ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν ( ) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ"

Transcript

1 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός

2 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 00 ΕΩΣ 0

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε καθεµιά από αυτές µε το κατάλληλο σύµβολο, (,, ) έτσι ώστε να είναι αληθής: α. Ρ (Α )... Ρ(Α) Μονάδες β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Β.. Μονάδες Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και Α το αντίθετο του ενδεχοµένου Α. α. Αν Α Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) <. β. Αν Ρ(Α) Ρ(Α ) τότε Ρ(Α) Ρ(Ω). Μονάδες 4 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 5 Αν Α Β, Ρ(Α) και Ρ(Β) τότε η Ρ (Α Β) 4 Β.3. είναι ίση µε: α. 4 5 β. γ. 3 δ. 6. Μονάδες,5 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει ότι Ρ(Α) 3, Ρ(Β) και 4 Ρ(Α Β). 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Στήλη Α α. Ρ (Α Β) β. Ρ (( B A ) ) γ. Ρ (( A B) ) Στήλη Β Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) συνx+ηµx. A. Να αποδείξετε ότι f(x) + f (x) 0. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (0,). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιµή λ IR για την οποία ισχύει η σχέση: π λ f π f. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

6 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 3ο Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 µαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Βάρος σε κιλά [ ) Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i , , Α. Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιµές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παραπάνω δεδοµένων. Μονάδες 9 Γ. Επιλέγουµε τυχαία από το δείγµα των 80 µαθητών ένα µαθητή. α. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος µικρότερο από 65 κιλά. Μονάδες 4 β. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

7 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 4ο Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδροµής τους. Μονάδες 6 Β. Να εξετάσετε, αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Μονάδες 6 Γ. Αν οι µαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από 4 έως 6 λεπτά. Μονάδες 6. Μια µέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής (CV). Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

8 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x,x,,x k είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν, όπου k,ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε k ν. α. Τι ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα ν i, που αντιστοιχεί στην τιµή x i, i,,,k; Μονάδες 3 β. Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα f i της τιµής x i, i,,,k; γ. Να αποδείξετε ότι: i) 0 f i για i,,,k Μονάδες 3 ii) f + f + + f k. Μονάδες 4 Β.. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ (Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β). Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

9 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Β.. α. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. Μονάδες 5 β. Να δώσετε τις αριθµητικές τιµές των παρακάτω πιθανοτήτων: i) P(Ω) ii) Ρ ( ). Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) x x +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο lim f(x) x 3. Μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. Μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της καµπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y x + 5. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 3ο Ένα προϊόν πωλείται σε 0 διαφορετικά καταστήµατα στις παρακάτω τιµές, σε Ευρώ: 8, 0, 3, 3, 5, 6, 8, 4, 4, 9. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

10 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και την επικρατούσα τιµή. Μονάδες 6 β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής. Μονάδες 6 γ. Αν οι τιµές του προϊόντος σε όλα τα καταστήµατα υποστούν έκπτωση 0%, να εξετάσετε αν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Α,Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). ίνεται ακόµα η συνάρτηση: f(x) (x - P(A B)) 3 - (x - P(A B)) 3, x R. α. Να δείξετε ότι P(A B) P(A B). Μονάδες 5 β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει µέγιστο P(A ) + P(B) στο σηµείο x. Μονάδες 3 γ. Εάν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να δείξετε ότι f(p(a)) f(p(b)). Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

11 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΜΑΪΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x). Μονάδες 8 Β. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; Μονάδες 6 Γ. Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 6. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το εύρος είναι µέτρο θέσης. β. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. γ. Ισχύει (f(g(x))) f (g(x)). g (x) όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις. δ. ύο ενδεχόµενα Α και Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα, όταν Α Β. ε. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών µεταβλητών. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

12 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ ο Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α. γυναίκα ή φιλόλογος β. γυναίκα και όχι φιλόλογος γ. άνδρας και φιλόλογος δ. άνδρας ή φιλόλογος. Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο x ίνεται η συνάρτηση f(x) x Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. (-,) γ. R- {-,} δ. (, + ) Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι f (x)<0 για κάθε x του πεδίου ορισµού της. Μονάδες 7 lim x + f(x) Γ. Να υπολογίσετε το [( ) ] x Μονάδες 6. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0, f(0)) µε τον άξονα x x. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

13 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 4ο Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηµατική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγµατος έξι µαθητών της πρώτης τάξης ( οµάδα Α) και έξι µαθητών της δεύτερης τάξης (οµάδα Β) ενός Γυµνασίου. Οµάδα Α Οµάδα Β α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τ η διάµεσο των παρατηρήσεων κάθε οµάδας. Μονάδες 6 β. Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες. Μονάδες 5 γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της οµάδας Α γίνει αύξηση 0% και οι παρατηρήσεις της οµάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε µία, πώς διαµορφώνονται οι νέες µέσες τιµές των δύο οµάδων; Μονάδες 8 δ. Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες µε τα νέα δεδοµένα. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµη νία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

14 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ενός δειγµατικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι ισχύει : Ρ ( Α ) Ρ ( Α ) Μονάδες 9 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της, αν υπάρχει το : α. lim f(x0 h 0 + h) f(h) h είναι πραγµατικός αριθµός, h R, h 0 και το όριο αυτό β. lim f(x0 h) f(x0) h 0 h, h R, h 0 γ. lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h είναι πραγµατικός αριθµός, h R, h 0 και το όριο αυτό δ. lim f(x0 h 0 + h) + f(h) h, h R, h 0. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

15 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μέτρο θέσης ενός συνόλου δεδοµένων είναι : α. το εύρος β. η διάµεσος γ. η διακύµανση δ. η τυπική απόκλιση. Μονάδες 5. Να ορίσετε το συντελεστή µεταβολής ενός συνόλου παρατηρήσεων. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) x. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. Μονάδες 5 β. Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της f, όταν x3, ισούται µε 3 4 γ. Αν h(x). f(x) 3 x Μονάδες 0 για x, να υπολογίσετε το lim h(x) x. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 3ο Έχουµε 30 σφαίρες µέσα σ ένα δοχείο, αριθµηµένες από το έως το 30. Επιλέγουµε στην τύχη µία σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόµενο ο αριθµός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του 5. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

16 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Αν Α, Β είναι τα συµπληρωµατικά ενδεχόµενα των Α και Β αντιστοίχως, να υπολογίσετε τις πιθανότητες : α. Ρ (Α), P (B) β. Ρ(Α Β) γ. Ρ(Α Β ) δ. P( ( A Β) ( Α Β ) ) Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο Το βάρος ενός δείγµατος µαθητών λυκείου ακολουθεί κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή. Το 50% των µαθητών του δείγµατος έχουν βάρος το πολύ 65 Kg, ενώ περίπου το 47,5% αυτών έχουν βάρος από 65 Kg έως 75 Kg. α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και την τυπική απόκλιση του βάρους των µαθητών του δείγµατος. Μονάδες 6 β. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Μονάδες 6 γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των µαθητών του δείγµατος, που έχουν βάρος από 55 Kg έως 70 Kg. Μονάδες 6 δ. Ο αριθµός των µαθητών του δείγµατος αυτού που έχουν βάρος από 55 Kg έως 60 Kg, είναι 7. Να υπολογίσετε το σύνολο των µαθητών του δείγµατος. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

17 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) c είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συχνότητα της τιµής x i µιας µεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθµός. β. Στην κανονική κατανοµή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( x s, x + s), όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα ν i µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιµής x i. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

18 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συµβολίζουν ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης. Στη Στήλη Ι αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµένες στην κοινή γλώσσα και στη Στήλη ΙΙ σχέσεις διατυπωµένες στη γλώσσα των συνόλων. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στην ίδια διατύπωση. Στήλη Ι α πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β Στήλη ΙΙ Α Β β πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β Α Β γ πραγµατοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β 3 (Α Β) 4 Α Β Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει µία σχέση. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο x 4x + 3 ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x). x 3 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. B. Να υπολογίσετε το lim f(x). x 3 Μονάδες 0 Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

19 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 3ο Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθηµερινά 00 χιλιάδες οχήµατα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόµετρα. Η διανυόµενη απόσταση σε χιλιόµετρα από τα οχήµατα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: Κλάσεις σε χλµ. Κέντρο κλάσης x i Συχνότητα ν i σε χλµ. Σχετική συχνότητα f i % Αθροιστική Συχνότητα Ν i σε χλµ. Αθρ. Σχετ. Συχνότητα F i % [5, 5) 60 [5, 5) 68 [5, 35) 80 [35, 45) Σύνολο 00 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συµπληρώσετε τις τιµές των αντίστοιχων µεγεθών. Μονάδες 0 Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα (x i, f i %) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Μονάδες 5 Γ. Να βρείτε τη µέση τιµή x. Μονάδες 5. Να βρείτε το πλήθος των οχηµάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 χιλιοµέτρων. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο 3 5 ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) x x + x + 0. Οι πιθανότητες P(A) και P(B) δύο ενδεχοµένων Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι ίσες µε τις τιµές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό µέγιστο. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Α. Να δείξετε ότι P (A) και P(Β) 3 Μονάδες 9 Β. Για τις παραπάνω τιµές των P(A), P(B) καθώς και για P(A B) 3, να βρείτε τις πιθανότητες: i. P(A B) ii. P(A-B) iii. P[(A B) ] iv. P[(A-B) (Β-Α)]. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων, αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: µετά τη 0.30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο Α. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β, τότε να αποδείξετε ότι Ρ(Α) Ρ(Β). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 7 Β. α. Πότε ένα πείραµα ονοµάζεται πείραµα τύχης; β. Να δώσετε τον ορισµό του δειγµατικού χώρου ενός πειράµατος τύχης. Μονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Αν lim f(x) x x 0 τότε lim (f(x) g(x)) x x 0 και lim g(x), x x β. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A, όταν f(x) f(x ) για κάθε x σε µια περιοχή του x. γ. Ισχύει (f(x) g(x)) f (x) g(x) + g (x) f(x), όπου f και g παραγωγίσιµες συναρτήσεις. δ. Ισχύει ( x ) µε x > 0. x ε. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α ) + Ρ (Α). στ. Το µέτρο διασποράς εύρος ισούται µε τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση. Μονάδες. 0

22 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο x + f(x). α. Να βρείτε τη µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. β. Να αποδείξετε ότι f (x) + f (x). e x e x Μονάδες 9 Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (0, f(0)). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο Η µέση τιµή των βαθµών που πήραν οι 5 µαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου στα Μαθηµατικά είναι 4, ενώ η µέση τιµή των βαθµών των 0 µαθητών που παρουσίασαν τη µικρότερη βαθµολογία είναι. α. Να βρείτε τη µέση τιµή της βαθµολογίας των 5 υπόλοιπων µαθητών. Μονάδες β. Αν το άθροισµα των τετραγώνων των βαθµών των 5 αυτών µαθητών είναι 5000, να βρείτε το συντελεστή µεταβολής (CV). Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Ω {,, 3, 4, 5, 6} ο δειγµατικός χώρος της ρίψης ενός µη αµερόληπτου ζαριού και η συνάρτηση f : IR IR µε τύπο f(x) x3 kx + 4x +, όπου k Ω. 3 Αν P() P(3) P(5) P() 4P(4) P(6), τότε να βρείτε: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ α. Τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων P(), P(), P(3), P(4), P(5), P(6). Μονάδες 8 β. Τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β, όπου Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθµός» Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθµός». Μονάδες 8 γ. Την πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ, όπου Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR». Μονάδες 9 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων, αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0:00. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

24 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 0 Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; Μονάδες 3 β. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f (x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες β. f(x) f (x) g(x) + f(x) g (x) Ισχύει g(x) ( g(x) ), όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

25 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ γ. Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης. δ. Αν Α Β τότε P(A) > P(B). Μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ ο Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων νbi B: ν i Βαθμός α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις βαθ/γίας [ ) [4, 8) [8,) [,6) [6,0) Σύνολο Κέντρο κλάσης x B Bi Συχνότητα ν Bi B Σχετική συχνότητα f B Bi Αθροιστική συχνότητα Ν B Bi Αθρ. σχετ. συχνότητα F B Bi β. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών. γ. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 0; Μονάδες Μονάδες 8 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

26 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 3ο Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι 8 7. (ii) Οι πιθανότητες P(B), P(A B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο 5 σύνολο Χ k,,, όπου 4 3x 5 k lim. x 5 x 6x + 5 α. Να βρεθεί το k. Μονάδες 5 β. Να βρεθούν τα P(B), P(A B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 γ. Να βρεθούν οι πιθανότητες: () Να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. Μονάδες 6 () Να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x), x (0, + ). x α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(,). Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες xx και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Οx, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

27 των ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Μονάδες 0 γ. Οι τετμημένες πέντε διαφορετικών σημείων της εφαπτομένης του ερωτήματος (α) έχουν μέση τιμή x 5 και τυπική απόκλιση sbx B. Να βρεθεί η μέση τιμή y και η τυπική απόκλιση sby B τεταγμένων των σημείων αυτών. Μονάδες 8 UΟ ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). UΝα μην αντιγράψετεu τα θέματα στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο μπορούν να γίνουν και με μολύβι.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. UΚαμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετεu. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0.30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

28 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο A.. ίνονται οι συναρτήσεις F(x), f(x) και g(x) με F(x) f(x)+g(x). A.. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F (x) f (x) + g (x). Μονάδες 9 Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής x, αν > 0 και πώς, αν x < 0 ; Μονάδες 4 x Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Οι ποιοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς. β. Αν x>0, τότε (lnx) x. Μονάδες Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

29 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, εκτός από τις συχνότητες f i και v i, χρησιμοποιούνται και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες F i, N i. Μονάδες δ. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς μιας μεταβλητής είναι η μέση τιμή και η διάμεσος αυτής. Μονάδες ε. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύει Ρ(Α)Ρ(Β), τότε είναι πάντοτε Ν(Α)Ν(Β). Μονάδες στ. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) αlnx - βx με α, β R. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 3 β. Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε x, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 5 γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α(,) της γραφικής παράστασης της f να είναι y3x-. δ. Να βρείτε το lim (f (x) x 3 ). x Μονάδες 0 Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

30 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3o Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (6,) με άκρα του διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής x ± 3s, x ± s, x ± s, x. _ α. Να δείξετε ότι x 0 και s. Μονάδες 0 β. Να βρείτε το α Ν *, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα _ ( x α s, x+ α s) ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων. Μονάδες 5 γ. Αν R είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) R x (x + 4) x 9s +. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Έστω ο δειγματικός χώρος Ω{,,3,4,5,6,7,8,9,0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι A B {,,3,4,5,6 }, A I B {,3,4}, A - B {,6} U και x + Γ x Ω /. x - α. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ). Μονάδες 9 β. Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ. Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

31 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ. Μονάδες 3 δ. Αν s είναι η διακύμανση των τιμών λ, 3λ, 5λ, όπου λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου {λ Ω / s > 4}. Μονάδες 0 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά την 0.30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

32 ΘΕΜΑ o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) c f (x), x ΙR. Μονάδες 0 B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 3 β. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 0 A, όταν f(x) f(x 0 ) για κάθε x σε μια περιοχή του x 0. Μονάδες β. Aν το ενδεχόμενο Α, συμπληρωματικό του ενδεχομένου Α, πραγματοποιείται, τότε δεν πραγματοποιείται το Α. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες

33 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Για κάθε x 0 ισχύει: x x. Μονάδες δ. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός Βιβλίων Αριθμός Μαθητών x i ν i 0 α+4 5α+8 4α 3 α- 4 α Σύνολο 50 α. Να υπολογίσετε την τιμή του α. Μονάδες 3 Στη συνέχεια να βρείτε: β. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 γ. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 δ. Την πιθανότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστο 3 βιβλία. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

34 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3o Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4) κορίτσια. α. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. Μονάδες 7 β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με 9 και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 00 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. Μονάδες 8 γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής; Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f(x) -x +kx + 4 x + 0, x 0. α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι k και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 5 β. Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή x f() και τυπική απόκλιση ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

35 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f (4) s. Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού 3 δείγματος μεγέθους ν, είναι μικρότερες ή ίσες του 8. (i) Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (0,6). Μονάδες 0 (ii)να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι ομοιογενές. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές. Μονάδες 0 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο μπορείτε να τα σχεδιάσετε και με μολύβι.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0.30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

36 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο A. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι ισχύει: P(Α ) Ρ(Α). Μονάδες 9 Β. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x 0 A; Μονάδες 3 Β. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα ; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Το ενδεχόμενο Α Β πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. β. Ισχύει: (συνx) ημx, για κάθε x IR. Μονάδες Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

37 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων. δ. Η διάμεσος δ είναι μέτρο διασποράς. Μονάδες Μονάδες ε. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Τότε ισχύει: P( ) P(A B) P(Ω). Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) e x (αx +βx+9) με α,β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(,e ) είναι y e x+3e, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α και β 6. β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 3o Μία Τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό ή μόνο καταναλωτικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθανότητα να μην έχει πάρει κανένα από τα δύο προηγούμενα δάνεια είναι 0,. α. Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει καταναλωτικό» είναι ασυμβίβαστα. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

38 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. «έχει πάρει καταναλωτικό». ii. «έχει πάρει μόνο καταναλωτικό». Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Οι απουσίες των μαθητών της Γ τάξης ενός Ενιαίου Λυκείου κατά τους μήνες Ιανουάριο Φεβρουάριο Μάρτιο Απρίλιο του έτους 006 έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων: Απουσίες μαθητών Κέντρο κλάσης x i Σχετική συχνότητα f i [ )... 0, [... 7 ) [ )... 0,3 [ ) 0... Σύνολο /////////////////////// Αν επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 4 ης κλάσης f 4 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της ης κλάσης f, τότε: α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 0 β. Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα σχετικών συχνοτήτων στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τα κενά, αφού υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές. Μονάδες 5

39 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. i. Να βρείτε τη μέση τιμή x. ii. Να βρείτε την τυπική απόκλιση s. Μονάδες 4 Μονάδες 6 ίνεται ο τύπος: k ( x k iνi) i s xi νi. ν i ν Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο μπορείτε να τα σχεδιάσετε και με μολύβι.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0.30 πρωινή. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

40 ΘΕΜΑ o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β). Μονάδες 8 B.α. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 β. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθμός. Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

41 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: ( f ( g( x) )) f (g(x)) g (x). Μονάδες γ. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f (x 0 )0 για x 0 (α,β), f (x)>0 στο (α,x 0 ) και f (x)<0 στο (x 0,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για xx 0 ελάχιστο. Μονάδες Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f (x)x ν, όπου ν φυσικός f (x)lnx, όπου x>0 f 3 (x) x, όπου x>0 f 4 (x)συνx, όπου x πραγματικός. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)xe x +3, όπου x πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι f (x)f(x)+e x 3 Μονάδες 0 β. Να βρεθεί το x f (x) e lim x 0 x x. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

42 ΘΕΜΑ 3o ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Εστω ο δειγματικός χώρος {, 0,,, 3, 4, 5} Ω για τον οποίο ισχύει Ρ( )Ρ(0)Ρ()Ρ()Ρ(3)Ρ(4)Ρ(5). Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω : A {, 3, x x 3 }, B {, x +, x + x, x + } όπου x ένας πραγματικός αριθμός. α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, δηλαδή οι Ρ( ), Ρ(0), Ρ(), Ρ(), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5). Μονάδες 7 β. Να βρεθεί η μοναδική τιμή του x για την οποία ισχύει A B{,3}. γ. Για x να δειχθεί ότι: 5 7 P(A), P(B), P(A B) 3 Μονάδες 8 και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β ). Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούμε δύο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις: είγμα Α:, 8, t 3, t 4,..., t 5 είγμα B: 6, 4, t 3, t 4,..., t 5. ίνεται ότι t 3 +t t α. Να αποδείξετε ότι οι μέσες τιμές x A και x B των δύο δειγμάτων Α και Β αντίστοιχα είναι x x 5. A B Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

43 s A ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Αν είναι η διακύμανση του δείγματος Α και είναι η διακύμανση του δείγματος Β, να αποδείξετε ότι 6 sa sb. 5 Μονάδες 8 γ. Αν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος Α είναι ίσος με CV A, να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής CV B 5 του δείγματος Β. s B Μονάδες 0 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0:30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

44 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4) ΘΕΜΑ ο A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x)x είναι f (x). Μονάδες 8 Β. α. Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α κάποιου δειγματικού χώρου Ω. Μονάδες 4 β. Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω πιθανοτήτων: i) Ρ(Ω) ii) Ρ( ). Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. α. Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν και ότι f i, i,,,κ, είναι οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιμών x i μιας μεταβλητής. Αν α i είναι το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε: α i 360 f i, για i,,,κ. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

45 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με g(x) 0, τότε ισχύει f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g ( g(x) ) Μονάδες γ. Aν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f (x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (x). Μονάδες Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f (x)e x f (x) x όπου x πραγματικός. όπου x 0. f 3 (x)ημx f 4 (x)c όπου x πραγματικός. όπου x πραγματικός και c σταθερά. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο x ίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x). x x + α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x). β. Να βρεθεί το όριο lim f (x). x Μονάδες 5 Μονάδες 8 γ. Να εξετασθεί η συνάρτηση f(x) ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατά της. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

46 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3o Έστω ο δειγματικός χώρος Ω {,, 3, 4, 5}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β του Ω τα οποία ορίζονται ως εξής: Α {x Ω/ 0 ln(x ) < ln3}, B {x Ω/ (x 5x) (x ) 6 (x )}. α. Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α ). Μονάδες 8 β. Αν Ρ(Α) 4, να υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Α Β ). Μονάδες 7 γ. Αν Ρ(Α) 4 και Ρ(Β Α) 8, να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή της πιθανότητας Ρ(X), όπου Χ είναι ενδεχόμενο του Ω τέτοιο ώστε Α ΧΒ. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Έστω x, x,..., x ένα δείγμα με παρατηρήσεις: 7, 5, α,, 5, β, 8, 6, γ, 5, 3, όπου α, β, γ φυσικοί αριθμοί με α<β<γ. ίνεται ότι η μέση τιμή, η διάμεσος και το εύρος των παρατηρήσεων είναι x 6, δ 6 και R 8 αντίστοιχα. α. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ, έτσι ώστε να ισχύει α + β + γ 7. Μονάδες 8 β. Για τις τιμές των α, β, γ, που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα, να δειχθεί ότι η τυπική 58 απόκλιση του δείγματος είναι ίση με s x και να εξετασθεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

47 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Έστω y, y,,y οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις x,x,, x επί μια θετική σταθερά c και στη συνέχεια προσθέσουμε μια σταθερά c. Aν y9 και s y s x, να βρεθούν οι τιμές των σταθερών c και c. Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) Μονάδες 9. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0:00 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

48 ΘΕΜΑ o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)c (όπου x πραγματικός αριθμός) είναι ίση με 0, δηλαδή (c) 0. Μονάδες 8 B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής _ μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν _ x < 0; Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ο τύπος Ρ(Α»Β)Ρ(Α)+Ρ(Β) Ρ(Α Β) ισχύει μόνον όταν τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. Μονάδες β. Η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων t, t,, t ν είναι πάντοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

49 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Αν x>0, τότε ( x). x Μονάδες δ. Αν x ο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε lim ημx ημx. x x o o Μονάδες ε. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων, το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) πραγματικός αριθμός. x, όπου x x e α. Να υπολογίσετε το όριο lim x e f(x). x x Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι e x f (x) x. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x). Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

50 ΘΕΜΑ 3o ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Για δύο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγματα μεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για το κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόμενο πίνακα: Α Β α. Να βρείτε τη μέση διάρκεια ζωής μιας μπαταρίας τύπου Α και μιας μπαταρίας τύπου Β. Μονάδες 5 β. Αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας). Μονάδες 5 γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις S A και S B της διάρκειας ζωής των δύο τύπων μπαταριών. Μονάδες 7 δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους μπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. ίνεται ότι 3, 3. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

51 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4ο Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημερίδα β; Μονάδες 7 β. Ορίζουμε το ενδεχόμενο Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι 7 Ρ( Β). 5 0 Μονάδες 9 γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f(x)x 3 x + P(B) x όπου x πραγματικός αριθμός και Β το ενδεχόμενο που ορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα. Μονάδες 9 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

52 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη 0:30 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

53 ΘΕΜΑ o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) A. Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι (f(x) + g(x)) f (x) + g (x). Μονάδες 9 B. α. Να δώσετε τον ορισμό της διακύμανσης των παρατηρήσεων t, t,, t ν μιας μεταβλητής X. Μονάδες 3 β. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες β. Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

54 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Αν η συνάρτηση f έχει στο x 0 όριο έναν πραγματικό αριθμό, δηλαδή αν lim f(x), τότε lim x xo ν ν ( f(x) ) x x o (ν θετικός ακέραιος). Μονάδες δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f (x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες ε. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Η μέση βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης σε ένα τεστ είναι 70. Χωρίζουμε τη βαθμολογία σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις [ ) Σύνολα Κεντρικές τιμές x i Συχνότητα ν i Σχετική συχνότητα f i ίνεται επιπλέον ότι το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 0 έως 40 είναι ίσο με το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμό από 40 έως 60, ενώ στο κυκλικό διάγραμμα των δεδομένων, η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση από 80 έως 00 είναι 08 ο. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

55 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α. Να δείξετε ότι f f 0, f3 0 5, f Μονάδες 0 β. Αν ο αριθμός των μαθητών της τάξης είναι 50, τότε: i. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα συχνοτήτων και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. Μονάδες 5 ii. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν βαθμολογία τουλάχιστον 60. Μονάδες 5 iii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμολογία από 50 έως 70. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3o Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και p ένας πραγματικός αριθμός με 0 < p <. ίνεται ότι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους και αποτελούν στοιχεία του συνόλου {p, p, p +, p, p 3 }. α. Να δείξετε ότι Ρ(Α) p, Ρ(Α Β) p και Ρ(Α Β) p 3. β. Να αποδείξετε ότι Ρ(Β) p 3 p + p. γ. Να αποδείξετε ότι Ρ(Β Α) > Ρ(Α Β). Μονάδες 9 Μονάδες 8 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

56 ΘΕΜΑ 4ο ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα ). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x. Σχήμα α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο f(x) 00x x. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 00 m. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών f (00), f (0), f (0), f (03) και f (04). Μονάδες 5 δ. Έστω CV ο συντελεστής μεταβολής των αριθμών f (00), f (0), f (0), f (03) και f (04) και CV ο συντελεστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθέναν από τους αριθμούς αυτούς κατά c, όπου c. Να υπολογίσετε τo c, έτσι ώστε να ισχύει CV CV. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

57 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 0 B. Αν x,x,,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (κ ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα f i της τιμής x i, i,,,κ. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι ( f (x)g(x)) f (x)g (x) + f (x)g(x) Μονάδες β. Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι A B A B Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

58 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Για τη συνάρτηση f(x)ημx ισχύει ότι ( ημ x) συνx Μονάδες δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες ε. Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές x i, i,,3,4 μιας μεταβλητής Χ με αντίστοιχες συχνότητες ν i, i,,3,4. Η συχνότητα ν που αντιστοιχεί στην τιμή x 3 είναι άγνωστη. ίνεται ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι ίση με x 4. x i α. Να αποδείξετε ότι ν 7. ν i 6 3 ; Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι η διακύμανση των παρατηρήσεων είναι ίση με 4,9. Μονάδες 9 γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των τιμών της μεταβλητής X είναι ομοιογενές. ίνεται ότι 4,9, Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

59 ΘΕΜΑ 3o ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση f(x)x 3 6x +αx 7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει f (x) + f (x) + 5 3x, x α. Να δείξετε ότι α9 β. Να υπολογίσετε το όριο Μονάδες 7 f (x) lim x x Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y 3x Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x)lnx x +λ 6λ+, x>0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 6 β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 6 Β. Θεωρούμε ότι οι τιμές της συνάρτησης f(), f(4), f(8), f(3) και f(5) είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ. α. Αν R είναι το εύρος και δ η διάμεσος των παρατηρήσεων, να δειχθεί ότι R3+ ln 4 και δ ln4+λ 6λ Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

60 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω{,,3,,00} ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Aν το λ παίρνει τιμές στο δειγματικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α{λ Ω R+δ< } Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

61 ΘΕΜΑ o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει Ρ(Α ) Ρ(Α) Μονάδες 9 B. α. Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x A; Μονάδες 3 β. Αν t, t,..., t ν είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X σε δείγμα μεγέθους ν, να ορίσετε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. x Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση f έχει στο x 0 όριο έναν πραγματικό αριθμό, δηλαδή αν lim f (x) τότε για κάθε x φυσικό αριθμό ν μεγαλύτερο του θα ισχύει ν ν lim f (x) ν x x 0 ( ) x 0 Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

62 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Για τη συνάρτηση f(x) e x, x, ισχύει f (x) e x Μονάδες γ. Η διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν. Μονάδες δ. Αν η καμπύλη συχνοτήτων για ένα χαρακτηριστικό είναι κανονική ή περίπου κανονική με τυπική απόκλιση s και εύρος R, τότε ισχύει s 6R Μονάδες ε. O δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f(x) αx 3 8, όπου α ένας πραγματικός αριθμός. α. Αν lim f (x) 7, να βρεθεί η τιμή του α x β. Έστω α Μονάδες 5 i. Να βρεθεί το όριο lim x f (x) x Μονάδες 0 ii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x 0 Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

63 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3o Έστω x, x, x 3, x 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν7 με αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ν, ν, ν 3, ν 4, όπου ν 4 3ν 3. ίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές x και x είναι αντίστοιχα 50 και 30. α. Να βρεθούν οι συχνότητες ν i, i,,3,4 Μονάδες 0 β. Να βρεθούν τα τόξα που αντιστοιχούν στις τιμές x 3 και x 4 Μονάδες 8 γ. ίνεται ότι x < 7, x 7, x 3 3, και x 4 >3. Να δειχθεί ότι 0 R+7 x5 δ όπου R, x, δ είναι αντίστοιχα το εύρος, η μέση τιμή και η διάμεσος των παρατηρήσεων. ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες ίνεται η συνάρτηση f (x) ν x +, x (0,), όπου ν x ακέραιος αριθμός με ν > A. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 8 β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f(x) 3ν για κάθε x (0,) Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

64 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ B. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω {,,..., ν} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και το ενδεχόμενό του, Α για το οποίο ισχύει 3 4 ν P(A) + 3ν και Ν(Α)ν 9ν 8 ( P(A) ) όπου Ρ(Α) είναι η πιθανότητα του Α και Ν(Α) το πλήθος των στοιχείων του Α α. Να δείξετε ότι Ρ(Α) 5 Μονάδες 7 β. Αν επιπλέον Β είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α Β) 6, να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α Β Μονάδες 5 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. Να μη χρησιμοποιηθεί το μιλιμετρέ φύλλο του τετραδίου. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνο ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

65 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

66 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x Σχηματίζουμε τις διαφορές t x, t x,..., t ν x Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με μηδέν. Μονάδες 7 Α. Αν x,x,,x ν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους ν και w,w,...,w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α3. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να δώσετε τους ορισμούς του βέβαιου ενδεχομένου και του αδύνατου ενδεχομένου. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

67 ΘΕΜΑ B ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο x 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε lim (f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x) x x β) Για κάθε x>0 ισχύει ( ) x x x x x x γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση xf(t), τη χρονική στιγμή t 0 είναι υ(t 0 )f (t 0 ) δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x, x με x <x ισχύει f(x )<f(x ) ε) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. ίνεται η συνάρτηση f (x) x x +, x Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το f (x) lim x x Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x 0 0 Μονάδες 0 B3. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα x x Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

68 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ Οι τιμές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 60 ατόμων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραμμα αδυνατίσματος, έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ [0 -...)... 0 [ ) 6 40 [ ) [ ) [ )... 5 ΣΥΝΟΛΟ 60 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο με 4 Μονάδες 6 Γ. Αφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα σωστά συμπληρωμένο, να υπολογίσετε τη μέση ν i τιμή x και την τυπική απόκλιση s Μονάδες 8 Γ3. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 5 Γ4. Αν κάθε άτομο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «η απώλεια βάρους ενός ατόμου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 μέχρι και 4 κιλά». Μονάδες 6 ίνεται ο τύπος s k ν i x i ν i k i x iνi ν ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

69 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και η συνάρτηση f (x) ln + ( x P(A) ) ( x P(A) ) P(B), x>p(α). Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 5 x o με τιμή f(x o )0, να αποδείξετε ότι: 3 Ρ(Α) και Ρ(Β) 3 Μονάδες Λαμβάνοντας υπόψη το ερώτημα και επιπλέον ότι να βρείτε την πιθανότητα: 5 P(A B), 6 3. να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5 4. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

70 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και c R, να αποδείξετε ότι ( cf ( x) ) c f ( x), x. Μονάδες 9 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α3. Πώς ορίζεται ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης; Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, f τότε η συνάρτηση έχει πάντα πεδίο ορισμού το Α g β) Ισχύει lim (συνx) συνx x x 0 0 γ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχικές κεντρικές τιμές των κλάσεων διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης. δ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

71 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ε) Αν Ρ(Α) είναι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α {α, α,..., α κ } «, τότε Ρ(Α) Ρ(α )+ Ρ(α ) Ρ(α κ ) ΘΕΜΑ B Μονάδες 0 Οι βαθμοί 60 μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών κυμαίνονται από 0 έως 0 και έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Αν: Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην κλάση [4, 6) του κυκλικού διαγράμματος είναι 44 ο Οι σχετικές συχνότητες των δύο πρώτων κλάσεων είναι ίσες. 48 μαθητές πήραν βαθμό έως 6 και 6 μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 8, τότε: Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ [ - ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f i ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f i % ΣΥΝΟΛΟ Μονάδες 0 Β. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών. Μονάδες 6 B3. Να βρείτε πόσοι μαθητές πήραν βαθμολογία από 0 έως 4 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ x

72 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β4. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Έστω Ω {ω, ω, ω 3, ω 4 } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Α {ω, ω 3 } και Β { ω, ω 4 } ν + ν Αν είναι Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α) ν + 4 ν όπου ν θετικός ακέραιος, τότε: Γ. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) και Ρ(Β Α) Ρ(Β) Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι ν4 Μονάδες 0 Γ3. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β Μονάδες 4 Γ4. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α»B Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή τυπική απόκλιση s Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση x και f (t) 300s t x 3, t R και s 0. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 5

73 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος για t x και να βρείτε την ελάχιστη τιμή του. Μονάδες 6 3. Αν f (0), να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής CV των παραπάνω παρατηρήσεων και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 4. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των αριθμών f (t ), f (t ),..., f (t ν ) είναι ίση με 00 Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 9:30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

74 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α Β)Ρ(Α) Ρ(Α Β). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 4 Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f i μιας παρατήρησης x i ενός δείγματος. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6 x. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

75 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) f (g(x)) g (x) Μονάδες ΘΕΜΑ Β δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M), η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A) 4λ 4 7 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K) 5 λ +, όπου 4 λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<7, τότε Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω)68 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ Μονάδες 6 Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β4. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

76 ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0) Β(0, 0) Γ(, 0) (4, y ) E(6, y Ε ) Ζ(8, 0) Η(0, 0) όπου y, y Ε οι τεταγμένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓ ΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y Ε των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 400 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f i %. Μονάδες 3 Γ3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f i % της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 5000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 Γ5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

77 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτημα. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f (x) e x x 3 x+ 0 5, x. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΑŒΒ και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α»Β), Ρ(Β Α). 3. ίνεται η συνάρτηση h (x) e 3x x 5 x 3, x. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)h(x). Μονάδες 8 Μονάδες 3 β) Aν x < x < x 3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v i x i +, i,,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων x i τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

78 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

79 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P(AUB)P(A)+P(B)-P(AIB) Μονάδες 7 Α. Έστω ένας δειγματικός χώρος Ω{ω, ω,..., ω ν } με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Να διατυπώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. Μονάδες 4 Α3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της Α; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν x>0, τότε ( x ) x β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f ( x) >0 για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) Η αθροιστική συχνότητα Ν i μίας κατανομής εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

80 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Στην κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (x s, x + s), όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση. ε) Η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάντα ως η μεσαία παρατήρηση. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ B Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες (σε o C) σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 4ώρου προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης θ(t)t 4 t +α, όπου α και t (0,4] ο χρόνος σε ώρες. Β. Να αποδείξετε ότι για t (0,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t (4,4] η θερμοκρασία αυξάνεται. Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζετε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 4ώρου o είναι - C. Μονάδες 6 B3. Για α3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της o περιοχής είναι 0 C. Μονάδες 5 Β4. Να υπολογίσετε το θ (t) lim t 4 t 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Οι ηλικίες των εργαζομένων σε μια εταιρεία έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

81 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) x i ν i f i % Ν i F i % ν i xi [5, ) x [, ) x+0 [, ) x [, ) x 6x 50 ΣΥΝΟΛΟ Γ. Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες f i % i,,3,4 Μονάδες 6 Γ. Αν η διάμεσος της κατανομής των ηλικιών είναι δ50 χρόνια, να αποδείξετε ότι το πλάτος της κλάσης είναι c0. Μονάδες 8 Γ3. Aφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα συμπληρωμένο κατάλληλα, να υπολογίσετε την μέση τιμή x των ηλικιών. Μονάδες 6 Γ4. Πόσοι εργαζόμενοι, των οποίων οι ηλικίες ανήκουν στην πρώτη κλάση, πρέπει να προσληφθούν, ώστε η νέα μέση ηλικία να είναι 40 χρόνια; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Εξακόσιοι απόφοιτοι ευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οι οποίοι έχουν τα ίδια τυπικά και ουσιαστικά προσόντα, υποβάλλουν αίτηση πρόσληψης σε δύο εταιρείες Α και Β. ίνεται ότι η πιθανότητα, ένας τυχαία επιλεγμένος από αυτούς: να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε μια μόνο από λ + τις εταιρείες Α και Β είναι, λ 0 3λ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

82 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη το πολύ σε μια από 3λ τις εταιρείες Α και Β είναι, λ 0 να μην κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε καμμία από τις δύο εταιρείες είναι, λ λ. Να αποδείξετε ότι λ4. Μονάδες 8. Από τους 600 αποφοίτους που υπέβαλαν αίτηση πρόσληψης στις εταιρείες Α και Β, η εταιρεία Α έκρινε κατάλληλους για πρόσληψη 50 λιγότερους από όσους έκρινε η εταιρεία Β. 3λ α) Πόσοι απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Α, πόσοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Β και πόσοι απόφοιτοι θα βρεθούν στο δίλημμα να επιλέξουν σε ποια από τις δύο εταιρείες στις οποίες κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, επιθυμούν να εργαστούν; Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι 300 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, από τις εταιρείες Α ή Β. Μονάδες 6 3. Στους αποφοίτους που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη δίνεται η δυνατότητα παρακολούθησης προγράμματος επιμόρφωσης. Αν η πιθανότητα εύρεσης εργασίας για αυτούς που θα παρακολουθήσουν το πρόγραμμα είναι διπλάσια από την αντίστοιχη εκείνων που δεν θα το παρακολουθήσουν, να υπολογίσετε πόσοι απόφοιτοι από αυτούς, που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, θα βρουν εργασία. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

83 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

84 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ) f ( x) + g ( x), x Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α Μονάδες 4 Α3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν _ x >0 και πώς, αν _ x <0; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων (μονάδες ). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

85 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Η παράγωγος της f στο x 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y f (x) ως προς x, όταν x x0 (μονάδες ). γ) Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ ( Α) > Ρ( Β) (μονάδες ). δ) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς (μονάδες ). ε) lim ημx ημx0 x x 0, x0 (μονάδες ). Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές μιας τάξης για να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ανήκουν στο διάστημα [5,45) και έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομένα των χρόνων εμφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Β. Με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάμεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

86 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β. Στον επόμενο πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α8 (μονάδες 3) και να μεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο στο τετράδιό σας (μονάδες 5). Χρόνοι (λεπτά) x i v i f i % N i F i % [5,. ) α+4 [.,. ) 3α-6 [.,. ) α+8 [., 45) α- Σύνολο ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 8 Β3. Να βρεθεί η μέση τιμή _ x και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. ( ίνεται ότι: 84 9,7) Μονάδες 8 Β4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Από τους μαθητές μιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ν φυσικός αριθμός με ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει 3ν Γαλλικά είναι ν + Ισπανικά είναι ν + ν + και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι ν + ν +

87 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ μία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση με το όριο ( x + 3 ) lim x x + x Γ. Να αποδείξετε ότι το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι ν 3 Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6 Γ4. Αν ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ + ln x ίνεται η συνάρτηση f (x), x>0 x. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 5. Έστω Μ (,f (x)), x 0 x > σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα Ox στο σημείο Κ (x,0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα x x τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ ( 0,f (x)). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

88 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 3. Έστω η ευθεία ε : y λx + β, β 0, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ (,f () ). Θεωρούμε δέκα σημεία (x i,y i ), i,,,0 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετμημένες τους x i να έχουν μέση τιμή x _ 0 και τυπική απόκλιση s x. Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα των τεταγμένων yi των δέκα σημείων είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 4. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, τέτοια ώστε Α και Α Β, τότε να αποδείξετε ότι f ( Ρ ( Α) ) + f ( Ρ( Α Β) ) f ( Ρ( Α Β) ) Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) Μονάδες 5. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

89 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ΑΠΟ 003 ΕΩΣ 0

90 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 003 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ Ο Α. Αν Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, δείξτε ότι ισχύει: P(A B)P(A)+P(B)-P(A B). Β. Έστω ότι έχουµε την κατανοµή συχνοτήτων ενός δείγµατος µεγέθους n. Αν X,, K Xkοι τιµές της (ποσοτικής) µεταβλητής, µε συχνότητες n, n,..., n k και σχετικές συχνότητες f, f,..., f k αντίστοιχα και X ο αριθµητικός µέσος των τιµών του δείγµατος, δείξτε ότι X k i X f (7 µονάδες) (4µονάδες) Γ. Απαντήστε (χωρίς απόδειξη - αιτιολόγηση) στις επόµενες ερωτήσεις.. Σε ένα δείγµα µεγέθους n, παρατηρήθηκε ότι για κάθε τιµή της µεταβλητής x i, η απόλυτη συχνότητα n ισούται µε την (αντίστοιχη) εκατοστιαία σχετική συχνότητα f %, i δηλαδή ισχύει n f% για κάθε i,,3, Ποιο είναι το µέγεθος n του δείγµατος; i i ( µονάδες). Τις τελευταίες 7 ηµέρες, οι θερµοκρασίες σε ένα χωριό της Νορβηγίας ήταν 3, -, -, 0,,, 3 βαθµούς αντίστοιχα. Τι έχετε να παρατηρήσετε για το συντελεστή µεταβλητότητας της θερµοκρασίας αυτού του επταηµέρου; ( µονάδες) 3. Έστω x,, K xn οι τιµές ενός δείγµατος, x η µέση τιµή τους και s η τυπική τους απόκλιση. Αν κάθε µία από τις πιο πάνω τιµές πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και σε κάθε γινόµενο προστεθεί ο αριθµός b, γράψτε τη µέση τιµή x' και την τυπική απόκλιση s ' των νέων τιµών ax+ b, ax+ b,..., axn+ b ( µονάδες) 4. Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα µεγέθους n και συµβολίζουµε µε n i τις συχνότητες και f i τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιµών x i της µεταβλητής. Αν συµβολίσουµε µε a i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων του δείγµατος, γράψτε µε τι ισούται το a i. ( µονάδες). Ένας µαθητής της Γ Λυκείου, διεκδικεί την εισαγωγή του στην τριτοβάθµια εκπαίδευση µε τους εξής βαθµούς:. Γενικός βαθµός πρόσβασης: 6. ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 5 3. ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 7 Υπολογίστε τη µέση επίδοση του συγκεκριµένου µαθητή. (Υπενθυµίζεται ότι ο γενικός βαθµός πρόσβασης έχει συντελεστή βαρύτητας 8, το ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας έχει συντελεστή βαρύτητας,3 και το ο 0,7). ( µονάδες) Ε. Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραµµα πάνω στην Εθνική οδό, µεταφέροντας εµπορεύµατα από τη Θεσσαλονίκη προς την Αθήνα. Καθώς πλησιάζει προς τη Λάρισα, η θέση του πάνω στην Εθνική οδό συναρτήσει του χρόνου t, δίνεται από τη συνάρτηση 3 x( t) t t t. Βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του 3 φορτηγού. Η ταχύτητά του αυξάνεται ή ελαττώνεται; (4 µονάδες) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 003 i i i

91 ΖΗΤΗΜΑ Ο Στον επόµενο πίνακα συχνοτήτων, φαίνεται η κλιµάκωση των βαθµών πρόσβασης του συνόλου των µαθητών της Γ Λυκείου, που εξετάστηκαν σε εθνικό επίπεδο το έτος 00, σύµφωνα µε τα επίσηµα στοιχεία που έδωσε στη δηµοσιότητα το Υπουργείο Παιδείας. Κλάσεις [ - ) Σχετική Συχνότητα % f i Αν είναι γνωστό ότι το πλήθος των µαθητών που πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 6 και µικρότερο του 8, ήταν τετραπλάσιο αυτών που πήραν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 4 και µικρότερο του 6, να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις δύο σχετικές συχνότητες που λείπουν. (5 µονάδες). Είναι γνωστό, ότι 5587 µαθητές, πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 0. Να βρείτε το συνολικό πλήθος των υποψηφίων. (4 µονάδες) 3. Να υπολογίσετε πόσοι υποψήφιοι είχαν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του και µικρότερο του 3. (4 µονάδες) 4. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Η πιθανότητα αυτός να είναι υποψήφιος της θεωρητικής κατεύθυνσης είναι 0,34 ενώ η πιθανότητα να είναι υποψήφιος της θετικής, είναι µισή από την πιθανότητα να είναι υποψήφιος της τεχνολογικής. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «ο µαθητής προέρχεται, είτε από τη θεωρητική, είτε από την τεχνολογική κατεύθυνση», καθώς και το πλήθος των µαθητών της θετικής κατεύθυνσης (στρογγυλοποιείστε την απάντησή σας στον πλησιέστερο ακέραιο). ( µονάδες) ΖΗΤΗΜΑ 3 ο Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και θεωρούµε το ενδεχόµενο Α: «να φέρουµε τουλάχιστον µία φορά κεφάλι».. Βρείτε την πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο Α. (8 µονάδες). ίνεται ο πιο κάτω πίνακας συχνοτήτων: Τιµές µεταβλητής y i ( ) Απόλυτες συχνότητες x P A 3 3 ( ') x P A xp(ω) 3 n i ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 003 Όπου Ω και P(A) ο δειγµατικός χώρος και η πιθανότητα αντίστοιχα του ου ερωτήµατος και x R 0,. α. Υπολογίστε (ως συνάρτηση του x ) τη µέση τιµή y της µεταβλητής y (4 µονάδες) β. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f ( x) y (3 µονάδες)

92 ΖΗΤΗΜΑ 4 Ο 3 ίνεται η συνάρτηση f ( x) ( P( A)) x [7 P( A) 3] x xln x + P( B), µε x> 0 και P( A), P( B ), οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Β αντίστοιχα, ενός δειγµατικού χώρου Ω.. Βρείτε την f '( x ) (4 µονάδες). Βρείτε την P(A), αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει, για χ, εφαπτοµένη παράλληλη στον άξονα χ χ. (6 µονάδες) Αν P( A ) και f (), δείξτε ότι P( B ) και ότι τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα. (7 µονάδες) 4. είξτε ότι P( A B) (8 µονάδες) 3 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 003

93 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο Α. ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η F( x ) f ( x ) + g ( x ). Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς, ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : F ( x ) f ( x ) + g ( x). Μ Ο Ν Α Ε Σ 8 Β. Ρ ί χ ν ο υ µ ε έ ν α ζ ά ρ ι µ ι α φ ο ρ ά κ α ι η έ ν δ ε ι ξ ή τ ο υ ε ί ν α ι ο α ρ ι θ µ ό ς 4. Έ σ τ ω τ α ε ν δ ε χ ό µ ε ν α Α {, 3, 5 } κ α ι Β {, 4, 6 } Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε σ α ν Σ ω σ τ ή ( Σ ) ή Λ ά θ ο ς ( Λ ) κ α θ ε µ ι ά α π ό τ ι ς ε π ό µ ε ν ε ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς έ ω ς 4 :. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το ενδ ε χόµε νο Α Β.. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε του λ ά χ ι στον έν α απ ό τ α Α κ α ι Β. 3. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το αν τ ί θε το ε νδ εχόµ ενο του Β. 4. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το ενδ ε χόµε νο Α Β. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Γ. Ο ι π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς t, t, t 3,, t ν έ χ ο υ ν µ έ σ η τ ι µ ή x 4, ε ύ ρ ο ς R 0 κ α ι τ υ π ι κ ή α π ό κ λ ι σ η s. Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η µ έ σ η τ ι µ ή, τ ο ε ύ ρ ο ς κ α ι τ η ν τ υ π ι κ ή α π ό κ λ ι σ η τ ω ν π α ρ α τ η ρ ή σ ε ω ν t, t, t 3,, t ν ( ν ΙΝ * ) Μ Ο Ν Α Ε Σ 6. Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο υ ς κ α ν ό ν ε ς, π ο υ δ ί ν ο υ ν τ ι ς π α ρ α γ ώ γ ο υ ς τ ω ν π α ρ α κ ά τ ω σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν : f ( x) cf ( x ) µ ε c π ρ α γ µ α τ ι κ ή σ τ α θ ε ρ ά, f ( x) g ( x ), µ ε g( x) 0, f ( g ( x ) ). g x ( ) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 004 Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

94 Θ Ε Μ Α ο Έ ν α κ ο υ τ ί π ε ρ ι έ χ ε ι µ ί α κ ό κ κ ι ν η σ φ α ί ρ α Κ κ α ι τ ρ ε ι ς µ α ύ ρ ε ς τ ι ς Μ, Μ κ α ι Μ 3. Α φ α ι ρ ο ύ µ ε τ υ χ α ί ω ς µ ι α σ φ α ί ρ α α π ό τ ο κ ο υ τ ί, τ η ν κ α τ α γ ρ ά φ ο υ µ ε κ α ι σ τ η ν σ υ ν έ χ ε ι α α φ α ι ρ ο ύ µ ε τ υ χ α ί ω ς µ ι α δ ε ύ τ ε ρ η σ φ α ί ρ α κ α ι τ η ν κ α τ α γ ρ ά φ ο υ µ ε ε π ί σ η ς. α. Ν α βρ ε ί τ ε το δε ι γ µα τ ι κό χώ ρο Ω του π ε ι ρ άµ α τος. Μ Ο Ν Α Ε Σ 9 β. Ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε µ ε α ν α γ ρ α φ ή τ α ε ν δ ε χ ό µ ε ν α, π ο υ π ρ ο σ δ ι ο ρ ί ζ ο ν τ α ι α π ό τ η ν α ν τ ί σ τ ο ι χ η ι δ ι ό τ η τ α : Α : Κ α ι ο ι δ ύ ο σ φ α ί ρ ε ς ε ί ν α ι µ α ύ ρ ε ς Β : Μ ό ν ο µ ί α σ φ α ί ρ α ε ί ν α ι µ α ύ ρ η Γ Κ α µ ί α σφ α ί ρ α δ εν ε ίν α ι µ αύ ρη Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. Ν α υπο λογ ί σ ε τε τ ι ς π ι θα νότ η τε ς των Α, Β κα ι Γ. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 δ. Ν α σ χ ε δ ι ά σ ε τ ε τ ο σ η µ ε ι ό γ ρ α µ µ α, π ο υ π ε ρ ι γ ρ ά φ ε ι τ ο ν α ρ ι θ µ ό τ ω ν µ α ύ ρ ω ν σ φ α ι ρώ ν, που π ερ ι έ χουν τ α α π λ ά ε νδ εχ όµ εν α του Ω. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Θ Ε Μ Α 3 ο Έ σ τ ω ο δ ε ι γ µ α τ ι κ ό ς χ ώ ρ ο ς Ω κ α ι έ ν α µ η κ ε ν ό ε ν δ ε χ ό µ ε ν ό τ ο υ Α. ( Α ) Α. Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α κ ρ ό τ α τ α τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) x x +, x IR. ΜΟΝΑ ΕΣ 0 B. Θ εω ρούµ ε τ ι ς π αρ α τ ηρ ή σε ι ς: P( A ), P ( A ), P( ), P (Ω ). α. Ν α υ πο λογ ί σε τ ε τ ην µ έ σ η τ ι µ ή τους κ α ι τ ην δ ι ά µε σό τους. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η δ ι α κ ύ µ α ν σ ή τ ο υ ς ε ί ν α ι : s P (A) - P(A)+ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ. Ν α δ ε ί ξ ε τε, ότ ι : CV κ α ι η ι σότ η τα ισ χ ύε ι, ό τα ν P( A) P ( A ). ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 004

95 Θ Ε Μ Α 4 ο Τ α ψ υ γ ε ί α µ ι α ς ε τ α ι ρ ε ί α ς σ υ ν τ ή ρ η σ η ς τ ρ ο φ ί µ ω ν ε ί ν α ι κ α τ α ν ε µ η µ έ ν α σ ε τ έ σ σ ε ρ ι ς κ λ ά σ ε ι ς, σ ύ µ φ ω ν α µ ε τ η ν θ ε ρ µ ο κ ρ α σ ί α Χ ( σ ε ο C ), π ο υ ε π ι κ ρ α τ ε ί σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό τ ο υ ς, ό π ω ς φ α ί ν ε τ α ι σ τ η π ρ ώ τ η σ τ ή λ η τ ο υ ε π ό µ ε ν ο υ π ί ν α κ α. Κλάσεις [, ) [ 4, ) Κεντρικές τιµές x i Συχνότητες ν i Σχετικές συχνότητες f i % [, 0 ) [0, ) [, 4 ) ΣΥΝΟΛΟ: Σ ε σ χ έ σ η µ ε τ ο ν α ρ ι θ µ ό τ ω ν ψ υ γ ε ί ω ν τ η ς π ρ ώ τ η ς κ λ ά σ η ς, η δ ε ύ τ ε ρ η κ λ ά σ η έ χ ε ι τ ρ ι π λ ά σ ι ο α ρ ι θ µ ό κ α ι η τ έ τ α ρ τ η π ε ν τ α π λ ά σ ι ο α ρ ι θ µ ό ψ υ γ ε ί ω ν. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η µ έ σ η θ ε ρ µ ο κ ρ α σ ί α τ ω ν ψ υ γ ε ί ω ν ε ί ν α ι ΜΟΝΑ ΕΣ 6 B. Έ σ τ ω, ό τ ι η τ ρ ί τ η κ λ ά σ η έ χ ε ι ί δ ι ο α ρ ι θ µ ό ψ υ γ ε ί ω ν µ ε τ η ν π ρ ώ τ η κ λ ά σ η. α. Ν α σ υ µ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ η ν σ τ ή λ η µ ε τ ι ς σ χ ε τ ι κ έ ς σ υ χ ν ό τ η τ ε ς f i % τ ο υ π α ρ α π ά ν ω π ί ν α κ α κ α ι ν α κ α τ α σ κ ε υ ά σ ε τ ε τ ο π ο λ ύ γ ω ν ο α θ ρ ο ι σ τ ι κ ώ ν σ χ ε τ ι κώ ν σ υ χνοτ ή τ ων. ΜΟΝΑ ΕΣ 9 β. Ν α υπο λογ ί σ ε τε τ ην δ ι άµ εσο θε ρ µοκ ρ α σ ί α δ. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ Α π ό τ ο π ο λ ύ γ ω ν ο α θ ρ ο ι σ τ ι κ ώ ν σ χ ε τ ι κ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν, ν α ε κ τ ι µ ή σ ε τ ε τ ο π οσοσ τό τω ν ψυ γ ε ίω ν µ ε θε ρµο κρ α σ ί α µε γ α λύ τ ερ η α πό 0,5 ο C. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 o C ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 004 x

96 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. i) Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο πεδίο ii) ορισµού της Α. Μονάδες Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 3 Β. Να γράψετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες που ισχύουν για την σχετική συχνότητα f i της τιµής x i, i,,,κ του δείγµατος µεγέθους ν κ, των τιµών µιας µεταβλητής Χ. Μονάδες 0 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεµία από τις επόµενες προτάσεις.. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποιοτικών δεδοµένων. Μονάδες. Αν για τις αθροιστικές συχνότητες Ν i, i,,3,4,5 ενός δείγµατος τιµών x, x, x 3, x 4, x 5 της µεταβλητής Χ, ισχύει i ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 005 N 4 i + i, τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι ν0. Μονάδες 3. Σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, το εύρος ισούται µε την διαφορά της κεντρικής τιµής της πρώτης κλάσης από την κεντρική τιµή της τελευταίας κλάσης. Μονάδες 4. Σε κανονική κατανοµή ισχύει: x δ, όπου x είναι η µέση τιµή και δ η διάµεσος της. Μονάδες 5. Αν για τις πιθανότητες P(A), P(B) δύο ενδεχοµένων Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι P(A) P(B) τότε ισχύει πάντα A B. Μονάδες

97 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ ο Έστω t, t,, t 00 ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Τ µε µέση τιµή t, τυπική απόκλιση s 0 και η συνάρτηση F µε τύπο ( )( ) t s x 4, αν x 0 και x 4 F( x) x, 4 s, αν x 4 η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα Α [ 0, + ). α) Να αποδείξετε ότι για x 4 ο τύπος της συνάρτησης F είναι ( ) ( )( ) F x t s x +. Μονάδες 7 β) Να εξετάσετε αν είναι οµοιογενές το δείγµα των τιµών t, t,, t 00 της µεταβλητής Τ. Μονάδες 0 γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε τύπο g( x) ( ) F x στο σηµείο της t s ΘΕΜΑ 3 ο A,g 4 4. Μονάδες 8 Ο κυβισµός των κινητήρων Χ, σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.), ενός δείγµατος αυτοκινήτων, ακολουθεί κανονική κατανοµή. Στο παραπάνω δείγµα βρέθηκαν 00 αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από.400κ.εκ. και αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από.000κ.εκ. α) Να βρείτε τη µέση τιµή x, την τυπική απόκλιση s και να εκτιµήσετε το εύρος R του κυβισµού των κινητήρων των αυτοκινήτων του δείγµατος. Μονάδες β) Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο από το δείγµα. Να βρείτε την πιθανότητα να ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 005 έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. ή µεγαλύτερο από.000κ.εκ. Μονάδες 7 γ) Αν, µετά από επισκευή, ο κυβισµός κάθε κινητήρα αυξηθεί κατά 6%, να βρείτε την µέση τιµή και την διασπορά των νέων τιµών του, και να εκτιµήσετε το εύρος τους. Μονάδες 6

98 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 ο ίνονται τα ενδεχόµενα Κ, Λ ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες P(K), Ρ(Λ) αντίστοιχα, όπου Ρ(Κ) 0. α) Η συνάρτηση f ( x) x P( Λ) x P( K) +, x ΙR έχει στο σηµείο x o ΙR µέγιστο το P( K) Να αποδείξετε ότι: 5. i) x o Ρ(Κ)+Ρ(Λ) Μονάδες 6 ii) Ρ(Λ) Ρ(Κ) Μονάδες 4 β) Έστω, επιπλέον, ότι οι παρατηρήσεις: P( ), P(K), P(Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Ω), Ρ(Κ), Ρ( ), Ρ(Κ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ Λ) έχουν διάµεσο δ 4 και P ( K Λ) ( Λ Κ) 3. i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Κ, Λ, Κ Λ, Κ Λ. ii) Μονάδες Να κάνετε το διάγραµµα συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των παραπάνω παρατηρήσεων. Μονάδες 3 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 005

99 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α. Αν x, x,, x κ οι τιµές µιας µεταβλητής X που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν όπου κ, ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ ν i) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα f i της τιµής x i, i,,,κ ii) είξτε ότι 0 f i για i,,,κ iii) είξτε ότι f + f + + f κ (9 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Έστω Α, Β δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι P ( A B) P( A) + P( B) (8 ΜΟΝΑ ΕΣ) Γ. Να γράψετε στην τελευταία στήλη το γράµµα της σωστής απάντησης Α Β Γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν Ρ(Α)0.3 τότε το Ρ(Α ) ισούται µε Αν Ρ(Α)0.3, Ρ(Β)0.4, Ρ(Α Β)0. τότε το Ρ(Α Β) ισούται µε Αν Ρ(Α)0.8, Ρ(Α Β)0. Το Ρ(Α - Β) ισούται µε τότε Το Ρ(Α Β ) ισούται µε Αν Ρ(Α)0.3 και Ρ(Β)0.6 Ρ(Α Β) Ποια από τις διπλανές σχέσεις Ρ(Α Β) ΕΝ µπορεί να ισχύει Ρ(Α - Β) ΘΕΜΑ ο 3 ίνεται η συνάρτηση f ( x) λ x 6x + µ. (8 ΜΟΝΑ ΕΣ) x + 3 x Αν lim και το µέγιστο της συνάρτησης f είναι 9 : x x λ i) είξτε ότι λ (7 ΜΟΝΑ ΕΣ) ii) είξτε ότι µ 5 (6 ΜΟΝΑ ΕΣ) iii) Βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτοµένη (ε) είναι παράλληλη στον x x (6 ΜΟΝΑ ΕΣ) iv) Να βρείτε για ποια τιµή του x ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. (6 ΜΟΝΑ ΕΣ) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 006

100 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 3 ο Μελετήσαµε ένα δείγµα Ι.Χ. αυτοκινήτων που κυκλοφορούν στο κέντρο της Αθήνας ως προς τον αριθµό των επιβατών συµπεριλαµβανοµένου και του οδηγού. Μερικά από τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Α. Αριθµός επιβατών x i Αριθµός αυτοκινήτων f i f i % N i F i F i % ν i ΣΥΝΟΛΑ i) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) ii) Να υπολογίσετε την µέση τιµή και τη διάµεσο του δείγµατος (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) iii) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α: το αυτοκίνητο έχει το πολύ δύο επιβάτες (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β: το αυτοκίνητο έχει τουλάχιστον τέσσερις επιβάτες (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) Γ. Επιλέγουµε στην τύχη έναν επιβάτη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Γ: ο επιβάτης έχει τρεις συνεπιβάτες (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) : ο επιβάτης δεν έχει συνεπιβάτες (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) ΘΕΜΑ 4 ο Σ ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι x, x,, x ν ετών. Α. Αν το δείγµα x, x,, x ν των ηλικιών τους έχει συντελεστή µεταβολής 0% και µετά από 5 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές, i) Βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους ii) Βρείτε τη µέση τιµή του δείγµατος x, x,..., xv iii) Αν ο µικρότερος σε ηλικία είναι 0 ετών, βρείτε προσεγγιστικά τη µεγαλύτερη ηλικία, αν υποθέσουµε ότι η κατανοµή των ηλικιών είναι κανονική. (9 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν µόνο καφενεία, το Α και το Β. Αν το 30% των κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία, να βρείτε: i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία ii) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 006 Απ αυτούς που πηγαίνουν µόνο στο ένα καφενείο ποιοι είναι οι περισσότεροι, αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β. (8 ΜΟΝΑ ΕΣ)

101 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ. Το κάθε ένα από τα ν άτοµα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθµηµένοι από το έως το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης. Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι κατά 0,8% µεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε πόσα άτοµα έχει το χωριό. (8 ΜΟΝΑ ΕΣ) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 006

102 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες 3. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι: ( ) cf (x) ' cf (x), c IR Μονάδες 8 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλα στον αριθµό της ερώτησης.. Αν Α είναι το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f και υπάρχει x0 το οποίο ισχύει x x0 o A για lim f (x) f (x ) τότε η f δεν είναι συνεχής στο Α. Μονάδες. Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι µεγαλύτερο από ένα τοπικό της µέγιστο. Μονάδες 3. Η διάµεσος της κανονικής κατανοµής συµπίπτει µε τη µέση τιµή της. Μονάδες ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ O συντελεστής µεταβολής (CV) είναι µέτρο σχετικής διασποράς. Μονάδες 5. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες

103 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f (x) x + lnx α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. β. Να υπολογίσετε την παράγωγό της. γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. δ. Να υπολογίσετε το όριο: xf (x) 3 x lim x Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο Ο χρόνος εργασίας 80 υπαλλήλων µιας εταιρείας, που εργάζονται από 5 εως 30 χρόνια, έχει ταξινοµηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. Είναι γνωστό ότι το ύψος του ορθογωνίου του ιστογράµµατος συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην τέταρτη κλάση είναι 30, η συχνότητα της δεύτερης κλάσης είναι τετραπλάσια από τη συχνότητα της τρίτης κλάσης, η σχετική συχνότητα της πρώτης κλάσης είναι 0% και ο αριθµός των υπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 5 χρόνια είναι 40. α. Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων (απολύτων, σχετικών, αθροιστικών και αθροιστικών σχετικών). Μονάδες 8 β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 007 Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που εργάζονται λιγότερο από 3 χρόνια. Μονάδες 4

104 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ δ. Πόσα το πολύ χρόνια πρέπει να εργάζεται ένας υπάλληλος, ώστε να είναι µεταξύ των 60 υπαλλήλων µε τα λιγότερα χρόνια εργασίας; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο Για τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, είναι Ν(Α) Ν(Β) 5 Ν(Ω) Έστω R το εύρος του δείγµατος των παρατηρήσεων: Α. Να αποδείξετε ότι: α. 0 < R β. R P(A B) + P(Α Β ) Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) Μονάδες 4 Μονάδες 7 5P(A)x 5P(B), αν x Β. Αν η συνάρτηση f (x) x είναι συνεχής 5P(A B)+3, αν x στο IR να αποδείξετε ότι: α. Ρ(Β) Ρ(Α Β) + 5 β. R γ. Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 0 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 007 Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 3

105 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Τι ονοµάζεται εύρος ή κύµανση R ενός δείγµατος παρατηρήσεων και τι µειονέκτηµα παρουσιάζει; Μονάδες 3 Α. Έστω Ω {ω, ω, ω ν } ο δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας του απλού ενδεχοµένου {ω i }. Μονάδες 4 Α3. Αν η f(x) x παραγωγίσιµη συνάρτηση, να δείξετε ότι η παράγωγός της είναι f (x) x. Μονάδες 8 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού f(x0+ h) + f(x 0 ) της τότε ισχύει f (x 0) lim. h 0 h Μονάδες β. O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο σηµείο (x 0, f (x 0 )) θα είναι f (x 0 ) δηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της f (x) ως προς x όταν x x 0. Μονάδες γ. Αν η πραγµατοποίηση ενός ενδεχοµένου Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Β τότε Α Β. Μονάδες ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 008 δ. Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα. Μονάδες ε. Ο δειγµατικός χώρος κάθε πειράµατος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Μονάδες

106 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο ίνεται συνάρτηση f(x) x 4 x +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. Μονάδες 6 β. Να βρείτε το σηµείο Μ(x, f(x)) στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον x x. Μονάδες 5 γ. Να δείξετε ότι lim f ( x) 6 x Μονάδες 6 δ. Έστω x i, i,,3,4 οι τιµές µιας µεταβλητής x, ενός δείγµατος µεγέθους ν40. Αν κ lim f ( x) να συµπληρωθεί ο πίνακας: x Θέµα 3 ο Xi vi fi Ni Fi 4 κ 3 4 0, Σύνολο Μονάδες 8 «Σε µια εταιρία εργάζονται συνολικά 00 υπάλληλοι στο διοικητικό ή στο τεχνικό τµήµα. Από αυτούς οι 60 είναι άνδρες, 40 άτοµα εργάζονται στο διοικητικό τµήµα ενώ 0 γυναίκες εργάζονται στο τεχνικό τµήµα. Η µέση ηλικία τόσο των ανδρών όσο και των γυναικών είναι 40 χρόνια.» α. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο που εργάζεται στην εταιρεία. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α: «Το άτοµο είναι άνδρας που εργάζεται στο τεχνικό τµήµα» Β: «Το άτοµο είναι άνδρας ή εργάζεται στο διοικητικό τµήµα» ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 008 Μονάδες 7 β. Κάποιοι υπάλληλοι αποχώρησαν από την εταιρεία η οποία κάλυψε το κενό τους προσλαµβάνοντας για κάθε άτοµο που αποχώρησε, ένα νεότερο κατά 4 χρόνια. Αν η νέα µέση ηλικία των υπαλλήλων της εταιρείας είναι 39,6 χρόνια, να βρείτε πόσοι υπάλληλοι αποχώρησαν. Μονάδες 6

107 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ γ. Αν είναι γνωστό ότι η κατανοµή των 00 αρχικών ηλικιών είναι περίπου κανονική και το,5% των υπαλλήλων έχει ηλικία το πολύ 6 χρόνια, να βρείτε πόσοι υπάλληλοι της εταιρείας έχουν ηλικία µικρότερη από 33 χρόνια. Μονάδες 6 δ. Αν ισχύει 00 κ κ vx i i vx i i i i ( ) µετά την πρόσληψη των νεότερων ατόµων και η κατανοµή των ηλικιών εξακολουθεί να είναι κανονική, να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος της κατανοµής των ηλικιών των υπαλλήλων της εταιρείας. ίνεται S Θέµα 4 ο ( vi xi ) [ ]. v κ i vi xi v i κ Μονάδες 6 «Έστω πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω {,,3,4,5,6,7} και m η ελάχιστη τιµή της µέσης τιµής των αριθµών x, 5e x, x+4, -7x, (x R). Επιλέγουµε τυχαίο κ Ω και σχηµατίζουµε τη συνάρτηση g(x)mx -κ x+3 (x R)» Α. Να δείξετε ότι m. Μονάδες 9 Β. Θεωρούµε το ενδεχόµενο Ε{ κ Ω / «η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο της Α(, g()) δεν είναι παράλληλη στον άξονα x x}. Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου E. Μονάδες 8 Γ. Αν Α,Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β, Α Β, να δειχτεί ότι 3 P( A B) 3 P( A) h( x) x + x + x + 008, x R είναι γνησίως αύξουσα στο R. Μονάδες 8 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 008

108 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν Α,Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να δείξετε ότι Ρ Α Β Ρ Α Ρ ΑI Β. ( ) ( ) ( ) Μονάδες 9 Β. α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 3 β. Τι ονοµάζεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης ; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Για κάθε x>0 ισχύει ( x ) x. x Μονάδες β. Όταν ένα δείγµα τιµών ακολουθεί ασύµµετρη κατανοµή µε θετική ασυµµετρία τότε ισχύει δ>x. Μονάδες γ. Η µέση τιµή που βρίσκουµε σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα είναι πάντα ίδια µε αυτήν που είχαµε πριν την οµαδοποίηση. Μονάδες ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 009 δ. Μία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως φθίνουσα όταν για οποιαδήποτε σηµεία x, x µε x x f x > f x. < ισχύει ( ) ( ) Μονάδες ε. Έστω Α,Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Aν P( A) P( B) τότε κατ ανάγκη ισχύει A B. Μονάδες

109 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο Την 9 η Μαρτίου στις 4 π.µ. οι θερµοκρασίες 0 πόλεων σε βαθµούς Κελσίου, οµαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους και δίνονται στον παρακάτω πίνακα : v i Κλάσεις σε βαθµούς o C [0,) [,4) 4 [4,6) 6 [6,8) 8 α) Να βρεθεί η µέση θερµοκρασία των πόλέων σε βαθµούς o C. Μονάδες 6 β) Να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και να εκτιµηθεί η διάµεσος της θερµοκρασίας. Μονάδες 7 γ) Να υπολογίσετε την διακύµανση και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές Μονάδες 6 δ) Να βρεθεί τα ποσοστό των πόλεων µε θερµοκρασία από 3 έως και 7 βαθµούς o C. Μονάδες 6 ίνεται ΘΕΜΑ 3 ο s x ν - k i ν i i k i x ν i ν i Έστω δειγµατικός χώρος Ω µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα όπου Ω{,,3,4,,5} και η συνάρτηση f(x)x κx+9, κ Ω για κάθε x R. Επιλέγουµε τα παρακάτω ενδεχόµενα: Α{ κ Ω / κ πολλαπλάσιο του 3 } Β{ κ Ω / η f δεν έχει πραγµατικές ρίζες } ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 009 Γ{ κ Ω / το όριο lim x κ x κx x κ 6 κ }

110 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ α) Να βρεθούν τα ενδεχόµενα Α, Β, Γ. β) Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Γ). Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ) Να δείξετε ότι P( B) και P( A B) 5 I. 5 δ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P( AU B), P( AU B ), P( B A ) ΘΕΜΑ 4 ο. Μονάδες 6 Μονάδες 7 ίνονται τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και η συνάρτηση ( ) ( U ) ( ) + ( ) ( ) ( ) P( B) P A B P B A + R P A P B P A + f x x, x για την οποία είναι γνωστό ότι η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης στο K, f είναι παράλληλη στην ευθεία yx+. ( ) σηµείο ( ) α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ασυµβίβαστα. β) Αν P( A B) Μονάδες 7 3 U και η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f διέρχεται από 4 το σηµείο Λ 0 3, να υπολογιστούν Ρ(Α) και Ρ(Β). Μονάδες 6 να υπολογίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης 4 g x 6f x x γ) Αν P( A) και P( B) ( ) ( ) ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 009 ( ) Μονάδες 6 δ) Αν (ε) η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο K, f ( ) και M ( x y) M ( x y ) M ( x y ) x, x,..., x,,,,..., 0 0, 0 0 σηµεία της (ε) που οι τετµηµένες 0 59 έχουν µέση τιµή και τυπική απόκλιση S x να βρεθεί ο συντελεστής 6 µεταβολής των τεταγµένων τους. Μονάδες 6

111 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Αν ( x) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ f και ( x) συνάρτηση F ( x) f ( x) + g( x) ισχύει F ( x) f ( x) + g ( x) g παραγωγίσιµες συναρτήσεις, να δείξετε ότι για την. Μονάδες 9 B. α. Να διατυπώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας για ένα ενδεχόµενο Α ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Μονάδες 3 β. Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Ν i της τιµής x i µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x A όταν f ( x) f ( x ) για κάθε x σε µια περιοχή του x. Μονάδες β. Το τόξο α i ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων είναι ίσο µε αi 360 νi. Μονάδες γ. Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου τότε το ενδεχόµενο να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα δύο είναι ( B) A. Μονάδες ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 00 f ( x) f x g x + f x g x δ. Ισχύει: g( x) ( g( x) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Μονάδες ε. Το εύρος σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα µπορεί να διαφέρει από τα αντίστοιχα δεδοµένα πριν αυτά οµαδοποιηθούν. Μονάδες

112 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f ( x) ln( x + ) + x+ + 5 α, όπου α µια σταθερά µε α 5. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ( x) Β. Να βρείτε: α. την f ( x). x + β. το ( ) lim f x x x x. Μονάδες 3 Μονάδες 5 Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της f ( x) που είναι παράλληλη στην ευθεία y x είναι y x+ α + 5. Μονάδες 6. Να βρείτε την τιµή του α αν η διάµεσος των τεταγµένων των σηµείων της ευθείας (ε) τα οποία έχουν τετµηµένες 0,, 9, 0 είναι 50. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3 ο Το παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων δείχνει τις βαθµολογίες των µαθητών της Γ Λυκείου ενός σχολείου, σε ένα διαγώνισµα. Μέσα στα ορθογώνια που έχουν βάση ίση µε τη µονάδα δίνονται τα εµβαδά τριών από αυτά. v i E 4 E E 3 8 E 4 E 5 8 ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ Βαθµοί Αν N4 6ν και το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι 50, τότε: Α. Να βρείτε το πλήθος των µαθητών. Μονάδες 3

113 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 3 Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Μονάδες 0 Γ. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή της Γ Λυκείου του σχολείου να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων. α. Ο βαθµός του γραπτού να είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 0 και µικρότερος του 7. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο β. Ο βαθµός του γραπτού να είναι κάτω από 0 ή τουλάχιστον 6. Μονάδες 6 Έστω {,3,6, κ, λ, µ } Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και το Α κ, λ, µ, ώστε να ισχύουν: P ( A) και P( 3) P ( ) ( ) ( λ) P 6 P κ. 3 ενδεχόµενο { } P ( ) Α. Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. Μονάδες 5 3 Β. Να βρείτε τα κ, λ, µ αν η συνάρτηση f ( x) x x + 0x + 00 λ έχει 3 εφαπτοµένη στο σηµείο A(,f ( ) ) µε συντελεστή 48 ενώ τα κ και µ είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της µε κ µικρότερο του µ. Μονάδες 4 x 3. x 3 5 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g(x) και στη συνέχεια τα στοιχεία του ενδεχοµένου Β όταν: B { x Ω και x }. Μονάδες 4 Γ. ίνεται η συνάρτηση g( x). Σε ένα δείγµα 60 παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανοµή οι 4 από αυτές είναι µεγαλύτερες από το 0 ενώ το εύρος R των παρατηρήσεων ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 00 είναι ίσο µε τα 4 3 της µέσης τιµής x. Να βρείτε το ενδεχόµενο Γ {c Ω ώστε ο c προστιθέµενος σε όλες τις παρατηρήσεις να γίνεται το δείγµα οµοιογενές}. Μονάδες 4 Ε. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων A Γ, Β Γ, Α Γ, Β Α. Μονάδες 8

114 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A P A. αποδειχθεί ότι : ( ) ( ) Μονάδες 8 Α. Αν x, x,,x κ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, κ ν µε αντίστοιχες συχνότητες ν, ν,,ν κ και α i όπου i,,,κ το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων τότε : i. Να αναφέρετε για ποιά δεδοµένα χρησιµοποιείται το κυκλικό διάγραµµα. ii. Με τι ισούται το τόξο α i ; Μονάδες 4 Α3. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( x0) 0 για x 0 ( α, β), ( ) στο ( α,x 0 ) και f ( x) < 0 στο ( 0 ) διάστηµα ( ) x x µέγιστο. α,β για 0 f x > 0 x,β, τότε η f παρουσιάζει στο Μονάδες ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 0 β. Η παράγωγος της συνάρτησης f στο x0 του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y f( x) ως προς το x, όταν x x0. Μονάδες γ. Στην κανονική κατανοµή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( x 3s, x+ 3s), όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. Μονάδες

115 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Ni δ. Σε ένα δείγµα µεγέθους ν ο λόγος F είναι ίσος µε ν. i Μονάδες ΘΕΜΑ Β ε. Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, όταν P A P B τότε A B. ( ) ( ) Μονάδες 3 ίνεται η συνάρτηση f( x) x κx + 4, x R και κ R. Αν f ( ) 3f ( ) τότε : Β. Να αποδείξετε ότι κ3. Β. Nα µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της. Β3. Να βρείτε το όριο ( ) της συνάρτησης f στο σηµείο ( ), Μονάδες 6 Μονάδες 7 f 3+ h 4 L lim και την εξίσωση της εφαπτοµένης h 0 h 3,f 3. ( ) Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής του yf(x) ως προς x, έχει την ελάχιστη τιµή. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ÏÅÖÅ ÈÅÌÁÔÁ 0

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 2 β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

Μονάδες 2 β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 000 0 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞETΑΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F () f () g (). Μονάδες 8 β) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ 1ο Α. ς υποθέσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 21 ΜΑΪOY 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΕΠΑ.Λ. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

Φροντιστήρια ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΛΛΗΝΙΣ ΞΤΑΣΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΡΗΣΙΟΥ ΓΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΞΤΑΖΟΜΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΛΙ ΩΝ: ΠΝΤ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. f i % v i. x i. α) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. f i % v i. x i. α) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 09 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 1 ΜΑΪOY 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

A ένα σημείο της C. Τι

A ένα σημείο της C. Τι ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ, 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; (Μονάδες 4) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 216 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 22 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 22 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 008 Πέµπτη, Μαΐου 008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f()c (όπου πραγµατικός αριθµός) είναι ίση µε 0, δηλαδή (c)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών www.othisi.gr 2 Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό.

γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και 1-1 στο διάστημα αυτό. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2)

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Ι ΕΠΛ (ΟΜΔ Β ) ΠΡΣΕΥΗ 20 ΜΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{0, 1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: , δηλαδή x 1

ΘΕΜΑ 1 ο. Α3. Έστω η συνάρτηση f(x) = x ν, ν ϵ N-{0, 1}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: , δηλαδή x 1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 6 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει

g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 206 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

,,, και τα ενδεχόμενα

,,, και τα ενδεχόμενα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) 0 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f( x=, ) για κάθε x Α. Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 211 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x i

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x i ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα