2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ

Transcript

1 1.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµς ηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει ηµα. Νόµς συνηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει συνα συνβ συνγ ΣΧΟΛΙΑ 1. Με τν νόµ των ηµιτόνων Ότν νωρίζυµε µι πλευρά κι δύ ωνίες, υπλίζυµε τις άλλες πλευρές κι την τρίτη ωνί τυ τριώνυ Ότν νωρίζυµε δύ πλευρές κι µη περιεχόµενη ωνί, υπλίζυµε την τρίτη πλευρά κι τις άλλες ωνίες τυ τριώνυ Απδεικνύυµε σχέσεις πυ περιέχυν πλευρές κι ηµίτν ωνιών.. Με τν νόµ των συνηµιτόνων Ότν νωρίζυµε τις πλευρές ενός τριώνυ, υπλίζυµε τις ωνίες τυ Ότν νωρίζυµε δύ πλευρές κι την περιεχόµενη ωνί ενός τριώνυ, υπλίζυµε την τρίτη πλευρά Απδεικνύυµε σχέσεις πυ περιέχυν πλευρές κι συνηµίτν ωνιών

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν χρκτηρίστε τις πρκάτω πρτάσεις µε Σ ν είνι σωστές κι µε Λ ν είνι λνθσµένες ) Σε κάθε τρίων ισχύει ηµα Σ ) Στ τρίων ΑΒΓ ισχύει συνα Λ ) Αν Α 50 κι ɵ Γ 60 τότε συν70 Σ δ) Αν σε τρίων ΑΒΓ είνι ηµα 3 τότε 3 Σ ε) Αν Α 60 τότε Λ στ) Υπάρχει τρίων µε Α 45, 10 κι 0 Λ ζ) Αν σε τρίων ΑΒΓ είνι ηµα τότε Σ η) Ο νόµς των ηµιτόνων δεν ισχύει σε ρθώνι τρίων Λ θ) Ο νόµς των συνηµιτόνων ισχύει µόν σε ξυώνι τρίων Λ Πρτεινόµενη λύση ) ηµα δηλδή ηµα άρ η πρότση είνι σωστή ) συνβ δηλδή συνβ άρ η πρότση είνι λάθς ) Πρφνώς Β 70 κι συν70 άρ η πρότση είνι σωστή δ) ηµα ε) άρ 3 πότε 3 συνεπώς η πρότση είνι σωστή συν60 1. Πρότση λάθς στ) 10 ηµ45 0 δηλδή 10 ζ) ηµα άρ 0 συνεπώς η) Ισχύει σε κάθε τρίων άρ η πρότση είνι λάθς θ) Ισχύει σε κάθε τρίων άρ η πρότση είνι λάθς > 1 Πρότση λάθς πότε η πρότση είνι σωστή

3 3. Στις πρκάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή πάντηση ) Αν Α 60 κι Β 50 κι 10 3 τότε η πλευρά είνι Α. 3ηµ50 Β. 3συν50 Γ. 0 ηµ50.τίπτ πό υτά ) Αν σε τρίων ΑΒΓ ισχύει τότε η ωνί Α είνι Α. 90 Β. 45 Γ Ε. τίπτ πό υτά Πρτεινόµενη λύση ) ηµα πότε 10 3 ηµ60 ηµ ηµ50 0ηµ50 άρ σωστό τ Γ ) συνα πότε συνα συνα 1 Α 60 άρ σωστό τ Γ Σχόλι 1 3. Αν σε τρίων ΑΒΓ ισχύει ηµα, δείξτε ότι τ τρίων είνι ισσκελές Πρτεινόµενη λύση ηµα άρ ηµα κι λόω της υπόθεσης Σχόλι ηµα ηµα όµως ηµα 0 φύ Α ωνί τριώνυ άρ κι επειδή, > 0 θ είνι

4 4 4. Αν σε τρίων ΑΒΓ ισχύει συνγ συνα, δείξτε ότι τ τρίων είνι ισσκελές Πρτεινόµενη λύση Από τν νόµ των συνηµιτόνων είνι συνγ κι Η υπόθεση ίνετι συνα Σχόλι 1 άρ 5. Σε κάθε τρίων ΑΒΓ δείξτε ότι ) συνγ συνβ ) συνα συνβ συνγ Πρτεινόµενη λύση ) συνγ συνβ ) συνα συνβ συνγ

5 5 6. Αν σε τρίων ΑΒΓ ισχύυν 1, Α 30 µήκη των πλευρών. Πρτεινόµενη λύση ηµα άρ ηµ30 άρ ηµ45 1 Η υπόθεση 1 ίνετι 1 (1 ) Η (1) δίνει 1 1 Πρφνώς ɵ Γ 105 πότε πό την ηµα κι Β 45, ν υπλίσετε τ έχυµε ότι Σχόλι πότε (1) ηµα.. 7. Σε τρίων ΑΒΓ είνι A 60, Β 45 κι 5m. Ν υπλιστύν η ωνί η ωνί ɵ Γ κι η πλευρά Πρτεινόµενη λύση ɵγ 180 A Β ηµα άρ 5 ηµ60 ηµ45 συνεπώς 5ηµ60 ηµ Οι πλευρές ενός τριώνυ έχυν µήκη 5 m, 7m κι 10m Ν υπλιστύν τ συνηµίτν των ωνιών τυ τριώνυ Πρτεινόµενη λύση συνα Σχόλι 1 35 συνβ. κι συνγ. 9. Σε έν τρίων ΑΒΓ έχυµε 13m, 1m κι 5m ν υπλιστεί η ωνί A Πρτεινόµενη λύση συνα άρ A 90

6 6 10. Σε έν ισσκελές τρίων ΑΒΓ µε άση ΒΓ 10m είνι A 150. Ν υπλιστύν τ µήκη των ίσων πλευρών τυ τριώνυ. Πρτεινόµενη λύση Κάθε µί πό τις ίσες ωνίες Β κι Γ ɵ είνι Β Γ ɵ ηµα άρ 10 ηµ150 10ηµ15 πότε ηµ15 ηµ Σε έν τρίων ΑΒΓ είνι A 10, 5m κι 5 3 m. Ν υπλιστύν ι ωνίες Βκι ɵ Γ κι η πλευρά. Πρτεινόµενη λύση ηµα άρ 5 3 ηµ ηµ άρ 1 συνεπώς Β 30 ή Β 150 Πρφνώς η τιµή Β 150 πρρίπτετι φύ A 10 άρ Β 30 πότε κι ɵ Γ 30 συνεπώς τ τρίων είνι ισσκελές µε 5 m 1. Σε ισσκελές τρίων ΑΒΓ µε άση ΒΓ είνι A 30. είξτε ότι 3 Πρτεινόµενη λύση συνα συν30 3 ( 3 ) Άρ ( 3) 3