Β Θεματική Ενότητα. «Προσομοίωση κινήσεων ουρανίων σωμάτων και φαινομένων στην Αστρονομία» Τιάκας Ελευθέριος 1

Transcript

1 Β Θεματική Ενότητα «Προσομοίωση κινήσεων ουρανίων σωμάτων και φαινομένων στην Αστρονομία» Τιάκας Ελευθέριος 1 1 Καθηγητής Μαθηματικών ΠΕ03, Πειραματικό Γενικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας Επιδαύρου Θεσσαλονίκη τηλ tiakas@csd.auth.gr

2 Περίληψη Οι κινήσεις των ουρανίων σωμάτων καθώς και ορισμένων φυσικών φαινομένων είναι πολύ δύσκολο να περιγραφούν λεκτικά στους μαθητές και κρίνεται απαραίτητη η οπτικοποίησή τους. Τα τελευταία χρόνια η ακρίβεια των υπολογισμών και το λογισμικό των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχουν αναπτυχθεί ραγδαία, καθιστώντας εφικτή την ρεαλιστική αναπαράσταση κινήσεων και φαινομένων στην Αστρονομία. Ένα από τα πιο δημοφιλή εργαλεία για το σκοπό αυτό είναι το πρόγραμμα προσομοίωσης ανοικτού λογισμικού Stellarium. Στόχος της διδακτικής αυτής πρότασης είναι η αναπαράσταση κινήσεων και φαινομένων μέσα από την ύλη του μαθήματος επιλογής «Στοιχεία Αστρονομίας και Διαστημικής» της Β τάξης του Λυκείου. Πιο συγκεκριμένα θα μελετήσουμε τα εξής: (α) Η ετήσια κίνηση του Ήλιου σε σχέση με τους απλανείς αστέρες (ζωδιακός κύκλος-εκλειπτική). (β) Το σύστημα δορυφόρων του Κρόνου και του Δία. (γ) Φαινόμενη κίνηση του Άρη στην ουράνια σφαίρα. Η ανάδρομη κίνησή του. (δ) Ολική έκλειψη Σελήνης και Ηλίου. Λέξεις κλειδιά: παρατηρησιακή αστρονομία, προσομοίωση. Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια αναπτύχθηκαν αξιόλογα λογισμικά στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές με τα οποία προσομοιώνονται με εντυπωσιακή ακρίβεια φαινόμενα και κινήσεις ουρανίων σωμάτων. Η εξέλιξη της Αστρονομίας στηρίχθηκε κατά ένα μεγάλο μέρος στην εξέλιξη των δυνατοτήτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών στις τελευταίες δεκαετίες. Έτσι έγιναν εφικτοί οι πολύπλοκοι υπολογισμοί της Αστρονομίας σε εξαιρετικά μικρές ταχύτητες καθώς και οι ρεαλιστικές προσομοιώσεις κινήσεων και φαινομένων για περαιτέρω μελέτη του. Δύο από τις πιο εντυπωσιακές προσομοιώσεις με την βοήθεια Η/Υ που έγιναν πρόσφατα σε εργαστήρια πανεπιστημίων και βοήθησαν σημαντικά στην έρευνα είναι: (i) Η προσομοίωση της σύγκρουσης του γαλαξία μας με τον γαλαξία της Ανδρομέδας που θα συμβεί μετά από περίπου 3 δισεκατομμύρια χρόνια καθώς και τα αποτελέσματά της [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7], και (ii) Η προσομοίωση της έκρηξης supernova ενός τυπικού αστέρα [8],[9],[10],[11]. Από τα ανοικτά λογισμικά Αστρονομίας που είναι διαθέσιμα για όλους τους χρήστες ξεχωρίζει το πρόγραμμα Stellarium [12]. Πρόκειται για ένα πρόγραμμα ρεαλιστικής προσομοίωσης πλανηταρίου για κοινούς Η/Υ έχοντας υψηλής ποιότητας γραφικά. Υπολογίζει με ακρίβεια τις θέσεις του Ήλιου, της Σελήνης, των Πλανητών, των Άστρων, των Νεφελωμάτων, των Γαλαξιών, και τις προβάλει πάνω στην ουράνια σφαίρα ακριβώς όπως θα τις έβλεπε ένας παρατηρητής από μία συγκεκριμένη τοποθεσία. Επίσης το πρόγραμμα αυτό προσομοιώνει αστρονομικά φαινόμενα όπως π.χ. βροχές μετεωριτών, εκλείψεις κλπ. Είναι ένα πολύτιμο εργαλείο το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εκπαιδευτικούς σκοπούς καθώς και ως βοήθημα για τον κάθε Αστρονόμο που θέλει να κάνει νυκτερινές παρατηρήσεις [13]. Μπορεί ακόμη να υποστηρίξει την απεικόνιση πάνω από καταγεγραμμένων άστρων μέσα από πραγματικούς αστρικούς καταλόγους και σύμφωνα με τις πραγματικές τους διαστάσεις και χρωματικές φασματικές ακτινοβολίες που καθορίζονται από το διάγραμμα Hertzsprung-Russell (εικόνα 1). Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα στιγμιότυπου του Stellarium στο οποίο απεικονίζονται αρκετές χιλιάδες άστρα στις πραγματικές τους θέσεις και χρώματα ανάμεσα στα νεφελώματα Trifid και Lagoon δίνεται με την εικόνα 2. Το πρόγραμμα Stellarium λοιπόν μπορεί να γίνει πραγματικά ένα πολύτιμο εργαλείο παρουσίασης του μαθήματος επιλογής «Στοιχεία Αστρονομίας και Διαστημικής» της Β τάξης του Λυκείου, αφού μπορεί να εφαρμοστεί στο μεγαλύτερο μέρος της ύλης του μαθήματος αυτού. Πιο συγκεκριμένα, μπορεί να εφαρμοστεί στο Κεφάλαιο 2 «Αστρονομικές Παρατηρήσεις και Όργανα»,

3 Εικόνα 1: Διάγραμμα Hertzsprung-Russell Εικόνα 2: Απεικόνιση τμήματος του νυκτερινού ουρανού με το πρόγραμμα Stellarium

4 στο Κεφάλαιο 3 «Το Ηλιακό Σύστημα», στο Κεφάλαιο 4 «Ο Ήλιος», στο Κεφάλαιο 5 «Οι Αστέρες», και στο Κεφάλαιο 6 «Οι Γαλαξίες» του σχολικού εγχειριδίου [14]. Στόχος της εργασίας αυτής είναι να παρουσιάσουμε ορισμένα παραδείγματα εφαρμογής του μέσα από την ύλη των Κεφαλαίων αυτών. (α) Η ετήσια κίνηση του Ήλιου σε σχέση με τους απλανείς αστέρες (ζωδιακός κύκλος-εκλειπτική). Από κάθε σημείο της τροχιάς της Γης ένας παρατηρητής βλέπει τον Ήλιο να προβάλλεται σε διαφορετικά σημεία της ουράνιας σφαίρας. Συνεπώς κατά τη διάρκεια κάθε έτους ο Ήλιος φαίνεται να περνά περιοδικά κοντά από συγκεκριμένους αστερισμούς. Οι δώδεκα γνωστότεροι από αυτούς ορίζουν το λεγόμενο ζωδιακό κύκλο. Η ετήσια κίνηση του Ηλίου ως προς τους απλανείς αστέρες προσδιορίζει στην ουράνια σφαίρα έναν κύκλο με κέντρο τη Γη, που ονομάζεται εκλειπτική. Όπως έχει παρατηρηθεί από τη διδακτική εμπειρία, και οι δύο αυτές έννοιες (ζωδιακός κύκλος, εκλειπτική) είναι δυσνόητες για τους περισσότερους μαθητές με τον τρόπο που περιγράφονται στο σχολικό εγχειρίδιο. Με το πρόγραμμα Stellarium μπορούμε να προσομοιώσουμε ρεαλιστικά την κίνηση του Ήλιου κατά τη διάρκεια ενός έτους, να δείξουμε τους αστερισμούς από τους οποίους διέρχεται (ακόμα και με τις καλλιτεχνικές τους απεικονίσεις), και να δώσουμε πραγματικά ξεχωριστές εικόνες στους μαθητές. Στην εικόνα 3 μπορούμε να διακρίνουμε την τελική φάση της όλης διαδικασίας: Εικόνα 3: Ζωδιακός Κύκλος και Εκλειπτική με το πρόγραμμα Stellarium

5 (β) Το σύστημα δορυφόρων του Κρόνου και του Δία. Ο Κρόνος είναι ένας από τους πιο εντυπωσιακούς πλανήτες του Ηλιακού μας συστήματος με τους μοναδικούς δακτυλίους του. Μέχρι το 1999 καταμετρήθηκαν συνολικά 22 δορυφόροι του, από τους οποίους οι 8 πιο σημαντικοί κατά φθίνουσα σειρά μεγέθους είναι: ο Τιτάνας, η Ρέα, ο Ιαπετός, η Διώνη, η Τηθύς, ο Εγκέλαδος, ο Μίμας, ο Υπερίων. Ωστόσο αυτοί σε σχέση με την απόστασή τους από τον Κρόνο βρίσκονται σε διαφορετική διάταξη: Μίμας, Εγκέλαδος, Τηθύς, Διώνη, Ρέα, Τιτάνας, Υπερίων, Ιαπετός (κατ αύξουσα απόσταση). Η εικόνα 4 παρουσιάζει ένα στιγμιότυπο της κίνησης του συστήματος του Κρόνου με την χρήση του προγράμματος Stellarium. Η δυνατότητα της εναλλαγής μεταξύ ισημερινής και αλταζιμουθιακής στήριξης και η δυνατότητα του ζουμ κάνει την εξερεύνηση του συστήματος του Κρόνου πολύ εύκολη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η παρουσίαση με το Stellarium ότι περίπου κάθε 15 χρόνια η Γη βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με αυτό των δακτυλίων του Κρόνου με αποτέλεσμα αυτοί να μην διακρίνονται καθόλου. Ο Δίας είναι ο μεγαλύτερος πλανήτης του Ηλιακού μας συστήματος. Στην επιφάνεια ξεχωρίζει ένας τεράστιος στρόβιλος αερίων, η ερυθρά του κηλίδα. Έχει περισσότερους από 16 δορυφόρους, από τους οποίους οι 4 πιο σημαντικοί κατά φθίνουσα σειρά μεγέθους είναι: ο Γανυμήδης, η Καλλιστώ, η Ιώ και η Ευρώπη. Σε σχέση με την απόστασή τους από τον Δία διατάσσονται ως εξής: Ιώ, Ευρώπη, Γανυμήδης και Καλλιστώ (κατ αύξουσα απόσταση). Η εικόνα 5 παρουσιάζει ένα στιγμιότυπο της κίνησης του συστήματος του Δία με την χρήση του προγράμματος Stellarium. Έτσι, με παρόμοιο τρόπο η εξερεύνηση και του συστήματος του Δία είναι πολύ εύκολη. Έχοντας την εμπειρία των προσομοιώσεων οι μαθητές πλέον μπορούν να κατανοήσουν και να θυμούνται εύκολα τα χαρακτηριστικά των δύο αυτών μεγάλων πλανητών, των δορυφόρων τους καθώς και των κινήσεων τους. Από τους δορυφόρους των συστημάτων αυτών δύο είναι εξέχουσας σημασίας για τους ερευνητές αστρονόμους: ο Τιτάνας του συστήματος του Κρόνου, και η Ευρώπη του συστήματος του Δία. Εικόνα 4: Στιγμιότυπο της κίνησης του Συστήματος του Κρόνου με το πρόγραμμα Stellarium

6 Εικόνα 5: Στιγμιότυπο της κίνησης του Συστήματος του Δία με το πρόγραμμα Stellarium Ήταν από την αρχή υποψήφιοι δορυφόροι για την ανακάλυψη εξωγήινης ζωής σε βακτηριδιακή μορφή. Στην επιφάνειά του Τιτάνα έχει σταλθεί ήδη η διαστημική συσκευή Huygens που ήταν μέρος της αποστολής Cassini, και γίνονται εκτενείς μελέτες. Στην Ευρώπη ετοιμάζεται παρόμοια αποστολή από την NASA το Ο Τιτάνας ξεχωρίζει για την πυκνή του ατμόσφαιρα η οποία έχει παρόμοια σύσταση με την ατμόσφαιρα της Γης καθώς και παρόμοια τοπία (λίμνες και ποτάμια υγροποιημένων αερίων, βουνά). Στην εικόνα 6 παρατηρούμε τον Τιτάνα όπως αυτός φωτογραφήθηκε από το Cassini σε τρία διαφορετικά φάσματα ακτινοβολίας. Η αριστερή εικόνα του Τιτάνα (που απεικονίζεται και στο Stellarium) είναι από το ορατό φάσμα ακτινοβολίας του στην οποία διακρίνουμε την πυκνή του ατμόσφαιρα. Εικόνα 6: Ο Τιτάνας όπως φωτογραφήθηκε από το Cassini

7 Η Ευρώπη ξεχωρίζει διότι καλύπτεται εξολοκλήρου από νερό σε μορφή πάγου, ενώ κάτω από αυτό το στρώμα υπάρχει και νερό σε υγρή μορφή. Οι αστρονόμοι έχουν ενδείξεις ότι μπορεί να υπάρχει εξωγήινη ζωή στο στρώμα του νερού κάτω από τον πάγο. Στην εικόνα 7 παρατηρούμε την Ευρώπη όπως φωτογραφήθηκε από την διαστημική αποστολή Galileo, στην οποία διακρίνουμε τις αυλακώσεις από το σπάσιμο τμημάτων του πάγου. Δεξιά βλέπουμε μία μεγέθυνση ενός τμήματος της επιφανείας της. Στα αριστερά η πρώτη εικόνα της Ευρώπης απεικονίζεται και στο Stellarium. Εικόνα 7: Η Ευρώπη όπως φωτογραφήθηκε από το Galileo (γ) Φαινόμενη κίνηση του Άρη στην ουράνια σφαίρα. Η ανάδρομη κίνησή του. Σύμφωνα με το σχολικό εγχειρίδιο, αν παρατηρήσουμε τον Άρη για μερικούς μήνες κάθε νύχτα την εποχή που αυτός φαίνεται πιο λαμπρός, θα διαπιστώσουμε το εξής: Στην αρχή κινείται αργά προς την ανατολή μέσα στο ζωδιακό κύκλο και κοντά στην εκλειπτική. Αργότερα η ταχύτητά του ελαττώνεται και ο πλανήτης μοιάζει να σταματά λίγο. Μετά και για τρεις μήνες, αρχίζει να κινείται προς τη δύση. Σιγά-σιγά η ταχύτητα της κίνησής του προς τη δύση μειώνεται και φαίνεται να σταματά για λίγο. Μετά ξαναρχίζει πάλι να κινείται προς την ανατολή. Η κίνηση λοιπόν του Άρη για την περίοδο αυτή βλέπουμε να δημιουργεί έναν βρόχο που λέγεται φαινόμενη κίνηση του Άρη και οφείλεται στο συνδυασμό της κίνησης του Άρη και της κίνησης της Γης γύρω από τον Ήλιο. Η κίνηση προς την ανατολή λέγεται ορθή ενώ η κίνηση προς τη δύση λέγεται ανάδρομη. Όπως έχει παρατηρηθεί από τη διδακτική εμπειρία, η έννοια του βρόχου, η ορθή και η ανάδρομη κίνηση των πλανητών μέσα στο χώρο είναι δυσνόητα στους περισσότερους μαθητές με τον τρόπο που περιγράφονται στο σχολικό εγχειρίδιο. Η ίδια η περιγραφή της φαινόμενης κίνησης των πλανητών πάνω στην ουράνια σφαίρα είναι δύσκολο να αποτυπωθεί με λέξεις. Με το πρόγραμμα Stellarium μπορούμε να προσομοιώσουμε ρεαλιστικά την κίνηση του Άρη (καθώς και κάθε άλλου πλανήτη) κατά τη διάρκεια ενός βρόχου του (ορθή και ανάδρομη), να δείξουμε κάθε θέση που αυτός παίρνει πάνω στην ουράνια σφαίρα, και να παρουσιάσουμε ξεκάθαρα όλες αυτές τις έννοιες στους μαθητές. Για παράδειγμα μελετώντας την κίνηση του Άρη στην περίοδο [15], μεταξύ Δεκεμβρίου 2009 και Ιανουαρίου 2010 αυτός εισέρχεται σε ανάδρομη κίνηση και στη συνέχεια σχηματίζει βρόχο ο οποίος απλώνεται κατά μήκος των αστερισμών του Διδύμου, του Καρκίνου και του Λέοντα. Η εικόνα 8 παρουσιάζει ένα στιγμιότυπο της κίνησης αυτής πάνω στο πλέγμα του ισημερινού. Στην εικόνα αυτή παρατηρούμε παράλληλα ότι και ο αστεροειδής Vesta εισέρχεται σε ανάδρομη κίνηση επίσης.

8 Εικόνα 8: Στιγμιότυπο της ανάδρομης κίνησης του Άρη με το πρόγραμμα Stellarium (δ) Ολική έκλειψη Σελήνης και Ηλίου. Καθώς ο Ήλιος φωτίζει τη Γη δημιουργεί τη σκιά της η οποία έχει μορφή κώνου. Όταν η Σελήνη κατά την περιστροφή της γύρω από την Γη μπει στον κώνο της σκιάς της Γης, τότε ένα μέρος ή και ολόκληρος ο φωτεινός της δίσκος καλύπτεται από αυτή. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται έκλειψη Σελήνης. Στην περίπτωση που μπει ολόκληρη στη σκιά της Γης τότε έχουμε ολική έκλειψη Σελήνης. Έκλειψη Σελήνης έχουμε μόνον όταν αυτή βρίσκεται στην φάση της πανσελήνου και είναι κατάλληλη η ευθυγράμμιση των τριών ουρανίων σωμάτων. Με το πρόγραμμα Stellarium μπορούμε να προσομοιώσουμε ρεαλιστικά τις εκλείψεις της Σελήνης και στους πραγματικούς χρόνους που αυτές γίνονται. Είναι πραγματικά ενδιαφέρον να δουν οι μαθητές πως ακριβώς καλύπτεται ο φωτεινός δίσκος της Σελήνης και πως μετά αποκαλύπτεται. Για παράδειγμα η εικόνα 9 δείχνει ένα στιγμιότυπο της ολικής έκλειψης της Σελήνης που έγινε στις 4 Μαΐου Αξίζει να σημειωθεί ότι οι μαθητές μπορούν να διακρίνουν και να επαληθεύσουν και το γεγονός ότι το μέρος της Σελήνης που καλύπτεται από τη σκιά της Γης (στην εικόνα όλος ο δίσκος της) δεν εξαφανίζεται αλλά παίρνει μία θαμπή κοκκινωπή απόχρωση. Έκλειψη Ηλίου έχουμε, όταν η Σελήνη είναι στη φάση της νέας Σελήνης και μπει ανάμεσα στον Ήλιο και στη Γη. Τότε ορισμένες περιοχές μίας ζώνης της Γης με πλάτος που δεν υπερβαίνει τα 300 Km, σαρώνονται από τη σκιά και την παρασκιά της Σελήνης. Η έκλειψη είναι ολική ή δακτυλιοειδής ανάλογα με το αν η περιοχή σαρώνεται από τον κώνο της σκιάς ή την προέκτασή του αντίστοιχα. Αυτό εξαρτάται από την απόσταση Γης-Σελήνης εκείνη τη στιγμή. Μερική έκλειψη έχουμε όταν η περιοχή σαρώνεται από την παρασκιά της Σελήνης. Η ολική έκλειψη Ηλίου συνοδεύεται με πλήρη συσκότιση της περιοχής με αποτέλεσμα να εμφανίζονται στον ουρανό ακόμα και οι αστέρες.

9 Εικόνα 9: Στιγμιότυπο Ολικής Έκλειψης Σελήνης με το πρόγραμμα Stellarium Εικόνα 10: Στιγμιότυπο Ολικής Έκλειψης Ηλίου με το πρόγραμμα Stellarium

10 Με το πρόγραμμα Stellarium μπορούμε να προσομοιώσουμε ρεαλιστικά όλες τις εκλείψεις του Ήλιου και στους πραγματικούς χρόνους που αυτές γίνονται. Οι μαθητές μπορούν να δουν πως ακριβώς καλύπτεται και αποκαλύπτεται ο φωτεινός δίσκος του Ηλίου, καθώς και τις επιπτώσεις του φαινομένου στην ατμόσφαιρα και τον ορίζοντα. Για παράδειγμα η εικόνα 10 δείχνει ένα στιγμιότυπο της ολικής έκλειψης Ηλίου που έγινε στο Rangpur του Bangladesh στις 21 Ιουλίου Στην απεικόνιση αυτή, τη στιγμή της ολικής έκλειψης παρατηρούμε το ηλιακό στέμμα, τα φωτεινότερα αστέρια του νυκτερινού ουρανού καθώς και εντυπωσιακές αποχρώσεις στην ατμόσφαιρα και τον ορίζονται όπως αυτά απεικονίζονται από το πρόγραμμα Stellarium. Τέλος, η εικόνα 11 δείχνει ένα στιγμιότυπο μετά την ολική έκλειψη του Ηλίου, όπου ο δίσκος της Σελήνης έχει προσπεράσει πλέον τον δίσκο του Ηλίου και αποκαλύπτεται και πάλι ο ουρανός της ημέρας. Εικόνα 11: Στιγμιότυπο μετά την Ολική Έκλειψη Ηλίου με το πρόγραμμα Stellarium Συμπεράσματα Η εξέλιξη της τεχνολογίας των υπολογιστών βοήθησε ουσιαστικά την επιστήμη της Αστρονομίας. Με τη βοήθεια των υπολογιστών πραγματοποιήθηκαν νέα επιτεύγματα και ανακαλύψεις στην επιστήμη αυτή. Παράλληλα, τα τελευταία χρόνια αναπτύχθηκαν αρκετά ανοικτά λογισμικά αστρονομίας, τα οποία μπορούν πραγματικά να βοηθήσουν και να συμπληρώσουν το έργο του εκπαιδευτικού αλλά και κάθε άλλου ερευνητή. Ξεχωρίζει βέβαια το Stellarium για τις δυνατότητές του αλλά και για την άμεση και εύκολη εφαρμογή του στη σχολική ύλη του μαθήματος της Αστρονομίας. Οι συνάδελφοι εκπαιδευτικοί μπορούν μελλοντικά να το χρησιμοποιούν στη διδασκαλία τους ως εναλλακτικό τρόπο βιωματικής μάθησης.

11 Βιβλιογραφία-Αναφορές [1] Professor John Dubinski, University of Toronto, (simulation appeared in BBC- Horizon Supermassive Black Holes, 2000). [2] J. Dubinski, The Great Milky Way-Andromeda Collision, Sky and Telescope, 112, 4, p. 36, [3] J. Dubinski & J.K. Farah, GRAVITAS: Portraits of a Universe in Motion, DVD video, [4] J. Dubinski, When galaxies collide, Astronomy Now, 15, 8, p. 56, [5] Professor Joshua E. Barnes, University of Hawaii, (simulation appeared in History Channel, The Universe Most Dangerous Places, 2007). [6] J. E. Barnes, Galaxy Transformation by Merging, The Evolution of Galaxies on Cosmological Timescales, eds. J. E. Beckman & T.J. Mahoney (Astronomical Society of the Pacific: San Francisco), p. 293, [7] J. E. Barnes & John E. Hibbard, Identikit 1: A Modeling Tool for Interacting Disk Galaxies, Astron. J., [8] Professor Paul Drake, University of Michigan (simulation appeared in BBC-Space Star Stuff, 2001 and similar simulations appeared also in History Channel, The Universe Supernovas, 2008). [9] P. Drake et al., Identified enhanced transport of material by instabilities in supernova simulation experiment., Phys. Plasmas, May [10] P. Drake et al., Radiative Shocks in the Laboratory and Astrophysics, 5th International Conference on High Energy Density Laboratory Astrophysics, Tucson, AZ, March [11] R.P. Drake, C.C. Kuranz, A.R. Miles, H.J. Muthsam, T. Plewa, Stellar explosions, instabilities, and turbulence,, Phys. Plasmas, [12] Stellarium Website, [13] Matthew Gates, Stellarium User Guide, [14] Κ. Γαβρίλης, Μ. Μεταξά, Π. Νιάρχος, Κ. Παπαμιχάλης, «Στοιχεία Αστρονομίας και Διαστημικής», ΟΕΔΒ, Αθήνα, [15] Stephen R. Tuttle, Stellarium Script Mars Retrograde Motion