1 + k + k = 1 (k O + k1ob + ko). k 1 + k + k ( ) k k B + k 1 + k k 1 + k k O) + ( O O) k 1 + k + k 1. P, Q [O; e 1, e, e ] (,,1), ( 1, 1,). P,Q. :.
15 15 Q( 1, 1, ) D e O P(,, 1) O e B e1. 1. BD,,D, D, DB [;, BD] : = = ( 1) + 0 BD, ( 1,0); D D = BD = BD, ( 1, 1 ) ; ( 1 D, 1 ) ; DB (0, 1). D = BD, DB = BD = 0 + ( 1) BD,. a, b, c (1,5,), (0,,4), (,, 1). a + c, a + b + 4 c. : a + c = (1,5,) + (,, 1) = (,10,4) + (,, 1) = (0,1,). a + b + 4 c = (1,5,) + (0,,4) + 4(,, 1) = (, 15, 6) + (0, 6,8) + ( 8,1, 4) = ( 11, 9, ). 4. B (1,,), (4,1,). (1) P, P B : ; () P, P B :.
16 16 : (1) P : PB = : P = PB..1, k = ( 14, P 5, 1 5, 1 ). 5 () BP = P, P (10,7,0). 5 (1, 1), B( 4,5), B = 5 B.. : (1) = 5 1 B, B + B = 5B. B = B, B x B = 1 + 1x y B = 1 + 1y : ( 4,9) () = 5 B, = 5B. x = x + 5x B y = y : (6, 1). + 5y B B (,0,) D(5,,0),,B. :,B,,D,,B (x,y,z ) (x B,y B,z B ), = D, D = DB. (x x,y y,z z ) = (x D x,y D y,z D z ), :, x = x x D = 1 y = y y D = z = z z D = 4. x B = x D x = 8 y B = y D y = 4 z B = z D z =.
17 17,B ( 1,,4) (8, 4, ) (). D B 6 D E F B 7 7.,B ( 6,5, 8), (4,0,7),,D,E,F,,D,E,F B. :,B,,D,E,F. = 1 B, D = DB, 4 E = EB, F = 4 FB. ( 4,4, 5), D (,, ), E (0,,1), F (,1,4). 8. BD., B (,1,5), (,,4), (1, 1,)., D. : M,,D (x,y,z ),(x D,y D,z D ). M,, 1 ( + x ) = 1 1 (1 + y ) = 1 1 (5 + z ) =, (5,, 1). M B,D, D (0,1,0). 9. (). : D,E,F B,,B. D BE G, D F G. G = k ( 1 D = k B + 1 ) = k B + k. [; ( k B, ], G, k ). BG = m ( 1 BE = m B + 1 ) B [ = m 1 B + 1 ( ] B)
18 18 m B, = m ( BG m, m ). G = B + BG,, ( k, k ) ( = (1,0) + m, m ), k = 1 m k = m k = m = ( 1. G, 1 )., G ( 1, 1 ). G = G. E D E D M F B 9 M F B : B D,BE F. D BE T. T = k D = k B + ( B + B ). [; B, ], B = ( a, = b. T k ) b a + b, k a a +. b BE = BT = m BE = 1 B + ( B B + B B), B m a + b a ( b a a + a ( b a ))
19 19 = m m a a + a + b. b a T = B + BT, ( k ) ( b a + b, k a a + m ) a = (1,0) + m, b a + b, a : : k b a + b = 1 m k a a + b = m a a + b a k = D F T, a + b a + b + b a. T = s s b D = a + s a a + b a + b. b ( s ) b T a + b, s a a +. b T = t t F = + ( t b B + B) = B b + a a t b, b T = + T, : ( s ) ( b a + b, s a a + t ) b = (0,1) + b b + a b, t, : : s b a + b = t b b + a b s a a + b = 1 t s = a + b a + b + a b.
20 0 s = k, T = T. 11 B, P P = k B + mt, k,m,t k + m = 1, k 1, m 1, 1 t 1. P B, k,m,t? : [; B, ]. (0,0), B(1,0), (0,1), P(k,mt). P B, k = 1, mt = 1. k + m = 1, m =, t = 1. 1., OB O 1 B 1 1, P 1, P = P 1, S 1, S = 1 S 1, Q,R O 1 1,B. : PQ RS. 1 P O 1 Q 1 O R 1 B B1 S B E H 1 : [O; O, O, OO1 ]. P = P 1, P = P 1 = 1, OP = O + P = O + 1 = O + OO 1, OQ = OO 1 + O 1 Q = OO O, F G D, PQ = OQ OP = O + OO O. OR = O + R = 1 B + OS = O + S = O, O + OO 1, RS = OS OR = O + OO O.
21 1 PQ = RS, PQ// RS. 1. BD, B,D,D B,. :. E,F,G,H. E = k 1 EB = B, 1 + k F = k FD = 1 D, 1 + k EF = F E = 1 BD. 1 + k, H = k 1 B G = kd HG = BD. EF = HG, EFGH. 14. : ( ), : 1 ( ). ( : ) : [V ; V, V B, V ]. G B, G1 V B, 1 : V G = 1 ( V + ( 1 V B + V ) =, 1, 1 ), G 1 = 1 ( 1 B + + V ) = ( V B V + V V V ) = 1 ( V + ( V B + V ) = 1, 1, 1 ). V G : 1 M,, V M = V G = 4 V + G 1 = 4 ( 1 4, 1 4, 1 ), 4 ( 1 4, 1 4, 1 ) = V M. 4 M V G G 1., : G,G V B V. G BG M, V ( 1 M = 4, 1 4, 1 ), 4 M = M, : 1.
22 V V E G 1 G D B 14 B ,. :,. : [V ; V, V B, V ], M, ( 1 V M = 4, 1 4, 1 ). D,E B,V. 4 D = 1 B = 1 V B 1 V, V D = 1 V + 1 ( 1 V B =, 1 ),0. V E = 1 ( V = 0,0, 1 ), ED = V D ( 1 V E =, 1 ), 1. V E + 1 ED = ( 1 4, 1 4, 1 ) = V M, 4 M ED ED : 1 1 : (1) = 5. () cos θ sinθ sinθ cos θ = 1.
23 () = 1. (4) 4 = x y z (5) =. (6) z x y = x + y + z xyz. y z x. : x y = 5, x y + z = 9, (1) () x 5y + z =, x + y = 1; x + y z = : (1) x = = 1 1 = 1, y = 1 = 1 1 = () x = = = 6 7, y = 1 6 = = , z = 1 6 = = e 1, e, e. (1) : a = e 1 + e e, b = e 1 e 10 e, c = e 1 + e + 6 e ; () d = a b + c e 1, e, e ; () f, a + b c + f = 0. : (1) x 1,x,x x 1 a + x b + x c = 0,
24 4 x 1 + x x = 0 x 1 x + x = 0 x 1 10x + 6x = 0, = 5 0,, a, b, c. () d = a b + c = ( e 1 + e e ) ( e 1 e 10 e ) + ( e 1 + e + 6 e ) = e e + e, d (,17,). () f = 1 ( a b + c ) = 1 ( 6 e e +7 e ) = e 1 +5 e + 7 e. 4. a, b, c? c?,. (1) a (5,,1), b ( 1,4,), c ( 1, 1,5); () a (,,), b (6,6,4), c (1, 1,0); () a (1,, ), b (, 4,6), c (1,0,5). : x 1 a + x b + x c = 0. (1),. () 5x 1 x x = 0 x 1 + 4x x = 0 x 1 + x + 5x = 0, = 11 0, 1 5 x 1 + 6x + x = 0 x 1 + 6x x = 0 x 1 + 4x = 0,
25 = 0, 4 0,. c a, b, x = 1, x 1 + 6x = 1 x 1 + 6x = 1 x 1 + 4x = 0,, c a, b. () x 1 x + x = 0 x 1 4x = 0 x 1 + 6x + 5x = 0, = 0,,. c a, b, x = 1, x 1 x = 1 x 1 4x = 0 x 1 + 6x = 5,, c a, b. 5. a, b, c (1, 1,), (,k,1), (1,1 k,k). : k, a, b, c?, k, a, c? : 0, 1 1 k 1 = k k + = k k
26 6 k = 1. a, c, 1 1 = 1 k 1 = k, k =. k = a, c. 6. e 1, e, e. v a, b, c?,. (1) a = e 1 + e + 4 e, b = e 1 e + e, c = e 1 + e + e, v = 6 e1 + e + 15 e ; () a = e 1 e + e, b = e 1 + e + e, c = e e + 5 e, v = e1 + e. : v = x 1 a + x b + x c,. (1) x 1 + x + x = 6 x 1 x + x = 4x 1 + x + x = 15, = 0,. 4 1 x 1 = x x = 1 x = k v = ( k) a + ( x, k) b + k c, k. x 1 + x x = () x 1 + x + 6x = 1 x 1 + x + 5x = 0, = 6, 5 : x 1 = = 11 6, x = = 16 9,
27 5 n x = 6 v = a + b c a, : = M 1 (1,a,a ), M (1, 1,1), M (,1, ), M 4 ( 1,,). : 4.5, a 1 a a = 7a 5a + = 0, 1 a a a a = n 1. n : n α, (1) 0α = 0; () ( 1)α = α; () k0 = 0 ( k); (4) kα = 0 k = 0 α = 0. : α = (a 1,,a n ), : (1) 0α = (0a 1,,0a n ) = (0,,0) = 0. () ( 1)α = (( 1)a 1,,( 1)a n ) = ( a 1,, a n ) = α. () k0 = (k0,,k0) = (0,,0) = 0. (4) kα = (ka 1,,ka n ) = (0,,0). α 0, a i 0, ka i = 0 k = 0.. :. : K, 1 K. n n = 1 } + {{ + 1 } K, n n K. K. n n 0, n K, 1 n n, 1 n K, m n ( m,n ), m = m n K, Q K. n
28 8. : a + b, a,b Q. : K, a 1 + b 1,a + b K, (a 1 + b 1 ) ± (a + b ) = (a1 ± a ) + (b 1 ± b ) K (); (a 1 + b 1 )(a + b ) = (a1 a + b 1 b ) + (a 1 b + a b 1 ) K ( ); a + b 0, a 1 + b 1 = (a 1 + b 1 )(a b ) a + b a b = a 1a b 1 b a b + a b 1 a 1 b a b K (). K,. 4. K, V K n. : k K, α,β V, (1) k(α β) = kα kβ; () } α + α + {{ + α } = nα; n () α + β = α + γ, β = γ. : α = (a 1,,a n ), β = (b 1,,b n ) (a i,b i K). k K, (1) k(α β) = k(a 1 b 1,,a n b n ) = (k(a 1 b 1 ),,k(a n b n )) = (ka 1 kb 1,,ka n kb n ) = k(a 1,,a n ) k(b 1,,b n ) = kα kβ. () α } + {{ + α } = (a 1 + a 1,a }{{} + + a,,a }{{} n + + a n ) = (na }{{} 1, n n n n,na n ) = nα. () γ = (c 1,,c n ), α + β = α+γ, : (a 1 + b 1,,a n + b n ) = (a 1 + c 1,,a n + c n ), a i + b i = a i + c i, b i = c i, β = γ. 1. : 6 (1) a = 5 i 6 j + k ; () b = 1 1 i k.
29 6 9 : (1) a 70 a 0 = a = 70 (5 i 6 j + k ). () b 1 b 0 = b = 1 ( i k ).. : (1) a = (1,,), b = (,1, ); () a =(,1, 1), b =(1, 1,4). : (1) a = 14, b =, a b = 6, cos a, b = 6 14 = 14 7, a, b = π arccos () a = 6, b =, a b = 7, cos a, b = 7 6 = 7 18, a, b = π arccos a e 0 : (1) a = (1, 1,), e = (1,1,1); () a = (,1,), e = (1,,0). : (1) e e 0 = e = (1,1,1), pr e 0 a = (Π e 0 a ) e 0 = ( a e 0 ) e 0 = e 0 = (1,1,1) = (1,1,1). () a e = 0, pr e 0 a = : (, 1,), B(0, 4,), (,,1). : B = (,,0), = ( 6,, 1), B = (,6, 1), B =, = B = 46 B, B. 5. : (,,1), B(7,6,9), (9,1, 5). : B = (4,8,8), = (6,, 6), B = 1( + 4) = 0, B. 6. a, b, c 60, a = 4, b =, c = 6. a + b + c. : a + b + c = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a + b + c + a b + a c + b c = ( )cos 60 = 100. a + b + c = 10.
30 0. 7. a =, b =, a, b = π 6. a + b a 5 b : ( a + b ) ( a 5 b ) = 6 a 10 b 11 a b = = , a, b, c (,5,7), (0,4,), ( 1,, 4). a + 4 b 5 c b + c. : p = a + 4 b 5 c = (14,1,5), q = b + c = ( 1,10,), p = 446, q = 105, p q = 0. cos p, q = : (1) a = (,, 6); () b = (,, 10). : (1) cos α = 6, cos β =, cos γ = () cos α = 11 11, cos β = 11 11, cos γ = a = (1,,4), b = (1,1,1), c = b k a (k ). (1) k c a ; () a, c d. : (1), c a a c = 0 a b k a = 0. a b = 7, a = 1, k = 1. () d a, c d a = d c = 0, c = b k a, d a = d b = 0. d = (x,y,z), d a = x + y + 4z = 0, d b = x + y + z = 0. x = z,y = z, d = (k, k,k) (k ). 11 a, b, s,t, s a + t b = t a s b,
31 6 1 a, b. : s a + t b = t a s b (s a + t b ) = (t a s b ). s + t + st a b = t + s st a b. st a b = 0. st 0, a b = 0, π. 1., OB O 1 1 B 1 1, O = 8, O = 6, OO 1 = 1. P O, P = OP, M B, M = MB, N B P MN. : O, O, OO1 i, j, k, [O; i, j, k ]. O 1 = 8 i + k = (8,0,1); OP = 1 O = j = (0,,0); OM = 8 i + O = 8 i + 4 j = (8,4,0); ON = 1 O + 6 j + k = (4,6,1); 1 P = OP O1 = ( 8,, 1); MN = ON OM = ( 4,,1). cos 1 P, MN = 5 = D O 1 O P B 1 N 1 1 D B1 M 1 B B : [; B, D, 1 ], 1. 1 = B + B + 1 = B + D + 1 = (1,1,1).
32 (a) B 1 = B + BB1 = B + 1 = (1,0,1), cos 1, B 1 = 6 =., 1 1 1, D 1, B 1, D 1, 6. (b) BD = D B = ( 1,0,1), cos 1, BD = 0 = 0, 1, BD = π.. 1 B 1 D, D 1, B 1, B 1, D 1 π. 14. ( a b ) c = a ( b c )?. : c, a. 0, a c, k 0, a = k c. a = k c, = k( c b ) c = (k c )( b c ) =. 0, a, b, c ; 0, a b = b c = 0, b a, c. 15. a x = b x. : ( a b ) x = 0, : (a) a b 0, x a b ; (b) a b = 0, x. 16. a, b, c, a x = 0, b x = 0, c x = 0. x = 0.. : a, b, c,, x, : x = k 1 a +k b +k c. x = k 1 ( a x )+k ( b x )+k ( c x ) = 0, : x = a, b, c a a a b a c b a b b b c = 0. c a c b c c : a, b, c k 1,k,k : k 1 a + k b + k c = 0. k 1 a + k ( a b ) + k ( a c ) = 0 k 1 ( b a ) + k b + k ( b c ) = 0 k 1 ( c a ) + k ( c b ) + k c = 0,
33 6 x a + y( a b ) + z( a c ) = 0 x( b a ) + y b + z( b c ) = 0 x( c a ) + y( c b ) + z c = 0 ( ) x = k 1, y = k, z = k. 4.1, a a b a c b a b b c = 0. c a c b c, a a b a c b a b b c c a c b c = 0, ( ), x = k 1, y = k, z = k, p = k 1 a + k b + k c,. ( ) : p = k 1 p a + k p b + k p c = 0, p = 0, a, b, c,. 18. B, B H. B, H. B H 18 : H = B + k B H B = 0, B B + k B = 0. k = B B, B H = ( B B) B B. B
34 4 B = B, H = 1 ( B) [( ( B)) B ( B ( B)) ]. 19 BD, B = a, B = b, D = c, D = d., a b = b c = c d = d a, BD?? : a + b + c + d = 0, a + b = ( c + d ) a + d = ( b + c ) : a + b + a b = c + d + c d a + d + a d = b + c + b c a + b = c + d, a + d = b + c. a = c, b = d. B = D, B = D, BD, a + c = 0, b + d = 0. a b = b c = a b 0 = a b = b c = c d = d a. BD. 0. a,b,c,d,. a,b,c,d. :, : = B + B = D + D, BD = B + D = B + D. BD = ( B+ B) ( B+ D) = B + B B+ B D+ B D; BD = ( B+ B) ( B+ D) = B + B D B B+ D B; BD = ( D+ D) ( B+ D) = D + D B+ D D B D; BD = ( D+ D) ( B+ D) = D B D+ B D D D. 4, : 4 BD = D + B B D + B D + D B.
35 6 5 B + B + D + D = 0 B + D = D B. ( B + D) = ( D B) D + B B D = ( B D + D B). 4 BD = ( D + B B D ) = (b + d a c ). a + c = b + d,. D Q O B 0 B P 1 1 B. B = a, = b, B = c,, r. PQ BP Q : (1), (). PQ, a,b,c r. : PQ, Q = P, Q = P = r. BP = B + P, Q = + Q, BP Q = ( B + P) ( + Q) = B + ( B) P r = B + B P r.
36 6 (1) BP Q B P, P = k B, k > 0; () BP Q B P, P = m B, m > 0. P = r, k = m = r a, PQ = P. : (1) r PQ = B, a cbcos B + ar r = b + c a + ar r ; () r PQ = B, a cbcos B ar r = b + c a ar r. S = { x x + a x 1}, a. : x, y S 0 t 1, t x + (1 t) y S. : x + a ( ) x 1 x a a a r = 1 + 4, x S a x, r (). 0 t 1 x, y S, t x + (1 t) a y + a r = t x + (1 t) ( a ) ( y + = t x a ) + + (1 t) y a + t a x + + (1 t) a y + tr + (1 t)r = r. t x + (1 t) y S. 1 4, H 1,H,H,H 4 4, 4 1, 4 1, 1. : H 1,H,H,H 4. (: ) : O. r, O i = r. 4, OH 1 = O + O + O 4, H 1 4 = ( OH 1 O )( O 4 O ) = ( O 4 + O )( O 4 O ) = 0.
37 6 7, H 1 4 = 4 H 1 = 0, H OH i = ( O 1 + O + O + O 4 ) O i, (i = 1,,,4) OH 0 = 4 O i,, OH i OH 0 = O i = r. i=1 H 1,H,H,H 4 H 0 r. 4 0 < a < 1, 0 < b < 1. : a + b + (1 a) + b + a + (1 b) + (1 a) + (1 b). : [O; i, j ]. (0,0), B(1,0), (1,1), D(0,1), 1. P(a,b), P BD, P = a + b, PB = (1 a) + b, P = (1 a) + (1 b), PD = a + (1 b). P + P =, PB + PD BD =,. 5 P 1,P,,P 6 O 1 6. : OP 1, OP,, OP 6 OP i OP j (1 i j 6) OP i + OP j. : a ij OP i OP j ( π), a ij = P i OP j π. a 0 = min{a ij 1 i j 6}, 0 < a 0 π. OP 1 OP,, OP 6, a 1 > π, a > π,..., a 16 > π, π = a a 61 > 6 π = π,. a 1 = P 1 OP π. OP 1 + OP = + cos a =. OP 1 + OP. 6 a,b,c : a + b + c = 0, a + b + c = 1. r i = (x i,y i,z i ) (i = 1,,6), {x i,y i,z i } = {a,b,c}. r i r j, ri r j 1. : p = (1,1,1). r i (1 i 6), r i p = 0. r 1,, r 6 p,. r i = 1 (1 i 6), r1,, r ,, r i r j, r i + r j. r i + r j + ( r i r j ), r i r j 1.
38 8 7 1., a, b, c (1,0,1), (1,,0), ( 1,,1), ( a + b ) ( b c ). : a + b = (4,,), b c = (, 4, 1), ( ) ( a + b ) ( b c ) = 4 1, 4 1, 4 4 = (14,10, 1).. ( a b ) a b.. : ( a b ) = a b = a b sin a, b a b, sin a, b = 0. : a // b.. a, b, ( a b ) ( a + b ) = ( a b ),. : ( a b ) ( a + b ) = a a + a b b a b b = ( a b ). : a, b, a b, a + b. :. 4. c, c a, c b,, (1) a = i j + k, b = 4 j 5 k ; () a = i j + k, b = i + j k. : c = a b. c a, c b. : (1) c = a b = i + 5 j + 4 k. () c = a b = i + j + 5 k. ( ) 5. a, b : (1) a = i + 4 j + k, b = i + j + k ; () a = i + j + k, b = i j. : (1) a b = i + j 5 k, a b = 0. a, b 0. () a b = i + j k, a b =, a, b.
39 7 9 B D P B 1 1 D , BD 1 B 1 1 D 1, P DD 1. 1 B 1. : (1) 1 P 1 ; () P 1 ; () 1 1. : [ 1 ; 1 B 1, 1 D 1, 1 ]. P DD 1. : 1 P = 1 D 1 + D 1 P = 1 D 1 + k D 1 D = 1 D 1 + k 1 = (0,1,k), 1 = (1,1,1). (1) 1 P () P = 1 1 = (0,1,k) (0,0,1) = (1,0,0) = 1 B 1. 1 P = (1,0,1 k), P 1 = (1,0,1 k) (0,0,1) = (0, 1,0) = 1 D 1 = D 1 1. () 1 1 = (1,1,1) (0,0,1) = (1, 1,0) = 1 B 1 1 D 1 = u = i + j k, v = 8 i 5 j + k. v 1, v, v = v1 + v, v 1 u, v // u. : u u 0 = u = 1 (,, 1), pr 14 u 0 v = ( v u 0 ) u 0 = 17 (,, 1). 7 v = 17 7 ( i + j k ), v1 = v v = 7 ( 11 i + 8 j + k ), : v // u, v 1 u = u, v. (1) : v v = v 1 + v,, v 1 u, v // u ; () v 1, v. : (1) v : v = v 1 + v = v 1 + v,. v 1 u, v 1 u, v // u, v // u, v 1 v 1 = v v. ( v 1 v 1 ) u = 0, ( v v ) u = 0, v 1 v 1 u, v 1 v 1 // u, u 0, : v 1 v 1 = 0, v v = 0, v 1 = v 1, v = v. () v = pr u 0 v = ( v u 0 ) u 0 = ( v u ) u, v1 = v v u. v // u, v1 u = v u ( v u ) u = 0, v u 1 u. : v = v 1 + v, (1)
40 40, v u v = u u v1 = v v. 9. a, b, c. : a + b + c = 0 a b = b c = c a. : a + b + c = 0, b c a b + c b = 0 a c + b c = 0, a b = b c = c a., p = a + b + c. p b = a b + c b = 0 p c = a c + b c = 0. p 0, p, b p, b b c,. 10. a, b, B = a + b, B = a + 8 b, D = ( a b ). :,B,D. :,B,D, : B BD = 0. BD = B + D = 5 a + 5 b = 5( a + b ) = 5B, B BD = 0, :,B,D. 11. O, OB, O OB O + O O + O OB = 0. :,B,. :,B, : B = 0. B = OB O, = O O, B = ( OB O) ( O O) = OB O+ O OB+ O O = 0,,B,. 1. a = p n, b = q n, c = r n, a, b, c.. : n a = n b = n c = 0, n 0, a, b, c ;, n = 0 a = b = c = 0,.
41 : 8 (1) a = i j k, b = 5 i + 4 j k, c = 11 i k ; () a = i + j k, b = i 4 j k, c = i 5 j + k ; () a = i + j + k, b = 4 i 5 j + k, c = 7 i 5 j + 8 k ; (4) a = j + k, b = i j, c = i + j k. : (1) ( a, b, 1 c ) = 5 4 = 88 0, a, b, c () ( a, b, 1 c = 1 4 = 5 0, a, b, c. 1 5 () ( a, b, 1 c ) = 4 51 = 40 0, a, b, c (4) ( a, b, 0 1 c ) = 0 = 0, a, b, c. 1. a, b, c : (1) a = i + j + k, b = i j + k, c = i + j + k ; () a = i + k, b = i j + k, c = i + 5 j k ; () a = i j k, b = i j + k, c = i + j ; (4) a = i, b = i + j ; c = i + j + k. : (1) V = ( a, b, 1 1 c ) = 1 1 = () V = ( a, b, 0 1 c ) = 1 1 = 1 = () V = ( a, b, c ) = 1 = 1 =
42 4 (4) V = ( a, b, c ) = = : (1) (1,, 1), B(0,1,5), ( 1,,1), D(,1,); () (,,1), B(,0, 1), ( 1, 4,5), D(,,4); () (1,, ), B(,5, 1), (0,,7), D(,1,); (4) (1,0,1), B(0, 1,), (1,, ), D(,0, 1). :,B,,D, B,, D. ( B,, D). (1) B = ( 1, 1,6), = (,0,), ( B,, D) = D = (1, 1,4), = 0, () B = ( 1,, ), = ( 4,,4), D = (0,0,), ( B,, D) = = 0 0,. 0 0 () B = (,,), = ( 1, 4,10), D = (1, 1,6), ( B,, D) = = 0 0,. (4) B = ( 1, 1,1), = (0,, ), D = (1,0, ), ( B,, D) = = 45 0, , B,, D : (1) ( 1,0,1), B(,1,4), (1,, ), D(, 1,); () (, 1,1), B(5,4,4), (,, 1), D(4,1,); () (1,0,), B(1, 1,0), (,, 1), D(,1,0);
43 8 4 (4) (,, 1), B(1,, ), (,,1), D(1,1,1). : (1) B = ( 1,1,), = (,, 4), D = ( 1, 1,), V = ( B,, D) = = () B = (,5,). = (0,4, ), D = (,,1), V = 1 1 ( B,, D) = = 0 6 () B = (0, 1, ), = (1,, ), D = (,1, ), V = 1 1 ( B,, D) = 6 6 = = 10 6 = 5. 1 (4) B = ( 1,0, 1), = (0, 4,), D = ( 1, 1,), V = 1 1 ( B,, D) = = D B 1 D 5 B 5., BD 1 B 1 1 D 1, B = 4, D = 1 =. (1) 1 1 BD ; () D 1 1 BD. : D, D, DD 1 i, j, k, [D; i, j, k ]. D 1 = (,0,), DB = (,4,0), D 1 = (0,4,).
44 44 (1) 1 1 BD d = ( D 1, DB, D 1 ) DB D 1 = (8, 4,8) = 1 = 8. () D 1 //B 1, D 1 // 1 BD. D 1 1 BD D 1 1 BD ( D, DB, D1 ) 0 4 d = DB = D 1 1 = 16 1 = a = a 1 e1 + b 1 e + c 1 e, b = a e1 + b e + c e, c = a e1 + b e + c e. ( a, b, a 1 b 1 c 1 c ) = a b c ( e 1, e, e ). a b c : a b = (a 1 e1 + b 1 e + c 1 e ) (a e1 + b e + c e ) = a 1 b e1 e + a 1 c e1 e + b 1 a e e 1 + b 1 c e e + c 1 a e e 1 + c 1 b e e = (a 1 b b 1 a ) e 1 e + (a 1 c c 1 a ) e 1 e + (b 1 c c 1 b ) e e, ( a, b, c ) = ( a b ) c = [(a 1 b b 1 a ) e 1 e +(a 1 c c 1 a ) e 1 e + (b 1 c c 1 b ) e e ] (a e1 +b e +c e ) = [(a 1 b b 1 a )c ]( e 1, e, e ) [(a 1 c c 1 a )b ]( e 1, e, e )+[(b 1 c c 1 b )a ]( e 1, e, a 1 b 1 c 1 e ) = a b c ( e 1, e, e ). a b c ( ). 7. : ( a, b, c ) a b c. : ( a, b, c ) = ( a b ) c = a b c cos a b, c a b c = a b c sin a, b a b c. 8. : a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) = 0.
45 8 45 : 7.7 : a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c,. b ( c a ) = ( a b ) c ( b c ) a, c ( a b ) = ( b c ) a ( a c ) b, 9. :, B,, P, a, b, c, p ( p, b, c ) + ( a, p, c ) + ( a, b, p ) ( a, b, c ) = 0. :,B,,P P, PB, P. a = O, P = a p, b = OB, c = O, PB = b p, p = OP, P = c p. P, PB, P ( P, PB, P) = 0, ( a p, b p, c p ) = 0, ( a, b p, c p ) ( p, b p, c p ) = 0, ( a, b, c ) ( a, b, p ) ( a, p, c ) ( p, b, c ) = 0, ( p, b, c ) + ( a, p, c ) + ( a, b, p ) ( a, b, c ) = (1) ( a b ) ( c d ) = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d ; () ( a b ) ( c d ) = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a. : (1) ( a b ) ( c d ) = ( c d ) ( a b ) = [ c ( a b ) d d ( a b ) c ] = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d.
46 46 () ( a b ) ( c d ) = [ a ( c d )] b [ b ( c d )] a = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a. 11. a, b, c, d ( b, c, d ) a + ( c, a, d ) b + ( a, b, d ) c + ( b, a, c ) d = 0. : 10 ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a,. 1. : (1) ( a b, b c, c a ) = ( a, b, c ) ; () ( b c ) ( a d )+( c a ) ( b d )+( a b ) ( c d ) = ( a, b, c ) d ; () ( a d ) ( b c )+( b d ) ( c a )+( c d ) ( a b ) = 0; (4) ( a d ) ( b c )+( b d ) ( c a )+( c d ) ( a b ) = ( a b + b c + c a ). : (1) ( a b, b c, c a ) = [( a b ) ( b c )] ( c a ) = [( a, b, c ) b ( b, c, b ) a ] ( c a ) = ( a, b, c ) ( c, a, b ) = ( a, b, c ). () ( b c ) ( a d ) = ( a d ) ( b c ) = ( b, c, a ) d + ( b, c, d ) a, ( c a ) ( b d ) = ( b d ) ( c a ) = ( c, a, b ) d + ( c, a, d ) b, ( a b ) ( c d ) = ( c, d, a ) b ( c, d, b ) a, ( b c ) ( a d ) + ( c a ) ( b d ) + ( a b ) ( c d ) = ( a, b, c ) d. () ( a d ) ( b c ) = a b a c b d + c d, ( b d ) ( c a ) = b c a b c d + a d, ( c d ) ( a b ) = a c b c a d + b d, : ( a d ) ( b c ) + ( b d ) ( c a ) + ( c d ) ( a b ) = 0. (4) ( a d ) ( b c ) = a b a c + b d c d, ( b d ) ( c a ) = b c + a b + c d a d, ( c d ) ( a b ) = a c + b c + a d b d,
47 8 47. : ( a d ) ( b c ) + ( b d ) ( c a )( c d ) ( a b ) = ( a b + b c + c a ). 1. r i (i = 1,,,4), : ( r 1 r )( r r 4 ) + ( r 1 r )( r 4 r ) + ( r 1 r 4 )( r r ) = 0. : 8.7, ( r 1 r ) ( r r 4 ) = ( r 1 r )( r r 4 ) ( r 1 r 4 )( r r ), ( r 1 r ) ( r 4 r ) = ( r 1 r 4 )( r r ) ( r 1 r )( r r 4 ), ( r 1 r 4 ) ( r r ) = ( r 1 r )( r r 4 ) ( r 1 r )( r r 4 ),. 14. a, b, c b c, c a, a b : b c, c a, a b ( a b, b c, c a ) = 0, 1 (1) : ( a b, b c, c a ) = ( a, b, c ), a. b. c a b, b c, c a. 15 a,b,c, a + b + c < 1. p = (1 a,0,0), q = (0,1 b,0), 1 r = (0,0,1 c). : V, V = ( p q ) 1 a 0 0 r = 0 1 b 0 = (1 a)(1 b)(1 c) c (1 a)(1 b) = 1 (a + b) + ab 1 (a + b) > 0, (1 c)(1 b)(1 a) = (1 b)(1 a) c(1 b)(1 a) 1 a b c > a = (x 1,y 1,z 1 ), b = (x,y,z ). : x 1 x + y 1 y + z 1 z x 1 + y1 + z1 x + y + z. : ( a b ) ( a b ) = a b ( a b ).
48 48 a b = ( y 1 z 1 y z, x 1 z 1 x z, x 1 y 1 x y ) ( a b ) = (y 1 z y z 1 ) + (x 1 z x z 1 ) + (x 1 y x y 1 ), a b = (x 1 + y 1 + z 1)(x + y + z ), ( a b ) = (x 1 x + y 1 y + z 1 z ). (x 1 x + y 1 y + z 1 z ) = (x 1 + y 1 + z 1)(x + y + z ) [(y 1 z y z 1 ) + (x 1 z x z 1 ) + (x 1 y x y 1 ) ], x 1 x + y 1 y + z 1 z x 1 + y 1 + z 1 x + y + z. x 1 x = y 1 y = z 1 z B B(,0), (,0). 7x 5y 5 = 0,. : (x,y), x = x + x B + x = x x = x y = y + y B + y = y, y = y. (x,y ) 7x 5y 5 = 0, 1x 15y 5 = 0. M y Q N P O B x
49 9 49. l B P. B, P, PB MP BNP. MN Q. : B O, B x, [O; i. j ]. M ( l ) ( ) l,0, B,0, P(t,0), t l ( ), t + l, N MN Q : x Q = t y Q = 4 l. Q : y = 4 l ( l < t < l ). t + l ( ) l, t. ( l < t < l ) ( l 4 < x < l 4 ).
AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((
? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b
WXEY Z Z [\ ] ^] Y _A` Z aebec(y ] ] [Ẍ d _A\e] fe[xe[ga\ [[_Ad
![WXEY Z Z [\ ] ^] Y _A` Z aebec(y ] ] [Ẍ d _A\e] fe[xe[ga\ [[_Ad](/thumbs/83/87388510.jpg "WXEY Z Z [\ ] ^] Y _A` Z aebec(y ] ] [Ẍ d _A\e] fe[xe[ga\ [[_Ad")
% &! (')*+,$-!., -$!#$ /1032547686)479;:-
!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
!! "#$%& ! " # $ &%"+,(-. (# / 0 1%23%(2443
"#$& " # $ & ' &( &)* &"# &"+,(-. (# / 0 123(2443 2443 56 1 7 & '()(()(*+( ),)(-.(/)((,),24420 8.94: -; :53&:54::549 '()((0)(#'(1)(' ( )(-.(/)((,),24460..94: < * 94&5=>6 '()( 2( )(3(1)((0)('.( )4)((,)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
! "#! & "0/! ).#! 71 1&$ -+ #" &> " %+# "1 2$
"#$" &""'(() *+ , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. / 0-1 2 $1 " 1 /& 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..
இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2
SKEMA PERCUBAAN SPM 07 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS SOALAN. a) y k ( ) k 8 k py y () p( ) ()( ) p y 90 0 0., y,, Luas PQRS 8y 8 y Perimeter STR y 8 7 7 y66 8 6 6 6 6 8 0 0, y, y . a).. h( h) h h h h h h 0
1 Adda247 No. 1 APP for Banking & SSC Preparation Website:store.adda247.com
Adda47 No. APP for Banking & SSC Preparation Website:store.adda47.com Email:ebooks@adda47.com S. Ans.(d) Given, x + x = 5 3x x + 5x = 3x x [(x + x ) 5] 3 (x + ) 5 = 3 0 5 = 3 5 x S. Ans.(c) (a + a ) =
!"##"$!!%&!!'"! -.(""!/0.. +(!,"
!"##"$!!%&!!'"! "#$'()*! -.(""!/0.. +(!," / %% 12$ 3%'! 45!#,(4 6!$(!##%( "$ #(!(#!!# '# $!!&%' $(!"( 2$!# *("(''4&7'(8!8 %(&(!&'&7%"$#"$74#!&'77(!(#6!&9(%7! #&& (!#!&# ($( (!"!"3%'! 4#%&&7'!& ($#4# (#!#%#%''4,(4
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Answers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά
Progress in surface and subsurface water studies at plot and small basin scale
INTERNATIONAL HYDROLOGICAL PROGRAMME Progress in surface and subsurface water studies at plot and small basin scale 10 th Conference of the Euromediterranean Network of Experimental and Representative
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
9 1. /001/2 27 /8? /89 16 < / B? > DEE F
!" #$ %! &!$ % ' $ ($ $ ) #%*!! +!(, % -. /001/2 03 4 /1. / 5 /6 0/078/2 27 91 1:3 /14 10 72 91.1;11 27 < 2 82 27 = 9 /62025 9> / = 9> 0/80 > /8? /89 16 < 3 9 4 24 4 /11 / 89 ;1 @ = 271002 A1? B 602 C
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Άλγεβρα Β Λυκείου Επιμέλεια: Γ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Σ. ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. y y 4 y
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &
J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--
!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
![!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=](/thumbs/72/67457957.jpg "!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=")
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος Ά τετράμηνο. Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 = 2
2ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Σχολικό έτος 2012-2013 Ά τετράμηνο Τάξη Β (ομάδα A) ΩΡΙΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Α. Να αποδειξετε ότι αν M ( xm, y M) το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος
v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w
Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ
Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )
!! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!
!!"#$"%&'()%*$& !! )!+($,-./,0. !! )!"% $&)#$+($1$ !!2)%$34#$$)$ !!+(&%#(%$5$( #$%
!!"#$"%&'()%*$&!! )!+($,-./,0.!"#!! )!"% $&)#$+($1$!!2)%$34#$$)$!!+(&%#(%$5$( #$% & !"# $ $ % # &#$ '()*+, -,./ $* 0" 10#')230##445$&% ##* % 0# ' 4#, ) 0# $, 0# 6 7% % # #* # 8#10&29,:# )) )# )#
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
*+,'-'./%#0,1"/#'2"!"./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!"#/5".+!"#$() $!"#%"&'#$() 50&(#5"./%#0,1"/#'2"+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!.
# #$%&'#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 :; #/5.+#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 #$% $ #%&'#$( 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-
())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*
! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+
Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.
Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH
ITU-R P (2012/02)
ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU
OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)
PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(
1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γι ν μη μετινηθεί το σώμ χρειάζετι ν εφρμοστεί δύνμη B F F F F F5 Σ F F F 5 F F Β i Έχουμε διδοχιά: γ δ δ γ BA Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ
!" #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& !" #$ -4*30*/335*
!" #$ %#&! '( (* + #*,*(**!',(+ *,*( *(** *. * #*,*(**( 0* #*,*(**(***&, 1#,2 (($3**330%#&!" #$ 4*30*335* ( 6777330"$% 8.9% '.* &(",*( *(** *. " ( : %$ *.#*,*(**." %#& 6 &;" * (.#*,*(**( #*,*(**(***&,
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
Διανύσματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διανύσματα ιανύσματα (ectors Ορισμός: Προσανατολισμένο ευύγραμμο τμήμα που έχω την ελευερία να το μεταφέρω σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Έχουν τρία στοιχεία: Μήκος ιεύυνση
Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ
Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ
τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
!""#$%!& '% ("#% )'*+, &,!" &, ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&
!""#$%!& '% ("#% )'*+, "!,'--"!!./%&-'012'& "-')'3"4',"'""-,, &,!" &, 3. - 5 1 ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&,'--1'#". -'!! "--''!,. 3,"'%'%,,-" '4!, 5 #" "!, '%& " 3--& " 4'%! "#!6,%3 "#!3 ",%3 2,-! "#13 '& "#%-,&"#-"-,"-!3&-',,3"
Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης
1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
a,b a f a = , , r = = r = T
!" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức
SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Thanasis Kehagias, 2009
Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές
! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!! ! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / # ' -. + &' (, % # , 2**.
! " #! $ %&! '( #)!' * +#, " -! %&! "!!! " #$ % # " &' &'... ()* ( +, # ' -. + &', - + &' / 0123 4 # ' -. + &' (, % #. -5 0126, 2**., 2, + &' %., 0, $!, 3,. 7 8 ', $$, 9, # / 3:*,*2;
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φ1 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 01-01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α -ΘΕΩΡΙΑ -ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ -ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χεμερινό εξάμηνο ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χεμερινό εξάμηνο 2006-07 ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 1 ΔΕΥΤΕΡΑ, 9-10-06, 11-13. ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ. Θεώρημα 1. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180 o. Θεώρημα 2. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 4ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 301-400 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
! "#$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*'1 %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/1#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+71#%&+#1" 2)1 8')'(#0 1#$+*%4#"$"
!"#$%&' "( )*"'"+*,&' -.%&/*,0!"#$ %& '"$ (& )*+,- (.//& /02/3.! "#$%&'!()'"" %*+,-.+* "(*/0(/*' %+%/&2(#+)" 3#(4 0+)(#)/+/" (*2#("5 3#(4 02"' "(/#'" +) (4' '6+&/(#+) +. 42%&+7#%&+#" 2) 8')'(#0 #$+*%4#"$"
È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
ITU-R P ITU-R P (ITU-R 204/3 ( )
1 ITU-R P.530-1 ITU-R P.530-1 (ITU-R 04/3 ) (007-005-001-1999-1997-1995-1994-199-1990-1986-198-1978)... ( ( ( 1 1. 1 : - - ) - ( 1 ITU-R P.530-1..... 6.3. :. ITU-R P.45 -. ITU-R P.619 -. ) (ITU-R P.55
Teen Physique. 131 Luke Smith Lance Manibog Donail Nikooei 4 137
T hysq Fst Lst 20 Avo Vs 1 20 21 Rdy z 16 21 56 Ms Sz 8 56 67 Dy Gdy 15 67 82 Adw L 11 82 94 Do Csos 12 94 98 Jss Vs 6 98 103 Jss Mo 13 103 105 Dvd K 10 105 107 Jo By 9 107 112 Js Gtt 3 112 114 Ty MKy
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Σημειώσεις μαθήματος ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Μέρος 1 Διανυσματική
Das Pentagramma Mirificum von Gauß
Wissenschaftliche Prüfungsarbeit gemäß 1 der Landesverordnung über die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien vom 07. Mai 198, in der derzeit gültigen Fassung Kandidatin: Jennifer Romina Pütz
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ
»»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
Ασκήσεις στα ιανύσµατα
Ασκήσεις στα ιανύσµατα Λυγάτσικας Ζήνων zenon7@otenet.gr http://blogs.sch.gr/zenonlig/ Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 15 Νοεµβρίου 014 c:\education\ B lycee \module\ module\revision vec.tex
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006
η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i
Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017
Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),
2013/2012. m' Z (C) : V= (E): (C) :3,24 m/s. (A) : T= (1-z).g. (D) :4,54 m/s
( ) 03/0 - o l P z o M l =.P S. ( ) m' Z l=m m=kg m =,5Kg g=0/kg : : : : Q. (A) : V= (B) : V= () : V= (D) : V= (): : V :Q. (A) :4m/s (B) :0,4 m/s () :5m/s (D) :0,5m/s (): : M T : Q.3 (A) : T=(-z).g (B)
Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας
Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................
Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου
Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γιώργος Μπαλόγλου 4 η Μαθηματική Εβδομάδα, Θεσσαλονίκη, 7- Μαρτίου 0 Μνήμη Λουκά Κανάκη (95-0) υποθετικό κίνητρο: τομή δύο επιπέδων Ας θυμηθούμε ότι ένα επίπεδο E στον τρισδιάστατο
Review Exercises for Chapter 7
8 Chapter 7 Integration Techniques, L Hôpital s Rule, and Improper Integrals 8. For n, I d b For n >, I n n u n, du n n d, dv (a) d b 6 b 6 (b) (c) n d 5 d b n n b n n n d, v d 6 5 5 6 d 5 5 b d 6. b 6