Κεφάλαιο 3 : Παραδείγματα σχεδιασμού περιβαλλόντων μάθησης

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 : Παραδείγματα σχεδιασμού περιβαλλόντων μάθησης

2 44

3 Α. Παράδειγμα σχεδιασμού ενός περιβάλλοντος μάθησης για τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας O μικρόκοσμος C.AR.ME (Kordaki & Potari, 1998) σχεδιάστηκε προκειμένου να αποτελέσει ένα περιβάλλον μάθησης για τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας Ο σχεδιασμός του προήλθε από τη σύνθεση τριών μοντέλων. Το πρώτο μοντέλο αφορά στις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας οι οποίες επιλέχθηκαν προκειμένου να αποτελέσουν το αντικείμενο της μάθησης. Η κατασκευή του στηρίχθηκε στην ανάλυση των παραπάνω εννοιών όπως αυτό προέκυψε από τη μελέτη των προηγούμενων ερευνών στις περιοχές αυτές (Ενότητα ). Επιπλέον, πάρθηκαν υπ' όψιν οι δυσκολίες των παιδιών σε ζητήματα που αφορούν στις παραπάνω έννοιες. Το δεύτερο μοντέλο αποτελείται από τις πιθανές αισθησιοκινητικές ενέργειες των μαθητών προκειμένου να αντιμετωπίσουν βασικές και ουσιαστικές δραστηριότητες για τη μάθηση της διατήρησης ή της μέτρησης της επιφάνειας. Το τρίτο μοντέλο απαντά στο ερώτημα πως ο μαθητής μαθαίνει και αποτελεί προσπάθεια έκφρασης βασικών κοινωνικών και εποικοδομιστικών προσεγγίσεων στο περιβάλλον του μικρόκοσμου (Κεφάλαιο 2). Και τα τρία μοντέλα αντικατοπτρίζουν τις αντιλήψεις των σχεδιαστών του λογισμικού για τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας, τη φύση, τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών, όπως αυτές προέκυψαν από τη μελέτη και ερμηνεία της βιβλιογραφίας. Κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού του λογισμικού έγινε κατασκευή των μοντέλων που προαναφέρθηκαν με τέτοιο τρόπο, ώστε να αξιοποιούνται οι δυνατότητες των υπολογιστών ως γνωστικών εργαλείων (Κεφάλαιο 1). Κατά τη διάρκεια του εκπαιδευτικού και του λειτουργικού σχεδιασμού, όπως και στη φάση της υλοποίησης, έγινε προσπάθεια ικανοποίησης των προδιαγραφών υψηλής ποιότητας εκπαιδευτικού λογισμικού που αναφέρθηκαν στην ενότητα 2.5. Ο μαθητής πειραματιζόμενος στο περιβάλλον του λογισμικού, έχει την ευκαιρία να μάθει τις έννοιες που άμεσα αλλά και έμμεσα ενσωματώνονται σε αυτό. Ως έμμεση μαθηματική γνώση υπονοείται η γνώση που χρησιμοποιήθηκε στην ανάπτυξη του λογισμικού (Bliss, 1994). Το σύνολο των εργαλείων του λογισμικού αποτελούν προσομοιώσεις μαθηματικών εννοιών και ως εκ τούτου χαρακτηρίζονται ως εννοιολογικά εργαλεία. Η αλληλεπίδραση του μαθητή με το περιβάλλον του μικρόκοσμου του δίνει τη δυνατότητα να εκφράσει τις ιδέες του σχετικά με τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας, να 45

4 αναστοχασθεί πάνω σε αυτές, όπως επίσης και να συγκρουσθεί ή όχι με τη γνώση που ο σχεδιαστής έχει χρησιμοποιήσει για την υλοποίηση του προγράμματος και πιθανό να κατασκευάσει νέα γνώση ( Bliss, 1994). Ο σχεδιασμός του παραπάνω μικρόκοσμου έχει παρουσιαστεί αναλυτικά στα άρθρα των Kordaki & Potari, (1998a) και Κορδάκη & Πόταρη, (1997). Στο κείμενο που ακολουθεί γίνεται αναλυτική παρουσίαση των μοντέλων στα οποία στηρίχθηκε η κατασκευή του μικρόκοσμου. Κάθε ένα από τα δύο πρώτα μοντέλα παρουσιάζεται αρχικά σε μορφή διαγράμματος, στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εκπαιδευτικές προδιαγραφές στις οποίες στηρίχτηκε η κατασκευή του και τέλος γίνεται αναλυτική θεωρητική υποστήριξη των προδιαγραφών που διατυπώθηκαν. Σχετικά με το τρίτο μοντέλο (το μοντέλο για τη γνώση και τη μάθηση) γίνεται μόνο διαγραμματική παρουσίαση αφού οι προδιαγραφές και η θεωρητική τους στήριξη έχουν ήδη παρουσιαστεί στις ενότητες και αντίστοιχα Το Κεφάλαιο 3 τελειώνει με την παρουσίαση, ανάλυση και υποστήριξη των λειτουργιών που είναι διαθέσιμες στο μαθητή από το μικρόκοσμο C.AR.ME. Ο σχεδιασμός των μοντέλων και η υπολογιστική και διδακτική μεταφορά Στα σχήματα (3.1, 3.2 και 3.3.), στα οποία γίνεται διαγραμματική παράσταση των 3 μοντέλων, έχει πραγματοποιηθεί μια "υπολογιστική" (computational) και μια "διδακτική" (didactical transitivity) μεταφορά (Balacheff, 1993). Οι εκπαιδευτικές ή γνωστικές προδιαγραφές στις αριστερές στήλες των μοντέλων, μετατρέπονται σε λειτουργικές προδιαγραφές του λογισμικού στις δεξιές, με βάση τους περιορισμούς του λειτουργικού συστήματος, της γλώσσας προγραμματισμού και γενικά των περιορισμών που τίθενται από την τεχνολογία (computational transitivity) καθώς και τους διδακτικούς περιορισμούς (didactical transitivity) που σχεδιάστηκαν έτσι, ώστε να είναι δυνατή η μάθηση των εννοιών που υλοποιούνται στο μικρόκοσμο από τους μαθητές. 3.1.Το μοντέλο του αντικειμένου μάθησης : Οι έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας H σημασία της μέτρησης της επιφάνειας Η μέτρηση της επιφάνειας αποτελεί μέρος του πολιτισμού των κοινωνιών, της επιστήμης, της τεχνολογίας, της καθημερινής ζωής των ανθρώπων γενικά, αλλά και του κάθε ατόμου ειδικότερα (Sanders, 1976; Bishop, 1988a; Inskeep, 1976; Osborne, 1976). Oι έννοιες που αφορούν στη μέτρηση της επιφάνειας αποκτούν ζωτική σημασία για τους μαθητές προκειμένου να ποσοτικοποιήσουν και να ερμηνεύσουν τον κόσμο τους (Osborne, 46

5 1976), να επιτύχουν στα Mαθηματικά, ή να κατανοήσουν άλλες μαθηματικές έννοιες όπως είναι o πολλαπλασιασμός των κλασμάτων (Hirstein, et al, 1978) ή οι πολλαπλασιαστικές δομές (Douady & Perrin, 1986). Επιπλέον, η κατανόηση της μέτρησης της επιφάνειας είναι σημαντική από την άποψη της διαλεκτικής σχέσης που οικοδομεί μεταξύ του συγκεκριμένου κόσμου των φυσικών αντικειμένων (χώρος) και του αφηρημένου κόσμου των αριθμών (Hiebert, 1981). Aπο την ίδια οπτική, η μέτρηση της επιφάνειας αποτελεί ένα είδος Mαθηματικής πράξης, που συνδέει τη δραστηριότητα του μαθητή με τη γνωστική του ανάπτυξη στη γεωμετρία και στην αριθμητική Διαγραμματική παρουσίαση του μοντέλου για τη διατήρηση της επιφάνειας (Kordaki & Potari, 1998a) μεταφορά διατήρηση Χωρίς τροποποίηση του σχήματος ύστερα από στροφή συμμετρία ως προς άξονα μεταφορά & στροφή & αντίστροφα Η έννοια της διατήρησης της διατήρηση των μερών μεταφορά&συμμετρ. επιφάνειας του σχήματος ύστερα από & αντίστροφα συμμετρία &στροφή διατήρηση με τροποποίηση του σχήματος & αντίστροφα τετράγωνο αυτόματοι μετασχηματισμοί σε ισοδύναμα σχήματα όπως ορθ/νια&οικογένειες ορθογωνίων παρ/μα&οικογένειες παραλληλογράμμων τρίγωνα& οικογένειες Σχήμα 3.1. Το μοντέλο για την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας τριγώνων 47

6 Διαγραμματική παρουσίαση του μοντέλου της έννοιας της μέτρησης της επιφάνειας (Kordaki & Potari, 1998a) τετραγωνικής μονάδας η έννοια της με χρήση ορθογώνιας μονάδας μονάδας η έννοια της επικάλυψης με τη μονάδα μονάδας που κατασκευάζεται από το μαθητή Η έννοια της μέτρησης η έννοια της καταμέτρησης της τυποποιημένης μονάδας της επιφάνειας των μονάδων μέτρησης της επιφάνειας τετραγωνικού καρέ η έννοια της μονάδας σε συνδυασμό με την έννοια της επανάληψής της (καρέ) με χρήση ορθογώνιου καρέ καρέ που κατασκευάζεται από το μαθητή Σχήμα 3.2. Το μοντέλο για την έννοια της μέτρησης της επιφάνειας Οι εκπαιδευτικές προδιαγραφές του μοντέλου του γνωστικού αντικειμένου του λογισμικού C.AR.ME. Με βάση την ανάλυση των εννοιών για τη διατήρηση και τη μέτρηση της επιφάνειας, τις δυσκολίες των μαθητών και τις προτεινόμενες δραστηριότητες για την κατανόησή τους, όπως προκύπτει από τα αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών και περιγράφονται στην ενότητα 3.1.5, διατυπώθηκαν οι αντίστοιχες εκπαιδευτικές προδιαγραφές του λογισμικού. Αυτές οι προδιαγραφές παρατίθενται παρακάτω και εκφράζουν την ανάγκη, ώστε το περιβάλλον που θα κατασκευαστεί να επιτρέπει στο μαθητή : να πειραματίζεται έτσι, ώστε η λειτουργία της μέτρησης να καθίσταται μια ενεργητική διαδικασία κατασκευής να κατασκευάζει τα δικά του σχήματα έτσι, ώστε να αποκτούν νόημα γι αυτόν, 48

7 να κατασκευάζει την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας μέσα από τη διατήρηση του σχήματος και μόνον ύστερα από μεταβολή της θέσης του να κατασκευάζει την έννοια της διατήρησης μέσα από τη δυνατότητα τεμαχισμού και ανασύνθεσης επιφανειών, με τη χρήση των αισθησιοκινητικών του ενεργειών να αντιμετωπίζει προβλήματα μέτρησης με τεμαχισμό ή /και επικάλυψη επιφανειών με χρήση μιας ποικιλίας μονάδων. να κατασκευάζει τις προσωπικές του μονάδες, να προχωρά στη χρήση μη τυποποιημένων μονάδων που έχουν ένα καθιερωμένο σχήμα και να καταλήγει στη χρήση των τυποποιημένων μονάδων της μέτρησης της επιφάνειας. Να είναι δυνατή η ίδια πορεία με τη χρήση καρέ. να πειραματίζεται με την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας με δυναμικό τρόπο. Αυτό σημαίνει, να μπορεί να μελετά την έννοια της διατήρησης που υπονοείται σε δυναμικούς μετασχηματισμούς γεωμετρικών σχημάτων. Να είναι δυνατό, δηλαδή, να μελετηθούν οι σχέσεις των εμβαδών που υπονοούνται κατά την πραγματοποίηση αυτόματων μετασχηματισμών επιφανειών σε καθιερωμένα γεωμετρικά σχήματα (τετράγωνο, ορθογώνιο, ορθ. ισοσκελές τρίγωνο) όπως και σε οικογένειες των παραλληλογράμμων και των τριγώνων που δημιουργούνται από τη διατήρηση της βάσης και του ύψους των σχημάτων αυτών. να μελετά μέσα από δυναμικές μεταβολές τη σχέση της επιφάνειας και του γραμμικού της περιβλήματος Θεωρητική τεκμηρίωση και ανάλυση των εκπαιδευτικών προδιαγραφών του μοντέλου μάθησης του γνωστικού αντικειμένου του λογισμικού C.AR.ME Μαθηματική ανάλυση της έννοιας της μέτρησης της επιφάνειας Η μέτρηση της επιφάνειας μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ομομορφισμός με πεδίο ορισμού το σύνολο των επιπέδων σχημάτων, και πεδίο τιμών το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Mια πράξη που παρέχει μια δομή για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι η ένωση των μη επικαλυπτομένων πολυγωνικών επιπέδων περιοχών ενώ η πράξη της πρόσθεσης παρέχει μια δομή για το πεδίο τιμών της συνάρτησης (Osborne, 1975, σελ.19). H ομομορφική αυτή συνάρτηση σύμφωνα με τον (Osborne, 1976, σελ.25) καθορίζεται από τις εξής ιδιότητες: 1) A: Π --->R+,όπου π ε Π και Π=το σύνολο των επιπέδων περιοχών και R+, το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών 2) Eάν π1, π2, ε Π: A(π1Uπ2)=A(π1)+A(π2), π1,π2 ξένα μεταξύ τους 49

8 3) Eάν π1=π2 => A(π1)=A(π2), π1, π2 μπορεί να είναι και πολύγωνα διαφορετικής μορφής. 4) Eάν ένα τετράγωνο S έχει πλευρά ίση με τη μονάδα, τότε A(S)=1 5) Eάν ένα ορθογώνιο R έχει βάση μήκους α και ύψος μήκους β, τότε A(R) = α.β 6) Eάν π1cπ2 <=> A(π1)<A(π2) Επιπλέον, αναφέρθηκε ότι αποκτά ιδιαίτερη σημασία η μάθηση της μεταβατικής και της αντιμεταθετικής ιδιότητας για την κατανόηση της ισότητας των επιφανειών, όπως και η μάθηση της μεταβατικής και αντισυμμετρικής ιδιότητας για την κατανόηση της διάταξής τους (Osborne, 1975). Η μάθηση των πράξεων που δομούν το πεδίο ορισμού και τιμών της συνάρτησης όπως και των ιδιοτήτων της συνάρτησης που συνδέει αυτούς τους δύο χώρους θεωρήθηκε βασική για τη μάθηση κάθε μετρικού συστήματος και ειδικότερα του συστήματος της μέτρησης των επιφανειών. Το μοντέλο που χρησιμοποιεί την ομομορφική συνάρτηση για τη μάθηση της μέτρησης, προσπαθεί να συνδέσει την ανάπτυξη των εννοιών της μέτρησης στη σκέψη των παιδιών (Piaget et al.,1981) με τη μαθηματική τους ανάπτυξη και επιπλέον να προσθέσει σημεία που έχουν ενδιαφέρον από μαθηματική άποψη (Carpenter & Osborne, 1976). Αναλύοντας από μια παιδαγωγική σκοπιά αυτό το μοντέλο οι Rahim & Sawada, (1990) διατύπωσαν το "παιδαγωγικό θεώρημα της γεωμετρίας ύστερα από κατάτμηση και κίνηση" (σελ. 304). Το θεώρημα αυτό περιλαμβάνει 4 φάσεις. Στην πρώτη φάση είναι απαραίτητη η κατανόηση των ιδιοτήτων των στοιχείων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης (π.χ. πολύγωνα). Στη δεύτερη φάση πρέπει να γίνεται κατανοητή η ισοδυναμία των επιφανειών ύστερα από μετασχηματισμό ο οποίος πραγματοποιείται με τεμαχισμό του σχήματος σε μέρη, μετακίνηση των μερών και αναδιάταξή τους για τη δημιουργία νέου σχήματος. Στην τρίτη φάση είναι απαραίτητη η κατανόηση του τεμαχισμού ή της επικάλυψης του πολυγώνου με ίσα τετράγωνα. Σε αυτή τη φάση το πολύγωνο μετατρέπεται σε ένα σύνολο τετραγώνων. Η διαδικασία αυτή μπορεί να περνάει μέσα από τη μετατροπή του πολυγώνου σε ορθογώνιο και στη συνέχεια στη μετατροπή του ορθογωνίου σε σύνολο ίσων τετραγώνων. Στην τέταρτη φάση γίνεται η αντιστοιχία του τετραγώνου σε έναν θετικό πραγματικό αριθμό που αντιπροσωπεύει το εμβαδόν του. Με αυτό τον τρόπο είναι δυνατό να υπάρξει 1-1 αντιστοιχία του συνόλου των τετραγώνων που συνθέτουν το πολύγωνο στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών (Rahim & Sawada, 1990). Βασικά στοιχεία αυτής της προσέγγισης αποτελούν οι έννοιες της διατήρησης και η κατανόηση της μέτρησης ως μιας ενεργητικής διαδικασίας που χρησιμοποιεί τις αισθησιοκινητικές ενέργειες του παιδιού (Rahim & Sawada, 1990). Η ανάπτυξη της διαισθητικής αντίληψης του μαθητή στηρίζεται στην κατανόηση των ενεργειών και των λειτουργιών στα πεδία ορισμού και τιμών της συνάρτησης που χαρακτηρίζει τα μετρικά συστήματα (Osborne, 1976). 50

9 Η μαθηματική κατασκευή της λειτουργίας της μέτρησης περιλαμβάνει δύο βασικά μέρη: την προ-μέτρηση, μέσα από τις διαδικασίες σύγκρισης και ταξινόμησης και τη μέτρηση (Carpenter, 1976). Στην τελική φάση η ανάπτυξη των τυπικών λειτουργιών της μέτρησης ολοκληρώνεται με την ικανότητα υπολογισμού των επιφανειών από τις αντίστοιχες γραμμικές τους διαστάσεις. Η ικανότητα αυτή εξαρτάται από την ικανότητα συσχέτισης και μέτρησης των κατάλληλων γραμμικών διαστάσεων των επιφανειών Οι έννοιες που συνθέτουν την έννοια της μέτρησης της επιφάνειας Oι Piaget, Inhelder & Sheminska, (1981, σελ.3) σχετικά με την έννοια της μέτρησης της επιφάνειας αναφέρουν ότι είναι η επιλογή ενός μέρους από κάποιο όλο, η θεώρησή του ως μονάδα, και η μετατόπισή του στο υπόλοιπο μέρος του όλου: σύμφωνα με αυτά η μέτρηση λοιπόν είναι μια σύνθεση υποδιαίρεσης και αλλαγής θέσης. Από τον παραπάνω ορισμό φαίνεται ότι η κατανόηση της μέτρησης της επιφάνειας δεν αφορά τόσο στη χρήση των μετρικών μονάδων αλλά στην κατασκευή των βασικών εννοιών της μέτρησης. Ως τέτοιες θεωρούνται : η έννοια της μονάδας της μέτρησης η έννοια της επανάληψης της μονάδας της μέτρησης η καταμέτρηση των μονάδων μέτρησης ο αριθμητικός υπολογισμός της επιφάνειας με τη βοήθεια των τύπων υπολογισμού. (Piaget et all, 1981; Hirstein, Lamb, & Osborne, 1978; Maher & Beattys, 1986; Steffe & Hirstein,1976; Wilson & Osborne, 1988) Προαπαιτούμενες έννοιες για την κατανόηση της λειτουργίας της μέτρησης θεωρούνται: η έννοια της επιφάνειας ως ο χώρος που περιέχεται μέσα σε ένα επίπεδο σχήμα. (Hirstein, et al. 1978; Maher & Beattys, 1986; Douady & Perrin, 1986) η έννοια της διατήρησης (Piaget et all, 1981; Osborne, 1975; Hirstein, Lamb, & Osborne, 1978; Maher & Beattys, 1986). Η ανάπτυξη των εννοιών της μέτρησης στη σκέψη των παιδιών είναι παράλληλη με τη λογική ανάπτυξη των λειτουργιών της και οι λειτουργίες της προ - μέτρησης αποτελούν προ - απαιτούμενες λειτουργίες για την ανάπτυξη της λειτουργίας της μέτρησης (Piaget, et all, 1981). Σύμφωνα με τον Skemp, (1986) η μέτρηση πρέπει να αντιμετωπίζεται ως μια μαθηματική - φυσική δραστηριότητα που απαντά στο ερώτημα, πόσες μονάδες όταν τοποθετηθούν μαζί, ισοδυναμούν με την προς μέτρηση ποσότητα. Ο ίδιος ερευνητής τονίζει ότι με τη μέτρηση αναμένει κάποιος να βγάλει συμπεράσματα που δεν μπορεί να βγάλει με το "μάτι". H μέτρηση αρχικά ξεκινά, με τη χρήση οικείων μονάδων, και επεκτείνεται στη χρήση των τυποποιημένων μονάδων και των συστημάτων μονάδων. 51

10 H έννοια της διατήρησης της επιφάνειας H δυνατότητα διατήρησης των ποσοτικών χαρακτηριστικών μιας επιφάνειας ύστερα από ποιοτικές μεταβολές που μπορεί να υφίσταται (π.χ. αλλαγή του σχήματος της), ορίσθηκε ως διατήρηση της επιφάνειας (Piaget, et all, 1981). Τα αποτελέσματα ενός σημαντικού αριθμού ερευνών έδειξαν ότι η έννοια της μέτρησης της επιφάνειας είναι σύνθετη και εμπεδώνεται, όταν οι προαπαιτούμενες υποέννοιές της (όπως η διατήρηση) έχουν κατανοηθεί. (Piaget,et all, 1981, σελ. 279; Hughes, & Rogers, 1979; Lindquist, Carpenter, Mathews, Silver, 1983) H κατανόηση της διατήρησης υπονοεί την κατανόηση της σχέσης του μέρους με το όλο (part - whole aspect), δηλαδή του όλου ως άθροισμα των μερών του όπως και την κατανόηση του όλου ως σύνθεση των μερών του. H κατανόηση της έννοιας της διατήρησης στηρίζεται στην κατανόηση της έννοιας της εξισορρόπησης ή αντιστάθμισης. Ως εξισορρόπηση ή αντιστάθμιση καθορίζεται η ικανότητα εξισορρόπησης της ενέργειας της αφαίρεσης ενός μέρους μιας επιφάνειας από μια θέση, με την ενέργεια πρόσθεσης αυτού του μέρους σε μια άλλη θέση. Για την κατανόηση των πιο πάνω λειτουργιών είναι απαραίτητη η κατανόηση της αντιστρεψιμότητας όπως επίσης της αντιμεταθετικής και της μεταβατικής ιδιότητας (Piaget,et all, 1981; Steffe, 1971; Steffe & Hirstein,1976). Η κατανόηση της διατήρησης μιας επιφάνειας ύστερα από μετακίνηση θεωρήθηκε πρωταρχικής σημασίας στην οικοδόμηση της έννοιας της διατήρησης (Douady & Perrin, 1986). τεμαχισμό σε μέρη και ανασύνθεση των μερών χωρίς κενά και επικαλύψεις θεωρήθηκε απαραίτητη προυπόθεση για την κατανόηση της λειτουργίας της μέτρησης της επιφάνειας (Hirstein, Lamb, & Osborne, 1978). τεμαχισμό της σε ίσα μέρη (μονάδες) και ανασύνθεση ων ίσων μερών θεωρήθηκε προυπόθεση για την κατανόηση των πολλαπλασιαστικών σχέσεων υπολογισμού του εμβαδού. (Hirstein, et al., 1978). τεμαχισμό της σε μονάδες με τη βοήθεια καρέ και ανασύνθεση των μονάδων χωρίς κενά και επικαλύψεις για τη δημιουργία νέου ισοδυνάμου σχήματος θεωρήθηκε βασική δραστηριότητα για την κατανόηση της λειτουργίας της μέτρησης της επιφάνειας (Douady & Perrin, (1986). Η κατανόηση της διατήρησης μιας επιφάνειας σε ακανόνιστα γεωμετρικά σχήματα θεωρήθηκε σημαντικής δυσκολίας για τους μαθητές (Douady & Perrin, (1986) Η έννοια της μονάδας H δραστηριότητα της κατασκευής μονάδων (unitizing) είναι μια νοητική διεργασία που τεμαχίζει την εμπειρία από την άποψη του ότι απομονώνει μια της αρχή ενώ την ίδια χρονική στιγμή αυτή η αρχή εφαρμόζεται στην εμπειρία ολόκληρη (von Glasersfeld, 1991, 52

11 ο.π. οι Reynolds & Wheatley, 1996). Πιο συγκεκριμένα, η δραστηριότητα της επικάλυψης ενός σχήματος με ένα άλλο αποτελεί μια πλούσια κατάσταση για την ανάπτυξη της λειτουργίας της οικοδόμησης της αφαιρετικής έννοιας της μονάδας και της κατασκευής της έννοιας της επιφάνειας από τα παιδιά. Η κατανόηση της έννοιας της μονάδας μέτρησης της επιφάνειας θεωρείται πρωταρχική κεντρική και ενοποιητική που εξυπηρετεί ως συνδετική έννοια όλες τις φάσεις της λειτουργίας της μέτρησης (Driscoll, 1981). Η χρησιμοποίηση της μονάδας διαχωρίζει τη μέτρηση από την απλή καταμέτρηση (Carpenter, 1976). Ως βασικά σημεία στην κατανόηση της έννοιας της μονάδας μέτρησης μιας επιφάνειας αναφέρονται τα παρακάτω : Η έννοια της μονάδας ξεκινά με την υποδιαίρεση της επιφάνειας Η κατανόηση της επιφάνειας ως ένωσης των ισοδυνάμων μερών της (μονάδων) οι οποίες, δεν είναι υποχρεωτικό να έχουν το ίδιο σχήμα (Steffe & Hirstein,1976). Η έμφαση στην εξοικείωση των μαθητών με την επικάλυψη ή τον τεμαχισμό της επιφάνειας σε ίσα μέρη (μονάδες) όπως και με την καταμέτρηση των μονάδων προκειμένου για την κατανόηση της λειτουργίας της μέτρησης (Carpenter, Coburn, Reys, Wilson, 1975; Johnson, 1986). Η κατανόηση της επικάλυψης μιας επιφάνειας με μονάδες χωρίς κενά και επικαλύψεις (Hiebert, 1981). Η μονάδα μέτρησης της επιφάνειας έχει χωρικά χαρακτηριστικά (Skemp, 1986). Δεν επιτρέπεται η ταυτόχρονη περισσοτέρων της μιας μονάδων (Carpenter, 1975). Η μονάδα αποτελεί αντικείμενο που μπορεί να διαιρεθεί (Hiebert, 1981). Η μονάδα μπορεί να διατηρείται ύστερα από ανασύνθεση των μερών της στη μέτρηση μιας συνεχούς ποσότητας (Hart, 1984). Η σχέση μεταξύ μεγέθους μονάδας και αριθμού μονάδων που απαιτούνται για την επικάλυψη του ίδιου σχήματος είναι αντίστροφη (Carpenter & Lewis, 1976; Cambell, 1990). Ο αριθμός των μονάδων που επικαλύπτουν ένα σχήμα συνδέεται με το μέγεθος της μονάδας που χρησιμοποιείται (Kouba, et all., 1988; Hart, 1989). Το σχήμα της μονάδας που επικράτησε στις επιλογές των μαθητών από μια ποικιλία μονάδων ήταν το τετράγωνο (Maher & Beattys, 1986) και το ορθογώνιο (Heraud, 1987) Το σχήμα της μονάδας συνδέθηκε με το σχήμα που επρόκειτο να μετρηθεί. (Heraud, 1987) Oταν δεν έχει κατανοηθεί ο τεμαχισμός της επιφάνειας σε μονάδες, κάθε προσπάθεια εκμάθησης των τύπων υπολογισμού του εμβαδού γίνεται μια μηχανιστική και χωρίς νόημα διαδικασία (Carpenter, et all, (1975) 53

12 Η διαδικασία της μάθησης της μέτρησης της επιφάνειας Η διαδικασία της μάθησης της μέτρησης θεωρήθηκε ότι αρχικά έχει διαισθητικό χαρακτήρα αντίληψης της ιδιότητας που πρόκειται να μετρηθεί, προχωρεί στη σύγκριση χωρίς τη χρήση των αριθμών αλλά με τη βοήθεια των αισθησιοκινητικών ενεργειών του παιδιού, εξελίσσεται στη μέτρηση με τη χρήση μη τυποποιημένων μονάδων μέτρησης και καταλήγει στη μέτρηση με τη χρήση των τυποποιημένων μονάδων μέτρησης (Ιnskeep, 1976). Γενικότερα η μέτρηση πρέπει να αντιμετωπίζεται ως δραστηριότητα που πρέπει να εξελίσσεται μέσα από τις διαδικασίες που προαναφέρθηκαν και όχι ως μια διαδικασία απομνημόνευσης κάποιων μονάδων (Ιnskeep, 1976). Η σύγκριση με τη χρήση των αισθησιοκινητικών ενεργειών του παιδιού προϋποθέτει την κατανόηση της ιδιότητας ως προς την οποία γίνεται η σύγκριση και επιπλέον δημιουργεί την ανάγκη για μέτρηση. Η ανάγκη για τη μέτρηση περνάει μέσα από την ανάγκη για μια πιο σαφή απάντηση στο ερώτημα της σύγκρισης, κάτι που προκαλεί την κατασκευή και τη χρήση μιας μη τυποποιημένης μονάδας μέτρησης (Ιnskeep, 1976). Η ανάγκη επικοινωνίας των αποτελεσμάτων της μέτρησης με άλλους ανθρώπους δημιουργεί την ανάγκη αναφοράς στις τυποποιημένες μονάδες μέτρησης. Μια σειρά από διαφορετικές προσεγγίσεις είναι δυνατό να αναπτυχθούν κατά την επίλυση προβλημάτων που είναι σχετικά με τη μέτρηση της επιφάνειας (Driscoll, 1981). Τέτοιες αναφέρονται η εκτίμηση της επιφάνειας κατά προσέγγιση, η επικάλυψη της επιφάνειας με μονάδες και η καταμέτρηση των μονάδων, ο μετασχηματισμός του σχήματος (με τεμαχισμό και ανασύνθεση των μερών του) σε νέο του οποίου το εμβαδό να μπορεί να υπολογισθεί με χρήση των τύπων υπολογισμού, όπως και ο υπολογισμός του εμβαδού ενός σχήματος με χρήση των τύπων υπολογισμού (Driscoll, 1981) Η μέτρηση στη σκέψη των παιδιών Σύμφωνα με τον Piaget (1981) τα παιδιά στο πρώτο στάδιο (5-6) χρόνων δεν κατανοούν την αντιμεταθετική και τη μεταβατική ιδιότητα ούτε έχουν οικοδομήσει την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας. Επιπλέον, δεν έχουν κατανοήσει την αναγκαιότητα της μονάδας μέτρησης, δε μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα όργανα μέτρησης και επικεντρώνονται στη μια διάσταση, προκειμένου να πραγματοποιήσουν συγκρίσεις. Αργότερα τα παιδιά (6-7) χρόνων αρχίζουν να κατανοούν τη μεταβατική ιδιότητα, μετρούν χρησιμοποιώντας μέρη του σώματός τους για μονάδες μέτρησης και κάνουν εκτιμήσεις που στηρίζονται στην οπτική τους αντίληψη. Στην ηλικία των (7-8) χρόνων κατανοούν τη διατήρηση του όλου ως άθροισμα των μερών του, δε μπορούν όμως να δημιουργήσουν σχέσεις μεταξύ των συμπληρωμάτων, από σχέσεις μεταξύ συνόλων. Και σε αυτή τη φάση δεν κατανοούν έννοιες που σχετίζονται με τη μονάδα μέτρησης. Στις ηλικίες 8-10 χρόνων τα παιδιά μπορούν να μετρήσουν επιφάνειες επικαλύπτοντάς τις με μονάδες, δε μπορούν όμως να υπολογίσουν επιφάνειες με βάση τις γραμμικές διαστάσεις των σχημάτων. Στις 54

13 ηλικίες των χρόνων και μετά, τα παιδιά έχουν τη δυνατότητα να κάνουν αυτούς τους υπολογισμούς. Σύμφωνα με τον Piaget (1981) για να γίνει η μέτρηση λειτουργική, θα πρέπει οι ενέργειες με τις οποίες πραγματοποιείται να εσωτερικευθούν από το παιδί, ώστε να μπορεί να τις εφαρμόσει χωρίς να είναι προσκολλημένο σε αυτή τη διαδικασία. Αρκετοί ερευνητές συμφωνούν με την αλληλουχία των σταδίων που ορίζει ο Piaget για την ανάπτυξη των εννοιών που συνδέονται με την επιφάνεια, διαφωνούν όμως με την αντιστοιχία των ηλικιών και των σταδίων (Hart, 1984; Hughes & Rogers, 1979). Η Hart (1984) επιπλέον, υποστηρίζει ότι τα στάδια δεν αντιπροσωπεύουν ένα επίπεδο ανάπτυξης αλλά ότι αυτό εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη δραστηριότητα την οποία καλείται το παιδί να φέρει σε πέρας Η πολλαπλασιαστική προσέγγιση και η λειτουργία της μέτρησης Για τους Hirstein, Lamb, & Osborne, (1978) η πολλαπλασιαστική προσέγγιση στο εμβαδό είναι μια επέκταση της κατανόησης της επικάλυψης με τη μονάδα και της καταμέτρησης των μονάδων. Στην Αγγλία, αν και τα παιδιά διδάσκονται τους τύπους υπολογισμού των εμβαδών από το δημοτικό σχολείο, εν τούτοις η προσέγγιση της μέτρησης της επιφάνειας με τη χρήση χωρικών μονάδων παραμένει σ' αυτά και στο Γυμνάσιο (Hart, 1984). Σύμφωνα με τους Lindquist, et all (1983) η ανικανότητα των παιδιών να εφαρμόσουν σωστά τους τύπους υπολογισμού είναι μια ένδειξη του ότι δεν έχουν κατανοήσει σε βάθος την έννοια της επιφάνειας. Από τους Nunes, Light, & Mason (1993) υποστηρίζεται ότι η κατανόηση της πολλαπλασιαστικής προσέγγισης αποτελεί μια σύνθετη σχέση μεταξύ της επιφάνειας και της λειτουργίας της μέτρησης με χρήση χωρικών μονάδων και πολλά παιδιά, ενώ δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν σωστά τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού, καταφέρνουν να δημιουργήσουν λύσεις με χρήση του πολλαπλασιασμού, όταν χρησιμοποιούν μονάδες επιφάνειας. Οι Tierney, Boyd, & Davis, (1986) υποστηρίζουν ότι υπάρχει ένα κενό και μια αδιαφανής σύνδεση μεταξύ της λειτουργίας της μέτρησης και της πολλαπλασιαστικής προσέγγισης που εκφράζεται με τους τύπους υπολογισμού. Οπως αναφέρουν οι Bell, Costello, & Kuchemann, (1983) είναι δυνατόν τα παιδιά να μπορούν να βρούν τον αριθμό των μονάδων που επικαλύπτει ένα σχήμα, χωρίς να μπορούν να υπολογίσουν την επιφάνειά του με τους τύπους υπολογισμού. Επιπλέον, η πρόωρη μάθηση των τύπων υπολογισμού μετατρέπει τη γνώση τους σε μια τυπική μηχανιστική διαδικασία που αποξενώνει ακόμα και τους υποψήφιους δασκάλους από τις έννοιες που συνθέτουν τη μέτρηση της επιφάνειας (Menon, 1996; Baturo & Nason, 1996). Tο πρόβλημα σύμφωνα με τους Rahim & Sawada (1990) επικεντρώνεται στο ότι πολλές φορές γίνεται προσπάθεια να διδαχθούν τα παιδιά απλούστερες έννοιες με τη βοήθεια συνθετότερων. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται οι τύποι υπολογισμού σε συνδυασμό με τα μετρικά συστήματα προκειμένου να διδαχθούν οι μαθητές απλές εικονικές σχέσεις. Ετσι χωρίς να έχουν οι μαθητές δημιουργήσει ποιοτικές κατασκευές οδηγούνται στο να μην έχουν άλλη 55

14 εναλλακτική προσέγγιση από τη μηχανιστική απομνημόνευση των τύπων υπολογισμού. Eμφαση δόθηκε στη γεωμετρία χωρίς μετρήσεις και ειδικότερα στην κατανόηση εννοιών που σχετίζονται με την επιφάνεια μέσα από μετακινήσεις μετασχηματισμούς και συγκρίσεις, χωρίς τη χρήση αριθμών (Johnson, 1986; Douady & Perrin, 1986). Γενικότερα η αριθμητικοποίηση της γεωμετρίας έχει αμφισβητηθεί (Patronis & Thomaidis, 1997). Μια πολύ σημαντική σχέση μεταξύ της επιλογής εργαλείων και της πιθανότητας δημιουργίας μιας σωστής απάντησης διαπιστώθηκε στην έρευνα των Nunes, Light, & Mason (1993). Πιο συγκεκριμένα παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές δημιούργησαν σωστές απαντήσεις σε προβλήματα σύγκρισης επιφανειών χρησιμοποιώντας τις μονάδες μέτρησης της επιφάνειας, ενώ ήταν λαθεμένες οι λύσεις που πραγματοποίησαν χρησιμοποιώντας τους τύπους υπολογισμού και τις μετρήσεις των διαστάσεων των σχημάτων. Αν και η δεύτερη μέθοδος είναι η πλέον διαδεδομένη στον πολιτισμό, στην οποία επίσης δίνεται μεγάλη έμφαση από τα σχολικά μαθηματικά, οι μαθητές φάνηκε ότι χρησιμοποιούν πιο σωστά τις μεθόδους εκείνες που βρίσκονται πιο κοντά στη γνωστική τους ανάπτυξη. Επιπλέον, οι μαθητές εξέφρασαν έμμεσα την πολλαπλασιαστική προσέγγιση στο εμβαδόν που τους διδάσκεται στο σχολείο με τη βοήθεια των μονάδων μέτρησης της επιφάνειας που τους διατέθηκαν Τα μετρικά συστήματα και η μέτρηση της επιφάνειας Η εισαγωγή των μετρικών συστημάτων στα αναλυτικά προγράμματα δεν απλοποιεί τη διδασκαλία της μέτρησης ούτε μεταβάλλει τον τρόπο που οι μαθητές μαθαίνουν τη μέτρηση (Driscoll, 1981; Inskeep, 1976). Οι ανάγκες των μαθητών συνδέονται με το επίπεδο της γνωστικής τους ανάπτυξης, κάτι που υπερσκελίζει την τυπική εκμάθηση των συστημάτων μέτρησης. Συνιστάται η επανεξέταση των αναλυτικών προγραμμάτων σχετικά με το θέμα της μέτρησης της επιφάνειας όπως και η μετάθεση στην έμφαση από τη διδασκαλία των μετρικών συστημάτων, στη διδασκαλία των βασικών εννοιών που συνθέτουν τη μέτρηση (Carpenter, et al., 1975). Σύμφωνα με τον Osborne, (1976) θα πρέπει να δίνεται έμφαση στις έννοιες που συνθέτουν τη μέτρηση και που υπονοούνται στην κατασκευή των μετρικών συστημάτων Oι δυσκολίες των μαθητών Παρά το ότι οι έννοιες που αφορούν στην έννοια της μέτρησης της επιφάνειας διδάσκονται από το δημοτικό, σημαντικός αριθμός μαθητών του δημοτικού σχολείου παρουσιάζουν δυσκολίες αρκετές από τις οποίες δεν παρακάμπτονται ούτε στο γυμνάσιο (Clements & Ellerton, 1995; Bell, Costello & Kuchenmann, 1983) και μπορούν να διατηρούνται ακόμη και σε ενήλικες όπως σε φοιτητές - υποψηφίους δασκάλους (Tierney, Boyd, & Davis, 1986). Πιο συγκεκριμένα, οι δυσκολίες αυτές αφορούν : 56

15 Α) στην κατανόηση των τύπων υπολογισμού Οι μαθητές υπολογίζουν τις επιφάνειες οποιουδήποτε σχήματος πολλαπλασιάζοντας δύο οποιαδήποτε αριθμητικά δεδομένα (πλευρές ή γωνίες του σχήματος) προκειμένου να δώσουν μια απάντηση. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από αυτό τον πολλαπλασιασμό εκφράζονται συνήθως σε γραμμικές μονάδες μέτρησης. Στην εννοιολογική κατανόηση των γραμμικών στοιχείων που υπεισέρχονται στους τύπους υπολογισμού όπως για παράδειγμα το ύψος ή/και η βάση ενός τριγώνου ή παραλληλογράμμου (Comiti & Moreira-Baltar, 1997). Β) στην κατανόηση της επιφάνειας ως τον εσωτερικό χώρο ενός σχήματος Οι μαθητές αγνοούν τα χωρικά χαρακτηριστικά μιας επιφάνειας και πραγματοποιούν συγκρίσεις μόνο με τους αριθμούς οι οποίοι εκφράζουν μήκη πλευρών τα οποία συνδυάζουν με οποιοδήποτε τρόπο εφαρμόζοντας λάθος τύπους προκειμένου να δώσουν κάποιες αριθμητικές απαντήσεις (Douady & Perrin, 1986). Οι μαθητές πραγματοποιούν συγκρίσεις με κριτήριο το μήκος της μιας μόνο πλευράς των σχημάτων (Douady & Perrin, 1986).Γ) Στη διατήρηση της επιφάνειας Σε ισοδύναμα σχήματα διαφορετικής μορφής (Osborne, 1975; Carpenter, et all, 1975). Tα πολύ μικρά παιδιά κατά τη σύγκριση ισοδυνάμων επιφανειών επικεντρώνονται στην επικρατέστερη διάσταση (Hughes & Rogers, 1979). Σε ισοδύναμα ορθογώνια (Kouba, et. al., 1988). Σε ισοδύναμα τρίγωνα (Hughes & Rogers, 1979). Δ) στη μέτρηση της επιφάνειας Mε χρήση της λειτουργίας της μέτρησης δηλ. επιλογή μιας χωρικής μονάδας, επικάλυψη της προς μέτρηση επιφάνειας με τη μονάδα χωρίς κενά και επικαλύψεις και καταμέτρηση των μονάδων (Hiebert, 1981). Με οποιοδήποτε τρόπο και ως εκ τούτου χρησιμοποιούν την οπτική τους αντίληψη (Tierney, Boyd, & Davis, 1986). Με ακανόνιστο σχήμα η οποία είναι τοποθετημένη πάνω σε τετραγωνικό καρέ (Kouba, et. al., 1988) Συγκρίνουν ακανόνιστες επιφάνειες που έχουν μια διάσταση ίδια, με κριτήριο το μήκος της άλλης, αγνοώντας τη μορφή των σχημάτων (Hirstein, et all., 1978) Ε) Στην κατανόηση της έννοιας της μέτρησης του μήκους Στην χρήση του χάρακα για την ακριβή μέτρηση μηκών, όταν αυτά δεν είναι πολλαπλάσια ακεραίων μονάδων μήκους (Kouba, et. al., 1988). Στην καταμέτρηση των μονάδων μήκους - μετρούσαν ως γραμμικές μονάδες και τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, (Hirstein, Lamb, & Osborne, (1978) ΣΤ) Σύγχιση περιμέτρου και επιφάνειας 57

16 Στη διαφοροποίηση της επιφάνειας ενός σχήματος από την περίμετρό του (Hart, 1989; Kouba, et al., 1988; Kidman & Cooper, 1997; Dickson, 1989; Douady & Perrin, 1986) Στη μεταφορά των οποιοδήποτε μεταβολών των γραμμικών διαστάσεων μιας επιφάνειας στην ίδια την επιφάνεια (Tierney, Boyd, & Davis, 1986). Ζ) Στον τύπο του σχήματος α) Στα παραλληλόγραμμα : δυσκολίες κατανόησης της ανάγκης ύπαρξης μιας μονάδας μέτρησης και της επικάλυψης του σχήματος χωρίς κενά και επικαλύψεις (Outhret & Mitchelmore; 1996), συσχέτισης των μηκών και των δύο πλευρών του παραλληλογράμμου με το πλήθος των μονάδων του καρέ που κατασκευάζεται, αν φέρουμε καθέτους στα άκρα των ακεραίων μονάδων των πλευρών του. Συγκεκριμένα οι μαθητές φάνηκε ότι επικεντρώνονται μόνο στη μια διάσταση του παραλληλογράμμου στην εφαρμογή του τύπου υπολογισμού του εμβαδού των παραλληλογράμμων β) Στα ακανόνιστα σχήματα : δυσκολίες ανασύνθεσης της μονάδας από τα μέρη της - οι μονάδες που είναι μικρότερες από τη μισή μονάδα διαγράφονται, ενώ υπολογίζονται ως ολόκληρες εκείνες που ήταν μεγαλύτερες (Liebeck, (1987). χρησιμοποιήθηκε μια ποικιλία μονάδων Maher & Beattys, (1986). Στην κατανόηση της έννοιας της διατήρησης εκτός από την ειδική περίπτωση της διατήρησης ύστερα από στροφή ολόκληρου του σχήματος (Maher & Beattys, 1986) Συνολικής αντιμετώπισης - οι μαθητές συγκρίνουν ακανόνιστα σχήματα με κριτήριο το μήκος των πλευρών τους, ενώ στην περίπτωση που το σχήμα έχει αμβλείες γωνίες συγκρίνουν τα σχήματα με κριτήριο το ποιες γωνίες τους φαίνονται μεγαλύτερες. γ) Σε καθιερωμένα γεωμετρικά σχήματα : δυσκολίες Στην εύρεση της επιφάνειας τετραγώνου από την πλευρά του. Στην εύρεση της επιφάνειας ενός τετραγώνου από την περίμετρό του Θεωρούν την επιφάνεια ενός ορθογωνίου ως άθροισμα των μονάδων των διαστάσεών του (Hirstein, Lamb, & Osborne, 1978). Τη συσχέτιση αριθμητικών πληροφοριών και την εξαγωγής συμπερασμάτων, όταν δεν μπορούσαν να συνάγουν τα ίδια με το μάτι (Carpenter, 1976). Η) Στην κατανόηση της μονάδας Στην καταμέτρηση των μονάδων - θεωρούνται ως σημεία ενώ αγνοείται το σχήμα τους (Hirstein, Lamb, & Osborn, 1978). Αποσυνδέεται ο αριθμός από το μέγεθος των μονάδων (Kouba, et al., 1988). Στην καταμέτρηση των μονάδων με σύνθεση μονάδων από τα μέρη τους (Owens & Outhred, 1997b). σχεδίαση των μονάδων πάνω στο σχήμα που επρόκειτο να μετρηθεί (Owens & Outhred, 1997). 58

17 όταν τα σχήματα ήταν τοποθετημένα πάνω σε καρέ, δε μπορούσαν με επιτυχία να κόψουν ένα σχήμα και να το ανασυνθέσουν στην επικάλυψη με τη μονάδα χωρίς κενά και επικαλύψεις (Hirstein, et al., 1978). Στην κατανόηση της ανάγκης τεμαχισμού μιας επιφάνειας σε ίσα μέρη (μονάδες). Στην κατανόηση της ανάγκης καταμέτρησης των μονάδων (Carpenter, et all, 1975). Στην κατανόηση της αναγκαιότητας ύπαρξης μιας χωρικής μονάδας που έχει το ίδιο σχήμα σε όλη τη διάρκεια της επικάλυψης του σχήματος (Carpenter, et all, 1975). Στην καταμέτρηση των μονάδων - μετρούσαν τα μέρη των μονάδων ως ολόκληρες μονάδες (Carpenter, et all, 1975). Στην ανάγκη ανασύνθεσης της μονάδας από κλάσματα των μερών της Hart (1989). Στην κατανόηση της αντίστροφης σχέσης μεταξύ μεγέθους μονάδων και αριθμού μονάδων που απαιτούνται για την επικάλυψη του ίδιου σχήματος. Στην έννοια της διατήρησης, όταν μετρούν ισοδύναμα σχήματα με διαφορετικές μονάδες (Carpenter, 1975). Στην ορθή ερμηνεία των αποτελεσμάτων της μέτρησης, - επικεντρώνονται στον αριθμό των μονάδων, αγνοώντας το είδος τους (Carpenter & Lewis, 1976) Από την έρευνα των Owens & Outhred (1997a) προέκυψε ότι οι απαντήσεις των μαθητών επηρεάζονται από το μέγεθος των μονάδων και τον τρόπο που γίνεται η επικάλυψη του σχήματος με αυτές, απο το είδος των γωνιών το είδος των μονάδων και πώς αυτό ταιριάζει με το προς μέτρηση σχήμα, όπως και από τις δυνατότητες σχεδίασης που διαθέτουν προκειμένου να σχεδιάσουν τις μονάδες έτσι, ώστε η επικάλυψη της επιφάνειας να γίνεται χωρίς κενά και επικαλύψεις. Eπιπλέον, οι Kidman & Cooper, (1997) διαπίστωσαν διαφορετικές προσεγγίσεις της επιφάνειας από τους ίδιους μαθητές. Δηλαδή, ενώ κάποιος μαθητής χρησιμοποιούσε την πολλαπλασιαστική προσέγγιση προκειμένου να καθορίσει το μέγεθος μιας επιφάνειας, χρησιμοποιούσε σε άλλα πειράματα και την περίμετρο και αντιστρόφως. Οι δυσκολίες των μαθητών που αφορούν στη διατήρηση της επιφάνειας αποδόθηκαν στο βαθμό της γλωσσικής κατανόησης των προβλημάτων, στο βαθμό της απόκτησης πρακτικής εμπειρίας με προβλήματα διατήρησης, στην επικέντρωση των μαθητών στην επικρατέστερη διάσταση των σχημάτων και στο είδος των σχημάτων που χρησιμοποιήθηκαν (Hughes & Rogers, 1979). Οι δυσκολίες των μαθητών αποδόθηκαν α) στο χάσιμο του ορισμού της έννοιας της επιφάνειας και στην πρόωρη έμφαση στους τύπους υπολογισμού των εμβαδών (Hirstein, et al., 1978; Kidman & Cooper, 1997). β) στη στατική και όχι στη δυναμική αντιμετώπιση της έννοιας της μέτρησης της επιφάνειας, από την άποψη ότι μελετάται η επιφάνεια ανεξάρτητα από το σχήμα και όχι σε αλληλεπίδραση με αυτό Baturo & Nason, (1996) και γ) στο φαινομενικά μεγάλο κενό μεταξύ της μεθόδου που κυριαρχεί πολιτισμικά για τον 59

18 υπολογισμό του εμβαδού και στην εννοιολογική ανάπτυξη της λειτουργίας της μέτρησης στα παιδιά (Baturo & Nason, (1996) Προτεινόμενες δραστηριότητες για την κατανόηση των εννοιών που συνθέτουν τη διατήρηση και τη μέτρηση της επιφάνειας Η ανάγκη έρευνας για τον προσδιορισμό των δραστηριοτήτων που εμπεριέχονται στη μέτρηση όπως και του προσδιορισμού των παραγόντων που επηρεάζουν τη συμπεριφορά των μαθητών που αφορά στις λειτουργίες της μέτρησης, τονίζεται από τους Carpenter & Osborne, (1976). Κατά το σχεδιασμό μαθηματικών δραστηριοτήτων για τους μαθητές θα πρέπει να λαμβάνονται υπ όψη τα στάδια της γνωστικής ανάπτυξης της κάθε έννοιας. Η αναγκαιότητα στο να εμπλέκονται τα παιδιά με δραστηριότητες που δίνουν έμφαση στην έννοια της επιφάνειας και στις υποέννοιες που τη συνθέτουν, προκειμένου να αναπτύξουν μια διαισθητική αντίληψη γι' αυτή την έννοια, (Lindquist, et all, 1983; Maher & Beattys, 1986). που δίνουν έμφαση στο δισδιάστατο χαρακτήρα της επιφάνειας κατανόησης της δυνατότητας δύο επιφανειών να έχουν ίσες επιφάνειες, ενώ έχουν διαφορετική μορφή, (Osborne, 1976). κατασκευής σχημάτων διαφορετικής μορφής αλλά ισοδύναμα σε επιφάνεια, είτε αναδιατάσσοντας μέρη των σχημάτων είτε αναδιατάσσοντας τις μονάδες με τις οποίες έχουν επικαλυφθεί τα σχήματα (Liebeck, 1987; Hiebert, 1981). ταξινόμησης επιφανειών οι οποίες είναι σχεδιασμένες σε τετραγωνισμένο χαρτί τεμαχισμού ή επικάλυψης επιφανειών οι οποίες μπορεί να έχουν και ακανόνιστο σχήμα με τη βοήθεια της τετραγωνικής μονάδας ή του τετραγωνικού καρέ Carpenter, (1975). διατήρησης με τη χρήση της λειτουργίας της μέτρησης σε συνδυασμό με τους τύπους υπολογισμού (Hirstein, et al., 1978). όπου τονίζεται ο κατασκευαστικός χαρακτήρας της μέτρησης της επιφάνειας μέσα από πειραματισμό με διάφορα υλικά (Beattys & Maher, 1985). πρακτικής ενασχόλησης με προβλήματα επικάλυψης ή τεμαχισμού επιφανειών σε μονάδες, με χρήση φυσικών μέσων, όπως χαρτί - ψαλίδι - μολύβι και όχι η μέτρηση απ' ευθείας με τη χρήση καρέ (Hiebert, 1981). επικάλυψης ακανόνιστων επιφανειών με μη τυποποιημένες μονάδες (Hiebert, 1981). επικάλυψης ίσων επιφανειών με μονάδες διαφορετικού σχήματος, με χρήση φυσικών παραδειγμάτων (Carpenter, et all, 1975). Όπου έχουν την ευκαιρία επιλογής μιας μονάδας από μια ποικιλία μη τυποποιημένων μονάδων (Heraud, 1987). σε προβλήματα μέτρησης που να αποκτούν κάποιο νόημα γι αυτούς (Driscoll, 1981). όπου τους δίνεται η ευκαιρία να αποκτήσουν μια ποικιλία από εμπειρίες στη μέτρηση της επιφάνειας (Driscoll, 1981). 60

19 σύγκρισης, ταξινόμησης και διάταξης επιφανειών (Driscoll, 1981; Steffe, 1971). εκτίμησης επιφανειών, από την άποψη του ότι οι μαθητές θα αποκτούν κίνητρο προκειμένου να πραγματοποιήσουν μετρήσεις επιφανειών (Hiebert, 1981). σύγκρισης μιας ποικιλίας σχημάτων χωρίς τη χρήση αριθμών αλλά με τη χρήση των αισθησιοκινητικών τους ενεργειών και άλλες φορές με τη βοήθεια καρέ. Βασικά ερωτήματα για την κατανόηση της σκέψης των παιδιών σχετικά με την έννοια της επιφάνειας αποτελούν, το πώς αντιλαμβάνεται ο μαθητής τα αντικείμενα που πρόκειται να μετρήσει, το κατά πόσον χρησιμοποιεί τη λογική προκειμένου να πραγματοποιήσει συγκρίσεις, το κατά πόσον μπορεί να κατανοήσει τη λειτουργία της μέτρησης, άν έχει κατακτήσει την έννοια της μονάδας της μέτρησης, όπως και το πως χρησιμοποιεί τους τύπους υπολογισμού (Steffe & Hirstein,1976) Η σχολική γνώση Τα βασικά χαρακτηριστικά της εισαγωγής των εννοιών που σχετίζονται με την έννοια της μέτρησης της επιφάνειας στο Δημοτικό σχολείο αλλά και στο Γυμνάσιο είναι ότι οι μαθητές εισάγονται πρόωρα στη χρήση: της τετραγωνικής μονάδας των τυποποιημένων οργάνων μέτρησης της επιφάνειας (τετραγωνικός καμβάς ή καρέ) των τυποποιημένων μονάδων μέτρησης της επιφάνειας και στις υποδιαιρέσεις τους των τύπων υπολογισμού καθιερωμένων γεωμετρικών σχημάτων των μετρικών συστημάτων Η μέτρηση της επιφάνειας στο Δημοτικό Σχολείο και στο Γυμνάσιο εισάγεται με τρόπο που δεν αντιμετωπίζει θέματα που σχετίζονται : με την έννοια της διατήρησης της επιφάνειας και των εννοιών που τη συνθέτουν με την αναγκαιότητα της γένεσης της ανάγκης χρήσης μιας μονάδας για τη μέτρηση της επιφάνειας και το πέρασμα από αυτή τη μονάδα σε άλλες με στόχο την κατάληξη στη χρήση των τυποποιημένων μονάδων της μέτρησης με την αναγκαιότητα έμφασης στον ενεργητικό και λειτουργικό χαρακτήρα της μέτρησης μέσα από την επικάλυψη ή τον τεμαχισμό σε μονάδες του προς μέτρηση σχήματος Η διδασκαλία εννοιών που σχετίζονται με τη μέτρηση της επιφάνειας σταματά στην Α' Γυμνασίου Το μοντέλο των πιθανών ενεργειών του μαθητή Προκειμένου να κατασκευαστεί το μοντέλο των πιθανών αισθησιοκινητικών ενεργειών του μαθητή έγινε επιλογή των βασικών και ουσιαστικών δραστηριοτήτων που αφορούν 61

20 στις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας και διατυπώθηκαν υποθέσεις από το σχεδιαστή για την πιθανή πραγματοποίησή τους από τους μαθητές. Οι υποθέσεις αυτές στηρίχθηκαν στη σχετική βιβλιογραφία. Παρόλα αυτά ύστερα από τις μελέτες αξιολόγησης του λογισμικού στο πεδίο χρειάστηκε τροποποίησή τους. Τα δεδομένα από τις μελέτες αξιολόγησης έδειξαν ότι οποιαδήποτε πλήρης αναδίφηση της βιβλιογραφίας δεν είναι εύκολο να δώσει από τη φάση του σχεδιασμού τη δυνατότητα της πλήρους πρόβλεψης της συμπεριφοράς ενός πληθυσμού μαθητών με το λογισμικό. Η επιλογή των δραστηριοτήτων : Οι βασικές δραστηριότητες οι οποίες κρίθηκε απαραίτητο να μπορούν να πραγματοποιηθούν στο περιβάλλον του λογισμικού, ήταν οι δραστηριότητες του μετασχηματισμού και της σύγκρισης επιφανειών. Η σημασία αυτών των δραστηριοτήτων για την κατανόηση των εννοιών της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας αναλύθηκε διεξοδικά στην ενότητα Οι δραστηριότητες αυτές, λόγω της σημασίας τους, επιλέχθηκαν επιπλέον και ως δραστηριότητες αξιολόγησης του λογισμικού με τους μαθητές. Οι δραστηριότητες και ο τρόπος με τον οποίο δόθηκαν στους μαθητές στα πλαίσια της παρούσας έρευνας περιγράφεται με λεπτομέρειες στο κεφάλαιο 4. Οπως προκύπτει από την ενότητα οι μαθητές προκειμένου να αντιμετωπίσουν προβλήματα διατήρησης ή μέτρησης της επιφάνειας και να φέρουν σε πέρας τις βασικές δραστηριότητες της σύγκρισης και του μετασχηματισμού πρέπει να έχουν τη δυνατότητα τεμαχισμού και ανασύνθεσης μιας επιφάνειας με χρήση των αισθησιοκινητικών ενεργειών τους. Προκειμένου να γίνει αυτό δυνατό στο περιβάλλον του μικρόκοσμου, έγινε προσομοίωση αυτών των ενεργειών με τη διάθεση στο μαθητή, των παρακάτω λειτουργιών (Κορδάκη, & Πόταρη, 1997): Η επιλογή και αντιγραφή επιφάνειας ή μέρους της Η επιλογή και κοπή μέρους επιφάνειας Η επιλογή και επικόλληση επιφάνειας ή μέρους της Η επιλογή και στροφή επιφάνειας ή μέρους της σε συνδυασμό με τη δυνατότητα κατασκευής της γωνίας στροφής Η δημιουργία του συμμετρικού επιφάνειας ή μέρους της, σε συνδυασμό με τη δυνατότητα κατασκευής του άξονα συμμετρίας Το σβήσιμο μέρους ή ολόκληρου σχήματος στην οθόνη του υπολογιστή 3.3. Το μοντέλο για τη γνώση και τη μάθηση στο λογισμικό C.AR.ME. Στο σχήμα που ακολουθεί (σχήμα 3.3.) γίνεται διαγραμματική παρουσίαση του μοντέλου για τη γνώση και τη μάθηση στηριγμένο σε βασικές κοινωνικές και εποικοδομιστικές 62

21 προσεγγίσεις και εξειδικευμένο στη μάθηση των εννοιών της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας σχεδίαση καμβάδες & ευθ.τμημάτων &πολυγώνων λειτουργίες σχεδίασης διαθεσιμότητα δραστήρια εργαλείων μέτρηση για: επιφανειών προσομοιώσεις των αισθησιομετασχ/τισμός ή σύγκριση κινητικών ενεργειών σχημάτων Η μάθηση υποκειμενική ανεξαρτησία των λειτουργιών αντικείμενα που δίνονται από το μαθητή μη διαθέσιμο σύστημα αξιολόγησης με τη μορφή ελέγχου των σωστών απαντήσεων εργαλεία για αυτόματους μετασχημ/σμούς εργαλεία για μέτρηση επιφάν. περιβάλλον μη γραμμικός, καθοδηγ. από τα γεγονότα πειραματισμού αντικειμενοστραφής προγραμματισμός &επίλ.προβλημ όχι παρουσίαση πληροφοριών αλλά περιβάλλον διαθεσιμότητα ενός συνόλου λειτουργιών αλληλεπίδραση κατασκευή πολλαπλών πλαισίων γεωμετρικά ακανόνιστα μη τυποποιημένα σχήματα συστήματα πολλαπλών ανα- συστήματα τυποποιημένα παραστάσεων μέτρησης αναστοχασμός εξεικόνιση χρήση γλωσσών των ενεργειών προγραμ/μού με των παιδιών περιβάλλον γραφικών όπως η V.B. Σχήμα 3.3. Το μοντέλο για τη γνώση και τη μάθηση στο λογισμικό C.AR.ME. 63

22 3.4. Οι λειτουργικές προδιαγραφές και οι λειτουργίες του λογισμικού C.AR.ME. Οι προδιαγραφές στις δεξιές στήλες των 3 μοντέλων που παρουσιάσθηκαν στα προηγούμενα (σχήματα 3.1, 3.2 και 3.3.) αποτελούν τις λειτουργικές προδιαγραφές του λογισμικού που κατασκευάστηκε. Οι λειτουργίες του λογισμικού προέκυψαν από την υλοποίηση αυτών των προδιαγραφών εμφανίζονται στο περιβάλλον διεπαφής με το χρήστη όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Αρχείο Σχεδίαση Επεξεργασία Μέτρηση Aυτόματοι Εργαλεία Βοήθεια Μετασχηματισμοί Ανοιγμα Τετραγωνικός Επιλογή Επιφάνειας Τετράγωνο Τετραγωνική καμβάς μέρους μονάδα Ανοιγμα Τριγωνικός Επιλογή Γωνίας Ορθογώνια και Ορθογώνια τελευταίου καμβάς όλου Οικογένεια από μονάδα Ορθογώνια Αποθήκευση Σχεδίαση Κοπή Ευθυγράμμου Παραλληλόγραμμα Μονάδα του τελευταίου πολυγώνου τμήματος και οικογένεια από μαθητή Παραλληλόγραμμα Αποθήκευση Σχεδίαση Επικόλληση Tρίγωνα και Επικάλυψη σαν... ευθ. τμήματος οικογένεια τριγώνων με μονάδα Εκτύπωση Τέλος σχεδίασης Σχεδίαση Εμφάνιση Καταμέτρηση πολυγώνου γωνίας στροφής αριθμητικών στοιχείων μονάδων Eξοδος Καθάρισμα Στροφή Τετραγωνικό οθόνης καρέ Σχεδίαση άξονα συμμετρίας Ορθογώνιο καρέ Συμμετρία ως προς άξονα Καρέ του μαθητή Σβηστήρες Πίνακας 3.1. Οι λειτουργίες του λογισμικού C.AR.ME. όπως εμφανίζονται στο περιβάλλον διεπαφής 64

23 Η αρχιτεκτονική της ροής των δεδομένων : Τα δεδομένα δίνονται από το μαθητή κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασής του με το πρόγραμμα. Επειδή το πρόγραμμα έχει σχεδιασθεί για τη μελέτη επιπέδων σχημάτων ως προς τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας, το βασικό μέρος των δεδομένων αποτελούν οι κορυφές των πολυγώνων που σχεδιάζει ο μαθητής με το ποντίκι στην οθόνη του υπολογιστή. Επιπλέον, για τις ανάγκες της μελέτης των παραπάνω εννοιών μέρος των δεδομένων αποτελούν και τα άκρα των ευθυγράμμων τμημάτων όπως και οι γωνίες που σχεδιάζονται από το μαθητή στην οθόνη του υπολογιστή κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασής του με το πρόγραμμα. Στα δεδομένα μπορεί να γίνει επεξεργασία με τις λειτουργίες της κοπής, της επικόλλησης, της στροφής και της συμμετρίας ως προς άξονα. Ακόμη μπορούν να πραγματοποιηθούν αυτόματες μετρήσεις της επιφάνειας των πολυγώνων σε τετραγωνικά εκατοστά, των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων σε εκατοστά και του ανοίγματος των γωνιών σε μοίρες. Σχήμα 3.4. Οι δυνατότητες ροής των δεδομένων Ειδικότερα τα πολύγωνα μπορούν να μετασχηματιστούν αυτόματα σε ισοδύναμα τετράγωνα, ορθογώνια και οικογένειες ορθογωνίων και τριγώνων με κοινή βάση και ίσα ύψη. Επιπλέον, διατίθενται μονάδες μέτρησης της επιφάνειας οι οποίες μπορούν να 65

24 τοποθετηθούν από το μαθητή πάνω στα σχήματα όπως και καρέ προκειμένου να είναι δυνατή η πραγματοποίηση της λειτουργίας της μέτρησης. Το σύνολο των μονάδων που απαιτούνται για την επικάλυψη ενός σχήματος με τις μονάδες αυτές, μπορεί να καταμετρηθεί αυτόματα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο σχεδιασμός της ροής των δεδομένων, όπως δύναται να πραγματοποιηθεί από το πρόγραμμα Η περιγραφή των λειτουργιών του λογισμικού C.AR.ME Λειτουργίες αποθήκευσης δεδομένων για μελλοντική χρήση και επεξεργασία: Αμέσως μετά την είσοδο του μαθητή στο μικρόκοσμο ένα αρχείο καταγραφής του ιστορικού των ενεργειών του δημιουργείται αυτόματα (logfile), ενώ ένα κουτί διαλόγου εμφανίζεται, στο οποίο ο μαθητής δίνει το όνομά του το οποίο αποτελεί και το όνομα του παραπάνω αρχείου. Στο αρχείο αυτό καταγράφεται αυτόματα το ιστορικό των ενεργειών του μαθητή με περιγραφικό τρόπο και έχει τη δυνατότητα να το ανοίξει ο μαθητής, ο ερευνητής, ή ο δάσκαλος. Η καταγραφή του ιστορικού των ενεργειών του μαθητή αποτελεί μια ουσιαστική πηγή δεδομένων, τα οποία ύστερα από μελέτη και επεξεργασία έχουν σημασία για τον ερευνητή ή το δάσκαλο όσον αφορά στην εξαγωγή των συμπερασμάτων του. Οι λειτουργίες που ο μαθητής έχει στη διάθεση του για να πειραματιστεί ή να υλοποιήσει τις στρατηγικές επίλυσης των προβλημάτων του οργανώνονται ανάλογα με το περιεχόμενό τους σε επτά ομάδες. Λειτουργίες Αρχείου: Στην πρώτη ομάδα, όπως εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή, υπάρχει μια σειρά λειτουργιών κάτω από τον κατάλογο με τίτλο "Αρχείο" η οποία επιτρέπει στο μαθητή να δημιουργήσει αρχεία διαχείρισης των εργασιών του κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασής του με το μικρόκοσμο. Πιο συγκεκριμένα ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να ανοίξει ένα νέο αρχείο με την επιλογή "Νέο" στο οποίο μπορεί να αποθηκεύσει με την επιλογή "αποθήκευση ως..." τα σχήματα που δημιούργησε, με όποιο όνομα επιλέξει καθώς και να τα ανακαλέσει με την επιλογή "Άνοιγμα" με το ίδιο όνομα που τα αποθήκευσε. Ο μαθητής έχει επίσης τη δυνατότητα να αποθηκεύει την τρέχουσα εργασία του με την επιλογή "Αποθήκευση τρέχοντος", ώστε, αν θεωρεί ότι οι μετέπειτα χειρισμοί του δεν είναι οι κατάλληλοι, να την ανακαλεί με την επιλογή "Άνοιγμα τελευταίου" και να συνεχίζει με νέους. Στην ίδια ομάδα λειτουργιών υπάρχει η επιλογή του τέλους εργασίας με την επιλογή "Eξοδος" η οποία τερματίζει το πρόγραμμα και συνοδεύεται επίσης από το κλείσιμο του αρχείου που καταγράφει το ιστορικό των ενεργειών του μαθητή. 66

25 Λειτουργίες Σχεδίασης : H ομάδα των λειτουργιών που ακολουθεί βρίσκεται κάτω από τον κατάλογο "Σχεδίαση" και δίνει στο μαθητή ή στο δάσκαλο τη δυνατότητα της σχεδίασης. Επιλέγοντας την επιλογή "Σχεδίαση πολυγώνου" και κάθε φορά που το ποντίκι είναι πατημένο σχεδιάζεται ένα σημείο το οποίο συνδέεται με το προηγούμενό του (έφ όσον υπάρχει) με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Με την επιλογή "Τέλος σχεδίασης πολυγώνου" το σχήμα που σχεδιάστηκε προηγουμένως κλείνει και διακόπτεται το δικαίωμα σχεδίασης μέχρι νέας επιλογής. Για τη σχεδίαση σχημάτων με ειδική μορφή όπως ίσες πλευρές, ορθές γωνίες, παράλληλες πλευρές, γωνίες 60 ή 90 μοιρών και πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσιά τους, διατίθενται δύο καμβάδες ο ένας τετραγωνικός "τετραγωνικός καμβάς" και ο άλλος με ισόπλευρα τρίγωνα "τριγωνικός καμβάς". Οι καμβάδες εμφανίζονται στην οθόνη του υπολογιστή με την επιλογή "διαθέσιμος", σε αντιστοιχία με τον καμβά που επιλέγεται, ενώ αφαιρούνται αντίστοιχα με την επιλογή "μη διαθέσιμος". Οτιδήποτε περιέχει η οθόνη του υπολογιστή μπορεί να σβηστεί με χρήση της επιλογής "καθάρισμα οθόνης". Λειτουργίες Επεξεργασίας : Οι λειτουργίες που βρίσκονται στην Τρίτη ομάδα, κάτω από τον κατάλογο "Επεξεργασία", είναι λειτουργίες ποιοτικής διαχείρισης της επιφάνειας. Ο μαθητής μέσω της επιλογής "επιλογή μέρους" έχει τη δυνατότητα επιλογής μέρους μιας επιφάνειας. Προκειμένου να επιλεγεί ένα μέρος επιφάνειας πρέπει να σχεδιαστεί από το μαθητή με τη χρήση του ποντικιού και με τον τρόπο σχεδίασης που προαναφέρθηκε, χωρίς προηγούμενη ενεργοποίηση οποιασδήποτε επιλογής από τον κατάλογο "Σχεδίαση". Το μέρος της επιφάνειας που ο μαθητής έχει επιλέξει, μπορεί να το κόψει (Επιλογή "Κοπή"), να το επικολλήσει (Επιλογή "Επικόλληση") και να κατασκευάσει το συμμετρικό του ως προς άξονα με την επιλογή "Συμμετρία ως προς άξονα", αφού πρώτα κατασκευάσει τον άξονα συμμετρίας από δύο σημεία του με χρήση της επιλογής "κατασκευή άξονα συμμετρίας". Επιπλέον, ο μαθητής μπορεί να στρέψει το μέρος της επιφάνειας που έχει επιλέξει με χρήση της επιλογής "Στροφή", αφού κατασκευάσει μια γωνία στροφής με την επιλογή "Σχεδίαση γωνίας στροφής". Η κατασκευή της γωνίας στροφής γίνεται από δύο ευθύγραμμα τεμνόμενα τμήματα που σχεδιάζονται με τον τρόπο σχεδίασης που υποστηρίζει αυτό το πρόγραμμα και το σημείο της τομής τους αποτελεί το σημείο της στροφής. Η φορά με την οποία σχεδιάζεται η γωνία στροφής αποτελεί και τη φορά της στροφής του σχήματος. Όταν ένα μέρος του σχήματος αποκόπτεται με χρήση της επιλογή της κοπής, στη θέση του σχήματος που αποκόπτεται παραμένει ένα ίχνος από διακεκομμένες γραμμές, ώστε να δίνεται η δυνατότητα αισθητηριακής σύνδεσης της προηγούμενης κατάστασης με την επόμενη. Η λειτουργία της επικόλλησης δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να "σύρει" (drag) το σχήμα που έχει επιλέξει στην οθόνη του 67

26 υπολογιστή, με το αριστερό κουμπί του ποντικιού πατημένο συνέχεια, μέχρι να το τοποθετήσει στο σημείο που επιλέγει, με διπλό κλικ του ποντικιού στο σημείο αυτό. Με αυτό τον τρόπο δεν χρειάζεται πρόβλεψη της εικόνας του σχήματος μετά την επικόλληση, κάτι που βοηθά το μαθητή να τοποθετήσει με ακρίβεια το σχήμα του στο σημείο της οθόνης που επιθυμεί. Κατά την πραγματοποίηση της σχεδίασης του συμμετρικού του σχήματος ως προς άξονα, στη θέση του σχήματος παραμένει επίσης ένα ίχνος από διακεκομμένες γραμμές, κάτι το οποίο δίνει την ευκαιρία στο μαθητή να συνδέσει αισθητηριακά την προηγούμενη κατάσταση με την επόμενη και πιθανόν να τον οδηγήσει σε συμπεράσματα που αφορούν την ισότητα των συμμετρικών σχημάτων. Ο μαθητής επίσης μπορεί να σβήσει ένα σχήμα με την επιλογή "Σβήσιμο". Από το μικρόκοσμο διατίθενται τρεις σβηστήρες μικρού, μεσαίου και μεγάλου μεγέθους. Επιπλέον, ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να δημιουργήσει αντίγραφα του αρχικού του σχήματος με χρήση της επιλογής "Επιλογή όλου", σε συνδυασμό με την επιλογή "Επικόλληση". Οι λειτουργίες της "κοπής", της "επικόλλησης", της "συμμετρίας ως προς άξονα" και της "στροφής", μπορούν επιπλέον να επιδράσουν και στο σχήμα που σχεδιάστηκε με τις εντολές σχεδίασης, αφού αυτό επιλεγεί με χρήση της επιλογής "Επιλογή όλου". Αυτόματες λειτουργίες μέτρησης : Οι λειτουργίες που βρίσκονται σε αυτή την ομάδα βρίσκονται κάτω από τον κατάλογο με τίτλο "Μέτρηση". Με τη χρήση των λειτουργιών αυτών ο μαθητής μπορεί να μετρήσει αυτόματα επιφάνειες, γωνίες και ευθύγραμμα τμήματα με τη χρήση των τυποποιημένων μονάδων μέτρησής τους αντίστοιχα. Έτσι, με την επιλογή Μέτρηση "επιφάνειας", πραγματοποιείται αυτόματη μέτρηση της επιφάνειας που έχει σχεδιασθεί με τις εντολές σχεδίασης, σε τετραγωνικά εκατοστά. Με την επιλογή Μέτρηση "ευθ. τμήματος", πραγματοποιείται αυτόματη μέτρηση του ευθ. τμήματος που έχει σχεδιασθεί με τις εντολές σχεδίασης, σε εκατοστά. Επιπλέον, με την επιλογή Μέτρηση "γωνίας", πραγματοποιείται αυτόματη μέτρηση της γωνίας που έχει σχεδιασθεί με την εντολή "σχεδίαση γωνίας στροφής" σε μοίρες. Λειτουργίες Αυτόματων μετασχηματισμών : Οι λειτουργίες που βρίσκονται σε αυτή την ομάδα βρίσκονται κάτω από τον κατάλογο με τίτλο "Ισοδύναμα Σχήματα". Με τη χρήση των λειτουργιών αυτών ο μαθητής μπορεί να πραγματοποιήσει αυτόματους μετασχηματισμούς μιας επιφάνειας που σχεδιάστηκε με τις εντολές σχεδίασης σε ισοδύναμα σχήματα, με τυπική γεωμετρική μορφή. Σχήματα τέτοιας μορφής αποτελούν το τετράγωνο, ένα ορθογώνιο με διαστάσεις που έχουν λόγο 1/2 και ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, ως ειδικές περιπτώσεις τριγώνων και ορθογωνίων αντίστοιχα. Οι 68

27 μετασχηματισμοί αυτοί πραγματοποιούνται επιλέγοντας τις επιλογές "τετράγωνο", "ορθογώνιο" και "ορθ. ισοσκ. τρίγωνο" αντίστοιχα. Επιπλέον, είναι δυνατοί οι αυτόματοι μετασχηματισμοί οποιουδήποτε σχήματος σε οικογένειες σχημάτων, όπως για παράδειγμα σε οικογένειες ορθογωνίων, παραλληλογράμμων ή/και τριγώνων με κοινή βάση και ίσα ύψη. Στην περίπτωση των ορθογωνίων, η μια διάσταση δίνεται από το μαθητή κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασής του με το πρόγραμμα, ενώ στην περίπτωση των παραλληλογράμμων και των τριγώνων, δίνεται με τον ίδιο τρόπο η βάση των σχημάτων. Οι οικογένειες των σχημάτων που αναφέρθηκαν προηγουμένως δημιουργούνται με χρήση των επιλογών "περισσότερα ορθογώνια", "περισσότερα παραλληλόγραμμα" και "περισσότερα τρίγωνα" αντίστοιχα. Λειτουργίες εμφάνισης αριθμητικών στοιχείων των σχημάτων : Οι λειτουργίες που βρίσκονται σε αυτή την ομάδα αποτελούν μέρος του καταλόγου με τίτλο "Ισοδύναμα Σχήματα", από τον οποίο διαχωρίζονται με μια οριζόντια συνεχή γραμμή. Με την κλήση της επιλογής "εμφάνιση αριθμητικών στοιχείων", ένα νέο παράθυρο εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή. Αυτό αποτελεί κατάλογο και εμφανίζει όλα τα αποτελέσματα των αυτόματων μετρήσεων που έγιναν, τα μήκη των βάσεων και των υψών των ισοδυνάμων σχημάτων που δημιουργήθηκαν, όπως και το πλήθος των μονάδων που απαιτούνται για την επικάλυψη ενός σχήματος. Τέτοιες μονάδες μπορεί να είναι οι διαθέσιμες από το πρόγραμμα ή αυτές που κατασκευάζει ο μαθητής. Τα αριθμητικά στοιχεία ακολουθούν τίτλοι που επεξηγούν το περιεχόμενό τους όπως για παράδειγμα, Εμβαδόν πολυγώνου = 34,25 τ.εκ. Κάθε νέο αποτέλεσμα με τον επεξηγηματικό του τίτλο ακολουθείται από διακεκομμένες γραμμές προκειμένου να διαχωρίζεται από τα επόμενα αποτελέσματα. Λειτουργίες πραγματοποίησης της μέτρησης της επιφάνειας με χρήση χωρικών μονάδων: Οι λειτουργίες που βρίσκονται σε αυτή την ομάδα βρίσκονται κάτω από τον κατάλογο με τον τίτλο "Εργαλεία". Τα εργαλεία που διατίθενται είναι, τρία είδη μονάδων και τρία είδη καρέ, η λειτουργία της επικάλυψης με τη μονάδα και η αυτόματη καταμέτρηση των μονάδων. Με τη βοήθεια των παραπάνω εργαλείων μπορεί να πραγματοποιηθεί η λειτουργία της μέτρησης της επιφάνειας. Οι μονάδες που διατίθενται είναι σχήματος τετραγώνου και ορθογωνίου, ενώ δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να κατασκευάσει μια προσωπική μονάδα. Τα καρέ που διατίθενται παράγονται από μονάδες σχήματος τετραγώνου και ορθογωνίου, ενώ δίνεται επιπλέον η δυνατότητα στο μαθητή να κατασκευάσει ορθογώνιο καρέ με διαστάσεις της προτίμησής του. Η λειτουργία της επικόλλησης με τη μονάδα δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να σύρει τη μονάδα που έχει κατασκευάσει ή επιλέξει στην οθόνη του υπολογιστή, με το αριστερό κουμπί του ποντικιού 69

28 πατημένο συνέχεια, μέχρι να τοποθετηθεί η μονάδα στο σημείο που επιλέγει με διπλό κλικ του ποντικιού στο σημείο αυτό. Η λειτουργία που αντιστοιχεί στην επιλογή "καταμέτρηση μονάδων" καταμετρά αυτόματα το σύνολο των μονάδων που χρειάζονται για την επικάλυψη του σχήματος χωρίς κενά και επικαλύψεις. Η λειτουργία αυτή δεν ήταν έτσι κατά την πειραματική φάση. Μετρούσε τότε το σύνολο των πλήρων μονάδων που χρησιμοποιούσε ο μαθητής με οποιοδήποτε τρόπο. Επειδή δεν πρόσφερε σημαντικά, τροποποιήθηκε όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ώστε να αποτελεί κριτήριο ελέγχου της ορθότητας εκτίμησης των μονάδων που χρησιμοποιεί ο μαθητής, προκειμένου να επικαλύψει το σχήμα του, όταν προσπαθεί να πραγματοποιήσει τη λειτουργία της μέτρησης. Επιπλέον, η λειτουργία της επικάλυψης με τη μονάδα όπως και της επικόλλησης κατά τη διάρκεια των πειραμάτων είχε υλοποιηθεί χωρίς δυνατότητα "συρσίματος" του σχήματος στην οθόνη του υπολογιστή. Αυτό διορθώθηκε όπως παραπάνω, διότι οι μαθητές δε μπορούσαν να προβλέψουν την εικόνα της μονάδας ή του σχήματος κατά τη στιγμή της επικόλλησης, αν δεν είχαν οπτική αντίληψη κατά τη στιγμή της επικόλλησης. Η δυσκολία αυτή είχε ως αποτέλεσμα συχνές επαναλήψεις των ίδιων ενεργειών των μαθητών, προκειμένου για την πραγματοποίηση των στρατηγικών επίλυσης των προβλημάτων που προσπαθούσαν να φέρουν σε πέρας. Λειτουργίες που προσφέρουν "Βοήθεια" σε πραγματικό χρόνο: Η τελευταία ομάδα λειτουργιών αφορά στη βοήθεια που πιθανόν χρειάζεται ο μαθητής προκειμένου να κινηθεί μέσα στο περιβάλλον του λογισμικού. Επιλέγοντας την επιλογή "Βοήθεια", εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή ένα παράθυρο με τους ίδιους καταλόγους λειτουργιών όπως περιγράφτηκαν παραπάνω στο κυρίως interface του μικρόκοσμου. Το νέο αυτό παράθυρο δεν επικαλύπτει τους τίτλους των καταλόγων των κυρίως λειτουργιών του μικρόκοσμου. Επιλέγοντας o μαθητής κάθε μία από τις λειτουργίες από τη "Βοήθεια", βλέπει να εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή ένα κείμενο με πληροφορίες που περιγράφουν τον τρόπο λειτουργίας της. Όλες οι λειτουργίες του μικρόκοσμου μπορούν να κληθούν ανεξάρτητα και με τη σειρά που επιθυμεί ο μαθητής Ανάλυση και υποστήριξη των λειτουργιών του λογισμικού Οι έρευνες που αναφέρονται στη διερεύνηση των διαδικασιών που οι μαθητές χρησιμοποιούν στη διατήρηση και στη μέτρηση της επιφάνειας περιορίζονται κυρίως σε δραστηριότητες στο συμβατικό περιβάλλον δηλ. με χαρτί και μολύβι. Ο ρόλος των 70

29 δραστηριοτήτων και γενικότερα του πλαισίου (context) στο οποίο οι μαθητές λειτουργούν, είναι καθοριστικός στις προσεγγίσεις τους ( Νoss & Hoyles, 1996; Nunes, et all, 1993). Επομένως αναμένεται ότι η διερεύνηση των διαδικασιών που οι μαθητές χρησιμοποιούν σε ένα περιβάλλον μη συμβατικό, θα εμφανίσει καινούρια στοιχεία σχετικά με τη σκέψη των μαθητών για την επιφάνεια και τη μέτρησή της. Το λογισμικό αυτό αποτελεί ένα καινούργιο εργαλείο που η αλληλεπίδραση των μαθητών με αυτό θα εμφανίσει τις ιδιαιτερότητες και τις δυνατότητες του. Η απόφαση ανάπτυξης ενός διαφορετικού λογισμικού από τα υπάρχοντα σχεδιαστικά πακέτα στηρίχθηκε στο ότι οι λειτουργίες που διαθέτουν δεν είναι συμβατές με τις πιθανές ενέργειες του μαθητή και με τις έννοιες της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας. Συγκεκριμένα στα σχεδιαστικά πακέτα λειτουργίες όπως η επιλογή, η κοπή και η μεταφορά μέρους σχήματος μετατρέπουν το αρχικό σχήμα και τα μέρη του σε ανοικτές πολυγωνικές γραμμές όπως επίσης και η λειτουργία της τυχαίας στροφής δεν είναι διαθέσιμη. Με βάση τη βιβλιογραφία προκύπτει ότι δεν έχουν αναπτυχθεί περιβάλλοντα λογισμικού τα οποία να διαθέτουν στο μαθητή όργανα μέτρησης της επιφάνειας. Σχετικά με την έννοια της διατήρησης δεν υπάρχουν επίσης περιβάλλοντα τα οποία να επιτρέπουν στο μαθητή να έλθει σε επαφή με τη διατήρηση ύστερα από μετασχηματισμό του σχήματος με τη βοήθεια των τύπων υπολογισμού. Παρακάτω θα αναφερθούν τα στοιχεία που χαρακτηρίζουν το συγκεκριμένο λογισμικό σε αντιπαράθεση με τα συμβατικά μέσα αντιμετώπισης της διατήρησης και της μέτρησης της επιφάνειας. Η δυνατότητα δημιουργίας αντίγραφου του σχήματος που πρόκειται να μετασχηματισθεί, δημιουργεί μια σύνδεση της προηγούμενης κατάστασης με την επόμενη, κάτι που ευνοεί την έννοια της διατήρησης, ενώ στο παραδοσιακό περιβάλλον με χαρτί και μολύβι το αρχικό σχήμα καταστρέφεται ύστερα από μετασχηματισμό του, διότι είναι δυσκολότερο να κατασκευασθεί αντίγραφό του. Ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η κοπή (εμφάνιση διακεκομμένων γραμμών στο τμήμα που κόβεται) αποτελεί επίσης μια σύνδεση της προηγούμενης κατάστασης με την επόμενη. Η κοπή στο χαρτί αποτελεί μια οριστική μεταβολή που δεν επιτρέπει στο μαθητή να γυρίσει πίσω. Επιπλέον, στο χαρτί τα μικρά κομμάτια επιφάνειας μπορεί να χάνονται, ενώ στον υπολογιστή παραμένουν στην οθόνη. Η επικόλληση όπως γίνεται στο περιβάλλον του μικρόκοσμου είναι ουσιαστικά μια παράλληλη μετατόπιση στο σημείο που διαλέγει ο μαθητής. Αυτό γίνεται γρήγορα και με το πάτημα ενός πλήκτρου, ενώ η επικόλληση ενός χάρτινου μέρους απαιτεί και τη χρήση 71

30 ενός κολλητικού μέσου, κάτι που δημιουργεί δυσκολίες. Επιπρόσθετα, μέσα από τη διαδικασία επικόλλησης δίνεται η ευκαιρία στο μαθητή να πειραματιστεί και να μάθει νέες μαθηματικές έννοιες. Η λειτουργία της στροφής, όπως πραγματοποιείται από το πρόγραμμα, δίνει δυνατότητες πειραματισμού, επιστροφής σε προηγούμενη κατάσταση και στροφής με κάποιο βήμα που ο μαθητής επιλέγει (animation). Έτσι ο μαθητής μπορεί να επικεντρωθεί στην έννοια της επιφάνειας και να την αποσυνδέσει από τη συγκεκριμένη θέση που καταλαμβάνει. Επιπλέον, η επιλογή της γωνίας στροφής μέσα από τον τρόπο κατασκευής της δίνει κάποια ποιοτική σημασία σε αυτήν. Στο παραδοσιακό περιβάλλον η στροφή και η επιλογή της γωνίας στροφής μπορεί να μην αποτελεί συνειδητή ενέργεια του μαθητή. Παράλληλα ο μαθητής πειραματιζόμενος στο περιβάλλον του μικρόκοσμου με τη στροφή, μπορεί πιθανά να μαθαίνει έννοιες που συσχετίζουν το σημείο και τη γωνία στροφής αριστερόστροφης ή δεξιόστροφης, με το αποτέλεσμα της στροφής σε κάθε περίπτωση. Στο ηλεκτρονικό περιβάλλον οι λειτουργίες είναι διαχωρισμένες και η επιλογή τους αποτελεί μια πράξη πιο συνειδητή από ότι με χαρτί - μολύβι και ψαλίδι, όπου πολλές ενέργειες μπορούν να γίνουν χωρίς συντονισμό ή χωρίς την ανάγκη λήψης κάποιας απόφασης και οι επιμέρους έννοιες της διατήρησης εμφανίζονται συγκεχυμένες. Αυτό ενισχύει την θεώρηση ότι ο υπολογιστής μπορεί να αποτελέσει ένα ενδιάμεσο μέσο που να συνδέει το συγκεκριμένο κόσμο με τον αφηρημένο κόσμο των εννοιών ( Fey, 1989; Dorfler, 1993). Επιπλέον, στο συμβατικό περιβάλλον προηγούμενες ενέργειες χάνονται με την εμφάνιση των επομένων, με αποτέλεσμα να εμποδίζεται ο αναστοχασμός στις επί μέρους μορφές διατήρησης μερών της επιφάνειας. Στο περιβάλλον του λογισμικού μπορεί να δοθεί έμφαση στην έννοια της διατήρησης του όλου ως σύνθεση των διατηρήσεων των μερών του. Η μη εμφάνιση αριθμητικών στοιχείων στις πλευρές και τις γωνίες των σχημάτων καθώς και η μη διάθεση κανόνα με υποδιαιρέσεις συμβατικών μονάδων μέτρησης του μήκους παράλληλα με τη μη διάθεση μοιρογνωμονίου, στρέφει το μαθητή σε μετασχηματισμούς της επιφάνειας με ποιοτικούς χειρισμούς και όχι με τη χρήση των τύπων υπολογισμού. H δυνατότητα πραγματοποίησης αυτόματων μετασχηματισμών ενός οποιουδήποτε σχήματος στα γεωμετρικά σχήματα που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, δίνουν την ευκαιρία στο μαθητή να γνωρίσει ένα πλήθος από τις διαφορετικές μορφές που 72

31 μπορεί να πάρει ένα σχήμα, όταν το εμβαδόν του διατηρείται, ενώ η μορφή του μετασχηματίζεται με τη βοήθεια των τύπων υπολογισμού των εμβαδών. Η πραγματοποίηση τέτοιου είδους μετασχηματισμών είναι πολύ δύσκολο και χρονοβόρο να πραγματοποιηθεί στο περιβάλλον χαρτί-μολύβι. Η μελέτη της διατήρησης των επιφανειών που προκύπτει με τον τρόπο που προαναφέρθηκε, δίνει επίσης την ευκαιρία στους μαθητές να κατανοήσουν τη δυνατότητα της διατήρησης των εμβαδών, να διερευνήσουν τις σχέσεις ισότητας των γραμμικών στοιχείων και των εμβαδών των σχημάτων οι οποίες υπονοούνται στους μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται κάθε φορά. Η δυνατότητα διερεύνησης των σχέσεων ισότητας των γραμμικών στοιχείων που υπονοούνται στις κλάσεις των τριγώνων ή παραλληλογράμμων που δημιουργούνται με κοινή βάση και ίσα ύψη καθώς και η δυνατότητα διατήρησης των εμβαδών των σχημάτων αυτών, έχει επίσης ενδιαφέρον. Επιπλέον, σημαντική σημασία αποκτά το ξεκαθάρισμα της έννοιας της περιμέτρου ενός σχήματος σε σχέση με την επιφάνειά του, μέσα από τους μετασχηματισμούς που προαναφέρθηκαν. Τα εργαλεία που προσφέρονται στο μαθητή προκειμένου να πραγματοποιήσει τη λειτουργία της μέτρησης (ποικιλία μονάδων και καρέ) και η δυνατότητα επικάλυψης με τη μονάδα, δεν είναι εύκολο να διατεθούν και να λειτουργήσουν με τον ίδιο τρόπο στο περιβάλλον χαρτί-μολύβι. Για παράδειγμα, στο περιβάλλον του λογισμικού είναι εύκολο να εμφανισθεί και να αποσυρθεί ένα καρέ πολύ γρήγορα, ώστε να επιτρέψει και τη χρήση άλλου. Με αυτό τον τρόπο ο μαθητής μπορεί να κατανοήσει την αντίστροφη σχέση μεταξύ μεγέθους και αριθμού μονάδων για τη μέτρηση της ίδιας επιφάνειας. Ακόμη, στο περιβάλλον του λογισμικού η επικάλυψη με τη μονάδα γίνεται ευκολότερα από την άποψη του ότι οι μονάδες αναπαράγονται αυτόματα από τη στιγμή που θα επιλεγούν ή θα σχεδιαστούν και δεν απαιτείται η δημιουργία ενός πλήθους μονάδων που πρέπει να επικολληθούν με κόλλα πάνω σε ένα σχήμα που έχει σχεδιαστεί στο χαρτί. Θα μπορούσε βέβαια ο μαθητής στο περιβάλλον χαρτί-μολύβι να χρησιμοποιήσει μια μόνο μονάδα την οποία να σχεδιάζει κάθε φορά στο σχήμα του μέχρι να το επικαλύψει, κάτι που επίσης είναι πιο δύσκολο και χρονοβόρο σε σχέση με τον τρόπο που αυτή η λειτουργία προσομοιώνεται στο περιβάλλον του μικρόκοσμου. Οι αυτόματες λειτουργίες της μέτρησης της επιφάνειας και των μονάδων που απαιτούνται για την επικάλυψη ενός σχήματος, δίνουν τη δυνατότητα στο μαθητή να ελέγξει την ορθότητα των ενεργειών που πραγματοποίησε. Η δυνατότητα αυτή δεν 73

32 είναι πραγματοποιήσιμη στο περιβάλλον χαρτί - μολύβι. Η αυτόματη λειτουργία της μέτρησης του μήκους σε συνδυασμό με την αυτόματη μέτρηση της επιφάνειας, δίνει την ευκαιρία στο μαθητή να μελετήσει τις σχέσεις εμβαδού και περιμέτρου σχημάτων. Επιπλέον, η αυτόματη λειτουργία της μέτρησης της γωνίας μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν ότι οι επιφάνειες των σχημάτων δεν είναι ανάλογες με το άνοιγμα των γωνιών τους Οι λειτουργίες του λογισμικού από μια αναπαραστασιακή θεώρηση Οι λειτουργίες του λογισμικού από μια αναπαραστασιακή θεώρηση μπορούν να διαχωριστούν ως : Οι αναπαραστάσεις που αποτελούν τις προσομοιώσεις των βασικών σταδίων της μέτρησης της επιφάνειας όπως περιγράφονται από τον J. Piaget και είναι οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν την έννοια της διατήρησης ως ένα στάδιο πριν τη μέτρηση που εκφράζουν διαισθητική γνώση και πραγματοποιούνται με τις προσομοιώσεις των αισθησιοκινητικών ενεργειών του παιδιού στο περιβάλλον του μικρόκοσμου. Η πραγματοποίηση των αναπαραστάσεων αυτών υπονοεί την κατανόηση της διατήρησης του όλου, ύστερα από αλλαγή θέσης και της κατανόησης του όλου, ύστερα από τεμαχισμό και ανασύνθεση. οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν την έννοια της μέτρησης με διαισθητικό τρόπο και πραγματοποιούνται με τις λειτουργίες επιλογής ή κατασκευής της μονάδας ή του καρέ και της επικάλυψης με τη μονάδα. Η πραγματοποίηση των αναπαραστάσεων αυτών υπονοεί την κατανόηση της λειτουργίας της μέτρησης και της διατήρησης του όλου, ύστερα από τεμαχισμό σε μονάδες και ανασύνθεση των μονάδων. Οι αναπαραστάσεις των μορφών που προαναφέρθηκαν είναι "διαφανείς" αναπαραστάσεις. Οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν μαθηματική γνώση που δημιουργήθηκε από τον πολιτισμό και πραγματοποιούνται με αυτόματο τρόπο. Οι αναπαραστάσεις αυτές εκφράζουν μια κοινωνικοπολιτισμική θεώρηση για τη μαθηματική γνώση και τη μάθηση και είναι : οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν την έννοια της διατήρησης ως ένα στάδιο μετά τη μέτρηση που εκφράζουν μαθηματική γνώση που δημιουργήθηκε από τον πολιτισμό και πραγματοποιούνται με αυτόματο τρόπο. Αυτές οι αναπαραστάσεις αποτελούν το σύνολο των αυτόματων μετασχηματισμών που διατίθενται από το μικρόκοσμο. Η πραγματοποίηση των αναπαραστάσεων αυτών δίνει τη δυνατότητα της δυναμικής μελέτης της επιφάνειας σε σχέση με το γραμμικό της περίβλημα. Επιπλέον, δίνει τη 74

33 δυνατότητα της διερεύνησης της κατανόησης της σχέσης των κοινών στοιχείων που υπονοούνται στο μετασχηματισμό των γεωμετρικών σχημάτων της ίδιας οικογένειας ή και διαφορετικών οικογενειών. οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν την έννοια της μέτρησης με έναν τρόπο που δημιουργήθηκε από τον πολιτισμό και πραγματοποιούνται αυτόματα στο περιβάλλον του μικρόκοσμου. Η πραγματοποίηση των αναπαραστάσεων αυτών δίνει τη δυνατότητα ελέγχου της ορθότητας των συγκρίσεων ή των μετασχηματισμών που πραγματοποιήθηκαν. οι αναπαραστάσεις που εκφράζουν την έννοια της καταμέτρησης των μονάδων με έναν τρόπο που δημιουργήθηκε από τον πολιτισμό και πραγματοποιούνται αυτόματα. Η πραγματοποίηση των αναπαραστάσεων αυτών, δίνει τη δυνατότητα ελέγχου της ορθότητας της λειτουργίας της μέτρησης που πραγματοποιήθηκε. Οι αναπαραστάσεις των μορφών που προαναφέρθηκαν είναι "αδιαφανείς" αναπαραστάσεις. 75

34 76

35 B. Παράδειγμα σχεδιασμού ενός περιβάλλοντος πολλαπλών αναπαραστάσεων για τη μάθηση εννοιών που αφορούν στον αλγόριθμο ταξινόμησης φυσαλίδας (Bubble sort) Γεώργιος Βλαχογιάννης, Βασίλειος Κεκάτος, Μιχάλης Mιατίδης, Ιωάννης Μισεδάκης, Μαρία Κορδάκη και Ηλίας Χούστης Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Παν/μιο Πατρών, Ρίο Πάτρας, kordaki@cti.gr,enc@cs.purdue.edu Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται ο σχεδιασμός, η υλοποίηση και η πιλοτική αξιολόγηση ενός εκπαιδευτικού λογισμικού το οποίο κατασκευάστηκε προκειμένου να αποτελέσει ένα πιθανό περιβάλλον μάθησης εννοιών που αφορούν στη μάθηση της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας. Το περιβάλλον αυτό σχεδιάστηκε με βάση τις σύγχρονες εποικοδομιστικές και κοινωνικές προσεγγίσεις για τη γνώση και τη μάθηση και αποτελεί ένα αλληλεπιδραστικό περιβάλλον πολλαπλών αναπαραστάσεων. Πιο συγκεκριμένα ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να εκφράσει τις υποκειμενικές του μεθόδους ταξινόμησης όπως και τη μέθοδο ταξινόμησης φυσαλίδας σε τρία αναπαραστασιακά συστήματα. Στο σύστημα των εικονικών προσομοιώσεων φυσικών αντικειμένων (νομίσματα), στο συμβολικό σύστημα του γραπτού λόγου και στο συμβολικό σύστημα του ψευδοκώδικα. Επιπλέον υπάρχει δυνατότητα δυναμικής αναπαράστασης της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας με χρήση κινούμενου σχήματος (animation). Από την πιλοτική μελέτη αξιολόγησης προέκυψε ότι οι μαθητές έχουν ανάγκη να πειραματίζονται με τις εικονικές αναπαραστάσεις των φυσικών αντικειμένων και να τα ταξινομούν με ενεργητικό τρόπο. Επιπλέον προέκυψε η ανάγκη επιστροφής και πραγματοποίησης αυτής της διαδικασίας κατά τη διάρκεια της προσπάθειας ερμηνείας των μεθόδων ταξινόμησης στα υπόλοιπα συμβολικά συστήματα που προαναφέρθηκαν. Εισαγωγή Η ταξινόμηση αποτελεί μια σημαντική δραστηριότητα η οποία συναντάται σε όλους τους λαούς, στην επιστήμη στην τεχνολογία στην οικονομική και εμπορική ζωή αλλά και στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων (Knuth, 1973; Linderson & Vitter, 1985; 77

36 Bishop, 1988). Η ταξινόμηση συνδέεται με τη σύγκριση την ποσοτικοποίηση και γενικότερα τη μέτρηση ποιοτήτων που έχουν αξία και ενδιαφέρον και ως εκ τούτου αποκτά μεγάλη κοινωνική ισχύ (Bishop, 1988). Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι το 25% του συνολικού ενεργού χρόνου εργασίας των Η/Υ αφιερώνεται σε ταξινομήσεις ενώ ο καθημερινός χρόνος που διαθέτουν οι μεγάλες τράπεζες σε ταξινομήσεις λογαριασμών ανέρχεται στα δύο ώρες (Κnuth, 1975; Linderson & Vitter, 1985). Η αξία της ταξινόμησης έγκειται στο ότι τα διατεταγμένα στοιχεία προσφέρουν αποτελεσματικότερες λύσεις για διάφορα προβλήματα. Τα στοιχεία αυτά μπορεί να είναι αριθμοί, ονόματα, αρχεία, εμβαδά, αντικείμενα. Σε όλες τις περιπτώσεις δεχόμαστε ότι περιέχουν μια μετρήσιμη πληροφορία. Η βασική πράξη στην ταξινόμηση είναι η σύγκριση στοιχείων και η εναλλαγή τους. Η γενικότερη αυτή σημασία της ταξινόμησης επιβάλλει την αυτοματοποίησή της μέσα από την κατασκευή γρήγορων αλγόριθμων εκτελέσιμων από υπολογιστές. Μια σειρά από αλγόριθμους ταξινόμησης εκτελέσιμους από υπολογιστή έχει αναφερθεί όπως για παράδειγμα, η ταξινόμηση με εισαγωγή (Insertion sort), η γρήγορη ταξινόμηση (Quick sort) η ταξινόμηση φυσαλίδας (Bubble sort) και άλλοι (Κnuth, 1975; Linderson & Vitter, 1985). Η κατανόηση των αλγορίθμων απαιτεί υψηλού επιπέδου αφαιρετική σκέψη διότι ως διαδικασίες, απαιτούν την κατανόηση αφαιρετικών διεργασιών οι οποίες προκύπτουν από ήδη αφαιρετικές διαδικασίες (Ματσαγγούρας, 1997). Η διαδικασία της κατανόησης αλγορίθμων προυποθέτει την ικανότητα των μαθητών να ταξινομούν μετρήσιμες ποσότητες με τις δικές τους ενέργειες και στη συνέχεια να αναστοχάζονται πάνω σε αυτές προκειμένου να συνειδητοποιήσουν τη μέθοδο ταξινόμησης που χρησιμοποίησαν. Ειδικότερα η κατανόηση ενός αλγόριθμου ταξινόμησης εκτελέσιμου από Η/Υ προυποθέτει επιπλέον την ικανότητα του μαθητή να ερμηνεύσει τη διαδικασία της ταξινόμησης σε πολλαπλά αναπαραστασιακά συστήματα. Τέτοια συστήματα είναι η φυσική γλώσσα, ο ψευδοκώδικας, το διάγραμμα ροής του αλγόριθμου, και τέλος το πρόγραμμα υλοποίησής του ().Η κατασκευή του προσωπικού αλγόριθμου ταξινόμησης του μαθητή πρέπει να αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία θα στηριχτεί η οικοδόμηση της κατανόησης ειδικών σχετικών αλγορίθμων όπως είναι ο αλγόριθμος φυσαλίδας. Η σημασία της κατασκευής της προσωπικής προσέγγισης του μαθητή ως αφετηρίας για την κατανόηση εξειδικευμένης γνώσης έχει αναφερθεί (Inskeep, 1976; Piaget, Inhelder, & Sheminska, 1981). Παρά το ότι η διαδικασία της κατανόησης των αλγορίθμων 78

37 ταξινόμησης δεν αποτελεί και τόσο εύκολη διαδικασία για τους μαθητές η μέθοδος ταξινόμησης φυσαλίδας εισάγεται απευθείας σε αυτούς στη σχολική γνώση. Πιο συγκεκριμένα η ανάγκη κατασκευής των προσωπικών τους μεθόδων ταξινόμησης μέσα από πειραματισμό με συγκεκριμένα υλικά παρακάμπτεται, ενώ η μέθοδος ταξινόμησης φυσαλίδας δεν διδάσκεται μέσα από πολλαπλές και διασυνδεδεμένες αναπαραστάσεις της. Προκειμένου να δοθεί η ευκαιρία στους μαθητές να κατασκευάσουν την έννοια της ταξινόμησης και πιο συγκεκριμένα τη μέθοδο ταξινόμησης φυσαλίδας μέσα από τη διαδικασία που προαναφέρθηκε κατασκευάστηκε το εκπαιδευτικό λογισμικό το οποίο παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία. Εκπαιδευτικό λογισμικό πολλαπλών αναπαραστάσεων για τη μάθηση της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας σε μαθητές Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν έχει κατασκευαστεί. Η σημασία του εκπαιδευτικού λογισμικού στη σύνδεση εικονικών και συμβολικών αναπαραστάσεων όπως και η σημασία εκπαιδευτικού λογισμικού πολλαπλών αναπαραστάσεων στη μάθηση έχει αναφερθεί (Kordaki & Potari, 1998; Borba & Confrey, 1996). Το θεωρητικό πλαίσιο του σχεδιασμού του λογισμικού όπως και η ανάλυση και υποστήριξη των λειτουργιών του σε συνδυασμό με μια πιλοτική μελέτη αξιολόγησής του με μαθητές όπως και συμπεράσματα και προτάσεις για τη βελτίωσή του συζητούνται στις ενότητες 2, 3, 4, 5 και 6 του επόμενου μέρους της εργασίας αυτής. 2. Το θεωρητικό πλαίσιο του σχεδιασμού του λογισμικού Το θεωρητικό πλαίσιο του σχεδιασμού του εκπαιδευτικού λογισμικό που κατασκευάστηκε στηρίζεται στη θεώρηση του εποικοδομισμού για τη γνώση και τη μάθηση σε συνδυασμό με κοινωνικοπολιτισμικές θεωρήσεις (Bauersfeld, 1988 Confrey, 1995). Από τη θεώρηση του εποικοδομισμού η γνώση αντιμετωπίζεται ως μια υποκειμενική και ενεργητική κατασκευή ενώ οι κοινωνικοπολιτισμικές θεωρήσεις δίνουν έμφαση στο ρόλο των εργαλείων στη διαδικασία της μάθησης. Η αλληλεπιδραστικότητα του περιβάλλοντος σε συνδυασμό με τη διάθεση εργαλείων που ταιριάζουν με το πώς ο μαθητής μαθαίνει τις συγκεκριμένες έννοιες για τις οποίες έχει σχεδιαστεί το εκπαιδευτικό λογισμικό αναφέρονται ως σημαντικά σημεία προκειμένου ο μαθητής να μπορεί να είναι ενεργητικός στη διαδικασία κατασκευής της γνώσης του (Kordaki & Potari, 1998). Επιπλέον η δυνατότητα του περιβάλλοντος να παρέχει στο μαθητή ευκαιρίες πειραματισμού με αντικείμενα τα οποία είναι οικεία προς αυτόν αφ ενός μεν του δημιουργούν κίνητρο για μάθηση και εφ ετέρου τον 79

38 εμπλέκουν σε μια διαδικασία όπου η γνώση αντιμετωπίζεται ως νοητική κατασκευή και όχι ως διαδικασία απομνημόνευσης. Ο σχεδιασμός και η διάθεση τέτοιων εργαλείων με τη χρήση των οποίων ο μαθητής έχει την ευκαιρία να κατασκευάσει πολλαπλές αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας έχει αναγνωρισθεί ως παράγοντας καθοριστικής σημασίας διότι δίνει δυνατότητες έκφρασης των ιδιαιτεροτήτων των μαθητών στη μάθηση προσφέροντάς τους δυνατότητες διαφορετικής αφετηρίας (Dettori & Lemut, 1995; Dyfour-Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987). Η σημασία των πολλαπλών εξωτερικών αναπαραστάσεων στη μάθηση Ο πειραματισμός των μαθητών με υλικά και εξωτερικές αναπαραστάσεις τους δίνει τη δυνατότητα διερεύνησης βασικών σχέσεων που αφορούν στο αντικείμενο της μάθησης ( Bishop, 1983 σελ. 175). Ως εξωτερικές αναπαραστάσεις θεωρούνται τα σχήματα, οι εικόνες τα σύμβολα, οι πίνακες, οι γραφικές παραστάσεις. Αναφέρεται ότι οι εξωτερικές αναπαραστάσεις συνδέονται και υποστηρίζουν τις εσωτερικές νοητικές αναπαραστάσεις που δημιουργούν τα άτομα για κάποιες έννοιες (Sutherland, 1995). Επιπλέον αναφέρεται, ότι οι εξωτερικές αναπαραστάσεις ενδείκνυνται στο να κάνουν το αντικείμενο μάθησης γοητευτικό και ενδιαφέρον για τους μαθητές, και μπορούν να αποτελούν τα πεδία πρώτης αναφοράς των μαθητών προκειμένου να οικοδομήσουν βασικές έννοιες (Dyfour-Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987; Kaput, 1987). Οι μεταβάσεις και οι μετασχηματισμοί που πραγματοποιούν οι μαθητές μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας αποκτούν ενδιαφέρον για τη μάθηση και χρήση εννοιών που αφορούν στο αντικείμενο της μάθησης (Lesh, Mehr & Post, 1987). Μέσα από αυτή τη διαδικασία οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να αναστοχαστούν και να συνειδητοποιήσουν τις κοινές ιδιότητες των εννοιών και να εξάγουν τη δομή τους (Dettori & Lemut, 1995; Janvier, 1987). Eπιπλέον υποστηρίζεται ότι η εννοιολογική κατανόηση απορρέει από τη δημιουργία συνδέσεων μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων ενώ η χρήση νέων μορφών αναπαραστάσεων αλλάζει το είδος της γνώσης που διδάσκεται (Noss & Hoyles, 1996; Borba & Confrey, 1996). Η φυσική γλώσσα και οι εικόνες αποτελούν τα περιβάλλοντα συμβολικά συστήματα και υποστηρίζεται ότι πολλές δυσκολίες των παιδιών απορρέουν από την έλλειψη συνέχειας μεταξύ των φυσικών και των αναπαραστασιακών συστημάτων που έχουν επινοηθεί από τον άνθρωπο (Kaput, 1987). Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται θα πρέπει να βρίσκονται κοντά στις εσωτερικές αναπαραστάσεις των παιδιών ενώ οι συμβολικές αφαιρετικές 80

39 αναπαραστάσεις που εμπεριέχουν κάποιους κανόνες δεν θα πρέπει να εισάγονται πρόωρα στα παιδιά διότι δεν έχουν κάποιο νόημα για αυτά και καταλήγουν να αντιμετωπίζονται ως μια τυπική γλώσσα (Dyfour-Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987). Oι δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών για δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων έχουν χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή εκπαιδευτικού λογισμικού (Kordaki & Potari, 1998; Borba & Confrey, 1996). 3. Ανάλυση και υποστήριξη των λειτουργιών του λογισμικού Tο εκπαιδευτικό λογισμικό που κατασκευάστηκε δίνει την ευκαιρία στο μαθητή να πειραματιστεί και να κατασκευάσει δύο μεθόδους ταξινόμησης. Την προσωπική του μέθοδο ταξινόμησης η οποία ανταποκρίνεται στη διαισθητική του γνώση και την οποία πραγματοποιεί αυθόρμητα και την μέθοδο ταξινόμησης φυσαλίδας. Επιλέχθηκε να δοθεί η ευκαιρία στο μαθητή να πραγματοποιήσει τη δική του μέθοδο ταξινόμησης προκειμένου να στηριχτεί σε αυτήν για να οικοδομήσει τη μέθοδο της φυσαλίδας αλλά και προκειμένου να διερευνηθεί το είδος των μεθόδων ταξινόμησης που ακολουθούν με αυθόρμητο τρόπο οι μαθητές. Επιπλέον μέσα από την κατασκευή διαφορετικών μεθόδων ταξινόμησης ο μαθητής θα έχει την ευκαιρία να προχωρήσει σε συγκρίσεις αυτών των μεθόδων. Προκειμένου να μπορεί ο μαθητής να πραγματοποιήσει τις μεθόδους που προαναφέρθηκαν και να διατυπώσει αλγόριθμους ταξινόμησης κατασκευάστηκαν δύο περιβάλλοντα αντίστοιχα. Περιβάλλον υποστήριξης της κατασκευής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή. Το περιβάλλον αυτό αποτελείται από τα παρακάτω πεδία : Πεδίο υλοποίησης της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή μέσω πειραματισμού με εικονικές αναπαραστάσεις οικείων φυσικών αντικειμένων. Το πεδίο αυτό υπάρχει στην οθόνη του υπολογιστή και περιέχει 7 νομίσματα τα οποία είναι τοποθετημένα με τυχαία διάταξη ως προς την αξία τους, και ο μαθητής μπορεί να τα μετακινήσει με το ποντίκι ώστε να τα ταξινομήσει με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά Εικονα 1). Το πεδίο αυτό αποτελεί έναν πειραματικό χώρο που δίνει ευκαιρίες στο μαθητή να κάνει ταξινομήσεις με ενεργητικό τρόπο. Το πρόγραμμα δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να δει πόσες εναλλαγές έχει κάνει καθώς και να διαπιστώσει αν η λίστα των νομισμάτων έχει ταξινομηθεί. Επιπλέον ο μαθητής πατώντας το πλήκτρο αρχικοποίηση μπορεί να επαναλάβει τη διαδικασία της ταξινόμησης αρχικοποιώντας τη λίστα των νομισμάτων. 81

40 Πεδίο περιγραφής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή σε φυσική γλώσσα. Ο μαθητής αφού αναστοχαστεί στις ενέργειες που πραγματοποίησε στη φάση του πειραματισμού του με την ταξινόμηση των νομισμάτων καλείται να προχωρήσει αφαιρετικά και να περιγράψει σε φυσική γλώσσα τη μέθοδο ταξινόμησης που πραγματοποίησε. Η περιγραφή αυτή γίνεται σε ένα πεδίο που αποτελεί διαφορετικό χώρο στην οθόνη του υπολογιστή και στο οποίο ο μαθητής μπορεί να γράψει κείμενο. Το πεδίο αυτό βρίσκεται στο ίδια οθόνη με το πεδίο πειραματισμού. Αυτό επιλέχθηκε προκειμένου να επιτρέπει στο μαθητή να επιστρέφει στην πειραματική διαδικασία στην περίπτωση που αδυνατεί να προχωρήσει στην αφαιρετική διαδικασία και να περιγράψει σε φυσική γλώσσα τη μέθοδο που πραγματοποίησε για την ταξινόμηση των νομισμάτων. Η διαδικασία της μετάβασης από τη φάση του πειραματισμού στην περιγραφή της μεθόδου σε φυσική γλώσσα είναι δύσκολη για τους μαθητές γιατί προυποθέτει αναστοχασμό στις αυθόρμητες ενέργειές τους και αφαιρετική διαδικασία προκειμένου για τη διατύπωση της μεθόδου ταξινόμησης που χρησιμοποιήθηκε. Eικόνα 1. Η διεπιφάνεια του περιβάλλοντος υποστήριξης της κατασκευής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή Πεδίο περιγραφής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή σε μορφή ψευδοκώδικα. Σε αυτό το πεδίο καλείται ο μαθητής να μετατρέψει σε ψευδοκώδικα, τη μέθοδο ταξινόμησης που πραγματοποίησε και στη συνέχεια περιέγραψε σε φυσική 82

41 γλώσσα. Το πεδίο αυτό είναι ένα διαφορετικό πεδίο στην οθόνη του υπολογιστή στο οποίο ο μαθητής μπορεί να γράψει τον ψευδοκώδικα που αντιστοιχεί στη μέθοδο ταξινόμησης που πραγματοποίησε. Όλα τα πεδία που προαναφέρθηκαν συνυπάρχουν στην οθόνη προκειμένου να δίνεται η ευκαιρία στο μαθητή να μελετά και να αναστοχάζεται σε ένα σύνολο αναπαραστάσεων της μεθόδου ταξινόμησης που ήδη πραγματοποίησε. Επιπλέον μπορεί να επιστρέφει στην πειραματική διαδικασία ταξινόμησης των νομισμάτων ή στην περιγραφή της σε φυσική γλώσσα προκειμένου να διευκολύνεται για να προχωρήσει στη διαδικασία συγγραφής με την τυποποιημένη γλώσσα του ψευδοκώδικα. Περιβάλλον υποστήριξης της κατασκευής της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας Το περιβάλλον αυτό αποτελείται από τα παρακάτω πεδία : Πεδίο πληροφοριών. Στο πεδίο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος ταξινόμησης φυσαλίδας σε μορφή κειμένου το οποίο παραθέτουμε : Στην αρχή έχουμε ένα σύνολο n στοιχείων σε ένα πίνακα τον οποίο θέλουμε να ταξινομήσουμε. Στόχος είναι να ταξινομήσουμε τα στοιχεία από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Πρώτα χρησιμοποιούμε ολόκληρο τον πίνακα. Συγκρίνουμε το 1 ο στοιχείο με το 2 ο και αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο, τότε αλλάζουμε τη θέση τους. Συγκρίνουμε το 2 ο (που μπορεί να έχει αλλάξει) με το 3 ο και αν το 2 ο είναι μεγαλύτερο το εναλλάσσουμε. Συνεχίζουμε μέχρι το τέλος του πίνακα. Σαν αποτέλεσμα το μεγαλύτερο στοιχείο κάθεται στο τέλος του πίνακα και τα μικρότερα έχουν προχωρήσει προς τα αριστερά. Απομένει να διαταχθεί η λίστα των n-1 στοιχείων και μετά με τον ίδιο τρόπο, η λίστα των n-2 στοιχείων κοκ. Πεδίο υλοποίησης της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας μέσω πειραματισμού των μαθητών με εικονικές αναπαραστάσεις οικείων φυσικών αντικειμένων. Το πεδίο αυτό έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντίστοιχο πεδίο το οποίο περιγράφτηκε προηγουμένως στο περιβάλλον υποστήριξης της κατασκευής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή. Η διαφορά είναι ότι στο πεδίο αυτό ο μαθητής καλείται να ταξινομήσει τα νομίσματα με τη μέθοδο φυσαλίδας. Στην περίπτωση που ο μαθητής εναλλάσσει τα νομίσματα εφαρμόζοντας με λαθεμένο τρόπο τη μέθοδο, το πρόγραμμα βγάζει μήνυμα λάθους χωρίς όμως να προτείνει τη σωστή εναλλαγή. Επιπλέον το πρόγραμμα δίνει δυνατότητες στο μαθητή να δει τον αριθμό των σωστών και των λαθεμένων εναλλαγών που πραγματοποίησε όπως και αν έχει ταξινομήσει σωστά τη λίστα των νομισμάτων. 83

42 Πεδίο εξεικόνησης της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας με τεχνικές κινούμενου σχεδίου. Στο πεδίο αυτό γίνεται αυτόματη ταξινόμηση με τη μέθοδο φυσαλίδας των 7 νομισμάτων που χρησιμοποιούνται στο πεδίο πειραματισμού. Η ενεργοποίηση της αυτόματης ταξινόμησης γίνεται με το πλήκτρο αυτόματο. Οι εναλλαγές των νομισμάτων εξεικονίζονται στην οθόνη του υπολογιστή με τεχνικές κινούμενου σχεδίου. Υπάρχουν δυνατότητες επιλογής κίνησης τριών ταχυτήτων όπως και η δυνατότητα της αρχικοποίησης της λίστας των νομισμάτων για επανάληψη της αυτόματης διαδικασίας ταξινόμησης. Στιγμιότυπο αυτής της διαδικασίας παρουσιάζεται στην εικόνα 2. Το πεδίο αυτό κατασκευάστηκε προκειμένου να αποτελέσει βοηθητικό στοιχείο για τους μαθητές στην περίπτωση που συναντούν δυσκολίες στην πραγματοποίηση της ταξινόμησης των νομισμάτων με τη μέθοδο φυσαλίδας ή στην περιγραφή της σε φυσική γλώσσα ή σε ψευδοκώδικα. Εικόνα 2. Η διεπιφάνεια του περιβάλλοντος υποστήριξης της κατασκευής της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας Πεδίο περιγραφής της μεθόδου ταξινόμησης φυσαλίδας σε φυσική γλώσσα. Το πεδίο αυτό έχει τα ίδια χαρακτηριστικά και την ίδια σκοπιμότητα με το αντίστοιχο πεδίο το οποίο περιγράφτηκε προηγουμένως στο περιβάλλον υποστήριξης της κατασκευής της προσωπικής μεθόδου ταξινόμησης του μαθητή. 84