Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Transcript

1 Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί; 2.Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; 3. Πώς προσθέτουμε δύο ρητούς αριθμούς; 4. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς; 5. Ποιες ιδιότητες ισχύουν στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών (να αναφέρετε και τα ονόματά τους); 6. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι; 7. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; 8. Πώς βρίσκουμε τη διαφορά δύο ρητών αριθμών; 9. Πώς βρίσκουμε το πηλίκο δύο ρητών αριθμών; Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 1. Να δώσετε τον ορισμό της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο. 2. Να γράψετε τις ιδιότητες των δυνάμεων πραγματικών αριθμών. Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού 1. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού. 2. Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορούμε να έχουμε τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. 3. Να γράψετε τις ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών. 4. Να αποδείξετε ότι για και. 5. Να αποδείξετε ότι για και. 1.2 Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Α. Αλγεβρικές παραστάσεις Μονώνυμα 1. Ποιες παραστάσεις λέγονται α) αριθμητικές και β) αλγεβρικές; 2. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια; 3. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; 4. Τι ονομάζεται μονώνυμο; Ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο μέρος του; 5. Τι ονομάζεται βαθμός ενός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή και τι βαθμός του μονωνύμου. 6. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται: α) όμοια β) ίσα γ) αντίθετα; 7. Ποια μονώνυμα λέγονται σταθερά; Ποιο είναι το μηδενικό μονώνυμο; Τι γνωρίζετε για το βαθμό ενός σταθερού μονωνύμου; Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [1]

2 Β. Πράξεις με μονώνυμα 1. Μπορούμε να προσθέσουμε δύο οποιαδήποτε μονώνυμα μεταξύ τους; 2. Πώς προσθέτουμε δύο όμοια μονώνυμα; 3. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο οποιαδήποτε μονώνυμα μεταξύ τους; 4 Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο μονώνυμα; 5. Από τη διαίρεση δύο μονωνύμων προκύπτει πάντα ένα νέο μονώνυμο; 1.3 Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων 1. Τι ονομάζεται πολυώνυμο; Τι είναι ο όρος ενός πολυωνύμου; 2. Τι είναι το διώνυμο και τι το τριώνυμο; 3. Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του; 4. Ποια πολυώνυμα λέγονται σταθερά; Ποιο είναι το μηδενικό πολυώνυμο; Τι γνωρίζετε για το βαθμό ενός σταθερού πολυωνύμου; 5. Πότε δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα; 6. Τι εννοούμε με τον όρο «αναγωγή ομοίων όρων»; 7. Ποιος μπορεί να είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου, το οποίο έχει προκύψει από το άθροισμα ή τη διαφορά δύο άλλων πολυωνύμων; 1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων 1. Πώς πολλαπλασιάζουμε: α) μονώνυμο με πολυώνυμο β) πολυώνυμο με πολυώνυμο; 2. Πώς ονομάζεται το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός μονωνύμου ή ενός πολυωνύμου με ένα άλλο πολυώνυμο; 3. Ποιος μπορεί να είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου, το οποίο έχει προκύψει από το γινόμενο δύο πολυωνύμων; 1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες 1. Τι ονομάζεται ταυτότητα; 2. Να γράψετε όλες τις αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε. (συνολικά είναι 7) 3. Να αποδείξετε ότι ( ) 4. Να αποδείξετε ότι ( ) 5. Να αποδείξετε ότι ( ) 6. Να αποδείξετε ότι ( ) 7. Να αποδείξετε ότι ( )( ) 8. Να αποδείξετε ότι ( )( ) 9. Να αποδείξετε ότι ( )( ) Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [2]

3 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 1. Τι είναι η παραγοντοποίηση; Πότε λέμε ότι μια παράσταση έχει αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων; 2. Ποιες βασικές μεθόδους παραγοντοποίησης γνωρίζετε; 1.8 ΕΚΠ και ΜΚΔ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων 1. Πώς βρίσκουμε το ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; 2. Πώς βρίσκουμε το ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 1. Ποια παράσταση λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση; 2. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να γίνονται πάντα για μια ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποια διαδικασία ακολουθούμε προκειμένου να απλοποιήσουμε μια ρητή αλγεβρική παράσταση; 1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων Α. Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων 1. Πώς πολλαπλασιάζουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα και πώς πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα μεταξύ τους; 2. Πώς διαιρούμε δύο κλάσματα μεταξύ τους; Πώς μετατρέπουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό; Β. Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 1. Ποια διαδικασία ακολουθούμε για να προσθέσουμε ή/και να αφαιρέσουμε ρητές παραστάσεις; Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [3]

4 Κεφάλαιο 2 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.2 Εξισώσεις 2 ου βαθμού Α. Επίλυση εξισώσεων 2 ου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. Να λύσετε την εξίσωση 2. Να λύσετε την εξίσωση Α) με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων Β) με τετραγωνικές ρίζες 3. Πότε η εξίσωση είναι αδύνατη; 4. Να λύσετε την εξίσωση. 5. Να λύσετε την εξίσωση με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου. Β. Επίλυση εξισώσεων 2 ου βαθμού με τη βοήθεια τύπου 1. Δίνεται η εξίσωση. Ποια είναι η διακρίνουσα (Δ); Πόσες και ποιες λύσεις έχει η εξίσωση ανάλογα με την τιμή της Δ; 2. Να αποδείξετε τους τύπους των λύσεων της εξίσωσης σε κάθε περίπτωση. 2.3 Προβλήματα εξισώσεων 2 ου βαθμού 1. Το εμβαδόν μιας κολυμβητικής πισίνας είναι 400. Να βρείτε τις διαστάσεις της, αν αυτές έχουν άθροισμα 41m. 2. Ένας οικονομολόγος υπολόγισε ότι μια βιοτεχνία ρούχων για να κατασκευάσει x πουκάμισα ξοδεύει ευρώ. Αν η βιοτεχνία πουλάει κάθε πουκάμισο 60, πόσα πουκάμισα πρέπει να πουλήσει, ώστε να κερδίσει 3500 ; 2.4 Κλασματικές εξισώσεις 1. Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση; 2. Να λύσετε την εξίσωση: 2.5 Ανισότητες- Ανισώσεις μ έναν άγνωστο. Α. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1. Πότε ισχύει Α) α>β Β) α<β Γ) α=β Β. Ιδιότητες της διάταξης 1. Να αποδείξετε ότι αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. 2. Να αποδείξετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [4]

5 3. Να αποδείξετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά. 4. Να αποδείξετε ότι αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. 5. Να αποδείξετε ότι αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. 6. Τι γνωρίζετε για το πρόσημο του τετραγώνου ενός πραγματικού αριθμού; 7. Να λύσετε την εξίσωση, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί. 8. Έστω ότι έχουμε δύο ανισότητες. Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες κινήσεις επιτρέπεται να γίνουν και κάτω από ποιες προϋποθέσεις: Α) να τις προσθέσουμε κατά μέλη Β) να τις αφαιρέσουμε κατά μέλη Γ) να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη Δ) να τις διαιρέσουμε κατά μέλη 9. Να διατυπώσετε με λόγια και να γράψετε με σύμβολα τις (5) ιδιότητες της διάταξης. Γ. Ανισώσεις πρώτου βαθμού μ έναν άγνωστο 1. Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. 2. Να λύσετε την ανίσωση Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [5]

6 Κεφάλαιο 3 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης 1. Ποια είναι η γενική μορφή εξίσωσης μιας ευθείας; 2. Τι ονομάζεται λύση της εξίσωσης αx+βy=γ; 3. Τι εννοούμε με τη φράση «οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας»; 4. Πότε ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία; 5. Τι γνωρίζετε για ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας; 6. Τι παριστάνει η εξίσωση y=k, k ή k=0; 7. Τι παριστάνει η εξίσωση x=k, k ή k=0; 8. Ποια εξίσωση ονομάζεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x,y; 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του 1. Τι ονομάζεται γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y; 2. Τι ονομάζεται λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους; 3. Πότε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους Α) έχει μοναδική λύση Β) είναι αδύνατο Γ) είναι αόριστο 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος 1.Να λύσετε το σύστημα { με τη μέθοδο της αντικατάστασης. 2. Να λύσετε το σύστημα { με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. 3. Πώς γίνεται η επαλήθευση των λύσεων ενός συστήματος; 4. Με ποιο κριτήριο επιλέγουμε αν θα ακολουθήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης ή τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών προκειμένου να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα. Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [6]

7 4.1 Η συνάρτηση Κεφάλαιο 4 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Πώς ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ; 2. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; (ποια είναι η κορυφή της, ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της, πού βρίσκεται στο σύστημα αξόνων, ποια είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της και πού την παρουσιάζει) 3. Από τι καθορίζεται το «άνοιγμα» της παραβολής; 4. Τι γνωρίζετε για τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και ; 4.2 Η συνάρτηση 1. Ποια συνάρτηση ονομάζεται τετραγωνική; 2. Πώς ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ; 3. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; (ποια είναι η κορυφή της, ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της, ποια είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της και πού την παρουσιάζει) Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [7]

8 Β ΜΕΡΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων Κεφάλαιο 1 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία του; 2. Ποια σχέση έχουν οι γωνίες ενός τριγώνου; 3. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο, πότε αμβλυγώνιο και πότε ορθογώνιο; 4. Πότε ένα τρίγωνο λέγεται σκαληνό, πότε ισοσκελές και πότε ισόπλευρο; 5. Τι ονομάζουμε διάμεσο ενός τριγώνου; 6. Τι ονομάζουμε διχοτόμο ενός τριγώνου; 7. Τι ονομάζουμε ύψος ενός τριγώνου; 8. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; 9. Να διατυπώσετε το 1 ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. 10. Να διατυπώσετε το 2 ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. 11. Να διατυπώσετε το 3 ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. 12. Να συμπληρώσετε τις ακόλουθες φράσεις: Α) Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται.. Β) Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. 14. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, τι γνωρίζετε: Α) για τις γωνίες της βάσης του Β) τη διχοτόμο, το ύψος και τη διάμεσο που αντιστοιχούν στη βάση του 15. Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. (Ισχύει το αντίστροφο; Διατυπώστε το.) 16. Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. (Ισχύει το αντίστροφο; Διατυπώστε το.) 1.2 Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων 1. Να αποδείξετε ότι αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. 2. Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. 3. Να διαιρέσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=5cm σε τρία ίσα μέρη. 4. Τι ονομάζουμε λόγο δύο ευθύγραμμων τμημάτων; (Με τι ισούται;) 5. Πότε λέμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ. 6. Τι είναι η αναλογία; 7. Να γράψετε με σύμβολα τις σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών. 8. Αν Δ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ, ΔΕ//ΒΓ και ΕΖ//ΑΒ, να αποδειχθεί ότι: Α) το Ζ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ Β) Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [8]

9 9. Αν ΑΔ διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( ) και ΔΕ//ΑΒ, να αποδειχθεί ότι: Α) το Ε είναι μέσο της πλευράς ΑΓ Β) 1.5 Ομοιότητα Α. Όμοια πολύγωνα 1. Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όμοια; Ποιες πλευρές τους λέγονται ομόλογες; Ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας τους; 2. Τι είναι η κλίμακα ενός χάρτη; 3. Να αποδειχθεί ότι δύο κανονικά πεντάγωνα είναι όμοια. Β. Όμοια τρίγωνα 1. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; Γ. Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων 1. Τι γνωρίζετε για το λόγο των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων; Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [9]

10 Κεφάλαιο 2 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 1. Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας; 2. Πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; 3. Πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ; 4. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα με τα κατάλληλα πρόσημα. ημω συνω εφω 5. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα όπου ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί: ημω συνω εφω 2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 1. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; 2. Να συμβολίσετε δύο παραπληρωματικές γωνίες, χρησιμοποιώντας μία μόνο μεταβλητή. 3. Να γράψετε τις σχέσεις που ισχύουν ανάμεσα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών. 2.3 Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει: Α) Β) 2.4 Νόμος ημιτόνων Νόμος συνημιτόνων 1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι ισχύει ο νόμος των ημιτόνων, δηλαδή ότι:. 2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι ισχύει 3. Να γράψετε όλες τις σχέσεις που ισχύουν σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων σε ένα τρίγωνο ΔΕΖ. Ερωτήσεις Θεωρίας Γ Γυμνασίου [10]