Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Transcript

1 Web page: Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται ο φυσικός αριθμός που διαιρείται με το 2,ενώ περιττός λέγεται ο φυσικός αριθμός που δε διαιρείται με το 2. Στρογγυλοποίηση λέγεται η διαδικασία της αντικατάστασης ενός αριθμού με μια προσέγγισή του, δηλαδή με κάποιον άλλο λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του. Ιδιότητες της πρόσθεσης φυσικών αριθμών Α. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α + β = β + α Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες ενώ από δύο σημεία διέρχεται μια και μοναδική ευθεία. Αντικείμενες ημιευθείες, λέγονται οι ημιευθείες που έχουν ίδια αρχή, βρίσκονται στην ίδια ευθεία και εκτός από την αρχή τους δεν έχουν άλλο κοινό σημείο. Επίπεδο είναι μια επιφάνεια, πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή. Πλευρά τριγώνου ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από δυο κορυφές του. Β. Προσεταιριστική ιδιότητα: α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ Γ. α + 0 = 0 + α = α Ιδιότητες πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών Α. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α. β = β. α Β. Προσεταιριστική ιδιότητα α ( β γ ) = ( α β ) γ Γ. α 1 = 1 α = α Δ. Επιμεριστική του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση : α ( β + γ ) = α β + α γ Ε. Επιμεριστική του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση α ( β - γ ) = α β - α γ Διαγώνιος τετραπλεύρου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μη διαδοχικές κορυφές. Τεθλασμένη γραμμή λέγεται κάθε πολυγωνική γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία του. Ευθύγραμμο σχήμα λέγεται κάθε τεθλασμένη γραμμή που τα άκρα της συμπίπτουν. Κυρτή λέγεται η τεθλασμένη γραμμή όταν η προέκταση κάθε πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ημιεπίπεδο. Διαφορετικά λέγεται μη κυρτή.

2 ν-οστή δύναμη του α ( α,ν φυσικοί αριθμοί) Το γινόμενο α α α. α που έχει ν πλήθος παράγοντες ίσους με α και συμβολίζεται α ν Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων. Προτεραιότητα των πράξεων σε μια αριθμητική παράσταση λέγεται η σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις στη παράσταση αυτή. Η σειρά αυτή είναι: 1. Υπολογισμός δυνάμεων 2. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις 3. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν πράξεις σε παρενθέσεις κάνουμε τις πράξεις μέσα σε αυτές με τη σειρά. Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα, αν συμπίπτουν, όταν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο με κατάλληλο τρόπο. Οι αντίστοιχες πλευρές και οι αντίστοιχες γωνίες δύο ίσων σχημάτων είναι ίσες. Μέτρηση μεγέθους λέγεται κάθε σύγκριση του μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα. Μέσο ευθυγράμμου τμήματος λέγεται ένα σημείο του τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του. Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μοναδικό. Περίμετρο ενός ευθυγράμμου τμήματος ονομάζουμε το άθροισμα των πλευρών του. Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σ αυτό και περνά από το μέσο του. Οι ιδιότητες της μεσοκαθέτου είναι: I. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος. II. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος. Δύο γωνίες είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο μέτρο. Ευκλείδεια διαίρεση Δ = δ π + υ όπου 0 υ < δ. Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο. Τέλεια διαίρεση Όταν το υπόλοιπο είναι 0 και τότε έχουμε Δ = δ π Ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές όταν έχει δύο πλευρές ίσες και οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες. (Βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου λέγεται η πλευρά που δεν είναι ίση με κάποια από τις δύο άλλες). Διχοτόμος γωνίας λέγεται η ημιευθεία που έχει αρχή τη κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Είδη γωνιών Μια γωνία λέγεται ορθή όταν το μέτρο της είναι Μια γωνία λέγεται οξεία όταν το μέτρο της είναι μικρότερο από 90 0 ενώ λέγεται αμβλεία όταν το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από 90 0 και μικρότερο από

3 Διαιρέσεις α : α = 1, α : 1 = α, 0 : α = 0 Μια γωνία λέγεται ευθεία όταν το μέτρο της είναι ίσο με Πολλαπλάσιο του φυσικού α ονομάζουμε κάθε αριθμό που προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του α με κάθε ένα από τους φυσικούς 0, 1, 2, 3, 4 κλπ Διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α λέγεται κάθε αριθμός που τον διαιρεί. Μια γωνία λέγεται μη κυρτή όταν το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από και μικρότερο από Μια γωνία λέγεται μηδενική όταν το μέτρο της είναι 0. Μια γωνία λέγεται πλήρης όταν το μέτρο της είναι ίσο με Πρώτος λέγεται ο αριθμός που έχει διαιρέτες τον εαυτό του και τη μονάδα, ενώ σύνθετος ο αριθμός που εκτός από τον εαυτό του και τη μονάδα έχει και άλλους διαιρέτες. Δύο γωνίες λέγονται εφεξής όταν έχουν την ίδια κορυφή, μια κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δύο ή και περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών. Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ) δύο ή και περισσοτέρων αριθμών είναι το μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών αυτών. Απλοποίηση λέγεται η διαδικασία της εύρεσης ενός ισοδύναμου κλάσματος προς το αρχικό, με μικρότερους όρους. Ανάγωγο λέγεται το κλάσμα που δεν απλοποιείται. Ομώνυμα λέγονται εκείνα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ενώ ετερώνυμα εκείνα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Διαδοχικές γωνίες λέγονται περισσότερες από δύο γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενή της ή την επόμενή της. Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα Δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν όταν έχουν κοινή κορυφή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Δυνατές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο Δύο ευθείες θα είναι παράλληλες ή τεμνόμενες. Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες αν δεν έχουν κοινό σημείο όσο κι αν προεκταθούν. Δύο ευθείες λέγονται τεμνόμενες όταν έχουν ένα κοινό σημείο και το σημείο αυτό λέγεται σημείο τομής. Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται παράλληλα όταν βρίσκονται πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες.

4 Σύγκριση κλασμάτων Α. Αν είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή. Β. Αν είναι ετερώνυμα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και συγκρίνουμε τους αριθμητές τους. Γ. Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. Σύγκριση κλασμάτων με τη μονάδα Α. Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο της μονάδας όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος του παρονομαστή. Β. Ένα κλάσμα είναι μικρότερο της μονάδας όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρονομαστή. Γ. Ένα κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα όταν ο αριθμητής ισούται με το παρονομαστή του. Αντίστροφα κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν γινόμενο τη μονάδα. Ιδιότητες πολλαπλασιασμού Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει. Αντιμεταθετική και Προσεταιριστική ιδιότητα. Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και ως προς την αφαίρεση. Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία (ε) ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος ΑA 0 από το σημείο Α προς την (ε). (Το σημείο Α 0 είναι σημείο της ευθείας (ε) ). Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ονομάζεται το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές. Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία σχηματίζουν: Τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες Τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες. Τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές. Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο. Το Ο λέγεται κέντρο του κύκλου ενώ η σταθερή απόσταση λέγεται ακτίνα και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα ρ. Δύο κύκλοι είναι ίσοι όταν έχουν ίσες ακτίνες. Χορδή κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρος κύκλου είναι κάθε χορδή του που περνάει από το κέντρο του. Σε ένα κύκλο η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας του ( ή η ακτίνα είναι ίση με το μισό της διαμέτρου). Κυκλικός δίσκος ( Ο, ρ ) είναι ο κύκλος ( Ο, ρ ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Επίκεντρη γωνία λέγεται κάθε γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο ενός κύκλου. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 180.

5 Ονομάζεται οξυγώνιο το τρίγωνο που όλες οι γωνίες του είναι οξείες ii. Ονομάζεται ορθογώνιο το τρίγωνο που μια γωνία του είναι ορθή. iii. Ονομάζεται αμβλυγώνιο το τρίγωνο που μια γωνία του είναι αμβλεία. Σημειώσεις Κριτήρια παραλληλίας δύο ευθειών που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία 1. Δύο ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία και σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες είναι παράλληλες. 2. Δύο ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία και σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες είναι παράλληλες. 3. Δύο ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία και σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές είναι παράλληλες. Ονομάζεται τραπέζιο το τετράπλευρο του οποίου δύο πλευρές είναι παράλληλες. Ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. Ονομάζεται παραλληλόγραμμο το τετράπλευρο του οποίου ανά δύο οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Ονομάζεται ρόμβος το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ονομάζεται τετράγωνο το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ορθές. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι ιδιότητες: 1. Κάθε διαγώνιος του το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. 2. Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 3. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 4. Οι διαγώνιες του διχοτομούνται.

6 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου 1. Η ε είναι εξωτερική ευθεία του κύκλου: Είναι η ευθεία που δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. Αν δ>r η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου και αντίστροφα Για κάθε σημείο Μ της ε ισχύει ΟΜ>R Η ευθεία ΜΟ που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται διακεντρική ευθεία του σημείου Μ 2. Η ε είναι εφαπτομένη του κύκλου: Είναι η ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (σημείο επαφής). Αν δ=r η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου και αντίστροφα Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής Α είναι κάθετη στην εφαπτομένη (ΟΑ ε) Σε κάθε σημείο Ν του κύκλου υπάρχει μοναδική εφαπτομένη Αν Μ σημείο της εφαπτομένης τότε το τμήμα ΜΑ λέγεται εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου από το σημείο Μ. 3. Η ε είναι τέμνουσα του κύκλου: Είναι η ευθεία που έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο (που λέγονται σημεία τομής). Αν δ<r η ευθεία είναι τέμνουσα του κύκλου και αντίστροφα Αν Β, Γ τα σημεία τομής τότε η απόσταση δ=οα είναι το απόστημα της χορδής ΒΓ.