Μέθοδοι Aποκατάστασης Φάσης στη Συμβολομετρία. Εφαρμογή και Αξιολόγηση Δύο Μεθόδων

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-57 Μέθοδοι Aποκατάστασης Φάσης στη Συμβολομετρία. Εφαρμογή και Αξιολόγηση Δύο Μεθόδων Α. ΠΛΑΤΑΚΟΣ Χ. ΠΑΡΑΣΧΟΥ Β. ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗ Αγρονόμος Αγρονόμος Λέκτορας Ε.Μ.Π. Τοπογράφος Μηχ. Ε.Μ.Π. Τοπογράφος Μηχ. Ε.Μ.Π. Περίληψη Η αποκατάσταση φάσης αποτελεί το πιο σημαντικό στάδιο της συμβολομετρικής διαδικασίας. Με αυτήν εκτιμώνται οι ακέραιοι κύκλοι φάσης έτσι, ώστε η τιμή της φάσης των ραντάρ απεικονίσεων να μην περιορίζονται στο διάστημα [0,π). Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται συνοπτικά οι μέθοδοι αποκατάστασης φάσης, ενώ αναλύονται και εφαρμόζονται σε ελληνικό ορεινό χώρο δύο από τις πιο γνωστές μεθόδους: ο συνδυασμός των μεθόδων τοπικής ανάπτυξης και ελαχίστων τετραγώνων με χρήση βαρών και η μέθοδος αποκατάστασης της συμβολομετρικής φάσης βασισμένη σε προγραμματισμό δικτύου. Η πρώτη μέθοδος έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσματα προσεγγίζοντας τις πραγματικές τιμές υψομέτρου με σφάλμα +/-50 μέτρων για ποσοστό 43,18% της επιφάνειας μελέτης, ενώ η δεύτερη προσέγγισε τις πραγματικές τιμές του υψομέτρου με σφάλμα +/- 50 μέτρων για ποσοστό 35,0% της επιφάνειας μελέτης. 1. Εισαγωγή Η διαδικασία αποκατάστασης της φάσης ενός διαγράμματος κροσσών συμβολής είναι ένα από τα πιο δύσκολα και απαιτητικά βήματα της συμβολομετρικής διαδικασίας, η οποία μάλιστα δεν είναι βέβαιο ότι θα εκτελεστεί με επιτυχία. Την αβεβαιότητα αυτή δημιουργούν η μικρή συνάφεια των δύο SAR απεικονίσεων, οι οποίες απαιτούνται για την υλοποίηση της συμβολομετρικής διαδικασίας, και οι επιπτώσεις του αναγλύφου στη γεωμετρία της λήψης (σκιά, σμίκρυνση, πτύχωση) και επομένως στις καταγραφόμενες τιμές οπισθοσκέδασης των SAR απεικονίσεων. Ιδιαίτερα σε περιοχές με έντονο ανάγλυφο (ορεινές περιοχές), οι γεωμετρικές παραμορφώσεις καθιστούν τη συμβολομετρική διαδικασία πολύ δύσκολη για την παραγωγή Ψηφιακού Μοντέλου Εδάφους (ΨΜΕ). Όπως είναι γνωστό, υπάρχει αναλογία μεταξύ των μεταβολών του υψομέτρου δύο σημείων της γήινης επιφάνειας, τα οποία τυχαίνει να παρουσιάζουν την ίδια μεταβολή στην τιμή της φάσης λόγω οπισθοσκέδασης και της διαφοράς της μετρημένης φάσης από το ραντάρ δέκτη για τα σημεία αυτά αντίστοιχα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η διαφορά της μετρημένης φάσης εκφράζει τη διαφορά των αποστάσεων μεταξύ του δέκτη και του κάθε σημείου αντίστοιχα. Τα δεδομένα των Single Look Complex (SLC) SAR απεικονίσεων περιέχουν σε επίπεδο εικονοστοιχείου την τιμή της φάσης, η οποία όμως λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0,π): όταν η Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: τιμή της φάσης φτάσει την τιμή π, επιστρέφει πάλι στο 0, χωρίς να υπάρχει ένδειξη για τον αριθμό των κύκλων που προηγούνται και επομένως πληροφορία για τη συνολική απόσταση στόχου - δέκτη. Η συμβολομετρική φάση, επειδή ακριβώς προέρχεται από αφαίρεση των τιμών της φάσης δύο SLC SAR απεικονίσεων σε επίπεδο εικονοστοιχείου έτσι, ώστε να εξασφαλίζεται η μη συμμετοχή της οπισθοσκέδασης του κάθε στόχου στην τιμή της φάσης, έχει την ίδια ακριβώς ιδιότητα: οι τιμές της αναφέρονται στο διάστημα [0, π), χωρίς δηλαδή να υπάρχει πληροφορία για τους ακέραιους κύκλους που προηγούνται. Επομένως οι καμπύλες, που συνθέτουν ένα διάγραμμα κροσσών συμβολής, έχουν τιμές π, 0, π και ονομάζονται ισοφασικές καμπύλες. Σκοπός της διαδικασίας της αποκατάστασης φάσης (phase unwrapping) είναι η ανάκτηση της πληροφορίας των n ακέραιων κύκλων έτσι, ώστε η τιμή φάσης να μην είναι πια περιορισμένη στο όριο [0,π) και να μπορεί να έχει τις πραγματικές της τιμές πέρα από το διάστημα αυτό [1]. Η σχέση (1.1) παρουσιάζει την αποκαταστημένη φάση (πέρα των τιμών 0, π) και την αρχική τιμή φάσης του διαγράμματος των κροσσών συμβολής (τυλιγμένη στο [0,π)): φ = Δ ψ + nπ (1.1) όπου ψ η αρχική τιμή φάσης και φ η αποκαταστημένη τιμή φάσης. Η επεξεργασία της αποκατάστασης φάσης ψάχνει να βρει μια εκτίμηση της πραγματικής φάσης με δεδομένη τη φάση του διαγράμματος κροσσών συμβολής και κάποιων υποθέσεων. Η βασική υπόθεση των περισσότερων αλγορίθμων είναι ότι η διαφορά της αποκαταστημένης φάσης μεταξύ δύο γειτονικών εικονοστοιχείων δεν είναι μεγαλύτερη του μισού κύκλου. φ ν - φ <π (1.) ν-1 Άρα π< φ ν -φ ν-1 <0 σημαίνει μείωση της φάσης 0< φ ν -φ ν-1 <π σημαίνει αύξηση της φάσης (1.3) Έτσι η διαδικασία της αποκατάστασης φάσης απαιτεί την ολοκλήρωση των διαφορών της φάσης, έχοντας υπόψη τους περιορισμούς των μεταβολών της (σχέσεις 1., 1.3). Αυτό, όμως, οδηγεί και σε λανθασμένη απόδοση της αποκαταστημένης φάσης σε σημεία που παρατηρείται άλμα μεγαλύτερο του π. Έστω ότι σε δύο γειτονικά σημεία η απο-

2 58 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- καταστημένη φάση παίρνει τιμές π/3 και 7π/3 αντίστοιχα. Το αποτέλεσμα της σχέσης (1.) θα δώσει στο δεύτερο σημείο την τιμή 4π/3 = π/3 + π. Στο σημείο δηλαδή αυτό θα γίνει υποεκτίμηση της πραγματικής τιμής φάσης κατά μισό κύκλο. Η αποκατάσταση φάσης σήματος μιας διάστασης με την εφαρμογή της σχέσης (1.) θα δίνει μοναδική λύση, η οποία όμως θα είναι λανθασμένη στα διαδοχικά σημεία, στα οποία παρατηρούνται άλματα μεγαλύτερα του π. Στην περίπτωση σήματος δύο διαστάσεων (-D Dimensio ο περιορισμός για τα άλματα φάσης γίνεται [1]: φ(m+1,-φ( <π και φ(n+1)-φ( <π (1.4) Οπότε: ( Όπου (1.5) W { ( m 1, ( ( W { ( n 1) ( (1.6) όπου W() ο τελεστής που τυλίγει τη φάση φ στα όρια[-π,π) με αποτέλεσμα τη μη αποκαταστημένη φάση ψ. Αν η υπόθεση (1.5) ήταν σωστή, η αποκαταστημένη φάση φ θα μπορούσε να βρεθεί με ολοκλήρωση των διαφορών της φάσης (σχέση 1.6) κατά μήκος οποιουδήποτε δρόμου ολοκλήρωσης. Στην πραγματικότητα η υπόθεση δεν ισχύει στα σημεία με άλματα φάσης μεγαλύτερα του π, όπως για παράδειγμα σε σημεία των απεικονίσεων που παρουσιάζονται γεωμετρικές παραμορφώσεις λόγω έντονου αναγλύφου, με αποτέλεσμα οι δύο όροι της σχέσης 1.5 να είναι διάφοροι μεταξύ τους στα σημεία αυτά και να υπάρχει περιορισμός στην επιλογή του δρόμου ολοκλήρωσης. Ειδικότερα για τα σημεία αυτά, ενώ η ολοκλήρωση των διαφορών της φάσης κατά μήκος της ελάχιστης κυκλικής διαδρομής (τέσσερα εικονοστοιχεία σε ένα τετράγωνο) θα έπρεπε να είναι μηδέν, αυτή δεν είναι παρουσιάζοντας ένα υπόλειμμα, δηλαδή ένα σφάλμα. Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης, επομένως, εξαρτάται από την επιλογή της διαδρομής στα κρίσιμα σημεία. Τυχαίες διαδρομές ολοκλήρωσης των διαφορών φάσης μπορεί να οδηγήσουν σε λάθος αποκατάσταση και διάδοση σφαλμάτων στο πεδίο μελέτης.. ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΤΗ ΣΥΜΒΟΛΟΜΕΤΡΙΑ Με γνωστές τις ιδιαιτερότητες και τα προβλήματα αποκατάστασης της φάσης (Phase Unwrapping, PU), η επιστημονική κοινότητα ανέπτυξε μεθόδους διαφορετικής προσέγγισης του θέματος, επιδιώκοντας τη βέλτιστη επίλυσή του. Αποσκοπώντας σε μια κατηγοριοποίησή τους, οι μέθοδοι, που αναπτύχθηκαν, μπορούν να διακριθούν σε: Μεθόδους Ολοκλήρωσης (Local PU). Γενικευμένες Μεθόδους (Global PU). Συνδυαστικές Μεθόδους (Fusio. Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης περιλαμβάνουν εκείνες τις μεθόδους, οι οποίες βασίζονται στην ολοκλήρωση των διαφορών της φάσης και μπορούν να χωριστούν σε δύο υποκατηγορίες: Μέθοδοι Ένωσης Υπολειμμάτων (Residue Tying Methods), και Μέθοδοι Τοπικής Ανάπτυξης (Region Growing (RG) Methods). Οι Μέθοδοι Ένωσης Υπολειμμάτων εντοπίζουν από τη θέση των υπολειμμάτων τα κρίσιμα σημεία αλμάτων φάσης που αναφέρθηκαν παραπάνω, με σκοπό να τα αποκλείσουν από τη διαδικασία αποκατάστασης της φάσης. Οι μέθοδοι αυτές αποτελούν τις πρώτες προσπάθειες εύρεσης λύσης στην αποκατάσταση της φάσης [], [3]. Οι Μέθοδοι Τοπικής Ανάπτυξης (Region Growing (RG)) προσομοιάζουν την ανθρώπινη σκέψη, ξεκινώντας την αποκατάσταση φάσης από τις εύκολες περιοχές, αφήνοντας τις δύσκολες για το τέλος. Χρειάζονται πληροφορίες για την ποιότητα του διαγράμματος των κροσσών συμβολής, οι οποίες δίνονται από την εικόνα συνάφειας των δύο SAR απεικονίσεων. Η μέθοδος αυτή έχει επιτύχει καλύτερες επιδόσεις σε σχέση με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών (Weighted LMS (WLMS)) και την κλασική Μέθοδο Ένωσης Υπολειμμάτων, όταν εφαρμόστηκε σε πραγματικά SAR δεδομένα περιοχής με έντονη τοπογραφία. Η αρχική πρόταση της Μεθόδου Τοπικής Ανάπτυξης (Region Growing (RG)) ανήκει στους Xu and Cumming [4]. Η αποκατάσταση φάσης στις γενικευμένες μεθόδους γίνεται ολικά, με την προτεινόμενη-βέλτιστη λύση να ακολουθεί την έννοια ελαχιστοποίησης του σφάλματος σύμφωνα με κάποια κριτήρια. Θα μπορούσε να πει κάποιος ότι οι γενικευμένες μέθοδοι είναι αντίθετες από τις μεθόδους ολοκλήρωσης. Η κύρια μέθοδος αυτής της κατηγορίας είναι αυτή των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Mean Square, LMS) [5]. O αλγόριθμος βρίσκει την τιμή της αποκαταστημένης φάσης με τελεστή (gradient) που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στον τελεστή της «τυλιγμένης» φάσης σύμφωνα με τη θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων. Ο αλγόριθμος δεν υποστηρίζει ασυνέχειες, γι αυτό και δεν τις υπολογίζει στην επίλυση, με αποτέλεσμα η λύση που προσφέρει να είναι εξομαλυσμένη. Άλλες εκδόσεις του αλγορίθμου αυτού είναι η LMS με χρήση βαρών (Weighted LMS) και η ισοζυγισμένη της έκδοση (Balanced LMS). Η πρώτη χρησιμοποιεί βάρη στις τιμές φάσης, τα οποία προκύπτουν από την εικόνα ποιότητας, ενώ η δεύτερη δίνει διαφορετικά βάρη στις δύο διαστάσεις της απεικόνισης σύμφωνα με την αναλογία αζιμούθιο / πλάγια απόσταση (azimuth/range). Άλλη μέθοδος αυτής της κατηγορίας είναι η μέθοδος, η οποία στηρίζεται στα φίλτρα Kalman. Η μέθοδος υπολογίζει στην αρχή τις μεταβολές της τοπικής κλίσης στο διάγραμμα των κροσσών συμβολής και στη συνέχεια με τη χρήση φίλτρου Kalman -διαστάσεων υπολογίζει την αποκαταστημένη φάση. Ο αλγόριθμος έχει αποδείξει ότι δεν μεταφέρει σφάλματα στην περιοχή μελέτης, ακόμα και σε ζευγάρια SAR απεικονίσεων με τιμή συνάφειας μικρότερη της τιμής

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No , ενώ μπορεί να διασχίσει επιτυχώς περιοχές του διαγράμματος κροσσών συμβολής με συνάφεια κοντά στο 0 [6]. Μια άλλη γενική προσέγγιση στο πρόβλημα της αποκατάστασης της φάσης δίνεται στη μέθοδο «Green formulation» [7], η οποία είναι κάτι ανάλογο της Μεθόδου των Ελάχιστων Τετραγώνων (LMS). Η Μέθοδος των Αυτόματων Κυττάρων (Cellular- Αutomata) είναι μια μέθοδος, η οποία συνδυάζει τοπικά και γενικευμένα χαρακτηριστικά. Στο τοπικό στάδιο γίνεται αποκατάσταση κάθε εικονοστοιχείου σε σχέση με τους τέσσερις εγγύτερους γειτόνους. Το τοπικό στάδιο είναι επαναλαμβανόμενο δημιουργώντας σε κάθε στάδιο ένα χάρτη αποκαταστημένης φάσης. Ακολουθεί το γενικευμένο στάδιο, στο οποίο υπολογίζεται ο μέσος όρος των δύο τελευταίων τοπικών σταδίων και αποφασίζεται η επανάληψη της τοπικής διαδικασίας, εάν δεν έχει αποκατασταθεί ολόκληρη η περιοχή μελέτης σε δεδομένο ολικό στάδιο. Ο αλγόριθμος είναι ανεξάρτητος της διαδρομής ολοκλήρωσης και έχει δώσει πολύ καλά αποτελέσματα με μοναδικό μειονέκτημα την υπολογιστική ισχύ και τον χρόνο που απαιτεί [8]. Μια άλλη προσέγγιση του προβλήματος, η οποία δεν μπορεί να ενταχθεί σε καμία από τις παραπάνω κατηγορίες, είναι οι συνδυαστικές μέθοδοι. Οι συνδυαστικές μέθοδοι έχουν σκοπό να εκμεταλλεύονται τα πλεονεκτήματα κάποιων μεθόδων αποκατάστασης φάσης σε δεδομένες περιπτώσεις. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η αποκατάσταση φάσης σε υποπεριοχές του διαγράμματος των κροσσών συμβολής, όπου σε κάθε μία εφαρμόζεται η πλέον κατάλληλη μέθοδος, σε σχέση με τα χαρακτηριστικά της υποπεριοχής. H Μέθοδος της Αποκατάστασης Φάσης σε υποπεριοχές έχει επιδείξει καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με τη Μέθοδο των Αυτόματων Κυττάρων [9]. Η πιο πρόσφατη μέθοδος αποκατάστασης φάσης στηρίζεται στη χρήση μορφολογικών λειτουργιών και ανήκει στην κατηγορία των τοπικών μεθόδων. Η μέθοδος περιλαμβάνει τρία στάδια. Στο πρώτο στάδιο γίνεται εντοπισμός των περιοχών που περιέχουν υπολείμματα με χρήση των μορφολογικών λειτουργιών ανοίγματος και κλεισίματος. Στη συνέχεια, γίνεται εντοπισμός των υψηλών τιμών των κροσσών με χρήση της μορφολογικής διάβρωσης. Στο ίδιο στάδιο γίνεται ένωση των κενών που παρουσιάζονται στους κροσσούς συμβολής λόγω των υπολειμμάτων με μεθόδους κατάτμησης. Στο τρίτο και τελευταίο στάδιο γίνεται αποκατάσταση της φάσης με βάση τους διορθωμένους κροσσούς συμβολής του δεύτερου σταδίου. Με δεδομένα προσομοίωσης η μέθοδος έχει επιδείξει πολύ καλά αποτελέσματα και μικρό χρόνο υπολογισμών, αλλά δεν έχει δοκιμαστεί ακόμα σε πραγματικά συμβολομετρικά δεδομένα [10]. Γενικά, από τη διεθνή βιβλιογραφία παρατηρείται ότι όλες οι μέθοδοι, που έχουν αναπτυχθεί, έχουν αξιολογηθεί οπτικά στη συγκεκριμένη περιοχή πρώτης εφαρμογής τους και αποφεύγοται η παρουσίαση ακριβειών στον υπολογισμό των υψομέτρων. Στη μελέτη αυτή γίνονται εφαρμογή, αξιολόγηση, εκτίμηση της ακρίβειας και αξιολόγηση του συνδυασμού της Μεθόδου Τοπικής Ανάπτυξης με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών και της μεθόδου που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου, σε περιοχές έντονου αναγλύφου και ειδικότερα στο νομό Αττικής και στην περιοχή της Χαλανδρίτσας, αντίστοιχα. Στο κεφάλαιο 3 επιχειρείται αναλυτικότερη περιγραφή των Μεθόδων Τοπικής Ανάπτυξης, Ελαχίστων Τετραγώνων και Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών, στις οποίες βασίζεται η συνδυαστική μέθοδος που εφαρμόζεται στην εργασία αυτή, καθώς και της μεθόδου που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου. Στο κεφάλαιο 4 παρατίθενται η εφαρμογή και η αξιολόγηση της Μεθόδου Συνδυασμού Τοπικής Ανάπτυξης και Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών και της μεθόδου που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου. Τέλος, στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της παρούσας μελέτης. 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΦΑΣΗΣ 3.1 Μέθοδος Τοπικής Ανάπτυξης H τοπική ανάπτυξη είναι περισσότερο μια φιλοσοφία παρά αυστηρά μαθηματικά, όπως για παράδειγμα οι Μέθοδοι Ελαχίστων Τετραγώνων που παρουσιάζονται παρακάτω. Με βάση την αρχική ιδέα, ο κάθε ερευνητής μπορεί να αποδώσει τη δική του εκδοχή στο ίδιο θέμα, τη δημιουργία ενός αλγορίθμου που αντιδρά ανθρώπινα. Ένα σύνολο κριτηρίων, που εκφράζουν την ανθρώπινη αντίδραση, είναι αυτό που παρουσίασε ο D. Carrasco [1], και τα οποία θα παρουσιάσουμε στην παράγραφο αυτή. Η Τοπική Μέθοδος Ολοκλήρωσης ξεκινάει από τις εύκολες περιοχές, όπου η αποκατάσταση είναι πιο πιθανό να είναι επιτυχής, και μετά αποκαθιστά βήμα-βήμα τις πιο δύσκολες περιοχές. Ο αλγόριθμος επιχειρεί ριψοκίνδυνες αποφάσεις μόνο στα τελευταία στάδια της αποκατάστασης, οπότε και οι περιοχές αυτές είναι αρκετά απομονωμένες έτσι, ώστε τα σφάλματα να μην διαδοθούν σε όλη την εικόνα. Η επιτυχία του αλγορίθμου εξαρτάται από την απεικόνιση ποιότητας της συμβολομετρικής φάσης που καλείται να έχει ο χειριστής, από τον οποίο ορίζονται σε κάθε βήμα τα καταλληλότερα μονοπάτια ολοκλήρωσης. Η απεικόνιση ποιότητας θα μπορούσε στα αρχικά στάδια του αλγορίθμου να προκύψει από την πληροφορία της απεικόνισης συνάφειας. Όπως είναι γνωστό, η συνάφεια εκφράζει την ποιότητα της συμβολομετρικής φάσης και δίνεται από τη σχέση: * E[ P P 1 ] E[ P ] E[ P ] 1 (3.7) όπου P 1 είναι εικονοστοιχείο της πρώτης SAR απεικόνισης, P το αντίστοιχο εικονοστοιχείο στη δεύτερη απεικόνιση και το Ε καθορίζει τον χωρικό μέσο όρο. Στη μέθοδο αυτή: Η διαδικασία της αποκατάστασης φάσης γίνεται ανεξάρτητα από μια συλλογή γόνων (seeds). Οι γόνοι τοποθετούνται σε σημεία μεγάλης συσχέτισης και η διαδικασία

4 60 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- ξεκινάει ταυτόχρονα σε κάθε ένα από αυτά και εκτελείται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα. Κάθε γόνος αναπτύσσεται σε μια περιοχή (regio. Σε κάθε εικονοστοιχείο γίνεται αποκατάσταση φάσης από γειτονικά εικονοστοιχεία, των οποίων η φάση είναι ήδη αποκατεστημένη, με τη χρήση όσων περισσοτέρων είναι εφικτό. Πριν επιχειρηθεί αποκατάσταση φάσης ενός εικονοστοιχείου, το εικονοστοιχείο αυτό θα πρέπει να περάσει επιτυχώς από κάποιους ελέγχους ποιότητας, όπως η τιμή συνάφειας, η μεταβλητότητα φάσης κ.λπ. Το κατώφλι, που περιγράφει τον έλεγχο ποιότητας, μειώνεται σταδιακά μετά το πέρας κάθε κύκλου επανάληψης, με σκοπό να ξετυλίγονται περισσότερο δύσκολες περιοχές μετά την αποκατάσταση των εύκολων. Όταν δύο αναπτυγμένες περιοχές, προερχόμενες από διαφορετικά seeds, «συγκρουσθούν», ενώνονται σε μια περιοχή, με την προϋπόθεση ότι το κοινό τους όριο έχει περάσει από έλεγχο ποιότητας. Τα εικονοστοιχεία ονομάζονται και χαρακτηρίζονται ανάλογα με την ιδιότητά τους: Free point (F): Είναι η αρχική κατάσταση όλων των σημείων στην αρχή της διαδικασίας. Unwrapped point (U): Είναι το σημείο, του οποίου η φάση έχει αποκατασταθεί. Αφού γίνει αυτό, δεν επιδέχεται άλλες αλλαγές: Δεν υπάρχει δρόμος επιστροφής. Growing point (G): Είναι σημείο γειτονικό σε σημείο/α με αποκαταστημένη φάση, το οποίο είναι έτοιμο να δεχθεί αποκατάσταση φάσης. Bad point (B): Είναι σημείο που απέτυχε στο τεστ ποιότητας. Έχει επόμενες ευκαιρίες να δεχθεί αποκατάσταση φάσης, όταν μειωθούν τα κατώφλια που περιγράφουν τον έλεγχο ποιότητας. Ο αλγόριθμος είναι κυκλικός. Ξεκινάει την αποκατάσταση φάσης όλων των σημείων με μεγάλη συνάφεια, έως ότου το αρχικό σύνολο των περιοχών να μην μπορεί να μεγαλώσει άλλο. Γίνεται έλεγχος για την ένωση των περιοχών που έχουν αποκτήσει κοινό όριο. Για να μπορεί να συνεχιστεί η διαδικασία, οι τιμές των κατωφλιών του ελέγχου ποιότητας μειώνονται. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Ο αλγόριθμος αποτελείται από τέσσερις επαναληπτικές βασικές λειτουργίες: σπορά (seeding), ανάπτυξη (growing), σύνδεση (tying) και μείωση κατωφλιών του ελέγχου ποιότητας. Βασικό πλεονέκτημα του αλγορίθμου είναι ότι δεν μεταδίδει σφάλματα στην περιοχή μελέτης, ακόμα και σε ζευγάρια απεικονίσεων με μικρή συνάφεια, έχοντας το χαρακτηριστικό να επιχειρεί ριψοκίνδυνες αποφάσεις μόνο στα τελευταία στάδια της διαδικασίας. Το βασικό μειονέκτημα του αλγορίθμου είναι ότι προσπαθεί να εισχωρήσει σε περιοχές μικρής συνάφειας στα τελευταία βήματα. Δέχεται έτσι στη διαδικασία επεξεργασίας δεδομένα κακής ποιότητας. 3. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Η μέθοδος αναπτύχθηκε αρχικά για εφαρμογές λέιζερ συμβολομετρίας (laser speckle interferometry) και αργότερα χρησιμοποιήθηκε στη συμβολομετρία SAR. Είναι μέθοδος που δίνει πάντα λύση, αν και μερικές φορές δεν είναι η επιθυμητή. Η βασική ιδέα της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων (LMS) είναι ότι ελαχιστοποιεί τη διαφορά μεταξύ της στιγμιαίας συχνότητας του μη αποκαταστημένου σήματος με την προτεινόμενη αποκαταστημένη φάση [11], για κάθε pixel με θέση n στο διάγραμμα των κροσσών συμβολής, σύμφωνα με τη συνθήκη των ελαχίστων τετραγώνων: min M 1N 1 m0 n0 ( x ( y m1, n n n1 n (3.8) * όπου φ n οι τιμές της αποκαταστημένης φάσης και n η στιγμιαία συχνότητα του μη αποκαταστημένου σήματος στις δύο διευθύνσεις x και y αντίστοιχα. Η στιγμιαία συχνότητα μπορεί να υπολογιστεί ως η τιμή της διαφοράς της μη αποκαταστημένης φάσης γειτονικών pixels του διαγράμματος των κροσσών συμβολής, δηλαδή: x n [ m1, n n y n [ n1 n ] ] (3.9) (3.10) όπου ψ n η μη αποκαταστημένη φάση. Θεωρώντας τη διαφορά της αποκαταστημένης φάσης στη σχέση (1.3) κατά δύο διευθύνσεις (, παραγωγίζοντας τη μεταβλητή φ ως προς τις δύο διευθύνσεις (, και εξισώνοντας τη σχέση με μηδέν, προκύπτει η σχέση: φ m+1,n +φ m-1,n +φ n+1 +φ n-1-4φ n = ρ n (3.11) η οποία είναι η διακριτή έκδοση της εξίσωσης Poisson, όπου το ρ n αντιπροσωπεύει τη διαφορά της φάσης της μη αποκαταστημένης εισόδου: x x y y n n m1, n n n1 (3.1) Το πρόβλημα έχει μετατραπεί πια σε γραμμικό σύστημα Μ*Ν εξισώσεων, όπου Μ, Ν το σύνολο των γραμμών και των στηλών του διαγράμματος των κροσσών συμβολής, το οποίο μπορεί να επιλυθεί εύκολα με τη χρήση μεθόδου μετασχηματισμού. Μια τέτοια μέθοδος είναι ο διακριτός δύο διαστάσεων ευθύς μετασχηματισμός Fourier, ο οποίος ορίζεται ως: k, l M 1N 1 m0 n0 x n e jkm / M e j ln/ N (3.13) Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier στη σχέση (3.11), το αποτέλεσμα είναι: Φ k,l (e πjk/m +e -πjk/m +e πjl/n +e -πjl/n -4)=P k,l (3.14)

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-61 Με απλές αλγεβρικές σχέσεις το τελικό αποτέλεσμα είναι: k, l k, l cos(k / M ) cos(l / N) 4 (3.15) Με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στην τελευταία σχέση προκύπτει η αποκαταστημένη λύση φ m.n. Η συμβολομετρική φάση μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: το συντηρητικό και το μη συντηρητικό μέρος της. Το μη συντηρητικό μέρος οφείλεται σε ασυνέχειες και κακή δειγματοληψία και εμφανίζεται, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, με υπολείμματα. Ο αλγόριθμος LMS προσφέρει μια συντηρητική λύση χωρίς ασυνέχειες. Τα αποτελέσματα της ιδιότητας αυτής είναι δύο: Αν η συμβολομετρική φάση δεν έχει ασυνέχειες (χωρίς υπολείμματα), η λύση, που δίνει ο αλγόριθμος LMS, δεν έχει λάθη και συμπίπτει με την προτεινόμενη λύση που δημιουργείται από απευθείας ολοκλήρωση της απεικόνισης των κροσσών συμβολής. Στην περίπτωση που στη φάση εισόδου υπάρχουν ασυνέχειες (άλματα φάσης), ο αλγόριθμος έχει την τάση να ομαλοποιεί τα άλματα φάσης που συναντά. Η λύση αυτή, όμως, περιέχει σφάλματα, τα οποία μεταδίδονται και στη γειτονική περιοχή της ασυνέχειας-άλματος. Το σφάλμα δηλαδή, που δημιουργείται από τη λύση, είναι μέγιστο πάνω στην ασυνέχεια και ελαττώνεται, όσο απομακρύνεται από αυτή. 3.3 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών Η χρήση της έννοιας του βάρους έρχεται να δώσει λύση στο βασικό πρόβλημα της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων LMS: τη μη δυνατότητά της να αποκλείει από τους υπολογισμούς περιοχές που εκ των προτέρων είναι γνωστό ότι δεν έχουν καλή συνάφεια (π.χ. θάλασσα και γενικά υδάτινοι όγκοι που, όπως είναι γνωστό, αποτελούν περιοχές με ελάχιστη συνάφεια). Ο συνδυασμός της έννοιας του βάρους και της μεθόδου LMS οδήγησε στη δημιουργία της Μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων με βάρη (WLMS). H ελαχιστοποίηση των διαφορών μεταξύ αποκαταστημένης και μη αποκαταστημένης φάσης για εικόνα Μ*Ν ανάγεται σε σύστημα Μ*Ν γραμμικών εξισώσεων, το οποίο με χρήση της έννοιας των πινάκων [1] γίνεται: Αx = b (3.16) όπου x το διάνυσμα λύσης μήκους Μ*Ν, x=[φ 0,0, φ 0,1,, φ 0,Ν-1,, φ Μ-1,0,, φ Μ-1.Ν-1 ] (3.17) και b το διάνυσμα των διαφορών φάσης, όπως αυτές εκφράζονται στην εξίσωση (3.11). Ο πίνακας Α δίνει τη σχέση κάθε εικονοστοιχείου του διαγράμματος κροσσών συμβολής με τα τέσσερα γειτονικά του. Η χρήση πινάκων επιτρέπει την εισαγωγή πίνακα βαρών W: WAx = Wb (3.18) Οι τιμές των στοιχείων του πίνακα βαρών υπολογίζονται με βάση την απεικόνιση της συνάφειας, το μέτρο των μιγαδικών αριθμών των SAR απεικονίσεων και άλλων πληροφοριών, όπως η μεταβλητότητα φάσης. Η επίλυση με τον αλγόριθμο WLMS είναι επαναληπτική. Σε κάθε επανάληψη δίνεται μια συμβατική λύση LMS, η οποία επιστρέφει στον αλγόριθμο ως προετοιμασία. Για σύστημα Ν*Ν, θεωρητικά η σύγκλιση γίνεται σε Ν επαναλήψεις, πρακτικά όμως η χρήση κατάλληλης μάσκας βαρών μειώνει τις απαιτούμενες επαναλήψεις. Στοιχεία για τη δημιουργία μάσκας μπορούν να αντληθούν από: 1. Την απεικόνιση μέτρου. Οι φωτεινές περιοχές είναι ενδείξεις έντονης συμπύκνωσης (foreshortening), άρα και περιοχών με ασυνέχειες.. Την απεικόνιση συνάφειας. Περιοχές με νερά και γενικότερα με μικρές τιμές συνάφειας περιέχουν πληροφορία χωρίς νόημα. 3. Το διάγραμμα των κροσσών συμβολής, στο οποίο μπορούν να εντοπιστούν γραμμές υπολειμμάτων. 4. Τη μεταβλητότητα φάσης (σχετίζεται με τη συνάφεια). Αφού ετοιμαστεί η μάσκα, μπορεί να εισέλθει στον αλγόριθμο. Η μέθοδος WLMS εκτελείται επαναληπτικά δίνοντας σε κάθε κύκλο μια λύση. Ο αλγόριθμος σταματά να επαναλαμβάνεται, μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση των λύσεων. Η διαφορά δύο διαδοχικών λύσεων θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιο κριτήριο, το οποίο συνήθως είναι ένα κατώφλι Συνεργασία Μεθόδων Τοπικής Ανάπτυξης και Ελαχίστων Τετραγώνων με βάρη Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η Μέθοδος Τοπικής Ανάπτυξης δεν καταφέρνει να αποκαταστήσει τη φάση μέσα σε περιοχές με πολύ μικρή συνάφεια (κυρίως σε θαλάσσιες περιοχές) χωρίς να δίνει τιμές στις περιοχές αυτές. Το πρόβλημα στις περιοχές αυτές είναι διπλό: τα όριά τους είναι ασυνεχή και παρουσιάζουν μεγάλη απόκλιση στις τιμές φάσης. Το πρόβλημα των ορίων απαιτεί μια εύρωστη μέθοδο για την απόδοση του μέσου όρου των σημείων τους, πράγμα που θα ταίριαζε σε μέθοδο, όπως αυτή των Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών WLMS. Η συνεργασία των Μεθόδων Τοπικής Ανάπτυξης (RG) και Ελαχίστων Τετραγώνων με βάρη (WLMS) έγινε πρώτα από τον Reigber [13]. Η χρήση του WLMS προσφέρει γενική λύση της τοπογραφίας, μειώνοντας το πλήθος των κροσσών. Το γεγονός αυτό επιτρέπει με χρήση του αλγορίθμου RG να αποδοθεί η λεπτομέρεια. Η διαφοροποίηση στη σειρά εφαρμογής των δύο αλγορίθμων προσφέρει το εξής πλεονέκτημα: Η λύση του αλγορίθμου RG δίνει μια τέλεια προσέγγιση στη μάσκα που θα χρησιμοποιηθεί με τον αλγόριθμο WLMS, ενώ παράλληλα δίνεται λύση στο πρόβλημα του μέσου όρου των περίπλοκων ορίων. Εφαρμογή της μεθόδου σε περιοχή με έντονη

6 6 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- τοπογραφία και με χρήση ειδικών μεθόδων φιλτραρίσματος των αρχικών SAR απεικονίσεων καθώς και του διαγράμματος κροσσών συμβολής έδωσε ως αποτέλεσμα μέσο σφάλμα μέτρα με τυπική απόκλιση 5.5 μέτρα [1] Αποκατάσταση φάσης βασισμένη σε προγραμματισμό δικτύου Η μέθοδος αυτή εκμεταλλεύεται το γεγονός ότι οι διαφορές της αποκαταστημένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων υπολογίζονται με πιθανό σφάλμα, το οποίο είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Το γεγονός αυτό δίνει τη δυνατότητα να αναχθεί το πρόβλημα αποκατάστασης της φάσης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης της απόκλισης μεταξύ των διαφορών υπολογισμένης και άγνωστης αποκαταστημένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων, με τον περιορισμό ότι οι αποκλίσεις αυτές πρέπει να είναι ακέραια πολλαπλάσια του π. Ο περιορισμός αυτός εμποδίζει την εξάπλωση των σφαλμάτων, καθιστώντας έτσι την τοποθέτηση βαρών στα δεδομένα μη απαραίτητη. Σε κάθε περίπτωση, η χρήση βαρών επιτρέπεται χωρίς μάλιστα απώλειες στο αποτέλεσμα και μπορεί να φανεί χρήσιμη, όταν υπάρχουν μεγάλες περιοχές με έντονο θόρυβο. Η επίλυση προβλημάτων ελαχιστοποίησης ακέραιων αριθμών είναι συνήθως πολύ απαιτητική σε χρόνο υπολογισμού. Η φύση, όμως, του προβλήματος επιτρέπει την αναγωγή του σε πρόβλημα εύρεσης της ελάχιστης ροής κόστους (minimum cost flow) σε ένα δίκτυο (network). Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων υπάρχει πληθώρα αλγορίθμων. Έστω Φ μια συνάρτηση πραγματικών τιμών ορισμένη σε ορθογώνιο κάνναβο και: Ψ(i,j) = [Φ(i,j)] π (3.19) η συνάρτηση που για πραγματικό x είναι: [x] π = x+ πn, με n ακέραιο τέτοιον, ώστε [x] π να παίρνει τιμές στο διάστημα [-π,π). Στη σχέση 3.19 οι συναρτήσεις Φ και Ψ είναι αντίστοιχα οι συναρτήσεις αποκαταστημένης και μη φάσης. Η αντιστροφή της σχέσης 3.19, ο υπολογισμός δηλαδή της Φ από την Ψ, είναι η διαδικασία αποκατάστασης της φάσης. Ορίζονται οι σχέσεις: Ψ 1 (i,j) = [Φ(i+1,j) Φ(i,j)] π (3.0) Ψ (i,j) = [Φ(i,j+1) Φ(i,j)] π (3.1) Όταν οι ποσότητες Φ(i+1,j) Φ(i,j) και Φ(i,j+1) Φ(i,j) ανήκουν στο διάστημα [-π,π), οι σχέσεις 3.0 και 3.1 γίνονται: Ψ 1 (i,j) = Φ(i+1,j) Φ(i,j) και Ψ (i,j) = Φ(i,j+1) Φ(i,j), αντίστοιχα. Οι εξισώσεις αυτές θεωρούνται ότι ισχύουν στις περισσότερες περιπτώσεις. Γενικά το πρόβλημα αντιστροφής της εξίσωσης 3.19 μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα εύρεσης των ακόλουθων υπολειμμάτων: k 1 (i,j) = (1/π)[Φ(i+1,j) Φ(i,j) Ψ 1 (i,j)] (3.) k (i,j) = (1/π)[Φ(i,j+1) Φ(i,j) Ψ (i,j)] (3.3) από τα οποία μπορούν να υπολογιστούν οι διαφορές αποκαταστημένης φάσης γειτονικών εικονοστοιχείων. Μετά, με ολοκλήρωσή τους, η αποκαταστημένη φάση αναδομείται με μια πρόσθετη σταθερά, η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Έστω c 1 (i,j) και c (i,j) μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί βάρους της a priori εμπιστοσύνης ότι τα υπολείμματα k 1 (i,j) και k (i,j) πρέπει να είναι μικρά (αν δεν υπάρχει τέτοια γνώση, τότε τα c 1 (i,j) και c (i,j) επιλέγονται ίσα με μονάδα(1)). Τα υπολείμματα μπορούν να υπολογιστούν με το ακόλουθο πρόβλημα ελαχιστοποίησης: min c1 ( i, j) k1( i, j) c( i, j) k( i, j) i, j i, j { k1, k } (3.4) το οποίο έχει τους παρακάτω περιορισμούς: k 1 (i,j+1) - k 1 (i,j) k (i+1,j) + k (i,j) = -(1/π)[Ψ 1 (i,j+1) - Ψ 1 (i,j) Ψ (i+1,j) + Ψ (i,j)] (3.5) k 1 (i,j) ακέραιος (3.6) k (i,j) ακέραιος (3.7) Η εξίσωση, που ελαχιστοποιεί τη σχέση 3.4, προέρχεται από την υπόθεση ότι τα υπολείμματα είναι συνήθως μηδέν. Η επιλογή απόλυτης τιμής στα υπολείμματα επιλέχθηκε ως κριτήριο σφάλματος, γιατί επιτρέπει μια αποτελεσματική λύση στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Η εξίσωση 3.5 δείχνει ότι τα Ψ 1 + πk και Ψ + πk αντιπροσωπεύουν τις διαφορές γειτονικών εικονοστοιχείων της άγνωστης φάσης Φ, όπως φαίνεται από τις εξισώσεις 3. και 3.3. Οι περιορισμοί αυτοί εξασφαλίζουν την ανεξαρτησία της μεθόδου στο μονοπάτι ολοκλήρωσης. Οι εξισώσεις 3.4, 3.5, 3.6 και 3.7 σχηματίζουν ένα μη-γραμμικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ακέραιες μεταβλητές. Η χρήση των μεταβλητών : x 1+ (i,j) = max(0,k 1 (i,j)), x 1- (i,j) = min(0,k 1 (i,j)) (3.8) x + (i,j) = max(0,k 1 (i,j)), x - (i,j) = min(0,k (i,j)) (3.9) δείχνει ότι το πρόβλημα, που ορίστηκε από τις εξισώσεις 3.4, 3.5, 3.6 και 3.7, μπορεί να μεταβληθεί σε πρόβλημα ορισμού της ελάχιστης ροής κόστους ενός δικτύου και οι νέες μεταβλητές να αντιπροσωπεύουν τη ροή κατά μήκος των τόξων του δικτύου. Στη νέα μορφή προβλήματος η εξίσωση 3.4 γίνεται το ολικό κόστος ροής, οι περιορισμοί, που αντιπροσωπεύονται στην εξίσωση 3.5, εκφράζουν τη διατήρηση της ροής στους κόμβους και τέλος, οι εξισώσεις 3.6 και 3.7 ορίζουν τη χωρητικότητα των τόξων [14]. 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΦΑΣΗΣ Στην παρούσα εργασία εξετάζονται οι επιδόσεις της Μεθόδου Συνδυασμού της Τοπικής Ανάπτυξης με τη Μέθοδο Ελάχιστων Τετραγώνων με χρήση βαρών, που παρουσιάστηκε από τον Reigber[13], και του αλγορίθμου που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου, που παρουσιάστηκε από τον Costantini [14]. H ανάπτυξη του πρώτου αλγορίθμου

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-63 από ερευνητική ομάδα του Γερμανικού Διαστημικού Κέντρου Ερευνών (DLR) έθεσε περιορισμούς στην εφαρμογή του σε άλλα δεδομένα, εκτός από αυτά μιας συγκεκριμένης περιοχής μελέτης του νομού Αττικής, τα οποία επίσης ανήκουν στο DLR. Συνεπώς, τόσο η εφαρμογή του δεύτερου αλγορίθμου, ο οποίος βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου, στα δεδομένα αυτά όσο και η χρήση του αλγορίθμου του «συνδυασμού της τοπικής ανάπτυξης με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων με χρήση βαρών» σε άλλα δεδομένα υπήρξαν αδύνατες. Επομένως, τα αποτελέσματα εφαρμογής του κάθε αλγορίθμου είναι άμεσα συνδεδεμένα με την περιοχή όπου αυτός εφαρμόστηκε, κάνοντας ανέφικτη την εξαγωγή γενικότερων συμπερασμάτων και τη σύγκριση των επιδόσεων των δύο αλγορίθμων. Και στις δύο περιπτώσεις έγινε χρήση SAR απεικονίσεων της αποστολής TANDEM. Η αποστολή TANDEM αποτελείται από τους δορυφόρους ERS 1 και ERS. Οι απεικονίσεις έχουν διακριτική ικανότητα 5.5 μέτρα στη διεύθυνση των πλαγίων αποστάσεων και 11 μέτρα στη διεύθυνση του αζιμουθίου Συνδυασμός Μεθόδου Τοπικής Ανάπτυξης και Ελαχίστων Τετραγώνων με χρήση βαρών Η περιοχή μελέτης βρίσκεται στο νομό Αττικής με διαστάσεις 40 km x 50 km. Περιλαμβάνει το Πεντελικό όρος, το όρος της Πάρνηθας και το όρος Αιγάλεω. Η συμβολομετρική διαδικασία έγινε σε περιβάλλον Interactive Data Language (IDL) με συνδυασμό της τοπικής ανάπτυξης και της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων με χρήση βαρών WLMS. Ο συντελεστής συνάφειας των δύο SLC απεικονίσεων είχε τιμή μέσου όρου Το Ψηφιακό Μοντέλο Εδάφους (ΨΜΕ), που χρησιμοποιήθηκε ως μοντέλο αναφοράς, έχει ισοδιάσταση 0 μέτρα και προήλθε από ψηφιοποίηση χαρτών της Γεωγραφικής Υπηρεσίας Στρατού (Γ.Υ.Σ.) κλίμακας 1:5000 [15]. Για την εκτίμηση του σφάλματος υπολογισμού των υψομέτρων έγινε αφαίρεση του ΨΜΕ, που προήλθε από τη συμβολομετρική διαδικασία, από το αντίστοιχο ΨΜΕ αναφοράς. Για την οπτική αντίληψη του σφάλματος έγινε ο διαχωρισμός της εκτίμησης του σφάλματος στις κατηγορίες: 1) μεταξύ των +/- 50 μέτρων, ) από +/- 50 μέτρα μέχρι +/- 50 μέτρα, 3) από +/- 50 μέτρα μέχρι +/- 500 μέτρα και 4) μεγαλύτερο των +/- 500 μέτρων. Σε κάθε κατηγορία δόθηκε ένα χρώμα, το οποίο απεικονίζεται στο ΨΜΕ διαφορών, όπως φαίνεται στην εικόνα 1, ενώ τα αποτελέσματα της μεθόδου παρουσιάζονται στον πίνακα 1. Το αποτέλεσμα κρίνεται ικανοποιητικό. Ο αλγόριθμος εκτελεί με επιτυχία τη διαδικασία αποκατάστασης της συμβολομετρικής φάσης σε μια περιοχή με πολύ μεγάλη έκταση και εναλλαγές στο ανάγλυφο. Εικόνα 1: Χωρική κατανομή του σφάλματος του παραγόμενου Ψ.Μ.Ε. με τη Μέθοδο Τοπικής Ανάπτυξης και WLMS. Figure 1: The spatial distribution of the errors of the produced DEM by the WLMS algorithm. Πίνακας 1: Σφάλματα του παραγόμενου Ψ.Μ.Ε. με τη Μέθοδο Τοπικής Ανάπτυξης και WLMS και ποσοστά επιφανείας όπου παρουσιάζονται αυτά. Table1: The errors produced by the WLMS algorithm and the percentage of the surfaces corresponding to them. -50µ < h < 50µ 43.18% µ < h < µ 54.03% µ < h < µ.60% -500µ > h > 500 µ 0.19% 4.. Αποκατάσταση φάσης βασισμένη σε προγραμματισμό δικτύου Η περιοχή μελέτης βρίσκεται στην περιοχή της Χαλανδρίτσας του νομού Αχαΐας, έχει έκταση 160,000 στρέμματα και μέσο υψόμετρο 899 μέτρα. Η ορεινή αυτή περιοχή επιλέχθηκε ειδικά για να γίνει διερεύνηση των σφαλμάτων που προκαλούν οι γεωμετρικές παραμορφώσεις λόγω του έντονου ανάγλυφου της περιοχής στην αποκατάσταση φάσης. Η εφαρμογή της συμβολομετρίας έγινε με χρήση έτοιμου λογισμικού. Ο συντελεστής συνάφειας των δύο SLC απεικονίσεων είχε τιμή μέσου όρου Για την αξιολόγηση του αποτελέσματος χρησιμοποιήθηκε ΨΜΕ που προήλθε από ψηφιοποίηση χαρτών κλίμακας 1: της Γ.Υ.Σ., με ισοδιάσταση 0 μέτρων στα πεδινά και 100 μέτρων στα ορεινά, ενώ το βήμα καννάβου ήταν 5 μέτρα [16]. Στο σχήμα παρουσιάζεται το ΨΜΕ που προκύπτει από την αφαίρεση του ΨΜΕ αναφοράς από το ΨΜΕ που προήλθε από τη συμβολομετρική διαδικασία. Για την οπτική αντίληψη του σφάλματος έγινε ο διαχωρισμός του σφάλματος εκτίμησης στις κατηγορίες: 1) μεταξύ των +/- 50 μέτρων, ) από +/- 50 μέτρα μέχρι +/- 50 μέτρα, 3) από +/- 50 μέτρα μέχρι +/- 500 μέτρα και 4) μεγαλύτερο των +/- 500 μέτρων. Σε κάθε κατηγορία δόθηκε ένα χρώμα, το οποίο απεικονίζεται στο ΨΜΕ διαφορών, όπως φαίνεται στην εικόνα. Τα

8 64 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- ποσοστά των επιφανειών, που παρουσιάζουν τα παραπάνω εύρη σφαλμάτων, παρουσιάζονται στον πίνακα. Η καλύτερη ακρίβεια αφορά στη μπλε περιοχή, η οποία καλύπτει το 35.0% της επιφάνειας του Ψ.Μ.Ε. Από τα αποτελέσματα παρατηρήσαμε ότι η μέθοδος αποκατάστασης της συμβολομετρικής φάσης με προγραμματισμό δικτύου έχει την τάση να διαδίδει σφάλματα στην περιοχή μελέτης. Αυτό είναι φανερό από την κατανομή των σφαλμάτων στην εικόνα : Εικόνα : Χωρική κατανομή του σφάλματος του παραγόμενου Ψ.Μ.Ε. με τη μέθοδο που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου. Figure : The spatial distribution of the errors of the produced DEM by the Network programming algorithm. Πίνακας : Σφάλματα του παραγόμενου Ψ.Μ.Ε. με τη μέθοδο που βασίζεται σε προγραμματισμό δικτύου και ποσοστά επιφάνειας όπου παρουσιάζονται αυτά Table : The errors produced by the Network programming algorithm and the percentage of the surfaces corresponding to them.,-50 µ < h < 50 µ 35,0%, µ < h < µ 40,67%, µ < h < µ 6,33%,-500 µ > h > 500 µ 17,80% Ξεκινώντας η αποκατάσταση της φάσης από την πάνω δεξιά γωνία, ο αλγόριθμος επιτυγχάνει καλά αποτελέσματα όπου βρίσκει κατάλληλη πληροφορία και από εκεί και πέρα αρχίζει να αστοχεί. Οι τρεις μεγάλες μπλε περιοχές είναι φανερό ότι συνδέονται με μια μικρή μπλε λωρίδα, ενώ υπάρχει μεταφορά από το κίτρινο χρώμα στο μωβ και τέλος στο κόκκινο (πλήρης αστοχία). Η χαμηλή ποιότητα των απεικονίσεων της παρούσας εργασίας, που επηρέασαν το τελικό αποτέλεσμα, οφείλεται στο έντονο ανάγλυφο της περιοχής (γεωμετρικές παραμορφώσεις) καθώς και στη μεταβολή των καιρικών φαινομένων μεταξύ των λήψεων (έντονη μεταβολή στην τιμή της απόλυτης υγρασίας [17]). Έτσι τα αποτελέσματα της μεθόδου αυτής κρίνονται ικανοποιητικά για ποσοστό επιφάνειας 35.% της περιοχής μελέτης. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι μέθοδοι αποκατάστασης της φάσης είναι αποφασιστικής σημασίας για την ακρίβεια του παραγόμενου ΨΜΕ με εφαρμογή της συμβολομετρικής διαδικασίας. Αν και τα αποτελέσματα εφαρμογής των δύο αλγορίθμων αποκατάστασης φάσης είναι άμεσα συνδεδεμένα με την αντίστοιχη περιοχή μελέτης, από αυτά προκύπτει ότι: Η εφαρμογή συνδυασμού των αλγορίθμων τοπικής ανάπτυξης και ελάχιστων τετραγώνων με χρήση βαρών επιτυγχάνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Καταφέρνει να αποκαταστήσει τη συμβολομετρική φάση μιας πολύ μεγάλης σε έκταση περιοχής με εναλλαγές στο ανάγλυφο. Η μέθοδος αποκατάστασης της συμβολομετρικής φάσης βασισμένη σε προγραμματισμό δικτύου δεν επιτυγχάνει τις ίδιες ακρίβειες. Η εφαρμογή της σε πολύ ορεινή περιοχή με έντονο ανάγλυφο ευθύνεται μερικά για τις μειωμένες σχετικά επιδόσεις της μεθόδου. Όπως όμως προκύπτει από την εξέταση των αποτελεσμάτων, η μέθοδος έχει την τάση να μεταδίδει σφάλματα στην περιοχή μελέτης, επηρεάζοντας έτσι τη συνολική ακρίβεια της μεθόδου. Θα πρέπει, όμως, να αναφέρουμε εδώ ότι η μέθοδος τοπικής ανάπτυξης και ελαχίστων τετραγώνων με χρήση βαρών αναπτύχθηκε σε περιβάλλον IDL, με δυνατότητα παρεμβάσεων και βελτιώσεων, ενώ η μέθοδος αποκατάστασης με βάση τον προγραμματισμό δικτύου αποτελεί τμήμα έτοιμου λογισμικού, το οποίο δεν επιτρέπει παρεμβάσεις από τον χρήστη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. D. Carrasco, SAR Interferometry for Digital Elevation Model Generation and Differential Applications, Tesi Doctoral, Barcelona, R. Goldstein, H. Zebker, C. Werner, Satellite Radar Interferometry: Two-Dimensional Phase Unwrapping, Radio Science, vol. 3, no 4, C. Prati et al., A -D phase unwrapping technique based on phase and absolute values informations, Proc. IGARSS 1990, Washington, pp W. Hu, W. and I. Cumming. Region Growing Algorithm for InSAR Phase Unwrapping. Proceedings of IGARSS 96, Lincoln, Nebraska, pp D.C. Giglia, L.A. Romero, Robust two-dimensional Weighted and Unweighted Phase Unwrapping uses Fast Transforms and Iterative methods. J. Opt. Soc. Am. Vol. 11, No 1, pp , R. Kramer, O. Loffeld, Phase Unwrapping for SAR Interferometry with Kalman Filters, Proc. of the EUSAR 96, pp , G. Fornaro, G. Franceschetti and R. Lanari. Interferometric SAR Phase Unwrapping Using Green s Formulation. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing. Vol. 34, No.3, pp , Ghiglia, G. Costantin and L.A. Romero, Cellular-automata method for Phase Unwrapping, J. Opt. Soc. Am., Vol. 4, pp , B. Wang, Y. Shi, T. Pfeifer and H. Mischo, Phase Unwrapping by Blocks, Measurement, Vol. 5, pp , P. Soille, Morphological Phase Unwrapping, Optics and Laser in Engineering, Vol. 3, pp , U. Spagnolini, -D Phase Unwrapping and Instantaneous Frequency Estimation, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 33, no 3, pp , 1995.

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No W. H. Press et al., Numerical Recipes. Cambridge University Press, A. Reigber and J. Moreira, Phase Unwrapping by Fusion of Local and Global Methods, Proc. IEEE IGARSS 97, Singapore, M. Costantini, A Phase Unwrapping Method Based on Network Programming. Fringe 96, ERS SAR Interferometry Workshop, ESA, Zurich, Χ. Παράσχου, Παραγωγή Ψηφιακού Μοντέλου Εδάφους από Συμβολομετρία Ψηφιακών Τηλεπισκοπικών Απεικονίσεων Ραντάρ Συνθετικού Ανοίγματος. Αποτελέσματα από τη Σύγκριση με Ψηφιακό Μοντέλο Εδάφους από Κλασσικές Μεθόδους Φωτογραμμετρίας, Διπλωματική εργασία, Εργαστήριο Τηλεπισκόπησης Ε.Μ.Π., Τ.Α.Τ.Μ., Αθήνα, Α. Πλατάκος, Εφαρμογή της Συμβολομετρικής Διαδικασίας για Παραγωγή Ψηφιακού Μοντέλου Εδάφους Ορεινών Περιοχών με χρήση SAR Απεικονίσεων, Διπλωματική Εργασία, Εργαστήριο Τηλεπισκόπησης Ε.Μ.Π., Τ.Α.Τ.Μ., Αθήνα, Στοιχεία της Εθνικής Μετεωρολογικής Υπηρεσίας (Ε.Μ.Υ.). A. Πλατάκος, Υπ. Διδάκτορας, Εργαστήριο Τηλεπισκόπησης, Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχ. Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου. Χ. Παράσχου, Υπ. Διδάκτορας, Εργαστήριο Τηλεπισκόπησης, Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχ. Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου. Β. Καραθανάση, Λέκτορας, Εργαστήριο Τηλεπισκόπησης, Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχ. Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου.

10 66 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- Extended summary Methods of Phase Unwrapping in Interferometry. Application and Evaluation of Two Methods C. PARASXOU V. KARATHANASSI A. PLATAKOS Surveying Engineer Lecturer Surveying Engineer N.T.U.A. N.T.U.A. N.T.U.A. Abstract Phase unwrapping is the most critical step in the interferometric process. From time to time several algorithms have been proposed to solve the problem of the phase unwrapping process. In this article two of the most famous phase unwrapping algorithms are introduced, analyzed and implemented over a mountainous area: the synergy of the Region Growing algorithm with the Least Minimum Squares and the phase unwrapping method based on Network Programming. In the first case, altitudes in 43.18% of the surface of the study area were estimated by an error less than ±50m. In the second case, the percentage of the surface presenting the same error was 35.0%. 1. INTRODUCTION The phase unwrapping procedure is one of the most difficult and critical steps of the interferometric process and it is not certain that this step will be executed with success. This arises from the possible existence of low coherence between the two required scenes and topography undersampling caused by geometric deformations (shadow, foreshortening and layover) that are frequent in mountainous areas. The measured phase has a cyclic nature: the interferometric phase is reduced between the values 0 and π. This cyclic nature hides from us the integer number of cycles and spoils the proportion between the scene height and the measured interferometric phase. The phase unwrapping algorithm tries to uncover the integer number of cycles which is measured by the SAR syste in order to reduce the proportion between the interferometric phase and the scene height. The unwrapped phase is no longer between the values 0 and π and is presented in expression (1.1): φ = Δψ + nπ (1.1) where ψ is the principal phase value and φ is the unwrapped phase value. The most common strategy in phase unwrapping is the recovery of the integer number of cycles for a given Submitted: Nov Accepted: Mar sample φ n from its adjacent neighbor φ n-1 with respect to the hypothesis that the phase change between the adjacent samples will be lower than half a cycle: φ ν -φ ν-1 <π (1.) π< φ ν -φ ν-1 <0 Phase decreases (1.3) 0< φ ν -φ ν-1 <π Phase increases (1.4) The most important limitation of a phase unwrapping method that acts with respect to this strategy is that phase jumps greater than π are not allowed: if the unwrapped phase between two adjacent points should be 7π/3 from an initial value of π/3, the solution given by the algorithm will be 4π/3 (=π+π/3). This causes an underestimation of the unwrapped phase at the points where phase jumps greater than π exist. The application of this basic unwrapping algorithm to two dimension signals is performed by a raster process with the following limitations [1]: φ(m+1,-φ( <π and φ(n+1)-φ( <π (1.5) and then: ( where: W { ( m 1, ( ( W { ( n 1) ( (1.6) (1.7) the wrapped operator of the wrapped phase. The expression (1.6) is not valid when it comes to phase jumps greater than π (for example at points where geometrical deformations exists). So the unwrapping phase depends on the integration path: the field is non-conservative.

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No UNWRAPPING METHODS.1. Region Growing Method Τhe phase unwrapping algorithms that have been presented from time to time, can be separated in the following categories: Local Phase Unwrapping Global Phase Unwrapping Fusion Methods The Local Phase Unwrapping can be separated in two sub-categories: Residue tying methods Region Growing The residue tying methods detect the residues (points where phase jumps greater than π exist) and exclude them from the process. The region growing algorithms act in a humanlike way, starting the computations from the easiest areas and leaving the difficult ones to the last stages of the process. A quality image of the interferogram is needed as a guide. In global methods the whole image is processed at once following some minimization criteria and an optimal solution is provided, which does not mean a fully satisfaction solution. The main algorithm is the Least Minimum Squares (LMS) approach by Ghiglia and Romero [8]. A version of this algorithm is the Weighted LMS, which allows you to weight the phase values based on a quality map requiring prior information such as coherence and amplitude. The kalman filters have been used in a global unwrapping method presented by Kramer and Loffeld [6]. The method, in the first step, calculates the variation of the local slope in the interferogram and then by using a -D kalman filter estimates the unwrapped phase values. Another global approach is the Green formulation [7]. The Cellular Automata method is a method that combines local and global features. In the local step the unwrapped phase value of each pixel is calculated based on the phase values of the four neighbors. Every local step provides a phase map and in the global step the average of two consecutives phase maps is calculated in order to stop the procedure or begin it from the start [8]. A fusion unwrapping method is the phase unwrapping method by blocks. In this method the interferogram is divided in appropriate blocks. Each block is then unwrapped by the suitable phase unwrapping method. The union of the unwrapped blocks provides the unwrapped interferogram [9]. The last unwrapping method on a time scale base is the morphological unwrapping method and it belongs to the local phase unwrapping category. This method uses the morphological operators of opening, closing and erosion and segmentation techniques in order to repair the fringes from the breaks caused by the residues [10]. The original concept of the Region Growing (RG) Method belongs to Xu and Cumming [4]. It is more a philosophy than an algorith so any researcher can give his own version of the concept: an algorithm that performs phase unwrapping in a humanlike way. The version introduced below, was presented by Carrasco [1]. The region growing starts from the easiest areas of the interferogra where the unwrapping process will likely be successful and leaves the difficult ones for the last steps, where risky decisions will be made. The success of the algorithm depends on the quality image of the interferogra which could be the information of the coherence. Basic features and concepts of the algorithm are: The process is executed independently starting from a collection of seeds. The seeds are points with high coherence and with some distance between them. Every seed grows to a region Every pixel is unwrapped from its already-unwrapped neighbors using as many as possible Before unwrapping a pixel, it has to pass quality tests (coherence, phase variance, etc.) The threshold which defines the quality tests is gradually reduced after every completed cycle of the algorith so the difficult areas should be unwrapped after the easy ones Two regions that came from different seeds become one after a quality test on their common border. Pixels are named according to their status: Free point. The points were the process starts Unwrapped point. The point whose unwrapped value has already been calculated Growing point. The point ready to be unwrapped Bad point. This is the point where the unwrapping procedure failed. This point has a second opportunity to become non- Unwrapped point by the relaxation of the threshold. The algorithm is cyclic. The major advantage is that there is no propagation of errors along the image and the major disadvantage is that the algorithm tries to penetrate into the incoherent areas... Least Minimum Squares Method The basic idea of the Least Minimum Squares Method (LMS) is to minimize the difference between the instantaneous frequency of the wrapped signal and that of the proposed unwrapped solution [11] by the means of least squares: min M 1N 1 m0 n0 ( x ( y m1, n n n1 n (.8)

12 68 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-00, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- where φ n are solutions for unwrapped phase values and * n the instantaneous frequency of the wrapped signal in both directions x and y. After simple computations, Fourier transforms and some algebra the solution is given by the equation (.9): k, l k, l cos(k / M ) cos(l / N ) 4 (.9) The LMS algorithm gives a conservative solution without discontinuities. This attribute in terms of the presentation of the residues leads to a smoothed solution to the points where residue exists. Still, the algorithm propagates these errors along the scene..3. Weighted LMS Method The solution of LMS minimization for a M*N image leads to an oversized set of M*N simultaneous linear equations [1] which by using matrix formation can be stated as: Ax=b (.10) where x is the solution vector and b the phase differences. A is a matrix whose each equation corresponds to the relationship between a given pixel in the interferogram with its four neighbors. This formulation allows the use of a weight matrix W: Wax=b (.11) The elements of the weight matrix can be calculated in respect of coherence, amplitude and other data The solution of the Weighted LMS is perfomed iteratively. At every step a conventional LMS problem is solved and fed into the algorithm as a precondition. The algorithm stops when the difference between two sequential solutions is below a threshold..4. Synergism of RG and WLMS The original idea of combining the RG and WLMS belongs to Reigber [13]. The use of WLMS provides a global solution of the topography and then the use of RG provides the detail..5. Phase unwrapping based on Network Programming The method exploits the fact that the neighboring pixel differences of the unwrapped phase are estimated with a possible error that is an integer multiple of π. This feature allows us to formulate the phase unwrapping problem as the problem of minimizing the deviations between the estimated and the unknown neighboring pixel differences of the unwrapped phase with the constraint that the deviations must be integer multiples of π. In fact, the phase unwrapping problem can be simulated by the problem of finding the minimum cost flow on a network. Let φ be a real valued function defined on a rectangular grid, and let Ψ(i,j) = [Φ(i,j)] π (.1) where, for a generic real x, [x] π = x+πn, with n the integer such that [x] π ε [-π,π). Φ and Ψ are the unwrapped and wrapped phase functions respectively. The inversion of (.1), which is the reconstruction of Φ from Ψ, is the phase unwrapping process. 3. APPLICATIONS OF THE PHASE UNWRAPPING ALGORITHMS In this paper two algorithms are tested: the synergy of RG with WLMS presented by Reigber [13] and the phase unwrapping algorithm based on Network programming presented by Costantini [14]. In both tests we use SAR data derived from the TANDEM mission (ERS 1 and ERS satellites, pixel size in ground 5.5 m in range direction and 11 m in azimuth directio Synergism of RG and WLMS The test area lies over the county of Attica with a size of 40 km * 50 km. The area includes the Pentelikon mountain, the mountain of Parnitha and the mountain of Aigaleo. The interferometric process was implemented in IDL environment. In order to evaluate the results we used a Digital Elevation Model (DEM) with isocontour of 0 m provided by the Geographical Agency of the Hellenic Army [15]. The subs traction of the interferometric DEM from the reference one gave us the estimation of the error height (Δh). This error regard was separated in four categories: 1) -50m< Δh<50 )-50m to 50m< Δh <50m to 50 3) -500m to 50m< Δh <50m to 500m and 4) 500m> Δh >500m. The percentage of the surfaces corresponding to the above error categories is: 1) 43.18%, ) 54.03%, 3).60% and 4) 0.19%, respectively. 3.. Phase unwrapping based on Network Programming The test area lies over the area of Halandritsa in the county of Achaia with a size of 160,000,000 m and average height 899m. The interferometric process was implemented in a public domain interferometric environment. In order to evaluate the results we used a Digital Elevation Model