P = E /c. p γ = E /c. (p) 2 = (p γ ) 2 + (p ) 2-2 p γ p cosθ E γ. (pc) (E γ ) (E ) 2E γ E cosθ E m c Eγ

Transcript

1 Σκέδαση Compton Το φαινόμενο Compton περιγράφει ργρ τη σκέδαση ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ατομικό ηλεκτρόνιο: γ + e γ + e. To φωτόνιο δεν εξαφανίζεται μετά τη σκέδαση αλλά αλλάζει κατεύθυνση και ενέργεια. Το φωτόνιο μεταφέρει μέρος της ενέργειας του στο ηλεκτρόνιο το οποίο μετά τη σκέδαση ονομάζεται «ανακλώμενο ηλεκτρόνιο» (recoil electron). Εισερχόμενο φωτόνιο E Σκεδαζόμενο φωτόνιο E Ανακλώμενο ηλεκτρόνιο KE = E - E = E mc p γ = E /c P = E /c p H ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης είναι: ιατήρηση ορμής και ενέργειας: (p) = (p γ ) + (p ) - p γ p cosθ = + - = 4 ' E γ (pc) (E γ ) (E ) E γ E cosθ E m c Eγ E Επίσης, Τ = E - E = E mc γ 1 mc (1 cos θ ) 1

2 Σκέδαση Compton κινητική ενέργεια, Τ, Τ ανακλώμενου ηλεκτρονίου: ' 1 T Eγ Eγ Eγ 1 Eγ 1 (1cos θ ) Τ=Ε γ -Ε γ πάντα μικρότερη της Ε γ mc Τ Μέγιστη όταν Ε γ =ελάχιστη (θ=180 ο ) Compton Edge T Ελάχιστη όταν Ε γ =μέγιστη (θ=0 ο ) Αν το σκεδαζόμενο φωτόνιο διαφύγει χωρίς απώλεια ενέργειας συνεχές φάσμα ενέργειας (Compton plateau) οι ακτίνες-γ μπορούν να σκεδαστούν περισσότερες φορές εναποθέτουν ενέργεια Αν το σκεδαζόμενο φωτόνιο υποστεί φωτοηλεκτρικό φαινόμενο όλη η ενέργεια εναποτίθεται (full-energy peak). Compton plateau Compton edge E γ E T mc E γ max E 1 γ mc Eγ =0.511 MeV Eγ=1. MeV Compton edge Eγ = MV MeV

3 Σκέδαση Compton Η γωνιακή κατανομή των σκεδαζόμενων φωτονίων σχέση Klein-Nishina. Η διαφορική ενεργός διατομή έχει τη μορφή: d σ 1 1cos θ (1 cos ) 1 a Zr θ e dω 1 a (1cos θ ) (1cos θ )1 a(1 cos θ ) όπου α E / mc & r κλασική ακτίνα ηλεκτρονίου γ e ιάγραμμα σε πολικές συντεταγμένες του αριθμού των φωτονίων σκεδάζονται σε γωνία θ. Φαίνονται οι ισο-ενεργειακές γραμμές ως συνάρτηση της αρχικής ενέργειας των εισερχομένων φωτονίων. Για μεγάλες ενέργειες φωτονίου παρατηρούμε ότι σκεδάζονται προς τα μπρος. 3

4 Σκέδαση Compton ολική ενεργός διατομή - συντελεστής απορρόφησης Compton NA NA Α NA σ ρ Zf E ρ f E ρ f E A A διότι A Z μέχρι A.6 Z (εκτός του υδρογόνου) γ γ γ η πιθανότητα να συμβεί το Compton είναι ανεξάρτητη του ατομικού αριθμού του υλικού. E γ Z 4

5 Παράδειγμα Να υπολογιστεί η ενέργεια ενός φωτονίου ου αρχικής ενέργειας Ε γ = 1 MeV το οποίο σκεδάζεται μέσω Compton σε γωνία 90 ο. mc =0.511 MeV για ηλεκτρόνιο, σε γωνία cosθ=0 E ' γ Eγ 1 MeV E 1 (1 / 0.511) γ 1 (1cos θ ) mc MeV Εισερχόμενο φωτόνιο E KE = E - E = E mc Σκεδαζόμενο φωτόνιο E 5

6 Σκέδαση Thomson & Rayleigh Η επίδραση του ηλεκτρομαγνητικού η πεδίου της ακτινοβολίας-γ επάνω στο ηλεκτρόνιο έχει ως αποτέλεσμα την ταλάντωση του ηλεκτρόνιου για χαμηλές ενέργειες του φωτονίου. εισερχόμενο φωτόνιο Ε i Ένταση προσπίπτοντος ΗΜ πεδίου Ε i Ένταση σκεδαζόμενου ΗΜ πεδίου Ε j σκεδαζόμενο φωτόνιο Η ενεργειακή ροή στη μονάδα του χρόνου δίνεται από το άνυσμα Pointing W=ExH <W>=<E >ε ο c. Η σκεδασθείσα ενέργεια σε χρόνο dt μέσα από επιφάνεια ds σε απόσταση r από το ηλεκτρόνιο δίνεται: E ε cdsdt E ε cr d dt Εj j o j o Ω Θεωρώντας ένα ηλεκτρόνιο τότε η ίδια ενέργεια ισοδυναμεί με την εισερχόμενη επί την διαφορική ενεργό διατομή που σκεδάζεται στη γωνία dω: E j Ei εocdσdt dσ rdω E ι 6

7 Σκέδαση Thomson & Rayleigh άτομα με πολλά e Σκέδαση Thomson σκέδαση Rayleigh φωτόνια πάνω σε ελεύθερα ηλεκτρόνια χωρίς αλλαγή του μήκους κύματος. σ Τ 8ππ r 3 e Σκέδαση Rayleigh θεμελιώδης στην περίθλαση ακτινών-χ από κρυστάλλους. Και στις δυο σκεδάσεις δεν μεταφέρεται ενέργεια στο υλικό. Τα άτομα του υλικού δεν διεγείρονται, δεν ιονίζονται. Αλλάζει μόνο η διεύθυνση του φωτονίου. Για πολύ μεγάλες ενέργειες Χ & ακτινών-γ οι Thomson, Rayleigh είναι αμελητέες. Η σκέδαση Compton θεωρείται ως ΑΣΥΜΦΩΝΗ διαδικασία σκέδασης, όπου όλα τα ατομικά ηλεκτρόνια δρουν ανεξάρτητα. η ατομική ενεργός διατομή Compton είναι ίση με Ζ φορές την Klein-Nishina ενεργό διατομή. 7

8 ίδυμη Γένεση Μετατροπή ενός φωτονίου σ ένα ζεύγος e + e -. To φαινόμενο συμβαίνει μόνο στην περιοχή ενός πυρήνα ή e. Χρειάζεται το πεδίο Coulomb του πυρήνα και απαιτείται μια ελάχιστη ενέργεια : mc e Eγ mc e αλλ ά mnucleus me Eγ mc e m nucleus Επίσης μπορούμε να έχουμε δίδυμη γένεση και στην περιοχή του πεδίου Coulomb ενός ηλεκτρονίου με ενέργεια κατωφλίου: E γ 4 mc (γ+e e +e +e ) e (γ+nucleus ' + - nucleus +e +e) 8

9 ίδυμη Γένεση E = 511 kev Positron e + E = 511 kev Εισερχόμενο φωτόνιο E Electron e - KE(ζεύγους) = E -mc - Απώλεια ενέργειας στο υλικό Το ποζιτρόνιο χάνει την ενέργεια του και έλκει ένα ηλεκτρόνιο και εξαϋλώνεται σε δυο φωτόνια που το καθένα έχει ενέργεια ΜeV H μέση ελεύθερη διαδρομή δ (mean free path) ενός φωτονίου για τη δημιουργία ενός ζεύγους e + -e - σχετίζεται με το «μήκος ακτινοβολίας» (radiation length) X o ηλεκτρονίων: λ ζεύγους 9 Xo 7 9

10 ίδυμη Γένεση H πιθανότητα να συμβεί η δίδυμη γένεση, ονομάζεται συντελεστής παραγωγής ζεύγους (pair production coefficient) είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της ενέργειας Ε γ, και του ατομικού αριθμού Ζ. Μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 1 κ ( m ) NZ f ( E γ,ζ) κ είναι η πιθανότητα να συμβεί η παραγωγή ζεύγους ανά μονάδα μήκους και f() μια συνάρτηση που μεταβάλλεται με την ενέργεια του φωτονίου και πολύ λίγο με τον ατομικό αριθμό. κ αυξάνει με (ατομικό αριθμό, ενέργεια) και έχει κατώφλι 1.0 MeV. Από τους 3 συντελεστές είναι ο μόνος που αυξάνει με την ενέργεια. f 1.0 ΜeV E Z 10

11 Εξαΰλωση Ποζιτρονίου τα ποζιτρόνια όταν διαπερνούν την ύλη εξαϋλώνονται με τα ηλεκτρόνια και δημιουργούν φωτόνια: e e γ γ Σε μεγάλες ενέργειες, το ποζιτρόνιο θα χάσει την ενέργεια του μέσω ιονισμού και ακτινοβολίας πέδησης μέχρι να αποκτήσει χαμηλή ενέργεια ώστε να εξαϋλωθεί. e + και e - μπορούν να δημιουργήσουν μια προσωρινή δέσμια κατάσταση (positronium), παρόμοια αυτής του ατόμου του υδρογόνου. Ενεργειακά επίπεδα positronium E e e 13.6 ev n Ενεργειακά επίπεδα ατόμου Η E p e 13.6 ev n 11

12 Αλληλεπίδραση φωτονίων Ενεργός διατομή για την αλληλεπίδραση λ φωτονίων ως συνάρτηση της ενέργειας για C & Pb με τις επιμέρους συνεισφορές των διαφορετικών διαδικασιών. s pe = Atomic photo-effect (electron ejection, photon absorption) s Rayleigh = Coherent scattering (Rayleigh scattering-atom neither ionised nor excited) s Compton = Incoherent scattering (Compton scattering off an electron) k n = Pair production, nuclear field k e = Pair production, electron field 1

13 Αλληλεπίδραση φωτονίων Η ολική πιθανότητα αλλ/σης μ ανά μονάδα μήκους καλείται και γραμμικός συντελεστής απορρόφησης (linear attenuation coefficient) ισούται με το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων ή ενεργών διατομών για τα αντίστοιχα 3 φαινόμενα: μ (cm - 1 )=τ τ + σ + κ Ο συντελεστής σε cm /g θα έχουμε τον μαζικό συντελεστή εξασθένησης: μ (cm /g)= μ (cm - 1 )/ρ (g/cm 3 ) 13

14 Παράδειγμα Για μια ακτίνα γ ενέργειας 140 kev, o μαζικός συντελεστής εξασθένησης για το Η είναι μ Η =0.6 cm /g και για το Ο είναι μ Ο =0.14 cm /g. Ποια είναι η μέση ελεύθερη διαδρομή του αυτού του φωτονίου στο νερό; w H =/18 και w O =16/18 16 cm cm μ w μ c i i i g g 1 1 λ 6.5 cm μρ

15 Παράδειγμα Να υπολογιστεί το πάχος ενός φύλλου μολύβδου ( 08 Pb) που εξασθενεί μια δέσμη φωτονίων ενέργειας 66 kev που προέρχεται από μια ραδιενεργό πηγή 137 Cs κατά ένα παράγοντα 10. Η πυκνότητα του Pb είναι ρ=11.3 g/cm Από το διάγραμμα: η ολική ενεργός διατομή της αλλ/σης στο Pb σ=40b/atom ο γραμμικός συντελεστής εξασθένησης θα είναι: 3 N A cm 1 μ Nρσ ρσ A 08 Ο αριθμός των φωτονίων που επιβιώνουν σε απόσταση x: μx 1 I ln o I Ioe x μ I 1 x ln cm

16 Παράδειγμα Ένα πάχος mm ενός φύλλου μολύβδου ( 08 Pb) πυκνότητας ρ=11.3 ρ g/cm 3 εξασθενεί μια δέσμη φωτονίων κατά ένα παράγοντα 8.4. Να υπολογιστεί η ενέργεια των φωτονίων. N A ρσx I μx A A o I Ioe I Ioe σ ln xna ρ I 08 σ ln(8.4) 3.6 b/atom