matematika XII maswavleblis wigni (metodikuri rekomendaciebi, sakontrolo weris variantebis nimusebi da mititebebi amocanebis amosaxsnelad)

Transcript

1 guram gogisvili, Teimuraz vefxvae ia mebonia, lamara qurcisvili matematika XII maswavleblis wigni (metodikuri rekomendaciebi, sakontrolo weris variantebis nimusebi da mititebebi amocanebis amosaxsnelad) redaqtori Teimuraz vefxvae grifi mieniwa 2012 wels ssip ganatlebis xarisxis ganvitarebis erovnuli centris (braneba # 375, ) mier gamomcemloba inteleqti Tbilisi 2012

2 guram gogisvili, Teimuraz vefxvae, ia mebonia, lamara qurcisvili matematika XII klasi maswavleblis wigni gamomcemloba inteleqti Tbilisi 2012 Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze, Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili Maths XII Teacher's Book Intelekti Publishers Tbilisi 2012 ISBN gamomcemloba `inteleqti~, gamomcemloba inteleqti Tbilisi, ilia WavWavaDis gamz. 5. tel.: , intelekti Publishers 5 Ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) ,

3 s a r G e v i Sesavali... 7 XII klasis erovnuli saswavlo gegma Sinaarsisa da miznebis ruka saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakvetilis dagegmvis zogadi principebi sa ni mu So gak ve Ti le bi I Tavi gameoreba. zogierti saxis gantolebisa da utolobis amoxsna. simravlis asaxva utolobis amoxsna intervalta metodit utolobata sistema sakontrolo wera $1.3. iracionaluri gantolebis amoxsna $1.4. simravle. moqmedebebi simravleebze $1.5. ori simravlis dekartuli namravli $1.6. asaxva. Seqceuli asaxva $1.7. grafta Teoriis elementebi $1.8. debulebata dasabutebis xerxebi sakontrolo wera kombinatorika proeqti II Tavi albatoba $2.1. xdomilobata sivrce. xdomilobis albatoba $2.2. operaciebi xdomilobebze $2.3. damoukidebeli xdomilobebi $2.4. pirobiti albatoba. xdomilobata namravlis albatoba proeqti $2.5. did ricxvta kanonis Sesaxeb sakontrolo wera III Tavi algoritmi. evklides algoritmi algoritmi evklides algoritmi amocanebi jgufuri musaobistvis

4 3.3. evklides algoritmis gamoyeneba proeqti $3.4. ricxvta Teoriis gamoyenebis Sesaxeb sakontrolo wera IV Tavi funqcia ricxviti funqcia. ricxviti funqciis mocemis xerxebi operaciebi funqciebze. funqciata kompozicia wrfivi funqcia. funqciis cvlilebis sicqare polinomuri funqcia zogierti racionaluri da iracionaluri funqcia macvenebliani da logaritmuli funqciebis gamoyenebis magalitebi sakontrolo wera V Tavi geometriuli figurebi veqtorebi sivrcesi proeqti koordinatebi sivrcesi veqtorebis da koordinatebis gamoyeneba vagrelebt veqtorebisa da koordinatebis gamoyenebis magalitebis ganxilvas. geometriuli gardaqmnebis gamosaxva dekartul koordinatebsi moculoba proeqti zedapiris fartobi sakontrolo wera VI Tavi monacemta analizi da statistika populacia da SerCeva SerCevis ricxviti maxasiateblebi (mediana, sasualo, sasualo kvadratuli gadaxra) dawyvilebuli monacemebi. korelacia. ganbnevis diagrama sakontrolo wera VII Tavi vemzadebit gamocdebistvis samkutxedis kutxeebis jami. monakvetis SuamarTobisa da kutxis biseqtrisis Tvisebebi racionaluri ricxvebi. ricxvis xarisxi proporcia. proporciis ucnobi wevris povna. ricxvis dayofa mocemuli SefardebiT. proporciuli da ukuproporciuli sidideebi. procenti

5 7.4. cvladiani gamosaxuleba. cvladiani gamosaxulebis mnisvnelobis povna. igivurad toli gamosaxulebebi. gamosaxulebata gardaqmnis magalitebi Semoklebuli gamravlebis formulebi. mamravlebad dasla Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyenebit racionaluri gamosaxulebis gardaqmnis magalitebi sakontrolo wera otxkutxedebi msgavsi samkutxedebi kvadratuli fesvi. iracionaluri ricxvi. namdvili ricxvi. namdvili ricxvis gamosaxva ricxvit wreze. namdvili ricxvis moduli kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebis gardaqmna n-uri xarisxis fesvi. aritmetikuli fesvi pitagoras Teorema sakontrolo wera racionalurmacvenebliani xarisxi. algebruli gamosaxulebis gardaqmnis magalitebi martkutxa koordinatta sistema sibrtyeze. or wertils Soris manilis gamosatvleli formula wrewiri. wre kvadratuli gantoleba. vietis Teorema. vietis Teoremis Sebrunebuli Teorema kvadratuli funqcia. kvadratuli samwevri kvadratuli samwevris dasla mamravlebad kvadratuli utoloba sakontrolo wera gameoreba literatura

6 6

7 Sesavali wigni Seicavs metodikur rekomendaciebs axali erovnuli saswavlo gegmis mixedvit Sedgenili XII klasis saxelmrvanelostvis (guram gogisvili, Teimuraz vefxvae, ia mebonia, lamara qurcisvili, matematika XII). sarekomendacio wignis danisnulebaa daexmaros maswavlebels saswavlo procesis dagegmvasa da warmartvasi. yovel Temas Tan axlavs misi mecnieruli da metodologiuri safuvlebi, mititebuli iqneba literatura da misamartebi internetsi, sadac maswavlebeli moiiebs damatebit masalas warmodgenili sakitxebis Sesaxeb. mowodebulia sakontrolo weris sarekomendacio nimusebi da mati Sefasebis kriteriumebi. gtavazobt Sefasebis zogad principebsac. mocemuli iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Sesaxeb _ motivacia, sakitxis dasma, amocanis gansazrvra, problemata gadawris gzebi, Semowmebis formebi. amastanave, gakvetilis dagegmvis sqemebsa da ramdenime sanimuso gakvetilis scenarsac warmogidgent. sarekomendacio wignsi Tavebisa da paragrafebis numeracia, mati dasaxeleba moswavlis saxelmrvanelosi SemoRebul numeracias emtxveva. am wignis agebis principebi igivea, rac XI klasis sarekomendacio wignis Sedgenisas _ saswavlo gegma, Sinaarsisa da miznebis ruka, Sefasebis iritadi mdgenelebi da Sefasebis kriteriumebis ganmsazrvreli rekomendaciebi _ isini maswavleblis wignis aucilebeli Semadgeneli nawilebia da mteli saswavlo wlis ganmavlobasi gamoiyeneba; maswavlebels alevs masalis gadacemis orientirebsa da Sefasebis formebs. wigni dagexmarebat saswavlo procesis warmartvis metodikuri xerxebis SemuSavebis sakitxsi _ kvlevis procesi Seileba individualuri iyos, Seileba jgufuri musaobit ganxorcieldes. upiratesobas, cxadia, Temis ertobliv ganxilvas vaniwebt. sawiroebis SemTxvevaSi wina masalis ertoblivi gaxsenebisa da amocanis dasmis Semdeg, romelic am masalis logikuri gagreleba Seileba iyos, mimdinareobs amoxsnis iebis procesi. xsirad amocana praqtikuli Sinaarsis sakitxis ganxilvas mosdevs. es procesi moswavleta motivaciisa da swavlasi CarTvis kargi sasualebaa. cxadia, swavlebis procesis warmartveli maswavlebelia, saswavlo gegmit dasaxuli amocanebis Sesrulebisas man Seileba sxvadasxva sasualeba gamoiyenos, sxvadasxva masala moisvelios. moswavlis saxelmrvanelos gamoyenebis sakitxsic viziarebt saswavlo programasi gamotqmul Tvalsazriss: saxelmrvaneloebis sargeblobisas maswavlebels unda axsovdes, rom saxelmrvanelo aris ert-erti sasualeba da ara ertaderti, romelic emsaxureba erovnuli saswavlo gegmis saswavlo programebsi mocemuli Sedegebis mirwevas. aseve unda gvaxsovdes, rom saxelmrvanelo ar aris TavisTavad programa _ Sesabamisad, maswavlebeli ar unda iyos saxelmrvanelosi mocemuli `masalis gavlaze~ orientirebuli, aramed aq mocemuli masalis gamoy- 7

8 enebaze sagnobrivi standartebis Sedegebis misarwevad. maswavlebels Seulia ar gamoiyenos romelime teqsti an aqtivoba, Secvalos drois xangrlivoba, romelic romelime konkretul Temas etmoba. daamatos aqtivobebi da sxva. `swavleba xelovnebaa... swavleba maswavleblis individualur Tvisebebzea damokidebuli da swavlebis kargi metodi imdenia, ramdeni kargi maswavlebelic arsebobs~ 31. Tumca, vcdilobt savarjisoebis krebulebisa da sxva damatebiti masalis gamoyenebis sawiroeba ar warmoisvas _ saxelmrvanelosi mravladaa sxvadasxva sirtulis amocanebi da amocanebi, romlebic moswavleta sxvadasxva profesiul momavalsac itvaliswinebs _ mattvis, vinc umarlesi skolis sxvadasxva profilis (humanitarul, sabunebismetyvelo, teqnikur, matematikur) fakultetebze apirebs Cabarebas, wignis bolos specialuri rubrikit ramdenime testia (sxvadasxva sirtulis) warmodgenili, isini sasualebas miscems moswavleebs gaimeoron Seswavlili sakitxebi. sarekomendacio wignsi gtavazobt mititebebs am amocanebis amosaxsnelad. sagnobrivi programis mixedvit me-12 klassi wina wlebsi Seswavlili masalis garrmaveba, gafartoeba da axali Temebis damatebaa gatvaliswinebuli. gameorebis procesi, cxadia, yoveli axali Temis gadmocemas axlavs Tan _ axali codna wina codnaze dayrdnobit Sendeba. Tumca, es procesi metwilad saswavlo wlis dasawyissi gvaqvs koncentrirebuli _ moswavle nel-nela `Sedis formasi~. simravleta Teoriis elementebi, kombinatorika, grafebi I TavSia mocemuli. Tumca, grafta Teoriis sakitxebs, sagnobrivi programis Sesabamisad, ufro dawvrilebit gadmovcemt; igive Seileba itqvas asaxvis cnebasa da simravleta klasifikaciazec. wignsi Tavebi, iritadad, Temebis mixedvit _ saswavlo gegmis mimartulebebis mixedvitaa warmodgenili, Tumca, amave saswavlo gegmisa da integrirebuli saswavlo kursis motxovnebis Sesabamisad, yoveli Temis gadmocemisas masalas xsirad sxva Temebsac vukavsirebt _ magalitad, V TavSi geometriuli masalis gadmocemisas vixsenebt geometriul albatobas da vxsnit axal amocanebs. kvlav vimeorebt da calke paragrafad gvaqvs gamoyofili dasabutebis xerxebi. mas amjerad Sevsebuli formit warmovadgent _ vimeorebt matematikuri induqciis metods, veqtoruli arricxvis sakitxebs mat praqtikul gamoyenebebtan vakavsirebt. vcdilobt calkeuli fragmentebi logikuri TanamimdevrobiT, deduqciuri msjelobebis gamoyenebit, analizisa da sintezis, ganzogadoebisa da specializaciis, abstraqciisa da konkretizaciis metodebit gadmovcet. maswavleblis wigni dagexmarebat mititebuli literaturis gamoyenebit gaimeorot da gairrmavot Tqveni codna am mimartulebit. saxelmrvanelosi masalis gadmocemis metodika wina wlebis saxelmrvaneloebis analogiuria: yoveli paragrafis bolos Semajamebeli daskvnebia, sxvadasxva mimartuleba ertmanettan mwidro kavsirsia gadmocemuli; logikurad dasrulebuli raime Temis Tanamimdevrulad gadmocemisas sailustracio magalitebi matematikis sxva nawilebidan aris SerCeuli. geometriuli masalis gadmocemisas gamoiyeneba koordinatta metodi, veqtoruli analizi; funqciuri damokidebulebebis arwerisas sakmao adgili aqvs datmobili geometriul warmodgenebs. SenarCunebulia paragrafebis nawilebad dayofis sistemac; zogjer bolo nawili, romelic specialuri nisnakit _ `s~ (sxvadasxva) aris gamoyofili, isto- 8

9 riuli faqtebis, terminebis warmosobis istoriebsa da saintereso matematikuri faqtebis gadmocemas etmoba. zogjer es nawili matematikis garrmavebul swavlebas emsaxureba; savarjisoebis sistemac isea mofiqrebuli, rom isini Teoriuli masalis Seswavlis stimulicaa. amocanebis nawili paragrafis iritad Sinaarss pasuxobs, nawili _ adre naswavlis gameorebisa da ganmtkicebistvisaa gankutvnili. maswavleblis sarekomendacio wignsi miirebt sawiro rekomendaciebs am mimartulebitac. did yuradrebas vutmobt masalis Semzadebis, Sefasebisa da ganmtkicebis sakitxebs. es ketdeba yoveli Tavis, yoveli paragrafis doneze. amave motxovnebs uyenebs saxelmrvanelos sagnobriv programebsi mititebuli swavlebis Sedegebisa da indikatorebis sistema. am process, Cven mier mowodebuli rekomendaciebis gatvaliwinebit, maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges. dasasruls, kidev ertxel arvnisnavt, rom Cveni yoveli rceva mxolod sarekomendacio xasiatisaa da ar nisnavs mis ucilobel Sesrulebas. mivesalmebit pedagogta yovel saqmian gamoxmaurebas, SemoqmedebiT midgomas swavlebis sakitxebisadmi da mat yuradrebit gavecnobit. 9

10 სტანდარტი წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით: რიცხვები და კანონზომიერებები და გეომეტრია და მონაცემთა ანალიზი, მოქმედებები ალგებრა სივრცის აღქმა ალბათობა და სტატისტიკა მათ. XII.1. მათ. XII.3. მოსწავლეს მათ.XII.5. მათ. XII.7. მოსწავლეს მოსწავლეს შეუძლია შეუძლია ფუნქციის მოსწავლეს შეუძლია შეუძლია მონაცემთა პრაქტიკული ან ფუნქციათა ფიგურების ან წარმოდგენა დასმული საქმიანობიდან ოჯახის თვისებების მათი ელემენტების ამოცანის ამოსახსნელად მომდინარე კვლევა და დადგენა ზომების პოვნა/ ხელსაყრელი პრობლემების და ამ თვისებების შეფასება და ფორმით და მათი გადაწყვეტა. ინტერპრეტირება მათი გამოყენება ინტერპრეტაცია. მათ. XII.2.მოსწავლეს კონტექსტთან პრაქტიკული მათ.XII.8. მოსწავლე შეუძლია მსჯელობა- მიმართებაში. პრობლემების აღწერს შემთხვევითობას დამტკიცების მათ. XII.4. მოსწავლეს გადაჭრისას. ალბათური მოდელების პროცესისა და მისი შეუძლია დისკრეტული მათ. XII.6. საშუალებით. შედეგის ანალიზი. მათემატიკის მოსწავლეს შეუძლია მათ. XII.9. მოსწავლეს მეთოდების გამოყენება გეომეტრიული შეუძლია მონაცემთა მოდელირებისას გარდაქმნების ანალიზი და დასკვნების და პრობლემების დახასიათება და ჩამოყალიბება. გადაჭრისას. მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას. წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები მათ.XII.1. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: მსჯელობს რიცხვებთან დაკავშირებული ალგორითმების მნიშვნელობაზე პრაქტიკული საქმიანობიდან და მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე სხვადასხვა პრობლემების გადაჭრისას; იყენებს მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციების თვისებებს პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად უწყვეტად დარიცხული საპროცენტო განაკვეთი, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, ინფორმაციის მოცულობა, რადიოაქტიული დაშლა და დათარიღების მეთოდები); სიდიდის ცვლილების გრაფიკული გამოსახვისას ირჩევს და იყენებს შესაფერის სკალას (მაგალითად, ლოგარითმულ სკალას). 10

11 მათ.XII.2. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის ანალიზი. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: ახდენს რიცხვების შესახებ დებულების ან რაოდენობრივი მსჯელობის ნიმუშის და მისი შედეგის ანალიზს ერთი ან რამდენიმე პირობის, შეზღუდვის ან დაშვების შესუსტება- მოხსნით; ასაბუთებს რიცხვების თვისებების ან რიცხვით კანონზომიერებების შესახებ განზოგადებით, ანალოგიით მიღებულ დასკვნებს ან დებულებებს (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით); რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენს მსჯელობის ხაზის და დასკვნითი ნაწილის კრიტიკულ ანალიზს. მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა მათ.XII.3. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა და ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: აღწერს და ადარებს შესწავლილ ფუნქციათა ოჯახებს ისეთი თვისებების მიხედვით, როგორიცაა: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვებისა და ექსტრემუმის წერტილთა შესაძლო რაოდენობა, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები; ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში; იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს და ტექნოლოგიებს ფუნქციის თვისებების (განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვები და ექსტრემუმის წერტილები, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, ლუწობა/ კენტობა, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები) დასადგენად. ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში; აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის თვისებებზე; ახდენს ამ გავლენის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში. იყენებს შესწავლილ ფუნქციებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და პრობლემის გადაჭრისას. მათ.XII.4. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: იყენებს იტერაციას, რეკურსიას და მათემატიკურ ინდუქციას მოდელირებისას, დებულებების დასაბუთებისას, ფორმულების გამოყვანისას, კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას; იყენებს გრაფებს, ხისებრ დიაგრამებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და ამოცანების ამოხსნისას. 11

12 მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა მათ.XII.5. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: პოულობს სივრცული ფიგურის მოცულობას; იყენებს სივრცული ფიგურის ზომებს შორის ფუნქციურ დამოკიდებულებას ოპტიმიზაციის ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის რეალური ვითარების შესაბამის ამოცანებში; მაგალითად ცილინდრული ფორმის ღია კონსერვის ყუთის დამზადებაზე იხარჯება S სმ 2 მასალა. როგორი უნდა იყოს ყუთის წრფივი ზომები, რომ მისი მოცულობა უდიდესი იყოს?); იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომების დასადგენად; იყენებს ფიგურის ზომებს და მათ შორის კავშირებს გეომეტრიული ალბათობის დასადგენად. მათ.XII.6. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: ფიგურის გეომეტრიულ გარდაქმნას სიბრტყეზე გამოსახავს დეკარტეს კოორდინატების საშუალებით; ასახელებს კოორდინატებში მოცემული გეომეტრიული გარდაქმნის შესაძლო ტიპს (პარალელური გადატანა, სათავის მიმართ ცენტრული სიმეტრია, საკოორდინატო ღერძების მიმართ ღერძული სიმეტრია). მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა მათ.XII.7. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: არჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს; დაწყვილებული მონაცემებისთვის ქმნის გაფანტულობის დიაგრამას, თვისობრივად აღწერს მის ფორმას (რომელიმე წირის მაგალითად წრფის, პარაბოლის, მიდამოში კონცენტრაცია), აგებს საუკეთესო მისადაგების წრფეს; ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკულად და აღწერს მის ფორმას (მაგალითად, სიმეტრიულობა/ასიმეტრიულობა, მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები). მათ.XII.8. მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: განასხვავებს დამოუკიდებელ და დამოკიდებულ ხდომილობებს, ასახელებს მათ მაგალითებს და ითვლის ხდომილობათა პირობით ალბათობებს; ითვლის რთულ ხდომილობის ალბათობას ჯამისა და ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით; 12

13 ატარებს ექსპერიმენტს მრავალჯერადი დაბრუნებით და ამ ექსპერიმენტის საშუალებით ადგენს ურნის შედგენილობას _ აფასებს განსხვავებული ფერის ბურთულების რაოდენობათა შეფარდებას; იყენებს სიმულაციებს შერჩევის სტატისტიკების (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა) ვარიაბელურობის გამოსაკვლევად და შერჩევის განაწილებათა ასაგებად. მათ.XII.9. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება. შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: ირჩევს მოცემული შერჩევისთვის ისეთ რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებიც ხელსაყრელია ამოცანის ამოსახსნელად და ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და ითვალისწინებს არჩეულ მახასიათებლებს გადაწყვეტილების მიღებისას; ახდენს მონაცემთა ინტერპოლაციას/ექსტრაპოლაციას საუკეთესო მისადაგების წრფის საშუალებით; ამოიცნობს ჩანაცვლებას შერჩევისა და გამოკითხვის ნიმუშში, მსჯელობს თუ როგორ ზეგავლენას ახდენს შერჩევითი მეთოდი და შერჩევის მოცულობა დასკვნათა სანდოობაზე; ითვლის კორელაციის კოეფიციენტს და მსჯელობს დაწყვილებულ მონაცემებს შორის წრფივი კავშირის შესახებ. პროგრამის შინაარსი 1. რიცხვებთან დაკავშირებული რომელიმე ალგორითმი (მაგალითად, ევკლიდეს ალგორითმი). 2. კავშირი ინფორმაციულ/საკომუნიკაციო ტექნოლოგიებსა და რიცხვთა თეორიებს შორის. 3. ლოგარითმული სკალა. 4. პოლინომიალური, წილად-წრფივი, კვადრატული/კუბური ფესვის შემცველი ფუნქციები. 5. კვადრატული ფესვის შემცველი ერთუცნობიანი განტოლებები. 6. ვარიანტების დათვლის ხერხები და ფორმულები, კომბინატორული ფორმულები. 7. ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი; ორ სიმრავლეს შორის ასახვა, შებრუნებული ასახვა, სიმრავლის წინასახე. 8. გრაფები და ხისებრი დიაგრამები: გრაფის განსაზღვრებa, გრაფის გამოსახვის ალგებრული და გეომეტრიული ხერხები. 9. ფუნქციური დამოკიდებულება ფიგურის ზომებს შორის. 10. ვექტორები სივრცეში, ვექტორული ნამრავლი. 11. გეომეტრიული გარდაქმნის გამოსახვა დეკარტულ კოორდინატებში სიბრტყეზე. 12. კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართი პრიზმის, პირამიდის, ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი და მოცულობა. 13. მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: შერჩევითი მეთოდი, შერჩევა და ვარიაციული მწკრივი; შერჩევის რიცხვითი მახასიათებლები (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა). 14. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: დაწყვილებული მონაცემები, კორელაცია. 15. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის. გაფანტულობის დიაგრამა, მისადაგების წირი. 16. ალბათობა: პირობითი ალბათობა, ხდომილობათა დამოუკიდებლობა.; ალბათობათა ჯამისა და ნამრავლის ფორმულები; დიდ რიცხვთა კანონი (გაცნობის წესით). 13

14 Sinaarsisa da miznebis ruka Temebis CamonaTvali utolobis amoxsnis magalitebi jgufuri musaoba: utolobis amoxsna sxvadasxva xerxit. utolobata sistema. jgufuri musaoba: amocanebis amoxsna kvadratuli utolobis gamoyenebit; iracionaluri gantolebis amoxsna simravle. moqmedebebi simravleebze; Sesabamisoba or simravles Soris da misi gamosaxvis xerxebi; ori simravlis dekartuli namravli; asaxva. Seqceuli asaxva; grafta Teoriis elementebi; debulebata dasabutebis xerxebi; kombinatorikis formulebi. xdomilobata sivrce. xdomilobis albatoba; jgufuri musaoba. operaciebi xdomilobebze; damoukidebeli xdomilobebi; pirobiti albatoba. xdomilobata namravlis albatoba; proeqti did ricxvta kanonis Sesaxeb. Temebis kavsiri miznebtan, ra punqtebs faravs Tema utolobebis da utolobata sistemis sxvadasxva (mat Soris geometriuli) xerxit amoxsnasi gawafva. praqtikuli saxis amocanebis amoxsna utolobebis da utolobata sistemebis gamoyenebit. iracionaluri gantolebebis amoxsnis magalitebis ganxilva. XII.1, XII.2 simravluri enis gamoyeneba funqciata ojaxebis Sesaswavlad. iqmneba safuveli debulebata dasabutebisas, formulebis gamoyvanisas iteraciis, rekursiis, matematikuri induqciis, xisebri diagramis, grafebis gamoyenebis Cvevebis dauflebistvis. ricxvebis Tvisebebis, an ricxviti kanonzomierebebis Sesaxeb debulebebis sxvadasxva xerxit dasabutebis Cvevebis daufleba. XII.2, XII.4 Ganasxvavebs damoukidebel da damokidebul xdomilobebs; xdomilobata jamisa da namravlis albatobis gamosatvleli formulebis gaazreba, mati gamoyeneba; pirobiti albatobis gamotvla. Seulia mravaljeradi dabrunebit eqsperimentebis dagegmva, ganxorcieleba da Sedegebis gaanalizeba. XII.8 savaraudo saswavlo dro 16 st 22 st 17 st 14

15 algoritmi; evklides algoritmi; evklides algoritmis gamoyeneba; ricxvta Teoriis gamoyenebis Sesaxeb. funqcia. ricxviti funqcia. ricxviti funqciis mocemis xerxebi; operaciebi funqciebze. funqciata kompozicia; wrfivi funqcia. wrfivi funqciis cvlilebis sicqare; polinomuri funqcia; zogierti racionaluri da iracionaluri funqcia; macvenebliani da logaritmuli funqciis gamoyenebis magalitebi. ricxvebtan dakavsirebuli algoritmebis gamoyeneba praqtikuli saqmianobidan gamomdinare da sxva mecnierebebtan dakavsirebuli problemebis gadawrisas. ganzogadebit, analogiit ricxvebis Tvisebebis Sesaxeb mirebuli daskvnebis dasabuteba sxvadasxva xerxit; mocemuli algoritmit monacemta dasifrva-wakitxvis demonstrireba. ricxvta Teoriis aqtualuroba da gamoyenebebi. XII.1, XII.2 funqciata ojaxebis Sedareba Semdegi Tvisebebis mixedvit: gansazrvris are, mnisvnelobata simravle, eqstremumis wertilebi, nulebi, nisanmudmivoba, monotonuroba, perioduloba; grafikuli, algebruli metodebis, teqnologiebis gamoyeneba funqciata Tvisebebis interpretaciisa da modelirebisas. sididis cvlilebis grafikuli gamosaxvisas iyenebs Sesaferis skalas (magalitad, logaritmuls). funqciata Tvisebebis gamoyeneba, kerod, logaritmuli da macvenebliani funqciebis Tvisebebis gamoyeneba praqtikuli saqmianobidan gamomdinare problemebis gadasawyvetad. XII.1. XII.3 13 st 21 st 15

16 geometriuli figurebi. veqtorebi sivrcesi; veqtorta wrfivi kombinacia; koordinatebi sivrcesi; veqtoruli namravli; veqtorebis da koordinatebis gamoyenebis magalitebis ganxilva; geometriuli gardaqmnebis gamosaxva dekartul koordinatebsi; moculoba monacemta analizi da statistika: populacia da SerCeva SerCevis ricxviti maxasiateblebi (mediana, sasualo, sa- Sualo kvadratuli gadaxra) dawyvilebuli monacemebi. korelacia. gabnevis diagrama saskolo kursis masalis mokle gameoreba. es saatebi abiturientta momzadebasac Seileba daetmos. geometriuli debulebebis dasamtkiceblad da figuris zomebis dasadgenad veqtorebis gamoyenebis unaris ganvitareba; optimizaciis zogierti problemis gadawrisas geometriuli figurebis (mat Soris sivrculi) zomebs Soris funqciuri damokidebulebis gamoyenebis unari. poulobs zogierti sivrculi figuris moculobas. sibrtyeze geometriuli gardaqmnebis gamosaxva dekartul koordinatebsi; mocemuli gardaqmnis tipis dadgena. XII.5, XII.6 monacemta warmodgenis formebis SerCevis unari; Seulia cxrilebis Sedgena da diagramebis ageba; Seu- lia SerCevis ricxviti maxasiateblebis gamotvla da Sedegebis gaanalizeba. dawyvilebuli monacemebistvis qmnis gafantulobis diagramas, romlis mixedvit agebs misadagebis wirs. itvlis korelaciis koeficients da agebs misadagebis wrfes. XII.7, XII.9 28 st 18 st 40 st 16

17 saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakvetilis dagegmvis zogadi principebi saswavlo procesis organizaciis iritadi forma gakve Ti lia; saganmanatleblo, armzrdelobiti da praqtikuli miz ne bis ganxorcieleba gakvetilze xdeba. amitom matematikis swav lebis iritadi sakitxi gakvetilis kargi momzadeba da Cata rebaa. metodikur literaturasi didaqtikuri cneba _ `gakve Ti li~ iritadad ase ariwereba: gakvetili logikurad das ru lebuli, mtliani saswavlo-armzrdelobiti procesis gar kve uli SemosazRvruli monakvetia. massi rtul urtiert da mokidebulebasia procesis yvela iritadi elementi: Sinaarsi, mizani, sasualebebi, metodebi, organizacia; yovel gakvetilze gansazrvruli saganmanatleblo da armzrdelobiti amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta konkretuli saswavlo ma sa lis ganxilvis processi mimdinareobs. matematikis gakvetilisadmi wayenebuli mtavari motxov ni le baa iritadi didaqtikuri amocanis arseboba _ im Temis Ses wav lis miznis arseboba, romlis gadawyvetis procesi mo ce mul gakvetilze mimdinareobs. yoveli gakvetilis win kargad unda gaiazrot misi Sinaarsi da mizani, amasi Cven mier mo wo debuli ruka dagexmarebat. miznis Sesabamisi unda iyos kar gad gaazrebuli da dagegmili saswavlo masalis wardgenis fazebi: motivacia; ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaaz re buli hqondes mizani; sawiroa, rom igi moswavleebistvisac gax des iritadi mizani. moswavleebtan saubari unda daviwyot ara imit, Tu ras vaswavlit, aramed mnisvnelovania Tavidanve interesis arvra da iseti situaciis Seqmna, roca moswavle motivirebulia da poulobs pasuxebs kitxvaze _ `ristvisaa sawiro~. motivacia Sesalebelia praqtikuli amocanis dayenebita da misi amoxsnis xerxebis iebit daviwyot, an matematikis Siga kanonzomierebis gaazrebit, problemuri situaciis Seqmnis xelsewyobit; mxolod amis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi amoxsnis ieba. amocanis gansazrvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis iebis procesi. amoxsnis iebis procesis warmartvis sxvadasxva metodikuri sasualeba arsebobs. yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis iebis garkveuli forma miesadageba. es formebia _ musaoba jgufebad (Sesalebelia or-oradac), mteli klasis ertoblivi monawileobit, individualuri musaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanis amoxsnis iebasi mteli klasi ertdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba ise unda warmartos (moxerxubuli kitxvis dasmis sasualebit), rom Temis Seswavlis procesis iritadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi armocndnen; maswavlebeli am SemTxvevaSi warmartvelis, `dirijoris~ funqcias unda asru lebdes. 17

18 moswavlis saxelmrvanelos teqsti mogcemt aseti gakve Ti lebis Catarebis sa- Sualebas. igi iritadi saswavlo sasua le baa da amitom gakvetilistvis mzadebis processi teqs tebis, ilustraciebis, savarjisoebis gacnobas, daxarisxebas didi dro unda dautmot. Tumca, maswavleblis wignic dagex ma rebat TiToeul etapze (sawyisi, damagvirgvinebeli) Sesas rulebeli savarjisoebis SerCevis sakitxsi. Sinarsisa da miznebis rukasi ver mivutitet Temis Seswav lis yvela mizani, romelic saganmanatleblo da armzrde lo biti amocanebis gadawyvetis komponentebisgan Sedgeba. ar unda gavaigivot mizani SinaarsTan. magalitad, samkutxedis kutxeebis jamis formulis gamoyvana saxelmrvanelosi isea warmodgenili, rom igi am Temis Sinaarsis miznad gardaqmnis process kargad warmogvidgens; dasmuli amocanis amoxsna kritikuli azrovnebis, msjelobisa da dasabutebis unaris gamomusavebaa, geometriul figurata gamosaxvis da am figu rata Tvisebebis SeswavlaSi eqsperimentis gamoyenebis unaris gamomusavebaa. am miznebis gansaxorcieleblad qa- Raldisgan gamowril samkutxedze (modelze) Catarebuli eqsperimentis (gamoiyeneba ramdenime Reruli simetria) an dasabutebis xer xia mowodebuli. meore matgani dasmul kitxvebze pasuxis SerCevis, msjelobisa da dasabutebebis fonze mimdinareobs. aq maswavlebelma Seileba sxva eqsperimentic daamatos (tran s portiris gamoyenebit). ufro dawvrilebit am gakvetilis Sesaxeb qvemot mogaxsenebt. am konkretuli magalitidan Cans, rom aqtivobis mizani saganmanatleblo da armzrdelobiti miznebis ertobliobaa. gakvetilze Seswavlili faqtebi TavisTavad aris mnisv ne lovani; Tumca, kidev ufro mnisvnelovania is, rom mati Ses wav lis dros ganxorcielebuli procesi Tavis kvals tovebs kritikuli azrovnebis ganvitarebaze, msjeloba _ dasabutebis unaris gamomusavebaze. amastanave, moswavleta gonebasi gaiazreba mnisvnelovani sakitxebi: adamianis mier faqtebis armocena, armocenebuli amocanebis amoxsna da Sedegebis dafiqsireba azrovnebasi. konkretuli deduqciuri msjeloba, dasabuteba im SemTxvevaSi atarebs armzrdelobit funqcias, roca mos wav les gavagebinebt misi Catarebis mnisvnelobas. axla davasaxelebt ramodenime sasargeblo zogad reko men dacias, romelic metodikis sakitxebs ganekutvneba: maswavlebeli cdilobs, rom yoveli axali SemecnebiTi amo cana TviT moswavlem Camoayalibos; maswavleblis xelmrvanelobit da moswavleta a lis xme vit _ dakvirvebis, cdis, konkretuli SemTxvevebis ana li zis Sedegad _ iqmneba warmodgena, hipoteza arsebul kanon zomierebaze. maswavleblis xelmrvanelobit mimdinareobs dasa bu Te bit gzis ieba, amocanis amoxsnis gegmis Sedgena; rasac xsi rad mosdevs TviT moswavleebis mier am gegmis realizacia. axla SevexoT saswavlo procesistvis mzadebis zogad sqemas: maswavleblis musaoba saswavlo wlis win; gakvetilta sistemis gaazreba saswavlo wlis win; konkretuli gakvetilistvis momzadeba. momzadebisas maswavlebelma unda gamoiyenos moswavlis wigni, maswavlebelis sarekomendacio wigni da, sawiroebis SemTxvevaSi, iq mititebuli literatura. sarekomendacio wig n Si, sasurvelia, maswavlebeli Tavdapirvelad sas wav lo gegmas, 18

19 Sefasebis sistemas da gakvetilebis Semo Ta va zebul nimusebs gaecnos. sarekomendacio wignis Sesavali mas gaacnobs saxelmrvanelos agebisas avtorta mier gamoyenebul iritad prin cipebs. maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cven reko men da ciebs; igi safuvlad irebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakutari gamocdilebita da klasis Tavise bu rebebis gatvaliswinebit. es dazustebebi gansakutrebit mnisv nelovania sawyis da damamtavrebel etapebze Se sasru lebeli savarjisoebisa da sakontrolo weris variantebis SerCevisas. gakvetilis dagegmva itvaliswinebs Casatarebeli procesis tips: axali masalis gacnoba masalis ganmtkiceba codnis Semowmeba sxva tipis gakvetilebi (gakvetili bunebasi, gakvetili-proeqti,...) Tumca, zogierti tipis procesi (axali masalis gacnoba, gan mtkiceba, Semowmeba), rogorc wesi, yovel gakvetilze mim di nareobs, Sesalebelia _ sxvadasxva moculobit. moswavleta codnis Semowmeba, moswavleta musaobaze dak vir veba yovel gakvetilze mimdinareobs. gakvetilze mtavaria vaswavlot da arvzardot. swavleba ar nisnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauf lebas unda nisnavdes, misi gamoyenebis unaris ganvitarebaze unda iyos morgebuli. moswavleta Sefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebit, moswavleta mier sakontrolo da damoukidebeli samusaoebis Sesrulebis xarisxit gani saz Rv reba. yoveli gakvetilis Semdeg sakutar wignaksi Cai nis net moswavleebze dakvirvebebis Sedegebi, gaitvaliswinet mos wavleta SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis atvisebis done kargad Cans savarjisoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis pro cessi). saswavlo masalis dasabutebuli SerCeva itvaliswinebs Sem deg motxovnebs: saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizantan gakvetilze Sesasrulebeli samusaos moculobis swori gansazrvra optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urtiert kav Siris ganxorcieleba. maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde deta lu rad unda gaiazros gakvetili, winaswar, drois mixedvit unda iyos ganawilebuli mteli samusao. magalitad, Tu gakvetilze axal Temaze gadasvlac aris gat valiswinebuli, masin Seileba im sakitxebis Sesaxeb msje loba, romelta bunebriv da kanonzomier gagrelebis axali sa kitxebi Seicavs, Seileba gakvetili pirdapir im praqtikuli amocanis ganxilvit daviwyot, romlis matematikuri modelis Seswavla axali matematikuri faqtebis armocenas, hipotezis Camoyalibebasa da dasabutebebs moitxovs. am procesis buneb rivi gagreleba Sesabamis savarjisota sistemis ganxilvaa. kitxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos ert fe rovani _ mxolod warmatebul moswavleebtan mimartebit ar unda SemoifargloT; moswavlis raime mosazrebas myisve nu upasuxebt. swor pasuxsac ki, masinve nu daetanxmebit xol me _ gaaketet pauza, iqneb garkveuli ewvic ki gamotqvat misi mosazrebis sisworis mimart. amit miarwevt imas, rom bavsvebi daubrundebian dasmuli kitxvis analizs da male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi _ klasis dominantur mosazrebad gadaiq ceva. klasi, ertoblivi alisxmevit, `gaiulebt~ daetanxmot mis pozicias. 19

20 es axarebs, amxnevebs da aertianebs axal gazr debs. es mati ertoblivi azris gamarjvebaa. Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed, codnit arwurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. matematika mlavri emociuri muxtis matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni alisxmevit miirweva. yuradrebit unda movisminot yvela pasuxi, uxesi Sec do mis SemTxvevaSic ki dausvebelia mkacri uaryofiti Sefa se bebis gamotqma. yuradreba miaqciet, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos ganmartebuli. gakvetilebis dagegmvasa da warmartvasi xels SegiwyobT sanimuso gakvetilebis scenarebi. axali masalis ganmtkicebis procesi Seileba e. w. `tes turi~ amocanebis `amoxsnit~ daviwyot, mati Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos _ zogjer Seileba komentarebis gaketebac gaxdes sawiro. yovel paragrafsi mo cemuli masala, rogorc wesi, 2 gakvetilzea gatvalis wi ne buli; meore gakvetilze codnis ganmtkicebaze zrunvit Semo vifarglebit. swavlebis ert-erti saintereso da mnisvnelovani forma jgu furi musaobaa. es musaoba Seileba gakvetilis procesis ert-erti Semadgeneli nawili iyos _ daukavsirdes axali ma salis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis) an Semajamebeli daskvnebis gamotanas, an, Sesalebelia, mas mte li gakvetilic davutmot. mis warmartvasi moswavlis sa xel mrvanelosi warmodgenili amocanebis sistema dagexmarebat (magalitad, amocanebi jgufuri musaobistvis). am Sem TxvevaSi jgufur musaobas Seileba Sejibris saxec ki miv cet. organizaciulad jgufuri musaobis es varianti _ paeq ro ba _ jgufuri musaoba Seileba ase movawyot: winaswar vacxadebt Catarebis dres; moswavleebs vavalebt samusao rveulis ormagi furceli iqonion. paeqroba mos wav letagan kapitnebisa da mati TanaSemweebis dasaxelebit iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisgan Semdgari jgufebi _ gundebi. gun debis dakompleqteba Seileba kapitnebsac miandot. mta varia, `arcevnebma~ didi dro ar wagartvat. mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamrav le buli amocanebi dauriget gundebs (an dafaze amoweret pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gunds ertnairi davaleba miecema. gakvetilis dasrulebamde wutit adre kapitnebs eva lebat warmoadginon mati gundebis Sedegebi _ mati amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winaswari komentarebis garese da sauketeso amoxsnebis avtorebi rigrigobit miipatijet dafastan nasromta mokle prezentaciistvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amis safuveli arsebobs, unda iyos usera vato, magram koreqtuli. am bwobasi Tqvenc mogiwevt xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es procedura arnisnul droze mets ar moitxovs, radgan amocanebi yvelas kar gad aqvs gaazrebuli da mxolod sakvano punqtebia xaz gasasmeli. am gansjis dasrulebistanave unda ardges merxebis Tavda pirveli ganlageba, Semdeg acxadebt gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana Seileba 2-quliani skalit Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobasi. Seileba daawesot damatebiti qulebi prezentaciis Sesafaseblad. 20

21 jgufuri musaobistvis amocanebi Seileba SeirCes saxel mrva nelosi Sesabamisi nisnakit gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos `gasifruli~, iqneb mati pirobebi odnav SecvaloT, an zogierti amocana pa rag rafis damatebiti savarjisoebis krebulidan airciot. moswavlis saxelmrvanelosi SemoTavazebuli jgufuri mu Saobis zogierti proeqti raime erti axali Temis Sesabamisi struq turirebuli kitxvebisgan Sedgenili amocanaa _ yoveli kitxva winas ukavsirdeba _ kitxvebze pasuxebis sistema raime erti axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs. am SemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic mos wav leta jgufis ertoblivi alisxmevis Sedegia, mati ko leq tiuri SemoqmedebiTi nasromia da misi Sefaseba prezen ta ciisas ganxorcieldeba. zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi Seileba mivcet _ sxvadasxva eqsperimentis Catareba (magalitad, geometriuli obieqtis Tvisebebis dasadgenad) an sxvadasxva geometriuli faqtis ganxilva-dasabuteba, Sedegis war modgena. am SemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze da adareben mat. aseti tipis jgufuri musaobebi, rogorc zemot arvnisnet, gakvetilis fragmenti Seileba iyos da xsirad unda gamoviyenot. Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli metodika sasua lebas galevt airciot yvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukasi mititebuli motxovnebis Sesas ruleblad. Sefasebis zogadi principebi saskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmit aris gansazrvruli, itvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri moswrebis Sefaseba unda iyos xsiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto informaciis floba, aramed Seenili unar-cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle mxolod sakontrolo werebis safuvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes prezentaciebis, mos wav lisave TviTSefasebis, jgufuri musaobis, Tu sxva tipis aqti vobebis mixedvit. maswavlebelma Sefasebisas unda gait valiswinos saganmanatleblo processi moswavlis CarTulobis xarisxi (saxlsi micemuli davalebis Sesrulebis xarisxi, gak ve Tilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva), amastanave, mi zan Sewonilia moswavlesac gavacnot winaswar Sefasebis kri te riumebi. am kriteriumebis SedgenaSi Seileba moswavleta Car Tvac. sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignsi gaec no bit. dausvebelia moswavleta qcevis gatvaliswineba akade miuri moswrebis Sefasebisas _ gakvetilze arasatanadod moqceva, rogorc wesi, aisaxeba akademiur moswrebaze. moswavlis nisani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxva komponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakvetilze msjeloba, jgufuri musaoba, prezen tacia da sxva. 21

22 შეფასება მათემატიკაში შეფასების კომპონენტები მათემატიკაში 1) საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტები შეიძლება შეფასდეს შემდეგი ცოდნა და უნარ-ჩვევები 1. მათემატიკური ცნებებისა და დებულებების გამოყენება; 2. კავშირებისა და მიმართებების დადგენა; 3. მათემატიკური ობიექტების წარმოდგენა და მათემატიკური ენის ფლობა; 4. მსჯელობა - დასაბუთება; 5. ამოცანის ჩამოყალიბება; 6. მოდელირება; 7. ამოცანის ამოხსნის გზა და მისი რეალიზება; 8. გამოთვლები; 9. დამხმარე ტექნიკური საშუალებებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების გამოყენება. სასიცოცხლო უნარ-ჩვევები 1. შემოქმედებითობა; 2. თანამშრომლობა (მეწყვილესთან, ჯგუფის წევრებთან); 3. სტრატეგიების გააზრებულად გამოყენება სასწავლო საქმიანობის ხელშეწყობის მიზნით; 4. სასწავლო აქტივობებში მონაწილეობის ხარისხი. უნარ-ჩვევები ფასდება შემდეგი კრიტერიუმებით: 1. მოსწავლე აღიქვამს ამოცანის შინაარსს, გაიაზრებს და გამიჯნავს ამოცანის მონაცემებსა და საძიებელ სიდიდეებს. ახდენს მონაცემების (მათ შორის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო მონაცემების) ორგანიზებას და მათ წარმოდგენას; 2. გადმოცემისას სწორად და ეფექტიანად იყენებს მათემატიკურ ტერმინებსა და აღნიშვნებს. ადეკვატურად ირჩევს სიმკაცრის დონეს და როდესაც საჭიროა, დასაბუთებისას იყენებს მკაცრ მათემატიკურ მსჯელობას (მათ შორის ინდუქციურ და დედუქციურ მსჯელობას); 3. პოულობს, არჩევს და იყენებს გზებსა და მეთოდებს (მათ შორის ტექნოლოგიებს) ფიგურების და ობიექტების ზომების, აგრეთვე მათ შორის მანძილების, მასის, ტემპერატურის და დროის გასაზომად. არჩევს და მოიპოვებს პროცესის ან რეალური ვითარების მოდელირებისათვის საჭირო მონაცემებს; 4. ახდენს მოცემული მოდელის ელემენტების ინტერპრეტირებას იმ რეალობის კონტექსტში, რომელსაც მოდელი აღწერს და პირიქით რეალური ვითარების დაკვირვების შედეგად მიღებული მონაცემების ინტერპრეტირებას შესაბამისი მოდელის ენაზე. განსაზღვრავს მოდელის ვარგისიანობას და აფასებს მისი გამოყენების საზღვრებს; 5. კომპლექსურ (რთულ) პრობლემას ყოფს საფეხურებად, მარტივ ამოცანებად და ჭრის ეტაპობრივად (ამოხსნა), მათ შორის სტანდარტული მიდგომებისა და პროცედურების გამოყენებით; 6. ამოცანების ამოხსნისას, იყენებს მათემატიკურ ობიექტებს, პროცესებს და მათ თვისებებს; 7. ირჩევს ეფექტიან სტრატეგიას და მოკლედ აღწერს პრობლემის გადაჭრის საფეხურებს. მიჰყვება არჩეულ სტრატეგიას. აანალიზებს არჩეულ სტრატეგიას და ასაბუთებს არჩეული სტრატეგიის ეფექტიანობას, მიმოიხილავს შესაძლო ალტერნატიულ სტრატეგიებს და მსჯელობს მათ უპირატესობებსა და ნაკლზე; 8. ირჩევს გამოთვლების ადეკვატურ / ოპტიმალურ ხერხს და ახდენს მის რეალიზებას; 9. ამყარებს კავშირებს (მაგალითად, სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას; 22

23 10. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას; 11. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას, ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას); 12. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტის არსებით თვისებებს); 13. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვის ნააზრევს; 14. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას; 15. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის ფორმას და დამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებს პრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს; 16. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებს პრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/და წმინდა მეცნიერული აქტუალურობა); 17. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან; 18. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით). 2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტი შემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლა-სწავლების შედეგს. ამ კომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი) შესწავლა-დამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულის დასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრული ცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდეს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს. შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები: სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათა მრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლება იყოს: 1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო პასუხს შორის სწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპის დავალება; 2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობის საფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის, რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს); 3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა; 4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა, ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება; 5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვება მოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის დამტკიცება). მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები: დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა; ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და განვლილი მასალის გათვალისწინებით; 23

24 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე; მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც ემსახურება შემაჯამებელი დავალება. ზოგადი რუბრიკის ნიმუში: შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება) ამოცანის მონაცემების ორგანიზება; ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა; ამოხსნის გზის მოძებნა; ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება. კონკრეტული რუბრიკის ნიმუში ტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნას საფეხურები ქულა ამოცანის მონაცემების ორგანიზება ამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0-1 მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის 0-1 გზის მოძებნას ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა საძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0-1 საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0-1 მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების 0-1 გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების) ამოხსნის გზის მოძებნა განტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0-1 განტოლების შედგენა 0 1 ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება განტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0-1 განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება

25 sanimuso gakvetilebi sanimuso gakvetili #1 aqtivoba: simravleebze moqmedebebis gameoreba, codnis garrmaveba (damoukidebeli musaobis fragmentit) ($ 1.4). reziume: moswavleebi ixseneben simravleebtan dakasirebul iritadi cnebebis Sinaarss, simravleebze moqmedebebs da irrmaveben satanado codnas. specialurad SerCeuli magalitebis analizit, amocanebis amoxsnit ivitareben am sakitxta kvlevis unarebs. aqtivobis mizani: simravleta Teoriis iritadi cnebebisa da simravleebze moqmedebata gaxseneba da mati praqtikul amocanebsi gamoyenebis Cvevebis gamomusaveba; dasmuli amocanis amoxsnis alternatiuli metodebis moieba da mati gamoyeneba. kerod, logikuri amocanebis amoxsnisas venis diagramebis gamoyenebis unar- Cvevebis gamomusaveba da garrmaveba. arsebuli an Tavad moswavlis mier gamotqmuli hipotezis kritikuli analizis unaris ganvitareba. msjelobis unaris daxvewa. damoukidebeli musaobis unaris ganvitareba. aucilebeli wina codna: yvela sawiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebt Teoriul nawilsi, moswavleebi maswavlebeltan ertad gzadagza ertoblivad ixseneben. amocanebis amosaxsnelad aucilebelia adre Seswavlili iseti mnisvnelovani faqtebis codna, rogoricaa, magalitad, paralelogramobis nisnebi, samkutxedze Semoxazuli da Caxazuli wrewirebis arseboba, ricxviti sistemebis urtiertmimartebebi da sxva. gakvetilis dasawyissi, sasurvelia, klasma gaixsenos simravlis mocemis xerxebi _ es magalitebis ganxilvit xorcieldeba. moswavleta yuradrebas mivapyrobt simravlis maxasiatebel Tvisebebze _ Tvisebebze, romelic aqvs am simravlis yovel elements da ara aqvs yovel im obieqts, romelic am simravles ar ekutvnis. nimusad viyenebt paragrafis Teoriuli nawilis pirvel punqtsi moyvanil magalits: A={x (x+1)(x 1 2 )=0, x R}, B={x (x+1)(x 1 2 )=0, x }. 25

26 SevTavazoT moswavleebs A da B simravleebis warmodgena elementebis CamoTvliT: A={ 1; 1 2 }, B={ 1}. aqvs Tu ara, A da B simravleebs saerto elementi? aqvs Tu ara, A simravles raime elementi, romelic ar ekutvnis B-s? ram ganapiroba A da B simravleebis sxvadasxvaoba? Seadaron A da B simravleebi kidev or simravles: C={x (x+1)(x 1 2 )=0, x Q}, D={x (x+1)(x 1 2 )=0, x R, x<0}. SeTavazeT moswavleebs elementebis CamoTvliT warmoadginon maxasiatebeli TvisebiT mocemuli simravleebi: M={x x, 2 x 3}, K={x x N, 2 x 3}. ramdeni elementia M simravlesi? ramdeni elementia K simravlesi? ramdeni elementia {x x N, 2 x<0} simravlesi? ras vuwodebt aset simravles? mivmartavt moswavleebs carieli simravlis sxva magalitebic daasaxelon. Seileba Tu ara, nebismieri simravlis warmodgena elementebis CamoTvliT? ganixilet {x x R, 1 x 1} magaliti. ras vuwodebt xolme ricxvta aset simravles? mnisvnelovania moswavleta mier universaluri simravlisa da simravlis damatebis cnebis safuvliani atviseba. sawiroebis SemTxvevaSi paragrafsi mocemuli nimusebi SeavseT sxva magalitebitac. ajobebs, Tu Tavad moswavleebi moiieben aset nimusebs. simravleebze moqmedebebi _ gaertianeba, TanakveTa, sxvaoba _ paragrafsi dawvrilebitaa arwerili da ilustrirebuli venis diagramebis gamoyenebit. moswavleebi damoukideblad, Tqveni Carevis garesec, ramodenime wutsi gaecnobian wignsi warmodgenil satanado masalas. Tqven ki, sakontrolo kitxvebit, romlebic mteli klasisadmi iqneba mimartuli, SeamowmebT am damoukidebeli samusaos Sedegebs. mnisvnelovania simravleta gamoyeneba sxvadasxva tipis winadadebebis TvalsaCinod warmodgenisas _ am gamoyenebata ramdenime nimusi cxrilis saxitac CamovayalibeT. aqtivobis gafartoeba-garrmaveba aqtivobis gafartoeba-garrmavebis miznit Seileba ganixilot paragrafsi warmodgenili sakontrolo kitxvebi da amocanebi. moswavleta pasuxebis siswore TviT moswavleebma Seafason _ es mnisvnelovania mati codnis daxvewisa da ganmtkicebistvis. amocanebis umravlesoba e. w. `testuri~ tipisaa _ moswavles vtavazobt ramdenime savaraudo pasuxs, romeltagan unda SeirCes swori. sasurvelia, rom moswavlem pasuxis gacemisas daasabutos xolme arcevanis martebuloba. aqtivobis ganxilva-sefaseba natelia, rom mocemuli aqtivoba amzadebs safuvels saswavlo programit gatvaliswinebuli mravali sxva sakitxis Sesaswavlad, magalitad, simravleta klasifikacia, Sesabamisoba da sxv. amgvarad, simravleta Teoriis elementebis safuvliani atviseba momavali Teoriuli da gamoyenebiti amocanebis warmatebuli ganxilvis safuvels qmnis. 26

27 sanimuso gakvetili #2 aqtivoba: simravleta dekartuli namravli ($ 1.5). reziume: moswavleebi ecnobian axal cnebebs _ dalagebuli simravle (kerod, dalagebuli wyvili, sameuli), ori an meti simravlis dekartuli namravli; am cnebata gamoyenebit moswavleebi warmoadgenen axal matematikur obieqtebs, realur samyarosi Sesalo mimartebebs. aqtivobis mizani: axali cnebebis atviseba, mocemuli simravleebis dekartuli namravlis Sedgenisa da, piriqit, mocemuli namravlis mixedvit Tanamamravli simravleebis ardgenis unar-cvevebis gamomusaveba; ricxviti simravleebis dekartuli namravlebisa da sakoordinato sibrtyeze mat gamosaxulebebs Soris urtiertcalsaxa Sesabamisobis dadgenis gamocdilebis Seena. mirebuli codnis praqtikul amocanebsi gamoyenebis SesaleblobaTa armocenisa da mati realizebis unaris ganvitareba. aucilebeli wina codna simravleta Teoriis elementebis codna 1.4-Si mocemuli moculobit; sakoordinato sibrtyis wertilebsa da koordinatta Sesabamis wyvilebs Soris Sesabamisobis dadgenis unari _ es sakitxi gakvetilebze reguluralud ganixileba, amitom sagangebo, xangrlivi dro am gaxsenebis ar daswirdeba. gakvetils viwyebt simravlis dalagebulobis cnebis Sinaarsis arwerit; kerod, ganvixilavt sakoordinato sibrtyis (a; b) da (b; a) tipis wertilebs da vrwmundebit, rom, Tu a b, masin (a; b) da (b; a) sxvadasxva wertilebs gansazrvravs. gavixsenebt, rom amave wesit Sedgenili {a; b} da {b; a} simravleebi tolia. simravlis dalagebuloba gulisxmobs ara marto simravlis elementebis CamonaTvals, aramed, simravlis elementebis gansazrvrul Tanamimdevrobasac. sazogadod, dalagebuli wyvilebistvis (a; b)=(c; d) nisnavs, a=c da b=d. piriqitac, Tu a=c da b=d, masin (a; b)=(c; d). sailustraciod ganvixilavt raime or sasrul simravles. magalitad, A={O; }, B={1; 2; 3}. SevTavazoT moswavleebs warmoadginon elementebis CamoTvliT dalagebul wyvilta ori simravle: M={(m; n) m A, n B}, N={(p; t) p B, t A}. ramden elements Seicavs M simravle; N simravle? tolia Tu ara, M da N simravleebi? ganvsazrvrot ori simravlis dekartuli namravlis cneba _ A B={(a; b) a A, b B}. sworia Tu ara, rom A B=M; B A=N? movisveliot paragrafis Teoriul nawilsi mocemuli sxva magalitebic. gansakutrebuli yuradrebit ganvixilot A A SemTxveva _ moswavles raime A simravlis dekartuli kvadrati ar unda SeeSalos A-s orelementian qvesimravleta simravlesi. 27