ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΗΣ ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΡΤΗΡΙΑΚΩΝ ΤΟΙΧΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Χαλάς Ιωάννης Αθήνα 2006

2 Τριµελής Επιτροπή: Καθηγήτρια. Γιόβα (επιβλέπουσα) (Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ.& Μηχ.Υπολ.) Καθηγητής Π. Μαραγκός (Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ.& Μηχ.Υπολ.) Καθηγητής Σ. Τσαγγάρης (Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών)

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περίληψη Abstract i ii iv Κεφάλαιο 1: Βασικές αρχές 1.1: Θεωρία των υπερήχων 1 1.2: Σηµασία της υπερηχητικής απεικόνισης των αρτηριών και 5 της εκτίµησης της κίνησης των τοιχωµάτων τους 1.3: Τεχνικές υπερηχητικής απεικόνισης : B-mode : M-mode : CW/PW Doppler : Έγχρωµο Doppler : Echo-tracking : Χαρακτηριστικά των αγγείων : οµή των τοιχωµάτων και γεωµετρικές παράµετροι : Μηχανο-ελαστικές ιδιότητες : Παθολογία των αγγείων : Αθηροσκλήρωση : Ανευρύσµατα 17

4 Κεφάλαιο 2: Μέθοδοι εκτίµησης της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων 2.1: Ιστορική αναδροµή : Κατηγορίες µεθόδων εκτίµησης κίνησης : Μέθοδος TDI : ιαφορικές µέθοδοι οπτικής ροής : Μέθοδοι ταύτισης περιοχών (block matching) 26 Κεφάλαιο 3: Παραµορφώσιµα µοντέλα (deformable models) και ενεργά περιγράµµατα (active contours) 3.1: Εισαγωγή και ιστορική αναδροµή : Εφαρµογές των ενεργών περιγραµµάτων στην ιατρική απεικόνιση : Παρακολούθηση κίνησης µε ενεργά περιγράµµατα : Μαθηµατικό υπόβαθρο των ενεργών περιγραµµάτων : ύναµη µπαλονιού (balloon force) 39 Κεφάλαιο 4: Εφαρµογή των ενεργών περιγραµµάτων για την ανίχνευση των αρτηριακών τοιχωµάτων και την παρακολούθηση της κίνησής τους 4.1: Πειραµατική διαδικασία : Σχηµατισµός των γκρίζων υπερηχητικών εικόνων : Μεθοδολογία των µετρήσεων : Ανίχνευση των τοιχωµάτων αρτηριών µε ενεργά περιγράµµατα : Εφαρµογή των αλγόριθµων ταύτισης περιοχών για την παρακολούθηση της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων : Εφαρµογή του αλγόριθµου SLBM σε ακολουθία γκρίζων εικόνων της καρωτιδικής αρτηρίας : Εφαρµογή του αλγόριθµου MLBM σε ακολουθία γκρίζων εικόνων της καρωτιδικής αρτηρίας 66

5 4.3.3: Εφαρµογή του αλγόριθµου SLBM σε ακολουθία γκρίζων εικόνων της βραχιακής αρτηρίας : Εφαρµογή του αλγόριθµου MLBM σε ακολουθία γκρίζων εικόνων της βραχιακής αρτηρίας : Συνδυασµός των αλγόριθµων ταύτισης περιοχών και των µεθόδων των ενεργών περιγραµµάτων για την παρακολούθηση κίνησης : Συνδυασµός του αλγόριθµου SLBM και του µοντέλου της δύναµης µπαλονιού για την παρακολούθηση της κίνησης των τοιχωµάτων της καρωτιδικής αρτηρίας : Συνδυασµός του αλγόριθµου SLBM και του µοντέλου της δύναµης µπαλονιού για την παρακολούθηση της κίνησης των τοιχωµάτων της βραχιακής αρτηρίας : Συµπεράσµατα : Προοπτικές 80 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 81

6 Πρόλογος Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του ιατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών στη Βιοϊατρική Τεχνολογία, στο εργαστήριο Εφαρµοσµένης Βιοφυσικής και Βιοϊατρικής Οπτικής. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερµές µου ευχαριστίες σε όλους όσους µε οποιοδήποτε τρόπο µε βοήθησαν κατά την εκπόνηση της εργασίας, και ιδιαίτερα: Την καθηγήτριά µου κ.. Γιόβα που µου έδωσε την ευκαιρία να εκπονήσω τη διπλωµατική µου εργασία στο εργαστήριο Εφαρµοσµένης Βιοφυσικής και Βιοϊατρικής Οπτικής και µου παρείχε κάθε δυνατή βοήθεια και υποστήριξη τόσο σε βιβλιογραφικά θέµατα όσο και σε οποιοδήποτε πρόβληµα προέκυπτε κατά την πραγµατοποίηση της εργασίας. Τον καθηγητή κ. Π. Μαραγκό για τις πολύτιµες συµβουλές και την βιβλιογραφική συνδροµή που µου παρείχε κατά την εκπόνηση της εργασίας. Τον συνάδελφο και φίλο Νίκο Βασιλόπουλο για τις συµβουλές και υποδείξεις του, που ήταν καθοριστικές για την επιτυχή ολοκλήρωση της εργασίας. Επίσης ευχαριστώ όλο το προσωπικό του εργαστηρίου, που µε βοήθησαν σε οτιδήποτε χρειάστηκα και έδειξαν συναδελφικό ενδιαφέρον για την επιτυχία της προσπάθειας αυτής. Με ιδιαίτερη χαρά και ενδιαφέρον θα δεχόµουν οποιαδήποτε παρατήρηση ή υπόδειξη που θα µπορούσε να οδηγήσει στη διόρθωση και βελτίωση της παρούσας εργασίας ή θα αφορούσε πιθανές µελλοντικές προοπτικές και επεκτάσεις σχετικές µε το αντικείµενό της. Αθήνα 2006 Χαλάς Ιωάννης i

7 Περίληψη Οι καρδιαγγειακές παθήσεις αποτελούν σήµερα την πρώτη αιτία θανάτου στις αναπτυγµένες χώρες. Οι αιτίες που τις προκαλούν συνδέονται πολύ συχνά µε τις ιδιότητες και την γενική κατάσταση των τοιχωµάτων των µεγάλων αρτηριών. Η υπερηχητική απεικόνιση των τελευταίων είναι εξαιρετικά σηµαντική για τη διάγνωση πιθανών παθολογικών καταστάσεων, καθώς χαρακτηρίζεται από χαµηλό κόστος και ελάχιστη επιβάρυνση για τον οργανισµό του ασθενούς, ενώ µπορεί να πραγµατοποιείται σε πραγµατικό χρόνο. Επιπλέον, οι υπερηχητικές τεχνικές απεικόνισης επιτρέπουν την παρακολούθηση της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων, από την οποία µπορούν να εξαχθούν αρκετά ασφαλή συµπεράσµατα για την κατάστασή τους. Για την παρακολούθηση της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων έχουν χρησιµοποιηθεί διάφορες µέθοδοι, µε κυριότερες αυτές που βασίζονται στο φαινόµενο Doppler (Tissue Doppler Imaging), τις διαφορικές µεθόδους οπτικής ροής και τις µεθόδους ταύτισης περιοχών (block matching). Οι µέθοδοι Doppler είναι εξαιρετικά ακριβείς, µόνο όµως κοντά στη διεύθυνση της υπερηχητικής δέσµης. Οι µέθοδοι οπτικής ροής µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε διδιάστατες απεικονίσεις µε αρκετά ικανοποιητική ακρίβεια, αδυνατούν ωστόσο να παρακολουθήσουν µεγάλες µετατοπίσεις. Από την άλλη πλευρά, οι µέθοδοι ταύτισης περιοχών δεν παρουσιάζουν τα παραπάνω προβλήµατα, υστερούν όµως σε ακρίβεια. Μια σχετικά νέα τεχνική µε ευρεία εφαρµογή στην ιατρική απεικόνιση είναι τα ενεργά περιγράµµατα (active contours). Πρόκειται για παραµετρικές καµπύλες που κινούνται στο επίπεδο της εικόνας έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται ένα ενεργειακό συναρτησιακό και επιτρέπουν την ανίχνευση αντικειµένων στην εικόνα. Στις κλασικές µεθόδους των ενεργών περιγραµµάτων, η αρχική καµπύλη πρέπει να ορίζεται κοντά στο προς ανίχνευση αντικείµενο. Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος αυτού έχουν προταθεί διάφορες βελτιώσεις του κλασικού µοντέλου των ενεργών περιγραµµάτων, όπως η εισαγωγή της λεγόµενης «δύναµης µπαλονιού». Τα ενεργά περιγράµµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για παρακολούθηση κίνησης σε ακολουθίες εικόνων, καθώς µπορούν να προσαρµόζονται στα εξέχοντα χαρακτηριστικά των κινούµενων δοµών. Ωστόσο, στην υπερηχητική απεικόνιση των αρτηριακών τοιχωµάτων, η περιπλοκότητα της κίνησής τους και ο έντονος θόρυβος καθιστούν ιδιαίτερα δύσκολη την άµεση εφαρµογή των ενεργών περιγραµµάτων για την παρακολούθηση κίνησης. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι ο συνδυασµός των ενεργών περιγραµµάτων και των µεθόδων ταύτισης περιοχών για την αυτοµατοποίηση της παρακολούθησης κίνησης σε ακολουθίες εικόνων των τοιχωµάτων αρτηριών (συγκεκριµένα της καρωτιδικής και της ii

8 βραχιακής) και για τη βελτίωση της επαναληψιµότητας των σχετικών µετρήσεων. Αρχικά, εφαρµόστηκαν οι µέθοδοι ταύτισης περιοχών ενός επιπέδου (Single Level Block Matching) και πολλών επιπέδων (Multilevel Block Matching) για την παρακολούθηση της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων από ακολουθίες εγκάρσιων τοµών της καρωτιδικής και της βραχιακής αρτηρίας. Μια κλειστή καµπύλη ορίστηκε από το χρήστη στο πρώτο πλαίσιο της ακολουθίας, έτσι ώστε να αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στο περίγραµµα των ορίων του αρτηριακού τοιχώµατος και καταγράφηκε η επιφάνεια που περικλείεται από την καµπύλη αυτή κατά τη διάρκεια ενός καρδιακού κύκλου. Η µετατόπιση των σηµείων της καµπύλης από πλαίσιο σε πλαίσιο εκτιµήθηκε µε τις µεθόδους ταύτισης περιοχών. Η µορφή της γραφικής παράστασης της επιφάνειας αυτής σε συνάρτηση µε το χρόνο (δηλαδή τον αριθµό του πλαισίου) αποτελεί έναν πολύ καλό δείκτη της κατάστασης της αρτηρίας. Η αυτοµατοποίηση της διαδικασίας λήψης των παραπάνω µετρήσεων µπορεί να επιτευχθεί αν η επιλογή της αρχικής κλειστής καµπύλης δεν βασίζεται στην εκτίµηση του χρήστη αλλά στην ανίχνευση των τοιχωµάτων µε ενεργά περιγράµµατα. Το κλασικό µοντέλο των ενεργών περιγραµµάτων και το µοντέλο της «δύναµης µπαλονιού» εφαρµόστηκαν για αυτό το σκοπό στο πρώτο πλαίσιο των ακολουθιών εικόνων των αρτηριών. ιαπιστώθηκε ότι το µοντέλο της δύναµης µπαλονιού δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα ανίχνευσης των αρτηριακών τοιχωµάτων και µάλιστα µε ικανοποιητική επαναληψιµότητα, καθώς το αποτέλεσµα της ανίχνευσης δεν διαφοροποιούνταν σηµαντικά από την επιλογή της αρχικής κλειστής καµπύλης του ενεργού περιγράµµατος, αρκεί η ακτίνα της τελευταίας να είναι τέτοια ώστε η καµπύλη να βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό της αρτηρίας. Στη συνέχεια, η καµπύλη που προέκυψε από την ανίχνευση των τοιχωµάτων χρησιµοποιήθηκε ως αρχική καµπύλη για την παρακολούθηση κίνησης µε τις µεθόδους ταύτισης περιοχών. Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν δεν διαφέρουν σηµαντικά σε σχέση µε την περίπτωση όπου ο ορισµός της καµπύλης στο πρώτο πλαίσιο γίνεται από το χρήστη. Συνεπώς, η ανίχνευση των αρτηριακών τοιχωµάτων µε ενεργά περιγράµµατα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να βελτιώσει την επαναληψιµότητα των µετρήσεων για την παρακολούθηση κίνησης και να συµβάλει στην αυτοµατοποίηση της διαδικασίας λήψης τους. iii

9 Abstract Cardiovascular diseases are the leading cause of death today in developed countries. Their causes are very frequently related with the status of artery walls. Ultrasonic imaging is very important for the diagnosis of possible arterial pathology, because it is of low cost, safe for the patient and can be performed in real time. Ultrasonic imaging also allows arterial wall motion tracking, which can provide critical diagnostic information. Motion tracking methods include Tissue Doppler Imaging (TDI), differential optical flow methods and block matching. Tissue Doppler Imaging offers excellent accuracy, restricted however to directions close to the direction of the ultrasonic beam. Optical flow methods can be used in two dimensions with considerable accuracy, but they fail in cases of fast moving structures. In the case of block matching, no such problems have to be dealt with, however with significant cost in accuracy. Active contours, a relatively new technique widely used in medical imaging, are parameterized curves moving on the image plane in order to minimize an energy functional and allowing object detection. Classical active contour methods require that the initial curve of the model is defined close to the object to be detected. In order to avoid this, several techniques have been proposed, such as the so-called balloon force. Active contours can also be used for motion tracking in series of image frames, provided that they can fit to salient features of moving structures. In arterial wall ultrasonic imaging however, motion complexity and noise obstruct motion tracking with active contours. In the current study active contours and block matching methods are combined to improve reproducibility of motion tracking measurements in series of artery wall images (namely for the carotid and brachial artery). Single level and multilevel block matching methods were used for artery wall motion tracking. A closed curve was defined by the user in the first frame of the image series, both for the carotid and brachial artery. This curve is a rough estimation of the arterial wall contour. The area enclosed by the curve is recorded throughout a cardiac cycle. Curve movement is estimated with block matching methods. The graph pattern of enclosed area versus time (i.e. frame number) is a very good indicator for the status of the artery. The above process can be automatized if the initial closed curve is produced by object detection with active contours and not by estimation. The active contours classical model and the balloon force model were used for artery wall detection in the first frame of the artery image series. The balloon force model yielded satisfactory wall detection results with considerable reproducibility. The choice of the dimensions of the initial contour of the model did not affect the final result considerably, provided that the initial contour is fully placed iv

10 inside the arterial lumen. The curve that resulted from object detection was used to initialize the motion tracking process with block matching methods. In this way, similar motion tracking results can be obtained for the artery image series, but with much improved reproducibility. v

11 1. Βασικές αρχές 1.1 Θεωρία των υπερήχων Η υπερηχητική απεικόνιση βασίζεται στην ιδιότητα των ηχητικών κυµάτων να ανακλώνται µερικώς, στα σηµεία που βρίσκονται στη διαχωριστική επιφάνεια µεταξύ ιστών µε διαφορετικές ακουστικές ιδιότητες (σχ ). Το ποσοστό της ενέργειας που ανακλάται (RI), για κάθετη πρόσπτωση, εξαρτάται από τις ακουστικές εµπεδήσεις (Z1,Ζ2) των δύο διαφορετικών µέσων διάδοσης, σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: Z1 (1 ) 2 RI= Z2 Z1 (1+ ) 2 Z2 (1) Σχήµα Η υπερηχητική απεικόνιση βασίζεται στις ανακλάσεις των υπερηχητικών κυµάτων στα σηµεία µετάβασης από έναν τύπο ιστού σε άλλο, όπως είναι τα όρια των αγγειακών τοιχωµάτων. Έτσι, όταν ένας υπερηχητικός παλµός εκπέµπεται από έναν πιεζοηλεκτρικό µετατροπέα προς το εσωτερικό του ανθρώπινου σώµατος, στον µετατροπέα επιστρέφει, µετά από κάποιο χρόνο, µια παλµική ακολουθία (σχ ), που δηµιουργείται από τις ανακλάσεις που πραγµατοποιούνται σε διάφορα βάθη, όταν το ακουστικό κύµα αλλάζει µέσο διάδοσης. 1

12 Σχήµα Σειρά από ανακλώµενους παλµούς στην περιοχή της καρωτίδας. Οι ανακλάσεις στα σηµεία Α και Β προέρχονται από τα τοιχώµατα της καρωτιδικής αρτηρίας. Στο ανακλώµενο σήµα παρεµβάλλεται θόρυβος, είτε λόγω διαδοχικών διαθλάσεων που καταλήγουν στη διεύθυνση της λήψης, είτε λόγω επανεκποµπής του υπερηχητικού παλµού από µικροδοµές των ιστών, που συµπεριφέρονται ως δευτερογενείς πηγές. Επίσης, λευκός θόρυβος υπεισέρχεται στο σήµα από τις ηλεκτρονικές διατάξεις. Σηµαντική είναι ακόµα η παρεµβολή που προκαλείται από την παρουσία πλευρικών λοβών. Η οπισθοσκέδαση που παρατηρείται στα τοιχώµατα των µεγάλων αγγείων είναι αρκετά ισχυρή, µε αποτέλεσµα ο λόγος σήµατος προς θόρυβο να είναι ικανοποιητικός. Ιδιαίτερα αποτελεσµατική είναι η υπερηχητική απεικόνιση των επιφανειακών αγγείων, χάρη στις υψηλές συχνότητες εκποµπής που επιτρέπει το µικρό βάθος διείσδυσης. Η εξασθένιση των ακουστικών σηµάτων είναι εκθετική σε συνάρτηση µε την απόσταση και µάλιστα διαφορετική για κάθε συχνότητα. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια τόσο την ελάττωση του λόγου σήµατος προς θόρυβο σε µεγαλύτερο βάθος, όσο και τη µικρή παραµόρφωση του υπερηχητικού παλµού. Στα υπερηχητικά κύµατα που ανακλώνται σε κινούµενες επιφάνειες εµφανίζεται το φαινόµενο Doppler. Σύµφωνα µε την εξίσωση του φαινοµένου Doppler (σχέση 2), η συχνότητα του ανακλώµενου σήµατος (f) είναι µετατοπισµένη προς τα πάνω (+) ή προς τα κάτω (-), σε σχέση µε τη συχνότητα του προσπίπτοντος σήµατος (f 0 ), όταν ο στόχος κινείται (µε σταθερή ταχύτητα u και γωνία θ σε σχέση µε τον άξονα της υπερηχητικής δέσµης) προς την πηγή εκποµπής ή αποµακρύνεται από αυτήν αντίστοιχα. Το µέγεθος c είναι η ταχύτητα 2

13 του ήχου, η οποία θεωρείται περίπου ίση µε 1540 m/sec για την περίπτωση της διάδοσης σε µαλακούς ιστούς. 2*u*f 0*cosθ f=f 0 ± c (2) Η ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας µπορεί να βελτιωθεί µε την χρησιµοποίηση υπερηχητικών παλµών πολύ στενού εύρους ζώνης. Το τίµηµα της υψηλότερης ανάλυσης στη συχνότητα είναι η µείωση της χωρικής διακριτικής ικανότητας, δηλαδή του βαθµού στον οποίο µπορούν να διακριθούν τα ανακλώµενα σήµατα από δύο πολύ κοντινούς στόχους. Συνεπώς, καλή χωρική διακριτική ικανότητα προϋποθέτει παλµούς µικρής διάρκειας, δηλαδή µεγάλου εύρους ζώνης. Εκτός από τη διάρκεια και το χωρικό εύρος των εκπεµπόµενων παλµών, ένας παράγοντας που παίζει σηµαντικό ρόλο στην απεικόνιση κινούµενων ιστών, όπως είναι τα αγγειακά τοιχώµατα, είναι ο ρυθµός παρατήρησης της θέσης του ιστού, δηλαδή η συχνότητα επανάληψης των παλµών (Pulse Repetition Frequency, PRF). Αν ο ιστός βρίσκεται σε βάθος h, ο χρόνος που πρέπει να παρεµβάλλεται µεταξύ της εκποµπής δύο διαδοχικών παλµών είναι ο χρόνος που απαιτείται για να επιστρέψει ο πρώτος παλµός στον πιεζοηλεκτρικό µετατροπέα. Η PRF είναι το αντίστροφο του χρόνου αυτού και δίνεται από τη σχέση: c PRF = 2*h (3) Για τη διδιάστατη υπερηχητική απεικόνιση απαιτούνται πολλές παράλληλες δέσµες, στη διεύθυνση των οποίων γίνεται η εκποµπή διαφορετικών παλµών. Το σύνολο των γραµµών που αντιστοιχεί στις δέσµες αυτές συγκροτεί ένα πλαίσιο, δηλαδή µια εικόνα υπερήχου. Στο σηµείο αυτό θα επανέλθουµε στη συνέχεια, όταν θα µιλήσουµε για τη µέθοδο υπερηχητικής απεικόνισης B-mode. Ο ρυθµός λήψης των πλαισίων είναι ίσος µε το γινόµενο της συχνότητας επανάληψης των παλµών µε τον αριθµό των γραµµών του πλαισίου. Στις εικόνες δύο διαστάσεων η χωρική διακριτική ικανότητα διακρίνεται σε αξονική και εγκάρσια. Η αξονική διακριτική ικανότητα αναφέρεται στη δυνατότητα διάκρισης στόχων που βρίσκονται κατά µήκος της ίδιας διεύθυνσης εκποµπής και εξαρτάται από τη συχνότητα και τη διάρκεια των εκπεµπόµενων υπερηχητικών παλµών. Η εγκάρσια διακριτική ικανότητα αφορά στόχους που βρίσκονται στο ίδιο βάθος, αλλά σε διαφορετικές κατακόρυφες διευθύνσεις, και εξαρτάται από το πλάτος της υπερηχητικής δέσµης. Στο κοντινό πεδίο (ή πεδίο Fresnel), του οποίου το µήκος δίνεται από τη σχέση 4, η δέσµη έχει σταθερό πλάτος, αλλά ακανόνιστη κατανοµή έντασης. Στο µακρινό πεδίο (ή πεδίο 3

14 Fraunhofer) η ένταση θεωρείται χωρικά οµοιόµορφη, όµως το πλάτος της δέσµης αυξάνει γραµµικά σε συνάρτηση µε την απόσταση από την υπερηχητική πηγή και η δέσµη αποκλίνει κατά σταθερή γωνία, που δίνεται από τη σχέση 5. Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήµα Για να έχουµε καλή εγκάρσια διακριτική ικανότητα, πρέπει η δέσµη να είναι στενή, γεγονός που επιτυγχάνεται µε τεχνικές εστίασης. Οι τεχνικές αυτές περιλαµβάνουν τη χρήση ακουστικών φακών ή κοίλων πιεζοηλεκτρικών µετατροπέων, καθώς και τη συµβολή σε κατάλληλα βάθη δεσµών διαφορετικής φάσης, που προέρχονται από γειτονικούς µετατροπείς. 2 D z= λ (4) λ θ =arcsin(1.22* ) D (5) Στις παραπάνω σχέσεις, λ είναι το µήκος του υπερηχητικού κύµατος και D είναι η διάµετρος του υπερηχητικού µετατροπέα. Σχήµα Μορφή της υπερηχητικής δέσµης και µεταβολή της έντασής της, στο κοντινό και στο µακρινό πεδίο. 4

15 1.2 Σηµασία της υπερηχητικής απεικόνισης των αρτηριών και της εκτίµησης της κίνησης των τοιχωµάτων τους Οι καρδιαγγειακές παθήσεις αποτελούν σήµερα την πρώτη αιτία θανάτου στις αναπτυγµένες χώρες (σχήµα 1.2.1). Πρώτα στη λίστα επικινδυνότητας βρίσκονται τα εµφράγµατα του µυοκαρδίου, τα οποία προκαλούνται από την στένωση των στεφανιαίων αρτηριών και την απόφραξή τους από θρόµβους. Υψηλά είναι επίσης τα ποσοστά θνησιµότητας ή πρόκλησης σοβαρών αναπηριών λόγω εγκεφαλικών επεισοδίων, τα οποία προκαλούνται από ρήξη εγκεφαλικών αγγείων λόγω υπέρτασης, ή από την διακοπή της αιµάτωσης των αγγείων του εγκεφάλου λόγω στένωσης, απόφραξης ή εσωτερικής αιµορραγίας κρανιακών αρτηριών. Συνεπώς, καθίσταται φανερή η τεράστια σηµασία της έγκαιρης διάγνωσης των παθήσεων αυτών, καθώς τα κρούσµατα συνεχώς αυξάνονται και τα δυσάρεστα αποτελέσµατά τους εκδηλώνονται συνήθως απροειδοποίητα. Οι αιτίες που προκαλούν τις καρδιαγγειακές παθήσεις συνδέονται, άµεσα ή έµµεσα, µε τις ιδιότητες των τοιχωµάτων των µεγάλων αρτηριών, και ιδιαίτερα της καρωτιδικής, της βραχιακής, της στεφανιαίας και της αορτής. Εποµένως, η εκτίµηση των ιδιοτήτων αυτών µπορεί να συµβάλει καθοριστικά στην έγκαιρη διάγνωση πολλών ασθενειών. Η υπερηχητική απεικόνιση, τόσο της καρδιάς όσο και των αγγείων, κατέχει πολύ σηµαντική θέση στον χώρο της ιατρικής διάγνωσης, για πολλούς λόγους: το κόστος της είναι εξαιρετικά χαµηλό, είναι µη επεµβατική και η επιβάρυνση που προκαλεί στον οργανισµό του ασθενούς είναι ουσιαστικά αµελητέα, και στις περισσότερες περιπτώσεις µπορεί να αυτοµατοποιηθεί και να πραγµατοποιείται σε πραγµατικό χρόνο. Η µαγνητική τοµογραφία είναι επίσης µη επεµβατική, αλλά δεν µπορεί να χρησιµοποιείται σε συχνές εξετάσεις ρουτίνας, λόγω του σχετικά υψηλού κόστους της. Η αγγειογραφία µε έγχυση στο αίµα ραδιενεργών στοιχείων, από την άλλη µεριά, αν και αναντικατάστατη σε πολλές περιπτώσεις, δεν µπορεί να εφαρµόζεται ανεξέλεγκτα, λόγω των παρενεργειών της. Σηµαντικό πλεονέκτηµα των υπερηχητικών τεχνικών είναι επίσης η δυνατότητα απεικόνισης της κίνησης των κινούµενων δοµών. Η κίνηση των αρτηριακών τοιχωµάτων αποτελεί αρκετά ασφαλές και ευαίσθητο κριτήριο της κατάστασής τους. Οι αλλοιώσεις των τοιχωµάτων επηρεάζουν µε χαρακτηριστικό τρόπο την κίνησή τους. Για παράδειγµα, το διάνυσµα της ταχύτητας µε την οποία συστέλλεται και διαστέλλεται µια αρτηρία, είναι άλλο στις περιοχές όπου το αρτηριακό τοίχωµα είναι υγιές και άλλο σε περιοχές όπου εµφανίζεται σκλήρυνση, πλάκα, ανεύρυσµα κ.λ.π. Η εφαρµογή της παρακολούθησης και εκτίµησης της κίνησης (motion tracking, motion estimation) των αρτηριακών τοιχωµάτων κινείται ακόµα σε ερευνητικά επίπεδα, µε εξαίρεση τη µονοδιάστατη απεικόνιση της κίνησης του τοιχώµατος κατά µήκος της υπερηχητικής δέσµης. Οι διδιάστατες τεχνικές που εφαρµόζονται σήµερα στην υπερηχητική αγγειογραφία 5

16 στηρίζονται κυρίως σε ποσοτικές εκτιµήσεις, όπως είναι ο υπολογισµός της διαµέτρου του αγγείου και του πάχους του τοιχώµατος, και δεν λαµβάνουν υπόψη την κίνηση. Οι εκτιµήσεις των αρτηριακών παραµέτρων µε βάση στατικές εικόνες είναι µεν αντικειµενικές, αλλά απαιτούν µεγάλη ακρίβεια στη µέτρηση και ανεξαρτησία από στατιστικούς παράγοντες. Ειδικότερα για την καρωτιδική αρτηρία, σύµφωνα µε τους Nagai et al (2002), οι οποίοι αναφέρονται σε πρόσφατες κλινικές µελέτες, η σηµασία της είναι εξαιρετική για την εκτίµηση του κινδύνου εκδήλωσης διαφόρων ασθενειών σε υγιή άτοµα. Απαραίτητη για την εκτίµηση αυτή είναι η λήψη µετρήσεων των κυριότερων ιδιοτήτων της καρωτιδικής αρτηρίας και των τοιχωµάτων της (διάµετρος, πάχος τοιχώµατος, ελαστικότητα, ύπαρξη ή µη πλακών και ιδιότητες των τελευταίων κλπ.). Επίσης, η εκτίµηση του βαθµού της στένωσης της καρωτιδικής αρτηρίας, καθώς και άλλων µεγάλων αρτηριών, αποτελεί αποφασιστικό στοιχείο για τη λήψη αποφάσεων σχετικά µε την αναγκαιότητα ή µη χειρουργικών επεµβάσεων σε ασθενείς. Στο άρθρο των Nagai et al αναφέρονται επίσης και σηµαντικά προβλήµατα, στα οποία οφείλεται το γεγονός ότι η εκτίµηση των ιδιοτήτων των αρτηριών µέσω της παρακολούθησης της κίνησης των τοιχωµάτων τους δεν έχει βρει µέχρι σήµερα ευρεία εφαρµογή σε κλινικό περιβάλλον. Τα προβλήµατα αυτά είναι τεχνικού (απουσία καθιερωµένων πρωτοκόλλων, ανεπαρκής ακρίβεια του εξοπλισµού ή/και των χρησιµοποιούµενων µεθόδων, ανεπαρκής επαναληψιµότητα των µετρήσεων) και τεχνικοοικονοµικού χαρακτήρα (κυρίως όσα έχουν να κάνουν µε τη σχέση κόστουςαπόδοσης). Σχήµα Στον αιώνα µας οι καρδιαγγειακές παθήσεις αποτελούν την πρώτη αιτία θανάτου στις αναπτυγµένες χώρες. Τα κρούσµατα είναι κάθε χρόνο σχεδόν διπλάσια από αυτά του καρκίνου. 6

17 1.3 Τεχνικές υπερηχητικής απεικόνισης B-mode Η πρώτη τεχνική απεικόνισης µε υπερήχους ήταν µονοδιάστατη και βασιζόταν στη µέτρηση των ακουστικών ιδιοτήτων των διαφορετικών ιστών µε βάση το πλάτος των λαµβανοµένων ανακλάσεων. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται Α-mode (amplitude mode) και µπορεί ακόµα να χρησιµοποιηθεί σε απλές εφαρµογές. Η µέθοδος Β-mode (brightness mode) αποτελεί την εξέλιξη της προηγούµενης τεχνικής και είναι ακόµα και σήµερα η επικρατέστερη υπερηχητική τεχνική για την διδιάστατη απεικόνιση εσωτερικών δοµών. Η περιοχή απεικόνισης σαρώνεται από τις υπερηχητικές δέσµες που εκπέµπονται από µια συστοιχία υπερηχητικών µετατροπέων και κάθε σηµείο της απεικονίζεται στη λαµβανόµενη εικόνα-πλαίσιο µε φωτεινότητα (σε κλίµακα του γκρίζου) που είναι ανάλογη της ισχύος του ανακλώµενου σήµατος που επιστρέφει από κάθε σηµείο. Η καθυστέρηση της λήψης της ανάκλασης χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του βάθους των στόχων. Το κέρδος µε το οποίο ενισχύονται οι ανακλάσεις προσαρµόζεται (Time Gain Compensation, TGC), έτσι ώστε να αντισταθµίζεται η διαφορετική εξασθένιση, λόγω του διαφορετικού βάθους από το οποίο προέρχεται η κάθε ανάκλαση. Σχήµα Απεικόνιση αγγείου µε τη µέθοδο B-mode 7

18 1.3.2 M-mode Η µέθοδος B-mode παρέχει ικανοποιητική αναπαράσταση της γεωµετρίας των δοµών που απεικονίζονται, χωρίς όµως να παρακολουθεί την τροχιά των κινούµενων στόχων. Η τεχνική M-mode (motion mode) υπολογίζει µόνο το βάθος από το οποίο προέρχεται η ανάκλαση και παριστάνει την κίνηση µε διαδοχικά σηµεία θέσης. Το βάθος υπολογίζεται, όπως και στην B-mode, από τη µέτρηση του χρόνου µεταξύ της εκποµπής του παλµού και της λήψης της ανάκλασης. Η µέθοδος Μ-mode χρησιµοποιείται για την παρακολούθηση συγκεκριµένων σηµείων κατά µήκος µιας ακτίνας και καταγράφει την χρονική εξέλιξη των ανακλάσεων που λαµβάνονται από αυτά. Σχήµα M-mode απεικόνιση της αριστερής κοιλίας. Σε κάθε χρονική στιγµή (οριζόντιος άξονας), απεικονίζεται η θέση (κάθετος άξονας) του έσω και έξω τοιχώµατος κατά µήκος µονοακτινικής υπερηχητικής δέσµης. Στην παρούσα εικόνα έχει προστεθεί και χρώµα (µέθοδος TDI) που δείχνει την φορά και το µέγεθος της ταχύτητας. Όταν το εσωτερικό τοίχωµα πλησιάζει τον µετατροπέα (κόκκινο χρώµα), το εξωτερικό τοίχωµα αποµακρύνεται (µπλε χρώµα) και αντίστροφα. 8

19 1.3.3 CW/PW Doppler Η εφαρµογή του φαινοµένου Doppler στον υπολογισµό της ταχύτητας κινούµενων δοµών πραγµατοποιήθηκε αρχικώς µε συνεχή υπερηχητικά κύµατα (Continuous Wave Doppler, CW Doppler) και όχι µε παλµούς. Το σήµα που επέστρεφε στον πιεζοηλεκτρικό µετατροπέα είχε διαφορετική συχνότητα από το εκπεµπόµενο σήµα, λόγω των ανακλάσεων σε κινούµενους ιστούς. Η διαφορά της συχνότητας εκπεµπόµενου και ανακλώµενου σήµατος, δηλαδή η µετατόπιση συχνότητας Doppler, είναι ανάλογη της ταχύτητας του στόχου. Το βασικό µειονέκτηµα των µεθόδων Doppler είναι ότι, για τον ακριβή υπολογισµό της ταχύτητας, πρέπει να είναι γνωστή η γωνία µεταξύ της δέσµης και της διεύθυνσης της ταχύτητας. Το συνεχές Doppler δεν παρείχε επίσης δυνατότητα υπολογισµού του βάθους της κίνησης. Το παλµικό Doppler (Pulsed Wave Doppler, PW Doppler) έδωσε νέα ώθηση στις τεχνικές Doppler, καθώς παρέχει πληροφορία τόσο για την ταχύτητα, όσο και για τη θέση του κινούµενου στόχου. Με την τµηµατοποίηση του λαµβανόµενου συρµού (multigate analysis), γίνεται επεξεργασία στον χώρο της συχνότητας σε διακεκριµένα βάθη, µε αποτέλεσµα κάθε κινούµενη δοµή να εξετάζεται ξεχωριστά. Με την χρήση µικρής διάρκειας παλµών, επιτυγχάνεται αναγνώριση των διαφορετικών κινήσεων γειτονικών δοµών µε υψηλή χωρική διακριτική ικανότητα. Από την άλλη, είναι εφικτός ο αρκετά ακριβής υπολογισµός στιγµιαίων ταχυτήτων, µε χρησιµοποίηση παλµών στενού εύρους ζώνης. Σχήµα Μέτρηση της ροής του αίµατος σε ανεπαρκή αορτική βαλβίδα µε συνεχές Doppler. Παρατηρείται αναστροφή της ροής (αρνητικές ταχύτητες) όταν η βαλβίδα είναι κλειστή. 9

20 1.3.4 Έγχρωµο Doppler Η ανάγκη για απεικόνιση της δοµής και της κίνησης σε δύο διαστάσεις οδήγησε στην ανάπτυξη του έγχρωµου Doppler. Το µέτρο της ταχύτητας αντιστοιχίζεται σε χρώµα ή σε φωτεινότητα χρώµατος και αναπαριστάται πάνω σε µία γκρίζα B-mode εικόνα (σχήµα ). Το έγχρωµο Doppler έχει καθιερωθεί για την απεικόνιση τόσο της αιµατικής ροής όσο και της κίνησης ιστών. Η µέθοδος απεικόνισης ιστών µε Doppler (Tissue Doppler imaging, TDI) αποτελεί την κύρια εκδοχή του έγχρωµου Doppler για τη µελέτη της κίνησης των ιστών. Λόγω της δυσκολίας καταγραφής µικρών ταχυτήτων µε χρήση της συχνότητας Doppler, που είναι αποτέλεσµα της πεπερασµένης διακριτικής ικανότητας στην συχνότητα, οι τεχνικές Doppler χρησιµοποιούν σήµερα αντί για τη µετατόπιση στην συχνότητα τη µετατόπιση στη φάση του σήµατος. Σχήµα ιακλάδωση της καρωτιδικής αρτηρίας. Με το έγχρωµο Doppler γίνεται αντιληπτή η αναστροφή της ροής του αίµατος µε την αλλαγή του χρώµατος από κόκκινο σε µπλε (ή αντίστροφα). 10

21 1.3.5 Echo-tracking Στη µέθοδο Μ-mode, η θέση ενός κινούµενου στόχου υπολογίζεται από την καθυστέρηση του υπερηχητικού παλµού, που σχετίζεται µε το βάθος στο οποίο βρίσκεται ο στόχος. Μια διαφορετική προσέγγιση είναι ο υπολογισµός της νέας θέσης από τη µετατόπιση σε σχέση µε την προηγούµενη θέση. Η κίνηση έχει ως αποτέλεσµα τη χρονική µετατόπιση του παραθύρου του κινούµενου στόχου (σχήµα ). Με συνεχή παρατήρηση της θέσης του παραθύρου, σε σχέση µε συγκεκριµένο βάθος, µπορεί να υπολογιστεί η µετατόπιση του στόχου από την αλλαγή της φάσης της παλµοσειράς στο βάθος αυτό. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται echo-tracking. Στη µέθοδο αυτή, το µέγεθος της χρονικής διαφοράς υπολογίζεται από την επεξεργασία των λαµβανόµενων υπερηχητικών RF παλµών, ενώ στη µέθοδο M- mode η κίνηση παρακολουθείται µε βάση τη θέση της περιβάλλουσας των παλµών. Σχήµα Στη µέθοδο echo-tracking, η µετατόπιση των κινούµενων δοµών υπολογίζεται µε βάση την αλλαγή στη φάση της παλµοσειράς, που προκαλείται σε συγκεκριµένο βάθος (Β) λόγω της µετακίνησης, σε σχέση µε το βάθος Β, του παραθύρου που παρακολουθεί τον κινούµενο στόχο. 11

22 1.4 Χαρακτηριστικά των αγγείων οµή των τοιχωµάτων και γεωµετρικές παράµετροι Η δοµή των τοιχωµάτων των αγγείων διαφοροποιείται ανάλογα µε το µέγεθός τους, επηρεάζοντας µε αυτό τον τρόπο και τη µηχανική συµπεριφορά τους. Οι µεγάλες αρτηρίες έχουν έντονα ελαστική συµπεριφορά, αφού πρέπει αφ ενός να προβάλλουν τη µικρότερη δυνατή αντίσταση στην καρδιά και αφ ετέρου να υπερνικούν µε τη συστολή τους την αντίσταση του περιφερειακού κυκλοφορικού συστήµατος. Η ελαστικότητα ελαττώνεται αισθητά στις µικρότερες αρτηρίες και εξαφανίζεται σχεδόν στα τριχοειδή αγγεία. Οι φλέβες έχουν αντίστοιχη µε τις αρτηρίες δοµή, µε τη διαφορά ότι το ελαστικό τους τµήµα είναι πολύ λεπτότερο, µε αποτέλεσµα να έχουν µικρότερη ελαστικότητα. Σε γενικές γραµµές, τα τοιχώµατα τόσο των αρτηριών όσο και των φλεβών αποτελούνται από τρία στρώµατα. Το εσωτερικό στρώµα (intima) σχηµατίζεται κυρίως από πολύ πλατιά ενδοθηλιακά κύτταρα, τα οποία εξασφαλίζουν την οµαλή και ανεµπόδιστη ροή του αίµατος, µε το οποίο έρχονται σε επαφή. Το µεσαίο στρώµα (media) συγκροτείται βασικά από µαλακούς µύες, οι οποίοι µε τη σύσφιξη και τη χαλάρωσή τους ρυθµίζουν τη διάµετρο του αγγείου. Στα µεγάλα αγγεία, µεγάλη ποσότητα ελαστικών ινών (ελαστίνη) είναι αναµεµιγµένη µε τους µαλακούς µύες και παρέχει τις ελαστικές ιδιότητες στο τοίχωµα. Τέλος, το εξωτερικό στρώµα (adventitia) είναι κατασκευασµένο από συνδετικό ιστό (κολλαγόνο). Το στρώµα αυτό είναι χαλαρό στην αρχή της διαστολής και ενεργοποιείται µετά, για να συγκρατήσει την περαιτέρω αύξηση της διαµέτρου των µεγάλων αρτηριών. Τα µικρότερα αγγεία συγκροτούνται ουσιαστικά από µαλακούς µύες, ενώ τα τριχοειδή αγγεία έχουν αποκλειστικά ενδοθηλιακά τοιχώµατα. Η γεωµετρία των αγγείων χαρακτηρίζεται από τρεις παραµέτρους: τη διάµετρο, την επιφάνεια διατοµής και το πάχος του τοιχώµατος (σχ ). Η διάµετρος διακρίνεται σε εσωτερική και εξωτερική. Τα αγγεία δεν έχουν ακριβώς κυκλική διατοµή, µε αποτέλεσµα να µην υπάρχει κάποια µονοσήµαντα ορισµένη διάµετρος. Σε πολλές περιπτώσεις όµως, αυτό που ενδιαφέρει δεν είναι η εκτίµηση συγκεκριµένης διαµέτρου, αλλά ο τρόπος µε τον οποίο µεταβάλλεται η διάµετρος του αγγείου κατά τη διάρκεια του καρδιακού κύκλου. Περισσότερο αντικειµενικός δείκτης της γενικής κατάστασης του αγγείου είναι η παρακολούθηση του εµβαδού της διατοµής καθ όλη τη διάρκεια του καρδιακού κύκλου. Το πάχος του τοιχώµατος είναι επίσης εξαιρετικά σηµαντική παράµετρος, καθώς συνδέεται µε τις περισσότερες αγγειακές παθήσεις. Συνήθως µας ενδιαφέρει το συνολικό πάχος του εσωτερικού και µεσαίου στρώµατος (intima-media thickness). 12

23 Σχήµα Τα γεωµετρικά µεγέθη των αγγείων είναι η εσωτερική διάµετρος (d), η εξωτερική διάµετρος (D), η επιφάνεια διατοµής (Α) και το πάχος του τοιχώµατος (w). 13

24 1.4.2 Μηχανο-ελαστικές ιδιότητες Οι παθολογικές διαταραχές των κύριων αρτηριών δεν επηρεάζουν µόνο το πάχος του τοιχώµατος, αλλά και την ελαστικότητα και κατ επέκταση την γενικότερη µηχανική συµπεριφορά του αγγείου. Τα κυριότερα µεγέθη που χαρακτηρίζουν τις µηχανικές ιδιότητες των αγγείων είναι το µέτρο ελαστικότητας (Young modulus, E), η διασταλτικότητα (distensibility, DC), η ταχύτητα του κύµατος πίεσης (pulse wave velocity) και η διατµητική τάση στο τοίχωµα (wall shear stress). Το µέτρο ελαστικότητας E (σχέση 6) συχνά αντικαθίσταται από την κλίση της καµπύλης πίεσης-παραµόρφωσης (pressure-strain elastic modulus, Ep), που δεν εξαρτάται από το πάχος (w) του τοιχώµατος (σχέση 7). P D E= * w D (6) Ε = P* p D D (7) 2 D/D DC = P (8) Στις παραπάνω σχέσεις, D είναι η διάµετρος του αγγείου, D η µεταβολή της διαµέτρου και P η αρτηριακή πίεση. 14

25 1.5 Παθολογία των αγγείων Αθηροσκλήρωση Πρόκειται για τον σχηµατισµό πλακών, συχνότερα σε συγκεκριµένες περιοχές των τοιχωµάτων των αρτηριών. Αιτία της εµφάνισης πλάκας θεωρείται η συσσώρευση λιπιδίων στην περιοχή. Είναι γενικά αποδεκτό, ότι η συσσώρευση είναι εντονότερη σε περιοχές πολύ υψηλού ή πολύ χαµηλού ρυθµού διάτµησης. Έχει παρατηρηθεί ότι η αθηροσκλήρωση σχετίζεται µε το φύλο και την ηλικία, καθώς πλήττει λιγότερο τις γυναίκες πριν την εµµηνόπαυση από τους άνδρες της ίδιας ηλικίας και εµφανίζεται συχνότερα σε προχωρηµένες ηλικίες και στα δύο φύλα. Έχει επίσης αποδειχθεί ότι σχετίζεται άµεσα µε την υπέρταση και τον διαβήτη. Ασθενέστεροι παράγοντες, όπως το κάπνισµα και το αλκοόλ επηρεάζουν την εξέλιξη της ασθένειας. Η ασθένεια αναπτύσσεται σε δύο στάδια: αρχικά προκαλείται οµοιόµορφη αύξηση της σκληρότητας των αρτηριών και µετέπειτα σχηµατίζονται αθηρωµατικές πλάκες (σχ ), µε παράλληλη µόνιµη διαστολή των αγγείων. Η µείωση της ελαστικότητας επιδρά αρνητικά στην πίεση και στο καρδιακό φορτίο, ενώ σε προχωρηµένο στάδιο οι πλάκες δηµιουργούν στενώσεις ή και ολικές αποφράξεις αρτηριών, ή ακόµα διαρρηγνύονται και αιµορραγούν. Για την αποφυγή εµφράγµατος ή εγκεφαλικού επεισοδίου, τα προσβεβληµένα τµήµατα των αγγείων αφαιρούνται, σε προχωρηµένη φάση της πάθησης. Σχήµα Στένωση αρτηρίας λόγω σχηµατισµού αθηρωµατικής πλάκας στο εσωτερικό της τοίχωµα. Η διάγνωση του σταδίου της αθηροσκλήρωσης µπορεί να γίνει άµεσα, µε την απεικόνιση του αγγείου σε Β-mode λειτουργία, ή έµµεσα, είτε µέσω της µέτρησης της 15

26 ελαστικότητας του αγγείου, είτε µέσω της µέτρησης της ροής στο εσωτερικό του. Στην περίπτωση της άµεσης εκτίµησης, το µέγεθος της πλάκας εξάγεται από την αύξηση του πάχους του τοιχώµατος, ο δε βαθµός της στένωσης από την ελάττωση της εσωτερικής διαµέτρου. Το µέτρο της ελαστικότητας του τοιχώµατος µπορεί να εκτιµηθεί µε δύο τρόπους. Ένας τρόπος είναι η παρακολούθηση της διαµέτρου µε τεχνικές B-mode, M-mode, ή echotracking, µε ταυτόχρονη µέτρηση της πίεσης, είτε εξωτερικά µε σφυγµοµανόµετρο, είτε εσωτερικά µε ενδοαγγειακό αισθητήρα πίεσης. Ένας δεύτερος τρόπος είναι µέσω της µέτρησης της ταχύτητας του κύµατος πίεσης, µεταξύ δύο σηµείων της περιοχής ενδιαφέροντος. Η ταχύτητα του κύµατος πίεσης υπολογίζεται µε βάση την καθυστέρηση της εµφάνισης της ίδιας φάσης της κυµατοµορφής της διαµέτρου του αγγείου στα δύο σηµεία. Η στένωση δηµιουργεί επίσης µεταβολή στο προφίλ ταχυτήτων του αίµατος, που γίνεται αντιληπτή µε µεθόδους Doppler. Το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας αυξάνεται αισθητά, όπως αυξάνεται και ο ρυθµός διάτµησης στα όρια του τοιχώµατος. Ακόµα, δηµιουργούνται διαταραχές της ροής πριν και µετά την πλάκα, όπως αναστροφή της φοράς και τυρβώδεις ροές. Εποµένως, µε απεικόνιση Doppler της ταχύτητας στα εσωτερικά όρια του τοιχώµατος και στον άξονα του αγγείου, διαπιστώνεται έµµεσα ο βαθµός της στένωσης. 16

27 1.5.2 Ανευρύσµατα Εκτός από το σχηµατισµό πλάκας, τα τοιχώµατα των αρτηριών µπορούν να υποστούν διάφορες αλλοιώσεις, που µπορεί να σχετίζονται και µε την αθηροσκλήρωση. Η σηµαντικότερη από αυτές είναι τα ανευρύσµατα. Πρόκειται για διογκώσεις των τοιχωµάτων, των οποίων το µέγεθος αυξάνεται σταδιακά, οδηγώντας ακόµα και στη ρήξη του αγγείου. Τα ανευρύσµατα αναπτύσσονται σε τµήµατα του αρτηριακού τοιχώµατος µε µειωµένη ελαστικότητα και µειωµένο πάχος, συχνά κοντά στις περιοχές των αθηρωµατικών πλακών. Η επικινδυνότητά τους εξαρτάται από το µέγεθός τους και την περιοχή στην οποία βρίσκονται. Η έγκαιρη διάγνωσή τους είναι πολύ κρίσιµη υπόθεση, αφού η ρήξη των αρτηριακών τοιχωµάτων γίνεται πολλές φορές απροειδοποίητα και οδηγεί ακόµα και στο θάνατο. Η διάγνωση των ανευρυσµάτων µπορεί να γίνει σήµερα και µε υπερηχητικές µεθόδους, σε προχωρηµένη σχετικά φάση. Οι τεχνικές B-mode, Μ-mode και echo-tracking χρησιµοποιούνται για την παρακολούθηση των διαστάσεων του αγγείου στην περιοχή του ανευρύσµατος, προσπαθώντας να ανιχνεύσουν µεταβολές στη διάµετρο και την κίνηση του τοιχώµατος. Από την άλλη πλευρά, οι τεχνικές Doppler εκµεταλλεύονται το γεγονός ότι µπορούν και διακρίνουν την αιµατική ροή στο εσωτερικό του αγγείου και µπορούν να διακρίνουν τα ανευρύσµατα από τα ψευδο-ανευρύσµατα, στα οποία δεν παρουσιάζεται αιµατική ροή. Σχήµα ηµιουργία ανευρύσµατος από χαρακτηριστικό εξόγκωµα του τοιχώµατος µεγάλης αρτηρίας. 17

28 2. Μέθοδοι εκτίµησης της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων 2.1 Ιστορική αναδροµή Οι πρώτες µη επεµβατικές µετρήσεις της διαµέτρου και των µεταβολών της διαµέτρου µεγάλων αγγείων µε τη χρήση υπερήχων αναπτύχθηκαν στα τέλη της δεκαετίας του Η παρακολούθηση του τοιχώµατος πραγµατοποιούνταν µε κατωφλιοποίηση του πλάτους των ισχυρών RF παλµών που δηµιουργούνται από ανακλάσεις στο κοντινό και µακρινό τµήµα του τοιχώµατος (Arndt et al 1968), και η µετατόπιση της θέσης του κατωφλιοποιηµένου παλµού χρησιµοποιήθηκε για την εκτίµηση της µετατόπισης του αρτηριακού τοιχώµατος. Oι µετατοπίσεις των ανακλάσεων µικρού πλάτους και οι µικρές µετατοπίσεις ήταν δύσκολο να εντοπιστούν, µέχρι την εµφάνιση του πρώτου συστήµατος echo-tracking κλειδωµένης φάσης (Hokanson et al 1972). Το σύστηµα υπολόγιζε τη µετατόπιση της θέσης των RF παλµών εντοπίζοντας τις µεταβολές προσήµου (zero-crossings) των σηµάτων. Η χρήση των zerocrossings παρουσίασε ευαισθησία στο θόρυβο και πολύ σύντοµα αναζητήθηκαν διαφορετικές µέθοδοι για τον υπολογισµό της µετατόπισης της θέσης των λαµβανόµενων παλµών. Η πρώτη σηµαντική εξέλιξη της τεχνικής echo-tracking εµφανίστηκε στα µέσα της δεκαετίας του 1980, µε την αντικατάσταση της παρακολούθησης των τοπικών αλλαγών προσήµου των RF παλµών από τη µέτρηση της αλλαγής της µέσης φάσης τους. Η µετατόπιση της θέσης ενός στόχου που βρίσκεται σε συγκεκριµένο βάθος, µπορεί να υπολογιστεί από διαφορά φάσης δύο διαδοχικών παλµών που βρίσκονται στο αντίστοιχο χρονικό παράθυρο (Hoeks et al 1985). Συστήµατα που παρακολουθούν συγκεκριµένες περιοχές (πύλες) της υπερηχητικής ακολουθίας (multigate pulsed Doppler systems) χρησιµοποιήθηκαν για την µελέτη της εξάρτησης της ελαστικότητας της καρωτιδικής αρτηρίας από την ηλικία (Reneman et al 1986). Το σηµαντικότερο πρόβληµα των πρώτων multigate Doppler συστηµάτων ήταν ότι οι πύλες παρέµεναν σε κάθε νέο πλαίσιο στο ίδιο βάθος, χωρίς να µετατοπίζονται και να παρακολουθούν την κίνηση. Το πρόβληµα αντιµετωπίστηκε µε την χρήση χρονικά µετατοπισµένων πυλών (Hoeks et al 1990). Οι εξελίξεις αυτές καθιέρωσαν την µέθοδο echotracking στην εκτίµηση των αξονικών µετατοπίσεων. Η τεχνική echo-tracking παρέχει την δυνατότητα µεγάλης αξιοπιστίας µετρήσεων της ελαστικότητας των κύριων αρτηριών, όπως για παράδειγµα της κοιλιακής αορτής, της µηριαίας αρτηρίας και της καρωτίδας (Hansen et al 1993). Η µέθοδος εξελίχθηκε υπολογιστικά µε την αντικατάσταση των προηγούµενων τεχνικών επεξεργασίας των Doppler σηµάτων από την αυτοσυσχέτιση των αναλυτικών RF δεδοµένων (Torp et al 1994). Το πραγµατικό µέρος των αναλυτικών δεδοµένων είναι το RF σήµα, ενώ το φανταστικό µέρος προκύπτει από την µετατόπιση του RF σήµατος κατά 90 18

29 µοίρες. Τα αναλυτικά δεδοµένα µπορούν να προκύψουν από την εφαρµογή του µετασχηµατισµού Hilbert στο RF σήµα (Loupas et al 1995). Εκτός από την εφαρµογή της συνάρτησης της αυτοσυσχέτισης σε αναλυτικά RF δεδοµένα, είναι δυνατόν να εφαρµοστεί η µέθοδος της διασυσχέτισης (cross-correlation) µεταξύ διαδοχικών χρονικά RF παλµοσειρών για τον υπολογισµό της µετατόπισης. Η µέθοδος της διασυσχέτισης των RF παλµών εφαρµόστηκε αρχικώς στην περίπτωση του υπολογισµού της αιµατικής ροής (Bonnefous and Pesque 1986), και αργότερα εφαρµόστηκε στην περίπτωση της µέτρησης της µετατόπισης του αρτηριακού τοιχώµατος (Bonnefous et al 1996). Η χρονική µετατόπιση του παλµού υπολογιζόταν µε βάση τη µέγιστη τιµή της διασυσχέτισης µεταξύ ενός συγκεκριµένου παραθύρου και του ίδιου παραθύρου στην επόµενη σειρά παλµών. Η µέθοδος της αυτοσυσχέτισης, αφού πρώτα εφαρµόστηκε στην απεικόνιση της αιµατικής ροής µε έγχρωµο Doppler, οδήγησε στην ανάπτυξη της µεθόδου TDI (Tissue Doppler Imaging). Η µέθοδος TDI βοηθάει στην ποιοτική εκτίµηση της κίνησης σε διδιάστατες εικόνες, εµφανίζοντας παράλληλα υψηλή ακρίβεια στον υπολογισµό των αξονικών µετατοπίσεων. Αυτό απέδειξαν οι πρώτες εφαρµογές της µεθόδου in vitro (Miyatake et al 1995) και in vivo (Sutherland et al 1994) στην παρακολούθηση της κίνησης του µυοκαρδίου. Η χρήση της µεθόδου TDI επεκτάθηκε αργότερα στην απεικόνιση της κίνησης των τοιχωµάτων των κύριων αρτηριών, όπως για παράδειγµα της καρωτίδας (Schmidt-Trucksass et al 1998). Ωστόσο, σηµαντικό µειονέκτηµα των τεχνικών echo-tracking και Doppler είναι η αναγκαιότητα χρήσης υπερηχητικών RF δεδοµένων, τα οποία δεν είναι εύκολα διαθέσιµα. Γι αυτό το λόγο, αναπτύχθηκαν µέθοδοι εκτίµησης της κίνησης και των γεωµετρικών παραµέτρων των αρτηριών µε βάση γκρίζες (B-mode) εικόνες. Ποσοτικές µετρήσεις της µεταβολής της αρτηριακής διαµέτρου µε βάση γκρίζες εικόνες µπορούν να πραγµατοποιηθούν µετά από βελτίωση των ακµών της εικόνας (image enhancement) και ανίχνευση των ορίων (edge detection) του τοιχώµατος (Barth et al 1988). Το γεγονός όµως ότι οι αλγόριθµοι ανίχνευσης ακµών επηρεάζονται πολύ από το θόρυβο και τη φωτεινότητα της εικόνας, περιορίζει την απόδοσή τους. Αν και η ακρίβεια των B-mode εικόνων στη µέτρηση των αξονικών µετατοπίσεων δεν θεωρείται ικανοποιητική (σε σύγκριση µε την ακρίβεια των µεθόδων Doppler), αφ ενός µπορεί να βελτιωθεί και αφ ετέρου παρέχει τη δυνατότητα µέτρησης µετατοπίσεων σε διευθύνσεις κάθετες στη διεύθυνση της υπερηχητικής δέσµης. Οι µέθοδοι Doppler µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την εκτίµηση µόνο της αξονικής συνιστώσας της κίνησης και δεν µπορούν να παρακολουθήσουν τη διδιάστατη µετατόπιση. Το γεγονός αυτό οδήγησε στη χρησιµοποίηση των µεθόδων ταύτισης περιοχών (block matching ή region matching) για την ανίχνευση της κίνησης των ιστών. Οι µέθοδοι αυτές είχαν εφαρµοστεί στους τοµείς της 19

30 συµπίεσης και επεξεργασίας εικόνας και της όρασης υπολογιστών. Οι µέθοδοι ταύτισης περιοχών ανιχνεύουν την κίνηση των λεγόµενων speckle patterns των ιστών και έχουν εφαρµοστεί για την παρακολούθηση (tracking) της αιµατικής ροής (Trahey et al 1988), της κίνησης του µυοκαρδίου (Malpica et al 2004) και της κίνησης των αρτηριακών τοιχωµάτων (Ryan et al 1993, Golemati et al 2003). 20

31 2.2 Κατηγορίες µεθόδων εκτίµησης κίνησης Οι µέθοδοι εκτίµησης της κίνησης σε µια ακολουθία εικόνων µπορούν να διακριθούν γενικά στις εξής κύριες κατηγορίες: ιαφορικές µέθοδοι εκτίµησης της οπτικής ροής: βασίζονται στην παραδοχή ότι η φωτεινή ένταση κάθε σηµείου µιας εικόνας δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο, και συνεπώς κάθε µεταβολή της έντασης σε ένα σηµείο της εικόνας οφείλεται σε κίνηση. Κλασικές µέθοδοι αυτής της κατηγορίας βασίζονται στους αλγόριθµους των Horn and Schunk (1981) και των Tomasi, Lucas and Canade (1981). Οι µέθοδοι αυτές παρουσιάζουν το µειονέκτηµα ότι δεν µπορούν να παρακολουθήσουν µεγάλες µετατοπίσεις. Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια έχουν προταθεί βελτιωµένοι αλγόριθµοι, που αντιµετωπίζουν ικανοποιητικά το πρόβληµα αυτό ( π.χ. Beghdadi et al 2003). Μέθοδοι στο πεδίο της συχνότητας: βασίζονται στην ανάλυση µιας ακολουθίας εικόνων µε χρήση χωρο-χρονικών (spatio-temporal) φίλτρων, όπως τα φίλτρα Gabor. Και αυτές οι µέθοδοι αποτυγχάνουν να παρακολουθήσουν µεγάλες µετατοπίσεις. Παραµετρικές µέθοδοι: στις µεθόδους αυτές προτείνεται ένα προσεγγιστικό µοντέλο για την προς παρακολούθηση κίνηση και στη συνέχεια οι παράµετροι του µοντέλου εκτιµώνται µε προσαρµογή στα πειραµατικά δεδοµένα. Οι παραµετρικές µέθοδοι ωστόσο, προϋποθέτουν την ύπαρξη επαρκούς πληροφορίας για την πραγµατική φύση της κίνησης. Επίσης, για περίπλοκα µοντέλα κίνησης, το υπολογιστικό κόστος είναι αρκετές φορές απαγορευτικό. Ελαστογραφία: Στη µέθοδο αυτή, τοπικές παραµορφώσεις των ιστών εκτιµώνται από διαφορικές µετατοπίσεις των speckle patterns, οι οποίες προκαλούνται από ένα εξωτερικά επιβαλλόµενο, σχεδόν στατικό πεδίο τάσης (stress field). Η ελαστογραφία απαιτεί τη χρήση RF δεδοµένων και επιπλέον τα αποτελέσµατά της παρουσιάζουν µεγάλη εξάρτηση από τα χαρακτηριστικά του χρησιµοποιούµενου εξοπλισµού. Tissue Doppler Imaging (TDI). Μέθοδοι ταύτισης περιοχών (block matching). Στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου θα εξετάσουµε πιο αναλυτικά τη µέθοδο TDI, τις διαφορικές µεθόδους οπτικής ροής και τις µεθόδους ταύτισης περιοχών. Η αναλυτική παρουσίαση των παραµορφώσιµων µοντέλων (deformable models) και των ενεργών περιγραµµάτων (active contours), καθώς και των δυνατοτήτων χρησιµοποίησής τους για την παρακολούθηση της κίνησης των ιστών και ειδικότερα των αρτηριακών τοιχωµάτων, αποτελεί το αντικείµενο των κεφαλαίων που ακολουθούν. 21

32 2.3 Μέθοδος TDI Σύµφωνα µε την εξίσωση του φαινοµένου Doppler, το µέτρο της συνιστώσας της ταχύτητας στη διεύθυνση της υπερηχητικής δέσµης υπολογίζεται από την συχνότητα Doppler (Doppler-shift), τη διαφορά δηλαδή µεταξύ συχνότητας εκποµπής και συχνότητας λήψης. Επειδή όµως η συχνότητα Doppler είναι µικρή σε σχέση µε τη διακριτική ικανότητα των υπερηχητικών συστηµάτων στο πεδίο της συχνότητας, µικρές ταχύτητες είναι δύσκολο να εντοπιστούν. Για το λόγο αυτό, για τον υπολογισµό του µέτρου της ταχύτητας χρησιµοποιείται, στην τεχνική TDI, αντί για την ολίσθηση συχνότητας η ολίσθηση φάσης (phase-shift). Η ολίσθηση στη φάση των λαµβανόµενων παλµών οφείλεται στη µετακίνηση των στόχων και είναι ανάλογη της µετακίνησης στη µονάδα του χρόνου. Έτσι, η µέθοδος της ολίσθησης φάσης δίνει άµεσα το µέτρο της ταχύτητας. Η διαφορά στη φάση µεταξύ δύο διαδοχικών παλµών, που προέρχονται από τον ίδιο στόχο, αντιστοιχεί στη µετατόπιση του στόχου στο χρονικό διάστηµα µεταξύ της λήψης των παλµών. Το σύνολο τιµών της ολίσθησης φάσης είναι το διάστηµα [-π, π]. ιαφορά φάσης π µεταξύ διαδοχικών παλµών αντιστοιχεί σε µετακίνηση του στόχου κατά µισή περίοδο, δηλαδή ίση µε µισό µήκος κύµατος (λ/2). Στην πραγµατικότητα, η µετακίνηση αυτή είναι ίση µε λ/4, καθώς ο παλµός διανύει δύο φορές τη διαδροµή µεταξύ των δύο θέσεων του στόχου. Αν fc είναι η συχνότητα των υπερηχητικών παλµών και c είναι η ταχύτητα του ήχου στους µαλακούς ιστούς, η µετατόπιση που αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης π είναι ίση µε c/4fc. Άρα, για κάθε σηµείο (x,y) του επιπέδου σάρωσης, η µετατόπιση (d) του σηµείου είναι ανάλογη της ολίσθησης φάσης (φ) στο σηµείο αυτό (σχέση 9). Το αρνητικό πρόσηµο προκύπτει από τη σύµβαση ότι θετική θεωρείται η µετατόπιση προς τον υπερηχητικό µετατροπέα. φ(x,y) c d(x,y)= * π 4*fc (9) Λόγω της δειγµατοληψίας των λαµβανόµενων παλµών µε κάποια συχνότητα (fs), η ανάλυση της εικόνας δεν είναι φυσικά άπειρη, αλλά η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δειγµάτων (pixels) είναι ίση µε c/2fs. Έτσι, η µετατόπιση σε pixels (dp) θα είναι ο λόγος της µετατόπισης d και του όρου c/2fs: φ(m,n) f d (m,n)= * s p (10) π 2*fc 22

33 Η φάση φ υπολογίζεται µε διάφορες µεθόδους. Η επικρατέστερη είναι η µέθοδος της αυτοσυσχέτισης, σύµφωνα µε την οποία η ολίσθηση φάσης στο πλαίσιο z ισούται µε το όρισµα του γινοµένου του αναλυτικού υπερηχητικού RF σήµατος µε το µιγαδικό συζυγές του στο πλαίσιο z+1 (σχέση 11). Η µέθοδος αυτή αναπτύχθηκε από την οµάδα του Kasai (Kasai et al 1985). φ(x,y,z)=arg[{i(x,y,z)+jq(x,y,z)}*{i(x,y,z+1) jq(x,y,z+1)}] (11) Τα αναλυτικά RF σήµατα είναι µιγαδικά. Το πραγµατικό τους µέρος (Ι) ταυτίζεται µε τα πραγµατικά RF δεδοµένα, ενώ το φανταστικό τους µέρος (Q) προκύπτει από τα πραγµατικά RF δεδοµένα µετά από µετατόπιση της φάσης τους κατά 90 µοίρες. Για τη δηµιουργία του φανταστικού µέρους των αναλυτικών δεδοµένων από τα πραγµατικά RF δεδοµένα που παράγει ο υπερηχητικός µετατροπέας, χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Hilbert. Ο µετασχηµατισµός Hilbert µηδενίζει το πλάτος του µετασχηµατισµού Fourier του πραγµατικού σήµατος στις αρνητικές συχνότητες και το διπλασιάζει στις θετικές συχνότητες. Ο µετασχηµατισµός Hilbert έπεται ενός ζωνοπερατού φίλτρου, το οποίο βελτιώνει το λόγο σήµατος προς θόρυβο, αφού αποβάλλει µεγάλο µέρος του φάσµατος του θορύβου διατηρώντας την πληροφορία του χρήσιµου σήµατος. 23

34 2.4 ιαφορικές µέθοδοι οπτικής ροής Οι διαφορικές µέθοδοι οπτικής ροής βασίζονται στη διαφορική εξίσωση της οπτικής ροής (σχέση 14). Θεωρούν ότι µικρές µετατοπίσεις µεταξύ διαδοχικών πλαισίων δεν επηρεάζουν ουσιαστικά την ένταση της εικόνας στην περιοχή της µετατόπισης (σχέση 12). Η εξίσωση της οπτικής ροής προκύπτει µετά την ανάπτυξη της συνάρτησης της έντασης (G) σε σειρά Taylor (σχέση 13), αγνοώντας όρους δεύτερης τάξης και µετά την παραδοχή ότι η κίνηση από πλαίσιο σε πλαίσιο είναι πολύ µικρή (το δz τείνει στο µηδέν): G(x +δx,y+δy,z+δz)=g(x,y,z) (12) G G G G(x,y,z) + δx + δy + δz + ε = G(x, y,z) x y z (13) dx G dy G G G G G + + = 0 u + v + = 0 dz x dz y z x y z (14) Επειδή οι άγνωστοι της εξίσωσης είναι δύο (οι δύο συνιστώσες u, v της ταχύτητας), χρειάζεται µια επιπλέον εξίσωση για τον υπολογισµό των ταχυτήτων. Ένας κλασικός αλγόριθµος είναι αυτός των Horn και Schunk (Horn and Schunk 1981). Οι Horn και Schunk πρότειναν τον περιορισµό ότι η κίνηση είναι οµαλή, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν απότοµες µεταβολές του διανύσµατος της ταχύτητας µεταξύ γειτονικών σηµείων. Αυτό εξασφαλίζεται µε την ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος των τετραγώνων των παραγώγων των ταχυτήτων ως προς τις διευθύνσεις x και y: u u v v x + y + x + y min (15) Ο αλγόριθµος οπτικής ροής των Horn και Schunk αναζητά τα διανύσµατα u και v που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση σφάλµατος (σχέση 16). Ο συντελεστής λ αποτελεί παράγοντα βάρους και καθορίζει το βαθµό στον οποίο συµµετέχουν στη συνάρτηση σφάλµατος οι περιορισµοί της εξίσωσης οπτικής ροής και της οµαλότητας των ταχυτήτων. 24

35 G G G u u v v u v λ dxdy x y z x y x y (16) Η λύση του αλγόριθµου είναι επαναληπτική (σχέσεις 17). Οι αρχικές τιµές των ταχυτήτων u,v προκύπτουν από τη λύση του συστήµατος των δύο αρχικών εξισώσεων σε µια µικρή περιοχή γύρω από κάθε σηµείο της εικόνας (π.χ. 3Χ3 pixels), µε την παραδοχή ότι οι συνιστώσες x, y των ταχυτήτων είναι σταθερές σε αυτή την περιοχή. Το σύστηµα που προκύπτει επιλύεται µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (σχέσεις 18). i+1 i u = u G G i G i G u + v + x x y z 2 2 G G λ+ + x y (17α) i+1 i v = v G G i G i G u + v + y x y z 2 2 G G λ+ + x y (17β) 0 u = 2 G G G G G G G x y t y y t x G G G G x y x y (18α) 0 v = 2 G G G G G G G x y t x y t y G G G G x y x y (18β) Για να εφαρµοστεί σωστά ο αλγόριθµος αυτός στην περίπτωση των αρτηριακών τοιχωµάτων, απαιτείται προεπεξεργασία των εικόνων, τέτοια ώστε η µέγιστη µετατόπιση από πλαίσιο σε πλαίσιο να είναι το πολύ 1 pixel και έτσι να µην παραβιάζεται η προϋπόθεση των πολύ µικρών µετατοπίσεων. 25