ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΧΑΡΤΕΣ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΧΑΡΤΕΣ ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (Η εξέλιξη της νεώτερης ιαφορικής Γεωµετρίας) Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΕΜΕ - Παράρτηµα Κέρκυρας, 12 Μαρτίου 2010

2 Σύνοψη Η πολλαπλότητα Αφορµή: γενικεύει την έννοια της επιφάνειας του R 3, αναφέρεται πρώτη ϕορά το 1848 από τον Riemann στην περίφηµη (επί Υφηγεσία) διάλεξή του «Επι των υποθέσεων που ϐρίσκονται στα ϑεµέλια της Γεωµετρίας». το Θεώρηµα Egregium του Gauss και η συνακόλουθη εσωτερική γεωµετρία µιας επιφάνειας. Αποτελεί τη σηµαντικότερη εξέλιξη της γεωµετρίας στον 20ο αιώνα και είναι ϑεµελιώδης για τα σύγχρονα µαθηµατικά ( ιαφορική Γεωµετρία - Τοπολογία) και τη ϕυσική (Θεωρία Σχετικότητας κ.α).

8 Χάρτες και άτλαντες Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Η κατασκευή χαρτών απασχόλησε τους γεωγράφους από την αρχαιότητα, για την εξυπηρέτηση της Ναυσιπλοΐας και έγινε επιτακτική ανάγκη µετά τις µεγάλες εξερευνήσεις (ανακάλυψη της Αµερικής κλπ.) Η ακριβής αποτύπωση του σχήµατος της Γης και η κατασκευή χαρτών οδήγησαν στη συστηµατική µελέτη (της διαφορικής γεωµετρίας) των επιφανειών. Ερώτηµα Τι είναι ένας χάρτης; Χάρτης = προβολή δηλ. απεικόνιση (µέρους) της Γης στο επίπεδο

12 Η Στερεογραφική Προβολή Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Οφείλεται στον Ιππαρχο ( π.χ) και τη χρησιµοποήσε για την κατασκευή αστρονοµικών χαρτών. Τον όρο στερεογραφική προβολή ησήγαγε ο F. D Aiguillon ( ). Η ιδέα της στερεογραφικής προβολής από τον Βόρειο Πόλο N εµφανίζεται στο επόµενο σχήµα

13 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία z N E 0 P y x S P N

14 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Η προηγούµενη προβολή ορίζει την 1 1 και επί (διαφορίσιµη) απεικόνιση S 2 {N} R 2 x : (x, y, z) ( 1 z, y 1 z ) µε αντίστροφη την (επίσης διαφορίσιµη) ( R 2 S 2 {N}: (u, v) 2u 1 + u 2 + v, 2v 1u2 + v u 2 + v 2, 1 + u 2 + v 2 ). Ο χάρτης που παίρνουµε δεν απεικονίζει τον Βόρειο Πόλο. Για να καλύψουµε όλη τη Γη χρειαζόµαστε και τη στερεογραφική προβολή από τον Νότιο Πόλο. Οι δυό προηγούµενοι χάρτες αποτελούν έναν πρωτόγονο είδος άτλαντα, µε προφανή µειονεκτήµατα.

17 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Εναν καλλίτερο χαρτη του ϐορείου ηµισφαιρίου δίνει η προβολή του στο επίπεδο του ισηµερινού S z 2 2 ( u, v, 1 u v ) D(0, 1) ( u, v)

18 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Ακριβέστερα έχουµε την 1 1 και επι (διαφορίσιµη) απεικόνιση S + z = {(x, y, z) S 2 : z > 0} D(0, 1) = {(u, v) R 2 : u 2 +v 2 < 1} µε (x, y, z) (x, y) και προφανή (διαφορίσιµη) αντίστροφο την (u, v) (u, v, ) 1 u 2 + v 2. Στην επόµενη εικόνα έχουµε τα ηµισφαίρια που µας δίνουν έναν άτλαντα µε 6 χάρτες.

19 z Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία S z S x S y S y x S x y S z

20 Παραµέτρηση επιφάνειας Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Κάθε χάρτης Ορισµός εισάγει ένα (τοπικό) σύστηµα συντεταγµένων παραµετρηκοποιεί ένα τµήµα της επιφάνειας, δηλ. την περιγράφει µέσω µιας απεικόνισης, άρα εφαρµόζεται ο ιαφορικός Λογισµός. Μία παραµέτρηση ή σύστηµα συντεταγµένων ή χάρτης µιας επιφάνειας S R 3 είναι ένα Ϲεύγος (U, r) όπου: U R 2 ανοιχτό και r : U R 3 διαφορίσιµη απεικόνιση, έτσι ώστε: Η r : U W = r(u) είναι οµοιοµορφισµός Για κάθε q = (u, v) U, Dr(q): R 2 R 3 είναι 1 1. [ισοδύναµα: rank (J q r) = 2.]

26 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία v z o q U r r v r u W u o Σύγκρίση µε χάρτη πολλαπλότητας: u x y

27 Επιφάνεια Επιφάνειες στο χώρο R 3 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Ορισµός Μια (κανονική) επιφάνεια είναι ένα S R 3 : {(U i, r i )} i I : W i = r i (U i ) S ανοιχτό (στο S), και S = i I W i. Το σύνολο των χαρτών (U i, r i ) i I του S αποτελεί έναν (2-διάστατο) άτλαντα. ισοδύναµα: για κάθε p S, υπάρχει 2-διάστατος χάρτης (U p, r p ), µε p W p = r i (U i ) και W p S ανοιχτό.

30 Μερικά παραδείγµατα Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Η σφαίρα S 2 µε τις δύο δοµές που ορίστηκαν παραπάνω. Το γράφηµα Γ f := {(u, v, f(u, v)) (u, v) R 2 } µιας διαφορίσιµης f : R 2 R 3 Η επιφάνεια του ελλειψοειδούς z y x

31 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς z y x

32 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Η επιφάνεια της σπείρας (σαµπρέλας) z a y x και πολλά άλλα.

33 Αλλαγή συντεταγµένων Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Θεώρηµα Η αλλαγή των συντεταγµένων είναι αµφιδιαφόριση. r1( U1) r2( U2) W S r 2 r 1 1 r 1 1 r 2 1 U r 1 2 r r2 r U 2 2 (επιστροφή στις πολλαπλότητες)

34 Εφαπτόµενο επίπεδο Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Σε κάθε σηµείο p S ορίζεται το εφαπτόµενο επίπεδο E p, και το πρώτο κάθετο διάνυσµα N N(p) N E p T S p r v P r u

35 Εφαπτόµενο επίπεδο Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Σε κάθε σηµείο p S ορίζεται το εφαπτόµενο επίπεδο E p, και το πρώτο κάθετο διάνυσµα N N(p) N E p T S p r v P r u

36 Τεχνικές λεπτοµέρειες Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία E p = p + T p S, όπου T p S = Dr q (R 2 ) = { α (0) } για όλες τις διαφορίσιµες καµπύλες α: R I α R 3 µε α(i α ) S και α(0) = p. Το N υπάρχει γιατί ϐρισκόµαστε στον R 3!

37 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Στη µελέτη των επιφανειών εµφανίζεται ένα ϑεµελιώδες µέγεθος: η καµπυλότητα Gauss. Περιγραφικά: σε κάθε σηµείο, µετράει την «απόκλιση» της επιφάνειας από το να είναι το επίπεδο. Ο Euler υπολόγισε την καµπυλότητα µε τη ϐοήθεια του καθέτου διανύσµατος N, δηλαδή έλαβε υπόψη του το ότι η επιφάνεια είναι εµβαπτισµένη στο χώρο R 3. (ϐλ. και το επόµενο σχήµα και τις σχετικές επεξηγήσεις)

38 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Περιγραφικός υπολογισµός της καµπυλότητας

39 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Θεωρούµε όλα τα επίπεδα Π, που περιέχουν το κάθετο διάνυσµα N στο σηµείο p της επιφάνειας S και είναι κάθετα στο εφαπτόµενο επίπεδο της S στο p. Κάθε τέτοιο επίπεδο τέµνει την S κατά µήκος µιας καµπύλης γ, µε αντίστοιχη καµπυλότητα κ γ (µέγεθος που υπολογίζεται εύκολα στη ϑεωρία των καµπυλών). Στο σύνολο των καµπυλοτήτων, που λαµβάνονται µ αυτόν τον τρόπο, υπάρχει µία ελάχιστη τιµή κ 1 και µία µέγιστη κ 2. Τότε η καµπυλότητα Gauss (στο p) είναι το µέγεθος K := κ 1 κ 2

40 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Ο Gauss (παρακινούµενος από γεωδαιτικές µελέτες) υπολόγισε την καµπυλότητα µιας επιφάνειας S µε µετρήσεις επί της S. Θεώρηµα (Gauss) Η καµπυλότητα Gauss είναι ισοµετρική αναλλοίωτη. Πόρισµα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει µια εσωτερική γεωµετρία. ηλαδή η γεωµετρία της S δεν εξαρτάται από την εµβάπτισή της στον R 3.

41 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Ο Gauss (παρακινούµενος από γεωδαιτικές µελέτες) υπολόγισε την καµπυλότητα µιας επιφάνειας S µε µετρήσεις επί της S. Θεώρηµα (Gauss) Η καµπυλότητα Gauss είναι ισοµετρική αναλλοίωτη. Πόρισµα Κάθε επιφάνεια S διαθέτει µια εσωτερική γεωµετρία. ηλαδή η γεωµετρία της S δεν εξαρτάται από την εµβάπτισή της στον R 3.

42 Χάρτες και συστήµατα συντεταγµένων Τυπικοί ορισµοί και παραδείγµατα Μερικά ϑεµελιώδη συµπεράσµατα Εσωτερική γεωµετρία Θεµελιώδες συµπέρασµα Αν τη Γη κατοικούσαν 2-διάστατα όντα (χωρίς την αίσθηση της τρίτης διάστασης) και είχαν τις γνώσεις και την ευφυία του Gauss, τότε αυτά ϑα µπορούσαν να ανακαλύψουν το σχήµα της µε µετρήσεις στην ίδια την επιφάνεια της Γης.

43 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Χάρτης πολλαπλότητας Θεωρούµε ένα σύνολο M. Ορισµός (n-διάστατος) χάρτης του M: Είναι ένα Ϲεύγος (U,φ) όπου: U M, φ: U φ(u) R n (1 1 και επί) µε φ(u) R n ανοιχτό. Οι χάρτες κι εδώ ορίζουν τοπικά συστήµατα συντεταγµένων (ϐλ. και το επόµενο σχήµα).

46 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Σύγκρίση µε χάρτη επιφάνειας:

47 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Ατλαντας πολλαπλότητας Θεωρούµε ένα σύνολο M. Ορισµός (n-διάστατος) άτλας του M: Είναι µία οικογένεια χαρτών (U i,φ i ), i I τέτοια ώστε M = i I U i (κάλυψη), είναι αµφιδιαφορίσεις µε φ j φ 1 i : φ i (U i U j ) φ j (U i U j ) φ i (U i U j ), φ j (U i U j ) R n ανοιχτά

50 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία (ϐλ. Αλλαγή συντεταγµένων επιφάνειας)

51 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Η δεύτερη ιδιότητα (αµφιδιαφόριση αλλαγής χαρτών) εδώ λαµβάνεται ως αξίωµα ενω στις επιφάνειες είναι ιδιότητα που αποδεικνύεται, όπως είδαµε στο ϑεώρηµα αλλαγής συντεταγµένων. Ορισµός Ενα σύνολο M µαζί µ ένα µέγιστο άτλαντα αποτελεί µία (n-διάστατη) διαφορική πολλαπλότητα. Ισοδύναµα: το M εφοδιάζεται µε µία διαφορική δοµή

52 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Παραδείγµατα Ολες οι επιφάνειες Ο προβολικός χώρος P 2 (R), δηλ. το σύνολο όλων των ευθειών του R 3, που διέρχονται από το 0. Ισοδύναµα, P 2 (R) { [x, y, z] (x, y, z) R 3 }, όπου [x, y, z] = {λ(x, y, z) λ R } Μπορούµε να ορίσουµε τους επόµενους χάρτες:

53 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Παραδείγµατα Ολες οι επιφάνειες Ο προβολικός χώρος P 2 (R), δηλ. το σύνολο όλων των ευθειών του R 3, που διέρχονται από το 0. Ισοδύναµα, P 2 (R) { [x, y, z] (x, y, z) R 3 }, όπου [x, y, z] = {λ(x, y, z) λ R } Μπορούµε να ορίσουµε τους επόµενους χάρτες:

54 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία U 1 = {[x, y, z] : x 0} [x, y, z] U 2 = {[x, y, z] : y 0} [x, y, z] U 3 = {[x, y, z] : z 0} [x, y, z] φ 1 ( y x, z x ) R2 φ 2 ( x y, z y ) R2 φ 3 ( x z, y z ) R2

55 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Τοπολογία Μια πολλαπλότητα αποκτά τοπολογική δοµή ορίζοντας ότι ένα A M είναι ανοιχτό αν κάθε φ(a U) R n να είναι ανοιχτό, για όλους τους χάρτες (U,φ) της διαφορικής δοµής. Πρόταση Με την προηγούµενη τοπολογία τα πεδία ορισµού U των χαρτών είναι ανοιχτά σύνολα και οι απεικονίσεις φ: U φ(u) είναι οµοιοµορϕισµοί

56 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία ιαφορικός Λογισµός Σε µια πολλαπλότητα ορίζεται µία έννοια διαφορισιµότητας, που επεκτείνει τη συνήθη διαφορισιµότητα των ευκλειδείων χώρων και εισάγει ένα ιαφορικό Λογισµό σε πολλαπλότητες (ϐλ. και επόµενο σχήµα). Ορισµός Η f : M N είναι διαφορίσιµη στο p αν υπάρχουν χάρτες (U, φ) και (V,ψ), των M και N αντίστιχα, µε p U και f(u) V, έτσι ώστε η (τοπική παράσταση) ψ φ 1 : R m φ(u) ψ(v) R n να είναι διαφορίµη στο φ(p) (µε την έννοια πλέον των ευκλειδείων χώρων).

57 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία

58 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Σε κάθε σηµείο µιας πολλαπλότητας µπορούµε να αντιστοιχίσουµε έναν γραµµικό χώρο, που καλούµε εφαπτόµενο χώρο και προσεγγίζει γραµµικά την πολλαπλότητα. Ο εφαπτόµενος χώρος επιτρέπει να ορίσουµε: το διαφορικό (παράγωγο), εσωτερικό γινόµενο, µετρική Minkowski κλπ. Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόµενα ή τις µετρικές των εφαπτοµένων χώρων καθιστούµε την πολλαπλότητα µετρικό χώρο και ορίζουµε δοµή πολλαπλότητας Riemann, πολλαπλότητας Lorentz κλπ.

59 Χάρτες - άτλαντες και διαφορική δοµή Τοπολογική δοµή Αλλα στοιχεία Σε κάθε σηµείο µιας πολλαπλότητας µπορούµε να αντιστοιχίσουµε έναν γραµµικό χώρο, που καλούµε εφαπτόµενο χώρο και προσεγγίζει γραµµικά την πολλαπλότητα. Ο εφαπτόµενος χώρος επιτρέπει να ορίσουµε: το διαφορικό (παράγωγο), εσωτερικό γινόµενο, µετρική Minkowski κλπ. Συγκολλώντας τα εσωτερικά γινόµενα ή τις µετρικές των εφαπτοµένων χώρων καθιστούµε την πολλαπλότητα µετρικό χώρο και ορίζουµε δοµή πολλαπλότητας Riemann, πολλαπλότητας Lorentz κλπ.

60 Μερικά διάσηµα ονόµατα Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ H. Minkowski: Από τους πρώτους υποστηρικτές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (Ε.Θ.Σ), στην οποίαν ησήγαγε την έννοια του χωροχρόνου και µελέτησε τη γεωµετρία του. Το 1908 δήλωσε: Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality. H. Poincaré: Ασχολήθηκε (µεταξύ των άλλων) και µε προβλήµατα σχετικά µε το ϕώς και είχε διερωτηθεί αν η ταχύτητα του πρέπει να ϑεωρηθεί σταθερή. Εντούτοις, παρέµεινε πολέµιος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (Γ.Θ.Σ).

63 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ H. Lorentz Είχε συλλάβει το 1905 κάποια παράδοξα ϕαινόµενα, χωρίς να µπορεί να κατανοήσει τη σηµασία τους (όπως έγινε από τον Einstein µε την Ε.Θ.Σ). D. Hilbert Είχε καταλήξει σε µερικά µαθηµατικά αποτελέσµατα της Γ.Θ.Σ (χωρίς να γνωρίζει την τελευταία) και χωρίς να µπορεί να εκτιµήσει ή να ερµηνεύσει τη ϕυσική τους σηµασία. Ανεγνώρισε δηµόσια ότι η Γ.Θ.Σ είναι δηµιούργηµα του Einstein. Κ. Καραθεοδωρή Είχε σηµαντική συµβολή στην µαθηµατική εξέλιξη της Γ.Θ.Σ. Το έργο του έχαιρε ιδιαίτερης εκτίµησης από τον Einstein.

66 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Τι να πρωτοπούµε γι αυτόν τον καταπληκτικό ανθρωπο και επιστήµονα;

67 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Είναι µία 4-διάστατη [συνεκτική, χρονικώς προσανατολισµένη] πολλαπλότητα [Lorentz], ισοµετρική µε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski. Ο τελευταίος είναι το R 4 µε τη µετρική που εισάγει το γινόµενο (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 ή (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = c x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 όπου c η ταχύτητα του ϕωτός. Στην Ε.Θ.Σ δεν υπεισέρχεται η ϐαρύτητα και υπάρχουν πολλά παράδοξα (: των διδύµων, της αλλοίωσης των διαστάσεων κλπ.), ας άµεση συνέπεια της γεωµετρίας του χωροχρόνου. (ϐλ. τεχνικές λεπτοµέρειες πιό κάτω)

68 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Είναι µία 4-διάστατη [συνεκτική, χρονικώς προσανατολισµένη] πολλαπλότητα [Lorentz], τοπικά ισόµορφη µε τον 4-διάστατο χώρο Minkowski. Η εξίσωση του Einstein G = 8πT, όπου G είναι ο τανυστής της ϐαρύτητας, και T ο τανυστής stress-energy που καθορίζεται από την καµπυλότητα (Ricci) της πολλαπλότητας, οδηγεί στο συµπέρασµα ότι ϐαρύτητα καµπυλότητα, άρα, η Γ.Θ.Σ αποτελεί γεωµετρική ερµηνεία της ϕύσης.

69 Μερικές τεχνικές λεπτοµέρειες Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Η (τοπολογική) υπόθεση της συνεκτικότητας σηµαίνει (από ϕυσική άποψη) ότι δεν υπάρχουν περιοχές του χώροχρόνου ανάµεσα στις οποίες δεν υπάρχει επικοινωνία (µετάδοση σήµατος). Μετρική Lorentz είναι µία (διαφορίσιµη) απεικόνιση που, σε κάθε σηµείο p του χωροχρόνου M, αντιστοιχεί µία µετρική Minkowski στον εφαπτόµενο χώρο T p M. Η µετρική Minkowski διαχωρίζει τα διανύσµατα u (του R 4 ή τουt p M) σε: χωρικά: αν u u > 0 ή u = 0 µηδενικά: αν u u = 0 και u 0 χρονικά: αν u u < 0, οπότε σχηµατίζονται δύο διπλοί κώνοι, όπως στο επόµενο σχήµα.

72 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ

73 Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ Χρονικός προσανατολισµός σηµαίνει ότι επιλέγουµε τον έναν από τους κώνους των χρονικών διανυσµάτων.

74 Για παραπέρα πληροφορίες Ονόµατα Albert Einstein Ο χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ Ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ L. MLODINOV: Euclid s Window. Allen Lane. The Penguin Press, London, R. OSSERMAN: Poetry of the Universe. Anchor Books. Doubleday, New York, B. O NEILL: Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity. Academic Press, New York, 1983.