Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

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1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ý ýþ ¹ ÁÁ º½ º½º½ ý º½º½ ¹ ½ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë È 0 = (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ È 0 È 0 (Ü 0 Ý 0 ) È 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) È 0 Áº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ÁÁº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) Ë (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ Öй ØÚ ÜØÖÑÙѵ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 )º º½º½ ¹ ¾ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë È 0 = ½

3 ¾ º ýº (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ È 0 È 0 ÜØÖÑÙѵ Áº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ÁÁº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý) Ë (Ü Ý Þ) ˺ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 )º º º½º½ ¹ ½ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë º ý È 0 = (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ë ØØÓÒÖÝ ÔÓÒص º ý ý = 2 (Ü 0 Ý 0 ) Ü 2 = 2 (Ü 0 Ý 0 ) = 2 (Ü 0 Ý 0 ) ÜÝ Ý 2 = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ º½º½ ¹ ½µ (Ü 0 Ý 0 ) º½º½ ¹ ¾ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 Ë Ë º ý (Ü 0 Ý 0 ) Ë (Ü 0 Ý 0 ) Ü = (Ü 0 Ý 0 ) Ý = 0 º½º½ ¹ ¾µ

4 ý Áº 0 º 0 0µ (Ü 0 Ý 0 ) º 0 0µ (Ü 0 Ý 0 ) º ÁÁº 0 º (Ü 0 Ý 0 ) º ÁÁÁº = 0 º º½º½ ¹ ½ µ (511 2) ÖØÐ ØØÓÒÖÝ ÔÓÒØ µ (Ü Ý)º µ (Ü 0 Ý 0 ) (511 1) º º½º½ ¹ ½ ô ( (Ü Ý) = ln Ü 2 + Ý 2) = R 2 (00) (511 2) Ü = ( Ü 2 + Ý 2) Ü Ü 2 + Ý 2 ( = 2Ü Ü 2 Ü 2 + Ý 2 = 0 + Ý 2) Ý Ý = Ü 2 + Ý 2 = 2Ý Ü 2 + Ý 2 = 0 Ü = Ý = 0 È(00) º º½º½ ¹ ½µ È º

5 º ýº º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ ¾ (Ü Ý) = ÜÝ = R 2 º (511 2) Ü = Ü = 0 Ý = Ý = 0 È(00)º ý (511 1) = ÜÜ = 0 = ÜÝ = 1 = ÝÝ = 0 = 1 0 ÁÁµ º½º½ ¹ ¾ È º º½º½ ¹ ¾µº º½º½ ¹ ø (Ü Ý) = Ü 3 + Ý 3 3ÜÝ +4 = R 2 º ý (511 2) Ü = 3Ü 2 3Ý = 0 Ý = 3Ý 2 3Ü = 0

6 ý º½º½ ¹ ¾ º½º½ ¹ ¾ 1 Ý = Ü (Ü 2) 2 ( ) 3Ü = 3Ü Ü 3 1 = 0 Ü = 0 Ü = 1 È 1 (00) È 2 (11) ý (511 1) (Ü Ý) = ÜÜ = 6Ü = ÜÝ = 3 = ÝÝ = 6Ý = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ 6Ü 3 = = 36 ÜÝ 9 3 6Ý Á¹ÁÁÁµ º½º½ ¹ ¾ º º½º½ ¹ µ È 1 È1 (00) = 9 0 È 2 È2 (11) = 27 0 È2 (11) = 6 0 (11) = 3º

7 º ýº º½º½ ¹ º½º½ ¹ º (Ü Ý) = Ü 3 + Ý 3 3ÜÝ +4 º½º½ ¹ ø (Ü Ý) = 3Ü 2 Ý + Ý 3 3Ü 2 3Ý 2 +2 = R 2 º ý (511 2) Ü = 6ÜÝ 6Ü = 0 Ý = 3Ü 2 +3Ý 2 6Ý = 0 1 6Ü(Ý 1) = 0 Ü = 0 Ý = 1º 2 Ü = 0 : 3Ý 2 6Ý = 3Ý(Ý 2) = 0 Ý = 0 Ý = 2 Ý = 1 : ( ) 3Ü 2 3 = 3 Ü 2 1 = 0 Ü = 1 Ü = 1

8 ý È 1 (00) È 2 (02) È 3 (11) È 4 ( 11) (511 1) (Ü Ý) = ÜÜ = 6Ý 6 = ÜÝ = 6Ü = ÝÝ = 6Ý 6 = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ 6Ý 6 = 6Ü 6Ü 6Ý 6 = 36(Ý 1) 2 36Ü 2 Á¹ÁÁÁµ º½º½ ¹ ¾ º º½º½ ¹ µ È 1 È1 (00) = 36 0 È1 (00) = 6 0 µ (00) = 2 È 2 È2 (02) = 36 0 È2 (02) = 6 0 µ (02) = 2 È 3 È3 (11) = 36 0 È 4 È4 ( 11) = 36 0 º (Ü Ý) ) Ü 2 + ÜÝ + Ý 2 +5Ü 5Ý +3 ) Ü 3 6ÜÝ + Ý 3 ) Ü 3 3Ü+ÜÝ 2 Ú) Ü2 Ý 2 º ý º½º½ ¹ µº ô (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë Ë

9 º ýº º½º½ ¹ º½º½ ¹ º 3Ü 2 Ý + Ý 3 3Ü 2 3Ý 2 +2 º ô È 0 = È 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ë (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ü = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ý = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Þ = 0 º½º½ ¹ µ ý = ÜÜ (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) = = ÜÜ ÜÝ ÜÞ ÝÜ ÝÝ ÝÞ ÞÜ ÞÝ ÞÞ È 0 ÜÜ ÝÜ ÜÝ ÝÝ È 0 º½º½ ¹ µ (Ü Ý Þ) Ë R 3 Áº ÁÁº 0 0 0º

10 ý ø º½º½ ¹ ½ Áµ (511 3) (Ü Ý Þ)º º½º½ ¹ ô (Ü Ý Þ) = Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 2Ü 5º (511 3) Ü = 2Ü 2 = 0 Ý = 2Ý = 0 Þ = 2Þ = 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) = (100)º (511 4) = ÜÜ (100) = 2 0 = ÜÜ ÝÜ ÜÝ ÝÝ = 4 0 (100) = ÜÜ ÜÝ ÜÞ ÝÜ ÝÝ ÝÞ ÞÜ ÞÝ ÞÞ = 8 0 (100) ÁÁµ º½º½ ¹ È(100) (100) = 4º (Ü Ý Þ) µ Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 2Ü+4Ý 6Þ 11 µ Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 +3Þ +1º

11 ½¼ º ýº º½º¾ ý ½ º º½ ÑØÑØÐ ÓÔØÑÞØÓÒµ (Ü Ý) ¾ R 2 º ¹ º ÜØÖÑ ÚÐÙ ØÓÖѵ º½º¾ ¹ ½ ý (Ü Ý) R 2 (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 2 Ý 2 ) (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 1 Ý 1 ) º º½º¾ ¹ ½ º ÁÁº º ÁÁÁº (Á) (ÁÁ) º ½ º ¾ º½º¾ ¹ ½ R 2 º = [ 11] [02] = [ 11] [02] º º½º¾ ¹ ¾ R 2 º º½º½ ¹ º

12 ý ½½ º½º¾ ¹ ½ (Ü Ý) = Ü 2 +4Ý 2 2Ü 2 Ý +4 º º½º¾ ¹ ½µ = {(Ü Ý) R 2 : 1 Ü 1 1 Ý 1} º º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ µ = {(Ü Ý) R 2 : 1 Ü 1 1 Ý 1} µ (Ü Ý) = Ü 2 +4Ý 2 2Ü 2 Ý +4 (Ü Ý) º Á ý (511 2) Ü = 2Ü 4ÜÝ = 0 Ý = 8Ý 2Ü 2 = 0 2 Ý = Ü2 4 1 Ü 4Ü Ü2 ( 4 = 2Ü Ü3 = Ü 2 Ü 2) = 0 Ü = 0 ± 2

13 ½¾ º ýº Ü = 0º ý Ü = 0 2 Ý = 0º È(00) (00) = 4 ½µ ÁÁ µ Ü = 1 1 Ý 1 (1 Ý) = 1 (Ý) = 4Ý 2 2Ý + 5º 1 (Ý) = 8Ý (Ý) = 0 Ý = 1 4 º ( È ) 4 ( 1 1 ) ( ) 1 = 1 = 475 ¾µ 4 4 µ Ü = 1 1 Ý 1 ( 1 Ý) = 2 (Ý) = 4Ý 2 2Ý+5 = 1 (Ý) ()º µ Ý = 1 1 Ü 1 (Ü1) = 1 (Ü) = 8 Ü 2 º 1 (Ü) = 2Ü 1 1 (Ü) = 0 Ü = 0 º È 2 (01) (01) = 1 (0) = 8 µ Úµ Ý = 1 1 Ü 1 (Ü 1) = 2 (Ü) = 8 + 3Ü 2 º 2 (Ü) = 6Ü 2 Ü = 0 º È 3 (0 1) (0 1) = 2 (0) = 8 µ Úµ 1 ( 1 1) ( 1 1) = 11 2 (1 1) ( 11) = 11 3 (11) (11) = 7 µ 4 ( 11) ( 11) = 7

14 ý ½ ÁÁÁ ý ½µ¹ µ È(00) 4 1 ( 1 1) 2 (1 1) 11 º º½º¾ ¹ ½µº º½º¾ ¹ ¾ ø (Ü Ý) = 2Ü 2 Ý 2 +6Ý = {(Ü Ý) R 2 : Ü 2 + Ý 2 16} º º½º¾ ¹ ½ Á ý (511 2) Ü = 4Ü = 0 Ý = 2Ý +6 = 0 È(03) (03) = 9 ½µ ÁÁ Ü 2 + Ý 2 16 µ Ü 2 +Ý 2 = 16 Ü 2 = 16 Ý 2 ( (Ý) = 2 16 Ý 2) Ý 2 +6Ý = 32 3Ý 2 +6Ý

15 ½ º ýº Ý 4 Ý 4º (Ý) = 6Ý + 6 Ý = 1 Ü 2 = 16 Ý 2 È 1 ( ) ( 151 ) 151 = 35 ( ( ) ¾µ È ) 151 = 35 µ ¹ ¹ [ 44] Ý Ý = ±4 Ü = 0º 1 (0 4) (0 4) = 40 2 (04) (04) = 8 µ ÁÁÁ ý ½µ¹ µ 1 (0 4) 40 È 1 ( 151) È2 ( 151 ) 35 º º½º¾ ¹ ¾µº º½º ý ¹ ÄÖÒ (Ü Ý) º (Ü Ý) (Ü Ý Þ) (Ü Ý) (Ü Ý Þ) ÓÒ¹ ØÖÒØ µ (Ü Ý) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 ÓÙÔÐÒ ÕÙ¹ ØÓÒ ÕÙÐØÝ ÓÒ ØÖÒصº

16 ý ½ º½º¾ ¹ ¾ º½º¾ ¹ ¾ (Ü Ý) = 2Ü 2 Ý 2 +6Ý (Ü Ý) º ÓÒØÓÒÐ ÜØÖÑÙѵ º ÄÖÒ ÄÖÒ ÑÙÐØÔÐÖ µº (Ü Ý) (Ü Ý Þ) (Ü Ý) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 º½º ¹ ½µ ÄÖÒ ÙÜÐÖÝ ÙÒØÓÒµ (Ü Ý) = (Ü Ý)+ (Ü Ý) º½º ¹ ¾µ (Ü Ý Þ) = (Ü Ý Þ)+ (Ü Ý Þ) º½º ¹ µ ÄÖÒ º º ô ³ (511 1)

17 ½ º ýº Ü = Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý = 0 Ü = Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý = 0 º½º ¹ µ º½º ¹ µ Þ = Þ + Þ = 0 ý ¹ Ü = Ü() Ý = Ý() Þ = Þ()º ý (513 1) Ü 0 Ý 0 Ü 0 Ý 0 Þ 0 (513 4) (513 5)º º½º ¹ ½ ø (513 1) R 2 R 3 º½º¾ ¹ ½º È (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý) (Ü Ý) = 0 È (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü Ý Þ) = 0º µ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) È º½º ¹ ½ (Ü Ý) = ÜÝ (Ü Ý) = Ü+Ý 1 = 0 º (513 2) ÄÖÒ (Ü Ý) = ÜÝ + (Ü+Ý 1)

18 ý ½ (513 4) Ü = Ý + = 0 Ý = Ü+ = 0 Ý Ü = = ý (Ü Ý) = Ü + Ý 1 = 0 2 = 1 = 1 2 º ) Ü = Ý = 1 2 È ( º½º ¹ ½ ( ) ( ) = º½º ¹ ¾ ø (Ü Ý) = 5Ü 3Ý (Ü Ý) = Ü 2 + Ý = 0 º Þ = (Ü Ý) (Ü Ý) 136º (513 2) ÄÖÒ ( ) (Ü Ý) = 5Ü 3Ý + Ü 2 + Ý (513 4) Ü = 2Ü+5 = 0 Ý = 2Ý 3 = 0 Ü = Ý = 2 ý (Ü Ý) = Ü 2 + Ý = = = 1 16 = ± 1 4

19 ½ º ýº = 1 4 Ü = 10 Ý = 6 È 1 ( 106) = 1 4 Ü = 10 Ý = 6 È 2 (10 6) º½º ¹ ½ È 1 ( 106) : ( 106) = 68 0 È 2 (10 6) : (10 6) = 68 0 º½º ¹ ø (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 Ü Ý Þ 0º º (513 3) ÄÖÒ (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ + (Ü+Ý + Þ 1) (513 5) Ü = ÝÞ + = 0 Ý = ÞÜ+ = 0 Þ = ÜÝ + = 0 ÝÞ = ½µ ÞÜ = ¾µ ÜÝ = µ

20 ý ½ ý ½µ ¾µ ÝÞ = ÞÜ Þ(Ý Ü) = 0 Þ = 0 µ Ý = Ü µ ý µ ½µ ¾µ = 0 µ ÜÝ = 0 Ü = 0 Ý = 0º (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 Þ = 0 Ü = 0 Ý = 1 È 1 (010) µ Þ = 0 Ý = 0 Ü = 1 È 2 (100) µ ý µ µ Ü = Ý = 0º (Ü Ý Þ) = Ü+Ý+Þ 1 = 0 Þ = 1 È 3 (001) µ µ Ü = Ý 0º ¾µ µ ÜÞ = ÜÝ Ü(Þ Ý) = 0 Ü = 0 Ý = Þ Ü 0 Ý = Þº Ü = Ý = Þº (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 3Ü = 1 Ü = 1 ( 1 È ) µ 3 µ¹ µ º½º ¹ ½ (001) = 0 (010) = 0 (100) = 0 ( = 3) 27 = 0º

21 ¾¼ º ýº º½º ¹ 64 Ñ 2 º º ô Ü Ý Þ Ü Ý Þ 0º ÜÝÞ 2(ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ)º (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32 = 0 (513 3) ÄÖÒ (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ + (ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32) (513 5) Ü = ÝÞ + (Ý + Þ) = 0 Ý = ÞÜ+(Þ + Ü) = 0 Þ = ÜÝ + (Ü+Ý) = 0 ÝÞ = (Ý + Þ) ½µ ÞÜ = (Þ + Ü) ¾µ ÜÝ = (Ü+Ý) µ ½µ Ü ¾µ Ý µ Þ ý µ µ ÝÞ = (Ý + Þ) µ ÞÜ = (Þ + Ü) µ ÜÝ = (Ü+Ý) µ (Ý + Þ) = (Þ + Ü) (ÜÞ ÝÞ) = 0

22 ý ¾½ = 0 ÝÞ = 0 Ý = 0 Þ = 0 ÜÞ ÝÞ = 0 Þ 0 Ü = Ý µ ø µ µ Ý = Þ µ Ü = Ý = Þ µ (Ü Ý Þ) = ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32 = 3Ü 2 32 = 0 Ü Ý Þ 0 Ü 0 = Ý 0 = Þ 0 = 32 3 È (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) º½º ¹ ½ º º½º ¹ ø Ü Ý2 2 + Þ2 2 = 1 º ø (000)º (±Ü±Ý±Þ) Ü Ý Þ 0 Î = 2Ü2Ý2Þ = 8ÜÝÞº (Ü Ý Þ) = 8ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 1 = 0 2 (513 3) ÄÖÒ ( Ü 2 ) (Ü Ý Þ) = 8ÜÝÞ Ý2 2 + Þ2 2 1

23 ¾¾ º ýº (513 5) Ü = 8ÝÞ +2 Ü 2 = 0 Ý = 8ÞÜ+ Ý 2 = 0 Þ = 8ÜÝ + Þ 2 = 0 = 4 2 ÝÞ Ü = 42 ÞÜ Ý ÜÝ = 42 Þ Ý 2 2 = Ü 2 2 Þ 2 2 = Ý 2 2 Ü 2 2 = Ý2 2 = Þ2 2 ½µ (Ü Ý Þ) = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 2 1 = 0 1 = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 2 = 3 Ü2 2 Ü = ± 3 Ü 0 Ü = ± 3 ½µ ( ) È Î(È) = º ) Ü 2 + Ý 2 Ü 2 + Ý 3 = 1 ) Ü2 + Ý 2 + Þ 2 Ü2 4 + Ý2 9 + Þ2 16 = 1 ) Ü+2Ý Ü 2 + Ý 2 = 5 Ú) cos 2 Ü+cos 2 Ý Ü Ý = 4

24 ý ¾ (Ü Ý Þ) (Ü Ý Þ) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 º½º ¹ ¾µ ø Ĺ ÖÒ (Ü Ý Þ) = (Ü Ý Þ)+ (Ü Ý Þ) + (Ü Ý Þ) º½º ¹ ¾µ º ô ³ (511 1) Ü = Ü + Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý + Ý = 0 º½º ¹ ¾µ Þ = Þ + Þ + Þ = 0 ý Ü = Ü( ) Ý = Ý( ) Þ = Þ( )º ý (513 24) Ü 0 Ý 0 Þ 0 (513 26)º º½º Ü2 sin Ü Ü Ü ºº Ü º ý ºº º º º

25 ¾ º ýº º (Ü) È Ò (Ü) Ò È Ò (Ü) = Ò Ü Ò + Ò 1 Ü Ò º½º ¹ ½µ R = 0 1 Ò È ÌÝÐÓÖ (Ü) È Ò (Ü) = (Ü 0 )+ (Ü 0 ) 1! (Ü Ü 0 )+ + (Ò) (Ü 0 ) Ò! (Ü Ü 0 ) Ò Ü 0 º ¹ Ò ¹ ¹ Ü 0 ¹ Ü Ü 0 ¹ ¹ ºº (Ü) ýº ½ º º½º ¹ ½ ÏÖ ØÖ µº ý [ ] 0 È (Ü) È(Ü) Ü [ ]

26 ý ¾ ص Ë = {(Ü Ý ) = 1 2 Ò} º½º ¹ ¾µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò Ò+1 [ ] (Ü) [ ] (Ü ) = 0 1 Òº È Ò Ò (514 1) º º½º ¹ ½µ Áº È Ò (Ü ) = (Ü ) = 0 1 Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÒØÖÔÓÐØÓÒµ ÁÁº ¹ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ØØÒµ Ë (514 2)º º ÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒµº ÁÁ º Á 1 ô Ë (514 2) 1 È 1 (Ü) = È(Ü) = Ü+ º½º ¹ µ º ý (Ü Ý ) Ë Ý Ý = È (Ü ) = Ü + = Ý Ý = Ý (Ü + ) º = Ò = Ý 1 (Ü 1 + ) + + Ý Ò (Ü Ò + ) º½º ¹ µ

27 ¾ º ýº y x º½º ¹ ½ Ë = {(01)(10)(32)(5 1)}º µ 1 ¹ µ 2 ¹ µ = ( ) º (514 4) º (511 2) = 0 = 0 º½º ¹ µ (514 5) º ÖØ Ð Ø ÕÙÖ ÑØÓµ (514 4) = Ò = [Ý 1 (Ü 1 + )] 2 + +[Ý Ò (Ü Ò + )] 2 º½º ¹ µ ô º = Ü1 ÜÒ = 0 = 1 1 = Ò = 0 º

28 ý ¾ º (514 6) Ò = 2 (Ý Ü ) Ü = 0 =1 Ò = 2 (Ý Ü ) = 0 =1 Ò Ü 2 + Ò Ü = =1 =1 Ò {}}{ Ò Ò Ü + Ü 0 = =1 =1 Ò Ü Ý =1 Ò Ý º½º ¹ µ =1 (514 7) ÒÓÖÑÐ ÕÙØÓÒ µ = ( Ò ( Ò )( Ò ) Ò Ü Ý ) Ü Ý =1 =1 =1 ( Ò ) ( Ò ) Ò Ü 2 2 º½º ¹ µ Ü =1 =1 = ( Ò )( Ò ( Ü 2 Ò )( Ò ) Ý ) Ü Ý Ü =1 =1 =1 =1 ( Ò ) ( Ò ) Ò Ü 2 2 º½º ¹ µ Ü =1 =1 º½º ¹ ½ Ü ¹¼º ¼º ¼º ½º Ý ½º¾ ¾º¼ ½º¼ ¹½º¼

29 ¾ º ýº º½º ¹ ½ º½º ¹ ½ Ü Ý Ü Ý Ü 2 ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º º½º ¹ ½º (514 9) (514 9) = 4 ( 08) 2 (32) 4 (308) 2 2 = (308) (32) ( 08) 2 4 (308) È(Ü) = Ü º º½º ¹ ¾µº ÁÁ ѹ Ë (514 2) ѹ (514 1) È Ñ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ Ñ Ò ¹ ½ º½º ¹ ½¼µ Á 0 1 Ñ = Ò = [Ý 1 È Ñ (Ü 1 )] 2 + +[Ý Ò È Ñ (Ü Ò )] 2 º þ ýº ½ º º

30 ý ¾ 2.0 y x º½º ¹ ¾ º½º ¹ ½º Ý = Ü ø 1 (511 2) = 0 = 0 1 Ñ º½º ¹ ½½µ ý (514 11) Ñ +1 Ñ + 1 Ò 0 Ü 0 Ò + 1 Ü 1 Ò + + Ñ Ü Ñ = =1 =1 =1 Ò 0 Ü 1 Ò + 1 Ü 2 Ò + + Ñ Ü Ñ+1 = =1 =1 =1 Ò Ý Ü 0 =1 Ò Ý Ü 1 =1 (514 11) Ò =0 º Ñ =1 Ü+ º º½º ¹ ½¾µ = 2 Ò =1 ÝÜ + 2 Ñ =0 Ò =1 Ü+ = 0 = Ñ =1 ÝÜ = 0 1 Òº

31 ¼ º ýº Ò 0 Ü Ñ =1 + 1 Ò =1 Ü Ñ+1 Ò + + Ñ =1 Ü 2Ñ = Ò Ý Ü Ñ =1 º ý (514 12) Ü = 12 Ò º º½º ¹ ½ Ë È Ñ (Ü) = Ò =1 3 (514 11) º º º½º ¹ ¾ ¹ 2 º½º ¹ ½º º Ò = 4 (514 10) Ñ Ñ 4 1 Ñ = 2º ô È 2 (Ü) = Ü+ 2 Ü 2 º (514 12) 4 0 Ü 0 =1 4 0 Ü 1 =1 4 0 Ü 2 = Ü 1 = Ü 2 = Ü 3 = Ü 2 = = Ü 3 = = Ü 4 = =1 º½º ¹ ¾ 4 Ý Ü 0 =1 4 Ý Ü 1 =1 4 Ý Ü 2 = = = = 128

32 ý ½ º½º ¹ ¾ º½º ¹ ¾ Ü Ý Ü Ý Ü 2 Ü 3 Ü 4 Ü 2 Ý ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¹¼º½¾ ¼º¼¾ ¼º ¼ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼½ ¼º½ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º¾¼½ ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ º º¼¾ ¹¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º¾ º ¾ ¹½º¾ ½¼ º º½º ¹ µ È 2 (Ü) = Ü Ü ½½ ½¼ º ½½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»

33 ¾ º ýº 2.0 y x º½º ¹ º½º ¹ ¾º È 2 (Ü) = Ü Ü º½º ¹ ½µ Ý = Ü

34 þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÒÒÝ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»

35 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

36 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2