Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Transcript

1 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις 3 2 μέχρι 3 2. Να δίξτ όλα τα στάδια της ργασίας σας. (α) Λύση Βήμα : q q q5 3 q q Βήμα 2(α): Αφαίρση κορυφής q * * q Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής q * * [ * ] [ * ] Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα

2 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(γ): Αφαίρση κορυφής [ * ] [ * ] * * * * [ * ] * * * Βήμα 2(δ): Αφαίρση κορυφής * + ( * * + ) ([ + ][ + ] + ) * ( [ + ] + ) (β), q q Λύση Βήμα : q q Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 2

3 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(α): Αφαίρση κορυφής q q Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής q + + Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής + + q + ( + ) Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής q ( + + ) * [ + ( + )] Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 3

4 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 2 Έστω η κανονική έκφραση (() * ()*). Να κατασκυάστ (i) ένα NFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας την κατασκυή από τις διαφάνις 3 9 και 3, και (ii) ένα DFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία μτατροπής NFA σ DFA (διαφάνις 2 37 και 2 38) (i) Πιο κάτω μφανίζται η τλική μορφή του ζητούμνου αυτομάτου. (Τα νδιάμσα βήματα παραλίπονται.) (ii) Ακολουθί το ισοδύναμο νττρμινιστικό αυτόματο. {} {,2, 3,8,4,9} {5,6, {4,7,,} 2,3} {4,9} {5,6} {,} {4,7} {2,3}, Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 4

5 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 3 Θωρίστ τα δύο πιο κάτω αυτόματα. 2 3, Α Β Γ Έστω Λ η γλώσσα του πρώτου αυτομάτου και Λ 2 η γλώσσα του δύτρου αυτομάτου. Να κατασκυάστ αυτόματα που να αναγνωρίζουν (i) τη γλώσσα Λ Λ 2 (ii) τη γλώσσα Λ Λ 2, και (iii) τη γλώσσα Λ Λ 2. Λύση (i) Αυτόματο για τη γλώσσα Λ Λ 2 μπορί να δημιουργηθί μ βάση τη γνωστή κατασκυή για την ένωση των γλωσσών δύο NFA: Πιο κάτω φαίνται το σχτικό αυτόματο. 2 3, Α Β Γ (ii) Αυτόματο για τη γλώσσα Λ Λ 2 μπορί να δημιουργηθί μ βάση την κατασκυή της Άσκησης 3, Φροντιστήριο 2, για την τομή των γλωσσών δύο DFA: Πιο κάτω φαίνται το σχτικό αυτόματο.,a,b,γ 2,A 3,B 2,Γ 3,Γ Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 5

6 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (iii) Αυτόματο για τη γλώσσα Λ Λ 2 μπορί να δημιουργηθί μ βάση την σχέση Λ. Αυτόματο για τη γλώσσα Λ 2 ίναι το αυτόματο, Α Β Γ Επομένως το ζητούμνο αυτόματο ίναι το πιο κάτω,a,b,γ 2,A 3,B 2,Γ 3,Γ Άσκηση 4 Να αποφασίστ κατά πόσο οι πιο κάτω γλώσσς ίναι κανονικές αιτιολογώντας μ ακρίβια τις απαντήσις σας. (α) { uv u, v {,} * } (β) { uv u, v {,} *, u = v } (γ) { x {,}* η x δν έχι την μορφή n n για κάποιο n } (δ) { ( n m ) r n, m, r > } () { w {(, )} * οι παρνθέσις στην w ίναι ισοζυγισμένς } Για παράδιγμα, η λέξη (()()) ανήκι στη γλώσσα αφού όλς οι παρνθέσις της κλίνουν σωστά, νώ η λέξη (()))() δν ανήκι στη γλώσσα. Λύση (α) Η γλώσσα αυτή ίναι κανονική. Πριγράφται από την κανονική έκφραση {,} * {,} *. (β) L = { uv u, v {,} *, u = v } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = p p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L, i ). Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 6

7 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L. Αλλά, xy 2 z = p+μ p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L ίναι μη κανονική. (γ) L = { x {,}* η x δν έχι την μορφή n n για κάποιο n } Παρατηρούμ ότι η γλώσσα L ικανοποιί τη σχέση {,} * L = { n n n }. Ας υποθέσουμ, για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L ίναι κανονική γλώσσα. Επίσης, γνωρίζουμ ότι η γλώσσα {,} * ίναι κανονική γλώσσα. Από την κλιστότητα των κανονικών γλωσσών ως προς την πράξη, η γλώσσα {,} * L ίναι κανονική γλώσσα. Όμως, {,} * L = { n n n }, και όπως δίξαμ στη διαφάνια 3 3, η γλώσσα { n n n } δν ίναι κανονική. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση. Επομένως η γλώσσα L δν ίναι κανονική. Σημίωση: Γνωρίζουμ ότι Α Β = Α. Αφού η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την τομή και το συμπλήρωμα, ίναι κλιστή και ως προς την πράξη. (δ) L 2 ={ ( n m ) r n, m, r > } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 2 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = p p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L 2, i ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L 2. Αλλά, xy 2 z = p+μ p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L 2. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 2 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. () L 3 = { w {(, )} * οι παρνθέσις στην w ίναι ισοζυγισμένς } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 2 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = ( p ) p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L 3, i ). Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 7

8 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από (. Επομένως, x = ( λ, y = ( μ, w = ( ν ) p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L 3. Αλλά, xy 2 z = ( p+μ ) p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L 3. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 3 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L 3 ίναι μη κανονική. Άσκηση 5 (Προαιρτική) Θωρίστ το αλφάβητο Σ και μια γλώσσα L Σ * πί του αλφάβητου Σ. Μία λέξη w = n ονομάζται διάσπαρτη υπολέξη μιας λέξης u αν u = u u 2 u n n u n+ για κάποις υποσυμβολοσιρές u, u 2,, u n, u n+ Σ *. Ορίζουμ ως ΔΥ(L) την πιο κάτω γλώσσα πί του αλφάβητου Σ: ΔΥ(L) = { ί ά έ ό } Μ λόγια, η γλώσσα ΔΥ(L) πριέχι όλς τις λέξις που αποτλούν διάσπαρτς υπολέξις της L. Για παράδιγμα, αν L = {c, } τότ ΔΥ(L) = {,,, c,, c, c,,, c, }. Να αποδίξτ μ ακρίβια ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη ΔΥ. Λύση: Για να δίξουμ ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη ΔΥ θα δίξουμ ότι για οποιαδήποτ κανονική γλώσσα L υπάρχι κανονική έκφραση που αναγνωρίζι τη γλώσσα ΔΥ(L). Ορίζουμ τη συνάρτηση δυ: R R ως ξής {, }, { },, dipri( R) dipri( ) dipri( B), dipri( A) dipri( B), * dipri( A), R R R R AB R A B R A Έστω κανονική γλώσσα L και κανονική έκφραση R που την πριγράφι. Θα αποδίξουμ ότι η κανονική έκφραση dipri(r) πριγράφι την γλώσσα ΔΥ(L). Αυτό θα μας οδηγήσι στο συμπέρασμα ότι η γλώσσα ΔΥ(L) ίναι κανονική. Η απόδιξη θα γίνι παγωγικά στη δομή της κανονικής έκφρασης R. Υπάρχουν οι πιο κάτω πριπτώσις. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ L = {} και ΔΥ(L) = {,}. Επίσης, σύμφωνα μ τον πιο πάνω ορισμό, dipri(r) = {,}. Επομένως, η κανονική έκφραση dipri(r) πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ L = {} και ΔΥ(L) = {}. Επίσης, σύμφωνα μ τον πιο πάνω ορισμό, dipri(r) = {}. Επομένως, η * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 8

9 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα κανονική έκφραση dipri(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ L = και ΔΥ(L) =. Επίσης, ισχύι ότι dipri(r) =. Επομένως, η κανονική έκφραση dipri(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ ΔΥ(L) = {xy x ΔΥ(Α) και y ΔΥ(B)} Αφού η κανονική έκφραση dipri(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της ίναι ίση μ dipri(ab)=dipri(a)dipri(b), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ ΔΥ (L) = {x ί ά έ ό } {y ί ά έ ό } Αφού η κανονική έκφραση dipri(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της ίναι ίση μ dipri(ab) = dipri(a) dipri(b), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = Α *, τότ ΔΥ(L) = { w w 2 w k k, η w i ίναι διάσπαρτη υπολέξη κάποιας λέξης x i L } = { w w 2 w k k, η w i ΔΥ(L) } Αφού η κανονική έκφραση dipri(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της ίναι ίση μ dipri(α * ) = dipri(α) *, από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα ΔΥ(L) και το συμπέρασμα έπται. Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 24 Σλίδα 9