1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα σχήματα). 3. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. εν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΜΤ:. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του 5000 διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς; 2. ξήντα τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί έχουν άθροισμα Να δείξετε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς θα είναι ίσοι. 3. Στο πιο διπλανό σχήμα AZ==== και =90 ο να δείξετε ότι =. 4. ν = α τότε να υπολογιστεί η παράσταση + + συναρτήσει του α.

2 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 Instructions. Solve the all the exercises. Each exercise is marked with 0 points 2. Write with blue or black ink (Shapes can be drawn with pencil). 3. The use of corrective liquid (Tip-Ex) is not allowed. 4. The use of a calculator is not allowed. Exercises. How many numbers are less than 5000 and can be divided by all single digit numbers? 2. The sum of sixty three positive integers is Show that there are at least two of them that are equal to one another. 3. At the figure below AZ==== and =90 ο show that = 4. If = α then find + + terms of α in

3 Προτεινόμενες Λύσεις. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του 5000 διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς Θα βρούμε τον μικρότερο αριθμό που διαιρείτε με όλους τους μονοψήφιους Οι μονοψήφιοι αναλύονται ως εξής 9=3², 8=2³, 7=7, 6=2.3, 5= 5, 4=2², 3=3, 2=2, = Ο αριθμός.2³.3².5.7 = 2520 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με όλους τους μονοψήφιους Το 2520 διαιρεί το 5000 πέντε φορές. Άρα 5 αριθμοί μικρότεροι του 5000 διαιρούνται ακριβώς με όλους τους μονοψήφιους 2. ξήντα τρεις θετικοί αριθμοί έχουν άθροισμα Να δείξετε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς θα είναι ίσοι ν πάρουμε τους 63 μικρότερους θετικούς αριθμούς τότε = 206 που είναι μεγαλύτερος από το 2009 πό το θεώρημα της περιστερονοφωλιάς για να μπορέσουμε να πάρουμε το 2009 πρέπει να τουλάχιστον 2 να είναι ίδιοι μεταξύ τους 3. Στο πιο κάτω σχήμα AZ==== και =90 ο να δείξετε ότι =. Έστω =χ φού τρίγωνο ισοσκελές τότε = χ εξωτερική γωνία τριγώνου άρα =2χ Τρίγωνο ισοσκελές άρα =2χ + + = χ + 2χ = 80 = 80 4χ ευθεία άρα + + = 80 Τρίγωνο ισοσκελές άρα γωνία =3χ χ + χ = 80 = 3χ Τρίγωνο ορθογώνιο άρα 3χ+3χ+90 ο =80 ο χ=5 ο ευθεία άρα ZAB + BA + = = 80 = 60 Τρίγωνο ισοσκελές άρα προκύπτει ότι ολές του οι γωνίες είναι 60 ο άρα είναι και ισόπλευρο = αλλά είναι γνωστό ότι = άρα =

4 4. ν = α τότε να βρεθεί συναρτήσει του α = = 2 (α) = α = α = α α = α = 3 4 α = = α 4 α = α 2

5 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ << >> 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα σχήματα ). 3. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. εν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΜΤ: 5. ξήντα τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί έχουν άθροισμα Να δείξετε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς θα είναι ίσοι. 6. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με 7 7. Σε τετράγωνο παίρνω σημείο στην ώστε = και σημείο στην ώστε =. Να δείξετε ότι γωνία = ν = α τότε να υπολογιστεί + + συναρτήσει του α

6 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ << >> 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 Instructions 5. Solve the all the exercises. Each exercise is marked with 0 points 6. Write with blue or black ink (Shapes can be drawn with pencil). 7. The use of corrective liquid (Tip-Ex) is not allowed. 8. The use of a calculator is not allowed. Exercises 5. The sum of sixty three positive integers is Show that there are at least two of them that are equal to one another. 6. Show that the number is divided by 7 7. is a square. If point lies on such that = and point lies on such that = show that = If = α then find + + terms of α in

7 Προτεινόμενες Λύσεις ( υμνασίου) 5. ξήντα τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί έχουν άθροισμα Να δείξετε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς θα είναι ίσοι ν πάρουμε τους 63 μικρότερους θετικούς αριθμούς τότε = 206 που είναι μεγαλύτερος από το 2009 Άρα με την βοήθεια του θεωρήματος της περιστερονοφωλιάς για να μπορέσουμε να πάρουμε το 2009 πρέπει να τουλάχιστον 2 να είναι ίδιοι μεταξύ τους 6. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το Το 2007 διαιρείται ακριβώς με το 3 άρα ( ) + 2 ( ) = (7) + 2 (7) = 7. ( + 2³ ) Άρα διαιρείτε με το 7 7. Σε τετράγωνο παίρνω σημείο στην ώστε = και σημείο στην ώστε = 2. Να δείξετε ότι γωνία 9 = 90 ο 3 ()²=()²+()²=8χ²+9χ²=90χ² ()²=()²+()² = 4χ²+36χ²=40χ² 9χ 9χ 3χ ()²=()²+()²=8χ²+49χ²=30χ² 6χ ()²=()²+()² άρα ισχύει το Π.Θ. ωνία = 90 ο 7χ 2χ

8 8. ν = α τότε να βρεθεί συναρτήσει του α = = 2 (α) = α = α = α α = α = 3 4 α = = α 4 α = α 2

9 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ << >> 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (για τα σχήματα επιτρέπεται η χρήση μολυβιού). 3. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. εν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΜΤ:. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με 7 2. Σε τετράγωνο παίρνω σημείο στην ώστε = και σημείο στην ώστε =. Να δείξετε ότι γωνία = ν ισχύει η σχέση = 0 να υπολογιστεί το όπου α,β,γ,δ 0 και α+β+γ+δ 0 4. ν ισχύει η σχέση (α+β+γ)²=3(αβ+αγ+βγ) τότενα δείξετε ότι α=β=γ

10

11 ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ << >> 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 Instructions 9. Solve the all the exercises. Each exercise is marked with 0 points 0. Write with blue or black ink (Shapes can be drawn with pencil).. The use of corrective liquid (Tip-Ex) is not allowed. 2. The use of a calculator is not allowed. Exercises. Show that the number is divided by 7 2. is a square. If point lies on such that = and point lies on such that = show that = If where α,β,γ,δ 0 and α+β+γ+δ = 0 then calculate If (α+β+γ)²=3(αβ+αγ+βγ) then show that α=β=γ

12 Προτεινόμενες Λύσεις. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το To 2007 διαιρείται ακριβώς με το 3 άρα ( ) + 2 ( ) = (7) + 2 (7) = 7. ( + 2³ ) Άρα διαιρείτε με το 7 2. Σε τετράγωνο παίρνω σημείο στην ώστε = και σημείο 3 στην ώστε = 2. Να δείξετε ότι γωνία = 90 ο 9 ()²=()²+()²=8χ²+9χ²=90χ² ()²=()²+()² = 4χ²+36χ²=40χ² 9χ 9χ 3χ ()²=()²+()²=8χ²+49χ²=30χ² 6χ ()²=()²+()² άρα ισχύει το Π.Θ. ωνία = 90 ο 7χ 2χ 3. ν ισχύει η σχέση αβγ δ όπου α,β,γ,δ 0 και α+β+γ+δ 0 + βγδ + γδα α β + δαβ + 4 = 0 να υπολογιστεί το γ α β γ δ Έστω α+β+γ+δ = χ χ δ χ α + δ α + χ β β + χ γ + 4 = 0 γ χ δ + χ α + χ β + χ γ + 4 = 0 χ α + χ β + χ γ + χ δ = 0 χ α + β + γ + δ = 0 α + β + γ + δ = 0

13 4. ν ισχύει η σχέση (α+β+γ)²=3(αβ+αγ+βγ) τότενα δείξετε ότι α=β=γ α²+β²+γ²+2αβ+2αγ+2βγ=3αβ+3αγ+3βγ α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ=0 2(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)=0 α²+β²-2αβ+α²+γ²-2αγ+β²+γ²-2βγ=0 (α-β)²+(α-γ)²+(β-γ)²=0 α-β=0 α-γ=0 β-γ=0 α=β α=γ β=γ α=β=γ