Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ËÈÄÁÆË º½ ÔÐÒ º½º½ ¹ (Ü (Ü )); = 0 1 Ò (Ü) ¹ º ÔÛ ÔÓÐÝÒÓÑÐ µ [Ü Ü +1 ] Ü = 0 1 Ò º º½º½ ¹ ½ ÔÐÒµº ô Ü 0 Ü 1 Ü Ò º º½º½ ¹ ½µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò º½º½ ¹ ½µ ÔÐÒ ÔÐÒ Ñ ÒÓØ ÖÔÓÒØ µ (511 1) ½

3 ¾ ËÔÐÒ º ýº x º½º½ ¹ ½ Ü 0 = 10 Ü 1 = 0 Ü 2 = 1 Ü 3 = 25 Ü 4 = 4 Ü 5 = 5 µ ( Ü 0 ) [Ü 0 Ü 1 ) [Ü Ò 1 Ü Ò ) [Ü Ò + ) º½º½ ¹ ¾µ ÔÐÒ Ñ µ ÔÐÒ 1 2 Ñ 1 Rº º½º½ ¹ ½ ÔÐÒ µ ÔÛ ÔÓÐÝÒÓÑе º µ (511 2) º

4 µ ÔÐÒ º Ñ = 3 ÔÐÒ Ù ÔÐÒµº Úµ ÙÖÚØÙÖµ Ý = (Ü) Ý = º½º½ ¹ µ (1+Ý 2 32 ) (Ü (Ü )) = 0 1 Ò (511 3) Ü = 0 1 Ò ÔÐÒ (Ü 0) = (Ü +0) (1) (Ü 0) = (1) (Ü +0) (2) (Ü 0) = (2) (Ü +0) ý 3 º Úµ R º Úµ ý (511 2) ÙÒÓÖѵ ÔÐÒ ÒÓÒ ÙÒÓÖѵ ÔÐÒº º½º½ ¹ ½ ô º º½º½ ¹ ¾µ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3 3Ü 2 Ü Ü [ 11) 2 (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) 3 Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) 3 ÔÐÒº º

5 ËÔÐÒ º ýº x sx º½º½ ¹ ¾ º½º½ ¹ ½ µ 1 1 2º µ (Ü) 3 º (Ü) Ñ = 3º º½º½ ¹ ½ µ (Ü) ÔÐÒ (Ü) 1 Ñ 1 = 2 Rº ô Ü ( 1) (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (1) (Ü) = 3Ü 2 +2 (2) (Ü) = 6Ü Ü [ 11) (Ü) = 3Ü 2 Ü (1) (Ü) = 6Ü 1 (2) (Ü) = 6 ( 1 0) = 2 = ( 1+0) (1) ( 1 0) = 5 = (1) ( 1+0) (2) ( 1 0) = 6 = (2) ( 1+0)

6 º½º½ ¹ ½ µ Ü = 1º ø º½º½ ¹ ½ Ü = 1 2º ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ µº µ ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Úµº ØÖÙÒØ ÔÓÛÖ ÙÒØÓÒµ º½º½ ¹ ¾ Ü Ñ Ü Ñ + º º½º½ ¹ µ Ü Ñ Ü Ñ Ü 0 + = 0 Ü 0 º½º½ ¹ µ º½º½ ¹ (Ü Ü ) Ñ (Ü Ü ) Ñ + º º½º½ ¹ µ (Ü Ü ) Ñ + = (Ü Ü ) Ñ Ü Ü 0 Ü Ü º½º½ ¹ µ x µ x µ º½º½ ¹ µ Ü + Ñ = 1 µ (Ü 1) 2 + Ñ = 2 (511 4) (511 5) ÅÌÀÅÌÁ

7 ËÔÐÒ º ýº Ü Áܼ ¼ ÜÑ Ü ÁÜÜ ¼ Ü¹ÜµÑ º½º½ ¹ ½ (Ü) = (Ü Ü ) Ñ + ÔÐÒ Ñ Ü = Ü (Ñ) (Ü) = Ñ (Ü Ü ) Ñ + Ü Ñ = Ñ!(Ü Ü ) 0 + = Ñ! Ü Ü 0 Ü Ü º½º½ ¹ µ (Ñ) (Ü) Ü ÙÑÔ ÓÒع ÒÙØݵ = Ñ!º ý º º½º½ ¹ ½ ÔÐÒ Ñ Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ + 0 (Ü Ü 0 ) Ñ + + 1(Ü Ü 1 ) Ñ Ò(Ü Ü Ò ) Ñ + = Ñ Ò Ü + (Ü Ü ) Ñ + º½º½ ¹ µ =0 =0 = (Ñ) (Ü +0) (Ñ) (Ü 0) Ñ! = 0 1 Òº º½º½ ¹ µ º½º½ ¹ ½ ø Ü [Ü 0 Ü Ò ] ÔÐÒ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ

8 + 1 (Ü Ü 1 ) Ñ Ò 1(Ü Ü Ò 1 ) Ñ + = Ñ =0 Ò 1 Ü + (Ü Ü ) Ñ + =0 º½º½ ¹ µ = 0 1 Ò (511 8)º ýº Ü [Ü 0 Ü Ò ] (511 7) Ü Ü 0 º½º½ ¹ (Ü Ü 0 ) Ñ + = (Ü Ü 0 ) Ñ Ü Ü Ò (Ü Ü Ò ) Ñ + = 0º (511 7) (Ü) = {}}{ Ü+ + Ñ Ü Ñ + 0 (Ü Ü 0 ) Ñ Ü++ Ñ Ü Ñ + 1 (Ü Ü 1 ) Ñ Ò 1(Ü Ü Ò 1 ) Ñ + º º½º º º½º½ ¹ ¾ ô ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 Ñ = 3º (511 7) (Ü) = Ü 3 +2Ü+1+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) (Ü Ü 2 ) 3 + = Ü 3 +2Ü+1+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 +

9 ËÔÐÒ º ýº (511 8) 0 = (3) (Ü 0 +0) (3) (Ü 0 0) 3! = = 1 1 = (3) (Ü 1 +0) (3) (Ü 1 0) 3! = = 2 2 = (3) (Ü 2 +0) (3) (Ü 2 0) 3! = = 1 (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) (Ü 1)3 + (Ü 2)3 + º½º½ ¹ Ü ( 1) {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) (Ü 1)3 + (Ü 2)3 + Ü [ 11) Ü [12) = Ü 3 +2Ü+1 {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 + 2(Ü 1) 3 + (Ü 2)3 + ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 = 3Ü 2 Ü {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 +2(Ü 1) 3 (Ü 2) 3 + ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 Ü [2+ ) ( ) +2 Ü 3 3Ü 2 +3Ü 1 = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 +2(Ü 1) 3 (Ü 2)

10 ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 ( ) ( ) +2 Ü 3 3Ü 2 +3Ü 1 Ü 3 6Ü 2 +12Ü 8 = Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ ÅÌÀÅÌÁ Ü Ü ¾Ü ½¹Áܹ½ ¼ Ü ½µ ¾ Áܽ ¼ ܹ½µ ¹Áܾ ¼ ܹ¾µ º½º½ ¹ ¾ ÔÐÒ [Ü 0 Ü Ò ]º º½º½ ¹ ½ Ü 0 Ü Ò º º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ º ô Ü 0 Ü 1 Ü Ò [ ] = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = º½º½ ¹ ½¼µ ÔÐÒ [ ] Ñ = Ü 0 = Ü Ò Ü 1 Ü 2 Ü Ò 1 µ [Ü 0 Ü 1 ) [Ü 1 Ü 2 ) [Ü Ò 1 Ü Ò ] º½º½ ¹ ½½µ Ñ µ 1 2 Ñ 1 º

11 ½¼ ËÔÐÒ º ýº sx x º½º½ ¹ º½º½ ¹ (Ü) ÔÐÒ () º½º½ ¹ (511 11) [Ü 0 Ü 1 ] [Ü 1 Ü 2 ] [Ü Ò 1 Ü Ò ] º½º½ ¹ ½¾µ º½º½ ¹ (511 11) º º½º½ ¹ ô º º½º½ ¹ µ (Ü) = 1 4 (Ü+2)3 Ü [ 2 1] 3 ( 3 Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 11] (2 Ü)3 Ü [12] 3 ÔÐÒº (Ü) ØÖÙØÓÒµ ÁÖÛÒ¹ÀÐк

12 ½½ º (Ü) Ü (Ü+2)3 Ü [ 2 1] 3 ( 1 4 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 10] 3 (Ü) = ( 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [01] (2 Ü)3 Ü [12] 3 µ º µ (Ü) 3 º (Ü) Ñ = 3º º½º½ ¹ µ (Ü) ÔÐÒ (Ü) 1 Ñ 1 = 2 º ô Ü [ 2 1] (Ü) = 1 4 (Ü+2)3 (1) (Ü) = 3 4 (Ü+2)2 (2) (Ü) = 6 4 (Ü+2) Ü [ 10] (Ü) = 1 ( 4 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) (1) (Ü) = 1 ( 4 9Ü 2 12Ü ) (2) (Ü) = 1 4 ( 18Ü 12) ( 1 0) = 1 4 = ( 1+0) (1) ( 1 0) = 3 4 = (1) ( 1+0) (2) ( 1 0) = 3 2 = (2) ( 1+0) º½º½ ¹ ½ µ Ü = 1º ø Ü = 0 1 ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ µº

13 ½¾ ËÔÐÒ º ýº µ ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Úµº º½º¾ ÔÐÒ º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ Ñ ÒØÙÖе µ 2Ñ 1 Ñ = 1 2 µ ( Ü 0 ) [Ü Ò + ) Ñ 1º º½º¾ ¹ ½ µ º½º½ ¹ ½ µ ÔÐÒ 2(Ñ 1) {}}{ 1 2 (2Ñ 1) 1 Ü 0 Ü Ò º½º¾ ¹ ½ () Ñ 1 () (Ü 0 ) = () (Ü Ò ) = 0 º½º¾ ¹ ½µ = Ñ Ñ+1 2(Ñ 1)º µ ÔÐÒ 3 = Ñ = 2 Ñ 1 = 2 1 = 1º (512 1) 2(Ñ 1) = 2(2 1) = 2 (2) (Ü 0 ) = (2) (Ü Ò ) = 0 º½º¾ ¹ ¾µ

14 ÔÐÒ ½ ý ÔÐÒ º½º½ ¹ ½º º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ 2Ñ 1 Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ + Ñ 1 Ü Ñ (Ü Ü 0 ) 2Ñ (Ü Ü 1 ) 2Ñ Ò (Ü Ü Ò ) 2Ñ 1 + = Ñ 1 Ò Ü + (Ü Ü ) 2Ñ 1 + º½º¾ ¹ µ =0 =0 = (2Ñ 1) (Ü +0) (2Ñ 1) (Ü 0) (2Ñ 1)! º½º¾ ¹ µ = 0 1 Ò 0 Ü0 + 1 Ü Ò Ü Ò = 0 = 0 1 Ñ 1 º½º¾ ¹ µ (512 5) Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü 2 Ò = 0 º½º¾ ¹ µ º 0 Ü Ñ Ü Ñ Ò ÜÒ Ñ 1 º = 0 º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ Ü 0 Ü 1 Ü Ò

15 ½ ËÔÐÒ º ýº (Ü) = Ü+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) Ò (Ü Ü Ò ) 3 + º½º¾ ¹ µ = (3) (Ü +0) (3) (Ü 0) º½º¾ ¹ µ 3! = 0 1 Ò Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 º½º¾ ¹ µ º½º ¹ ¾º ø º½º½ ¹ ½ º½º º º½º¾ ¹ ½ ô ÔÐÒ º º½º¾ ¹ ½µ 2Ü+1 Ü ( 1) 1 Ü 3 +3Ü 2 +5Ü+2 Ü [ 11) 3 (Ü) = 2Ü 3 +12Ü 2 4Ü+5 Ü [12) 3 20Ü 11 Ü [2+ ) 1 ½ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2º º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒº (512 7) (Ü) = 2Ü+1+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) (Ü Ü 2 ) 3 + = 2Ü+1+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + ½ º½º½ ¹ ½µº

16 ÔÐÒ ½ sx x º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ (512 8) 0 = (3) (Ü 0 +0) (3) (Ü 0 0) 3! = = 1 1 = (3) (Ü 1 +0) (3) (Ü 1 0) 3! = = 3 2 = (3) (Ü 2 +0) (3) (Ü 2 0) 3! = = 2 (Ü) = 2Ü+1+(Ü+1) 3 + 3(Ü 1)3 + +2(Ü 2)3 + (512 8) (2) ( 1) = (2) (2) = 0 (512 9) = = 0 0 ( 1)+ 2 (1)+ 2 (2) = = 0 ÔÐÒ (Ü) ÅÌÀÅÌÁ

17 ½ ËÔÐÒ º ýº Ü ¾Ü ½ Áܹ½ ¼ Ü ½µ ¹ Áܽ ¼ ܹ½µ ¾ Áܾ ¼ ܹ¾µ º½º ÔÐÒ º½º ¹ ½ ÔÐÒ µº ÔÐÒ (Ü) ÔÐÒ ÒØÖÔÓÐØÓÒµ Ë = {(Ü Ý ) = 0 1 Ò} Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ ½µ º½º ¹ ¾º ÔÐÒ (Ü) (Ü) Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü ) = (Ü ) = 0 1 Ò º½º ¹ ¾µ º½º ¹ ½ (513 1) (513 2) º º½º ¹ ½ ô ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ ½ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) ( 1 0) = 2 = Ý 0 (1 0) = 4 = Ý 1 (2 0) = 12 = Ý 2

18 ÔÐÒ ½ sx x º½º ¹ ½ º½º ¹ ½ (Ü) ÔÐÒ º º½º ¹ ½µ (Ü 0 Ý 0 ) = ( 1 2) (Ü 1 Ý 1 ) = (1 4) (Ü 2 Ý 2 ) = (2 12) º½º ¹ ¾ ø ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ 1 4 (Ü+2)3 Ü [ 2 1] (Ü) = 1 ( 4 3 Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 11] 1 4 (2 Ü)3 Ü [12] ( 1 0) = 1 4 = Ý 0 (0 ) = 1 = Ý 1 (1 0) = 1 4 = Ý 2 (Ü) ÔÐÒ º º½º ¹ ¾µ ( (Ü 0 Ý 0 ) = 1 1 ) ( (Ü 1 Ý 1 ) = (01) (Ü 2 Ý 2 ) = 1 1 ) 4 4

19 ½ ËÔÐÒ º ýº sx x º½º ¹ ¾ º½º ¹ ¾ ÔÐÒ º½º ¹ ½ ÔÐÒ µº ÔÐÒ 2Ñ 1 [ ] = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = Ò+½ Ñ º½º ¹ µ (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ µ = Ü 0 = Ü Ò () (Ü 0 ) = Ù () (Ü Ò ) = Û º½º ¹ µ = 1 2 Ñ 1 = Ñ Ñ+1 2(Ñ 1)º

20 ÔÐÒ ½ º½º ¹ ½ (513 5) ÔÐÒ (Ñ = 2) (1) (Ü 0 ) = Ù (1) (Ü Ò ) = Û º½º ¹ µ º½º ¹ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 (513 4) ( 1) = 2 (1) = 4 (2) = 12 º½º ¹ µ (513 5) (1) ( 1) = 5 (1) (2) = 7 º½º ¹ µ º Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 ( ) Ü 2 = 2 Ò = 3 ÔÐÒ 3º 3 = 2 Ñ {}}{ 2 1 Ñ = 2 (513 3) Ò+1 = 3+1 = 4 2 = Ñ ÔÐÒ º ý ¾ º½º½ ¹ ½ 3 Ü 1 (Ü) (Ü) = Ü+ 2 Ü Ü 3 + (Ü 1) 3 + º½º ¹ µ ¾ ø Ü [Ü 0 Ü Ò] ÔÐÒ Ñ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ + 1(Ü Ü 1) Ñ + + +Ò 1(Ü ÜÒ 1)Ñ + Ü 1 Ü 2 Ü Ò 1 º

21 ¾¼ ËÔÐÒ º ýº (513 8) (513 9) º½º½ ¹ (Ü 1) 3 0 Ü 1 + = (Ü 1) 3 Ü 1 {}}{ ( 1) = ( 1)+ 2 ( 1) ( 1) 3 + (Ü 1) 3 + = = 2 {}}{ (1) = (Ü 1) 3 + = = 4 (2) = (2 1) 3 = = = = 4 º½º ¹ ½¼µ = 12 ý (513 9) (1) (Ü) = Ü+3 3 Ü 2 +3 (Ü 1) 2 + (513 8) {}}{ (1) ( 1) = ( 1)+3 3 ( 1) 2 +3(Ü 1) 2 + = = 5 (1) (2) = (2 1) 2 = = 7 0

22 ÔÐÒ ¾½ x 2 sx º½º ¹ º½º ¹ = = 7 º½º ¹ ½½µ (513 10) (513 11) 0 = 0 1 = 1 2 = 3 3 = 0 = 2 ÔÐÒ (Ü) = Ü 3Ü 2 +2(Ü 1) 3 + Ü [ 12] [ 12] 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12] º½º½ ¹ ½º º½º ¹ ½ ÔÐÒ (Ü) Ü [ 23] ÅÌÀÅÌÁº

23 ¾¾ ËÔÐÒ º ýº º½º ¹ ½ ÔÐÒµ ܼ ¹½Ü½ ½Ü¾ ¾ ݼ ¹¾Ý½ ¹Ý¾ ¹½¾ Ü ¼ ½ Ü ¾ ܾ Ü ÁÜ Ü½ ¼ Ü ¹ ܽµ Ý Ü Ü»º Ü ¹ ܼ Þ Ü Ü»º Ü ¹ ܾ ÓÐ ËÓÐÚß Ü¼ ݼ ܽ ݽ ܾ ݾ Ý Þ ¹Ð ß¼ ½ ¾ Ð ½Ü Ü»º ÓÐ ÈÖÒØËÔÐÒ Üµ ½Ü Ø ßßܼ ¼Ð ßܽ ¼Ð ßܾ ¼ÐÐ Ö½ Ä ØÈÐÓØØ ÈÐÓØËØÝÐ ¹ Ê ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º ؽ ßßܼ ݼРßܽ ݽРßܾ ݾÐÐ Ö¾ Ä ØÈÐÓØؽ Ö ËÓÛÈÐÓØ ½Ü ÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÓÛÒ ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º ßÜ Ü¼ ܽРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÐÙ ÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü½ ܾРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÒ Ö ËÓÛÖ½ Ö¾ Ö Ü ÄÐ ¹ ßÜ ÜµÐ ÔÐÒ ÔÐÒ º º½º ¹ ¾º ÔÐÒ R 2Ñ 1 = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = Ò+½ Ñ º½º ¹ ½¾µ Ý Rº (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ ½ µ

24 ÔÐÒ ¾ º½º ¹ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 ( 1) = 1 (1) = 11 (2) = 29 º½º ¹ ½µ º Ò = 3 ÔÐÒ 3 = 2 Ñ {}}{ 2 1 Ñ = 2 Ò+1 = 3+1 = 4 2 = Ñ (513 12) ÔÐÒ º ý º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ (Ü) = Ü+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + º½º ¹ ½µ (513 14) (513 15) {}}{ ( 1) = ( 1)+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + = 0 1 = 1 ÔÐÒ 2Ñ 1 = 3 = Ñ = 2µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ 0(Ü Ü 0) (Ü Ü1) Ò(Ü ÜÒ) Ò 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 = 0

25 ¾ ËÔÐÒ º ýº {}}{ (1) = (1+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + = = 11 {}}{ (2) = (1+2) (2 1) (Ü 2) 3 + = = = = = 29 º½º ¹ ½µ ý (512 6) = 0 0 Ü Ü Ü 2 = = = 0 º½º ¹ ½µ ý (513 16) (513 17) 0 = 1 1 = 2 0 = 1 1 = 3 2 = 2 (513 15) ÔÐÒ Ü R º º½º ¹ µ (Ü) = (Ü) = 1+2 Ü+(Ü+1) 3 + 3(Ü 1)3 + +2(Ü 2)3 + º½º¾ ¹ ½º º½º ¹ ¾ (Ü) Ü [ 23] ÅÌÀÅÌÁº

26 ÔÐÒ ¾ sx x º½º ¹ º½º ¹ º½º ¹ ¾ ÔÐÒµ ܼ ¹½Ü½ ½Ü¾ ¾Ý¼ ¹½Ý½ ½½Ý¾ ¾ Ü ¼ ½ Ü ¼ ÁÜ Ü¼ ¼ Ü ¹ ܼµ ½ ÁÜ Ü½ ¼ Ü ¹ ܽµ ¾ ÁÜ Ü¾ ¼ Ü ¹ ܾµ Ý ¼ ½ ¾ Þ ¼ ܼ ½ ܽ ¾ ܾ ÓÐ ËÓÐÚß Ü¼ ݼ ܽ ݽ ܾ ݾ Ý ¼ Þ ¼Ð ß¼ ½ ¼ ½ ¾Ð ½Ü Ü»º ÓÐ ÈÖÒØËÔÐÒ Üµ ½Ü ÈÐÓØ ½Ü ßÜ ¹¾ Ð Ø ßßܼ ݼРßܽ ݽРßܾ ݾÐÐ Ö½ Ä ØÈÐÓØØ ÈÐÓØËØÝÐ ¹ Ê ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º Ö¾ ËÓÛÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü¼ ܽРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÐÙ ÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü½ ܾРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÒ Ö ËÓÛÖ½ Ö¾ ÈÐÓØÊÒ ¹ ÐÐ Ü ÄÐ ¹ ßÜ ÜµÐ

27 ¾ ËÔÐÒ º ýº ý ½º ý Ü [ 12] ÔÐÒ º½º½ ¹ (511 9)º ¾º (Ü) = (Ü Ü ) Ñ + ÔÐÒ Ñ Ü º º ý 5 ÕÙÒص ÔÐÒº º ÔÐÒ (00) (12) (21) (30) µº ÅÌÀÅÌÁ ÅÌÄ 4 ÔÐÒ º µº º½º ¹ ½ º½º ¹ ¾ ÅÌĺ ÅÌÀ¹ ÅÌÁ ÅÌÄ ÔÐÒ5 º Á = 1 0 Ü2 Ü Á ÔÐÒ 3 4 µ (513 5) µ ÔÐÒ º º

28 ÔÐÒ ¾ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»

29

30 þ ½ º þº ½µ ý ý ý ÁËÆ ß¼ß¾ß¼¾¾ßº ¾ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ º» ÅÌÄ ÁËÆ ß¼ß ßߺ ÐÖ ÂºÀº ÆÐ ÓÒ ºÆº Ò ÏРºĺ ½µ Ì ØÓÖÝ Ó ÔÐÒ Ò ØÖ ÔÔÐØÓÒ Ñ ÈÖ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ß¼ß½¾ß ¼¼ß º ÙÖÒ ÊÖ Äº Ò Ö Âº ÓÙÐ ¾¼¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ø ºµ ÖÓÓ»ÓÐ ÁËÆ ß¼ß ß ¾½ß¾º ÖÐ ÓÓÖ ½µ ÈÖØÐ Ù ØÓ ÔÐÒ ËÔÖÒÖßÎÖÐÒ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ß¼ß ß ß º ÓÒØ Ëº º ÖÐ ÓÓÖ ½½µ ÐÑÒØÖÝ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÐÓÖØÑ ÔÔÖÓ Ö ºµ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ÓÑÔÒÝ ÁËÆ ß¼ß¼ß¼½¾ßº ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ¾

31 ¼ ËÔÐÒ º ýº ½¼ ÖÚÐР̺ƺº ½µ ÌÓÖÝ Ò ÔÔÐØÓÒ Ó ÔÐÒ ÙÒØÓÒ Ñ ÈÖ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ¼ß½¾ß ¼¾¼ß º ½½ ÃÒÐÐ º ØÒ ÓÒ ½µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ¾Ò ºµ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ÁËÆ ¼ß½ß¼¼¾ ß¾º ½¾ ÄÖ Â«ÖÝ Âº ¾¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ËÒØ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÓÒ Ï ÐÝ ÁËÆ ß¼ß¾¼½ß ߺ ½ ËØÞÑÒ Åº ¾¼¼¾µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÅØÑØÐ ÁÒØÖÓÙ¹ ØÓÒ ÐÖÒÓÒ ÈÖ ÇÜÓÖ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¾ß½º ½ ËØÓÖ ÂÓ ÙÐÖ ÊÓÐÒ ¾¼¼¾µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ Òй Ý Ö ºµ ËÔÖÒÖ ÁËÆ ß¼ß ß¾ß º ½ ËÐ º Ò ÅÝÖ º ¾¼¼ µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÁËÆ ß¼ß¾½ß¼¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»

32 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

33 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 11: SPLINES». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2